Bài giảng môn Cơ lý thuyết

ối với một điểm..... 18 2.2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kì về một tâm... 20 2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kì ..... 24 2.4. Bài toán cân bằng vật rắn...... 26 Chương 3: HỆ LỰC PHẲNG ĐẶC BIỆT 3.1. Hệ lực phẳng đồng quy .... 32 3.2. Hệ lực phẳng song song.... 36 3.3. Ngẫu lực.... 38 Chương 4: BÀI TOÁN MA SÁT 4.1. Các khái niệm.... 40 4.2. Bài toán cân bằng ma sát....... 41 Chương 5: TRỌNG TÂM VÀ CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH 5.1. Trọng tâm của vật rắn ...... 46 5.2. Cân bằng ổn định...... 51 Chương 6: ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM 6.1. Khái niệm về động học chất điểm ... 57 6.2. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp vector...... 58 6.3. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ Descartes ......... 60 6.4. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ tự nhiên............ 62 6.5. Bài toán động học của chất điểm...... 65 Chương 7: CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 7.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn......... 72 7.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định............................ 73 3 7.3. Bài toán chuyển động cơ bản của vật rắn ................................................. 80 Chương 8: CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 8.1. Các tiên đề cơ bản của động lực học......................................................... 85 8.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Hai bài toán cơ bản của động lực.................................................................................................................... 86 8.3. Lực quán tính. Nguyên lý D’ Alembert.................................................... 93 Chương 9: CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM 9.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến .................................................... 104 9.2. Vật rắn quay quanh một trục cốđịnh.......................................... .104 Chương 10: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 10.1. Định lý biến thiên động lượng ............................................. 110 10.2. Định lý biến thiên động năng.................................................... 116 Tài liệu tham khảo.................................................................................... 126 4 LỜI NÓI ĐẦU Cơ lý thuyết là một khoa học cơ sở nghiên cứu chuyển động cơ học của vật rắn và các qui luật tổng quát của chuyển động đó. Do vậy, nhiệm vụ Cơ lý thuyết là: nghiên cứu các qui luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của các vật thể duới tác dụng của lực đặt lên chúng. Hay nói cách khác, Cơ lý thuyết là khoa học về sự cân bằng và chuyển động của vật thể. Theo tính chất của nội dung mà Cơ lý thuyết được chia thành 3 phần: - Tĩnh học: Nghiên cứu các lực và điều kiện cân bằng của các vật thể dưới tác dụng của lực. - Động học: Nghiên cứu các tính chất hình học tổng quát của chuyển động. - Động lực học: Nghiên cứu các qui luật chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của lực. Với các ý nghĩa trên, Bài giảng Cơ lý thuyết được sử dụng để giảng dạy cho sinh viên bậc cao đẳng các ngành Cơ khí và Xây dựng. Nội dung được biên soạn theo quan điểm ngắn gọn, dể hiểu và bảo đảm tính logic của kiến thức. Nội dung bài giảng được biên soạn theo chương trình ban hành năm 2017 gồm 10 chương và được sử dụng để giảng dạy với thời lượng là 30 tiết (2 tín chỉ). Bài giảng được biên soạn cho đối tượng là sinh viên bậc cao đẳng, tuy nhiên nó cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên các bậc đại học và trung cấp. Mặc dù nhóm biên soạn cũng đã rất cố gắng để đáp ứng cho công tác dạy và học, nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi các khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp các ý kiến quí báu để cho Bài giảng ngày được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vể địa chỉ email: baoqng2006@gmail.com hoặc chixddd09@gmail.com. Quảng Ngãi, tháng 6/2018 Nhóm biên soạn 5 PHẦN I. TĨNH HỌC Tĩnh học vật rắn khảo sát sự cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của một hệ lực đã cho. Tĩnh học giải quyết hai vấn đề chính trong tĩnh học là: - Thu gọn hệ lực. - Điều kiện cân bằng của hệ lực. Về phương pháp nghiên cứu: áp dụng phương pháp tiên đề kết hợp phương pháp mô hình. Về ứng dụng: giải thích các hiện tượng thực tế, đồng thời làm cơ sở để học môn học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu. Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC A. MỤC TIÊU - Giúp sinh viên trang bị kiến thức về các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề tĩnh học làm cơ sở để giải các bài toán tĩnh học. - Giúp sinh viên có kĩ năng xác định các phản lực liên kết của các loại liên kết. B. NỘI DUNG 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.1.1. Vật rắn tuyệt đối (vật rắn) Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kì của vật luôn luôn không đổi (hay nói cách khác dạng hình học của vật được giữ nguyên) dưới tác dụng của các vật khác. Trong thực tế các vật rắn khi tương tác với vật thể khác đều có biến dạng. Nhưng biến dạng đó rất bé, nên ta có thể bỏ qua được khi nghiên cứu điều kiện cân bằng của chúng. Ví dụ: Khi dưới tác dụng của trọng lực P ur dầm AB phải võng xuống (H. 1.1a), thanh CD phải dài ra (H. 1.1b). Nhưng độ võng của dầm và độ võng của thanh rất bé, ta có thể bỏ qua. Khi giải bài toán tĩnh học ta coi như dầm không võng và thanh không dãn mà kết quả vẫn đảm bảo chính xác và bài toán đơn giản hơn. 6 A B PP C D (a) ( b) Hình 1.1. Vật rắn biến dạng Trong trường hợp ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối mà bài toán không giải được, lúc đó ta cần phải kể thêm biến dạng của vật. Bài toán này sẽ được nghiên cứu trong học phần Sức bền vật liệu. Để đơn giản, ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối. Đó là đối tượng để chúng ta nghiên cứu trong môn học này. 1.1.2. Lực 1.1.2.1. Định nghĩa Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hổ cơ học của vật này với vật khác mà kết quả làm thay đổi chuyển động hoặc biến dạng của các vật. 1.1.2.2. Các yếu tố của lực Lực được xác định bởi ba yếu tố: - Điểm đặt lực - Phương, chiều của lực - Cường độ hay trị số của lực Đơn vị đo cường độ của lực trong hệ SI là Newton (kí hiệu N). 1.1.2.3. Biểu diễn lực Lực được biểu diễn bằng một vector. Ví dụ: Lực F ur biểu diễn bằng vector lực AB uuur (H. 1.2) A B F Hình 1.2. Biểu diễn vector lực 7 Phương chiều của vector AB uuur biểu diễn phương chiều của lực ,F ur độ dài của vector AB uuur theo tỉ lệ đã chọn biểu diễn trị số của lực, gốc vector biểu diễn điểm đặt của lực, giá của vector biểu diễn phương tác dụng của lực. 1.1.3. Các hệ lực khác 1.1.3.1. Hệ lực Hệ lực là tập hợp các lực tác dụng lên một chất điểm, một vật hay một hệ vật. Kí hiệu: ( 1 ,F uur 2 ,F uuur 3 ......F uur )nF uur hoặc: ( )kFj uur với k = 1, 2, ..., n. 1.1.3.2. Hệ lực tương đương Hai hệ lực tương đương nhau khi chúng có cùng tác dụng cơ học. Kí hiệu: ( 1 ,F uur 2 ,F uuur 3 , ...,F uur )mF uur º ( 1 ,P ur 2 ,P uur 3 , ...,P uur )nP uur hoặc: ( 1 ,F uur 2 ,F uuur 3 , ...,F uur )mF uur : ( 1 ,P ur 2 ,P uur 3 , ...,P uur )nP uur . * Chú ý: Nếu hai hệ lực tương đương có thể thay thế được cho nhau. Để khảo sát một hệ lực phức tạp người ta thường biến đổi tương đương về một hệ lực đơn giản hơn gọi là dạng tối giản. 1.1.3.3. Hệ lực cân bằng Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó, vật rắn tự do ở trạng thái cân bằng. Kí hiệu: ( ) 0kFj º uur 1.1.3.4. Hợp lực Hợp lực là một lực tương đương với hệ lực Kí hiệu: R ur º ( )kFj uur ; R ur là hợp lực của ( )kFj uur . 