Bài giảng Dao động kỹ thuật

ổi theo thời gian mà cĩ một đặc điểm nào đĩ lặp lại ít nhất một lần. Dao động kỹ thuật là dao động của các hệ kỹ thuật (các máy mĩc, các phƣơng tiện giao thơng vận tải,). Các kiến thức về lý thuyết dao động ngày nay trở thành một bộ phận khơng thể thiếu đƣợc trong tổng thể các kiến thức cần phải trang bị cho ngƣời kỹ sƣ cơ khí, xây dựng, tự động hố, Nhằm đáp ứng yêu cầu cần thiết đĩ mơn học Dao động kỹ thuật đã đƣợc đƣa vào chƣơng trình giảng dạy cho sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung mơn học gồm hai phần: Dao động tuyến tính của hệ hữu hạn bậc tự do và Dao động tuyến tính của hệ vơ hạn bậc tự do trong tổng số 4 chƣơng của chƣơng trình mơn học. Tập bài giảng đƣợc viết trên cơ sở chƣơng trình mơn học Dao động kỹ thuật. Ngƣời biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Dao động kỹ thuật theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sƣ phạm và yêu cầu chất lƣợng của một bài giảng giảng dạy đại học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên cĩ thể học các mơn học tiếp theo của các ngành Cơng nghệ hàn, Cơng nghệ Ơ tơ, Cơng nghệ chế tạo máy Các Ví dụ trong bài giảng gồm hai loại: Các Ví dụ củng cố kiến thức và các Ví dụ áp dụng giải một số mơ hình dao động trong kỹ thuật. Tập bài giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên chắc chắn cịn nhiều thiếu sĩt. Chúng tơi rất mong nhận đƣợc sự gĩp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để cĩ điều kiện sửa chữa, hồn thiện hơn tập bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho cơng tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đĩng gĩp xin gửi về địa chỉ: Bộ mơn Kỹ thuật cơ sở, Khoa cơ khí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm kỹ thuật Nam Định. Nhĩm tác giả biên soạn 1 MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU ................................................................................................................. 1 MỤC LỤC ....................................................................................................................... 2 Chƣơng 1 ......................................................................................................................... 4 MƠ TẢ ĐỘNG HỌC CÁC QUÁ TRÌNH DAO ĐỘNG ................................................ 4 1.1 DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ ...................................................................................... 4 1.1.1 Biểu diễn thực dao động điều hồ .................................................................. 4 1.1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ ................................................................. 5 1.1.3 Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng và cùng tần số ...................... 6 1.2 DAO ĐỘNG TUẦN HỒN ................................................................................. 7 1.2.1 Các tham số động học của dao động tuần hồn ............................................. 7 1.2.2 Tổng hợp hai dao động điều hồ cĩ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ .............................................................................................. 9 1.2.3 Phân tích Fourier các hàm tuần hồn ........................................................... 11 1.2.4 Biểu diễn các hàm tuần hồn trong miền tần số ........................................... 14 1.2.5 Biểu diễn đồng thời hai đại lƣợng dao động điều hồ theo hai phƣơng vuơng gĩc với nhau .......................................................................................................... 14 1.2.6 Biểu diễn dao động tuần hồn trên mặt phẳng pha ...................................... 18 1.3 DAO ĐỘNG KHƠNG TUẦN HỒN ................................................................ 20 1.3.1 Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vơ tỷ .................................................................................................... 20 1.3.2 Biểu diễn tích phân Fourier các hàm khơng tuần hồn ................................ 22 1.3.3 Dao động họ hình sin .................................................................................... 25 CÂU HỎI ƠN TẬP ....................................................................................................... 29 Chƣơng 2 ....................................................................................................................... 30 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO ........................................ 30 2.1 DAO ĐỘNG TỰ DO KHƠNG CẢN .................................................................. 30 2.1.1 Các thí dụ về thiết lập phƣơng trình vi phân dao động ................................ 30 2.1.2 Tính tốn dao động tự do khơng cản ............................................................ 32 2.1.3 Xác định các tham số độ cứng của hệ dao động .......................................... 37 2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO CĨ CẢN........................................................................... 44 2.2.1 Tính tốn dao động tự do cĩ ma sát nhớt ..................................................... 44 2.2.2 Tính tốn dao động tự do cĩ ma sát khơ ...................................................... 49 CÂU HỎI ƠN TẬP ....................................................................................................... 80 Chƣơng 3 ....................................................................................................................... 81 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO ..................................... 81 3.1 THÀNH LẬP CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG ....................... 81 2 3.1.1 Phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình Lagrange loại II. ................................. 81 3.1.2 Phƣơng pháp lực ........................................................................................... 86 3.2 DAO ĐỘNG TỰ DO KHƠNG CẢN .................................................................. 91 3.2.1 Các tần số riêng và các dạng dao động riêng ............................................... 91 3.2.2 Tính chất trực giao của các véc tơ riêng ....................................................... 93 3.2.3 Các tọa độ chính ........................................................................................... 94 3.2.4 Các tọa độ chuẩn .......................................................................................... 98 3.3 DAO ĐỘNG TỰ DO CĨ CẢN......................................................................... 104 3.3.1 Phƣơng pháp giải trực tiếp (ma trận cản tùy ý) .......................................... 104 3.3.2 Phƣơng pháp ma trận dạng riêng (ma trận cản đặc biệt) ............................ 106 3.4 Dao động cƣỡng bức ......................................................................................... 109 3.4.1 Phƣơng pháp giải trực tiếp ......................................................................... 109 3.4.2 Phƣơng pháp ma trận dạng riêng ................................................................ 111 CÂU HỎI ƠN TẬP ..................................................................................................... 124 Chƣơng 4 ..................................................................................................................... 126 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ VƠ HẠN BẬC TỰ DO ................................ 126 4.1 DAO ĐỘNG DỌC VÀ DAO ĐỘNG XOẮN CỦA THANH THẲNG ........... 126 4.1.1 Dao động dọc tự do của thanh đồng chất tiết diện khơng đổi .................... 126 4.1.2 Dao động dọc cƣỡng bức của thanh thẳng đồng chất tiết diện khơng đổi . 132 4.1.3 Dao động dọc tự do của thanh cĩ tiết diện thay đổi ................................... 135 4.2 DAO ĐỘNG XOẮN CỦA THANH THẲNG .................................................. 139 4.3 DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ........................................................................ 141 4.3.1 Thiết lập phƣơng trình vi phân dao động uốn của dầm .............................. 141 4.3.2 Dao động uốn tự do của dầm Euler- Bernoulli đồng chất tiết diện khơng đổi ............................................................................................................................. 145 4.3.3 Dao động uốn cƣỡng bức của dầm Euler-Bernoulli đồng chất tiết diện khơng đổi ............................................................................................................................. 153 4.3.4 Dao động uốn tự do của dầm Timoshenko ................................................. 159 CÂU HỎI ƠN TẬP ..................................................................................................... 