Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 4: Trị riêng và Véctơ riêng - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

A v   v (1) nn nnx1 x1 Ý nghĩa: [A] hoạt động trên để mang lại λ lần Khái niệm Trị riêng và Véctơ riêng 4 1 Lvv   (2) L là toán tử có thể biểu diễn phép nhân với ma trận, đạo hàm, tích phân, v.v., v có thể là vectơ hoặc hàm số. Và λ là một hằng số vô hướng. d 2 - L là toán tử thể hiện đạo hàm bậc 2 theo x: 2   - v là một hàm số y phụ thuộc x: y(x) dx - λ = k2 là hằng số d2 y x 2 k2 y x dx2 Ví dụ về ứng dụng của trị riêng và véctơ riêng 5 Trong nghiên cứu về dao động, các giá trị riêng đại diện cho các tần số riêng tự nhiên Phương Tần số dđ (the natural frequencies) của một hệ thống thức riêng (Modes) (Frequencies) hoặc thành phần, và các véctơ riêng đại v diện cho các phương thức của những dao Thứ nhất 2L động này (the modes of vibrations). Việc xác định các tần số riêng tự nhiên này là v Thứ hai rất quan trọng vì khi hệ thống hoặc thành L phần chịu tải trọng bên ngoài (lực) một 3v cách tuần hoàn ở tại hoặc gần các tần số Thứ ba 2L này, sự cộng hưởng có thể làm cho ứng xử (chuyển động) của kết cấu được khuếch 2v đại, có khả năng dẫn đến hỏng hóc thành Thứ tư L phần của hệ thống. Ví dụ về ứng dụng của trị riêng và véctơ riêng 6 11  12  13 σ     ij 21 22 23 33 31  32  33  1 00  σ  00 2 33  00 3 Các ứng suất chính 1   2   3   nx n x n x được xác định là các giá 11        1  2  3 trị riêng của ma trận ứng A σij;; λ 2  2 v  v 1 v 2 v 3  n y   n y   n y  3 3 3 1   33 3 3 1 3 1 3 1 31       suất, và các hướng  1  2  3 33 n n n z   z   z  chính được hiểu là hướng của các véctơ A  vi  i v i ;i  1,2,3 33 3 1 3 1 riêng liên quan Phương trình đặc trưng 7  A v   v  A   I  v  0 (3) n nnx1 n x1 n  n n  n n x1 n x1 Δ nn a11  a 12 a 13 a 1n   v 1  0      a21 a 22  a 23 a 2n  v 2  0                an1 a n 2 a n 3 a nn    v n  0 - Nếu ma trận [Δ]=[A-λ.I] không đặc biệt (tức là tồn tại ma trận đảo ngược [A-λ.I]-1) thì hệ phương trình (3) chỉ có một nghiệm đơn giản là T= {0 0 0}. - Nếu ma trận [Δ]=[A-λ.I] đặc biệt (tức là không tồn tại ma trận đảo ngược [A-λ.I]-1) thì hệ (3) có thể tồn tại nghiệm không tầm thường (nontrivial solution) của . Để đạt điều đó ta cần điều kiện:     Phương trình đặc trưng detΔAI  det        0 (3) n n   n  n n  n  (Characteristic Equation) Phương pháp cổ điển 8  Trong đó: ΔAI      - Là ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix) n n n  n n  n Phương trình đặc trưng (3) là một phương trình đa thức bậc n có dạng (4) và sẽ có n nghiệm: λ1,λ2,, λn. Mỗi nghiệm λi có véctơ riêng . n n n1 n 2 2 10  CCCCCnn1   2    2   1   0  (4) Có nghĩa là chúng ta sẽ có n 1  đẳng thức sau:   12   n 2 V  v v v L  nn  11    nx1 n x1 n x1 A v 1  v n1   nn nnx1 x1 n   - Là ma trận (của) véctơ riêng  nn   - Là véctơ (của) A v n  v giá trị riêng  