Bài giảng Lý thuyết sác xuất và thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

thị. Đạùi lượng ngẫu nhiờnKhi thực hiện một phộp thử, bằng một qui tắc hay một hàm ta cú thể gỏn cỏc giỏ trị bằng số cho những kết quả của một phộp thử.Đại lượng ngẫu nhiờn là đại lượng nhận cỏc giỏ trị khỏc nhau tuỳ thuộc vào kết quả của một phộp thử.Khi thực hiện phộp thử, đại lượng ngẫu nhiờn sẽ nhận một (và chỉ một) giỏ trị trong tập hợp cỏc giỏ trị mà nú cú thể nhận. Đại lượng ngẫu nhiờn nhận một giỏ trị cụ thể là biến cố.Cỏc đại lượng ngẫu nhiờn thường được ký hiệu là: X, Y, Z, . . . X1, X2, . . . , Xn ; Y1, Y2, . . . , Ym; . . . . Cỏc giỏ trị ĐLNN cú thể nhận được ký hiệu là: x1, x2, . . ., xn; y1, y2, . . . , ym; . . . Cú thể định nghĩa ĐLNN như sau:Cho phộp thử  cú khụng gian mẫu . Một ỏnh xạ từ  vào Rđược gọi là một đại lượng ngẫu nhiờn (hay biến ngẫu nhiờn)Kiểm tra 3 sản phẩm và gọi X là số sản phẩm đạt tiờu chuẩn cú trong 3 sản phẩm kiểm tra.Thớ dụ:111000001010100110101011X = 0X = 1X = 2X = 3Đại lượng ngẫu nhiờn cú thể là rời rạc hoặc liờn tục.Đại lượng ngẫu nhiờn được gọi là rời rạc nếu tập hợp cỏc giỏ trị mà nú cú thể nhận là một tập hợp hữu hạn hoặc vụ hạn đếm được.II – Phõn loại ĐLNNĐối với ĐLNN rời rạc, ta cú thể liệt kờ được cỏc giỏ trị của nú.ĐLNN được gọi là liờn tục nếu cỏc giỏ trị mà nú cú thể nhận cú thể lấp kớn một khoảng trờn trục số.Đối với ĐLNN liờn tục, ta khụng thể liệt kờ tất cả cỏc giỏ trị của nú. Thớ dụ: Số sinh viờn vắng mặt trong mỗi buổi học ; số mỏy hỏng trong từng ngày của một phõn xưởng, . . . là cỏc đại lượng ngẫu nhiờn rời rạc.Nếu gọi X là trọng lượng của một loại sản phẩm do một nhà mỏy sản xuất; Y là thu nhập của những người làm việc trong một ngành; . . . . thỡ X, Y là những đại lượng ngẫu nhiờn liờn tục.1- Bảng phõn phối xỏc suất Bảng phõn phối xỏc suất dựng để thiết lập phõn phối xỏc suất của đại lượng ngẫu nhiờn rời rạc.III – Phõn phối xỏc suất của đại lượng ngẫu nhiờnGiả sử đại lượng ngẫu nhiờn X cú thể nhận một trong cỏc giỏ trị: x1, x2, . . . ., xn với cỏc xỏc suất tương ứng là:  p1, p2, . . . ., pn pi = P(X = xi) (i = 1, 2, . . . , n)Đối với bảng phõn phối xỏc suất, ta luụn cú: = 1 Bảng phõn phối xỏc suất của X cú dạng: X x1 x2 . . . xn P p1 p2 . . . pnThớ dụ: Một hộp cú 10 sản phẩm (trong đú cú 6 sản phẩm loại I). Lấy ngẫu nhiờn khụng hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm. Lập bảng phõn phối xỏc suất của số sản phẩm loại I cú trong 2 sản phẩm lấy ra. Giải: Gọi X là số sản phẩm loại I cú trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp thỡ X là ĐLNN rời rạc cú thể nhận cỏc giỏ trị : 0, 1, 2 với cỏc xỏc suất tương ứng:Vậy phõn phối xỏc suất của X là: X 0 1 2 P 2/15 8/15 5/15Vỡ sao đối với bảng phõn phối xỏc suất, ta luụn cú: = 1 2- Hàm mật độ xỏc suất Hàm mật độ xỏc suất của đại lượng ngẫu nhiờn liờn tục X, ký hiệu là f(x), thỏa món cỏc điều kiện sau: ê f(x)  0 (x) êP(a 3Đồ thị hàm phõn phối xỏc suất b- Tớnh chất: ê Tớnh chất 1: Hàm phõn phối xỏc suất luụn luụn nhận giỏ trị trong khoảng [0, 1], tức: 0 ≤ F(x) ≤ 1ê Tớnh chất 2: Hàm phõn phối xỏc suất là hàm khụng giảm. Tức là: Nếu x2 > x1 thỡ: F(x2) ≥ F(x1)ê Hệ quả 1: P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)ê Hệ quả 2: Xỏc suất để ĐLNN liờn tục nhận một giỏ trị xỏc định cho trước luụn bằng 0.