Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 1: Những khái niệm cơ bản - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

iản, kích thước nhỏ, mô hình tuyến tính, v.v 2. Phương pháp đồ thị: Đưa ra lời giải ở dạng đồ thị trực quan. Tuy nhiên kết quả của nó không thể đọc được một cách chính xác, và giới hạn ở các bài toán không gian 2 chiều hoặc 3 chiều 3. Phương pháp số nhưng tính bằng tay: Chậm, mất thời gian và công sức, tẻ nhạt 3 1. Giải được các bài toán phức tạp về số lượng PT, độ phi tuyến, hình học phức tạp mà không giải được bằng pp giải tích 2. Trong quá trình làm việc, ta thường xuyên sử dụng các phần mềm ứng dụng phương pháp số. Việc sử dụng tốt các phần mềm đó là dựa trên kiến thức nền cơ sở về các pp số này 3. Có nhiều vấn đề mà không thể xử lý bằng các gói phần mềm có sẵn. Nếu thành thạo phương pháp số và lập trình thì ta có thể tự thiết kế các chương trình của riêng mình để giải quyết vấn đề mà không phải mua các phần mềm đắt tiền. 4. PP số là một công cụ hiệu quả để học về máy tính và lập trình máy tính 5. PP số là một phương tiện hiệu quả để củng cố sự hiểu biết về mặt toán học. Vì mục đích của phương pháp số là đưa toán học cao cấp về các phép toán số học cơ bản Các nội dung chính trong môn học phương pháp số 4 Các nội dung chính trong môn học phương pháp số 5 Các nội dung chính trong môn học phương pháp số 6 Các nội dung chính trong môn học phương pháp số 7 Các nội dung chính trong môn học phương pháp số 8 Những nội dung sẽ học trong học phần 9 Hệ phương trình Phương trình đại số tuyến tính Sai phân số Tích phân số Trị riêng và véctơ riêng Phương trình vi phân thường Mô hình toán hoá (Mathematical Modeling) 10 Một mô hình toán học được hiểu là một công thức hoặc phương trình thể hiện các tính năng thiết yếu của một hệ thống hoặc quá trình vật lý theo thuật ngữ toán học Biến phụ thuộc = f(Các biến độc lập, Tham biến, Các hàm cưỡng bức) (1) - Biến phụ thuộc: là một đặc trưng phản ảnh ứng xử hoặc trạng thái của một hệ thống - Các biến độc lập: thường là có đơn vị, như biến thời gian, kích thước hình học mà theo đó ứng xử của hệ thống được xác định - Tham biến: các thông số phản ánh các thuộc tính (tính chất) hoặc thành phần của hệ thống (thường là không đổi) - Các hàm cưỡng bức: Là các tác nhân bên ngoài tác động vào hệ thống Định luật II – Newton: 11 m F F a F m  a  a  (2) m - a (gia tốc của vật [m/s2]) chính là biến phụ thuộc, thể hiện ứng xử của hệ thống - F (ngoại lực tác dụng vào vật [N]) chính là hàm cưỡng bức - m (khối lượng của vật [kg]) chính là một tham biến phản ảnh thuộc tính của hệ thống  Trong mô hình toán này không có các biến độc lập vì chúng ta chưa đề cập đến chuyện gia tốc phụ thuộc vào thời gian hay không gian như thế nào. Vì ở dạng đại số đơn giản, nghiệm của PT (2) có thể được lấy dễ dàng. Tuy nhiên, các mô hình toán học khác của các hiện tượng vật lý có thể phức tạp hơn nhiều và không thể được giải chính xác hoặc đòi hỏi các kỹ thuật toán