1.1.4. Trạng thái cân bằng của vật Một vật rắn ở trạng thái cân bằng là vật đó nằm yên hay chuyển động đều đối với vật khác “làm mốc” một hệ trục tọa độ nào đó mà cùng với nó tạo thành hệ quy chiếu. Ví dụ như hệ tọa độ Descartes Oxyz chẳng hạn. Trong tĩnh học, ta xem vật cân bằng là vật nằm yên so với trái đất. 8 1.2. Hệ tiên đề tĩnh học 1.2.1. Tiên đề 1 (Hai lực cân bằng) Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có cùng phương tác dụng, ngược chiều nhau và cùng trị số. Trên hình 1.3, vật rắn chịu tác dụng bởi hai lực 1F uur và 2F uur cân bằng. Kí hiệu : ( 1 ,F uur 2 )F uur º 0 (1.3) A B F2 F1 Hình 1.3. Hai lực cân bằng Biểu thức trên là điều kiện cân bằng đơn giản cho một hệ lực gồm có hai lực. 1.2.2. Tiên đề 2 (Thêm hoặc bớt một hệ cân bằng) Tác dụng của một hệ lực tác dụng lên một vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng nhau. Theo tiên đề này, hai hệ lực chỉ khác nhau một hệ lực cân bằng thì chúng hoàn toàn tương đương nhau. Từ hai tiên đề trên ta có hệ quả: * Hệ quả trượt lực: Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta dời điểm đặt lực trên phương tác dụng của nó. Chứng minh: Giả sử ta có lực F uur tác dụng lên vật rắn đặt tại điểm A (H. 1.4). Trên phương tác dụng của lực F uur ta lấy một điểm B và đặt vào đó hai lực 1F uur và 2F uur cân bằng nhau, với 1 2F F F= - = uur uur ur . A B F1 F2 F Hình 1.4. Thêm bớt một cặp lực cân bằng 9 Theo tiên đề 2 thì: F uur º ( 1 ,F uur 2 ,F uuur )F ur Nhưng theo tiên đề 1 thì ta cũng có: ( ,F ur 2 )F uur º 0, do đó ta có thể bỏ đi. Như vậy ta có: F uur º ( 1 ,F uur 2 ,F uuur )F uur º 1F uur Điều đó chứng tỏ lực đã trượt từ A đến B mà tác dụng của lực không đổi. * Chú ý: Hai tiên đề trên và hệ quả chỉ đúng cho vật rắn cứng tuyệt đối. Còn đối với vật rắn biến dạng thì các tiên đề và hệ quả không còn đúng nữa. 1.2.3. Tiên đề 3 (về 2 quy tắc hình bình hành lực) Hai lực tác dụng tại một điểm tương đương với một lực tác dụng tại điểm đó và có vector lực bằng vector chéo của hình bình hành có hai cạnh là hai vector lực của các lực đã cho (H. 1.5) O B F C A R F 1 2 Hình 1.5. Quy tắc hình bình hành lực Về phương diện vector ta có: 1R F= + uur uur 2F uur Nghĩa là vector R uur bằng tổng hình học của các vector 1 ,F uur 2F uur . Tứ giác OABC gọi là hình bình hành lực. Về trị số: 2 21 2 1 22 cosR F F F F a= + + (trong đó α là góc hợp bởi 2 véctơ 1 ,F uur 2F uur ) 1.2.4. Tiên đề 4 (về lực tương hỗ) Ứng với mỗi lực tác dụng của vật này lên vật khác, bao giờ cũng có phản lực tác dụng cùng trị số, cùng phương tác dụng, nhưng ngược chiều nhau. Giả sử một vật B tác dụng lên vật A một lực F ur thì ngược lại vật A tác dụng lên vật B một lực 'F F= - ur ur . Hai lực này có trị số bằng nhau, ngược chiều nhau, nhưng không cân bằng vì chúng đặt lên hai vật khác nhau (H. 1.6). 