Đàn hồi Ứng dụng
ThS. Nguyễn Thanh Nhã
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật, Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Đại học Bách Khoa TpHCM
Email: nhanguyen@hcmut.edu.vn thanhnhanguyendem@gmail.com
ĐT: 0908.56.81.81
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy
5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy
5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho phần tử thanh gậy
5.4. Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên
5.5. Hàm dạng (shape function)
5.6. Phần tử t
67 trang |
Chia sẻ: Tài Huệ | Ngày: 17/02/2024 | Lượt xem: 183 | Lượt tải: 0
Tóm tắt tài liệu Bài giảng Đàn hồi ứng dụng - Chương 5: FEM - Phần tử thanh gậy (Truss, Bar Element) - Nguyễn Thanh Nhã, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng
Hình học phần tử thanh gậy
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng
Hình học phần tử thanh gậy
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
5.2. Các đặc trưng cơ học
của phần tử thanh gậy
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng
Các thành phần ứng suất
Giả thiết đầu tiên và cơ bản nhất cho mô hình thanh gậy là trong thanh
chỉ có một thành phần ứng suất pháp duy nhất chính là ứng suất pháp
theo phương dọc trục của thanh
11 0
22 33 12 23 13 0
*
1100 nt 1 1
0 0 0 nt * *
22 σ n t
*
0 0 0 nt33
Thanh chỉ chịu lực dọc trục nên có trạng thái ứng suất đơn
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng
Quan hệ biến dạng – Chuyển vị
Giả thiết thứ 2 cơ bản cho mô hình thanh gậy cho trường chuyển vị
trong thanh: tất cả các điểm trên 1 mặt cắt bất kỳ của thanh đều có
chuyển vị giống nhau dọc theo trục thanh.
u1 u 1() X 1
11 11()()X 1 u 1,1 X 1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng
Quan hệ Ứng suất – Biến dạng
Với giả thiết đầu tiên về các thành phần ứng suất trong thanh, viết
phương trình định luật Hook
11 2 0 0 0 11
0 2 0 0 0
22
0 2 0 0 0 33
0 0 0 2
12
00 223
0 sym 213
Ta có:
22 332( ) 11 11
(3 2 )
(2 ) ( ) E E
11 11 22 33 11 11 11 11
0
12 13 23 11 11()X 1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho
phần tử thanh gậy
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng
Công thức tổng quát
Áp dụng nguyên lý công ảo cho một phần tử thanh gậy trong không gian
3 chiều:
WWWWWdyn int ext ext ext
uu1 1 11 11
W W u u dV 0 dV
dyn int 2 2 22
uu3 3 33 0
*
u1 t 1 u 1 b 1
W W u 00 dA u dV
ext ext 22
uu33 00
Trong bài toán tĩnh, bỏ qua thành phần Wdyn
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng
Khai triển các thành phần công ảo
Công ảo của thành phần lực bề mặt:
LLLLLLLL****
Wut ()()()()()()()() ut dAuN uN
ext 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2A 2 2 2 2
Công ảo của thành phần lực thể tích:
L/2
W u p() X dX
ext 1 1 1 1
L/2
Công ảo của thành phần nội lực:
LL/2 /2
W dAdX AdX
int 11 11 1 11 11 1
LAL/2 /2
LLL/2 /2 /2
uuAdX A dX uNe1 e 1 uN e 2 e 2 updX
11 1 11111 11 11 111
LLL/2 /2 /2
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
5.4. Hệ tọa độ vật lý
và hệ tọa độ tự nhiên
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.4. Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ địa phương Đàn hồi Ứng dụng
Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên
Hệ tọa độ vật lý (physical coordinates)
L /2 0 L /2 LL
X1
X1 ,
22
Hệ tọa độ tự nhiên (natural coordinates)
1 1,1
1 0 1 1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.4. Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ địa phương Đàn hồi Ứng dụng
Quan hệ giữa tọa độ vật lý và tọa độ tự nhiên
Hệ tọa độ vật lý (physical coordinates) Hệ tọa độ t.nhiên (natural coordinates)
L /2 0 L /2
X1
L
Quan hệ giữa tọa độ vật lý và tọa độ tự nhiên: X
112
Ma trận chuyển đổi giữa 2 hệ tọa độ (ma trận Jacobi):
XL L
1 1
JX1 0 1,1 1 dX1 d 1 J d 1
1 2 2
Quan hệ giữa chiều dài phần tử và định thức ma trận Jacobi:
L
dX d J d
12 1 1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
5.5. Hàm dạng (shape function)
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Tính liên tục của hàm dạng
u
1 fullfilled
u11,
e 1 e e 1
violated
jump kink
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Hàm xấp xỉ
u1
1 2 3
u1
1 2 3
Xấp xỉ tuyến tính với 3 phần tử Xấp xỉ bậc 2 với 3 phần tử
Xấp xỉ tuyến tính với 6 phần tử
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Đa thức nội suy Lagrange
Xấp xỉ hàm chuyển vị u bất kì bằng các giá trị chuyển vị nút với đa thức nội suy:
p1
ei1 e
u1()()()() 1 u 1 1 u 1 N 1 Nu 1
i1
12 n -> Vector các hàm dạng
N()()()()1 NNN 1 1 1
là hàm theo 1
T
e e11 e en
u u1 u 1 u 1 -> Vector các chuyển vị nút
độc lập với
Xấp xỉ đạo hàm hàm chuyển vị u bất kì bởi các giá trị chuyển vị nút với hàm dạng:
p1
u11() e1 i e
u1,1()()()() 1 u 1,1 1 u 1 N ,1 1 Nu ,1 1
1 i1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Đa thức nội suy Lagrange bậc p:
p1 k
ik 1 if i k
i 11
N () N ()1
1 ki 0 if i k
k1 11
ki
-> Điều kiện Kronecker dealta
1 2
Ví dụ: Đa thức nội suy Lagrange bậc 1 (p=1)
1 1 2 k 2
1 1 1 1 111 1
N (11 ) k 1 2 1 (1 )
p1 k k1 1 1 1 1 1 ( 1) 2
i 11 k1
N ()1 ki
1 1 2 k 1
k1 11 11
ki 2 1 1 1 1 1
N (11 ) k 2 1 2 (1 )
k1 1 1 1 1 1 1 2
k2
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Đa thức nội suy Lagrange
1 2 3
Ví dụ: Đa thức nội suy Lagrange bậc 2 (p=2)
2 1 3 k 23
1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1
N (1 ) k 1 2 1 3 1 ( 1 1) 1
kk1; 1 1 1 1 1 1 1 0 ( 1) 1 ( 1) 2
2 1 3 k 13
221 1 1 1 1 1 11 1 1
N (11 ) k 2 1 2 3 2 1
kk1; 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0
2 1 3 k 12
3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
N (1 ) k 3 1 3 2 3 (1 1 ) 1
kk1; 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2
Ví dụ: Đa thức nội suy Lagrange bậc 3 (p=3)
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng
12
Hàm dạng tuyến tính (Linear shape functions): N()()()1 NN 1 1
1
1 1
N ( ) (1 ) N ()1
112
1
N 2 ( ) (1 ) 1
11 2
2 N ()1
Xấp xỉ các biến cho bài toán: 2
Xấp xỉ trường chuyển vị u 11 () và biến phân của trường chuyển vị u 11 ()
thông qua ma trận các hàm dạng N () 1 .
T
e ue uu e12 e
uu1()()() 1 1 1Nu 1 11
T
e e e12 e
uu1()()() 1 1 1Nu 1 u uu11
T
e e e12 e
uu1()()() 1 1 1Nu 1 u uu11
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng
Xấp xỉ đẳng tham số cho hình học
Trong công thức phần tử hữu hạn đẳng tham số, tọa độ hình học cũng được
xấp xỉ thông qua ma trận các hàm dạng giống như phép xấp xỉ chuyển vị.