học phức tạp hơn so với biến đổi đại số đơn giản. Để minh họa một mô hình phức tạp hơn thuộc loại này, đl II Newton được sử dụng để xác định vận tốc đầu cuối của một vật thể rơi tự do gần bề mặt trái đất 12 FD  m g - lực trọng trường - lực cản của không khí FU  c v t  dc F dvFF m g  c  v  v t  g v t a   DU   dt m (3) m dt m m v t v 00    t0   (phương trình vi phân) - v (vận tốc của vật [m/s]) và a (gia tốc của vật [m/s2]) chính là các biến phụ thuộc, thể hiện ứng xử của hệ thống - FD , FU (ngoại lực tác dụng vào vật [N]) chính là các hàm cưỡng bức - m (khối lượng của vật [kg]), c (hệ số cản của không khí [kg/s]), g=9,81 (gia tốc trọng trường [m/s2]) - các tham biến phản ảnh thuộc tính của hệ - t (thời gian [s]) – biến độc lập 13 g  9.81m ;  dc c 2  v t  g v t gm  t  s dt m v t 1  em (4) Số cụ thể:  c  m  68.1 kg; v t v 00     t0    c 12.5 kg  s v t 53.39 1 e0.18355t  Rất ít khi có thể thu được lời giải chính xác. 14  dc  v t  g v t dt m Theo định nghĩa đạo hàm: v t  v00  t0 dv v v v t  v t  lim ii1 t 0  dt tt 0  t tii1  t v t  v t  c ii1 g v t   i  tii1  tttii1  m c v ti11  v t i  g  v t i  t i  t i  m (5) Giá trị Giá trị Độ Cỡ mới cũ dốc bước 15 Nếu cho cỡ bước = 2, tức là: tii1  t 2; i  0,1,2,3, Ta có: t00; t 1  2; t 2  4; t 3  6; t 4  8; ; v t 0   0 t1  2   12.5 m v t1   v2  0  9.81   0  2  19.62    68.1 s t2  4   12.5 m v t2   v4  19.62  9.81   19.62  2  32.04    68.1 s t3  6   12.5 m v t3   v6  32.04  9.81   32.04  2  39.89    68.1 s Tương tự cho các điểm t tiếp theo 16 Lời giải chính xác Lời giải số  d  f t  g t dt ft  ? Giá trị Giá trị Độ Cỡ (*)  f t f0 f mới cũ dốc bước    t0   0  f ti11  f t i  g t i  t i  t i    f ti1   f t i  g t i  h i  hi t i1 t i   f t00  f 18 Các định luận bảo toàn trong kỹ thuật (6) Độ thay đổi Giá trị khi tăng Giá trị khi giảm  Tính toán các thay đổi theo thời gian (time-variable hoặc transient computation) 0 Giá trị khi tăng Giá trị khi giảm Giá trị khi tăng Giá trị khi giảm (7) Tính toán trạng thái ổn định (Steady-state computation) Mặc dù các phương trình (6) và (7) trông có vẻ đơn giản đến mức tầm thường, nhưng chúng lại thể hiện 2 cách cơ bản mà các định luật bảo toàn được sử dụng trong kỹ thuật. Về sau là mối liên hệ giữa phương pháp số và kỹ thuật. Ví dụ cho Steady-State Computation 19 Dòng chảy ống 4 + Dòng chảy ống 3 = Dòng chảy ống 1 + Dòng chảy ống 2 Dòng chảy ống 4 + 120 = 100 + 80 Dòng chảy ống 4 = 60  FFDU mg  v (8) m g  c  v c Bốn lĩnh vực kỹ thuật sử dụng định luật bảo toàn 20 Lượng Lượng Các lò vào ra Định luật phản ứng bảo toàn Chênh lệch Lượng vào Lượng ra khối lượng khối lượng theo t theo t theo t (9) Kết cấu Định luật bảo toàn động lượng (10) Tổng lực theo phương ngang (FH) = 0 Tổng lực theo phương dọc (FV) = 0 Bốn lĩnh vực kỹ thuật sử dụng định luật bảo toàn 21 Lực hướng Lực Ô tô Định luật lên Lực dx2 hướng bảo toàn hướng m  xuống động lượng 2 lên dt theo t Lực hướng theo t xuống (11) Định luật bảo toàn Tổng điện tích mỗi nút (i) = 0 điện