171 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 174 3 Chƣơng 1 MƠ TẢ ĐỘNG HỌC CÁC QUÁ TRÌNH DAO ĐỘNG Các quá trình dao động thƣờng là các quá trình thay đổi đa dạng theo thời gian. Trong tính tốn hoặc trong đo đạc các quá trình dao động ngƣời ta thƣờng phân thành dao động tuần hồn và dao động khơng tuần hồn. Một dạng đặc biệt của các dao động tuần hồn là dao động điều hồ. Trong chƣơng này ta sẽ trình bày một số tính chất động học và cách biểu diễn các dao động tuần hồn và khơng tuần hồn. Phần động học các quá trình dao động ngẫu nhiên sẽ đƣợc trình bày ở giáo trình khác. 1.1 DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ 1.1.1 Biểu diễn thực dao động điều hồ Dao động điều hồ đƣợc mơ tả về phƣơng diện động học bởi hệ thức y t = Asin ωt + α = Asinψ(t) (1.1) Dao động điều hồ cịn đƣợc gọi là dao động hình sin. Đại lƣợng A khơng giảm tổng quát luơn cĩ thể giả thiết là số dƣơng và đƣợc gọi là biên độ dao động. Nhƣ thế biên độ dao động là giá trị tuyệt đối của độ lệch lớn nhất của đại lƣợng dao động y(t) so với giá trị trung bình của nĩ (hình 1.1). Đại lƣợng ψ t = ωt + α đƣợc gọi là gĩc pha, hay một cách vắn tắt là pha dao động. Gĩc 훼 đƣợc gọi là pha ban đầu. 2 T =  y (t) A O t   t Hình 1.1 Dao động điều hồ Đại lƣợng 휔 đƣợc gọi là tần số vịng của dao động điều hồ, đơn vị của 휔 là rad/s hoặc s-1. Vì hàm sin cĩ chu kỳ 2휋 nên dao động điều hồ cĩ chu kỳ 2π T  (1.2) ω Điều đĩ đƣợc xác định bởi biến đổi sau: 2π y t + T = Asin ω t + + α = Asin ωt + α + 2π ω = Asin ωt + α = y(t) Nhƣ thế chu kỳ dao động là khoảng thời gian nhỏ nhất cần thiết để đại lƣợng dao động trở lại vị trí ban đầu. 4 1 Đại lƣợng f  (1.3) T đƣợc gọi là tần số dao động. Đơn vị của tần số f là s-1 hoặc Hz (Hertz). Nhƣ thế, tần số là số lần dao động thực hiện trong một giây. Giữa tần số dao động f và tần số vịng 휔 cĩ mối quan hệ sau 휔 = 2휋f (1.4) Từ cơng thức (1.1) ta thấy: một dao động điều hồ đƣợc xác định khi biết ba đại lƣợng A, 휔 và 훼. Mặt khác, một dao động điều hồ cũng đƣợc xác định duy nhất khi biết tần số vịng 휔 và các điều kiện đầu. Giả sử các điều kiện đầu cĩ dạng t = 0 ; y(0) = y0 ; y 0 = y 0 Khi đĩ từ phƣơng trình (1.1) ta cĩ y0 = Asinα ; y 0 = ωAcosα Từ đĩ suy ra y&2 Ay2 0 (1.5) 0 ω2 ωy0 α arctg (1.6) y&0 Việc biểu diễn pha ban đầu 훼 dƣới dạng (1.6) cĩ nhƣợc điểm là trong khoảng từ 0 đến 2휋 pha ban đầu 훼 khơng đƣợc xác định một cách duy nhất. Vì vậy để xác định 훼, ta cần chú ý đến cả hệ thức y α = arcsin 0 (1.7) A Ngƣời ta cũng hay biểu diễn dao động điều hồ (1.1) dƣới dạng sau y t = C1cosωt + C2sinωt (1.8) So sánh biểu thức (1.8) với biểu thức (1.1) ta cĩ các hệ thức C1 = Asinα; C2 = Acosα (1.9) Từ đĩ suy ra 2 2 C1 C1 A = C1 + C2 α = arctg = arcsin (1.10) C2 A Các hằng số C1 và C2 cũng cĩ thể xác định đƣợc từ các điều kiện đầu y& C = y ; C  0 1 0 2 ω 1.1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ Một cách biểu diễn cĩ hình ảnh dao động điều hồ là biểu diễn bằng véc tơ phức. Hàm điều hồ y(t) cĩ thể xem nhƣ là phần ảo của véc tơ phức z quay với vận tốc gĩc 휔 trong mặt phẳng số (hình 1.2) z Aei(ωt α)  Ae iα e iωt  Ae iωt (1.11) 5 y t = Im(z t ) (1.12) Đại lƣợng A = Aeiα đƣợc gọi là biên độ phức. Nhƣ thế biên độ phức A biểu diễn vị trí của véc tơ phức z tại thời điểm t = 0. Véc tơ phức z cịn đƣợc gọi là véc tơ quay. iy iy z A=|z| i z A=Ae y=Im(z) t t+  x x A Hình 1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ Nhờ cơng thức Euler eiφ = cosφ + isinφ Ta cĩ y t = Im z t = A Im(ei ωt+α ) = Asin(ωt + α) Trị tuyệt đối của véc tơ phức z bằng biên độ của dao động điều hồ. Việc biễu diễn dao động điều hồ bằng véc tơ phức quay trong mặt phẳng số gọi là ảnh véc tơ phức của dao động điều hồ. 1.1.3 Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng và cùng tần số Cho 2 dao động điều hồ cùng phƣơng và cùng tần số y1 t = A1 sin 휔푡 + 훼1 ; y2 t = A2sin⁡(ωt + α2) Tổng của hai dao động điều hồ trên đƣợc xác định bởi hệ thức y t = A1 sin ωt + α1 + A2sin⁡(ωt + α2) Sử dụng định lý cộng đối với hàm sin ta cĩ y t = A1 sin ωt cosα1 + A1cosωtsinα1 + A2sinωtcosα2 + A2cosωtsinα2 = A1cosα1 + A2cosα2 sinωt + A1sinα1 + A2sinα2 cosωt Nếu ta đƣa vào các ký hiệu Acosα = A1cosα1 + A2cosα2 Asinα = A1sinα1 + A2sinα2 thì biểu thức trên cĩ dạng y t = Asinωtcosα + Acosωtsinα = Asin(ωt + α) (1.13) Nhƣ thế tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng và cùng tần số là dao động điều hồ với tần số là tần số của các dao động điều hồ thành phần, biên độ A và gĩc pha ban đầu 훼 đƣợc xác định bởi các hệ thức sau 6 2 2 A = A1cosα1 + A2cosα2 + A1sinα1 + A2sinα2 (1.14) 2 2 = A1 + A2 + 2A1A2cos⁡(α1 − α1) A1 sinα 1 A 2 sinα 2 α arctg (1.15) A1 cosα 1 A 2 cosα 2 hoặc A sinα A sinα α arcsin 1 1 2 2 (1.16) A Nếu sử dụng cách biểu diễn phức dao động điều hồ, thì hai dao động điều hồ thành phần cĩ dạng i(ωt+α1) i(ωt+α2) z 1 = A1e ; z 2 = A2e Từ đĩ dao động tổng hợp cĩ dạng iα1 iα2 iωt iωt iωt z = z 1 + z 2 = A1e + A2e e = (A 1 + A 2)e = A e (1.17) Trong đĩ A = A 1 + A 2 (1.18) Cơng thức (1.18) đƣợc biểu diễn trên mặt phẳng số nhƣ hình 1.3. Sử dụng cơng thức Euler, từ (1.17) ta sẽ tìm đƣợc các cơng thức xác định biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp nhƣ các cơng thức (1.14) và (1.15) Khi các pha ban đầu 훼1 = 훼2 = 0 thì ta cĩ A A = A1 + A2 A1 Hai dao động điều hồ y1(t) và y2(t) cĩ cùng phƣơng, cùng tần số và cùng biên độ đƣợc gọi là các dao động đồng bộ. Mặc dù rằng các biên độ A1 và A2 1  A2 của chúng cĩ thể biểu diễn các đại lƣợng vật lý khác 2 nhau. Thí dụ nhƣ y (t) biểu diễn lực thay đổi điều hồ, 1 Hình 1.3 Tổng hợp hai dao y2(t) biểu diễn biến dạng đàn hồi do lực đĩ gây ra. động điều hồ Chúng tạo nên một quá trình diễn biến đồng bộ. 1.2 DAO ĐỘNG TUẦN HỒN 1.2.1 Các tham số động học của dao động tuần hồn Một hàm số y(t) đƣợc gọi là hàm tuần hồn, nếu tồn tại một hằng số T > 0, sao cho với mọi t ta cĩ hệ thức y(t + T) = y(t) (2.1) Một quá trình dao động đƣợc mơ tả về mặt động học bởi một hàm tuần hồn y(t) đƣợc gọi là dao động tuần hồn. Hằng số T nhỏ nhất để cho hệ thức (2.1) đƣợc thoả mãn gọi là chu kỳ dao động. Hình vẽ 1.5 biểu diễn một quá trình diễn biến theo thời gian của một dao động tuần hồn. Chú ý rằng nếu hàm số y(t) cĩ chu kỳ T thì hàm số u(t) = y(at) cĩ chu kỳ là T/a. 7 Thực vậy T T u t + = y a t + = y at + T = y at = u(t) a a Hình 1.4 Dao động tuần hồn Đại lƣợng nghịch đảo của chu kỳ dao động 1 f  (2.2) T đƣợc gọi là tần số dao động. Nhƣ thế tần số dao động f là số dao động thực hiện trong một đơn vị thời gian. Nếu chu kỳ dao động T tính bằng giây (s) thì tần số dao động f tính bằng s-1 hoặc Hz (Hertz). Trong kỹ thuật ngƣời ta hay sử dụng khái niệm tần số vịng ω ω = 2πf (2.3) Khái niệm tần số vịng ω đƣợc dung nhiều nên đơi khi ngƣời ta hay gọi tắt nĩ là tần số dao động. Cần chú ý đến cách gọi tắt này để khỏi nhầm lẫn với khái niệm tần số dao động f. Thứ nguyên của ω là rad/s hoặc 1/s. Biên độ A của dao động tuần hồn y(t) đƣợc định nghĩa bởi hệ thức sau 1 A = max y t − min y(t) (2.4) 2 Đối với dao động tuần hồn, ngồi các tham số động học đặc trƣng nhƣ chu kỳ, tần số, biên độ ngƣời ta cịn sử dụng các tham số giá trị trung bình theo thời gian của hàm y(t) trong một chu kỳ. Ba loại giá trị trung bình hay đƣợc sử dụng là giá trị trung bình tuyến tính T 1 2 ytt   y t dt (2.5) T T  2 giá trị trung bình hiệu dụng 8 T 1 2 2 (2.6) yhd   y t dt T T  2 và giá trị trung bình hiệu chỉnh T 1 2 yhc   y(t) dt (2.7) T T  2 Trong các cơng thức (2.5), (2.6) và (2.7) khoảng lấy tích phân – T/2, T/2 cĩ thể thay bằng khoảng t0, t0 + T . 1.2.2 Tổng hợp hai dao động điều hồ cĩ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ Cho hai dao động điều hồ thành phần y1 t = A1 sin 휔1푡 + 훼1 ; y2 t = A2sin⁡(ω2t + α2) với ω T p 12  1 p,q  1,2,3  (2.8) ω21 T q Tổng của hai dao động điều hồ trên đƣợc xác định bởi hàm y t = y1 t + y2 t = A1 sin ω1t + α1 + A2 sin ω2t + α2 (2.9) Chu kỳ của dao động thành phần y1(t) là T1 = 2π/ω1, của dao động thành phần y2(t) là T2 = 2π/ω2. Từ cơng thức (2.8) ta suy ra chu kỳ của dao động tổng hợp y(t) là T = pT1 = qT2 (2.10) Vậy tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phƣơng khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ ω1: ω2 = p: q là một dao động tuần hồn chu kỳ T = pT1 = qT2. Nếu p/q là phân số tối giản thì T là bội số chung nhỏ nhất của T1 và T2. Hình 1.5 là đồ thị dao động tổng hợp của hai dao động điều hồ với A1:A2 = 2:1, ω1: ω2 = 2: 3, α1 = 0, α2 = π 3 Hình 1.5 Đồ thị dao động tổng hợp của hai dao động điều hồ 9 Nếu sử dụng các véc tơ phức ta cĩ thể viết một cách hình thức nhƣ sau iψ1 iψ2 iψ z = z 1 + z 2 = z 1 e + z 2 e = z e (2.11) Trong đĩ z 1 = A1 ; z 2 = A2 ; ψ1 = ω1t + α1 ; ψ2 = ω2t + α2 Từ hình vẽ 1.6 ta cĩ thể xác định đƣợc mođun z và argument ψ của số phức z 2 2 z = z 1 + z 2 − 2 z 1 z 2 cos π − ψ2 − ψ1 (2.12) 2 2 = A1 + A2 + 2A1A2cos ω2 − ω1 zzsin ψ sinψ ψ t  arcsin 1 1 2 2 (2.13) z A sin ω t + α + A sin ω t + α = arcsin 1 1 1 2 2 2 z Bây giờ ta xét một trƣờng hợp riêng quan trọng. Đĩ là trƣờng hợp 1 - 2 nhỏ và biên độ các dao động điều hồ thành phần bằng nhau A1 = A2 = A. Chú ý đến hệ thức lƣợng giác 2푐표푠2훼 = 1 + 푐표푠2훼, từ cơng thức (2.12) ta suy ra z = A 2 1 + cos ω2 − ω1 t + α2 − α1 = 2A cos ω2 − ω1 t + α2 − α1 /2 2.14 Hình 1.6 Tổng hợp hai dao động điều hồ α β α β Chú ý đến hệ thức lƣợng giác sinα sinβ 2sin cos ta cĩ thể biến 22 đổi biểu thức (2.13) về dạng đơn giản hơn ω + ω t + α + α ω − ω t + α − α 2sin 2 1 2 1 . cos 2 1 2 1 2 2 ψ t = arcsin ω − ω t + α − α 2cos 2 1 2 1 2 10 1 = ω + ω t + α + α (2.15) 2 1 2 2 1 Để viết cho gọn ta đƣa vào ký hiệu ω ω t  α  α a t  2Acos 2 1 2 1 (2.16) 2 Chú ý đến (2.14), (2.15), (2.16) từ cơng thức (2.11) ta suy ra y t = Im(z ) ω ω t  α  α   ω  ω t  α  α   2Acos2 1 2 1  sin  2 1 2 1  22 ω ω t  α  α  a t sin 2 1 2 1 (2.17) 2 Vậy khi ω1 khá gần ω2 và biên độ A1 = A2, dao động tổng hợp (2.17) là dao động hình sin với tần số vịng ω = ω1 + ω2 2 và biên độ dao động a(t) là hàm thay đổi chậm theo thời gian. Tần số vịng của biên độ a(t) là ω1 − ω2 2. Quá trình dao động nhƣ thế đƣợc gọi là hiện tƣợng phách. Hình 1.7 là một thí dụ minh hoạ về dao động tổng hợp của hai dao động điều hồ tần số khá gần nhau. Hình 1.7 Dao động tổng hợp của hai dao động điều hồ tần số khá gần nhau 1.2.3 Phân tích Fourier các hàm tuần hồn Trong thực tế ta ít gặp các dao động điều hồ thuần tuý mà thƣờng hay gặp các 2휋 dao động phức tạp biểu diễn bằng hàm tuần hồn. Một hàm tuần hồn chu kỳ 푇 = 휔 với một số giả thiết mà trong thực tế luơn chấp nhận đƣợc cĩ thể phân tích thành chuỗi Fourier  y t  a0  akk cosk t  b sink t (2.18) k1 Trong đĩ a0 , ak , bk đƣợc gọi là các hệ số Fourier và đƣợc xác định bởi các cơng thức 11 1 T a0   y t dt T 0 2 T bk  y tsin k t dt k  1,2,  . (2.19) T 0 2 T ak  y tcos k t dt k  1,2,  T 0 Chuỗi Fourier (2.18) cĩ thể viết dƣới dạng chuẩn của dao động  y t  a0  Akksin k t  a  (2.20) k1 22 ak với Ak a k  b k,  k  arctg (2.21) bk Việc phân tích một hàm tuần hồn thành chuỗi Fourier đƣợc gọi là phân tích điều hồ. Hằng số a0 đƣợc gọi là giá trị trung bình của dao động, số hạng A1sin⁡(ωt + α1) đƣợc gọi là dao động cơ bản, số hạng Ak sin⁡(kωt + αk) đƣợc gọi là dao động bậc k-1 (với k > 1) hay gọi là các điều hồ. Nếu một chuỗi Fourier hội tụ đều thì nĩ sẽ hội tụ đến giá trị của hàm y(t). Đối với chuỗi Fourier hội tụ đều thì ta cĩ thể tích phân, vi phân từng số hạng của chuỗi. Chú ý rằng một chuỗi Fourier nào đĩ hội tụ, nhƣng chuỗi các đạo hàm các thành phần của nĩ cĩ thể khơng hội tụ. Thí dụ 1.1: Phân tích Fourier hàm răng cƣa nhƣ hình 1.8. Biết rằng giá trị của hàm ở các vị trí nhảy bằng khơng. y h O t T Hình 1.8 Hàm răng cưa Lời giải: Trong khoảng 0 < t < T hàm răng cƣa tuân theo quy luật 2t y t = h −1 + T Vậy y(t) là hàm lẻ, y(-t) = -y(t). Do đĩ các hệ số Fourier ak = 0. Theo cơng thức (2.19) ta cĩ 12 T 2h 2t 2kπt 2h b = −1 + sin dt = − k T T T kπ 0 Từ đĩ suy ra chuỗi Fourier của hàm răng cƣa cĩ dạng ∞ 2h 1 2kπt y t = − sin π k