Bài giảng Đàn hồi ứng dụng - Chương 4: Tổng quan về PP Phần tử hữu hạn - Finite Element Method (FEM) - Nguyễn Thanh Nhã

về FEM Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng Các phương pháp số trong kỹ thuật • Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)  Cơ học vật rắn tuyến tính, phi tuyến. Tĩnh học và động lực học  Cơ học lưu chất, tương tác lưu chất – cấu trúc (FSI)  Truyền nhiệt ổn định, quá độ  Truyền âm  Áp dụng tốt cho các bài toán tuyến tính lẫn phi tuyến • Phương pháp thể tích hữu hạn (FVM)  Áp dụng tốt cho các bài toán động lực học lưu chất • Phương pháp phần tử biên (BEM)  Truyền âm  Truyền sóng  Cơ học nứt đàn hồi tuyến tính  Giới hạn trong các bài toán tuyến tính Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng Ý tưởng phương pháp PTHH Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng Ý tưởng phương pháp PTHH Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng Ý tưởng phương pháp PTHH Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng Lịch sử của FEM Toán học: Các phương pháp Tĩnh học vật rắn Các phương pháp xấp xỉ sai phân hữu hạn Rayleigh (1870), Ritz (1909) Richardson (1910) Global approximations, Minimun of Potential Energy Numerical solution of differential equation Galerkin (1915) Global approximations, Displacement method Method of Weighted Residuals Drehwinkelverfahren Mann 1926 Latice models Hrennikoff 1941 Finite Element Method Finite Volume Method Argyris (1955), Turner Computational Fluid Dynamics & Clough (1956) Book: The Finite Element Method TIME O.C. Zienkiewicz (1967) Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng Các khái niệm cơ bản Mô hình thực tế Rời rạc hóa cấu trúc “phần tử hữu hạn” trường chuyển vị trong phần tử e chuyển vị tại các nút i, j k, l của phần tử e các hàm xấp xỉ Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng Các dạng phần tử Phần tử thanh gậy Phần tử thanh dầm Phần tử tấm vỏ (plate, shell) (truss, bar, link) (beam) Phần tử đối xứng trục Phần tử khối 2D (Plane, Slab) (axisymetric) Phần tử khối 3D (solid) Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng Áp dụng các dạng phần tử Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng From CAD to FEM Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng From CAD to FEM Bài toán START thiết kế CAD Bài toán PRE-PROCESSING kiểm định, NO FEM cải tiến? POST-PROCESSING GOOD? YES FINISH Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng 4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Quan hệ Biến dạng - Chuyển vị Hệ thức Cauchy: u1  u 2  u 3 11;;  22   33  XXX1  2  3 1u1  u 2 1  u 1  u 3  1   u 2  u 3  12  21  ;;;  13   31     23   32     2XXXXXX2  1 2  3  1  2   3  2  Viết dưới dạng tensor: 11 u()() u u u u 1,122 1,2 2,1 1,3 3,1  1 1 1  ()()()u  u u u  u  u  u 21,2 2,1 2,2 2 2,3 3,2 2 i , j j , i 11 ()()u1,3 u 3,1 u 2,3 u 3,2 u 3,3 22 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Quan hệ Biến dạng - Chuyển vị  Viết dưới dạng vector: 00 T  X1   11  22  332  12 2  23 2  13    00  X    11 2 11 12 13   22   22  23  00 u   X 1 sym  33 3  33  u2 2   12 0 T u3 u  u u u  223 XX21 1 2 3  2  13 0 XX 32 ε D u  0 XX31 sym εu D : differential operator Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Phương trình cân bằng Hệ PT cân bằng có xét đến thành phần quán tính 11   12   13    bu11  XXX1  2  3   ub1  11,1   12,2   13,3   1 21   22   23     bu22  ub1  21,1   22,2   23,3   2 XXX    1 2 3 ub          1 31,1 32,2 33,3 3 31   32   33    bu33   XXX1  2  3 Hệ PT cân bằng viết dưới dạng tensor  ui  b i   ij   b i   ij, j X j 11,1  12,2  13,3  divσ        u divσb 21,1 22,2 23,3ij , j  31,1  32,2  33,3 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Phương trình cân bằng Viết dưới dạng vector: 11  12  13 σ        T  11 22 33 12 23 13  σ   22 23 T sym  b  b1 b 2 b 3  33    11 0 0 0  XXX    1 2 3 22 ub11         33   ub220 0 0    D σb    XXX      2 1 3 12 ub33        23 0 0 0  XXX3  2  1 13 D : differential operator Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Quan hệ Ứng suất – Biến dạng (Định luật Hook) Viết dưới dạng tensor: 11  2    0 0 0  11    2   0 0 0   22   22  33  2 0 0 0  33        002 12   12  23  0 2 23      13 sym  2 13  σ C ε σ Cε Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Các phương trình