nn nnx1 x1 Phương pháp cổ điển 9 Khi có λi ta làm như sau để tìm véctơ riêng : i  i  i A v ii  v  A   I  v  0 n nnx1 n x1 n  n n  n n x1 n x1 Δi  nn Dùng phép khử Gauss để đưa về dạng bậc  Δ0i    thang (Reduced Row Echelon Form) nn 1 Phương pháp cổ điển 10 1 3 3  Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận sau: A 3 5 3 33 6 6 4 1. Tính ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix) 1 3 3  ΔAI      3  5  3 3 3 3  3 3  3 6 6 4  2. Tính phương trình đặc trưng (Characteristic Equation)  3 2 detΔ    12   16     4   2  0 33 3. Giải phương trình đặc trưng ta có 3 nghiệm λ, từ đó có véctơ giá trị riêng: L 422   T 31 11 1 3 3  ΔAI      3  5  3 3 3 3  3 3  3 6 6 4   5  3 3 3 3  5  detΔ  1     3   3  33 6 4  4  6 6  6 1  5  4    6333634       33665      1  2   2 3 6 3   3 12  6    3 3   2  18  9   36  18  3 12  16 (1) 4.1. Tìm véctơ riêng của giá trị riêng λ1 = 4: 12 12 3  3 3 0  R1 1 1 1  1 0  R1   RR 113  1  A12  I 0 3  9 3 0 R 3  9 3 0 R2 v  12 31   3 34 3 3   3x1  6 6 0 0 R3 6 6 0 0 R3 1 1 1  1 0  R RRR2 3  1  2 1 RRR 6    3  1 3 0  12 6 0 R 2  0 12 6 0 R3 v3 1 v1  1 1 1  1 0  R1  RR22 2 2 12  0 1  1 2 0 R2 v3  1  v vv23      0 12 6 0 R3 3x1 22    1 1  1 0  R1 v3  1  RRR12     3  2 3 0 1  1 2 0 R       2    0 0 0 0 R3 1 0  1 2 0  R 1 vv20 RRR1 1 2  13 0 1  1 2 0 R2   vv20   23 0 0 0 0 R3 2 3 4.2. Tìm véctơ riêng và của giá trị riêng λ2 = λ3 = -2: 13 3  3 3 0  R 1 1 1  1 1 0  R1  RR 113  A22  I 0 3  3 3 0 R 3  3 3 0 R 31  2 3 32 3 3 6 6 6 0 R  3 6 6 6 0 R3 1  1 1 0  R RRR2 3  1  2 1 RRR 6    3 1 3 0 0 0 0 R v1 v 2  v 3  0 2  0 0 0 0 R3 T v1 v 2 v 3 11    L 422          31 v v2   v 2 10   v 3   3x1 v  01    Ma trận (của) véctơ riêng 3     1 2 11     11     1  2  3 1     V v v v 10 23      33 2     vv1  ;  0  3x1 3x1 3x1 01    1     3x1  3x1    01    Phương pháp luỹ thừa 1 14 0  1;v 3 3  1 ;   0.002 Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma  A 331 5 3 1 trận sau: 33  6 6 4 1) Vòng lặp 1: 1 3 3   1   1  0.25 0      w Av   3  5 3  1  1 4  0.25 1           1 6 6 4   1   4   c=Index(max(|w1|))=3 Trị riêng Véctơ riêng Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là 4. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị riêng để thu được mới. 1   0.25  1 w1 1     c indexmax w1  3; 1  w 1  3  4;v    1    0.25  1 4     41    Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ? 15 1 3 3   0.25   0.25   1.5  1 1 1       C   A  v    v  3  5 3  0.25  4  0.25  1.5   1             6 6 4   1   1   0  C1 1.52  1.5 2  0 2  1.5 2   2) Vòng lặp 2: 1 3 3   0.25   2.5   0.625  1       w Av   3  5 3  0.25  2.5  4  0.625 2               6 6 4   1   4   1  2.5   0.625  2 w2 1     c indexmax w2  3; 2  w 2  3  4;v    2.5    0.625  2 4     41    Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ? 