tích (12) Định luật Ở mỗi vòng kín Mạch điện bảo toàn  iR   0 năng lượng (13) Các vấn đề kỹ thuật thực tế cần phải áp dụng PP số 22 1. Các bài toán phi tuyến và tuyến tính. Phần lớn cơ học cổ điển thường phải tuyến tính hóa các bài toán phi tuyến để thu được các lời giải giải tích tường mình. Mặc dù điều này là hợp lý, nhưng thường có thể đạt được cái nhìn sâu rộng hơn nếu các vấn đề phi tuyến được kiểm tra bằng phương pháp số. 2. Các hệ thống lớn và hệ thống nhỏ. Nếu không có máy tính, việc phân tích các hệ thống có trên ba thành phần tương tác với nhau thường là không khả thi. Với máy tính và phương pháp số, các hệ thống đa thành phần thực tế hơn có thể được thực hiện phân tích. 3. Lý tưởng và không lý tưởng. Các định luật được lý tưởng hoá có rất nhiều trong kỹ thuật. Thường thì có những lựa chọn thay thế không lý tưởng thực tế hơn nhưng đòi hỏi nhiều tính toán hơn. Các phương pháp tiếp cận số gần đúng có thể tạo điều kiện thuận lợi cho việc áp dụng vào các bài toán không lý tưởng này. Các vấn đề kỹ thuật thực tế cần phải áp dụng PP số (Tiếp23) 4. Phân tích độ nhạy. Những tính toán thủ công sẽ đòi hỏi rất nhiều thời gian và công sức để thực hiện thành công. Điều này sẽ làm nản lòng các nhà phân tích nếu muốn thực hiện nhiều phép tính cần thiết để kiểm tra cách hệ thống đáp ứng trong các điều kiện khác nhau. Các phân tích độ nhạy như vậy sẽ thuận lợi hơn khi các phương pháp số cho phép máy tính đảm nhận gánh nặng tính toán. 5. Thiết kế. Trong thiết kế chúng ta thường phải đánh giá hiệu suất của một hệ thống như một hàm số phụ thuộc vào các tham biến của nó. Thông thường thì sẽ rất khó giải quyết các vấn đề thiết kế ngược - nghĩa là xác định các tham biến khi hiệu suất yêu cầu được chỉ định. Các phương pháp số và máy tính thường cho phép thực hiện nhiệm vụ này một cách hiệu quả. Xấp xỉ và làm tròn số 24  12.5 v t v t 9.81  v t t  t 0.18355t   i11  i  i  i i  v t 53.39 1 e   68.1  v t0   v00 Sai số có một tầm quan trọng trong việc đánh giá tính chính xác của lời giải. Chúng ta đã xác định được vận tốc của người nhảy dù bằng 2 phương CX Số pháp: Giải tích chính xác và phương pháp số. Mặc dù pp số đem lại các ước tính rất gần với lời giải chính xác, nhưng luôn có sự khác biệt (sai số) vì pp số liên quan đến một phép tính gần đúng. Trong trường hợp này chúng ta may mắn vì có sẵn lời giải giải tích chính xác, nó cho phép chúng ta tính được sai số một cách chính xác. Nhưng trong đại đa số các bài toán kỹ thuật khác, chúng ta không thể có được lời giải giải tích thì không thể tính chính xác được các sai số liên quan đến các pp số. Trong trường hợp này, chúng ta chỉ có thể xấp xỉ hoá hoặc ước lượng sai số. Xấp xỉ và làm tròn số 25 Như vậy sai số là điều không thể tránh khỏi ở những phương pháp số. Nhưng sai số có thể dẫn đến các lỗi. Mà Sinh viên cũng như các kỹ sư luôn bằng mọi cách phải hạn chế sai sót trong công việc. Bởi lẽ Khi làm bài kiểm tra hoặc làm bài tập về nhà, SV có thể bị phạt, điểm