10 F B F' A Hình 1.6. Hai lực tương hỗ 1.2.5. Tiên đề 5 (về hóa rắn) Vật bị biến dạng cân bằng thì khi hóa rắn lại nó vẫn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực đã cho. Tiên đề này dùng để khảo sát vật thực bằng kết quả của khảo sát vật rắn tuyệt đối. 1.3. Liên kết và phản lực liên kết 1.3.1. Các khái niệm Vật rắn không tự do được ngăn cản sự dịch chuyển bằng các vật khác. Vật rắn không tự do gọi là vật bị liên kết, vật ngăn cản gọi là vật gây liên kết. Liên kết là những điều kiện cản trở chuyển động của vật. Lực liên kết là lực tác dụng qua lại giữa các vật không tự do. Lực liên kết do vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát và cản trở chuyển động được gọi là phản lực liên kết, còn lực do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết gọi là áp lực. Các lực không phải là phản lực liên kết gọi là các lực hoạt động. Ví dụ: Cho viên bi đặt trên mặt bàn (H. 1.7) Hình 1.7. Áp lực và phản lực liên kết của viên bi Viên bi là vật khảo sát, viên bi là vật chịu liên kết, mặt bàn là vật gây liên kết P: áp lực; N: phản lực liên kết. 11 1.3.2. Các liên kết thường gặp 1.3.2.1. Liên kết tựa Liên kết tựa là liên kết hình thành khi vật tựa lên bề mặt của vật khác. Vật này tựa lên vật khác theo điểm, đường hoặc bề mặt (H. 1.8). NB A B NA A B NA NB a) b) Hình 1.8. Các phản lực liên kết tựa Giả thiết: không ma sát. Phản lực: phản lực pháp N uur Đặc điểm: + Phương: vuông góc mặt tựa (đường tựa) hoặc phương chuyển động. + Chiều: hướng vào vật khảo sát (cản trở chuyển đông của vật) + Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc. 1.3.2.2. Liên kết bản lề a) Bản lề trụ Liên kết bản lề trụ là liên kết chỉ cho phép vật quay quanh một trục cố định trong không gian. Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có thể quay đối với nhau. Phản lực là R ur (H. 1.9) có đặc điểm: + Phương và chiều: đi qua tâm trục A và chưa được xác định. + Trị số: chưa xác định và phản lực được chia làm hai thành phần vuông góc nhau ,X Y uur ur theo hai trục tọa độ. + Điểm đặt: đặt tại điểm tiếp xúc. 12 x y XA YA RA A x y XA YA RA A (a) ( b) Hình 1.9. Phản lực liên kết bản lề trụ b) Bản lề cầu Liên kết bản lề cầu là liên kết không cho vật tịnh tiến theo 3 phương mà chỉ cho phép vật quay quanh một điểm cố định trong không gian. Bản lề cầu được hình thành nhờ một quả cầu gắn vào đầu vật gây liên kết (H. 1.10) (a) (b) Hình 1.10. Phản lực liên kết bản lề cầu Phản lực R ur có đặc điểm: + Điểm đặt: tại tâm O của vỏ cầu + Phương và chiều: chưa xác định. Phản lực được chia làm ba thành phần , ,X Y Z uur ur ur theo ba trục tọa độ. * Chú ý: 1) Phương và chiều của các phản lực liên kết bản lề chưa xác định. Để tính toán ta giả định cho nó một chiều nào đó, nếu kết quả phản lực liên kết mang dấu dương 13 "+" thì chiều giả định là đúng, nếu kết quả mang dấu âm "-" thì chiều thực ngược chiều giả định. 2) Trong kỹ thuật có các mô hình liên kết gối đỡ dung để đỡ các dầm, khung. Có hai dạng: - Dạng 1: Gối đỡ di động (gối con lăn) Có phản lực liên kết được xác định như liên kết tựa có một thành phần (H. 1.11a) a) b) Hình 1.11. Phản lực liên kết của gối di động và gối cố định - Dạng 2: Gối đỡ cố định Có phản lực liên kết được xác định như liên kết trụ có hai thành phần (H. 1.11b). 1.3.2.3. Liên kết dây mềm Giả thiết: dây mềm, thẳng không giãn bị kéo căng (H. 1.12). Phản lực là sức căng dây T ur có các đặc điểm: + Phương: dọc dây + Chiều: hướng ra ngoài vật khảo sát (cản trở chuyển động của vật) + Điểm đặt: tại điểm buộc dây. P T 2 T 1 Hình 1.12. Minh họa sức căng dây 1.3.2.4. Liên kết thanh Liên kết thanh là liên kết mà vật khảo sát có liên kết bản lề với một thanh thẳng hoặc cong (H. 1.13a) 14 P B A D C S AB SCD E D A C P S ADS CE B a) b) Hình 1.13. Minh họa ứng lực trong liên kết thanh Giả thiết: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu và bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh. Phản lực là ứng lực S ur có đặc điểm: + Phương: đường thẳng nối hai đầu thanh. + Chiều: hướng vào thanh khi thanh chịu kéo và hướng ra khỏi thanh khi thanh chịu nén (H. 1.13b). + Điểm đặt: tại điểm tác dụng của lực 1.3.2.5. Liên kết ngàm Khi vật liên kết và vật bị liên kết liên kết cứng với nhau (như hàn cứng, chôn) thì đó là liên kết ngàm (H. 1.14). Phản lực liên kết ngàm gồm AR uur và AM . Thành phần AR uur được xác định bởi hai thành phần AX uuur và AY uur . XA YA MA A Hình 1.14. Thành phần phản lực liên kết ngàm 1.3.3. Tiên đề về giải phóng liên kết (tiên đề 6) Vật chịu liên kết cân bằng (H. 1.15a) được xem là vật tự do cân bằng (H. 1.15b) nếu thay liên kết bằng phản lực liên kết tương ứng. 15 P P N a) b) Hình 1.15. Giải phóng liên kết cho vật Ví dụ 1.3: Treo một quả cầu đồng chất có trọng lượng P như hình vẽ (H. 1.16). Xác định hệ lực tác dụng lên quả cầu. Giải: Hình 1.16. Hệ lực tác dụng lên quả cầu đồng chất Vật khảo sát: quả cầu. Hệ lực tác dụng: - Lực cho: P . - Các phản lực liên kết: + Tại A: Liên kết dây có phản lực là sức căng T . + Tại B: Liên kết tựa có phản lực tựa: N . Quả cầu cân bằng dưới tác dụng của hệ lực ( )NTP ,, . Ví dụ 1.4: Xác định hệ lực tác dụng lên dầm như hình vẽ (H. 1.17). Giải: Vật khảo sát: dầm AB. Hệ lực tác dụng: - Các lực đã cho: Lực tác dụng F ur 16 - Các phản lực liên kết: + Tại A là gối đỡ cố định: Phản lực gồm ,A AX Y uuur uur . + Tại B là gối đỡ di động: Phản lực là BN uuur . Dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực ( F , AX uuur , AY uur , BN uuur ). A YA NB XA F B O Hình 1.17. Hệ lực tác dụng lên dầm AB cân bằng C. CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Mục đích, đối tượng và phương pháp nghiên cứu của tĩnh học vật rắn 2. Thế nào là chất điểm, cơ hệ, vật rắn tuyệt đối, trạng thái cân bằng? 3. Lực là gì? Các yếu tố để xác định lực? Cách biểu diễn một lực? 4. Định nghĩa, ký hiệu các hệ lực? 5. Hai hệ lực cân bằng có tương đương với nhau không? Vì sao? 6. Khi nào hai lực trực đối cân bằng nhau? 7. Phát biểu các tiên đề tĩnh học. 8. Thế nào là liên kết và phản lực liên kết? Trình bày các liên kết thường gặp và cách xác định các phản lực liên kết. D. BÀI TẬP ÔN TẬP Bài tập 1: Xác định hệ lực tác dụng lên dầm như hình vẽ: A B P=10KN M=10KN.m C 1m 1m Hình 1.18. Minh họa cho bài tập 1 Bài tập 2: Hai thanh AC và BC không trọng lượng nối với nhau và với tường bằng các bản lề A, B và C (Hình 1.19). Tại bản lề C có treo vật nặng P. Xác định hệ lực tác dụng vào bản lề C. 17 Hình 1.19. Minh họa cho bài tập 2 Bài tập 3: Xác định hệ lực tác dụng lên dầm như hình vẽ: A C 2m B 2m P=10KNM=10KN.m 2m Hình 1.20. Minh họa cho bài tập 3 18 Chương 2. HỆ LỰC PHẲNG A. MỤC TIÊU - Giúp sinh viên trang bị kiến thức về thu gọn hệ lực phẳng, các dạng thu gọn và các dạng cân bằng của hệ lực phẳng. - Giúp sinh viên hình thành kĩ năng lập được các phương trình cân bằng đối với các hệ lực cụ thể để xác định các phản lực. B. NỘI DUNG 2.1. Momen của lực đối với một điểm 2.1.1. Định nghĩa Trong mặt phẳng, cho lực F đặt tại A và điểm O (H. 2.1). * Định nghĩa: Momen của lực F đối với điểm O [kí hiệu: ( )FmO ] là một đại lượng đại số: ( )FmO = .F d± (2.1) Trong đó: + F là trị số của lực. + d là khoảng cách thẳng góc từ O đến đường tác dụng của lực gọi là tay đòn momen. + Dấu “+” khi lực quay quanh O ngược chiều kim đồng hồ và dấu "-" khi lực quay quanh O cùng chiều kim đồng hồ. Hình 2.1. Momen của lực đối với một điểm 2.1.2. Nhận xét 1. Đối với hệ lực không gian thì momen của lực F đối với điểm O là một đại lượng vector: 19 ( )Om F r F= Ù uuur ur r ur (2.2) và: 1( ) . .sin .Om F F r F da= = uur . (2.3) Với: d = OH= r.sinα 2. Về mặt hình học: Trị số tuyệt đối momen của một lực đối với một điểm bằng hai lần diện tích tam giác tạo bởi lực đó và điểm lấy momen của nó (H. 2.1). ( ) [ ]Om 2 dt OABF = D ur 3. Momen đại số ( )FmO biểu thị tác dụng làm quay vật quanh tâm O. 4. Khi lực đi qua điểm lấy mômen (d = 0) thì mômen của lực đối với điểm đó bằng không (0). Ví dụ 2.1: Cho một khung chịu lực như hình vẽ (H. 2.2). Biết a = 0,1m, F1 = 200N, F2 = 300N, F3 = F4 = F5 = 100N, α = 300. Xác định mômen của từng lực đối với điểm O? a a a a aF 1 F 2 F 3 F 5 F 4 O Hình 2.2. Hệ lực phẳng tác dụng vào vật Giải Ta có: 1 1( ) . 