T
XX()()() NX e e e12 e
1 1 1 1 1 XXX 11
Với phần tử thanh gậy:
1 1 LLL 1 1
XXX()ee121 1 1 1
1 1 12 1 2 2 2 2 2 2 1
Xấp xỉ ma trận Jacobi:
XL
J 1
1 2
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng
Xấp xỉ trường biến dạng
Trường biến dạng của bài toán trong hệ tọa độ tự nhiên:
u1 u 1( 1 ( X 1 )) u 1 ( 1 ) 1 2
11()() 1 u 1,1 1
XXXL1 1 1 1
1
u1,1() 1 J
Xấp xỉ trường biến dạng thông qua vector các hàm dạng:
22
22 ei i ei i
111111()()()() u 1 N 1 u 1,11 N
LL1 ii11
Viết dạng vector:
2 ue1
()()()()() NN12 1 Bu e
11 1 11 1 ,1 1 ,1 1e2 1
L u1
B-Operator (ma trận tính biến dạng):
212 1 1
B NN,1()() 1 ,1 1
LLL
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng
Xấp xỉ biến phân của biến dạng
Xấp xỉ biến phân của biến dạng thông qua vector các hàm dạng:
2
2 ei i
11()()() 1 11 1 uN 1 1
L 1 i1
2 ue1
NN12()()() 1 Bu e
,1 1 ,1 1e2 1
L u1
B-Operator (ma trận tính biến dạng):
212 1 1
B NN,1()() 1 ,1 1
LLL
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng
Xấp xỉ thành phần công ảo nội
L/2 1 1 L
We EA dX EAJ d EA d
int 11 11 1 11 11 1 11 11 1
L/2 1 1 2
Thay các xấp xỉ của biến dạng và biến phân của biến dạng vào:
1 2222L
We u ei N i()() EA u ej N j d
int 1 ,1 1 1 ,1 1 1
1 LLij112
2EA 221
uei N i()() N j u ej d
1 ,1 1 ,1 1 1 1
L ij111
2EA 22 1
uei N i()() N j d u ej
1 ,1 1 ,1 1 1 1
L ij11 1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng
Xấp xỉ thành phần công ảo nội
Viết dưới dạng ma trận:
uuee11 2EA 1 N 1 ()
We 11,1 1 N12()() N d
intee22 2 ,1 1 ,1 1 1
uu11 L 1 N,1() 1
uuee11 2EA 1 NNNN1()()()() 1 1 2
11,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 d
ee22 2 1 2 1 1
uu11 L 1 NNNN,1()()()() 1 ,1 1 ,1 1 ,1 1
Đạo hàm của hàm dạng tuyến tính là hằng số, suy ra:
ee111 1 1 2
e uu11 4EA NNNN,1 ,1 ,1 ,1
Wint ee22 2 1 2 1
uu11 L NNNN,1 ,1 ,1 ,1
uuee11 EA 11
11
ee22
uu11 L 11
ue ke ue
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng
Xấp xỉ thành phần công ảo nội
Viết dưới dạng B-Operator:
1LL 1 1
We EA d B u e EA Bu e d u e B T EA Bu e J d
int 11 11 1 1 1
122 1 1
Ma trận độ cứng phần tử thanh gậy:
1
eT
k BEA B J d1 e EA 11
k
1 L 11
e1
e e e e u
W u k u e 1
int u e2
u1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng
Xấp xỉ thành phần công ảo ngoại
Công ảo của các thành phần ngoại lực được xấp xỉ qua vector các hàm dạng
uNee11 1 L
We 11.()() u p d
ext ee22 1 1 1 1 1
uN11 1 2
uNee11 1 2 L
11.()()uei N i p d
ee22 1 1 1 1 1
uN11 1 i1 2
ue1 N e 1 u e 1 1 N 1() L
1.. 1 1 1 pd()
e2 e 2 e 2 2 1 1 1
u1 N 1 u 1 1 N () 1 2
e e
rn r
p e1
e N1
Vector tải phần tử do lực tập trung đặt tại đầu thanh: rn e2
N1
Vector tải phần tử do lực phân bố dọc trục:
e1 111
eTrp N ()1 L
rp p1()()() 1 d 1 N 1 p 1 1 J d 1
re2 2
p 11N ()1 2
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng
Xấp xỉ thành phần công ảo ngoại
Công ảo của các thành phần ngoại lực được xấp xỉ qua vector các hàm dạng
e e e e e e e
Wext u r n u r p u r
Trường hợp đặc biệt với tải phân bố dọc trục là hằng số vector tải phần tử
được viết như sau:
1
1 2
e1
1 11
e rp p1 L11 p 1 L2 p 1 L 1
rp d1
re2 1 11
p 41 1 42 2
11
2 1
e1 pL
N 1
1
e e e 2
r r r
np pL
N e2 1
1 2
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Ma trận độ cứng và vector tải phần tử
Ma trận độ cứng phần tử thanh gậy:
e e e e e e e
Wext u r n u r p u r
Vector tải phần tử được viết như sau:
e EA 11
k
L 11
e e e e
Wint u k u
e e ee1 epL e e e e e e
WW uN k u1 u r
int ext 1 k u r
e e e 2
r r r
np pL
N e2 1
1 2
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy
Ví dụ 1: 1 e1 2
F
12
1
Ma trận độ cứng phần tử:
2
Vector tải phần tử: e1
e e e N11 p L /2 RR11 0
e EA 11
r rnp r
Ne2 p L /2 kFF 0
11 L 11
EA 11 u1 R
kue er e 1 1
Hệ phương trình: 2
L 11 u1 F
1
Điều kiện biên: u1 0
Hệ phương trình EA LF
uF2 u2
rút gọn sau khi áp L 1 1 EA
điều kiện biên:
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy
Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23
a
- Rời rạc hóa vật thể, chia làm 2 phần tử:
- Đánh số thứ tự nút và phần tử như trên:
- Thiết lập ma trận chỉ số liên kết giữa các phần tử:
Chỉ số cục bộ Nút đầu Nút cuối
Phần tử (nút i) (nút j)
(1) 1 2
(2) 2 3
Ma trận chỉ số liên kết bậc tự do:
12
b
23
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy
Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23
a 12 Chỉ số tổng thể:
- Thiết lập các ma trận cứng của phần tử: 1
2 23
e1 EA 11 e2 EA 11 2
k k
a 11 a 11 3
- Ghép nối ma trận cứng tổng thể:
1 2 3
1 1 0 1
EA
ke 1 1 1 1 2
a
0 1 1 3
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy
Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23
a Chỉ số tổng thể:
- Thiết lập các vector tải phần tử:
e1 e 1 e 1 R11 pa/ 2 R pa / 2 1
r rnp r
0 pa / 2 pa / 2 2
e2 e 2 e 2 0 pa / 2 pa / 2 pa 1 2
r rnp r
0 pa / 2 pa / 2 2 1 3
- Vector tải tổng thể:
R11 pa/ 2 R pa / 2 1
re pa/ 2 pa / 2 pa
2
pa/ 2 pa / 2 3
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy
Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23
a
- Hệ phương trình tổng thể:
ke u e r e
1
1 1 0 u11 R pa / 2
EA
1 1 1 1 u2 pa
a 1
3
0 1 1 u1 pa / 2
1
- Áp đặt điều kiện biên: u1 0
EA2 1 u2 pa pa 2
1
3
a 1 1 u1 pa / 2 2 1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy
Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23
a
- Giải hệ phương trình tổng thể, tìm được vector các chuyển vị chưa biết:
u2 pa2 3
ue' 1
3
u1 2EA 4 1
u1 0
pa2
- Vector các chuyển vị tổng thể: ue u2 3
1 2EA
3
u1 4
- Vector chuyển vị từng phần tử:
u1 pa2 0 u2 pa2 3
ue1 1 ue2 1
2 3
u1 2EA 3 u1 2EA 4
- Hàm chuyển vị mỗi phần tử:
e1 1 1 2 2 e2 1 2 2 3