kém vì lỗi. Nhưng khi hành nghề công việc, sai sót có thể gây tốn kém và đôi khi là thảm họa. Nếu một cấu trúc hoặc thiết bị bị lỗi, có thể nguy hiểm đến tính mạng. Mặc dù sự hoàn hảo là một mục tiêu đáng khen ngợi, nhưng hiếm khi đạt được. Ví dụ: mặc dù thực tế là mô hình nhảy dù được phát triển từ định luật II Newton là một phép gần đúng tuyệt vời, nó sẽ không bao giờ dự đoán chính xác được cú rơi của người nhảy dù trong thực tế. Một loạt các yếu tố như gió và những thay đổi nhỏ trong lực cản của không khí sẽ dẫn đến sai lệch so với dự đoán. Nếu những sai lệch này cao hoặc thấp một cách có hệ thống, thì chúng ta có thể cần phát triển một mô hình mới. Tuy nhiên, nếu chúng được phân phối ngẫu nhiên và nhóm chặt chẽ xung quanh dự đoán, thì độ lệch có thể được coi là không đáng kể và mô hình được coi là phù hợp. Phép tính gần đúng số cũng đưa ra sự khác biệt tương tự trong phân tích. Một lần nữa, câu hỏi đặt ra là: Sai số tiếp theo xuất hiện trong tính toán của chúng ta là bao nhiêu và nó có thể chấp nhận được không? Các nguyên nhân gây nên sai số 26 Lỗi làm tròn Lỗi cắt ngắn Các lỗi gián tiếp (Round-off Error) (Truncation error) Lỗi cắt ngắn là sự Lỗi làm tròn là - Sai sót trong các bước chênh lệch được tính do máy tính chỉ đưa ra bởi thực tế có thể biểu - Lỗi xây dựng mô hình là các phương toán, lỗi công thức diễn các đại pháp số có thể sử lượng với một - Dữ liệu, dữ kiện bài toán dụng các phép gần không chính xác số hữu hạn các đúng để biểu thị chữ số chính xác các phép toán và đại lượng. Chữ số có nghĩa (significant figures) 27 - Nhìn trực quan ta thấy xe chạy với tốc độ gần 49 km/h. - Nếu tốc độ được ước tính đến một chữ số thập Đồng hồ tốc độ và quãng đường phân, thì có người sẽ nói là 48,8 km/h, có người nói 48,9 km/h, v.v  Đây được xem như là giá trị gần đúng. - Sẽ là không có cơ sở để có thể nói tốc độ xe là 48,8642138 km/h. - Đồng hồ đo quãng đường cung cấp 6 chữ số. Ta chỉ biết là xe đã đi ít hơn 87324,5 km/h trong suốt thời gian làm việc đã qua của nó. - Chữ số thứ bảy (số 5) hoặc cao hơn nó (số 4) là không chắc chắn. Chữ số có nghĩa của một số là những chữ số có thể được sử dụng một cách tự tin Chữ số có nghĩa (significant figures) 28 Chúng tương ứng với số lượng các chữ số nhất định cộng với một chữ số ước lượng  Thông thường người ta đặt chữ số ước lượng ở một nửa vạch chia nhỏ nhất trên thiết bị đo - Đối với đồng hồ tốc độ, hai chữ số nhất định là 48 - Do chữ số ước lượng ở một nửa vạch chia nhỏ nhất, nên vạch chia nhỏ nhất của đồng hồ tốc độ là 1 km/h. Một nửa của nó là 0,5 km/h. Như vậy, số đọc đồng hồ tốc độ sẽ bao gồm ba chữ số: 48,5 - Tương tự, một nửa vạch chia nhỏ nhất của đồng hồ quãng đường là ở giữa 0,4 và 0,5 km, tức là số giữa sẽ là (0,4+0,5)/2 = 0,45. Như vậy, số đọc đồng hồ quãng đường sẽ bao gồm bảy chữ số: 87324,45. Chữ số có nghĩa (significant figures) 29 - Số 0 luôn không phải là chữ số có nghĩa vì chúng có thể cần thiết chỉ để xác định vị trí dấu thập phân. Ví