T k=1 Theo tiêu chuẩn hội tụ Abel chuỗi trên hội tụ. Ta xét các tổng bộ phận của chuỗi trên n 2h 1 2kπt y t = − sin n π k T k=1 Trên hình 1.9b là đồ thị của đƣờng cong yn(t) (n = 1, 2, 3) của chuỗi trong nửa chu kỳ. Khi n càng tăng thì yn(t) càng gần giống y(t). Trong khi nhiều bài tốn thực tế hàm y(t) thƣờng cho dƣới dạng đồ thị hoặc bảng số. Khi đĩ để xác định các hệ số Fourier a0, ak, bk ta khơng thể sử dụng các cơng thức tích phân (2.19). Để phân tích điều hồ gần đúng, ngƣời tat hay chuỗi Fourier (2.18) của hàm y(t) bằng một đa thức lƣợng giác n 2kπt 2kπt y t = a + a cos + b sin (2.22) n 0 k T k T k=1 Hình 1.9 Đồ thị đường cong yn(t) Để xác định các hệ số Fourier a0, ak, bk ngƣời ta chia khoảng tích phân (0, T) thành m phần bằng nhau (m ≥ 2n+1) và xác định giá trị của hàm y(t) tại các điểm ti iT t = i=1,2,,m (2.23) i m Các cơng thức (2.19) đƣợc thay bởi cơng thức sau 1 m a0i  y t  (2.24) m i1 13 m 2 2kiπ a = y t cos k m i m i=1 m 2 2kiπ b = y t sin , (k = 1,2, , n) k m i m i=1 1.2.4 Biểu diễn các hàm tuần hồn trong miền tần số Ta chọn hệ toạ độ vuơng gĩc, trục hồnh biểu diễn tần số ω (hoặc tần số f), trục tung biểu diễn độ lớn các biên độ A của các điều hồ. Việc biểu diễn các biên độ Ak ứng với tần số ωk = kω của điều hồ thứ k trong chuỗi Fourier của hàm tuần hồn y(t) trong mặt phẳng 휔, 퐴 gọi là biểu diễn hàm tuần hồn y(t) trong miền tần số. Tập hợp các biên độ Ak trong khai triển Fourier (2.20) của hàm tuần hồn y(t) đƣợc gọi là phổ của hàm tuần hồn y(t). Trên hình 1.10 biểu diễn phổ của hàm răng cƣa trong thí dụ 1.1. Việc cho biết các biên độ Ak của các điều hồ chƣa đủ các thong tin về hàm y(t), bởi vì ta chƣa biết đƣợc các pha ban đầu của các điều hồ đĩ. Tuy nhiên từ biểu đồ biên độ - tần số ta cũng cĩ thể giải quyết đƣợc khá nhiều vấn đề của bài tốn dao động cần nghiên cứu. Từ kết quả đo dao động, các máy phân tích tần số đơn giản cũng cĩ thể xác định đƣợc biên độ của dao động cơ bản và các dao động bậc cao. Việc xác định các pha ban đầu địi hỏi các thiết bị đo tƣơng đối phức tạp. Dao động cơ bản A k 1. 2. 3. 4. 5. Dao động bậc cao 2. 3. 4. 5. 6. Bậc điều hoà  1 1 11 1 1 Hình 1.10 Phổ của hàm răng cưa Nếu muốn biểu diễn đầy đủ các thơng tin về một hàm tuần hồn trong miều tần số, ta sử dụng hai biểu đồ, một để vẽ các hệ số Fourier ak, một để vẽ các hệ số bk. Khi đĩ biên độ và pha ban đầu của các điều hồ sẽ đƣợc xác định bởi cơng thức (2.21) 1.2.5 Biểu diễn đồng thời hai đại lƣợng dao động điều hồ theo hai phƣơng vuơng gĩc với nhau a. Hai dao động điều hồ cĩ cùng tần số Giả sử cho hai dao động điều hồ cùng tần số thực hiện chuyển động đồng thời theo hai phƣơng vuơng gĩc với nhau x t = Asin ωt + α1 ; y t = Bsin ωt + α1 (2.25) 14 Từ hai phƣơng trình (2.25) khử biến thời gian t đi ta sẽ cĩ phƣơng trình quỹ đạo. Trƣớc hết ta viết lại phƣơng trình (2.25) dƣới dạng sau x sinωtcosα sinα cosωt (2.26) A 11 y sinωtcosα sinα cosωt (2.27) B 22 Nhân hai phƣơng trình (2.26) với −cosα2, phƣơng trình (2.27) với cosα1 rồi cộng lại ta đƣợc xy cosα  cosα  cosωtsin α  α  (2.28) AB2 1 2 1 Nhân phƣơng trình (2.26) với sinα2, phƣơng trình (2.27) với −sinα1 rồi cộng vế với vế xy sinα sinα  sinωtsin α  α  (2.29) AB2 1 2 1 Bình phƣơng hai vế của các phƣơng trình (2.28), (2.29) rồi cộng lại ta đƣợc phƣơng trình x22 y x y  2 cosα  α  sin2  α  α  (2.30) AB22AB 2 1 2 1 Phƣơng trình (2.30) là phƣơng trình đƣờng cong bậc hai với x, y theo (2.27) cĩ giá trị giới nội. Vậy (2.30) là phƣơng trình của đƣờng elip. Dạng của elip này phụ thuộc vào các biên độ dao động điều hồ A, B và vào hiệu các gĩc pha ∆α = α2 − α1. Ta xét một số trƣờng hợp đặc biệt sau đây 1. Trƣờng hợp ∆α = α2 − α1 = 0. Phƣơng trình (2.30) cĩ dạng 2 x y B  0  y  x (2.31) ABA Phƣơng trình elip suy biến thành phƣơng trình đƣờng thẳng. Quỹ đạo là một đoạn thẳng −A ≤ x ≤ A, −B ≤ y ≤ B . 2. Trƣờng hợp ∆α = α2 − α1 = π. Phƣơng trình (2.30) cĩ dạng 2 x y B  0  y   x (2.32) ABA Phƣơng trình elíp suy biến thành phƣơng trình đƣờng thẳng. Quỹ đạo là một đoạn thẳng −A ≤ x ≤ A, −B ≤ y ≤ B . 3. Trƣờng hợp ∆α = α2 − α1 = π/2 hoặc 3휋/2. Phƣơng trình (2.30) cĩ dạng xy22 1 (2.33) AB22 15 Phƣơng trình này chứng tỏ quĩ đạo chuyển động là một elip lấy Ox, Oy làm trục và cĩ hai bán trục là A và B. y y y y x x x x     Hình 1.11 Chiều chuyển động của điểm ảnh P(x,y) trên quỹ đạo Chú ý đến phƣơng trình (2.25) ta xác định đƣợc chiều chuyển động của điểm ảnh P(x,y) trên quĩ đạo (hình 1.11). Chẳng hạn khi ∆α = α2 − α1 = π/2 điểm ảnh P chuyển động trên quỹ đạo theo chiều kim đồng hồ, khi ∆α = α2 − α1 = 3π/2 điểm ảnh P chuyển động trên quỹ đạo theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ. Bây giờ chuyển sang xét trƣờng hợp biên độ của các đại lƣợng dao động cĩ độ lớn nhƣ nhau A = B. Bằng phép biến đổi các trục chính của elip, ta sẽ đƣợc kết quả là các trục chính sẽ nghiêng một gĩc β = 450 đối với các trục toạ độ. Dạng của elip bây giờ chỉ phụ thuộc vào hiệu hai gĩc pha ∆α = α2 − α1. Từ phƣơng trình (2.30) ta suy ra 2 2 2 2 x y  2xycos(α2  α) 1  Asin(α 2  α) 1 Ký hiệu a, b là các bán trục của elip. Ngƣời ta chứng minh đƣợc b α 2arctg (2.34) a Trên hình 1.12 là một vài đƣờng cong quĩ đạo của điểm ảnh với các ∆α = α2 − α1 khác nhau. y y y    b b/a A b = a A A a a b b A x A x A x a) b) c) y y   A A b/a a = 0 b a A x A x d) e) Hình 1.12 Một số đường cong quỹ đạo của điểm ảnh 16 b. Hai dao động điều hồ khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ Cho hai dao động điều hồ thực hiện chuyển động dọc theo hai trục toạ độ vuơng gĩc với nhau cĩ dạng x t = Asin ω1t + α1 ; y t = Bsin ω2t + α2 (2.35) với ω T p 1 = 2 = ≠ 1 (p, q = 1,2,3, . ) ω2 T1 q Trong trƣờng hợp này quĩ đạo là những đƣờng cong phức tạp nội tiếp trong một hình chữ nhật cạnh là 2A và 2B và đƣợc gọi là các đƣờng cong Lissajou. Hình dạng của chúng phụ thuộc vào tỷ số ω1/ω2 và hiệu số của các pha ∆α = α2 − α1. Trên hình 1.13 là đƣờng cong Lissajou khi ω1: ω2 = 2: 3 và ∆α = α2 − α1 = 0. Hình 1.13 Đường cong Lissajou khi 휔1: 휔2 = 2: 3 và ∆훼 = 훼2 − 훼1 = 0 Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng tỷ số ω1/ω2 bằng tỷ số cực đại các múi của đƣờng Lissajou dọc theo các trục Ox và Oy. Trên hình 1.14 là đồ thị các đƣờng Lissajou với ∆α = 0, T1/T2 lần lƣợt là 1/2, 2/3 và 3/4. Dựa vào hình dạng các đƣờng Lissajou ta cĩ thể xác định đƣợc chu kỳ của một dao động thành phần khi biết chu kỳ dao động của thành phần kia. Các đƣờng cong Lissajou đƣợc sử dụng nhiều trong kỹ thuật do dao động. 푇 1 푇 2 푇 3 1 = 1 = 1 = 푇2 2 푇 2 3 푇2 4 17 Hình 1.14 đồ thị các đường Lissajou 1.2.6 Biểu diễn dao động tuần hồn trên mặt phẳng pha Giả sử y(t) là một đại lƣợng dao . động. Khi đĩ đạo hàm của y(t) theo thời y t0 gian, ký hiệu là y (t), cũng là một đại lƣợng t1 t2 dao động. Ta cĩ thể xem y(t), y (t) là cách t3 biểu diễn dạng tham số của hàm y (y). Ta chọn hệ trục toạ độ vuơng gĩc với trục hồnh là y, trục tung là y . Đồ thị của hàm O y y (y) trong hệ toạ độ vuơng gĩc đĩ đƣợc gọi là quỹ đạo pha hay đƣờng cong pha. Hình 1.15 Điểm ảnh trên quỹ đạo pha Mặt phẳng (y, y ) đƣợc gọi là mặt phẳng pha. Trong mặt phẳng pha, dao động đƣợc mơ tả bởi sự di chuyển của điểm ảnh P(y, y ). Biểu diễn trên mặt phẳng pha ta khơng thấy đƣợc quá trình tiến triển của dao động theo thời gian. Để khắc phục nhƣợc điểm này, ngƣời ta gắn vào vị trí của các điểm ảnh trên quỹ đạo pha một thơng tin phụ về thời gian (hình 1.15). Điểm ảnh P(y, y ) cho biết giá trị tức thời của đại lƣợng dao động y và đạo hàm của nĩ theo thời gian ý ở thời điểm t. Ƣu điểm của sự biểu diễn dao động trên mặt phẳng pha là từ dạng hình học của quỹ đạo pha ta cĩ thể rút ra những kết luận quan trọng về tính chất của đại lƣợng dao động. Nếu đại lƣợng dao động là tuần hồn thì quỹ đạo pha là đƣờng cong kín. Trƣờng hợp đơn giản của dao động tuần hồn là dao động điều hồ. Từ phƣơng trình dao động điều hồ y = Asin ωt + α y = ωAcos(ωt + α) . y  . y A +A y y -A +A -A A -A -A a) b) Hình 1.16 C...e−δtsinωt = 0,25e−4,86tsin⁡(41,9t) ω 47 Thí dụ 2.10: Cho biết các điều kiện đầu cho một hệ dao động trên hình 2.18 là x(0) = x0 , 푥 0 = 0. Hãy xác định năng lƣợng hao tán trong một chu kỳ. Cho biết D = 0,01. Lời giải: Tại thời điểm đầu (t = 0), năng lƣợng của hệ dao động là 1 2 E = Π = cx (do T =0) 0 0 2 0 0 Sau một chu kỳ năng lƣợng của hệ là 1 b C E = Π = cx2 (do T =0) 2 1 1 2 1 1 Từ biểu thức dao động tự do tắt dần ta cĩ m x0 δt δt e  x10  x e x1 Do Hình 2.18 Hình 2π 2π 2π thí dụ 2.10 T = = = ω 2 2 2 ω0 − δ ω0 1 − D ta suy ra 2πD − 2 x1 = x0e 1−D Nhƣ thế, năng lƣợng hao tán trong một chu kỳ là 4πD 4πD 1 1 − 1 − ∆E = E − E = cx2 − cx2e 1−D2 = cx2(1 − e 1−D2 ) 0 1 2 0 2 0 2 0 1 Khi cho D = 0,01 thì ∆퐸 = 0,13 . 푐푥2. Vậy sau chu kỳ đầu, năng lƣợng của hệ bị hao 2 0 tán mất 13%. Thí dụ 2.11: Gắn một khối lƣợng m vào đầu thanh. Gắn vào thanh các phần tử cản và đàn hồi nhƣ hình 2.19. Bỏ qua khối lƣợng của thanh. - Phải chọn độ lớn của hệ số cản b nhƣ thế nào để hệ cĩ khả năng dao động nhỏ? - Xác định độ cản Lehs D cần thiết để sau mƣời dao động., biên độ giảm cịn 1/10 biên độ của chu kỳ đầu, sau đĩ xác định chu kỳ dao động. Hình 2.19 Hình thí dụ 2.11 48 Lời giải: Áp dụng định lý biến thiên mơmen động lƣợng đối với trục ds đi qua A và do 휑 nhỏ lấy xấp xỉ 푠푖푛휑 ≈ 휑 , 푐표푠휑 ≈ 1, ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân dao động của hệ b c g φ + φ + + φ = 0 4m m 2a 2 → φ + 2δφ + ω0φ = 0 Trong đĩ b c g 2δ = , ω2 = + 4m 0 m 2a Để hệ cĩ khả năng dao động nhỏ thì δ < ω0. Từ đĩ suy ra b c g gm2 < + → b < 8 cm + 8m m 2a 2a Từ các cơng thức (2.10) và (2.15) ta cĩ 2휋퐷 푞 1 10 = 푙푛 푛 = 푙푛10 → 퐷 = 0,037 2 푞 20휋 2 1 − 퐷 푛+10 + 1 푙푛10 Chu kỳ dao động 2π 2π 2π 2am T = = ≈ = 2π 2 ω ω0 1 − D ω0 2ac + gm 2.2.2 Tính tốn dao động tự do cĩ ma sát khơ Xét dao động của hệ mơ tả trên hình 2.20. Lực ma sát khơ (hay ma sát Coulomb) cĩ hƣớng phụ thuộc vào vận tốc của vật thể m −μmg khi q > 0 F = ms μmg khi q < 0 q c m . q<0 Fms . q>0 Hình 2.20 Hệ dao động tự do cĩ ma sát khơ Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng mq + cq − μmg = 0 khi q < 0 (2.16) 49 mq + cq + μmg = 0 khi q > 0 (2.17) Nếu ta đƣa vào các ký hiệu c μmg = ω2 , = s m 0 c thì các phƣơng trình (2.16) và (2.17) cĩ dạng .. 2 (q − s) + ω0(q − s) = 0 khi q < 0 (2.18) .. 