Bài giảng Lý thuyết sác xuất và thống kê - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều-Hàm của các ĐLNN

ượng ngẫu nhiên 2 chiều. Tổng quát: Những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nĩ cĩ thể nhận là một véc tơ n chiều được gọi là đại lượng ngẫu nhiên n chiều.Ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều là (X, Y). Trong đĩ X và Y được gọi là các thành phần của ĐLNN 2 chiều. Cả hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được xét một cách đồng thời tạo nên ĐLNN 2 chiều. Tương tự n đại lượng ngẫu nhiên được xét một cách đồng thời tạo nên đại lượng ngẫu nhiên n chiềuThí dụ: Khi khảo sát các siêu thị, nếu ta quan tâm đến doanh số bán (X1) và lượng vốn (X2) ta sẽ cĩ đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X1, X2). Cịn nếu quan tâm cả chi phí quảng cáo (X3) thì ta sẽ cĩ đ.l.n.n 3 chiều (X1, X2, X3).Trong thực tế người ta cũng phân chia đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều thành hai loại: rời rạc và liên tục.Các đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu các thành phần của nĩ là các ĐLNN rời rạc.Các đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là liên tục nếu các thành phần của nĩ là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục.II- Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiềuĐối với đại lượng ngẫu nhiên hai chiều người ta cũng dùng bảng phân phối xác suất hoặc hàm phân phối xác suất hoặc hàm mật độ xác suất để thiết lập phân phối xác suất của chúng.1- Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc cĩ dạng: Y X y1 y2 ym x2 x1 xn p12 p11 p1m p21 p22 p2m pn1 pn2 pnmTrong đĩ: xi (i = 1, 2, . . . , n) là các giá trị cĩ thể nhận của thành phần Xyj (j = 1, 2, . . . , m) là các giá trị cĩ thể nhận của thành phần Y pij (i = 1, 2, . . . n; j = 1, 2, . . . , m) là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y) nhận giá trị (xi, yj)Ta luơn cĩ:  Biết được phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều ta cĩ thể tìm được bảng phân phối xác suất của các thành phần.Bảng phân phối xác suất của thành phần X cĩ dạng: Xx1x2. . . xnPXp1p2. . . pnTrong đĩ:Từ bảng phân phối xác suất của X với các cơng thức ở chương 2 ta cĩ thể tính được E(X), Var(X), Mod(X), . . . Tương tự ta cĩ bảng phân phối xác suất của thành phần Y cĩ dạng:Yy1y2. . . ymPYq1q2. . . qmTrong đĩ:Từ bảng phân phối xác suất của Y ta cũng cĩ thể tính được E(Y), Var(Y), Mod(Y).Thí dụ: Cho biết bảng phân phối xác suất của ĐLNN 2 chiều (X, Y), trong đĩ X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo của các cơng ty tư nhân kinh doanh cùng một mặt hàng như sau: (đơn vị tính của X và Y đều là triệu đồng/tháng). X Y 100 150 200 0 1 2 0,1 0,05 0,05 0,05 0,1 0,2 0,3 0,15 0Từ bảng phân phối xác suất của (X, Y) ở trên, ta cĩ:ª Bảng phân phối xác suất của X:X100150200PX0,150,350,5Từ đĩ ta dễ dàng tính được: E(X) = 100 0,15 + 150 0,35 + 200 0,5 = 167,5Tức doanh thu trung bình của một cơng ty tư nhân là 167,5 triệu đ/tháng.E(X2) = 1002 0,15 + 1502 0,35 + 2002 0,5 = 29375 Var(X) = E(X2)  E(X)2 = 29375  (167,5)2 = 1318,75 (X) =Tức là mức chênh lệch trung bình về doanh thu của các cơng ty vào khoảng 36,3 triệu đồng/tháng.ª Bảng phân phối xác suất của Y:Y012PY0,20,40,4 E(Y) = 00,2 + 10,4 + 20,4 = 1,2 Tức chi phí quảng cáo trung bình của một cơng ty tư nhân là 1,2 triệu đ/tháng.Var(Y) = E(Y2) E(Y)2 = 2  (1,2)2 = 0,56(Y) = = 0,74833 Tức là mức chênh lệch trung bình về chi phí quảng cáo của các cơng ty vào khoảng 0,748 triệu đồng/tháng.(đọc giáo trình)2- Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều liên tục (đọc giáo trình)III- Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều3- Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là: cov(X, Y), được định nghĩa:=1- Hiệp phương sai:Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc thì: Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều liên tục thì:Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì:cov(X, Y) = 0 Nếu cov(X, Y) = 0 thì X và Y khơng tương quan, ngược lại, nếu cov(X, Y)  0 thì X và Y cĩ tương quan, khi đĩ X, Y là hai biến ngẫu nhiên khơng độc lập. cov(X, X) = var(X); cov(X, Y) = cov(Y, X)2- Hệ số tương quan Hệ số tương quan, ký hiệu là XY, được định nghĩa như sau: trong đĩ: tương ứng là độ lệch chuẩn của X và YCĩ thể chứng minh:IV- Phân phối xác suất cĩ điều kiện và kỳ vọng tốn cĩ điều kiệnThí dụ: Cho biết bảng phân phối xác suất của ĐLNN 2 chiều (X, Y), trong đĩ X là doanh thu, Y là chi phí quảng cáo của các cơng ty tư nhân.