dụ như các số 0,00001845, 0,0001845 và 0,001845 đều có bốn chữ số có nghĩa là 1845 - Khi các số không ở cuối được sử dụng với số lượng lớn, không cần biết là có bao nhiêu số không, miễn là nếu có, thì chúng đều là chữ số có nghĩa. Ví dụ: ở mệnh giá số 45.300 có thể có ba, bốn hoặc năm chữ số có nghĩa, tùy thuộc vào việc các số 0 được biết với độ tin cậy hay không. Sự không chắc chắn như vậy có thể được giải quyết bằng cách sử dụng ký hiệu khoa học, trong đó 4,53 × 104, 4,530 × 104, 4,5300 × 104 chỉ ra rằng con số được biết đến tương ứng là ba, bốn và năm con số có nghĩa. Độ chính xác (accuracy) và độ hội tụ (precision) 30 Các sai số liên quan đến cả tính toán và đo đạc có thể được đặc trưng bởi độ chính xác và độ hội tụ của chúng: - Độ chính xác (accuracy) thể hiện sự gần bằng giữa giá trị được tính toán hoặc giá trị được đo đạc so với giá trị thực. - Độ hội tụ (precision) thể hiện sự gần bằng của các giá trị được tính toán so với nhau hoặc của các giá trị được đo đạc so với nhau. Độ chính xác (accuracy) và độ hội tụ (precision) 31 Chiều gia tăng độ chính xác Xét việc bắn đạn vào hồng tâm của bia đỡ tụ đạn: hội - Các lỗ đạn xuyên độ qua bia được coi là các giá trị được Không chính xác và không hội tụ Chính xác và không hội tụ tăng tính toán hoặc được đo đạc gia - Hồng tâm được coi là giá trị thực Chiều Không chính xác và Có hội tụ Chính xác và hội tụ Định nghĩa sai số (Error Definitions) 32 Các sai số được sinh ra từ việc sử dụng các phép tính gần đúng để biểu diễn các phép toán và đại lượng chính xác. Chúng bao gồm: - Lỗi làm tròn - Lỗi cắt ngắn Giá trị thực Giá trị gần đúng Sai số (14) Et Giá trị thực Giá trị gần đúng (15) E ε t x 100% (16) t Giá trị thực Định nghĩa sai số (Error Definitions) 33 1) Sai số thực tuyệt đối: cau Giả sử khi đo chiều dài a) Của chiều dài cây cầu: Et 10000  9999  1 cm của một cây cầu và một dinhtan b) Của chiều dài đinh tán: E 10  9  1 cm đinh tán ta thu được t các kích thước đo lần 2) Sai số thực tương đối : lượt là 9999 và 9 cm. a) Của chiều dài cây cầu: Nếu các giá trị thực lần cau cau Et 1 lượt là 10.000 và 10 cm, t  100%   100%  0.01% hãy tính cho mỗi trường Chieu dai thuc 10000 hợp: b) Của chiều dài đinh tán: E dinhtan 1 (a) sai số thực  dinhtan t 100%   100%  10% (b) sai số tương đối t Chieu dai thuc 10 Cả cây cầu và đinh tán đều có cùng sai số thực tuyệt đối là 1 cm, tuy nhiên sai số thực tương đối của cầu chỉ là 0.01%, trong khi đinh tán là 10%. Do đó việc đo chiều dài cây cầu là đạt yêu cầu còn của đinh tán thì cần đo lại. Sai số gần đúng (xấp xỉ) tương đối 34 (Approximate Percent Relative Errors) - Ở Slide trước, khái niệm sai số thực tuyệt đối cũng như tương đối có chỉ số “t” ở dưới, là vì chúng ta có được giá trị thực chính xác của nó. Tuy nhiên trong các tình huống thực tế, chúng ta không có được những Giá trị thực. Trong phương pháp số, giá trị thực chỉ có thể biết khi có được những lời giải tường minh ở dạng giải tích, và điều đó chỉ có ở những hệ thống đơn giản. - Trong những tình huống không có giá trị thực để so sánh, thì chúng ta phải sử dụng ước tính tốt nhất về giá trị thực, tức là giá trị gần đúng của chính nó. Sai số gần đúng ε x 100% (17) a Giá trị gần đúng Sai số gần đúng (xấp xỉ) tương đối 35 (Approximate Percent Relative Errors) - Vấn đề ở chỗ tìm được giá trị gần đúng tốt nhất trong nhiều tình huống không có thông tin về giá trị thực là bất khả thi. Vì không có cơ sở để đánh giá nó là giá trị gần đúng tốt nhất hay không. - Trong phương pháp số, chúng ta thường sử dụng phương pháp vòng lặp (Iterative Method). Trong tình huống này thì giá trị gần đúng ở vòng lặp hiện tại được tính dựa trên giá trị gần đúng của vòng lặp trước đó. Quá trình này được thực hiện lặp đi lặp lại để tính toán liên tiếp nhằm hướng tới các giá trị gần đúng hơn qua mỗi vòng lặp. - Như vậy thì khái niệm sai số gần đúng tương đối có ý nghĩa trên từng vòng lặp thứ i (Giá trị gần đúng)i – (Giá trị gần đúng)(i-1) ε i x 100% (18) a (Giá trị gần đúng)i Sai số gần đúng (xấp xỉ) tương đối 36 (Approximate Percent Relative Errors) - Ở mỗi vòng lặp thì sai số gần đúng tương đối có thể mang dấu “–“ hoặc dấu “+”. Tuy nhiên điều đó không quan trọng - Chúng ta thường sẽ quan tâm đến việc giá trị tuyệt đối của sai số đó có nhỏ hơn sai số cho phép định trước εs hay không: i as (19) - Nếu (19) được thoả mãn thì kết quả nằm trong mức chấp nhận được. - Nếu muốn kết quả các sai số được tính đến n chữ số có nghĩa, ta có công thức để tính sai số cho phép định trước εs như sau: 2n (20)  s 0.5 10 % Sai số gần đúng (xấp xỉ) tương đối 37 (Approximate Percent Relative Errors) Trong toán học một hàm số có thể được phân tích thành một dãy vô hạn, ví dụ: x0 x 1 x 2 x 3 xn ex       0! 1! 2! 3!n ! 1 x n càng lớn thì giá trị của hàm ex sẽ càng chính xác hơn. Hãy tính giá trị của số e0.5 với n bắt đầu từ 0 cho đến khi sai số gần đúng tương đối nhỏ hơn sai số cho phép định trước εs. Với mỗi bước tính hãy tính đồng thời εt và εa. Cho biết giá trị thực e0.5 =1.648721và các sai số được tính đến 3 chữ số có nghĩa. 1) Tính sai số cho phép định trước εs : 23  s 0.5  10 %  0.05% 0.5 38 2) Tính hàm e và các sai số εt và εa : - Với n=0: 1.648721 1 e0.5 1;   100%  39.3469%;   ta1.648721 - Với n=1: 1.648721 1.5 1.5 1 e0.5 1 0.5 1.5;  100% 9.02%;   100% 33.33% 0.05%  t1.648721 a1.5 s - Với n=2: 0.52 1.648721 1.625 1.625 1.5 e0.5 1.5 1.625;  100% 1.44%;   100% 7.69% 0.05%  2t1.648721 a 1.625 s - Với n=3: 0.53 1.648721 1.645833 1.645833 1.625 e0.5 1.625 1.645833;   100% 0.175%;   100% 1.2658% 0.05%  3!t1.648721 a 1.645833 s 0.54 1.648721 1.648437 - Với n=4: e0.5 1.645833   1.648437;   100%  0.0172%; 4! t 1.648721 1.648437 1.645833 100% 0.158%  0.05%  as1.648437 - Với n=5: 39 0.55 1.648721 1.648697 e0.5 1.648437   1.648697;   100%  0.001455%; 5! t 1.648721 1.648697 1.648437  100%  0.01577%  0.05%  as1.648697 Với n=5 thì εa<εs nên ta dừng vòng lặp. Tính toán đã đạt yêu cầu. Phương pháp lặp (Iterative Method) 40 Ý tưởng của phương pháp lặp là sử dụng các phép thay thế được lặp đi lặp lại nhiều lần. Giả sử một hàm số g và một giá trị ban đầu y0 đã biết. Chúng ta có thể tạo ra một chuỗi số từ các giá trị y1, y2, , yn thông qua một phép lặp được xác định bởi công thức: (21) ynn1  g y, x , n ; n 0,1,2,3,... y 1 0 1 2 3 n 0 x x x x x x  e         xn1 y y ; n  0,1,2,3,... 