2 (q + s) + ω0(q + s) = 0 khi q > 0 (2.19) Dễ dàng tính đƣợc nghiệm tổng quát của các phƣơng trình trên q = A1 cos ω0t + α1 + s khi q < 0 (2.20) q = A2 cos ω0t + α2 − s khi q > 0 (2.21) Chu kỳ dao động của hệ là 2πm T2π (2.22) ωc Để xác định biểu thức nghiệm, cần phải biết các điều kiện đầu. Giả sử tại thời điểm đầu t = 0 ∶ q 0 = q0 , q 0 = 0 . Trong nửa chu kỳ đầu q < 0 ta cĩ q t = A1 cos ω0t + α1 + s Các hằng số A1 và 훼1 đƣợc xác định từ các điều kiện đầu. Ta cĩ các phƣơng trình q 0 = A1 cos α1 + s = q0 q 0 = −ω0A1 sin α1 = 0 Giải hai phƣơng trình trên ta đƣợc α1 = 0, A1 = q0 − s. Nhƣ thế trong nửa chu π kỳ đầu 0 ≤ t ≤ vật điểm dao động theo qui luật ω0 q t = q0 − s cos ω0t + s (2.23) Từ biểu thức (2.23) ta xác định đƣợc điều kiện đầu cho dao động ở nửa sau của chu kỳ đầu T π t0  2 ω0 T q q00  s coscosπ  s  2s  q 2 T q0& 2 Trong nửa sau của chu kỳ đầu q > 0 ta cĩ q t = A2 cos ω0t + α2 − s Các hằng số A2 và 훼2 đƣợc xác định từ các điều kiện đầu. Ta cĩ các phƣơng trình T π q q  A2 coscosπ  α 2  s  2s  q 0 2 ω0 50 T π qq&&  ω0 A 2 sinsin π  α 2   0 2 ω0 Từ hai phƣơng trình trên suy ra α2 = 0, A2 = q0 − 3s. Nhƣ thế trong nửa thứ π 2π hai của chu kỳ đầu t vật điểm dao động theo qui luật ωω00 q t = q0 − 3s cos ω0t − s (2.24) Từ biểu thức (2.24) ta xác định đƣợc các điều kiện đầu cho dao động ở nửa đầu chu kỳ thứ hai q T = q0 − 4s , q T = 0 Sau đĩ tiếp tục tính tốn tƣơng tự nhƣ trên. Đồ thị dao động tự do cĩ ma sát khơ tƣơng ứng với điều kiện đầu t = 0 ∶ q 0 = q0 , q 0 = 0 cĩ dạng nhƣ hình 2.21a. Hình 2.21a Đồ thị dao động tự do cĩ ma sát khơ với điều kiện đầu 푡 = 0 ∶ 푞 0 = 푞0 , 푞 0 = 0 Ngày nay việc tính tốn dao động cĩ thể thực hiện khá đơn giản trên máy tính điện tử. Hai phƣơng trình (2.16) và (2.17) cĩ thể viết lại dƣới dạng 2 x + ω0x = −μgsign x (2.25) Trong đĩ  1khi x& 0 sign x&   (2.26) 1khi x& 0 51 −1 2 Cho biết ω0 = c m = 100s , μ = 0,1 , g = 9,81m/s . Với các điều kiện đầu 푥 0 = 0,005푚 , 푥 0 = 0 , sử dụng chƣơng trình MATLAB, ta dễ dàng tính đƣợc nghiệm của phƣơng trình (2.25). Đồ thị biểu diễn kết quả tính tốn cĩ dạng nhƣ hình 2.21b. Hình 2.21b Dao động tự do cĩ tính đến ma sát khơ 2.2.2.1 Dao động cƣỡng bức của hệ chịu kích động điều hồ a. Các dạng kích động và phƣơng trình vi phân dao động * Kích động lực Trên hình 2.22a là mơ hình dao động khối lƣợng – lị xo chịu kích động lực. Giả sử F t = F sinΩt, trong đĩ F là giá trị cực đại của hàm F(t). Đối với mơ hình này ta cĩ 1 1 1 T = my 2 , Π = cy2 , Φ = by2 , Q∗ = F(t) 2 2 2 Thế các biểu thức trên vào phƣơng trình Lagrange loại 2 d ∂T ∂T ∂Π ∂Φ − = − − + Q∗ dt ∂y ∂y ∂y ∂y ta đƣợc my + by + cy = F sinΩt (3.1) Chia hai vế của (3.1) cho m và đƣa vào ký hiệu y = F c , ta biến đổi (3.1) về dạng Hình 2.22 Hệ chịu kích động lực 52 22 &&y2δy &  ω00 y  ωyˆ sinΩt (3.1a) * Kích động bởi khối lượng lệch tâm Mơ hình dao động của hệ chịu kích động bởi khối lƣợng lệch tâm cho trên hình 2.22b. Rơto cĩ khối lƣợng lệch tâm m1 , quay đều với vận tốc gĩc Ω. Biểu thức động năng của hệ cĩ dạng 1 1 T = m y 2 + m v2 2 0 2 1 1 Do x1 = ecosΩt , x 1 = −eΩsinΩt , y1 = y + esinΩt , y 1 = y + eΩcosΩt nên ta cĩ 2 2 2 2 2 2 v1 = x 1 + y 1 = y + 2y eΩcosΩt + e Ω Từ đĩ suy ra Hình 2.22b Hệ chịu kích động bởi 11 T my&&2  m yeΩcosΩt  m e 2 Ω 2 khối lượng lệch tâm 2211 Trong đĩ m = m0 + m1 Các biểu thức thế năng Π và hàm hao tán Φ cĩ dạng nhƣ các thí dụ trƣớc 1 1 Π = cy2 , Φ = by2 2 2 Thế các biểu thức T, Π, Φ vào phƣơng trình Lagrange loại 2, ta đƣợc 2 my + by + cy = m1eΩ sinΩt (3.2) Biến đổi tƣơng tự nhƣ trên ta đƣợc 2 2 y + 2δy + ω0y = Ω y sinΩt (3.2a) trong đĩ m yˆ  1 e mm01 * Kích động bằng lực đàn hồi Trên hình 2.22c là mơ hình hệ chịu kích động lực đàn hồi tuyến tính. Bỏ qua ma sát trƣợt động μ = 0 . Cho biết u t = u sinΩt Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng mx + bx + c1x + c0 x − u(t) = 0 Do u t = u sinΩt nên ta cĩ mx + bx + cx = c0u sinΩt (3.3) trong đĩ c = c1 + c0. Hình 2.22c Hệ chịu kích động c0 Nếu sử dụng ký hiệu x=ˆ uˆ thì phƣơng bằng lực đàn hồi c10 +c 53 trình (3.3) biến đổi đƣợc về dạng 2 2 x + 2δx + ω0x = ω0x sinΩt (3.3a) * Kích động động học Trên hình 2.22d là mơ hình hệ chịu kích động động học. Giả sử điểm chân của bộ lị xo và cản nhớt chuyển động theo qui luật điều hồ u t = u sinΩt. Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng mx + b y − u + c y − u = 0 m Thế u t = u sinΩt , u t = u ΩcosΩt vào y phƣơng trình trên ta đƣợc my + by + cy = u csinΩt + bΩcosΩt (3.4) b c Chia hai vế của phƣơng trình (3.4) cho m ta đƣợc u(t) 2 y + 2δy + ω0y = Ω = ω0y ω0sinΩt + 2δ cosΩt (3.4a) ω0 Hình 2.22d Hệ chịu kích động trong đĩ y = u . động học * Kích động bằng lực cản nhớt Trên hình 2.22e là mơ hình hệ chịu kích động bằng lực cản nhớt. Mặt trƣợt nhẵn tuyệt đối μ = 0 . Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng mx + b1x + cx + b0 x − u (t) = 0 Cho biết u t = u sinΩt , u t = u ΩcosΩt , x khi đĩ phƣơng trình trên cĩ dạng u(t) b1 mx + bx + cx = b0u ΩcosΩt (3.5) với b = b1 + b0. c Chia hai vế của (3.5) cho m, ta đƣợc b0 2 x + 2δx + ω0x = 2δΩx cosΩt (3.5a) b trong đĩ x = 0 u . Hình 2.22d Hệ chịu kích động b Qua các thí dụ trên ta thấy: Phƣơng trình vi động học phân dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do chịu kích động điều hồ cĩ dạng mq + bq + cq = H1sinΩt + H2cosΩt (3.6) hoặc 2 q + 2δq + ω0q = h1sinΩt + h2cosΩt (3.7) Chú ý, nếu ta sử dụng độ cản Lehr D thì phƣơng trình (3.1a) cĩ dạng nhƣ sau 2 2 y + 2Dω0y + ω0y = ω0y sinΩt (3.8) 54 trong đĩ 2 c δb ω0  ,D   m ω0 2 cm Ta cĩ thể biến đổi các phƣơng trình (3.2a), (3.3a), (3.4a), (3.5a) về dạng tƣơng ứng. b. Tính tốn dao động cƣỡng bức khơng cản Phƣơng trình vi phân dao động cƣỡng bức khơng cản của hệ một bậc tự do cĩ dạng mq + cq = HsinΩt (3.9) Nếu ta đƣa vào các ký hiệu cH ω2  ,h 0 mm thì phƣơng trình (3.9) cĩ dạng 2 q + ω0q = hsinΩt (3.10) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân (3.10) bao gồm nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tƣơng ứng và một nghiệm riêng của phƣơng trình cĩ vế phải. Để giải phƣơng trình vi phân (3.10) ta xét hai trƣờng hợp Ω ≠ 휔0(xa cộng hƣởng) và Ω ≈ 휔0 (gần cộng hƣởng). Khi Ω ≠ 휔0 ta tìm nghiệm riêng của phƣơng trình (3.10) dƣới dạng q∗ = AsinΩt (3.11) Trong đĩ A là hằng số chƣa xác định. Thế biểu thức (3.11) vào phƣơng trình (3.10), so sánh với các hệ số của sinΩt, ta rút ra biểu thức xác định A h A  22 với (Ω ω0 ) ωΩ0  Theo lý thuyết phƣơng trình vi phân, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (3.10) cĩ dạng h q t  C1 cosω 0 t  C 2 sinω 0 t  22 sinΩt (3.12) ωΩ0  Các hằng số C1, C2 đƣợc xác định từ các điều kiện đầu. Giả sử khi t = 0 thì q(0) = qo ; q 0 = q 0. Thế các điều kiện đầu này vào biểu thức (3.12) và đạo hàm của nĩ, ta cĩ q& hΩ C q ;C 0  1 0 2 ω 22 0 ω00 ω Ω  Nhƣ thế, biểu thức nghiệm (3.12) cĩ dạng q& hΩh q t  q cosω t 0 sinω t  sinω t  sinΩt (3.13) 0 0ω 022 0 ω22 Ω 00ω00 ω Ω  55 Nghiệm (3.13) gồm hai phần: Ba số hạng đầu biểu thị dao động tự do với tần số là tần số riêng của hệ, số hạng thứ tƣ biểu thị dao động cƣỡng bức với tần số là tần số của lực kích động. Chú ý rằng khi q0 = q 0 = 0 chỉ cĩ hai số hạng đầu của dao động tự do triệt tiêu. Vì vậy số hạng thứ ba đƣợc gọi là thành phần dao động với tần số lực kích động và các thành phần dao động với tần số riêng đƣợc gọi là giai đoạn chuyển tiếp. Giai đoạn chỉ tồn tại thành phần dao động với tần số của lực kích động đƣợc gọi là giai đoạn bình ổn. Nếu bỏ qua các thành phần dao động tự do trong (3.13) ta cĩ biểu thức xác định trạng thái bình ổn của dao động cƣỡng bức * hH q t 2 2 sinΩt 2 sinΩt (3.14) ω0  Ω c(1 η ) Chú ý rằng thừa số H/c là dịch chuyển gây ra bởi lực tĩnh H đặt vào vật rắn dao động. Trong đĩ 휂 = Ω 휔0. Đại lƣợng 1 Vη  (3.15) 1 η2 biểu thị tác dụng động lực của lực kích động, và đƣợc gọi là hàm khuếch dại (hoặc hệ số động lực). Trên hình 2.23 biểu diễn sự phụ thuộc của V vào η. V 1 O  1 Hình 2.23 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc V vào  Khi tỷ số Ω 휔0 dần đến 1 thì hàm khuếch đại (hệ số động lực) và do đĩ biên độ dao động cƣỡng bức tăng lên nhanh chĩng và tiến tới vơ cùng khi Ω = ω0. Hiện tƣợng đĩ gọi là hiện tƣợng cộng hƣởng. Nhƣ vậy hiện tƣợng cộng hƣởng là hiện tƣợng biên độ dao động cƣỡng bức tăng lên rất lớn do tần số của lực kích động trùng với tần số dao động tự do. Trong thực tế khơng cĩ trƣờng hợp nào biên độ dao động tăng lên vơ cùng vì trong các hệ thực bao giờ cũng tồn tại lực cản. Vấn đề này sẽ đƣợc xét ở sau. Trở lại biểu thức tổng quát (3.13) của nghiệm. Khi q0 = q 0 = 0, biểu thức nghiệm (3.13) cĩ dạng h Ω q t 22 sinΩt sinω0 t (3.16) ω00 Ω ω 56 Ta xét trƣờng hợp khi tần số Ω của lực kích động rất gần với tần số dao động tự do 휔0. Đƣa vào ký hiệu Ω − ω0 = 2ε trong đĩ ε là một đại lƣợng vơ cùng bé. Bỏ qua các số hạng bé cỡ ε trong biểu thức của q ta cĩ h 2h Ω + ω0 Ω − ω0 q ≈ 2 2 sinΩt − sinω0t = 2 2 cos t sin t ω0 − Ω ω0 − Ω 2 2 2hΩω 0 hsinεt 22sinεtcos t   cosΩt (3.17) ω0  Ω 2 2Ωε Do ε là một đại lƣợng vơ cùng bé nên hàm sinεt biến thiên chậm, cịn chu kỳ của nĩ 2π ε rất lớn. Trong trƣờng hợp này cĩ thể xem biểu thức (3.17) là qui luật dao động với chu kỳ 2π Ω và biên độ biến đổi 푕 2Ω휀 푠푖푛휀푡. Dạng dao động này đƣợc biểu diễn trên hình 2.24. Hiện tƣợng dao động này gọi là hiện tƣợng phách. Hình 2.24 Hiện tượng phách Hình 2.25 Đồ thị q(t) Xét trƣờng hợp Ω → ω0(ε → 0). Khi đĩ, ta cĩ thể thay sinεt bằmg εt trong biểu thức (3.17) và ta cĩ hệ thức ht q cosωt0 (3.18) 2ω0 Biên độ 푕푡/2휔0 tăng lên vơ hạn khi thời gian t tăng nhƣ hình 2.25. Nhƣ thế, ngay trong phạm vi lý thuyết dao động tuyến tính khơng cản, sự tăng biên độ lên vơ hạn ở vùng cộng hƣởng cũng địi hỏi phải cĩ thời gian. Đối với các máy đƣợc thiết kế làm việc ở trên vùng cộng hƣởng, khi tăng vận tốc của máy qua vùng cộng hƣởng, cần phải khẩn trƣơng cho vƣợt qua đủ nhanh. Nhƣ thế khi tính tốn dao động cƣỡng bức khơng cản ta phân ra hai trƣờng hợp: - Trƣờng hợp xa cộng hƣởng Ω ≠ 휔0 - Trƣờng hợp gần cộng hƣởng Ω ≈ 휔0 . Trong trƣờng hợp này khi Ω = ω0 + 2ε ta cĩ hiện tƣợng phách, khi Ω = 휔0 ta cĩ hiện tƣợng cộng hƣởng. 