16 1 3 3   0.625   0.625   0.75  2 2 2       C   A v   v  3 5 3 0.625  4 0.625  0.75   2             6 6 4   1   1   0  C2  0.7522   0.75  02  0.75 2   3) Vòng lặp 3: 1 3 3   0.625   1.75   0.4375  2       w Av   3  5 3  0.625  1.75  4  0.4375 3               6 6 4   1   4   1  1.75   0.4375  3 w3 1     c indexmax w3  3; 3  w 3  c  4;v    1.75    0.4375  3 4     41    Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ? 17 1 3 3   0.4375   0.4375   0.375  3 3 3       C   A  v    v  3  5 3  0.4375  4  0.4375  0.375   3             6 6 4   1   1   0  C2 0.37522  0.375  02  0.375 2   Tiếp tục quá trình 18 Trị riêng Véctơ riêng Phương pháp luỹ thừa 19 1. Xuất phát từ véctơ riêng ban đầu 2. Đối với vòng lặp i, i =1, 2, 3, • Tính =[A]· • c=index(max(||)) • Tính λi = c • Tính = λi • Tính Véctơ chênh lệch: =[A]· – λi· • Tính NORM của véctơ chênh lệch và so sánh với độ lệch chuẩn cho phép ε: |||| < ε ? 3. Trị riêng = λi cuối, véctơ riêng = cuối 20 Phương pháp luỹ thừa 1 3 3 1 0  ;v   1 ;   0.002 Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma A  3 5  3  33 31  trận sau: 6 6 4 1 1) Vòng lặp 1: 0.25 1 3  3   1    1   0     w Av    3 5  3  1   1  4  0.25 1           1 6 6  4   1    4   c=Index(max(|w1|))=3 Trị riêng Véctơ riêng Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là -4. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị riêng để thu được mới. 1   0.25  1 w1 1     c indexmax w1  3; 1  w 1  3   4;v     1    0.25  1 4     41    Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ? 21 1 3  3   0.25   0.25    1.5  1 1 1       C   A v   v  3 5  3 0.25  4 0.25  1.5   1              6 6 4   1   1   0  C1  1.522   1.5  02  1.5 2   Tiếp tục quá trình 22 Trị riêng Véctơ riêng Phương pháp luỹ thừa 23 1.Phương pháp lũy thừa có tốc độ hội tụ chậm, cho dù véctơ riêng ban đầu có gần với véctơ đích thực. 2.Phương pháp lũy thừa được sử dụng trong các điều kiện: - Chỉ cần tính trị riêng lớn nhất - Giá trị riêng lớn nhất không thể là nghiệm lặp lại của phương trình đặc trưng. Nói cách khác, không thể có giá trị riêng khác có cùng độ lớn với giá trị riêng lớn nhất - Giá trị riêng lớn nhất phải là một số thực Phương pháp luỹ thừa nghịch đảo 24 1 A  v   v nn nnx1 x1 A11  A  v  A   v n n n  nnnx1 n  n x1 v   A1  v nnx1nn x1 1 1 A  v   v nn nnx1 x1 1 1 B  v   v;; B  A  (5) n nnnx1 x1 n  n n  n  Phương pháp luỹ thừa nghịch đảo 1 25 0  1;v 3 3  1 ;  Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma A 331 5 3 1 33    0.001 trận sau: 6 6 4 1) Tính ma trận nghịch đảo của [A] 5  6  6  3  3  5 AAA11  2 21    6 31   6 2 23 4 2 2 4 322 3 3 2 6 6 1 1  3 4 4 3 3 3 A  6  14 6 AAA12 6 22    14 32   6 33 16 2 23 6 2 2 6 122 1 3 12 12 4 3 6 6 1 1 3 1 3 3 AAA13 12 23    12 33   4 2 25  6 2  2  6  3 2  2  3  5 1  B  3  7 3  33 8 detA  1 5 4 3 3 6 3 3 6  6 5 3 6  3 1 6 6 2 33 4  3   3  16 2) Vòng lặp 1: 26 1  3 3   1    1  0.5 1 0 11     w Bv    3  7 3  1    1   0.5 1       4 88    1 6 6 2   1   2   c=Index(max(|w1|))=3 Trị riêng của [B] Véctơ riêng Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là ¼. