Đàn hồi Ứng dụng
ThS. Nguyễn Thanh Nhã
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật, Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Đại học Bách Khoa TpHCM
Email: nhanguyen@hcmut.edu.vn; thanhnhanguyendem@gmail.com
ĐT: 0908.56.81.81
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM
4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên
4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
4.1. Các khái niệm cơ bản v
29 trang |
Chia sẻ: Tài Huệ | Ngày: 17/02/2024 | Lượt xem: 207 | Lượt tải: 0
Tóm tắt tài liệu Bài giảng Đàn hồi ứng dụng - Chương 4: Tổng quan về PP Phần tử hữu hạn - Finite Element Method (FEM) - Nguyễn Thanh Nhã, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
về FEM
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
Các phương pháp số trong kỹ thuật
• Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)
Cơ học vật rắn tuyến tính, phi tuyến. Tĩnh học và động lực học
Cơ học lưu chất, tương tác lưu chất – cấu trúc (FSI)
Truyền nhiệt ổn định, quá độ
Truyền âm
Áp dụng tốt cho các bài toán tuyến tính lẫn phi tuyến
• Phương pháp thể tích hữu hạn (FVM)
Áp dụng tốt cho các bài toán động lực học lưu chất
• Phương pháp phần tử biên (BEM)
Truyền âm
Truyền sóng
Cơ học nứt đàn hồi tuyến tính
Giới hạn trong các bài toán tuyến tính
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
Ý tưởng phương pháp PTHH
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
Ý tưởng phương pháp PTHH
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
Ý tưởng phương pháp PTHH
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
Lịch sử của FEM
Toán học: Các phương pháp
Tĩnh học vật rắn
Các phương pháp xấp xỉ sai phân hữu hạn
Rayleigh (1870), Ritz (1909)
Richardson (1910)
Global approximations,
Minimun of Potential Energy Numerical solution of
differential equation
Galerkin (1915)
Global approximations,
Displacement method Method of Weighted Residuals
Drehwinkelverfahren
Mann 1926
Latice models
Hrennikoff 1941
Finite Element Method Finite Volume Method
Argyris (1955), Turner Computational Fluid Dynamics
& Clough (1956)
Book: The Finite Element Method
TIME O.C. Zienkiewicz (1967)
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
Các khái niệm cơ bản
Mô hình thực tế
Rời rạc hóa cấu trúc
“phần tử hữu hạn”
trường chuyển vị trong phần tử e
chuyển vị tại các nút i, j k, l của phần tử e
các hàm xấp xỉ
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
Các dạng phần tử
Phần tử thanh gậy Phần tử thanh dầm Phần tử tấm vỏ (plate, shell)
(truss, bar, link) (beam)
Phần tử đối xứng trục Phần tử khối 2D (Plane, Slab)
(axisymetric)
Phần tử khối 3D (solid)
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
Áp dụng các dạng phần tử
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
From CAD to FEM
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.1. Các khái niệm cơ bản về FEM Đàn hồi Ứng dụng
From CAD to FEM
Bài toán START
thiết kế
CAD
Bài toán
PRE-PROCESSING kiểm định,
NO
FEM cải tiến?
POST-PROCESSING
GOOD?
YES
FINISH
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
4.2. Dạng mạnh (Strong form) của
bài toán trị biên
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Quan hệ Biến dạng - Chuyển vị
Hệ thức Cauchy:
u1 u 2 u 3
11;; 22 33
XXX1 2 3
1u1 u 2 1 u 1 u 3 1 u 2 u 3
12 21 ;;; 13 31 23 32
2XXXXXX2 1 2 3 1 2 3 2
Viết dưới dạng tensor:
11
u()() u u u u
1,122 1,2 2,1 1,3 3,1
1 1 1
()()()u u u u u u u
21,2 2,1 2,2 2 2,3 3,2 2 i , j j , i
11
()()u1,3 u 3,1 u 2,3 u 3,2 u 3,3
22
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Quan hệ Biến dạng - Chuyển vị
Viết dưới dạng vector: 00
T
X1
11 22 332 12 2 23 2 13
00
X
11 2
11 12 13
22
22 23 00 u
X 1
sym 33 3
33 u2
2
12 0
T u3
u u u u 223 XX21
1 2 3
2
13 0
XX
32
ε D u
0
XX31
sym
εu D : differential operator
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Phương trình cân bằng
Hệ PT cân bằng có xét đến thành phần quán tính
11 12 13
bu11
XXX1 2 3
ub1 11,1 12,2 13,3 1
21 22 23
bu22 ub1 21,1 22,2 23,3 2
XXX
1 2 3 ub
1 31,1 32,2 33,3 3
31 32 33
bu33
XXX1 2 3
Hệ PT cân bằng viết dưới dạng tensor
ui b i ij b i ij, j
X j
11,1 12,2 13,3
divσ
u divσb 21,1 22,2 23,3ij , j
31,1 32,2 33,3
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Phương trình cân bằng
Viết dưới dạng vector:
11 12 13
σ T
11 22 33 12 23 13 σ
22 23
T sym
b b1 b 2 b 3 33
11
0 0 0
XXX
1 2 3 22
ub11
33
ub220 0 0 D σb
XXX
2 1 3 12
ub33
23
0 0 0
XXX3 2 1 13
D : differential operator
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Quan hệ Ứng suất – Biến dạng (Định luật Hook)
Viết dưới dạng tensor:
11 2 0 0 0 11
2 0 0 0
22 22
33 2 0 0 0 33
002
12 12
23 0 2 23
13 sym 2 13
σ C ε
σ Cε
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Các phương trình cơ bản
3 phương trình trong bài toán tổng quát:
σ Cε u b div() C sym u
Đối với bài toán tĩnh:
div()Csym u b 0
u divσbεusym
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.2. Dạng mạnh (Strong form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Các điều kiện biên
Điều kiện biên Neumann
Neumann Boundary Condition (Stress)
*
σ(,)(,) Xtt n t X X
Điều kiện biên Dirichlet
Dirichlet Boundary Condition (Displacement)
*
u(,)(,) Xtt n u X X u
*
t
u
u* 0
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Đàn hồi Ứng dụng
4.3. Dạng yếu (Weak form) của
bài toán trị biên
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Nguyên lý công ảo (Principal of Virtual Work)
Dạng mạnh (strong form) của bài toán trị biên (nhắc lại):
div()Csym u b u
- Việc tìm lời giải giải tích cho phương trình vi phân trên nói chung là
một việc bất khả thi.