u1()()() x N x u 1 N x u 1 u1()()() x N x u 1 N x u 1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy
Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23
a
- Ứng suất trên từng phần tử:
2
e1 e 1 e 1 1 1pa0 3 pa
EEE Bu
11 11
a a22 EA3 A
2
e2 e 2 e 2 1 1pa3 1 pa
EEE Bu
11 11
a a22 EA4 A
- Nội lực dọc trục trên từng phần tử :
3
Nee11 A pa
1 11 2
1
Nee22 A pa
1 11 2
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
Tích phân số (Numerical integration)
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, phép tích phân thường sử dụng là
phép cầu phương Gauss (Gauss-Legendre quadrature):
Tích phân của hàm f trong hệ tọa độ tự nhiên được xấp xỉ bởi phép tổng sau:
1 n
f()() d ii f
1 1 1
1 i1
2
f 1
f ()1
1
f 1
1 2
1 1
0
1 1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
Tích phân số (Numerical integration)
Số điểm Gauss cần thiết (n) cho phép cầu phương Gauss thỏa biểu thức sau:
pn21
Tọa độ các điểu Gauss và các trọng số được cho như bảng sau:
i i
n pn21 f ()1 1
1 1
1 1 0
1
1 1/ 3 1
2 1
2 2 1
1 1/ 3
1 3 / 5 1
3 5 1 5 / 9
2
2
1 0 8 / 9
3 3
1 3/ 5 5 / 9
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng
Tích phân số (Numerical integration)
Ví dụ:
1 121
23d
1 1 1
1 331
22
1 1 1 2
2d 11
11
1 33 3
f ()1
1 1 1
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
5.6. Phần tử thanh gậy
trong hệ tọa độ tổng thể
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Quan hệ giữa chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể
và chuyển vị dọc trục thanh trong không gian 3 chiều
e1 e 1' e 1' e 1'
u1 u 1cos 1 u 2 cos 2 u 3 cos 3
e2 e 2' e 2' e 2'
u1 u 1cos 1 u 2 cos 2 u 3 cos 3
e1'
u1
e1'
u2
e1 e1'
u cos1 cos 2 cos 3 0 0 0 u
1 3
e2 0 0 0 cos cos cos e2'
u1 1 2 3 u1
e2'
ue T
u2
e2'
u3
e'
Vector u Vector
chuyển vị Ti cos1 cos 2 cos 3 chuyển vị
dọc trục trong hệ
thanh XXee2' 1' tọa độ tổng
cos jj thể
j L
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử trong hệ tọa độ tổng thể 3D
Vector chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể:
uee Tu ' ue' T T u e
uee T u ' ue' T T u e
Công nội (ảo):
e eee eeeTT eee''''' eTee e
WWint uku u ku Tu kTu uTkTu int
2x12x 2 2x1 ke'
Công ngoại (ảo):
e e e e'''' T e e e e
WWext u r u T r u r int
re'
Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử trong hệ tọa độ tổng thể:
ke' T T k e T re' T T r e
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Quan hệ giữa chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể
và chuyển vị dọc trục thanh trong không gian 2 chiều
ue2'
2 x
e2
u1
ue2'
e1' 1
X 2 y e
u2
ue1
1 ue1 u e 1'cos u e 1' sin
1 1 2
e2 e 2' e 2'
e1'
u u1 u 1cos u 2 sin
X1 1
e1'
u1
uuee1cos sin 0 0 1'
12
ee2 2'
uu110 0 cos sin
e2'
ue T
u2
ue'
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Ma trận chuyển đổi giữa hệ trục phần tử và hệ trục tổng thể
