Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 2: Phương trình và hệ phương trình đại số phi tuyến - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

hính (3) a0 x 1,2  2a xác nghiệm b2 −4 ac ≥ 0 Khái niệm phương trình đại số tổng quát 3 ( −2 ) −x = 4 1x e 0 Không có công thức giải tích Phương 1 tìm chính xác nghiệm pháp số sin()()x ln x+ xx − = 0 2 Vô nghiệm Một nghiệm Một nghiệm Nhiều nghiệm Một số bài toán kỹ thuật đưa về phương trình phi tuyến Cho r, A 1 2A s A= r2 ()()θ −sin θ ⇔ f θθ =−−= sin θ s 0
Tìm góc θ ? s 2 r 2 Cho m, v, t, g c c gm− t gm  − t
Tìm hệ số v=1 − em ⇔ fc() =  1 − ev m −= 0 c c  cản c ?   4 Các cách tiếp cận để giải phương trình đại số phi tuyến 5 - PP vòng lặp điểm cố định đơn giản - PP Newton- Raphson - PP dây cung - PP đồ thị - PP chia đôi đoạn - PP vị trí sai Các phương pháp “bủa vây” 6 MATLAB c=1:0.2:20  − c  gm   t  f=667.38*(1-exp(-0.146843*c))./c - 40  () = −m   −=  fc1 e  v 0 plot(c,f, '-k' ,'linewidth' ,2),grid on  c    60 == = = 2 tv10s; 40ms; m 68.1kg; g 9.81ms 50 667.38 − ⇒ f() c=()1 − e 0.146843 c −= 40 0 40 c 30 20 10 0 -10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 c=14:0.1:16 Các phương pháp “bủa vây” 7 c=14:0.1:16 c=14.7:0.01:14.8 f=667.38*(1-exp(-0.146843*c))./c - 40 f=667.38*(1-exp(-0.146843*c))./c - 40 plot(c,f, '-k' ,'linewidth' ,2),grid on plot(c,f, '-k' ,'linewidth' ,2),grid on 2 0.16 1.5 0.14 0.12 1 0.1 0.5 0.08 0 0.06 -0.5 0.04 -1 0.02 -1.5 0 -2 -0.02 -2.5 -0.04 14 14.2 14.4 14.6 14.8 15 15.2 15.4 15.6 15.8 16 14.7 14.72 14.74 14.76 14.78 14.8 14.82 c=14.7:0.01:14.8 c =14.78 Các phương pháp “bủa vây” 8 Ví dụ cần giải phương trình f(x)=0 trên đoạn [0; 1] ( ) 1 f x 4 Vùng tìm kiếm 5 Vùng tìm kiếm 4 Vùng tìm kiếm 3 Vùng tìm kiếm 2 Vùng tìm kiếm 1 Các phương pháp “bủa vây” 9 f( x ) Miền bị Bước 1: Cho a, b, ε loại bỏ Bước 2: Tính ; ; α a b x Nếu ∙ 0 thì b = α f(α )⋅ f( b ) < 0 còn không thì a = α f( x ) Nếu |a – b| > ε Miền bị loại bỏ thì đến bước 2 còn không thì đến bước 3 a α b x Bước 3: Hội tụ. In kết quả nghiệm x* = α; f(x*) = f(α) f( a)⋅ f (α ) < 0 Các phương pháp “bủa vây” 10 Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 trong khoảng [a, b] bằng pp chia đôi đoạn với 5 vòng lặp fxe( ) =−−0.2x e− 0.8 x 2;[ ab ,] = [ 3,4 ]  a+ b  SVL[] ab, fa()() fbα= f() α ba −   2   0[] 3,4− 0.268599153 0.184778724 3.5− 0.047057356 1   1[] 3.5,4− 0.047057356 0.184778724 3.75 0.067212949 0.5     2[] 3.5,3.75− 0.047057356 0.067212949 3.625 0.00 9707880 0.25   [] − −   3 3.5,3.625 0.047057356 0.009707880 3.56 25 0.018761723 0.125   4[] 3.5625,3.625− 0.018761723 0.009707880 3.593 75− 0.004549366 0.0625     5[] 3.59375,3.625− 0.004549366 0.009707880 3.60 9375 0.002573559 0.03125  Các phương pháp “bủa vây” 11 Sai số ước lượng sau n vòng lặp là: b− a ∆x = (4) n 2n Nếu đề yêu cầu cần thực hiện số vòng lặp sao cho sai số ước lượng của nghiệm không vượt quá ε: ba−  ba−  ∆ = ≤ε ⇔ ≥ (5) xn n log 2   2n ε  Các phương pháp “bủa vây” 12 MATLAB ( ) =−−0.2x− 0.8 x [ ] = [ ] x=3:0.01:4 fxe e2; ab , 3,4 f=exp(0.2*x)-exp(-0.8*x)-2 0.18478 plot(x,f, '-b' ,'linewidth' ,2),grid on 0.2 0.067213 0.15 0.1 0.0097 0.05 −0.01876 0 −0.047 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 −0.2686 In ra Vẽ tay Các phương pháp “bủa vây” 13 Các phương pháp “bủa vây” 14 Ưu điểm: • Đơn giản, dễ lập trình • Kích thước của khoảng nghiệm giảm 50% sau mỗi lần lặp • Số vòng lặp có thể được xác định trước khi biết yêu cầu về sai số cho phép định trước ε • Không cần tính đạo hàm Nhược điểm: • Chậm hội tụ • Các xấp xỉ tốt trung gian có thể bị loại bỏ