(đơn vị tính của X & Y là triệu đồng/tháng). Tìm phân phối xác suất của X (doanh thu) với điều kiện Y = 1 Y100150200PY00,10,050,05 0,210,050,20,15 0,42 0 0,1 0,3 0,4 PX0,150,350,51 XCác giá trị X cĩ thể nhận: 100; 150; 200Tính tương tự ta được:Vậy phân phối cĩ điều kiện của X (điều kiện là Y= 1) như sau: X 100 150 200 PX/Y= 1 0,125 0,5 0,375 Từ bảng phân phối xác suất cĩ điều kiện ở trên, ta tính được kỳ vọng tốn cĩ điều kiện:E(X/Y= 1) = 1000,125 + 1500,5 + 2000,375 = 162,5Tức doanh thu trung bình của những cơng ty cĩ chi phí quảng cáo 1 triệu đ/tháng là 162,5 triệu đồng/tháng.Tính tương tự ta được:Phân phối cĩ điều kiện của X (điều kiện là Y= 2) như sau: X 150 200 PX/Y= 2 0,25 0,75 E(X/Y= 2) = 150 0,25 + 200 0,75 = 187,5 Kết quả này cho biết doanh thu trung bình của những cơng ty cĩ chi phí quảng cáo ở mức 2 triệu đ/tháng là 187,5 triệu đồng/tháng. Hiệp phương sai của (X, Y):cov(X, Y) = = 100 0 0,1 + 150 0 0,05 + . . . + 200 2 0,3  167,5 1,2   = 215  201 = 14 Hệ số tương quan giữa 2 biến X và Y:= 0,5153 V- HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNGNGẪU NHIÊN 1- PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM MỘT ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNNếu với mỗi giá trị cĩ thể cĩ của đại lượng ngẫu nhiên X, qua hàm f(X), ta xác định được một giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Y thì Y được gọi là hàm của đại lượng ngẫu nhiên X: Y = f(X)a- Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và ứng một giá trị của X ta cĩ một giá trị của Y Thí dụ 1: Đại lượng ngẫu nhiên X cĩ bảng phân phối xác suất như sau:X234P0,30,50,2  Tìm phân phối xác suất của Y Y = 2X + 5Giải: Các giá trị mà Y cĩ thể nhận là: y1 = 2  2 + 5 = 9 y2 = 3  2 + 5 = 11 y3 = 4  2 + 5 = 13 P(Y= 9) = P(X= 2) = 0,3 P(Y= 11) = P(X= 3) = 0,5 P(Y= 13) = P(X= 4) = 0,2Phân phối xác suất của Y:Y91113P0,30,50,2b- Nếu tương ứng với hai giá trị của X ta cĩ một giá trị của YTìm phân phối xác suất của Y: Y = X2 + 3X-212P0,10,40,5Thí dụ 2: Đại lượng ngẫu nhiên X cĩ bảng phân phối xác suất như sau:Khi X = 2 thì Y= (2)2 + 3 = 7Khi X = 1 thì Y= 12 + 3 = 4Khi X = 2 thì Y= 22 + 3 = 7Giải:(Y= 7) = (X= 2)  (X= 2)P(Y= 7) = P(X=2) + P(X= 2) = 0,6P(Y = 4) = P(X = 1) = 0,4Vậy phân phối xác suất của Y như sau: Y 4 7 P 0,4 0,6 Nếu ứng với mỗi giá trị của ĐLNN 2 chiều (X, Z), qua hàm (X, Z) ta xác định được một giá trị của Y thì Y được gọi là hàm của 2 ĐLNN X và Z.2- PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM HAI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Y = (X, Z)Nếu biết được phân phối xác suất của X và Z, ta cĩ thể tìm được phân phối xác suất của Y.Thí dụ: Xác suất để máy thứ nhất sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8; Xác suất này đối với máy thứ hai là 0, 7; Cho máy thứ nhất sản suất 3 sản phẩm và máy thứ hai sản xuất 1 sản phẩm. Tìm phân phối xác suất của số sản phẩm loại A cĩ trong 4 sản phẩm do hai máy sản xuất ?Gọi X là số sản phẩm loại A cĩ trong 3 sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất. X  B(3; 0,8). Bảng phân phối xác suất của X như sau:Giải: X 0 1 2 3 P0,008 0,096 0,384 0,512 Gọi Z là số sản phẩm loại A cĩ trong 1 sản phẩm do máy thứ hai sản xuất. Z  B(1; 0,7) Bảng phân phối xác suất của Z như sau: Z 0 1 P 0,3 0,7 Gọi Y là số sản phẩm loại A cĩ trong 4 sản phẩm do hai máy sản xuất thì: Y = X + Z Để tìm các giá trị mà Y cĩ thể nhận và tính các xác suất tương ứng ta lập bảng như sau: XZ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 4P(Y = 0) = P(X = 0)P(Z = 0) = 0,008 * 0,3 = 0,0024 P(Y = 1) = P(X = 0)P(Z = 1) + P(X = 1)P(Z = 0)= 0,008 * 0,7 + 0,096 * 0,3 = 0,0344 P(Y = 2) = 0,384* 0,3 + 0,096 * 0,7 = 0,1824Tính tương tự, ta được:P(Y = 3) = 0,384 *0,7 + 0,512 *0,3 = 0,4224P(Y = 4) = 0,512 * 0,7 = 0,3584Phân phối xác suất của Y như sau: Y 0 1 2 3 4 P0,0024 0,0344 0,1824 0,4224 0,3584Tổng kết chương 4ĐLNN 2 chiềuHàm của các ĐLNN ĐN, phân loại. Bảng pp xs Các tham số Khái niệm Hàm của 1 ĐLNN Hàm của 2 ĐLNN Bài tập 4.6; 4.8; 4.13; 4.18; 4.19; 4.20;Hết chương 4