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị riêng để thu được mới. 1 c indexmax w1  3; 1  w 1  3  ;   4 0.5   0.5  111 w1     1 4;v  w 1 1  4    0.5     0.5  114     11    Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ? 27 1  3 3    0.5    0.5   0.75  1 1 1 11      C   B v   v  3  7 3  0.5 0.5 0.75   1       84      6 6 2   1   1   0  C1 0.7522  0.75  02  0.75 2   3) Vòng lặp 2: 1  3 3    0.5   5  1 5 1 11     w Bv    3  7 3   0.5   5 1 2       8 88    0.4 6 6 2   1   2   c=Index(max(|w2|))=1 Trị riêng của [B] Véctơ riêng Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là 5/8. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị riêng để thu được mới. 5 28 c indexmax w2  1; 2  w 2  1  ;   8 11    1 82 w2 8 5     2 ;v  w 2 2    1    1  225 5 8     0.4   0.4  Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ? 39  40 1 3 3   1   1   2  2  2 1  5    39  C B v 2 v 3  7 3  1    1     8 8 40 6 6 2 0.4   0.4          3  20 222 2 39   39   3  C            1.386993151   40   40   20  29 30 31 Trị riêng ≈ -2 Véctơ riêng Phương pháp luỹ thừa nghịch đảo 32 1. Tính ma trận nghịch đảo của [A]: [B]=[A]-1 2. Xuất phát từ véctơ riêng ban đầu 3. Đối với vòng lặp i, i =1, 2, 3, • Tính =[B]· • c=index(max(||)) ퟏ • Tính μi = c ; λi = μi • Tính = = ·λi μi • Tính Véctơ chênh lệch: =[B]· – μi· • Tính NORM của véctơ chênh lệch và so sánh với độ lệch chuẩn cho phép ε: |||| < ε ? 3. Trị riêng = λi cuối, véctơ riêng = cuối Phương pháp luỹ thừa nghịch đảo 33 1. Phương pháp lũy thừa nghịch đảo dùng để xác định giá trị riêng nhỏ nhất 2. Các phương pháp lũy thừa và lũy thừa nghịch đảo có thể vừa tìm được trị riêng và véctơ riêng Sử dụng MATLAB để tính trị riêng và véctơ riêng 34 1 3 3  Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận sau: A 3 5 3 33 6 6 4 format long A = [1 -3 3; 3 -5 3; 6 -6 4] [V, L] = eig(A) L 422   T 31 1 2 11    V  1 10    33 2     1 01     Các bài toán kỹ thuật ứng dụng trị riêng và véctơ riêng 35 Vị trí cân bằng k k Cho hệ 2 vật khối lượng lần lượt m1, m2 được liên kết với các lò xo có cùng độ cứng k như hình vẽ. Bỏ qua ma sát. Hãy xác định tần số dao động riêng của hệ? Giải phóng liên kết từng vật và xét Sơ đồ vật thể tự do của nó. So với vị trí chưa biến dạng ban đầu ta sẽ phải biết được từng lò xo ở biên là nén hay giãn. Các lò xo liên kết giữa các vật thì có thể giả thiết nén hay giãn với vật này, thì sẽ là giãn hoặc nén đối với vật kia 36 1) Xét vật m1: dx2 F1  m a  m1   kx  k x  x  kx1 1 x 12 1 2 1  (6) kx1 k x21 x  dt 2) Xét vật m2: dx2 F2  m a  m2   k x  x  kx  kx2 2 x 22  2 1 2 (7) k x21 x kx2 dt Gọi ω là tần số dao động của cơ hệ. Do không có ma sát và lực cưỡng bức nên hệ dao động