lãng phí Các phương pháp “bủa vây” 15 CÔNG THỨC: = f( a ) f( a ) y f( x )  fb( )⋅( b − a ) f( c ) c= b −  fb()()− fa  = ∗ = x0 b x x c b fx()()⋅ x − x 1  = − 0 0k− 1 = x x xk x 0 a x1 c 2 ∗ x= a 2  ()()− x 0  fx0 fx k − 1 y= f( x ) f( c ) f( b ) (5) f( b ) x= b x= a f()() a⋅ fc > 0 ⇒  0 f()() a⋅ fc < 0 ⇒  0 Nếu = Nếu = x1 c x1 c Các phương pháp “bủa vây” 16 Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 trong khoảng [a, b] bằng pp vị trí sai cho đến khi sai số ước lượng của nghiệm nhỏ hơn ε=0.001 fxe( ) =−−0.2x e− 0.8 x 2;[ ab ,] = [ 2,6 ] Các phương pháp “bủa vây” 17 MATLAB ( ) =−−0.2x− 0.8 x [ ] = [ ] x=2:0.01:6 fxe e2; ab , 2,6 f=exp(0.2*x)-exp(-0.8*x)-2 plot(x,f, '-b' ,'linewidth' ,2),grid on 1.31189 1.5 1 0.5 = 0 x1 c −0.08988 -0.5 x2 x0 -1 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 In ra Vẽ tay Các phương pháp “bủa vây” 18 fa( )⋅ b − fb( ) ⋅ a c = fa()()− fb Nếu f(c)=0 thì dừng l ại Còn n ếu f(a)* f(c)<0 thì Cỡ_b ước = b – c b=c Còn l ại (tức là f(a)* f(c)>0) thì Cỡ_b ước = c – a a=c Kết thúc N ếu Các phương pháp “bủa vây” 19 f( x ) Khi đoạn thẳng nối 2 điểm đầu và cuối trên A khoảng [a,b] của hàm số cắt với đồ thị hàm số f(x) tại 1 điểm C, thì khi C b này điểm x0 sẽ có khẳ a x năng không cố định là a hay b mà sẽ hoán đổi liên tục, tuy nhiên bài toán sẽ không hội tụ B mà phân ly. Các phương pháp “bủa vây” 20 Có nhiều tình huống hàm số mà tốc độ hội tụ của nghiệm theo phương pháp vị trí sai là rất chậm Các phương pháp mở 21 y= f( x ) Biến đổi phương trình f(x)=0 thành phương trình có dạng: x= g( x ) (6) = () xi+1 g x i (7) y= x Công thức (7) cho phép dự đoán được điểm tìm y= g( x ) kiếm nghiệm tiếp theo xi+1, khi biết được điểm tìm kiếm trước đó xi. Các phương pháp mở 22 Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 bằng pp vòng lặp điểm cố định đơn giản với điểm khởi đầu x0 = 1 cho đến khi sai số ước lượng của nghiệm nhỏ hơn ε=0.001 ( ) =−0.2x− 0.8 x − = fxe e2; x 0 1 fx( ) = e0.2x − e − 0.8 x −2 = 0 ⇔e0.2x = e − 0.8 x + 2 ⇔0.2x = ln() e −0.8 x + 2 ⇔xgx =() =5ln() e −0.8 x + 2 Các phương pháp mở 23 i x g(x ) Δx − i i i x= gx( ) =5ln( e 0.8 xi + 2 ) i+1 i 0 1 4,479070474 - = 1 x0 1 4,479070474 3,534720499 3,479070474 ∆ = − 2 3,534720499 3,611452348 0,944349975 xi x i x i −1 3 3,611452348 3,602894367 0,076731849 4 3,602894367 3,603823736 0,008557981 Excel 5 3,603823736 3,60372251 0,000929369 Các phương pháp mở 24 g( x) =5ln( e −0.8 x + 2 ) Minh hoạ fx( ) = e0.2x − e − 0.8 x −2 = 0 ⇔xgx =() =5ln() e −0.8 x + 2 Các phương pháp mở 25 x x =1 + 2 x g() x =1 + 2 xi x+ = g() x =1 + i1 i 2 1 x = 0 10 26 Hội tụ Phân kỳ Mô hình đơn điệu Mô hình xoắn ốc 27 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý • Có thể có nhiều hơn một dạng hàm g(x) có thể được sử dụng, hoặc cũng có thể không có một hàm g(x) để sử dụng phương pháp vọng lặp điểm cố định • Trong trường hợp có nhiều nghiệm, một hàm lặp có thể mang lại một nghiệm, trong khi một hàm khác mang lại các nghiệm khác • Có thể xác định trước sự hội tụ hay phân kỳ cho một hàm g(x) Phương pháp lặp điểm cố định hội tụ nếu, trong vùng lân cận của điểm cố định, đạo hàm của g(x) có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 (còn được gọi là liên tục Lipschitz): g′( x) <1 (8) 28 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ Khảo sát các phương án khác nhau của hàm g(x) của phương trình