57 Thí dụ 2.12: Bánh xe O lăn khơng trƣợt trên mặt đƣờng gồ ghề lƣợn sĩng. Vận tốc tâm O của bánh xe luơn khơng đổi là v = 60km/h. Mặt đƣờng lƣợn sĩng cĩ phƣơng πx trình là s = s sin với s = 2cm , L = 100cm. Xác định biên độ dao động cƣỡng L bức thẳng đứng của vật thể M cĩ khối lƣợng m, nối với trục bánh xe bằng lị xo cĩ độ cứng là c. Biết rằng biến dạng tĩnh của lị xo dƣới tác dụng của vật thể là δ0 = 10cm. mg Lời giải: Từ điều kiện cân bằng tĩnh cδ0 = mg ta suy ra c= δ0 Hình 2.26 Hình thí dụ 2.12 Phƣơng trình vi phân chuyển động của vật thể M cĩ dạng my + c y − s = 0 푐 Nếu đƣa vào ký hiệu 휔2 = , phƣơng trình vi phân dao động đƣợc đƣa về 0 푚 dạng πx y + ω2y = ω2s sin 0 0 L Biến đổi 2 c mg g 2 ω0 = = = = 98,1 1 s m mδ0 δ0 πx πvt πv 16,6π = = Ωt , với Ω = = = 16,6π L L L 1 Khi đĩ nghiệm riêng của phƣơng trình trên là y = AsinΩt với ω2s s 2 A = 0 = = = 0,075cm ω2 − Ω2 Ω 2 16,6π 2 0 1 − 1 − ω0 98,1 c. Tính tốn dao động cƣỡng bức cĩ ma sát nhớt Các phƣơng trình vi phân dao động tuyến tính chịu kích động điều hồ của hệ một bậc tự do cĩ ma sát nhớt (3.6), (3.7) cĩ thể viết dƣới dạng nhƣ sau 2 q + 2δq + ω0q = h1sinΩt + h2cosΩt (3.19) Ta tìm nghiệm riêng của phƣơng trình này dƣới dạng 58 q∗ t = MsinΩt + NcosΩt (3.20) Trong đĩ M, N là các hằng số cần xác định. Thế biểu thức (3.20) vào phƣơng trình (3.19) rồi so sánh các hệ số của 푠푖푛Ω푡 và 푐표푠Ω푡, ta rút ra hệ hai phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định M và N 2 2 ω0 − Ω M − 2δΩN = h1 2 2 2δΩM + ω0 − Ω N = h2 Giải ra ta đƣợc 2 2 ω0 − Ω h1 + 2δΩh2 푀 = 2 2 2 2 2 ω0 − Ω + 4훿 Ω 22 2δΩh1  ω 0  Ω h 2 N  2 (3.21) 2 2 2 2 ω0  Ω 4 Ω Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân (3.19) là tổng của nghiệm riêng (3.20) và nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân thuần nhất (2.28) q t = Ae−δtsin ωt + β + MsinΩt + NcosΩt (3.22) Số hạng thứ nhất của biểu thức nghiệm (3.22) biểu diễn thành phần dao động tự do tắt dần. Hai số hạng sau cĩ tần số Ω của ngoại lực biểu diễn thành phần dao động cƣỡng bức của hệ. Thành phần dao động cƣỡng bức (3.20) cĩ thể biểu diễn dƣới dạng q∗ t = q sin(Ωt + φ) (3.23) Trong đĩ hh22 hh22 qˆ  M22  N  12  12 (3.24) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ω0  Ω 4δ Ω ω0  1 η 4D η N tgφ  (3.25) M Ω δ Ở đây, cũng nhƣ các đoạn trƣớc, ta dùng ký hiệu η = , D = . So sánh ω0 ω0 phƣơng trình vi phân (3.19) với các phƣơng trình vi phân (3.6), (3.7) và (3.8) ta rút ra các hệ thức sau: - Trƣờng hợp kích động lực hoặc kích động qua lị xo 1 2 2 2 2 − q = V1 η, D y ; V1 = 1 − η + 4D η 2 (3.26) - Trƣờng hợp kích động động học 2 2 q = V2 η, D y ; V2 = 1 + 4D η V1 (3.27) - Trƣờng hợp kích động bởi khối lƣợng lệch tâm 2 q = V3 η, D y ; V3 = η V1 (3.28) 59 Các hàm V1, V2, V3 đƣợc gọi là các hàm khuếch đại (hay các hệ số động lực). Đồ thị của các hàm khuếch đại V1, V2, V3 ứng với một vài giá trị của độ cản Lehr D cho trên hình 2.27. Khi ta cố định độ cản D (xem nhƣ đã cho), các hàm V1, V2, V3 đạt cực đại tại các giá trị sau của 휂 : 2 V1 đạt cực đại khi η = 1 − 2D 2 1 2 V đạt cực đại khi η = 1 + 8D − ≈ 1 − 2D nếu D << 1 2 2D 1 V đạt cực đại khi η = 3 1−2D2 Hình 2.27 Đồ thị các hàm khuyếch đại V1, V2, V3 60 Ta cĩ thể tính đƣợc các giá trị cực đại này 1 max V13 max V ηη2D 1 D2 152 max V2  1 D khi D nhỏ η 2D 2 Gĩc pha ban đầu 휑 đƣợc xác định bởi hệ thức (3.25) 22 2δΩh1  ω 0  Ω h 2 tgφ  22 ω0 Ω h 1 2δΩh 2 Trƣờng hợp kích động lực và kích động bởi khối lƣợng lệch tâm −2δΩ −2Dη 2Dη tgφ = 2 2 = 2 → φ = −arctg 2 ω0 − Ω 1 − η 1 − η Trƣờng hợp kích động động học, ta cĩ -2δΩ3 -2Dη3 tgφ= 2 2 2 2 2 = 2 2 2 ω0-Ω ω0+4δ Ω 1-η +4D η 2Dη3 →φ=-arctg 1-η2+4D2η2 Nếu ta ký hiệu Ψ = −휑 thì ta cĩ ba hệ thức sau Ψ = 0 푘푕푖 휂 → 0 : Dao động cùng pha Ψ = π 2 khi η = 1 : Cộng hƣởng Ψ = π khi η → ∞ : Dao động ngƣợc pha Trƣờng hợp kích động động lực hoặc kích động bởi khối lƣợng lệch tâm, sự phụ thuộc của gĩc Ψ vào 휂 ứng với một vài giá trị của D đƣợc biểu diễn trên hình 2.28 Hình 2.28 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của gĩc 훹 vào 휂 Để tìm nghiệm của phƣơng trình vi phân mơ tả dao động cƣỡng bức ngƣời ta cũng hay sử dụng phƣơng pháp biên độ phức. Muốn vậy ta đƣa vào các ký hiệu sau y t = y sin Ωt = Imy t ; y t = y eiΩt x t = x sin Ωt + φ = Imx t ; x t = x ei Ωt+φ 61 x t = x ei Ωt+φ = x eiφ eiΩt = x eiΩt ; x = x eiφ Sử dụng cách biểu diễn phức nhƣ trên ta cĩ thể tìm đƣợc nghiệm các phƣơng trình (3.6), (3.7) và (3.8) dƣới dạng phức Thế y t = y eiΩt cho y sin Ωt và x = x eiΩt cho x(t) trong phƣơng trình (3.6) ta nhận đƣợc phƣơng trình 2 2 2 ω0 − Ω + i2Dω0Ω 푥 = ω0y (3.29) 2 iφ ω0 x%  xˆˆe  22 y ω00 Ω i2Dω Ω Nhân cả tử số và mẫu số hệ thức (3.29) với số phức liên hợp của số phức ở mẫu số và sau một vài phép biến đổi ta đƣợc 1η2 i2Dη % ˆˆiφ x xe 2 y (3.30) 1η2 4D 2 η 2 Tính tốn tƣơng tự đối với các phƣơng trình (3.7), (3.8). Từ phƣơng trình (3.8) ta cĩ 2 iφ 1-η -i2Dη x% = xeˆˆ =2 y (3.31) 1-η2 +4D 2 η 2 Từ phƣơng trình (3.7) ta cĩ 2 iφ21η i2Dη x% xeˆ 2 η yˆ (3.32) 1η42 D 2η 2 Thí dụ 2.13: Sơ đồ một thiết bị đo dao động đƣợc biểu diễn trên hình 2.29a. Vỏ ngồi thiết bị đo bị rung theo qui luật xm = x0 cos Ωt. Phải chọn các tham số khối lƣợng m và độ cứng c nhƣ thế nào để với hệ số cản tuỳ ý kim chỉ đúng biên độ kích động x0 trong một dải tần số đo đủ rộng. Hình 2.29 Hình thí dụ 2.13 Lời giải: Ta chọn toạ độ x là dịch chuyển của khối lƣợng m so với nền cố định (hình 2.29b). Dịch chuyển, vận tốc của khối lƣợng m đối với vỏ ngồi thiết bị là x − xm , x − x m . Phƣơng trình vi phân chuyển động của khối lƣợng m là 62 mx = −c x − xm − b x − x m Kim của thiết bị đo chỉ độ lệch tƣơng đối xr = x – xm . Từ đầu bài ta cĩ 2 x m = −x0Ω cosΩt. Thế vào phƣơng trình trên ta nhận đƣợc phƣơng trình dao động 2 mx r + bx r + cxr = mΩ x0 cos Ωt Chia cả hai vế phƣơng trình trên cho m và sử dụng các ký hiệu quen biết ta đƣợc 2 2 x r + 2δx r + ω0xr = Ω x0 cos Ωt Nghiệm riêng của phƣơng trình trên cĩ dạng xr = x0V3 cos Ωt − φ Biên độ đo đƣợc và biên độ kích động sẽ trùng nhau khi V3 = 1. Theo hình 2.27c kết quả đo sẽ khơng phụ thuộc vào độ cản D khi η ≫ 1. Từ đĩ suy ra c ω2 ≪ Ω2 → ≪ Ω2 0 m Nhƣ vậy phải chọn c và m sao cho tần số riêng của hệ dao động khơng cản bé hơn nhiều tần số của kích động. Thí dụ 2.14: Để xác định độ cản của hệ nhƣ hình 2.30, ta lắp vào khối lƣợng rung hai mơtơ lệch tâm. Cho biết 2∆me = 130 kgcm. Khối lƣợng của hệ là M = 1800 kg, tổng các hệ số cứng của các lị xo là c* = 7200 N/cm. Các mơ tơ lệch tâm quay với vận tĩc gĩc Ω = 20s−1. Biên độ dao động của hệ đo đƣợc là y = 0,2cm. Hãy xác định các hệ số cản D, δ, b. Lời giải: Phƣơng trình vi phân dao động của hệ cĩ dạng My + by + c∗y = 2∆meΩ2 sin Ωt Chia hai vế cho M ta đƣợc 2 2 y + 2δy + ω0y = Ω y0 sin Ωt 2∆푚푒 với 푦 = . 0 푀 Nghiệm của phƣơng trình trên cĩ dạng y t = y sin Ωt + φ 2 Trong đĩ 푦 = 푉3 휂, 퐷 푦0 = 푦0휂 푉1. Hình 2.30 Hình thí dụ 2.14 Từ đĩ suy ra 1 y V1 = = 2 1 − η2 2 + 4D2η2 y0η y η2 → 1 − η2 2 + 4D2η2 = 0 y 63 y2η4 → 1 − η2 2 + 4D2η2 = 0 y 2 1 푦 2 Từ cơng thức cuối ta giải ra 퐷 = 0 휂4 − 1 − 휂2 2 2휂 푦 Theo các số liệu ở đầu bài ta cĩ 푐∗ 7200. 102 휔 = = = 20푠−1 = Ω 0 푀 1800 2Δme 130 y = = = 0,072cm 0 M 1800 1 0,072 2 Vậy ta cĩ D = − 0 = 0,1806 2 0,2 Từ đĩ suy ra: δ = Dω0 = 3,611 1 s, b = 2Mδ = 13000kg/s Thí dụ 2.15: Bộ phận làm việc của máy đầm đất cĩ khối lƣợng M tựa trên các lị xo nhƣ hình 2.31a. Khối lƣợng vỏ máy là m. Ở bộ phận làm việc cĩ hai khối lƣợng lệch tâm (mỗi khối lƣợng là m2/2) quay với số vịng quay là n. Hãy chọn các tham số của máy sao cho máy làm việc ở vùng cộng hƣởng và trong quá trình làm việc vỏ máy khơng nẩy lên khỏi đất. Hình 2.31 Hình thí dụ 2.15 Lời giải: Mơ hình cơ học của bộ phận làm việc của máy nhƣ hình 2.31b. Bộ phận này dao động quanh vị trí cân bằng tĩnh. Toạ độ của m2 là x2 = x + e cos Ωt Phƣơng trình vi phân chuyển động của mơ hình máy làm đất là 2 Mx + bx + cx = Ω m2e cos Ωt 2 2 x + 2δx + ω0x = Ω x0 cos Ωt với x0 = m2e/M. Nghiệm của phƣơng trình này theo (3.23) cĩ dạng x = x0V3 cos Ωt − φ 64 η2 với V  3 2 1η2 4D 2 η 2 Khi cản nhỏ, hiện tƣợng cộng hƣởng xẩy ra khi η ≈ 1 πn c πn 2 Ω ≈ ω → ≈ → c ≈ M 0 30 M 30 1 Khi cộng hƣởng V  3 2D Để đơn giản ta bỏ qua lực cản. Khi đĩ phản lực pháp tuyến của nền tác dụng lên vỏ máy (hình 2.31c) N = (M + m)g – cx 1 Do V ≈ nên ta cĩ 3 2D cx N = M + m g − cx = M + m g − 0 min max 2D Điều kiện để vỏ máy khơng nhảy khỏi nền cx cx N ≥ 0 → M + m g ≥ 0 → D ≥ 0 min 2D 2 M + m g d. Tính tốn dao động cƣỡng bức bằng hàm đáp ứng tần số Xét phƣơng trình dao động của hệ tuyến tính một bậc tự do cĩ cản và lực kích động điều hồ my + by + cy = x t (3.33) Trong đĩ kích động đƣợc biểu diễn dƣới dạng hàm số phức x t = X Ω eiΩt (3.34) Ta sẽ tìm nghiệm của phƣơng trình (3.33) dƣới dạng y t = Y Ω eiΩt (3.35) Với Y(Ω) là hàm biên độ phức cần xác định. Đạo hàm bậc một và bậc hai của hàm y(t) theo thời gian t rồi thay vào phƣơng trình (3.33) ta đƣợc −mΩ2Y Ω eiΩt + ibΩY Ω eiΩt + cY Ω eiΩt = X(Ω)eiΩt Khử eiΩt ở hai vế phƣơng trình trên và nhĩm theo Y(Ω) ta đƣợc c − mΩ2 + ibΩ Y Ω = X(Ω) 1 Từ đĩ suy ra YΩXΩ  2   (3.36) cmΩ ibΩ 1 Nếu ta đặt H Ω  (3.37) cmΩ2 ibΩ thì biểu thức (3.36) cĩ dạng Y Ω = H Ω X Ω (3.38) 65 Định nghĩa: Hàm H(Ω) đƣợc xác định bởi cơng thức (3.37) đƣợc gọi là hàm đáp ứng tần số. Nhân tử số và mẫu số của biểu thức (3.37) với c − mΩ2 − ibΩ ta đƣợc c − mΩ2 − ibΩ H Ω = = a + id c − mΩ2 + ibΩ c − mΩ2 − ibΩ Với c − mΩ2 bΩ a = ; d = − c − mΩ2 2 + b2Ω2 c − mΩ2 2 + b2Ω2 Từ đĩ suy ra mơđun H(Ω) và argument φ của hàm đáp ứng tần số H(Ω) 22 1 H(Ω) ad   (3.39) 2 cmΩ2 b 2 Ω 2 db   Ω  φ arctg  arctg 2  (3.40) a  cm Ω  Từ cơng thức (3.38) ta suy ra X(Ω) Y(Ω) H Ω X(Ω) (3.41) 2 cmΩ2 b 2 Ω 2 Biến đổi cơng thức (3.37) ta đƣợc 1 1 1 HΩ  cmΩ22  ibΩc 1   iD 2 1 Hàm ZΩ  đƣợc gọi là trở kháng cơ học. iΩH(Ω) e. Đệm đàn hồi của máy Để giảm lực truyền xuống nền mĩng ngƣời ta dùng đệm đàn hồi. Giả sử máy cĩ khối lƣợng m, đệm đàn hồi qui đổi thành lị xo cĩ hệ số cứng c và giảm chấn cĩ hệ số b. Nếu trên máy chịu tác dụng một lực điều hồ F t = F sin Ωt (hình 2.22a) thì lực truyền xuống nền đƣợc xác định bởi hệ thức Ftđ = cx + bx (3.42) Nhƣ đã biết, phƣơng trình vi phân mơ tả dao động của mơ hình 2.22a cĩ dạng $ F &&x2δx &  ω22 x  ω sinsinΩt (3.43) 00c Trong quá trình chuyển động bình ổn, nghiệm của phƣơng trình trên cĩ dạng Fˆ xVη,D sinΩt Ψ (3.33) c 1 Thế biểu thức (3.44) vào phƣơng trình (3.42) ta đƣợc 66 Fˆ F V η,D csin Ωt  Ψ  bΩcos Ωt  Ψ tđ c 1  Fˆ V η,D c2  b 2 Ω 2 sin Ωt Ψ  γ (3.45) c 1 bΩ 2δΩ Với tgγ 2 c ω0 2 2 2 2 b 2 2 2 và do c + b Ω = c 1 + Ω = c 1 + 4D η c Ta cĩ Ftđ = F V2(η, D) sin Ωt − Ψ + γ (3.46) Từ cơng thức (3.46) ta suy ra: Để cho lực truyền xuống nền mĩng nhỏ ta phải chọn các tham số của hệ sao cho hàm khuếch đại V2 đạt cực tiểu. Nếu trên máy cĩ bộ phận quay chƣa đƣợc cân bằng sẽ sinh ra các lực ly tâm (hình 2.22b). Nhờ cĩ đệm đàn hội ta cĩ thể giảm đƣợc lực truyền xuống mĩng máy. Nhƣ đã biết phƣơng trình