0! 1! 2! 3!n !  nn1 1 x  n 1! Phương pháp lặp (Iterative Method) 41 FUNCTION IterMeth(x, es, maxit) - es: sai số cho phép định trước iter = 1 (tiêu chí sai số để dừng vòng lặp) sol = val_x0 - maxit: số vòng lặp tối đa cho phép ea = 100 - iter: biến để theo dõi số vòng lặp DO - sol: biến để tính giá trị hiện tại của solold = sol đại lượng cần tính sol = g(sol, x, iter) iter = iter + 1 - solold: biến để tính giá trị trước IF sol ≠ 0 then ea = abs((sol - solold)/sol)*100 đó của đại lượng cần tính sol IF ea ≤ es OR iter ≥ maxit EXIT - ea: biến để tính sai số gần đúng END DO tương đối (ban đầu ea=100 để IterMeth = sol đảm bảo rằng vòng lặp được thực END IterMeth hiện ít nhất một lần) Phương pháp lặp (Iterative Method) 42 n xi Lập code Matlab để tính giá trị e1 theo công thức ex   i0 i! function [v,ea,iter] = IterMeth(x,es,maxit) % initialization iter = 1; sol = 1; ea = 100; % iterative calculation while (1) solold = sol; sol = sol + x ^ iter / factorial(iter); iter = iter + 1; if sol~=0 ea=abs((sol - solold)/sol)*100; end if ea=maxit,break,end end v = sol; end Dãy Taylor 43 Dãy Taylor dùng để tính gần đúng giá trị hàm số tại một điểm khi biết giá trị hàm số và các đạo hàm của nó tại một điểm khác n f x 23 f  x f x  n fxfxfxxx       i xx  i xx  i  xxR  iiiii1  12! ii  1 3! ii  1n ! iin  1 (22) n1 f   n1 Trong đó: Rn x i1 x i  ξ – là một số của x nằm giữa x và x n 1! i i+1 Đặt: xii1  x h f x f  x fn  x  fxfxfxh      i h23  i h   i hRn  (23) (22) ↔ i1 i i2! 3!n ! n n1 f   n1 Trong đó: Rhn  n 1! Dãy Taylor 44 Sử dụng dãy Taylor đến bậc 4 để xấp xỉ hàm số sau từ xi=0 với h=1. Tức là dự đoán giá trị hàm khi xi+1=1: f x  0.1 x4  0.15 x 3  0.5 x 2  0.25 x  1.2 Do bài này ta đã biết được hàm số, chúng ta hoàn toàn tính được giá trị của nó tại các điểm 0 và 1: f 0  1.2 f 1   0.1  0.15  0.5  0.25  1.2  0.2 Tính đạo hàm: 32 f x  0.4 x  0.45 x  x  0.25 f 0  0.25  f x  1.2 x2  0.9 x  1 f  0   1  f x  2.4 x  0.9  f  0   0.9 44   f x  2.4 f  0   2.4 55   f x 0 f  0 0 Dãy Taylor 45 f x f  x fn  x  Theo công thức Taylor: fxfxfxh      i h23  i h   i hRn  i1 i i2! 3!n ! n xi=0; xi+1=1; h=1 - Với n=0: f1  f 0  1.2  Et  0.2  1.2   1.0 - Với n=1: f1  f 0  f 0 h  1.2 0.25  1 0.95  Et 0.2 0.95  0.75 f  0 221 - Với n=2: f1  f 0  f 0 h  h  0.95 1 0.45 Et 0.2 0.45 0.25 22 ff00   0.9 - Với n=3: f1  f 0  f 0 h  h2  h 3  0.45  1 3  0.3 2! 3! 3! Et 0.2  0.3   0.1 f0 f  0 f 4  0 2.4 - Với n=4: f1  f 0  f 0 h  h2  h 3  h 4  0.3  1 4  0.2 2! 3! 4! 4! Et 0.2  0.2  0 46 Sai số biểu thức (Error Propagation) 47 Giả sử ta cần tính diện tích của một mảnh đất hình x vuông có độ dài là x.  