f(x)=0 trên đoạn [1;2] f( x) = xe0.5 x +1.2 x − 5 = 0 Do thi ham f(x)=x*exp(0.5*x)+1.2*x-5 MATLAB 2.5 2 f = @(x) (x*exp(0.5*x)+1.2*x-5); 1.5 fplot(f, [1, 2], 'm-','Linewidth' ,2) 1 title( 'Do thi ham 0.5 f(x)=x*exp(0.5*x)+1.2*x-5' ) f(x) 0 xlabel('x' ),ylabel('f(x)' ),grid on -0.5 -1 -1.5 -2 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Trong khoảng [1;2] có nghiệm x 29 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp) Phương án 1: 5− xe 0.5 x 25 5 fxxe()()=0.5x +−=⇔=1.2 x 5 0 xgx = =− xe 0.5 x 1 1.2 6 6 5x  5  x ⇒ gx′() =− e0.5x + e 0.5 x  =− e 0.5 x 1 + 1 6 2  6  2    ′() =−50.5⋅ 1 + 1 =− g1 1 e  1  2.0609  ′() > 6  2  g1 1 1 Không thoả mãn ⇒ ⇒  ′ điều kiện hội tụ 50.5⋅ 2  2   g ()2> 1 g′()2=− e  1 +  =− 4.5305  1  1 6 2  30 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp) Phương án 1: i x i g(x i ) Δx i 0 1 2,792732274 - − 0.5 xi 1 2,792732274 -5,236673912 1,792732274 5 xi e x+ = g() x = i1 1 i 1.2 2 -5,236673912 4,484899506 8,029406187 = 3 4,484899506 -31,02623076 9,721573418 x0 1 4 -31,02623076 4,166671401 35,51113027 ∆x = x − x − i i i 1 5 4,166671401 -23,71952477 35,19290216 6 -23,71952477 4,166806399 27,88619617 7 4,166806399 -23,72231067 27,88633117 8 -23,72231067 4,16680622 27,88911707 9 4,16680622 -23,72230699 27,88911689 Excel 10 -23,72230699 4,166806221 27,88911321 11 4,166806221 -23,722307 27,88911321 Không Hội tụ 31 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp) Phương án 1: − 0.5 xi 5 xi e x+ = g() x = i1 1 i 1.2 = x0 1 ∆ = − xi x i x i −1 32 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp) Phương án 2: 5 fxxe()()=0.5 x +1.2 x −=⇔= 5 0 xgx = 2 e0.5 x +1.2 −5e0.5 x ⇒ ′ () = g2 x 2 2()e0.5 x + 1.2  − 0.5⋅ 1 ′ () =5e = − g2 1 2 0.507 9 ()0.5⋅ 1 +  ′ () < Thoả mãn điều kiện  2e 1 . 2  g2 1 1 ⇒ ⇒  hội tụ −5e0.5⋅ 2 g′ ()2< 1 ′ () = = −   2 g2 2 0.44 26  0.5⋅ 2 + 2  2()e 1.2 33 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp) Phương án 2: i x i g(x i ) Δx i 0 1 1,755173471 - 1 1,755173471 1,386928472 0,755173471 =() = 5 xi+1 g 2 x i 0.5 x 2 1,386928472 1,562190388 0,368244998 e i +1.2 = 3 1,562190388 1,477601318 0,175261915 x0 1 4 1,477601318 1,518177159 0,084589069 ∆x = x − x i i i −1 5 1,518177159 1,498653502 0,040575841 6 1,498653502 1,508033948 0,019523657 7 1,508033948 1,503523785 0,009380446 8 1,503523785 1,505691561 0,004510163 9 1,505691561 1,504649466 0,002167776 Excel 10 1,504649466 1,505150383 0,001042095 11 1,505150383 1,504909592 0,000500917 Hội tụ 34 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp) Phương án 2: =() = 5 xi+1 g 2 x i e0.5 xi +1.2 = x0 1 ∆ = − xi x i x i −1 35 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp) Phương án 3: 5− 1.2 x fxxe()()=0.5 x +1.2 x −=⇔= 5 0 xgx = 3 e0.5 x −3.7 + 0.6 x ⇒ g′ () x = 3 e0.5 x − + ⋅  ′ () =3.7 0.6 1 = − g3 1 0.5⋅ 1 1.8802  ′ () > e  g3 1 1 Không thoả mãn ⇒ ⇒  −3.7 + 0.6 ⋅ 2 g′ ()2< 1 điều kiện hội tụ g′ ()2 = = −0.9197   3  3 e0.5⋅ 2 36 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp) Phương án 3: i x i g(x i ) Δx i 0 1 2,304816507 - 5− 1.2 x =() = i 1 2,304816507 0,705734628 1,304816507 xi+1 g 3 x i 0.5 x e i 2 0,705734628 2,918273491 1,599081879 = 3 x0 1 2,918273491 0,348207078 2,212538864 ∆ = − 4 0,348207078 3,849969052 2,570066413 xi x i x i −1 5 3,849969052 0,055439063 3,501761974 6 0,055439063 4,798597541 3,79452999 7 4,798597541 -0,068841227 4,743158478 8 -0,068841227 5,260601738 4,867438769 9 5,260601738 -0,094590526 5,329442965 Excel 10 -0,094590526 5,361163658 5,355192264 11 5,361163658 -0,098221013 5,455754184 Phân kỳ 37 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp) Phương án 3: 5− 1.2 x =() = i xi+1 g 3 x i e0.5 xi = x0 1 ∆ = − xi x i x i −1 38 Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý Bước 1: Chọn g(x) = x + f(x) hoặc g(x) = x – f(x) Bước 2: Tính đạo hàm g’ (x) = 1 + f’ (x) hoặc g’ (x) = 1 – f’ (x) Bước 3: Vẽ đồ thị hàm g’( x) và so sánh tương quan của đồ thị đó so với 2 đường y=±1 trong khoảng [a;b] Bước 4: Từ đó điều chỉnh hàm g’ (x) = 1 ± α.f’(x) để sao cho đồ thị hàm g’( x) sẽ nằm trọn trong vùng y=±1 y y =1 Từ đó chọn: a b x g(x) = x ± α.f(x) y = − 1 Các phương pháp mở 39 y= f( x ) Xuất phát từ 1 điểm x0 đầu tiên, kẻ đường thẳng đứng cắt với đường cong y tại 1 điểm. Dựng tiếp tuyến với y tại điểm đó. Đường tiếp tuyến sẽ cắt trục hoành tại điểm x1. Với điểm x ta lại làm như ở bước x lúc f( x ) 1 0 0 đầu. Cứ như vậy đến khi nào cách biệt giữa xi+1 và xi nhỏ hơn một sai số ϕ 0 cho phép. () f x i x+ = x − (9) ′( ) = ϕ i1 i f′() x f x 0tan 0 i Các phương pháp mở Bước 1: Cho x , ε f( x ) 0 Bước 2: Tính x0 ; ′ x0 Tiếp tuyến Tích luỹ vòng lặp: xi = x0 – x0 / ′ x0 Nếu | xi – x0| > ε thì: x0 = xi đến bước 2 còn không thì đến bước 3 Bước 3: Hội tụ. In kết quả nghiệm x* = xi; f(x*) = f(xi) 40 Các phương pháp mở 41 Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 bằng phương pháp Newton- Raphson với x0 = 15, ε=0.001 ( ) =0.2x −− 0.8 x − = fxe e2; x 0 15 0.2x− 0.8 x i x i f(x i ) f'(x i ) Δx i  fx′( ) =0.2 e + 0.8 e  0 15 18,08553078 4,0171123 -  f() x x= x − i 1  i+1 i ′() 10,49787772 6,162479222 1,632721094 4,502122278  f x i 2 6,723516476 1,832434607 0,771100215 3,774361246 3 4,347126779 0,354661317 0,501810569 2,376389697 Excel 4 3,640363432 0,016734045 0,457697892 0,706763347 5 3,603802098 3,17577E-05 0,45597063 0,036561334 6 3,603732449 1,12594E-10 0,455967397 6,96487E-05 Các phương pháp mở 42 f( x ) 18.08553 6.16248 1.83243 0.35466 x x4 x3 x2 1 Các phương pháp mở 43 f( x ) f( x ) f( x ) f( x ) Các phương pháp mở 44 Xuất phát từ 2 điểm x , x y 1 2 y= f( x ) tương đối gần nhau trên trục x, ( ) ta xác định 2 điểm tương ứng f x 1 trên đồ thị là f(x1) và f(x2). Nối chúng tạo thành dây cung cắt ( ) trục x tại điểm x . Tiếp tục xác f x 2 3 định điểm tương ứng của x3 f( x ) trên đồ thị là f(x3). Lại vẽ dây Nghiệm 3 cung nối 2 điểm f(x2) và f(x3) cắt f( x ) 4 trục x tại điểm x4. Tiếp tục như x vậy đến khi thu được điểm gần x5 x4 x3 x2 x1 với nghiệm của phương trình. 45 Phương pháp Newton Phương pháp dây cung y y= f( x ) y= f( x ) ( ) f x 1 ( ) f( x ) f x 0 2 ( ) ϕ f x 3 0 Nghiệm f( x ) 4 x ′( ) = ϕ x5 x4 x3 x2 x1 f x 0tan 0 f() x () x= x − i f x i i+1 i − Cần 2 điểm x= x − fx()() fx − i+1 i ′() i i 1 ban đầu f x i − xi x i −1 (10) 46 Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 trong khoảng bằng phương pháp dây cung với x1 = 15, x2 = 14, ε=0.001 ( ) =−−0.2x− 0.8 x = = fxee2; x1 15; x 2 14 i x i f(x i ) Δx i f( x ) x= x − i 1 15 18,08553078 - i+1 i ()()− fxi fx i −1 2 14 14,4446331 1 − 3 10,03267261 5,437171342 3,96732739 xi x i −1 = = 4 7,63787601 2,604772359 2,3947966 x115; x 2 14 5 5,435537982 0,952756614 2,202338028 6 4,165397472 0,264681654 1,27014051 7 3,676812781 0,033449117 0,48858469 Excel 8 3,606136194 0,001096164 0,070676587 9 3,603741572 4,15972E-06 0,002394622 10 3,60373245 5,09302E-10 9,12172E-06 Các phương pháp mở 47 Ví dụ các bài toán kỹ thuật đưa về giải Phương trình 48 Cho cơ cấu bốn khâu bản lề với kích thước các khâu AB =r2, BC =r3, CD=r4, khoảng B cách 2 trục A và D là r1.