ê Hệ quả 3: Nếu X là ĐLNN liờn tục thỡ: P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) ê Tớnh chất 3: LimF(x) = 1; LimF(x) = 0X -X Tớnh chất này cú thể viết như sau: F(+) = 1; F(-) = 0c- í nghĩa của hàm phõn phối xỏc suất: Hàm F(x) phản ỏnh mức độ tập trung xỏc suất về phớa bờn trỏi của điểm x. Giỏ trị của hàm F(x) cho biết cú bao nhiờu phần của một đơn vị xỏc suất phõn phối trong khoảng ( -, x).1- Kỳ vọng toỏn:a- Định nghĩa: IV – Cỏc tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiờnX là đại lượng ngẫu nhiờn rời rạc cú thể nhận cỏc giỏ trị: x1, x2, . . . , xn với cỏc xỏc suất tương ứng: p1, p2, . . . , pn Kỳ vọng toỏn của đại lượng ngẫu nhiờn X ký hiệu là E(X):E(X) = b- Cỏc tớnh chất: E(C) = C (với C là hằng số)  E(CX) = CE(X) (C - hằng số) E(X1 + X2 + . . . + Xn) = E(X1) + E(X2) + . . . + E(Xn) E(X1X2 . . . Xn) = E(X1)E(X2) . . . E(Xn)Nếu X1, X2, . . . , Xn độc lập. Khỏi niệm 2 ĐLNN độc lập X và Y là hai ĐLNN độc lập nếu phõn phối xỏc suất của X thay đổi khụng làm thay đổi phõn phối xỏc suất của Y và ngược lại. Nếu X, Y khụng thỏa điều kiện nờu trờn thỡ X, Y là hai ĐLNN phụ thuộc.c- Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toỏn Thớ dụ: Một lớp cú 50 sinh viờn, trong kỳ thi mụn toỏn cú kết quả cho ở bảng sau:Điểm 3 4 5 6 7 8 9Số s/v 3 7 15 10 5 6 4 Nếu gọi X là điểm thi mụn toỏn của một s/v chọn ngẫu nhiờn từ lớp này thỡ X là ĐLNN cú phõn phối xỏc suất như sau:X 3 4 5 6 7 8 9P 0,06 0,14 0,3 0,2 0,1 0,12 0,08 E(X) = 5,82 chớnh là điểm thi trung bỡnh mụn toỏn của một sinh viờn trong lớp.E(X) = 3 0,06 + 40,14 + . . . 90,08Kỳ vọng toỏn của đại lượng ngẫu nhiờn chớnh là giỏ trị trung bỡnh của đại lượng ngẫu nhiờn.2- Phương sai:a- Định nghĩa: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiờn X, ký hiệu là Var(X).Var(X) = EX- E(X)2Trong thực tế thường tớnh phương sai bằng cụng thức:Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 Thớ dụ: Cho ĐLNN X cú luật phõn phối xỏc suất như sau: X 1 3 4 P 0,1 0,5 0,4Tỡm var(X).Giải: Theo định nghĩa của E(X) ta cú:E(X) = 1ì0,1 + 3ì0,5 + 4ì0,4 = 3,2E(X2) = 12ì0,1 + 32ì0,5 + 42ì0,4 = 11Vậy: Var(X) = 11 – (3,2)2 = 0,76b- Cỏc tớnh chất của phương sai:ê Var(C) = 0 (C - const)ê Var(CX) = C2 Var(X) (C - const)ê Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiờn độc lập thỡ: Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y)Trường hợp tổng quỏt, nếu X1, X2, . . . , Xn là n đại lượng ngẫu nhiờn độc lập thỡ:Var(X1 + X2 + . . . + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + . . . + Var(Xn) Hệ quả 2: Var(C + X) = Var(X) (với C là hằng số )Hệ quả 1: Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)Nếu X, Y độc lập3- Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiờn X ký hiệu là (X) là căn bậc 2 của phương sai:(X) = Đụọ lệch chuẩn cú cựng đơn vị đo với đại lượng ngẫu nhiờn. Đơn vị đo của phương sai bằng bỡnh phương đơn vị đo của đại lượng ngẫu nhiờn. 4- Giỏ trị tin chắc nhấta- Định nghĩa: Giỏ trị tin chắc nhất của đ.l.n.n X ký hiệu là Mod(X) Nếu X là đ.l.n.n rời rạc thỡ Mod(X) là giỏ trị của X ứng với xỏc suất lớn nhất trong bảng phõn phối xỏc suất của X. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiờn liờn tục thỡ Mod(X) là giỏ trị của X tại đú hàm mật độ đạt giỏ trị cực đại.b- Thớ dụ 1: X là đại lượng ngẫu nhiờn cú bảng phõn phối xỏc suất như sau: X 7 8 9 10 11 12 14 P0,1 0,14 0,3 0,24 0,11 0,06 0,05 Mod(X) = 9c - Thớ dụ 2: X là đại lượng ngẫu nhiờn cú hàm mật độ xỏc suất như sau:Mod(X) = 4,64,6xf(x)0Mod(X) chớnh là giỏ trị cú khả năng xảy ra nhiều nhất trong cỏc giỏ trị mà đ.l.n.n X cú thể nhận. Nếu X là chiều cao của s/v trong một trường, thỡ Mod(X) là chiều cao mà nhiều s/v đạt được nhất;Nếu Y là thu nhập của cụng nhõn trong một nhà mỏy thỡ Mod(Y) là thu nhập mà số cụng nhõn cú mức thu nhập này ở nhà mỏy là nhiều nhất . . . * Chỳ ý: Mod(X) cú thể nhận nhiều giỏ trị khỏc nhau.Thớ dụ: X là đ.l.n.n cú bảng phõn phối xỏc suất như sau: X 1 2 3 4 5 6 7 P0,1 0,15 0,3 0,3 0,08 0,05 0,02 Mod(X) = 3 hoặc Mod(X) = 4. TỔNG KẾT CHƯƠNG 2 ĐLNN PP xỏc suất của ĐLNN Cỏc tham số đặc trưng của ĐLNNrờirạcliờn tụcBảng PP XShàm PP XS hàm mậtđộ xS KỳvọngtoỏnPhgsaiđộlệchchuẩnĐN, cỏc t/cĐịnh nghĩaĐN, cỏch tớnh, cỏc t/c Bài tập: 2.5; 2.6; 2.9; 2.20; 2.25; 2.28.Hết chương 2