200x0.1 20Om F F a Nm= - = - = - uur 0 2 2( ) .2 . sin 200x2x 0.1x sin 30 30Om F F a Nma= - = - = - uur 3 3( ) . 100x0.1 10Om F F a Nm= + = = uur 4 4( ) . 100x0.1 10Om F F a Nm= - = - = - uur 5( ) 0Om F = uur (vì đường tác dụng của lực 5F uur đi qua O) 20 2.2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kì về một tâm 2.2.1. Định lý dời lực song song * Định nghĩa: Lực F r tác dụng tại A tương đương với tác dụng của nó tại O (lực 'F ) và một ngẫu lực có momen bằng momen của lực F đối với điểm O (H. 2.3). ºF [ ,F' ngẫu lực ( )Fmm O= ] (2.4) CM: Đặt tại O hai lực cân bằng ( ",' FF ) có cùng trị số với lực F (F’ = F” = F). Theo tiên đề 2, ta có: ( ) ( )[ ]",,',",' FFFFFFF ºº ( )", FF là một ngẫu lực có momen ( )Om m F= ur . (a) (b) (c) Hình 2.3. Quá trình dời lực song song * Nhận xét: Nhiều hiện tượng thực tế đã minh họa cho định lý trên, như: Khi ta treo qủa cân, trường hợp treo lệch thì cần phải tạo thêm một ngẫu lực để đỡ (H. 2.4). P P T O m o(F, F') T A (a) (b) Hình 2.4. Minh họa cho định lý dời lực song song Ví dụ 2.2: Cho tay đòn chịu lực như hình vẽ (H. 2.5). Hãy thay thế tác dụng của lực F tại A bằng một lực và một ngẫu lực tại O. Biết F = 3kN, d = 0,2m. 21 Giải: Hình 2.5. Minh họa cho ví dụ 2.2 Ta có: ( )[ ]FmFF 0,'º Với: F’ = F = 3kN. ( ) . 300 0,2 60Om F F d x Nm= - = - = - ur 2.2.2. Thu gọn hệ lực phẳng về một tâm Cho hệ lực phẳng ( ),...,, 21 nFFF . Lấy một tâm O trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực gọi là tâm thu gọn (H. 2.6). Áp dụng định lý dời lực song song để dời các lực về tâm O, ta có: ( )[ ]11'11 , FmmFF O=º ( )[ ]22'22 , FmmFF O=º .. ( )[ ]nOnnn FmmFF =º ,' (a) (b) (c) Hình 2.6. Quá trình thu gọn hệ lực phẳng về một tâm Như vậy thu gọn hệ lực phẳng ( ),...,, 21 nFFF về tâm O ta được hệ lực ( ),...,,' 21 nFFF đồng qui tại O và hệ ngẫu lực phẳng ( ),...,, 21 nmmm . 22 Thu hệ lực phẳng đồng qui ta được vector chính: OR = å kF = R (2.5) Thu hệ ngẫu lực phẳng ta được ngẫu lực có momen chính: ( )kk FmmM åå == 00 (2.6) * Định lý: Khi thu hệ lực phẳng về một tâm O (gọi tâm thu gọn) ta sẽ được một lực và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực (gọi là lực thu gọn và ngẫu lực thu gọn). Lực thu gọn đặt tại tâm thu gọn được xác định bằng vector chính của hệ lực, còn ngẫu lực thu gọn có momen bằng momen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn. * Chú ý: Phương, chiều và gía trị của lực thu gọn không phụ thuộc vào tâm thu gọn vì vector chính là vector tự do, còn ngẫu lực thu gọn phụ thuộc vào tâm thu gọn. 2.2.3. Các dạng chuẩn của hệ lực phẳng. Định lý Varignon Các dạng chuẩn của hệ lực phẳng là các dạng tối giản khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm, ta có các dạng chuẩn sau: 2.2.3.1. Hệ lực cân bằng Khi vector chính và momen chính đối với một điểm bất kỳ bằng không: ( 0;R = ur 0 0M = ) Û ( ) 0,...,, 21 ºnFFF 2.2.3.2. Hệ lực tương đương với một ngẫu lực Khi vector chính triệt tiêu (bằng 0) còn momen chính đối với một điểm bất kỳ không triệt tiêu (khác 0): ( )0;0 0 ¹= MR Û ( ) 021 ,...,, MFFF n º (2.7) 2.2.3.3. Hệ lực tương đương với một hợp lực Khi hệ lực có vector chính không triệt tiêu ( 0¹R ) thì hệ lực bao giờ cũng có hợp lực, ta có hai