ue2'
2 x
e2
u1
X ' e2'
2 u1
ue1' e
2 e1
u1 cos sin 0 0
T
0 0 cos sin
'
X1 e1'
u1
XXee2' 1'
cos 0 cos 11
L
sin 0
TT XXee2' 1'
0 cos sin 22
L
0 sin
e2' e 1'22 e 2' e 1'
LXXXX 1 1 2 2
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử trong hệ tọa độ tổng thể 2D
Ma trận độ cứng phần tử hệ tọa độ tổng thể 2 chiều:
cos 0
sin 0 1 1 cos sin 0 0
e' T e EA
k T k T
0 cosL 1 1 0 0 cos sin
0 sin
cos22 cos sin cos cos sin
EA sin22 cos sin sin
ke'
L cos2 cos sin
2
sym sin
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử trong hệ tọa độ tổng thể 2D
Ma trận độ cứng phần tử hệ tọa độ tổng thể không gian 2 chiều viết gọn:
c22 cs c cs
EA s22 cs s
ke'
L c2 cs
2
sym s
Trong đó: cscos ; sin
: Góc giữa thanh và trục x’
E : Module đàn hồi
A: Diện tích mặt cắt thanh
L : Chiều dài thanh
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Nội lực trong thanh dàn
Biến dạng và ứng suất trong thanh:
e
11 Bu
11 E 11
Nội lực dọc trục trong thanh:
e e e''' e e
N11 A EABu EA BTu S u
Trong đó: Se' : Ma trận tính nội lực
e' 11cos sin 0 0
SEA BT EA
LL0 0 cos sin
EA
cos sin cos sin
L
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Tính ứng xử hệ thanh dàn phẳng có mô hình như sau:
F2 1
F1 2
L3 10 2
L2 10
EA3 200 2
(3) EA 50
(2) 2
(1)
L1 10
EA1 100
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu, đánh số phần tử, đánh số nút, tại mỗi nút có 2
bậc tự do là 2 chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể, thiết lập ma trận chỉ số nút:
3 '
u2 u6
3
3 '
u1 u5
(3)
(2)
u1 u'
2 u2 2 '
(1) 2 u4
1 2 ' '
1 u1 2 u1 u1 u3
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu, đánh số phần tử, đánh số nút, tại mỗi nút có 2
bậc tự do là 2 chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể, thiết lập ma trận chỉ số nút:
'
u6
3 Chỉ số cục bộ Nút đầu Nút cuối
(nút i) (nút j)
Phần tử '
1 2 3 4u 5
(1) 1 2 3 4
(2) 3 4 5 6
(3)
(2) (3) 1 2 5 6
'
u2 '
(1) u4
' '
1 2 u1 u3
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 2: Thiết lập các ma trận độ cứng phần tử:
c22 cs c cs
22
e' EA s cs s '
u6
k 2
L c cs 3
sym s2
'
u5
cos2 (0 0 ) cos(0 0 )sin(0 0 ) cos 2 (0 0 ) cos(0 0 )sin(0 0 )
EA sin2 (0 0 ) cos(0 0 )sin(0 0 ) sin 2 (0 0 )
' 1 (3)
k1 2 0 0 0
L1 (2) cos (0 ) cos(0 )sin(0 )
20
sym ' sin (0 )
1 2 3u 42 '
(1) u4
1 0 1 0 1
' 0000 2
' '
1 k1 10 2 u u
1 0 1 01 3 3
0000 4
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 2: Thiết lập các ma trận độ cứng phần tử:
c22 cs c cs
22
e' EA s cs s '
u6
k 2
L c cs 3
sym s2
'
u5
cos2 (90 0 ) cos(90 0 )sin(90 0 ) cos 2 (90 0 ) cos(90 0 )sin(90) 0
EA sin2 (90 0 ) cos(90 0 )sin(90 0 ) sin 2 (90 0 )
' 2 (3)
k2 2 0 0 0
L2 (2) cos (90 ) cos(90 )sin(90 )
20
sym ' sin (90 )
3 4 5u 62 '
(1) u4
0000 3
' 0 1 0 1 4
' '
1 k2 5 2 u u
00001 5 3