điều hòa. Giả sử biên độ dao động của các vật m1, m2 lần lượt là A1, A2. Ta có phương trình dao động của 2 vật là: 2 37 dx1 22  2  A11sin   t    x x11 Asin  t dt  x Asin  t dx2  22  2  A22sin  t    x  2 22   dt Đây là một hệ 2 phương trình đại số 2 2  20k m x  kx  tuyến tính thuần nhất. Có 3 ẩn số: A1, 6  m1 x 1   kx 1  k x 2  x 1   1 1 2 A2 và ω. Giá trị tường minh duy nhất 7  m 2 x   k x  x  kx kx 20 k  m 2 x  của ba ẩn số không thể được xác định   2 2 2 1 2  1 2 2 bằng hai phương trình. Trên thực tế, lời 2kk giải duy nhất, khác với nghiệm tầm  2 AA   0  20k m 2 A  kA  12 thường A=0, phụ thuộc vào các giá trị  1 1 2 mm11    cụ thể của ω. Giá trị của ω thỏa mãn hệ  2  kA 20 k  m A  kk2 phương trình được gọi là giá trị riêng. 1 2 2 AA   2  0  12 Giá trị duy nhất của AT = [A A ] không  mm22 1 2 thể được xác định. Tuy nhiên, với mọi giá trị của ω, các giá trị tương đối của 2kk A và A có thể được xác định. Các giá  1 2 mm11 2 trị tương ứng của A được gọi là véctơ A ; (8) riêng. Các véctơ riêng xác định phương 22 kk2  thức dao động (tức là các giá trị tương mm22 đối của A1, A2) 38 Phương trình đặc trưng: 2kk  (9)     mm11 detΔAI  det    0  0m m 22 2 k m  m  3 k 0     kk2 1 2 1 2 2 2   2  2 2  2   mm22   m m  m22  m m  m k m m  m22  m m  m k  1 2 1 1 2 2    1 2 1 1 2 2  2   Có 2  11  1  mm12  mm12 tần số    dao 22 2 2  m1 m 2  m 1  m 1 m 2  m 2 k  m m  m  m m  m k  2     1 2 1 1 2 2  động 22    mm  2 riêng  12  mm12   3.872983346 s1 1   Tp112 1.6223 s  Thế số: m = m = 40 kg, k = 200 N/m 1 1 2   2.236067977 s T 2 2.81 s  2    p22 39 2kk  mm1110 5 A ; 22 kk2 5 10  mm22 0 2 v  ; 21 1   0.01 2 1115 1 1 3.873 s  Tp11 2  1.6223 s 40 1 1 21 BA     ; 2 2 2 2 15 12 0 2 v  ; 21 1   0.0001 2 225 1 2 2.236 s  Tp22 2  2.81 s 41 1 1 1  3.873 s  2  2.236 s  Tp1 1.6223 s Tp2  2.81 s 1 Tp = 1.62 s 1 v  v  1   2  21 1 A1 = A2 21 1 Tần số dao động Tần số dao động riêng thứ 1 lớn riêng thứ 2 nhỏ hơn nên chu kz hơn nên chu kz nhỏ hơn. Véc tơ lớn hơn. Véctơ riêng có các Tp = 2.81 s riêng có các thành phần đối A1 = A2 thành phần nhau có nghĩa là bằng nhau có biên độ của nghĩa là biên độ chúng bằng của chúng bằng Giá trị cụ thể của các biên độ thì chỉ được xác định khi nhau và ngược nhau và cùng chiều dao động có ngoại lực tác dụng vào ban đầu để khiến cho các vật chiều dao động chuyển vị đến một vị trí cân bằng mới rồi thả ra. 42 43 k k 3 1 2 Cho hệ 3 vật khối lượng lần lượt m1 = m2 = m3 = m (các vật mầu vàng) được liên kết với các lò xo có cùng độ cứng k như hình vẽ. Bỏ qua ma sát. Hãy xác định tần số dao động riêng của hệ? 44 1) Bước 1: Vẽ lại cơ k k hệ khi các vật ở 3 một vị trí biến 1 dạng: Để thuận lợi 2 giả sử các x bên k k phải lớn hơn các x bên trái: 2 k x3 > x2 > x1 Khi đó ta sẽ biết k 2k được sự nén hay giãn của từng lò xo. x1 x2 x3 45 2) Bước 2: Vẽ sơ đồ vật thể tự do xét từng vật: 