- Do đó, các phương pháp xấp xỉ ra đời nhằm tìm lời giải gần đúng cho
bài toán trên.
- PP xấp xỉ nói chung không giải trực tiếp phương trình vi phân dạng
mạnh mà chỉ giải tích phân của nó trên miền bài toán, gọi là dạng yếu
của phương trình vi phân (weak form of the differential equation).
- Các nguyên tắc tích phân trong cơ học:
+ Nguyên lý chuyển vị ảo hay nguyên lý công ảo
+ Nguyên lý lực ảo
+ Nguyên lý cực tiểu thế năng (bài toán tĩnh)
+ Nguyên lý Hamiltion (bài toán động lực học)
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Nguyên lý công ảo (Principal of Virtual Work)
- Trong nguyên lý công ảo, dạng mạnh của phương trình vi phân cân
bằng và phương trình thể hiện điều kiện biên tĩnh được nhân vô
hướng với một vector hàm thử (test function) và lấy tích phân trên
toàn miền thể tích đang xét.
- Hàm thử được chọn là chuyển vị ảo u , có các tính chất sau:
+ u thỏa mãn các điều kiện biên hình học (đkb động học)
uX0 u
+ thỏa mãn các điều kiện vật lý của bài toán
symu
+ là đại lượng (vi phân) vô cùng bé
+ là đại lượng bất kỳ
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Nguyên lý công ảo (Principal of Virtual Work)
Viết lại phương trình cân bằng và điều kiện biên tĩnh
u divσ b 0 σ n t* 0
Nhân vô phướng hàm thử u với hai phương trình trên, lấy tích phân
trên toàn miền thể tích bài toán và cộng hai thành phần tích phân lại:
u( u b )dV u divσ dV u ( σ n t* ) dA 0
Ta có: div()::u σ u div σ u σ u div σ u σ
u divσ div():(): u σ u σ div u σ u σ
Định lý Gausse: div()uσ dV u σ n dA u σ n dA
Suy ra:
u( u b )dV u :σ dV u σ n dA u ( σ n t* ) dA 0
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Nguyên lý công ảo (Principal of Virtual Work)
u::σ ε σ
Viết lại phương trình trên:
uu dV ε: σ dV u b dV u t* dA
Viết dưới dạng bảo toàn năng lượng:
W uu dV
dyn
W ε: σ dV u DT CD u dV
WWWdyn int ext int
u( u b )dV u :σ dV u σ n dA u ( σ n t* ) dA 0
*
W u b dV u t dA
ext
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Các tính chất của Nguyên lý công ảo
- Các điều kiện biên Dirichlet hoàn toàn được thỏa mãn
- Các điều kiện biên Neumann và phương trình cân bằng chỉ được thỏa
mãn một cách không hoàn chỉnh (yếu - weak)
- Nguyên lý công ảo không giải chính xác bài toán mà chỉ cho lời giải
xấp xỉ.
- Nguyên lý công ảo là cơ sở của phương pháp Galerkin.
- Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên nguyên lý công ảo cũng là
một phương pháp Galerkin.
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần
Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi được xác định như sau:
UA
Trong đó:
U : Thế năng biến dạng của vật thể đàn hồi tích lũy trong quá trình
biến dạng
A: Công của ngoại lức sinh ra trên các chuyển dời của ngại lực do
vật thể bị biến dạng
Nội dung nguyên lý:
- Trong tất cả các trường chuyển vị khả dĩ động thì trường chuyển
vị thực sẽ làm cho thế năng toàn phần đạt giá trị dừng
- Nói cách khác, khi vật thể cân bằng thì thế năng toàn phần đạt
giá trị dừng
VD: Thế năng toàn
u UA u u 0 phần đạt cực tiểu
khi vật cân bằng
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
4.3. Dạng yếu (Weak form) của bài toán trị biên Đàn hồi Ứng dụng
Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần
Thế năng biến dạng đàn hồi U được tính bởi công thức:
1 1 T
U εσT dV Uε Cε dV
2
2
Công A của ngoại lực (lực khối và lực mặt):
AuTT b dV u t* dS
Thế năng toàn phần viết dạng ma trận:
1
(u ) U A εTTT C ( ε 2 ε ) dV u b dV u t* dA
2 0
Giá trị của u làm cho biến phân của hàm thế năng toàn phần triệt tiêu
chính là nghiệm của bài toán:
u UA u u 0
Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_dan_hoi_ung_dung_chuong_4_tong_quan_ve_pp_phan_tu.pdf