trường hợp: a) Khi 0 0M = Hợp lực 'R uur đặt tại tâm thu gọn O với vectơ lực bằng vector chính của hệ lực Û ( ) RRFFF n ºº 021 ,...,, b) Khi 00 ¹M 23 (a) (b) (c) Hình 2.7. Hệ lực tương đương với một hợp lực Hệ lực thu về tâm O được một lực 'R uuur và một ngẫu lực 0M . Áp dụng định lý dời lực song song ta biến đổi: ( ) ( ) RRRRMR ºº ",,',' 0 với vectơ: " ', 'R R R R= - = uur uur ur uur và d = 0 ' M R hợp lực đặt tại O’ (H. 2.7). * Định lý Varignon (Varinhông): Khi hệ lực có hợp lực, momen của hợp lực đối với một điểm bất kỳ bằng tổng momen của các lực thành phần đối với cùng điểm đó. ( ) ( )kFmRm å= 00 (2.8) * Nhận xét: Định lý Varignon được áp dụng rộng rãi trong Cơ lý thuyết như: xác định vị trí tác dụng của hợp lực trong hệ lực song song. Ví dụ 2.3: Xác định hợp lực của hệ lực phẳng song song cho trên hình vẽ (H. 2.8). Biết F 1 = 100N, F 2 = 250N, F 3 = 500N, F 4 = 150N. Giải: Gọi R là hợp lực của hệ lực song song ( ),,, 4321 FFFF , chọn R song song cùng chiều với 1F uur . Hình 2.8. Hệ lực phẳng song song Ta có : 1 2 3 4R F F F F= - + - = 100 - 250 + 500 – 150 = 200N. 24 Để xác định vị trí đường tác dụng của R , ta lấy gốc O như hình vẽ. Giả sử R nằm bên phải của O và có cánh tay đòn là a. Áp dụng định lý Varignon ta có: O O O O1 2 3 O 4m (R) = m (F ) + m (F ) + m (F ) + m (F ) ur ur uur uur uur - a.R = 0 + 1.F2 - 2.F3 + 3.F4 à a = 2 3 42 3 250 1000 450 200 F F F R - + - + = - - = 1,5m. Kết quả: R = 200N; a = 1,5m. * Chú ý: Trường hợp a < 0 thì hợp lực nằm ngược với chiều gỉa định so với gốc chọn (bên trái của 0). 2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kì 2.3.1. Định lý về điều kiện cân bằng Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là vector chính và momen chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu. ( ) ( )1 2 0 , ,..., 0 0 o k n o o k R F F F F M m F ì = =ïº Û í = =ïî å å uur uuur uur uur uur uur (2.9) 2.3.2. Các dạng phương trình cân bằng a) Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các lực trên hai trục tọa độ vuông góc và tổng momen các lực đối với một điểm bất kỳ đồng thời triệt tiêu. ( ) ( )ïïî ïï í ì = = = Ûº å å å 0 0 0 0,...,, 0 21 k k k n Fm Y X FFF (2.10) (O bất kỳ) b) Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các lực trên một trục tọa độ và tổng momen các lực đối với hai điểm A và B tùy ý đồng thời triệt tiêu, với điều kiện AB không vuông góc với trục chiếu. ( ) ( ) ( )ïïî ïï í ì = = = Ûº å å å 0 0F 0 0,...,, k21 kB A k n Fm m X FFF (2.11) 25 (AB không vuông góc với Ox) c) Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng momen của các lực đối với ba điểm A, B, C không thẳng hàng đồng thời triệt tiêu. ( ) ( ) ( ) ( )ïïî ïï í ì = = = Ûº å å å 0 0 0F 0,...,, k 21 kC kB A n Fm Fm m FFF (2.12) (A, B, C không thẳng hàng) * Chú ý: Nếu trong hệ lực còn có momen M thì trong các phương trình momen được viết dưới dạng sau: ( ) 0 0 =±å MFm k (2.13) Dấu “+” hay “-“ phụ thuộc vào chiều của momen. 2.3.3. Các dạng phương trình cân bằng của các hệ lực đặc biệt 2.3.3.1. Hệ lực phẳng đồng quy Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng gặp nhau tại một điểm. Nếu chọn điểm đồng qui làm tâm thu gọn, hệ lực đồng qui có hai phương trình cân bằng là: ïî ï í ì = = å å 0 0 k k Y X (2.14) 2.3.3.2. Hệ lực phẳng song song Hệ lực phẳng song song là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng song song nhau. Nếu chọn trục y song song với các lực, hệ lực song song chỉ có hai phương trình cân bằng là: ( )ïî ï í ì = = å å 0 0 kO k Fm Y (2.15) hoặc: ( ) ( )ïî ï í ì = = å å 0 0 kB kA Fm Fm (2.16) (AB không song song với các lực). 