cơ bản 3 phương trình trong bài toán tổng quát: σ Cε u  b div() C sym u Đối với bài toán tĩnh: div()Csym u  b  0 u divσbεusym Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Các điều kiện biên Điều kiện biên Neumann Neumann Boundary Condition (Stress) * σ(,)(,) Xtt n t X  X  Điều kiện biên Dirichlet Dirichlet Boundary Condition (Displacement) * u(,)(,) Xtt n u X  X u *  t u  u*  0 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng 4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Nguyên lý công ảo (Principal of Virtual Work) Dạng mạnh (strong form) của bài toán trị biên (nhắc lại): div()Csym u  b  u - Việc tìm lời giải giải tích cho phương trình vi phân trên nói chung là một việc bất khả thi. - Do đó, các phương pháp xấp xỉ ra đời nhằm tìm lời giải gần đúng cho bài toán trên. - PP xấp xỉ nói chung không giải trực tiếp phương trình vi phân dạng mạnh mà chỉ giải tích phân của nó trên miền bài toán, gọi là dạng yếu của phương trình vi phân (weak form of the differential equation). - Các nguyên tắc tích phân trong cơ học: + Nguyên lý chuyển vị ảo hay nguyên lý công ảo + Nguyên lý lực ảo + Nguyên lý cực tiểu thế năng (bài toán tĩnh) + Nguyên lý Hamiltion (bài toán động lực học) Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Nguyên lý công ảo (Principal of Virtual Work) - Trong nguyên lý công ảo, dạng mạnh của phương trình vi phân cân bằng và phương trình thể hiện điều kiện biên tĩnh được nhân vô hướng với một vector hàm thử (test function) và lấy tích phân trên toàn miền thể tích đang xét. - Hàm thử được chọn là chuyển vị ảo  u , có các tính chất sau: +  u thỏa mãn các điều kiện biên hình học (đkb động học) uX0  u + thỏa mãn các điều kiện vật lý của bài toán symu  + là đại lượng (vi phân) vô cùng bé + là đại lượng bất kỳ Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Nguyên lý công ảo (Principal of Virtual Work) Viết lại phương trình cân bằng và điều kiện biên tĩnh u divσ  b  0 σ n  t*  0 Nhân vô phướng hàm thử  u với hai phương trình trên, lấy tích phân trên toàn miền thể tích bài toán và cộng hai thành phần tích phân lại: u(  u   b )dV    u  divσ dV    u  ( σ  n  t* ) dA  0    Ta có: div()::u σ   u  div σ    u σ   u  div σ    u σ u divσ  div():():  u  σ    u σ  div  u  σ    u σ Định lý Gausse: div()uσ dV    u  σ  n dA    u  σ  n dA    Suy ra:  u(  u  b )dV    u :σ dV    u σ n dA   u ( σ n t* ) dA  0     Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Nguyên lý công ảo (Principal of Virtual Work) u::σ ε σ Viết lại phương trình trên: uu dV   ε: σ dV    u  b  dV    u  t* dA     Viết dưới dạng bảo toàn năng lượng: W uu  dV dyn   W ε: σ dV   u  DT CD u dV WWWdyn int  ext int  u(  u  b )dV   u :σ dV   u σ n dA  u ( σ n t* ) dA  0     *  W  u  b  dV    u  t dA ext  Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Các tính chất của Nguyên lý công ảo - Các điều kiện biên Dirichlet hoàn toàn được thỏa mãn - Các điều kiện biên Neumann và phương trình cân bằng chỉ được thỏa mãn một cách không hoàn chỉnh (yếu - weak) - Nguyên lý công ảo không giải chính xác bài toán mà chỉ cho lời giải xấp xỉ. - Nguyên lý công ảo là cơ sở của phương pháp Galerkin. - Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên nguyên lý công ảo cũng là một phương pháp Galerkin. Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi được xác định như sau:  UA  Trong đó: U : Thế năng biến dạng của vật thể đàn hồi tích lũy trong quá trình biến dạng A: Công của ngoại lức sinh ra trên các chuyển dời của ngại lực do vật thể bị biến dạng Nội dung nguyên lý: - Trong tất cả các trường chuyển vị khả dĩ động thì trường chuyển vị thực sẽ làm cho thế năng toàn phần  đạt giá trị dừng - Nói cách khác, khi vật thể cân bằng thì thế năng toàn phần  đạt giá trị dừng VD: Thế năng toàn u  UA u    u  0 phần đạt cực tiểu khi vật cân bằng Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần Thế năng biến dạng đàn hồi U được tính bởi công thức: 1 1 T U εσT dV Uε Cε dV  2  2   Công A của ngoại lực (lực khối và lực mặt): AuTT b dV u t* dS  Thế năng toàn phần viết dạng ma trận: 1 (u ) U  A εTTT C ( ε  2 ε ) dV  u b dV  u t* dA 2 0      Giá trị của u làm cho biến phân của hàm thế năng toàn phần triệt tiêu chính là nghiệm của bài toán: u  UA u    u  0 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011