vi phân dao động của mơ hình 2.22b cĩ dạng 22mr1 &&x2δx &  ω0 x  Ω sinΩt (3.47) mm01 Nghiệm riêng của phƣơng trình (3.47) cĩ dạng mr1 xV3 η,D sin Ωt Ψ (3.48) mm01 Thế (3.48) vào biểu thức (3.42) ta đƣợc m1r Ftđ = V3 η, D csin Ωt − Ψ + bΩ cos Ωt − Ψ m0 + m1 m r 1 2 2 2 Ftđ = V3 η, D c + b Ω sin Ωt − Ψ + γ m0 + m1 mr1 2 c η V2  η,D sin Ωt  Ψ  γ (3.49) mm01 2 Nếu ta dựa vào hàm khuếch đại V4 η, D = η V2(η, D) thì lực truyền xuống đất cĩ dạng m1r Ftđ = c V4 η, D sin Ωt − Ψ + γ (3.50) m0+m1 Sự phụ thuộc của hàm khuếch đại V4 η, D và gĩc (γ − Ψ) vào η khi cho biết giá trị của D cho trên hình 2.32a và 2.32b. Trong kỹ thuật ta cũng hay gặp bài tốn do ảnh hƣởng rung của nền các thiết bị trên nền mĩng làm việc sẽ kém chính xác. Trong trƣờng hợp này ta sử dụng mơ hình 2.22d. Nhờ cĩ đệm đàn hồi sẽ làm giảm ảnh hƣởng rung của nền mĩng lên các thiết bị đặt trên đĩ. 67 a) b) Hình 2.32a Đồ thị Sự phụ thuộc của hàm khuếch đại V4 η, D và gĩc (γ − Ψ) vào η 68 Thí dụ 2.16: Một máy gắn chặt vào mĩng và đƣợc đặt trên nền bằng một hệ lị xo song song. Khối lƣợng của máy và mĩng là 1000kg. Trong quá trình máy làm việc xuất hiện một lực điều hồ tác dụng theo phƣơng thẳng đứng với biên độ 퐹 = 1000푁 và tần số f = 10Hz. Dƣới ảnh hƣởng của lực này mĩng dao động theo phƣơng thẳng đứng. Hãy xác định hệ số cứng của lị xo sao cho chỉ cĩ 5% lực tác dụng lên mĩng truyền xuống nền. Sau đĩ xác định độ lún tĩnh của Hình 2.33 Hình thí dụ mĩng và biên độ dao động của nĩ. 2.16 Lời giải: Mơ hình cơ học của bài tốn cho trên hình 2.33. Phƣơng trình dao động của hệ là mx + cx = F sin Ωt F → x + ω2x = sin Ωt 0 m Nghiệm dừng là F 1 x = sin Ωt c 1 − η2 Thế biểu thức nghiệm vào biểu thức tính lực truyền xuống nền ta đƣợc 1 F = cx = F sin Ωt tđ 1 − η2 Từ điều kiện F 1 tđ = = 0,05 F 1 − η2 ta suy ra η = 21 = 4,58 Hệ số cứng của lị xo tổng là Ω2 2πf 2 2π. 10 2 c = mω2 = m = m = 1000. = 188N/mm 0 η2 η2 21 Với hệ số cứng đĩ, độ nén tĩnh của mĩng máy là mg 1000.9,81 = = 52,2 mm c 188 Biên độ dao động dừng của mĩng máy là 1 F 1000 x = = = 0,266mm 1 − η2 c 20.188 e. Tính tốn dao động cƣỡng bức cĩ ma sát khơ Phƣơng trình vi phân mơ tả dao động cƣỡng bức của hệ cĩ ma sát khơ đƣợc viết dƣới dạng mq + cq + μmgsign q = F cos Ωt + α (3.51) 69 2π 4π Giả thiết ở các thời điểm t = 0, , , độ lệch q đạt cực đại (q = A, q = 0), Ω Ω π 3π 5π cịn ở các thời điểm t = , , , thì q = −A, q = 0. Nhƣ thế gĩc α là gĩc lệch Ω Ω Ω pha giữa lực cực đại và độ lệch cực đại. Giả sử trong nửa chu kỳ đầu 0 ≤ t ≤ π Ω vận tốc q âm. Phƣơng trình vi phân dao động trong nửa chu kỳ này là mq + cq = μmg + F cos Ωt + α (3.52) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình trên cĩ dạng h q C cosω t  C sinω t  a  cos Ωt  α (3.53) 1 o 2 0 1 η2 Trong đĩ 2 c μmg F Ω ω0 = , a = , h = , η = m c c ω0 Từ điều kiện q 0 = A, q 0 = 0 ta cĩ h C a  cosαA  (3.54) 1 1 η2 hΩ C ω sinα 0 (3.55) 20 1 η2 Từ điều kiện π π q = −A, q = 0 Ω Ω ta suy ra h C coscosλ C λ  a  cosα   A (3.56) 121 η2 hΩ C Ωsin λ  C Ωcoscosλ  sinα  0 (3.57) 12 1 η2 πω trong đĩ λ  0 Ω Nhƣ thế ta cĩ hệ bốn phƣơng trình (3.54) – (3.57) để xác định bốn ẩn C1 , C2 , A, 훼. Cộng các phƣơng trình (3.54) và (3.56), (3.55) và (3.57) ta nhận đƣợc hệ hai phƣơng trình để xác định C1 và C2 C1 1 + cos λ + C2 sin λ + 2a = 0 −C1 sin λ + C2 1 + cos λ = 0 Từ đĩ suy ra λ C = −a ; C = −atg 1 2 2 70 Thế các kết quả này vào các phƣơng trình (3.54) và (3.55) ta dẫn đến các phƣơng trình h A = cos α 1 − η2 πω hη −a tg 0 = sin α 2Ω 1 − η2 Từ đĩ suy ra cơng thức xác định biên độ 2 221 πω0 h a 1 η tg η 2Ω A  (3.58) 1 η2 Chú ý rằng khi Ω → 휔0(휂 → 1) ta cĩ 1 π4 lim 1η2  tg   η1 η 2η π Do đĩ 2 2 4a h   π A  (3.59) 1 η2 Với sự phát triển của tin học, việc tính tốn dao động cƣỡng bức cĩ ma sát khơ sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều, nếu ta sử dụng phƣơng pháp số. Ta xét phƣơng trình dao động cƣỡng bức cĩ ma sát khơ dạng mq + cq = −μmgsign q + F sin Ωt (3.60) −1 −1 Với các số liệu m = 100kg, μ = 0,1 , ω0 = c m = 100s , Ω = 200s , F = 981N và các điều kiện đầu q 0 = q 0 = 0 ta dễ dàng tìm nghiệm của phƣơng trình (3.60) bằng chƣơng trình tính MATLAB. Kết quả lấy ra dƣới dạng đồ thị nhƣ hình 2.34. Nếu ta quan tâm đến ma sát nhớt thì phƣơng trình vi phân dao động cĩ dạng Fˆ &&q2δq &  ω2 q   μgsign q &  sinΩt (3.61) 0 m Với các số liệu nhƣ trên và cho thêm 훿 = 8, kết quả tính tốn cho trên hình 2.35. Một vài nhận xét về tính chất dao động cƣỡng bức khi cĩ ma sát Qua các tính tốn ở trên ta cĩ thể rút ra một số nhận xét về tính ch...nh đạo hàm riêng (3.41) về hệ phương trình vi phân thường Áp dụng phƣơng pháp Bernoulli, ta tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình (3.41) dƣới dạng  w(x,t)   X i (x)qi (t) (3.42) i1 Trong đĩ: Xi(x) là các đạo hàm riêng. Thế biểu thức (3.42) vào phƣơng trình (3.41) ta đƣợc:  (IV)  EIXi (x)qt (t)  Xi (x)qi (t) p(x,t) i1 Từ đĩ suy ra   EI X IV (x)  p(x,t)  i qi (t)  qi (t)X i (x)  i1   X i (x)   Chú ý đến các biểu thức (3.23) ta cĩ: IV EI X i (x) 2  i (3.43)  X i (x) Thế (3.43) vào phƣơng trình trên ta đƣợc  p(x,t)  2 qi (t) i qi (t)Xi (x)  i1  Nhân cả hai vế của phƣơng trình này với hàm riêng Xk(x) rồi lấy tích phân dọc theo chiều dài của thanh 153 1  1 2 1 qi (t)  i qi (t) X i (x)X k (x)dx  p(x,t)X k (x)dx  0  i1  0 Do điều kiện trực giao của các đạo hàm riêng ta suy ra 1 p x,t X (x)dx    k 2 0 qk (t)  k qk (t)  1  hk (t) (3.44)  X 2 (x)dx  k 0 Nhƣ thế ta đƣa việc giải phƣơng trình đạo hàm riêng (3.41) về việc giải hệ phƣơng trình vi phân thƣờng (3.44). Dƣới đây ta xét một số dạng cụ thể của hàm kích động p(x,t). b. Lực kích động tập trung điều hồ Xét dao động uốn của dầm chịu lực kích động tập trung điều hồ F0cost nhƣ hình 4.20a. Theo cơng thức (3.31) hàm riêng Xk(x) cĩ dạng kx X (x)  sin k l Trƣớc hết ta tích phân 1 1 kx 1 1  kx  1  kx  1 1 X2 (x)dx  sin2 dx   sin 2   k       0 0 l k 2  l  4  l  0 2 F=F cost a 0 F=F cost y 0 x Al=const l/2 Wmax l l z a) b) Hình 4.16 Dầm chịu lực kích động tập trung điều hồ 1 Để tính tích phân p x,t X (x)dx trong trƣờng hợp này ta sử dụng khái niệm    k 0 hàm Delta-Dirac. Theo định nghĩa hàm Delta-Dirac đƣợc xác định bởi hệ thức:   (x  a)  0 khi x  a và  (x  a)dx 1 (3,45)   Hàm này cĩ tính chất:  f (x) (x  a)dx  f (a) (3.46)  Áp dụng vào bài tốn của ta. Từ biểu thức: p(x,t) = F0cost.(x-a) Ta suy ra: 154 1 1 F cost. (x  a)X (x)dx  F cost  (x  a)X (x)dx  0 k 0  k 0 0 1 kx ka  F cost sin  (x  a)dx  F cost sin 0  0 0 l l Phƣơng trình (3.44) bây giờ cĩ dạng ka ka F0 cost sin 2F0 sin q(t)   2q (t)  l  l cost (3.47) k k k l  l 2 Nghiệm dừng của phƣơng trình (3.47) theo chƣơng 2 cĩ dạng ka 2F sin 0 l qk (t)  2 2 cost (3.48) l(k   ) Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (3.41) trong trƣờng hợp này cĩ dạng ka   2F sin 0 l kx w(x,t)   X k (x)qk (t)   2 2 sin cost k 1 k 1 l(k   ) l ka  sin 2F0 cost l kx w(x,t)   2 2 sin (3.49) l k 1 k   l Cơng thức (3.49) là biểu thức tính độ võng ở vị trí x bất kỳ của dầm tại thời điểm t. Khi a = l/2, ta cĩ k  sin 2F0 cost 2 kx w(x,t)   2 2 sin (3.50) l k 1 k   l 2 EI k 2 2 EI Chú ý rằng:   k  k l 2  l 2  2 2  l  Nếu ta đƣa vào ký hiệu:   k  2 k  EI Thì cơng thức nghiệm (3.49) cĩ dạng ka 3  sin 2F0l cost l kx w(x,t)  4  2 2 sin  EI k 1 k  l 1 l 2  Để minh hoạ ta lấy a  và    0,7. Khi đĩ ta cĩ thể tính độ võng ở 2  2 EI giữa dầm một cách tƣơng đối đơn giản (hình 4.16b) 155 2 k 3  sin 1 2F0l cost 2 w( ,t)  4  2 2  EI k 1 k  0,49 1 1 1 1 1 Chú ý rằng:      ... 1,975  k 4  0,49 0,51 80,51 624,51 1295,51 1 F l3 cost Do đĩ: w( ,t)  0 2 24,65EI F l3 Biên độ dao động giữa dầm là: w  0 max 24,65EI Nếu dầm chịu tác dụng của lực F(t) = F0 = const ở giữa dầm, theo Sức bền vật F l3 liệu [6,7] độ võng tĩnh ở giữa dầm là: w  0 t 48EI Nhƣ thế độ võng cực đại ở giữa dầm lớn gần gấp đơi võng tĩnh tại đĩ. Ngồi ra chú ý rằng khi: 2  = k   = k thì xảy ra hiện tƣợng cộng hƣởng. Do cĩ lực cản và do liên kết hình học nên biên độ dao động ở vùng cộng hƣởng tăng lên khá lớn, tuy nhiên khơng tiến tới vơ cùng nhƣ khi giả thiết bỏ qua lực cản. c. Lực di động cĩ trị số khơng đổi Xét bài tốn dao động uốn của dầm hai đầu bản lề dƣới tác dụng của lực F0 = const di chuyển với tốc độ v khơng đổi (Hình 4.17). F 0 v x El=const l z Hình 4.17 Dầm chịu tải trọng di động Ta đã biết các hàm riêng của dầm hai đầu chịu liên kết bản lề: kx X (x)  sin k l 1 1 X 2 (x)dx  Do đĩ:  k 0 2 Sử dụng hàm Delta-Dirac, tải trọng p(x,t) trong bài tốn này cĩ dạng p(x,t) = F0(x-vt) Do tính chất của hàm Delta-Dirac (cơng thức 3.46) ta cĩ 156 1 kx kv F sin  (x  vt)dx F sin( t)  0 0 0 l l Phƣơng trình (3.44) đối với bài tốn này cĩ dạng 2F q(t)  2q (t)  0 sin t (3.51) k k k l k kv Trong đĩ ta đƣa vào ký hiệu:   (3.52) k l nghiệm tổng quát của phƣơng trình (3.51) đã đƣợc tính tốn kỹ trong chƣơng 2 cĩ dạng: 2F0 qk (t)  Ak coskt  Bk sinkt  2 2 sin kt (3.53) l(k  k ) Các hằng số Ak, Bk đƣợc xác định từ các điều kiện đầu. Giả sử cho biết điều kiện đầu  w0 (x)  w(x,0)   Xi (x)qi (0)  0 i1 w(x,0)   v0 (x)    X i (x)qi (0)  0 (3.54) t i1 Do tính chất trực giao của các hàm riêng, từ các điều kiện đầu (3.54) ta suy ra qk(0) = 0, qk (0)  0, k = 1,2, (3.55) Với các điều kiện đầu (3.55), từ (3,53) ta dễ dàng xác định đƣợc các hằng số Ak, Bk 2F0k Akk o, B   22 (3.56) l k()  k k Thế (3.56) vào biểu thức (3.53) ta đƣợc 22FF00 qk( t ) 2 2 sin  k t  2 2 sin  k t (3.57) ll()() k  k   k   k Theo cơng thức (3.42) biểu thức tính độ võng của dầm cĩ dạng   2F0 1  k  kx w(x,t)   X k (x)qk (t)   2 2 sinkt  sinktsin k 1 l k 1 k  k  k  l (3.58) Nếu ta đƣa vào ký hiệu k k  (3.59) k Thì: 157 3 2F01 2 F 0 1 2 F 0 l 1 2 2 2 2 4 4 2 l k  k l  k11   k k  EI   k Biểu thức (3.58) bây giờ cĩ thể viết lại dƣới dạng nhƣ sau 3  2F0l 1 kx w(x,t)  4  4 2 sin kt k sinktsin (3.60)  EI k 1 k (1k ) l Hiện tƣợng cộng hƣởng xảy ra khi k = k. Chú ý đến các biểu thức (3.30) và (3.52) ta dễ dàng xác định đƣợc vận tốc tới hạn vkth. k EI k = k  v  kth l  Ở vùng cộng hƣởng, độ võng của dầm sẽ đạt giá trị lớn nhất. Ta xác định độ võng của dầm khi v = vth. Khơng giảm tính tổng quát ta giả sử 1 = 1. Khi đĩ trong tổng (3.60) ta chỉ cần giữ lại số hạng ứng với k = 1. Để đơn giản cách viết ta bỏ chỉ số 1 ở 1 và 1 đi. Vậy ta cĩ:  2Fl3  x sintt sin w( x , t ) 0 sin lim  th  42EI l   1 2 0 Ở đây biểu thức cần tính giới hạn cĩ dạng . Áp dụng quy tắc Lơpital 0 (L’Hospital) ta tính đƣợc: 1 3 t cost  sint 3 2F0l x  2F0l x wth (x,t)  sin lim  