26 2.4. Bài toán cân bằng vật rắn 2.4.1. Bài toán Cho một vật rắn liên kết chịu tác dụng của lực (lực hoạt động) đang cân bằng. Yêu cầu: - Xác định các phản lực liên kết. - Tìm điều kiện cân bằng. Nghĩa là: tìm các yêu cầu của lực hoạt động và các yếu tố hoạt động để vật khảo sát được cân bằng. 2.4.2. Trình tự giải bài toán cân bằng Gồm bốn bước: a) Bước 1: Chọn vật khảo sát. Căn cứ vào yêu cầu của bài mà vật khảo sát có thể là: một vật rắn; một phần tách ra từ một vật; một nút là điểm tập trung các dây, các thanh; một hệ vật do nhiều vật liên kết lại. b) Bước 2: Xác định hệ lực tác dụng lên vật khảo sát. Hệ lực gồm: - Các lực đã cho. - Các phản lực liên kết: Xác định phản lực liên kết bằng cách giải phóng liên kết và thay bằng các phản lực liên kết tương ứng. à ( ) 0kFj º uur . * Chú ý: - Phản lực liên kết tựa và liên kết dây: có điểm đặt, phương và chiều xác định. - Phản lực liên kết thanh, bản lề và ngàm: có chiều chưa biết được vẽ giả định (nếu kết quả > 0 thì chiều giả định là đúng và nếu < 0 thì chiều ngược với chiều giả định). c) Bước 3: Lập hệ phương trình cân bằng của hệ lực. Chọn hệ trục toạ độ và lập hệ phương trình cân bằng độc lập cần thiết * Chú ý: Nếu hệ lực có nhiều lực có phương đi qua một điểm thì nên lập phương trình momen đối với điểm ấy thì phương trình sẽ đơn giản hơn. d) Bước 4: Giải hệ phương trình cân bằng và nhận xét kết quả (nếu cần). Ta tìm được các ẩn cần thiết (nếu số phương trình bằng số ẩn) và nhận xét kết quả như trường hợp lực có giá trị âm (-), .... 27 Ví dụ 2.4: Dầm AB có hai đầu đặt trên gối đỡ như hình vẽ (H. 2.9). Tại điểm giữa của dầm có lực F = 6kN tác dụng nghiêng một góc 45 0 . Đầu C tác dụng ngẫu lực có momen M = 2 2 kNm. Tìm phản lực tại hai gối đỡ A và B của dầm. Bỏ qua trọng lượng của dầm, các kích thước như hình vẽ. Giải : - Vật khảo sát: dầm AB. - Lực đã cho: F . - Phản lực liên kết: + Tại gối đỡ A: AA YX ; . + Tại gối đỡ B: BN . - Khảo sát sự cân bằng của dầm AB bởi hệ lực: ( ) 0,,,, ºMNYXF BAA . Hình 2.9. Dầm AB cân bằng Ta có các phương trình cân bằng: ( )ïï ï î ïï ï í ì =-+-= =+-= =-= å å å )(04. 2 22. )(045sin. )(045cos. 0 0 cMNFFm bNFYY aFXX BkA BA A (a) à 0A 2 X = F.cos45 = 6. = 3 2kN 2 (c) à ( )B 1 1N = (M + F. 2) = 2 2 + 6 2 = 2 2kN4 4 (b) à 0A B 2 Y = F.cos45 - N = 6. - 2 2 = 2kN 2 28 Kết quả: A A BX = 3 2kN; Y = 2kN; N = 2 2kN . * Chú ý: Khi chọn tâm lấy momen để đơn giản tính toán ta thường chọn giao điểm của các đường tác dụng của các vector lực. 2.4.3. Bài toán cân bằng hệ vật 2.4.3.1. Bài toán hệ vật Bài toán hệ vật gồm nhiều vật nối với nhau bằng các liên kết và cần khảo sát sự cân bằng đồng thời các vật ấy. Nếu một hệ vật cân bằng thì từng vật riêng lẻ cũng cân bằng. Do đó một bài toán hệ vật là tập hợp một số bài toán một vật riêng lẻ. Trong bài toán hệ vật, lực tác dụng được phân làm hai loại: ngoại lực và nội lưc. - Ngoại lực ( )eFuur : là những lực do các vật không thuộc hệ tác dụng lên các vật thuộc hệ. - Nội lực ( )iFuur : là những lực do các vật thuộc hệ khảo sát tác dụng tương hỗ với nhau. Nội lực xuất hiện tại chỗ tiếp xúc giữa các vật thuộc hệ và chúng có từng đôi một, cùng phương, ngược chiều và cùng trị số. Xét hệ vật gồm hai vật (I) và (II) nối với nhau bằng bản lề C và liên kết với nền bằng hai gối đỡ cố định A và B (H. 2.10). Hình 2.10. Minh họa bài toán hệ vật Ngoại lực gồm: 1 2, , , , , A A B BP P X Y X Y ur uur uuur uur uuur uur . Nội lực gồm: I II I IIC C C CX , X , Y , Y uuur uuur uur uuur . 2.4.3.2. Các phương pháp giải bài toán hệ vật a) Phương pháp tách vật 29 Ta tách và khảo sát sự cân bằng của từng vật riêng biệt. Đối với mỗi vật được tách, cần đặt các lực tác dụng trực tiếp (gồm cả ngoại lực và nội lực) và thành lậ