2.1. Xét vật m1: k x31 x  2 1 dx k F1  mam 1   xkxxkxx      kx1 1 x 2 1 3 1  2 1  k dt 2 x 2 (10) 2 1 k x21 x  2.2. Xét vật m2: kxx dx2 21 F2  m a  m2   k x  x 2 k x  x   kx2 2 x dt 2 2 1 3 2 (11) 2k x32 x  46 2.3. Xét vật m3: 2 k x x 3 dx3  31 F mam    kxx  2 kxxkx    kx3 3 x dt 2 3 1 3 2 3 3 (12) kx3 Gọi ω là tần số dao động của cơ hệ. Do không có ma sát và lực cưỡng bức nên hệ dao động điều hòa. Giả sử biên độ dao động của các vật m1, m2, m3 lần lượt là A1, A2, A3 Ta có phương trình dao động của 3 vật là: 2 dx1 22  2  A11sin   t    x dt x11 Asin  t  2  dx2 22 x2 A 2sin t 2   A 2  sin   t    x 2 dt x33 Asin  t  2 2k x32 x  dx3 22  2  A33sin   t    x  dt 47 3) Bước 3: Xây dựng hệ phương trình đại số thuần nhất:  5  2 k 2 10  m x   x  k x  x  k x  x k m x1  kx 2  kx 3  0   1 1 3 1  2 1   2 2   22 11 mx2  kxx 2 1 2 kxx 3  2  kx 1 3 kmxkx 2  2 3 0  12 m 2 x   k x  x  2 k x  x  kx 2   3 3 1  3 2 3 kx1 2 kx 2  4 k  m  x 3  0    5 k k k 5 2 2  AAA1  2  3  0 k m A1  kA 2  kA 3  0 2 m m m  2   (13)   k k k  kA  3k m22 A 2 kA  0   A  3  A  2 A  0 1   2 3 1 2 3 5 k k k m m m  kA 2 kA  4 k  m 2 A  0  1 2  3 k k k 2 m m m AAA 2  4  2  0  1 2 3 k k k  m m m A  3  2 ; 33 m m m  k k k 24 m m m  2 Các bài toán kỹ thuật ứng dụng trị riêng và véctơ riêng 48 Cho thanh chiều dài L chịu tác dụng của lực nén P. Xác định lực P tới hạn khiến thanh mất ổn định. Xác định các dạng mất ổn định của thanh. Cho biết: d 2 y Curvature:  M – Nội lực mômen uốn 2 dx  E – Môđun đàn hồi  I – Mômen quán tính 49 d2 y M    dx2 EI Khi thanh mất ổn định, đường M Py  (14) cong đàn hồi của nó có dạng d2 y P  y hình sin-cos nên ta giả sử dx2 EI phương trình gần đúng của nó: y(0) y ( L ) 0 dy y Asin px  B cos px   Ap cos px  Bp sin  px dx d22 y d y Ap2sin px  Bp 2 cos px  p 2 A sin px  B cos px  p 2 y dx22 dx y d 2 y Vấn đề giá trị riêng:   p2 y ; y(0)  y(L)  0 (15) dx 2 (Xem lại slide 4) Từ (14) và (15) ta suy ra: 50 yB(0)   0  pL  n; n  1,2, y( L ) A sin pL 0   n pn ;  1,2,  L  P y   p22 y  P  p EI EI  n22 EI P  toi_ han L2 51 d 2 y M    p2 y ; y(0)  y(L)  0 • ODE dx 2 EI • Phương pháp sai phân hữu hạn: yi1  2 yi  yi1 2 2 2 2  p yi  0   yi1  (2  h p ) yi  yi1  0 hi 2 2 2  h p  1 0  0  y1  0   2 2  y  0   1 2  h p  1 0  2    2 2      0  1 2  h p  1 0  y3   0    0  1               2 2  y  0  0 0 0 2  h p  n    • Phương trình đặc trưng: n det 2 hp22   0 52 • Có một nút ở giữa (h = L/2)  p  exact L 2 2 2 2 2 (2  h p ) y1  0  p   ( a  10 %) h L • Có 2 nút ở giữa (h = L/3)  2 pexact  , L L 2  h2 p2  1  y  0 1   (2  h2 p2 )2  1  0  2 2       1 2  h p  y2  0 3 3 3 ph  1,  3  p  , (  4.5 %, 17.3 %) L L a 53 • Three interior nodes (h = L/4) 23   pexact  , , LLL 22 2h p 1 0 y1   0      22 1 2 h p  1 y2    0   22    0 1 2h p y3   0  (2h2 p 2 ) 3  2(2  h 2 p 2 )  0  ph   2,  2  2 4 2 2 4 2 4 2 2 p , , ( 2.6 %, 10.0 %, 21.6 %) LLL a