sin (sint t cost)  4EI l  2  4EI l  2  2  Thay     v (biểu thức 3.52) vào biểu thức trên ta đƣợc l th 3 Fl0 vth  v th  v th  x wth ( x , t )4  sin t t cos t sin (3.62)  EI l l l l Tìm cực trị của hàm (3.62) theo t. Muốn vậy ta tính đạo hàm riêng theo t và cho bằng khơng w(,) x t l th 0 t  tvth 1 Fl3  x Từ đĩ ta cĩ: wx( ) 0 sin (3.63) thmax  3 EI l Khi x = l/2, độ võng cực đại ở điểm giữa dầm là 11Fl3 w () 0 (3.64) thmax 2  3 EI 158 Từ giáo trình Sức bền vật liệu, ngƣời ta tính đƣợc độ võng tĩnh ở điểm giữa dầm khi cĩ lực F0 = const tác dụng ở giữa dầm là: Fl3 w  0 t 48EI Nhƣ thế, độ võng cực đại (364 lớn gấp rƣỡi độ võng tĩnh. l Khi v << vlth, tức là l  1, từ biểu thức (3.60) ta suy ra cơng thức gần l đúng xác định độ võng 3  2Fl0 1 k x k w( x , t ) 44 sin sin vt (3.65)  EIk1 k ll Đĩ là biểu thức xác định độ võng tĩnh của dầm chịu tác dụng của lực F0 đặt ở điểm cách xa đầu bên trái dầm một đoạn vt mà chúng ta đã biết trong giáo trình Sức bền vật liệu. 4.3.4 Dao động uốn tự do của dầm Timoshenko 1. Dao động uốn tự do dầm Timoshenko tiết diện khơng đổi Từ phƣơng trình (3.16), cho p(x,t) = 0, ta nhận đƣợc phƣơng trình dao động tự do của dầm Timoshenko 4w 2w  E  4w  2I 4w EI  A  I1    0 (3.66) x4 t 2  k *G  x2t 2 k *G t 4 Ta tìm nghiệm của phƣơng trình (3.66) dƣới dạng w(x,t)  X(x)cos(t  ) (3.67) Thế biểu thức (3.67) vào phƣơng trình (3.66) và thực hiện một vài phép biến đổi sơ cấp ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân thƣờng d 4 X d 2 X   4i2 (1)  4 (1 4i4)X  0 (3.68) dx4 dx2 Trong đĩ ta đƣa vào các ký hiệu A I E  4   2 , i 2  ,   EI A k *G Xét trƣờng hợp hai dầm cĩ liên kết bản lề (hình 4.17a). Khi đĩ ta tìm nghiệm phƣơng trình (3.68) thoả mãn các điều kiện biên dƣới dạng kx X (x)  B sin , k = 1,2, (3.70) k k l Thế biểu thức (3.70) vào phƣơng trình (3.68) ta nhận đƣợc phƣơng trình đặc trƣng để xác định y 4 2  k   k     i2 (1)    (1 i4)  0 (3.71)  l   l  159 Phƣơng trình (3.71) là phƣơng trình bậc hai đối với hàm 4. Giải ra ta đƣợc  42 k1, k 2 k 1, k 2  2 2 4 1 k i   k  i 2  k  i  4 1  1    1  2(1   )    (1   )   2i  l   l   l   (3.72) Khác với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, ở đây ứng với mỗi giá trị của k ta cĩ hai trị riêng khác nhau k1> k2. Nhƣ thế ứng với mỗi hàm riêng Xk(x) ta cĩ hai tần số riêng k1 > k2. Sở dĩ cĩ hiện tƣợng đĩ là vì trong lý thuyết dầm Euler-Bernoulli độ võng w và gĩc xoay  cĩ liên quan với nhau w’ = , cịn trong lý thuyết dầm Timoshenko chúng là hai đại lƣợng độc lập với nhau. Về mặt kỹ thuật ngƣời ta ít quan tâm đến các tần số cao (ứng với dấu cộng trƣớc căn trong (3.72)). Ta xét trƣờng hợp ứng với dấu trừ trƣớc căn. Trong trƣờng hợp ki/l<<1, áp dụng khai triển x x23 x 1x  1     ... với |x|  1 2 8 16 Ta cĩ cơng thức gần đúng với căn thức trong (3.72) 2 4 2 k i 2  k  i   k  i  1 2 1    1      1  1      l   l   l  42 k i   k i  2  1  2 1     ... ll    Từ đĩ ta nhận đƣợc biểu thức gần đúng xác định các tần số riêng 2 2  k i EI k k 11     4 (3.73) l l Chú ý rằng, tần số riêng của dầm Euler-Bernoulli đƣợc xác định bởi cơng thức (3.30) EI  k 2  k l4 Nhƣ thế số hạng thứ hai trong dấu ngoặc vuơng của cơng thức (3.73) thể hiện sự khác nhau giữa các tần số riêng tính theo lý thuyết Timoshenko và lý thuyết Euler- Bernoulli. Độ lớn của số hạng này phụ thuộc vào độ mảnh  = l/i của dầm, vào chỉ số k và vào hệ số 1 + . Đối với dầm cĩ thiết diện hình chữ nhật, chiều cao h, nếu k* = 5/6, E/G = 8/3 thì số hạng (1 + )(ki/l)2 sẽ bằng 3,45(kh/l)2. Nếu l/h = 10 thì độ chênh lệch tần số riêng cơ bản (k=1) giữa lý thuyết Timoshenko và lý thuyết Euler- 160 Bernoulli là 3%, độ chênh lệch tần số riêng bậc 1 (k=2) là 14%. Qua kinh nghiệm ngƣời ta thấy khi l/h>5h thì các kết quả tính tốn theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli khá tốt. Ta sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko khi tỷ số l/k lớn hơn hoặc xấp xỉ bằng h. 2. Dao động uốn tự do của dầm Euler-Bernoulli cĩ tiết diện thay đổi Đối với dầm cĩ tiết diện biến đổi việc tìm chính xác các tần số dao động riêng là bài tốn khá cồng kềnh, phức tạp. Vì vậy ngƣời ta thƣờng hay sử dụng các phƣơng pháp gần đúng để xác định chúng. Dƣới đây chúng ta trình bày một vài phƣơng pháp gần đúng thơng dụng để tính các tần số riêng của dầm Euler-Bernoulli. a. Phương pháp Rayleigh Trong số các phƣơng pháp gần đúng xác định tần số riêng, phƣơng pháp năng lƣợng Rayleigh là phƣơng pháp tƣơng đối đơn giản và thuận tiện. Trong các hệ bảo tồn ngƣời ta cĩ hệ thức Tmax = max (3.75) Biểu thức thế năng biến dạng của dầm [38] 1 1  2w    EI (x) dx (3.76)   2  2 0  x  Biểu thức động năng của dầm mà trên dầm cĩ mang các khối lƣợng điểm mi ở vị trí xi cĩ dạng [38] 2 2 1 1  w  1 n w(x ,t) T  x dx  m i     i   (3.77) 2 0  t  2 i1  t  Giả sử dầm thực hiện dao động uốn khơng cản với tần số cơ bản . Khi đĩ nghiệm riêng tƣơng ứng cĩ dạng wxtXxA( , ) ( ) cos tB  sin  t  fx ( )sin(  t   ) (3.78) Trong đĩ: X(x) là hàm riêng ứng với tần số riêng . Thế (3.78) vào biểu thức (3.76) ta đƣợc 1 1   EI x f''22 ( x )sin ( t  ) dx 2 0 Từ đĩ suy ra: 1 1 2 max  EI x f'' ( x ) dx (3.79) 2 0 Mặt khác, thế (3,78) vào biểu thức (3.77) ta cĩ 221 n 2 2 2 2 T ()()cos( xfx  tdx   )  mfxii ()cos(  t   ) 220 i1 161 2 1 n  22 Do đĩ: Tmax  ()()() x f x dx mii f x (3.80) 2 0 i1 Thế các biểu thức (3.79), (3.80) vào hệ thức (3.75) rồi giải ra 2 ta nhận đƣợc cơng thức Rayleigh để xác định tần số riêng cơ bản dao động uốn của dầm. 1  EI()"() x f2 x dx 2  0 (3.81) R 1 n 22  ()()()x f x dx  mii f x 0 i1 Trong đĩ: E là mơ đun đàn hồi; I(x): Mơmen quán tính mặt; (x): Khối lƣợng trên một đơn vị dài của dầm. Đối với dầm cĩ thiết diện biến đổi rất khĩ xác định chính xác các hàm riêng X(x). Vì vậy độ chính xác của phƣơng pháp Rayleigh phụ thuộc vào việc chọn dạng của hàm f(x). Thơng thƣờng ngƣời ta chọn f(x) là một hàm nào đĩ thoả mãn các điều kiện biên của bài tốn. Việc chọn dạng xác định của hàm f(x) tƣơng đƣơng với việc đƣa vào các liên kết phụ để chuyển cơ hệ đã cho thành cơ hệ một bậc tự do. Những liên kết phụ đĩ nĩi chung làm tăng độ cứng của hệ. Do đĩ tần số riêng tính theo cơng thức Rayleigh thƣờng lớn hơn giá trị chính xác của nĩ một ít. Thí dụ 4.8: Xác định tần số dao động riêng của dầm một đầu ngàm chặt, một đầu tự do, trên đầu tự do cĩ mang vật nặng khối lƣợng m (hình 4.22) El = const m x l f(x) Hình 4.22 Hình thí dụ 4.8 Lời giải: Ta chọn đƣờng cong uốn của trục dao động nhƣ sau: 4 3 2 x   x   x   x  f x    a3    a 2    a 1    a 0 l   l   l   l  Trong đĩ: các hằng số ai đƣợc chọn sao cho f(x) thoả mãn các điều kiện biên. Các điều kiện biên cĩ dạng: x = 0; f(0) = 0; f’(0) = 0; x = 1; f”(1) = 0; f”’(1) = 0 Từ các điều kiện biên trên ta dễ dàng xác định các hằng số ai. a0 = 0; a1 = 0; a2 = 6; a3 = -4 Vậy hàm f(x) cĩ dạng 162 4 3 2  x   x   x  f(x)     4   6   l   l   l  Thế f(x) vào tử số và mẫu số của cơng thức (3.81) ta cĩ 242 1 112x  144 EI 1  x  144 EI EIf"2 ( x ) dx EI  1 dx   1 dx   2ll  4    5 3 0 0l  l 0   l 4322 11x   x   x  lf22( x ) dx mf ( l )   4  6 dx  9 m l   l   l  00      104 1 l 9 m  104 l  405 m 45 45 Từ đĩ suy ra: (144 45)EI 1296 EI 2  R 5l33 (104 l 405 m ) l (104 l 405 m ) Để kiểm tra độ chính xác của cơng thức Rayleigh, ta xét trƣờng hợp m = 0,75l. Khi đĩ 1296EI 1296 EI EI 2    3,1784 R l3(104 l 405.0,75  l ) 407,75  l 4  l 4 Do đĩ: EI  1,7828 R l4 EI Trong thí dụ 4.7 ta tính đƣợc:  1,742 . Vậy sai số là 2,3% R l4 Trƣờng hợp m = 0, ta cĩ 1296 EI EI EI 2  12,46   3,53 RR104 l4  l 4  l 4 Giá trị chính xác của tần số riêng cơ bản theo cơng thức (3.37) là EI EI 2 12,36   3,516 11ll44 vậy sai số là: 0,4%. Nhƣ vậy, tần số riêng cơ bản theo cơng thức Rayleigh khá gần với tần số riêng tính chính xác. b. Phương pháp Ritz Tƣơng tự nhƣ tính tốn ở phần trên, ta cĩ biểu thức động năng cực đại và thế năng cực đại của dầm dao động uốn nhƣ sau: 163 2 1 1  2 1 2 Tmax   ()() x X x dx , max  EI x X'' ( x ) dx 2 0 2 0 Trong đĩ X(x) là hàm riêng. Nếu ta thay gần đúng hàm riêng bằng hàm f(x) X(x) = f(x) = a1f1(x) + a2f2(x) + + anfn(x) (3.82) Thì từ đẳng thức: Tmax - max = 0 ta suy ra 1 2 22  I()"()()() x f x x f x dx 0 E Trong đĩ:  là một hằng số Theo phƣơng pháp Ritz ta chọn các hàm f1(x), f2(x), thoả mãn các điều kiện biên, cịn các hằng số a1, a2, đƣợc chọn sao cho hằng số  là bé nhất. Nhƣ thế bài tốn dẫn đến tìm các hằng số a1, a2,, an sao cho phiếm hàm. 1 2 22   I()"()()() x f x   x f x dx 0 E đạt cực trị. Thế biểu thức (3.82) vào (3.83) ta đƣợc 1 nn2 2 "    (,,...,)aa a  Ix () afx ()   () x afxdx () 12 n  k k E  k k  0 kk11    Điều kiện cần để hàm (a1,a2 ,...,an ) đạt cực trị là   0 j 1,2,..,n (3.84) a j Chú ý đến biểu thức (3.83) hệ phƣơng trình (3.84) cĩ thể viết dƣới dạng 1 2  22  Ixfx( ) " ( ) ( xfxdx ) ( )  0, j  1,2,..., n (3.85) aEj 0  Do hàm f(x) cĩ dạng nhƣ biểu thức (3.82) nên hệ phƣơng trình (3.85) là một hệ phƣơng trình đại số tuyến tính thuần nhất đối với các ẩn a1, a2, , an. Từ điều kiện cần để cho a1, a2, , an khơng đồng nhất bằng khơng, ta suy ra phƣơng trình đặc trƣng để xác định các tần số riêng của hệ. Thí dụ 4.9: Cho dầm cơng xơn cĩ bề dày b = b0 khơng đổi, một đầu ngàm chặt, một đầu tự do (Hình 4.23). Hãy xác định tần số riêng cơ bản bằng phƣơng pháp Rayleigh và phƣơng pháp Ritz, tần số riêng bậc một bằng phƣơng pháp Ritz. Lời giải: Từ hình vẽ 4.23 ta dễ dàng tính đƣợc diện tích thiết diện A(x) và mơmen quán tính mặt I(x). 3 x 1 3 x  A(x)  bh0 , I(x)  bh0   l 12  l  164 O h0 x b0 l Hình 4.23 Hình thí dụ 4.9 Các điều kiện biên cĩ dạng: d 2 X d  d 2 X  x = 0; EI  0,  EI   0 (3.86) 2  2  dx dx  dx  dX x = l X  0,  0 (3.87) dx Để thoả mãn các điều kiện biên ta chọn dạng đƣờng cong uốn nhƣ sau: 2 2  x   x  X (x)  f (x)  a11   a21  ... (3.88)  l   l  Dễ dàng nhận thấy rằng các số hạng của chuỗi (3.88) và đạo hàm của nĩ đối với x bằng khơng khi x = l Do đĩ các điều kiện biên (387) đƣợc thoả mãn. Các điều kiện biên (3.86) cũng đƣợc thoả mãn vì I(x) và dI(x)/dx bằng khơng khi x = 0. Trƣớc hết ta tính tần số riêng cơ bản dao động uốn của dầm cơng xơn bằng phƣơng pháp Rayleigh. Ta lấy xấp xỉ: 2  x  X (x)  f (x)  a11  (3.89)  l  2a Từ đĩ suy ra: f "(x)  1 l 2 Bây giờ ta tính các tích phân ở tử số và mẫu số của cơng thức Rayleigh (3.81) 113 2 3 2 23Ebh a Ebh a 0 1 0 1 EI()"() x f x dx7 x dx 3 003l 12l 1 14 22 1 2 2xx bh0 a 1 4 bh 0 a 1 l (xfxdx ) ( ) bha01  1  dx 5  xxldx (  )  0 0ll l 0 30 5Eh2 1,581 h E Từ đĩ suy ra: 2 00   RR2ll42 Ngƣời ta tính đƣợc giá trị chính xác của 1 là 165 1,584h E   0 1 l2  Sai số của k là 3%. Để áp dụng phƣơng pháp Ritz ta chọn 2 2  x   x  X (x)  f (x)  a11   a21  (3.90)  l   l  2a  x  Từ đĩ suy ra: f "(x)  1 a  a (3  2) 2  1 2  l  l  Thế vào biểu thức (3.83) ta đƣợc 1  3 2   2 2   1 3 x  4   x    3 x  x  x  x      bh0   a1  a23  2  bh0 a11   a2 1  dx  12 l l 4  l  E l l l l 0             3  4 4 4  bh0 2 1 1 l    2 1 1 l     1 2 l     a      a      a a     3  1    2    1 2   l  12 30 h   30 280 h  15 105 h  Từ điều kiện    0,  0 a1 a2 Ta nhận đƣợc hệ hai phƣơng trình đại số tuyến tính thuần nhất  1 1   1 2     a1     a2  0  6 15  15 105  (3.91)  1 2   1 1     a1     a2  0 15 105  15 140  4 l   với  2 Eh0 Từ điều kiện định thức của hệ phƣơng trình (3.91) bằng khơng, ta nhận đƣợc phƣơng trình đặc trƣng. 