Ở C một thời điểm làm việc bất kỳ, nếu biết góc α, hãy tính góc φ=θ2, θ3, θ4. A D Chiếu (11) lên 2 trục x và y: = + + rcosθ+ r cos θ + r cos θ −= r 0 AD AB BC CD 2 23 34 41 ⇔ = + +  φ α+ π r1 r 2 r 3 r 4  (12) rsinθ+ r sin θ + r sin θ = 0 ⇔r + r + r − r = 0  2 23 34 4 2 3 4 1 (11)  φ α+ π Ta cần khử ẩn θ3 để đưa về một phương trình chỉ có α và φ: 49 rcosθ= rr − cos φ + r cos α ()12 ⇔ 3 312 4  θ= − φ + α r332sin r sin r 4 sin ()θ2 =+22 2 φα + 2 2 − φ + α − φα  r3312cos rr cos r 4 cos 2 rr 12 cos 2 rr 14 cos 2 rr 24 cos cos ⇔ +  ()θ2 =2 2 φ + 2 2 α − φα  r332sin r sin r 4 sin 2 rr 24 sinsin ⇔=++−2 2 2 2 φ + α − ()α− φ rrrr31242 rr 12 cos 2 rr 14 cos 2r2 r 4 cos ⇔αφ − +++−−2 2 2 2 () αφ −= 2rr14 cos 2 rr 12 cos() rrrr 1243 2 rr 24 cos 0 r r r2+ r 2 + r 2 − r 2 ⇔1cosαφ −+ 1 cos1 2 4 3 −−= cos() αφ 0 r2 r 42 rr 24  Rcosα− R cos φ +− R cos() αφ −= 0  1 2 3 ⇔  (13)  r2+ r 2 + r 2 − r 2 =r1 = r 1 = 1 2 4 3  R1; R 2 ; R 3  r2 r 42 rr 24 = = = = 50 Xét trường hợp cụ thể: r110; r 2 6; r 3 8; r 4 4 5 5 11 5 5 11 ⇒ RRR=; = ; = ⇒ () 13⇔ cosα − cos φ +− cos() αφ −= 0 (14) 1326 2 3 326 Với α=π/3: 5π 5 11  π ()14⇔ cos − cosφ +− cos  −= φ 0 f = @(x) ((5/2)*cos(x)+cos((1/3)*pi-x)-8/3); 332 6  3 fplot(f, [0, 2*pi], 'm-','Linewidth' ,2) title( 'Do thi ham f(x)=(5/2)*cos(x)+cos((1/3)*pi- 5π  8 x)-8/3' ) ⇔cosφ + cos −−= φ  0 (15) xlabel('x' ),ylabel('f(x)' ),grid on 2 3  3 Dùng các phương pháp bủa vây tìm nghiệm trong khoảng [0;1], hoặc các f(x) phương pháp mở với điểm khởi đầu là x0=1 Hệ phương trình đại số phi tuyến 51  f( x, x , , x ) = 0  1 1 2 n Tìm nghiệm (x ,x ,,x ) của hệ () = 1 2 n  f2 x 1, x 2 , , xn 0 (16) phương trình sau:    () =  fn x1, x 2 , , x n 0 2  ( ) =2 + −= x+ xy = 10  fxx112, x 1 xx 12 100 ⇔  +=2 () =+−=2 yxy3 57 fxx212 , x 2 3 xx 12 570 Hệ phương trình đại số phi tuyến 52 Hệ phương trình đại số phi tuyến 53 Biến đổi hệ phương trình (11) thành hệ phương trình có dạng:  = fxx(),,, x= 0  xgxx = () ,,, x x1,i+ 1 gxx 1( 1, ii, 2, , , x ni , ) 112n  1112 n  fxx(),,,0 x=  xgxx =() ,,, x x+ = gxx() ,,, x 212n ⇔  2212n⇒  2,121,2, i ii ni , (17)    fxx(),,, x= 0  xgxx = () ,,, x  = () n1 2 n  nn1 2 n xni,1+ gxx n 1,2, i, i , , x ni ,  − 2  10 − x2 2 10 x1 1, i  fxx(),= x + xx − 100 = x = x + = 112 1 12 ⇔  1 1,i 1  x2 ⇒  x2, i  fxx(),=+ x 3 xx 2 −= 570  212 2 12 = − 2  = − 2 x257 3 x 1 x 2 x2,1i+ 57 3 x 1,2, i x i Hệ phương trình đại số phi tuyến 54 Điều kiện 1: Các hàm số sau liên tục xung quanh điểm nghiệm: ∂∂gg ∂∂∂ ggg ∂ g ∂g ∂ g ∂ g g,,,, g g 11 , ,, 122 , , ,, 2 ,,n , n ,, n 1 2 n ∂∂ ∂∂∂ ∂ ∂∂ ∂ xx12 xxxn 12 x n xx 12 x n  ∂g ∂ g ∂ g  1+ 1 ++ 1 < 1 Điều kiện 2: ∂ ∂ ∂  x1 x 2 x n  ∂g ∂ g ∂ g  2+ 2 ++ 2 < 1 ∂ ∂ ∂ (18)  x1 x 2 x n    ∂g ∂ g ∂ g  n+ n ++ n < 1 ∂ ∂ ∂  x1 x 2 x n Điều kiện 3: Các giá trị ban đầu tương đối gần với nghiệm: x1,1, x 2,1 , , x n ,1 Hệ phương trình đại số phi tuyến 55 1) Chuẩn hoá sai số ước lượng của nghiệm: ∆ = −2 + − 2 + + − 2 < ε xi()()()xx1, ii 1,1− xx 2, ii 2,1 − xx nini , ,1 − (19) 2) Chuẩn hoá sai số ước lượng của hàm số: n ∆ = ()() − 2 < ε fi∑  fxx kii1,,,, 2, x niki , fxx 1,12,1− ,,, i − x ni ,1 −  k =1 (20) Hệ phương trình đại số phi tuyến 56 Giải hệ phương trình sau với điểm khởi đầu. Thực hiện 10 vòng lặp. Tính chuẩn hoá sai số ước lượng của véctơ nghiệm và của véctơ hàm số. ( ) =−( −=)  fxy1 , 2 x sin 0.5 xy 0  x =()()x, y = 2,2 ()()=− += 0 0 0  fxy2 , 2 y cos0.5 xy 0 1) Bước 1: biến đổi hệ phương trình  sin 0.5 ( x− y ) x= g() xy, =  1 2   cos0.5 ()x+ y y= g() xy, =  2 2 Các hàm g1, g2 xác đinh và liên tục tại điểm khởi đầu Hệ phương trình đại số phi tuyến 57 f1 = @(x,y) 2*x - sin(0.5*(x - y)); f2 = @(x,y) 2*y - cos(0.5*(x - y)); fimplicit(f1,[-5 5 -5 5], 'm-','Linewidth' ,2),grid on hold on fimplicit(f2,[-5 5 -5 5], 'k-','Linewidth' ,2),grid on Hệ phương trình đại số phi tuyến 58 2) Bước 2: Tính các đạo hàm riêng: ∂g ∂ g  cos0.5( xy−) cos0.5 ( xy − )  1 1 − ∂x ∂ y      = 4 4  ∂ ∂ + + g2 g 2  sin0.5()xy sin0.5 () xy    − −  ∂x ∂ y  4 4  Kiểm tra điều kiện 2: ∂g ∂ g  1+ 1  = 0.5 < 1 ∂ ∂ x y  = x0 ()2,2 ∂g ∂ g  2+ 2 = 0.4546487134 < 1 ∂ ∂  x y  = x0 ()2,2 Hệ phương trình đại số phi tuyến 59 3) Bước 3: Các vòng lặp  sin 0.5 ( x− y ) i x i y i f 1 (x i ,y i ) f 2 (x i ,y i ) ||Δx i || || f (x i )|| = = i i x+ gxy(), i1 1 i i 2 1 2 2 4 4,416146837 - -  2  cos0.5 ()x+ y 0 -0,208073418 -0,103849135 -1,410739898 2,979192545 7,12700405 =() = i i 3 0,051924567 0,497296531 0,32469921 0,032062182 0,707278535 1,505101832 yi+1 gxy 2 i, i  2 4 -0,110425038 0,481265439 0,070698397 -0,02032799 0,163139174 0,259347534 ()()= 5 -0,145774236 0,491429435 0,021690594 -0,002243578 0,036781417 0,05223802 x0, y 0 2,2  6 -0,156619533 0,492551224 0,005676776 -0,000824423 0,010903159 0,016076578  7 -0,159457921 0,492963435 0,00154001 -0,000202075 0,002868164 0,004183318 8 -0,160227926 0,493064473 0,000412523 -5,54628E-05 0,000776605 0,001136979 9 -0,160434187 0,493092204 0,000110808 -1,47829E-05 0,000208117 0,000304445 10 -0,160489591 0,493099596 2,97362E-05 -3,97426E-06 5,58948E-05 8,17891E-05 Excel Hệ phương trình đại số phi tuyến 6060 Biến đổi hệ phương trình (11) thành hệ phương trình có dạng: x= gxx( , , , x )  1,i+ 1 1 1, ii 2, ni ,  = fxx(),,, x= 0  xgxx = () ,,, x x2,1i+ gxx 2() 1,12, i + , i , , x ni , 112n  1112 n  fxx(),,,0 x=  xgxx =() ,,, x x+ = gxxx() + ,,,, + x 212n ⇔  2 212n⇒  3,1 i 21,12,13, iiini , (21) =   x4,1i+ g 2 ( xxxx1,1i+, 2,1 i + , 3,1 i + ,,, 4, i x ni , ) fxx(),,, x= 0  xgxx = () ,,, x  n1 2 n  nn1 2 n   = ( ) xni,1+ gxxx ni 1,12,13,1 +++, i , i ,, x nini −+ 1,1 , x ,  − 2  10 − x2 2 10 x1 1, i  fxx(),= x + xx −= 10 0 x = x + = 112 1 12 ⇔  1 1,i 1  x2 ⇒  x2, i  fxx(),=+ x 3 xx 2 −= 570  212 2 12 = − 2  = − 2 x257 3 x 1 x 2 x2,1i+57 3 x 1,12, i + x i Hệ phương trình đại số phi tuyến 61 Giải hệ phương trình sau với điểm khởi đầu. Thực hiện 10 vòng lặp. Tính chuẩn hoá sai số ước lượng của véctơ nghiệm và của véctơ hàm số. ( ) =−( −=)  fxy1 , 2 x sin 0.5 xy 0  x =()()x, y = 2,2 ()()=− += 0 0 0  fxy2 , 2 y cos0.5 xy 0 Các bước 1 và 2 giống hệt như ở phương pháp vòng lặp điểm cố định đơn giản Hệ phương trình đại số phi tuyến 62 3) Bước 3: Các vòng lặp i x i y i f 1 (x i ,y i ) f 2 (x i ,y i ) ||Δx i || || f (x i )||  sin 0.5 ( x− y ) =() = i i 1 2 2 4 4,416146837 - - xi+1 gxy 1 i, i  2 2 0 0,270151153 0,134665199 -0,450588851 2,644310313 6,214976216  cos0.5 ()x+ y 3 -0,0673326 0,497431242 0,143978821 0,017896614 0,237044127 0,468578034 =() = i+1 i yi+1 gx 2 i + 1 , y i 4 -0,13932201 0,492006252 0,031803836 -0,000479473 0,07219353 0,113670171  2 5 -0,155223928 0,492927839 0,007985054 7,7332E-05 0,015928601 0,02382529 ()()x, y = 2,2  0 0 6 -0,159216455 0,493055928 0,001952382 1,06387E-05 0,003994581 0,00603304  7 -0,160192646 0,493091097 0,000478983 2,91331E-06 0,000976824 0,001473419 8 -0,160432138 