Để có được x thì ta phải tiến hành đo đạc.  Khi đo thì ta có thể có sai số (do cách đo, do dụng f x  A x x2 x cụ đo không chính xác). Giả sử giá trị x khi đo được là x  Biết sai số ước lượng của x là x  x  x  Cần biết sai số ước lượng của hàm f(x) cần tính, từ đó tính được khoảng giá trị của f(x)? Hàm một biến số Sai số biểu thức (Error Propagation) 48 Sai số tuyệt đối giới hạn của hàm f(x): f x  Et  f x  f x Từ dãy Taylor ta có: fx   2 f x  f x  f x x  x  x  x  Et- Sai số thực      2!   Sai số ước lượng Bỏ qua các hạng tử bậc 2 trở lên: f x  f x  f x x  x fx   fxx    fx   fx    fx  Sai số biểu thức (Error Propagation) 49 Cho hàm nhiều biến: f x12,,, x xn   f x Sai số tuyệt đối giới hạn: f  f  f fx   f x,,, x x   x   x    x    1 2nn x 1  x 2  x 12xx n x Với: xi  x i  x i ; i  1.. n fxx 1,,,,,,,,, 2 xn  fxx 1 2 x n   fxx 1 2 x n  fx  f x   f  x Sai số biểu thức (Error Propagation) 50 Độ võng lớn nhất của dầm công xon dưới tác dụng của tải phân bố đều w được tính theo công thức: wL4 v w,,, L E I   max 8EI Trong đó w – cường độ tải phân bố đều (N/m), L – chiều dài dầm (m), E – môđun đàn hồi của vật liệu làm nên dầm (N/m2), I – mô men quán tính của mặt cắt (mm4). Giá trị đo đạc và sai số ước lượng của các đại lượng lần lượt là: ww750 N m;   30 N m; Tính: LL9 m;   0.03 m; - sai số ước lượng của hàm v EE7.5  1097 N m22 ;   5  10 N m ; max - khoảng giá trị của vmax 4 4 6 4 II5  10 m ;   5  10 m . - GTLN và GTNN của vmax Sai số biểu thức (Error Propagation) 51 Giá trị hàm độ võng lớn nhất tại điểm đo: 750 94 v w, L , E , I  0.164025 m max   8 7.5  1094  5  10 Đạo hàm riêng của hàm độ võng lớn nhất: 44 vvmaxL max 9   94  0.0002187 w8 EI  w x 8  7.5  10  5  10 33 vvmaxwL max 750 9   94  0.0729 L2 EI  L x 2  7.5  10  5  10 44 vvmaxwL max 750 9 11  2   2 18 4 2.187  10 EEIE8 x 8  7.5  10  5  10 44 vvmaxwL max 750 9  2   9 2 8  328.05 I88 EI  I x 7.5 10  5  10 Sai số biểu thức (Error Propagation) 52 Sai số ước lượng của hàm độ võng lớn nhất: vmax  v max  v max  v max vmaxx  v max  w,,, L E I   w  L  E  I wx  L x  E x  I x 0.0002187  30 0.0729  0.03 2.187 1011 5 10 7 328.05  5 10 6 0.006561  0.002187  0.001094  0.00164025  0.011482 m Khoảng giá trị của vmax: vmax wLEI,,,,,,,,,  v max wLEI   v max  wLEI  0.164025 0.011482  vmax  w,,, L E I   0.152543 0.175507 m Sai số biểu thức (Error Propagation) 53 Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể đo: w  750 N m wmin 750  30  720 N m  w 750  30  780 N m w 30 N m  max L  9m Lmin 9  0.03  8.97 m  L 9  0.03  9.03 m L 0.03 m  max 9 2  9 7 9 2 E 7.5 10 N m Emin 7.5  10  5  10  7.45  10 N m   7 2  9 7 9 2 E 5  10 N m Emax 7.5  10  5  10  7.55  10 N m 44 4  6  4 4 I 5 10 m Imin 5  10  5  10  4.95  10 m  64 4  6  4 4 I 5  10 m Imax 5  10  5  10  5.05  10 m  wL4 720 8.974 v w, L , E , I min min   0.152818 m max   min 94  8EImax max 8 7.55  10  5.05  10  wL4 780 9.034 v w, L , E , I  max max   0.175790 m max max 94  8EImin min 8 7.45  10  4.95  10