2 – 27,3 + 58,8 = 0 Từ đĩ suy ra: 1,536h E 5,00h E   0 ,   0  l 2  2 l 2  So với nghiệm chính xác, sai số của 1 là 0,13%, sai số của 2 là 14%. Muốn nhận đƣợc giá trị 2 chính xác hơn ta cần chọn xấp xỉ (3.90) với nhiều số hạng hơn. MỘT SỐ BÀI TỐN MỞ RỘNG VỀ DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM EULER-BERNOULLI a. Dao động uốn của dầm chịu tác dụng của lực dọc 166  Trƣớc hết xét bài tốn dao động uốn của dầm chịu tác dụng của lực dọc F . Giả thiết dầm bị lực dọc nén nhƣ hình vẽ. Cho biết độ cứng chống uốn là EI(x), khối lƣợng trên một đơn vị dài của dầm là (x) = A(x), A(x) là diện tích mặt cắt ngang của dầm. Hình 4.24 Dầm chịu tác dụng lực dọc Xét một phân tố thanh dài dx chịu tác dụng của các lực nhƣ hình 4.24b. Để thiết lập phƣơng trình dao động uốn của dầm ta áp dụng nguyên lý d’Alembert. Từ điều kiện cân bằng các lực theo phƣơng z ta cĩ: Q  Qcos  ( Q  dx )cos(   dx )  N sin  xx (3.92) Nw  2 (N  dx )sin(  dx )  ( x ) dx  0 xx t2    Do  nhỏ thay cos  1, cos(  dx) 1, sin  , sin(  dx)   dx x x x vào (3.92) ta đƣợc 2w Q  (x)   (N) (3.93) t 2 x x Trong các tài liệu về sức bền vật liệu, ta cĩ các hệ thức M     w Q    EI (x) ,   (3.94) x x  x  x Thế (3.94) vào (3.93) ta đƣợc phƣơng trình vi phân dao động uốn của dầm chịu tác dụng của lực dọc nén ở đầu dầm 2w 2  2w   w (x)  EI (x)  N(x,t)  0 (3.95) 2 2  2    t x  x  x  x  Do độ võng của dầm nhỏ, ta cĩ thể sử dụng giả thiết gần đúng lực dọc trục khơng thay đổi dọc theo chiều dài dầm. Với giả thiết đĩ ta cĩ N(x,t) = -F. Nếu dầm là đồng chất, thiết diện khơng đổi và bỏ qua ngoại lực p(x,t) ta cĩ phƣơng trình dao động uốn tự do của dầm chịu tác dụng của lực nén ở đầu dầm. 2w 2w 2w   EI  F  0 (3.96) t 2 x4 xx 167 Áp dụng phƣơng pháp khai triển theo các dạng riêng ta tìm nghiệm phƣơng trình (3.96) dƣới dạng  x w(x,t)  sin(k )Tk (t) (3.97) k 1 l Thế biểu thức (3.97) vào phƣơng trình (3.96) và chú ý đến tính trực giao của các hàm riêng ta đƣợc hệ các phƣơng trình vi phân thƣờng  4 2      EI F    Tk  l   k  Tk  0, k 1,2,... (3.98))  l     l   Từ đĩ suy ra biểu thức xác định các tần số riêng 4 2    EI F    k  k   k  (3.99)  l     l  2 EI F Nếu đƣa vào ký hiệu: Fk  (k ) 4 1 (3.100) Al Fk EI Nhƣ đã biết F   2 là lực giới hạn tĩnh. Ta nêu ra một vài nhận xét từ 1 l 2 phƣơng trình (3.98) và (3.100). - Khi lực dọc tăng trong khoảng 0 < F < F1 thì các tần số riêng sẽ giảm. - Khi F = F1 thì 1 = 0. - Khi F > F1 nghiệm sẽ tăng theo luật số mũ và vị trí cân bằng của dầm sẽ khơng ổn định. Ta cĩ thể sử dụng điều kiện 1 = 0 làm tiêu chuẩn ổn định động lực đối với dầm bị uốn chịu tác dụng của lực dọc. Khi lực nén đầu dầm khơng phải là hằng số mà là hàm của thời gian ˆ F(t)  F0  F cos(t) , với tần số lực kích động  nhỏ hơn nhiều so với tần số riêng đầu tiên dao động dọc của dầm (do đĩ cĩ thể bỏ ảnh hƣởng dao động dọc), ta cĩ thể thay N(x,t) = -F(t). Phƣơng trình (3.95) bây giờ cĩ dạng 2w 4w 2w   EI  (F  Fˆ cos(t))  0 (3.101) t 2 x4 0 x2 Ta tìm nghiệm phƣơng trình (3.101) dƣới dạng kx w (x,t)  sin .q (t) (3.102) k l k Thế (3.102) vào (3.101) ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân xác định qk(t) 2  k  ˆ qk    Fk  F0  F cos(t)qk  0 (3.103)  l  EI Trong đĩ: F  (k )2 , k 1,2,... k l 2 168 Nếu dầm đặt trên nền đàn hồi tuyến tính với hệ số cứng k và chịu tác dụng của lực dọc trục thì phƣơng trình dao động uốn của dầm cĩ dạng 2w 2  2w   w (x)  EI (x)  N(x,t)  kw 0 (3.104) 2 2  2    t x  x  x  x  b. Dao động uốn tương đối của dầm gắn trên đĩa quay Bây giờ ta chuyển sang xét bài tốn dao động uốn tƣơng đối của dầm quay đều. Đây là lớp bài tốn hay gặp trong thực tế. Dao động uốn của cánh tua bin, dao động uốn của các cánh rơto của máy bay trực thăng. Ký hiệu chiều dài dầm là l, độ cứng chống uốn EI = const, khối lƣợng đơn vị dài của dầm  = A = const. Xét dao động uốn tƣơng đối trong mặt phẳng vuơng gĩc với trục quay. Trục rơto quay đều với vận tốc gĩc . Giả thiết biến dạng gĩc nhỏ w’(x,t) << 1. Do đĩ cĩ thể bỏ qua ảnh hƣởng của lực quán tính Coriolis, chỉ quan tâm đến ảnh hƣởng của lực quán tính theo (lực ly tâm). Xét mơ hình dao động nhƣ hình 4.25. Áp dụng nguyên lý d’Alembert, từ điều kiện cân bằng các lực theo trục z ta cĩ: 2w Q   dx 2  Fz  Q cos  (Q  dx)cos(  dx) t x x (3.105) N  N sin  (N  dx)sin(  dx)  0 x x Lực quán tính ly tâm của phần tử dầm dx là F(x) = dxr(x)2. Từ đĩ suy ra (hình 4.25a) 2 Fz(x) = F(x)sin =  wdx (3.106) Hình 4.25 Dầm gắn trên đĩa quay  Thế biểu thức (3.106) vào (3.105) và thay thế cos  1, cos(  dx) 1, x   sin, sin(  dx)    dx ta đƣợc x x 169 2 4  w  w   w 2   EI  N(x,t)   w  0 (3.107) 2 4   t x x  x  Lực pháp tuyến N(x,t) cĩ thể tính theo đoạn dầm từ mặt cắt x đến mặt cắt l. 1 1 N(x,t)   (R  x)2dx  2 (1 x)(2R 1 x) (3.108) 0 2 Thế (3.108) vào (3.107) ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân dao động uốn tƣơng đối của dầm quay đều. 2 4  w  w 2 1   w    EI   (1 x)(2R 1 x)  w  0 (3.109) 2 4     t x 2 x  x   Việc giải các phƣơng trình vi phân dao động uốn của dầm chịu tác dụng của lực dọc trục và phƣơng trình vi phân dao động uốn tƣơng đối của dầm gắn trên đĩa quay đều đƣợc xét một cách chi tiết trong cuốn Bài tập dao động kỹ thuật [12]. Trong đĩ ta thấy các tần số riêng của dầm quay đều lớn hơn so với tần số riêng của dầm khơng quay. Hiệu ứng này đƣợc gọi là hiệu ứng gia cố độ cứng động lực. 170 CÂU HỎI ƠN TẬP 1. Thiết lập phƣơng trình tần số của thanh đồng chất cĩ tiết diện khơng đổi cĩ đầu trái ngàm, đầu phải chịu liên kết với lị xo cos độ cứng c0 nhƣ hình 4.26. Xác định hai tần số riêng đầu tiên nếu c0 = EA / l. x c0 Hình 4.26 Hình bài tập 1 2. Đầu trái của thanh đồng chất cĩ tiết diện khơng đổi gắn với một lị xo cĩ độ cứng k, đầu kia tự do (Hình 4.27). a. Viết phƣơng trình xác định tần số dao động b. Xác định hai tần số đầu của thanh biết k = EA /l. k u x Hình 4.27 Hình bài tập 2 3. Cả 2 đầu thanh đều gắn lị xo nhƣ hình 4.28. Lập phƣơng trình xác định tần số dao động của thanh. Tính hai tần số riêng đầu tiên khi k1 = 2k2 = EA/l. k1 E, A, l k2 x Hình 4.28 Hình bài tập 3 4. Một thanh đồng chất chuyển động dọc theo trục x với vận tộc v khơng đổi (hình 4.29). Thanh bị va chạm vào một vật chắn, rắn tuyệt đối sao cho từ đĩ trửo đi mút trái của thanh luơn luơn gắn cứng vào vật rắn. Tính giá trị dịch chuyển cực đại ở đầu phải của thanh và giá trị ứng lực dọc cực đại ở đầu trái của thanh. v E, A, l x Hình 4.29 Hình bài tập 4 5. Cho biết thanh bị kéo bởi một lực P khơng đổi và ở một thời điểm nhất định, lực đƣợc bỏ đi đột ngột (hình 4.30). Tìm quy luật dịch chuyển của đầu mút phải của thanh. 171 E, A, l P x u0 Hình 4.30 Hình bài tập 5 6. Hãy xác định hàm riêng của dao động dọc của thanh đồng chất cĩ chiêu dài l mang khối lƣợng m ở một đầu cịn đầu kia tự do. E, A, l m x Hình 4.31 Hình bài tập 6 7. Tính các tần số riêng và hàm riêng của dao động xoắn của trục đƣợc cho trên hình a, b, c. Trục cĩ tiết diện trịn, mật độ  và mơđun cắt vật liệu G. l a) l/2 b) c) Hình 4.32 Hình bài tập 7 8. Xác định tần số dao động riêng của trục cĩ tiết diện ngang trịn mang 2 đĩa ở đầu (hình 4.33). Cho biết mơmen quán tính của đĩa bằng J1, J2 trục cĩ mật độ khối  và mơmen quán tính cực của tiết diện Ip. J1 J2 l Hình 4.33 Hình bài tập 8 9. Xác định dao động dọc cƣỡng bức của thanh một đầu ngàm chặt, ở đầu kia chịu tác dụng của lực F(t) = F0sin(t) (hình 4.34). 172 10. Một thanh cĩ một đầu tự do, một đầu chịu kích động động học theo luật u=u0sin(t) nhƣ hình 4.35. Xác định dao động dọc bình ổn của thanh. 11. Một thanh cĩ đầu dƣới mang khối lƣợng m, đầu trên dịch chuyển theo phƣơng thẳng đứng với luật u0 = Usint. Hãy tìm dao động dọc bình ổn của thanh và biên độ dao động dọc của khối lƣợng m (hình 4.36). u0sint u0(t) x x A,E l F0sint Hình 4.34 Hình 4.35 m Hình 4.36 12. Thiết lập phƣơng trình vi phân uốn tự do của dầm và xác định các tần số riêng đối với các mơ hình trên hình 4.37. Cho biết dầm đồng chất cĩ tiết diện khơng đổi, độ cứng chống uốn EI, khối lƣợng đơn vị dài là μ . a c b d Hình 4.37 Hình bài tập 12 13. Thiết lập phƣơng trình dao động tự do của dầm đàn hồi năm trên nền đàn hồi (hình 4.38). Biết rằng phản lực của nền tác dụng lên mỗi đơn vị chiều dài của dầm tỷ lệ bậc nhất với độ võng của dầm là kw (k là hệ số độ cứng của nền). Hãy tìm tần số riêng cho hai trƣờng hợp sau: x x w a) b) Hình 4.38 Hình bài tập 13 173 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2009 [2] Trần Dỗn Tiến. Cơ sở dao động trong kỹ thuật, NXB Đại học và THCN, Hà Nội 1981. [3]Phan Nguyên Di, Nguyễn Văn Khang, Tính tốn dao động máy, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 1991. [4] Nguyễn Xuân Hùng, Tính tốn chính xác kết cấu trên máy tính, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2002. [5] Nguyễn Văn Khang, Cơ sở Cơ học kỹ thuật, Tập I và tập II, NXB Đại học quốc gia, Hà Nội 2003 [6] Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vƣợng, Sức bền vật liệu, NXB Giáo dục, Hà Nội 2004. [7] Lê Ngọc Hồng, Sức bền vật liệu, NXB Khoa học kỹ thuật 2002. [8] Bùi Trọng Lựu, Sức bền vật liệu tập 1, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, 2004. [9] Bùi Trọng Lựu, Sức bền vật liệu tập 2, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, 2004. [10] Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vƣợng, Bài tập Sức bền vật liệu, NXB Giáo dục 2004. [11] Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Khang. Cơ học tập 2. NXB Giáo dục 2004. [12] Nguyễn Văn Khang, Thái Mạnh Cầu, Vũ Văn Khiêm, Nguyễn Nhật Lệ, Bài tập dao động kỹ thuật, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2009. 174