0,493099557 0,000117418 7,00315E-07 0,000239641 0,000361572 9 -0,160490847 0,493101636 2,87859E-05 1,72137E-07 5,87458E-05 8,86337E-05 10 -0,16050524 0,493102146 7,0569E-06 4,21754E-08 1,4402E-05 2,17294E-05 Excel Phương pháp vòng lặp Gauss-Seidel có tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp vòng lặp điểm cố định đơn giản Hệ phương trình đại số phi tuyến 63 ( ) =  f1 x, y 0  x = ()x, y (22) () = 0 0 0  f2 x, y 0 Khai triển dãy Taylor bậc 1 cho hàm 2 biến. Với i là số vòng lặp:  ∂( ) ∂ ( ) fxy1 , fxy1 ,  fxy()()()+, += fxyxx , +− + +−() yy+ 1ii 1 1 1 iiii 1 ∂x ii1 ∂ y  ≅ ()xy, () xy,  0 i i i i  ∂fxy(), ∂ fxy() , fxy()()(),= fxyxx , +−2 +−() yy 2  2ii+ 1 + 1 2 iiii + 1 ∂ ii+ 1 ∂ x() y ()  ≅0 xi, y i xi, y i ∂() ∂() ∂ () ∂ () fxy1, fxy 1 , fxy1 , f1 x, y  ⋅+x+ ⋅=− yfxy + (), + ⋅x + ⋅ y ∂xi1 ∂ y i 1 1 ii ∂ x i∂y i  ()x, y() x , y ()x ,y() x , y ⇔  i i i i ii ii ∂∂fxy(),, fxy() ∂∂ fxy() ,, fxy() 2⋅+x 2 ⋅=− yfxy(), +2 ⋅+ x 2 ⋅ y  ∂∂i+1 iii + 1 2 ∂∂ i i xy() () xy() ( )  xi,, y i xi y i xyi, i xyi , i Hệ phương trình đại số phi tuyến 64 Giải hệ 2 phương trình tuyến tính với ẩn xk+1 và yk+1 ′  ∂fxy( ,) ∂ fxy( , ) f1 f 1 y  fxy(),2 − fxy() , 1 1 ii∂2 ii ∂ f f ′  y() y () 2 2 y = − xyi, i xyi, i xi+1 x i  ∂fxy(), ∂ fxy() , ∂ fxy() , ∂ fxy() ,    1⋅ 2 − 1 ⋅ 2   ∂x ∂ y ∂ y ∂ x    ()x, y ⇔ i i  ′  ∂fxy(), ∂ fxy() , f1x f 1 fxy(),1 − fxy() , 2  2 ii∂1 ii ∂ ′ x() x () f2x f 2  xyi, i xyi, i y+ = y −  i1 i  ∂fxy(), ∂ fxy() , ∂ fxy() , ∂ fxy() ,    1⋅ 2 − 1 ⋅ 2  ∂x ∂ y ∂ y ∂ x ′ ′    ()x, y f f  i i () = 1x 1 y det J ′ ′ f2x f 2 y Hệ phương trình đại số phi tuyến 65 x= x + h i+1 i i (23)  = + yi+1 y i k i Trong đó: ∂f( x, y ) ′ ′ 1 1 f1 f 1 y f = h = − 1x ∂x i ′ ()x, y det ()J f2 f 2 y i i ∂ () ′ f1 x, y 1 f1x f 1 ′ ′ ′ = = − f1x f 1 y f1y ki () = ∂y ′ det J ()x, y det ()J f2x f 2 ′ ′ i i f2x f 2 y ∂ () f′ f ′  f2 x, y 1x 1 y f ′ = J =   2x ∂ f′ f ′ x () 2x 2 y  xi, y i f= fxy(), ∂f() x, y 1 1 i i f ′ = 2 2y ∂ = () y () f2 f 2 xyi, i xi, y i Hệ phương trình đại số phi tuyến 66 Giải hệ phương trình sau với điểm khởi đầu. Thực hiện 10 vòng lặp. Tính chuẩn hoá sai số ước lượng của véctơ nghiệm và của véctơ hàm số. ( ) =−( −=)  fxy1 , 2 x sin 0.5 xy 0  x =()()x, y = 2,2 ()()=− += 0 0 0  fxy2 , 2 y cos0.5 xy 0 1) Bước 1: Tính đạo hàm riêng của các hàm số ∂fxy( ,) cos0.5( xy −) cos0.5 ( xy − ) f ′ =1 =−2 =− 2 i i 1x ∂x 2 2 ∂fxy(), sin 0.5() xy + sin 0.5 () xy + f ′ =2 = = i i 2x ∂x 2 2 ∂fxy( ,) cos0.5( xy −) cos0.5 ( xy − ) f ′ =1 = = i i 1y ∂y 2 2 ∂fxy(), sin0.5() xy + sin0.5 () xy + f ′ =2 =+2 =+ 2 i i 2y ∂y 2 2 2) Bước 2: Lập bảng tính toán theo các công thức 67 fx=2 − sin 0.5 ( xy − ) f′ f ′ 1 i i i () = 1x 1 y det J ′ ′ fy=2 − cos0.5 () xy + f2x f 2 y 2 i i i ∆=x ()()xx −2 +− yy 2 ′ = − − ′ = + i ii−1 ii − 1 f2 0.5cos0.5 () x y 1 f1 f 1 y x+ x h 1x i i h = − i1 i i i ′  2 f′ =0.5sin 0.5 () x + y det ()J f2 f 2 y = + 2 2x i i y+ y k ∆ =()() −  i1 i i fi∑ fxy kii, fx kii−1 , y − 1  f′ =0.5cos0.5 () x − y 1 f′ f k =1 1y i i k = − 1x 1 i () ′ ′ = +() + det J f2x f 2 f2y2 0.5sin 0.5 x i y i i x i y i f 1 f 2 f' 1x f' 1y f' 2x f' 2y det(J) h i k i ||Δx i || || f (x i )|| 1 2 2 4 4,4161468 1,5 0,5 0,4546487 2,4546487 3,4546487 -2,20298 -1,391061 - - 2 -0,2029798 0,6089395 -0,011059 0,2384088 1,5406381 0,4593619 0,1007944 2,1007944 3,1902628 0,041611 -0,115481 2,605411575 5,791553353 3 -0,1613692 0,493458 -0,001143 0,0006697 1,5265614 0,4734386 0,0826412 2,0826412 3,1401541 0,000859 -0,000356 0,1227494 0,23794572 4 -0,16051 0,4931023 -5,93E-08 3,127E-08 1,5264638 0,4735362 0,0827654 2,0827654 3,1400735 4,41E-08 -1,68E-08 0,000929986 0,001325003 5 -0,1605099 0,4931023 0 0 1,5264638 0,4735362 0,0827654 2,0827654 3,1400735 0 0 4,71321E-08 6,70414E-08 6 -0,1605099 0,4931023 0 0 1,5264638 0,4735362 0,0827654 2,0827654 3,1400735 0 0 0 0 7 -0,1605099 0,4931023 0 0 1,5264638 0,4735362 0,0827654 2,0827654 3,1400735 0 0 0 0 8 -0,1605099 0,4931023 0 0 1,5264638 0,4735362 0,0827654 2,0827654 3,1400735 0 0 0 0 9 -0,1605099 0,4931023 0 0 1,5264638 0,4735362 0,0827654 2,0827654 3,1400735 0 0 0 0 10 -0,1605099 0,4931023 0 0 1,5264638 0,4735362 0,0827654 2,0827654 3,1400735 0 0 0 0 Excel Hệ phương trình đại số phi tuyến 68 f() x Với phương trình: x= x − i i+1 i ′() f x i = − −1 () xi+1 xJfx ii i Với hệ phương trình: n× n (24) n×1 n × 1 n×1 Trong đó: ∂f ∂ f ∂ f  1 1 1 ∂x ∂ x ∂ x  1 2 n ′ ′ ′  ( )  x1,i+ 1   x 1, i   f1x f 1 x f 1 x f1 xi    ∂ ∂ ∂  1 2 n    f2 f 2 f 2 ′ ′ ′ x2,1i+   x 2, i   f2xf2 x f 2 x  f (x )  ===∂ ∂ ∂ = 1 2 n () = 2 i xi+1  ; x i  ; J x1 x 2 x n ;f x i   n× n     n×1⋮ n × 1 ⋮ ⋮⋮⋱⋮n×1 ⋮    ⋮ ⋮⋱⋮         ′ ′ ′    xni,+ 1   x ni ,   fnx f nx⋯ f nx f (x ) ∂f ∂ f ∂ f 1 2 n  ()x, x , , x n i  n n⋯ n  1,i 2, i ni , ∂ ∂ ∂  x1 x 2 x n  ()x1,i, x 2, i , , x ni , Hệ phương trình đại số phi tuyến 69 ( ) =  f1 xyz, , 0  = − −1 () () = = () xi+1 xJfx ii i  fxyz2 ,,0x0 xyz0 ,, 0 0 3× 3 31× 31 × 3× 1  () =  f3 xyz, , 0 ( )  x   x f′ f ′ f ′  f1 xi, y i , z i i+1 i 1x 1 y 1 z   ===   ′ ′ ′  () = () Trong đó: xiiii+11y + ;; xJ y fff 222 xyz ; fx i  fxyz 2 iii ,,  3× 3   31× 31 × 3× 1   z z f′ f ′ f ′  () i+1   i 3x 3 y 3 z  f3 xi, yz i , i ()xi, y i , z i       detJ1x det  J 2 x det  J 3 x  22×  22 ×  22 × (25) x+   x   f  x+ = x + h i1 i     1 i1 i i  =  − 1  ⇔  = + yii+1   y detJ1 yyy det  J 2 det  J 3  f2   yi+ 1 yk i i    det ()J 22×  22 ×  22 ×     = + z+   z 3× 3 f  z+ z l i1 i      3 i1 i i detJ1z det  J 2 z det  J 3 z   22×  22 × 2× 2   3 3   3  ∑fkdetJ kx ∑ fkdet J ky ∑ f k det J kz =−k =1 2× 2 =−k=1 2× 2  =− k = 1 2× 2 hi; k i ; l i det()J det() J det () J 33× 33 × 33 × ff′′   ff ′′  f′ f ′  70 =23yy = 23 zz = 2x 3 x J1x  J 1 y   J 1 z   ′′ ′′ × ′ ′ 2× 2 ff23zz 2× 2  ff 23 xx  2 2 f2y f 3 y  ff′′   ff ′′  f′ f ′  =31yy = 31 zz = 3x 1 x J2x  J 2 y   J 2 z   ′′ ′′ × ′ ′ 2× 2 ff31zz 2× 2  ff 31 xx  2 2 f3y f 1 y   f′ f ′  f′ f ′  f′ f ′  = 1y 2 y =1z 2 z = 1x 2 x det ( J ) J3x   J3y  J 3 z   3× 3 × ′ ′ ′ ′ × ′ ′ 2 2  f1z f 2 z 2× 2 f1x f 2 x  2 2 f1y f 2 y  ∂f() xyz, , f′ =k ; k = 1,2,3 kx ∂x ()xi, y i , z i ∂f() xyz, , f′ =k ; k = 1,2,3 ky ∂y ()xi, y i , z i ∂f() xyz, , f′ =k ; k = 1,2,3 kz ∂z ()xi, y i , z i Hệ phương trình đại số phi tuyến 71 Giải hệ phương trình sau với điểm khởi đầu. Thực hiện 10 vòng lặp cho mỗi phương pháp. Tính chuẩn hoá sai số ước lượng của véctơ nghiệm và của véctơ hàm số tại mỗi vòng lặp.  ( ) =−2 + 2 + 2 ++ +−= fxyz1 ,, 423 x y z xy 9840 xz z  () =−−++−−+=2 2 2 =()() =  fxyz2 ,, 6 x 4 y 4 z 6 xyyzz 4 390x0 xyz0 ,, 0 0 0,3,2  () =−2 + − +−+=  fxyz3 ,, 3 y 4 xy 8 yz 92200 y z 1) Vẽ đồ thị để xem trực quan nghiệm là giao điểm của 3 bề mặt: f1 = @(x,y,z) -4*x.^2 + 2*y.^2 + 3*z.^2 + x.*y + 9*x.*z + 8*z - 4; f2 = @(x,y,z) -6*x.^2 - 4*y.^2 + 4*z.^2 + 6*x.*y - 4*y.*z - z + 39; f3 = @(x,y,z) - 3*y.^2 + 4*x.*y - 8*y.*z +9*y - 2*z + 20; MATLAB interval = [-5 5 -5 5 -5 5]; fimplicit3(f1,interval, 'FaceColor' ,'m' ,'EdgeColor' ,'k' ,'FaceAlpha' ,.9)