0 1 0 1 6
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 2: Thiết lập các ma trận độ cứng phần tử:
c22 cs c cs
22
e' EA s cs s '
u6
k 2
L c cs 3
sym s2
'
u5
cos2 (45 0 ) cos(45 0 )sin(45 0 ) cos 2 (45 0 ) cos(45 0 )sin(45) 0
EA sin2 (45 0 ) cos(45 0 )sin(45 0 ) sin 2 (45 0 )
' 3 (3)
k3 2 0 0 0
L3 (2) cos (45 ) cos(45 )sin(45 )
20
sym ' sin (45 )
1 2 5u2 6
(1) u'
0.5 0.5 0.5 0.5 1 4
' 0.5 0.5 0.5 0.5 2
k 20 ' '
1 3 2
0.5 0.5 0.5u1 0.5 5 u3
0.5 0.5 0.5 0.5 6
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể:
1 2 3 4 5 6
u'
000000 6
3 1
000000
2
u'
000000 3 5
k '
000000 4
000000(3) 5
(2)
000000 6
'
u2 '
(1) u4
' '
1 2 u1 u3
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể:
10 0 10 0
000000 1 2 3 4 5 6
0000
'
k1 000000
10 0 10 0 10 0 10 0 0 0 1
0000000000
k ' 0 0 0 0 0 0 2
000000
000000 10 0 10 0 0 0 3
k '
000000 0 0 0 0 0 0 4
1 2 3 40 0 0 0 0 0 5
1
0 0 0 0 0 0 6
2
3
4
(Bước trước)
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể:
0000
1 2 3 4 5 6
0 5 0 5
k'
2 0000 1010 0 0 10 10 0 0 0 0 0 1
0 5 0 5 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
1010 0 0 10 10 0 0 0 0 0 3
kk' '
00 0 0 0 0 5 0 0 0 5 4
3 4 50 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
3
00 0 0 0 0 0 5 0 0 5 6
4
5
6
(Bước trước)
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể:
10 10 10 10
10 10 10 10 1 2 3 4 5 6
k'
3 10 10 10 10
10 0 10 0 0 0 1
10 10 10 10 20 10 10 0 10 10
100 10 0 0 0 0 0 10 0 10 0 2
1010 0 0 10 10 0 0 0 0 0 0 3
k '
k ' 0 0 0 5 0 5 4
0 0 0 5 0 5
10 10 0 0 10 10 5
1 2 50 6 0 0 0 0 0
10 101 0 5 10 15 6
0 0 0 5 0 5
2
5
6
(Bước trước)
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể:
20 10 10 0 10 10
10 10 0 0 10 10
10 0 10 0 0 0
k '
0 0 0 5 0 5
10 10 0 0 10 10
10 10 0 5 10 15
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 4: Vector tải của hệ trong hệ tọa độ tổng thể:
00 0
00 0
' 00 0
f
00 0
02 F1
01 F2
Lực phân bố dọc Lực tập trung
thanh phân về các nút tại các nút
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 5: Áp đặt điều kiện biên và thiết lập hệ PT tổng thể:
Hệ PT tổng thể:
F2 1
F1 2
1 2 3 4 5 6
L 10 2 ' 1
203 10 10 0 10 10 u1 0
L 10
EA 200 2 2 '
10 103 0 0 10 10 0 2
u2
(3) EA 2 50
(2) ' 3
10 0 10 0 0 0 u3 0
'
0 0 0 5 0 5 0 4
(1) u4
'
10 10 0 0 10 10 u5 2 5
L1 10
'
10 10 0 5 10 15u 1 6
EA1 100 6
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng
Bài toán ví dụ 1
Bước 5: Áp đặt điều kiện biên và thiết lập hệ PT tổng thể:
Hệ PT tổng thể sau khi khử các điều kiện biên:
F2 1
F1 2
'
10 0 0 u3 0
0 10 10 u' 2
L 10 2 5
3 '
L 10
0 10 15 u6 1 2
EA3 200 2
(3) EA 50
(2) 2
Bước 6: Giải hệ phương trình:
' (1)
u3 0
'
uL1 10 0.4
5
EA' 100
1
u6 0.2
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_dan_hoi_ung_dung_chuong_5_fem_phan_tu_thanh_gay_tr.pdf