Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận-Định thức

phép biến đổi sơ cấp 5 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Điều kiện tồn tại Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận 2 Giới thiệu Công ty điện tử ABC sản xuất 4 mặt hàng TV, radio, đầu máy VCD và quạt máy. Công ty có 3 đại lý bán hàng. Bảng sau cho biết số lượng các mặt hàng bán được của các đại lý trong tháng 9 vừa qua: TV radio đầu máy VCD quạt máy Đại lý 1 120 150 80 210 Đại lý 2 140 180 120 220 Đại lý 3 150 120 180 250 Ta có thể viết lại bảng trên như sau: q = 120 150 80 210140 180 120 220150 120 180 250  - Dòng thứ nhất là vector khối lượng hàng hóa bán được trong tháng 9 của đại lý 1. - Dòng thứ hai là vector khối lượng hàng hóa bán được trong tháng 9 của đại lý 2. - Cột thứ nhất là vector khối lượng TV bán được trong tháng 9 của công ty ABC. - Cột thứ nhất là vector khối lượng radio bán được trong tháng 9 của công ty ABC. 3 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa - Ma trận cấp m × n là một bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật bao gồm m dòng và n cột . - Ma trận A cấp m × n, kí hiệu A = (aij)mxn với i = 1,m, j = 1, n A =  a11 . . . a1j . . . a1n ... ... ... ai1 . . . aij . . . ain ... ... ... am1 . . . amj . . . amn  m×n ← dòng thứ i ↑ cột thứ j - Ai∗ = ( ai1 ai2 · · · ain ) được gọi là dòng thứ i của ma trận A. - A∗j =  a1j a2j ... amj  được gọi là cột thứ j của ma trận A. Khi đó có thể biểu diễn A: A = ( Ai1 Ai2 · · · Ain ) =  A1j A2j ... Amj  4 Ma trận Các khái niệm Ví dụ: A =  0 1 2 34 5 6 78 9 10 11  A là ma trận có 3 dòng và 4 cột A là ma trận thực cấp 3 × 4 Các phần tử của ma trận A là: a11 = 0, a12 = 1, a13 = 2, a14 = 3 a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6, a24 = 7 a31 = 8, a32 = 9, a33 = 10, a34 = 11 Định nghĩa Ma trận không là ma trận có các phần tử đều bằng không (aij = 0, ∀i, j), kí hiệu là O. Ví dụ: O2×3 = ( 0 0 0 0 0 0 ) 5 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Cho A = (aij)mxn Khi m=1, ta được ma trận dòng A = (a11 a12 · · · a1n) Khi n=1, ta được ma trận cột A =  a11 a21 ... am1  Ví dụ: Ma trận dòng A = (1 2 3) và ma trận cột B =  1 2 3 4  6 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận vuông cấp n là ma trận có n dòng và n cột. Các phần tử aii lập thành đường chéo chính. Các phần tử aij với i+ j = n+ 1 lập thành đường chéo phụ. Ví dụ: A =  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  4×4 7 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận vuông A = (aij)nxn được gọi làma trận tam giác trên⇔ Các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0,∀i > j. Ví dụ: A =  2 1 −30 0 00 0 1  Định nghĩa Ma trận vuông A = (aij)nxn được gọi làma trận tam giác dưới⇔ Các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0,∀i < j. Ví dụ: A =  2 0 0−1 0 03 0 3  8 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi làma trận chéo⇔ Các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0,∀i , j Ví dụ: A =  1 0 00 0 00 0 −3  Định nghĩa Ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi làma trận đơn vị, tức là aij = 0,∀i , j và aii = 1,∀i. Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In. Ví dụ: I2 = ( 1 0 0 1 ) ; I3 =  1 0 00 1 00 0 1  9 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận thỏa 2 điều kiện 1. Các dòng không (nếu có) phải nằm ở dưới cùng. 2. Phần tử khác không đầu tiên của dòng trên (nếu có) phải nằm ở cột bên trái phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới (nếu có). Ví dụ: Cho biết các ma trận sau có phải là ma trận bậc thang theo dòng hay không? A =  1 0 20 2 −10 0 0  ; B =  1 0 2 3 0 2 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 1  ; C =  1 0 2 0 2 −1 0 −1 1 0 0 1  ;D =  1 0 2 3 −1 0 2 −1 1 0 0 0 1 0 3 0 6 0 1 1  10 Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận đối xứng là ma trận vuông thỏa aij = aji,∀i, j = 1, n Ví dụ: A =  −1 1 01 2 50 5 0  Định nghĩa Cho 2 ma trận A, B. A = B⇔ { A và B cùng cấp aij = bij,∀i, j Ví dụ: Cho A =  1 −2 x − 1−3 0 14 1 5  và B =  1 −2 3−3 0 14 y + 1 5  A = B⇔ { x − 1 = 3 1 = y + 1 ⇔ { x = 4 y = 0 11 Ma trận Các phép toán trên ma trận Định nghĩa Ma trận chuyển vị của A = ( aij ) m×n, kí hiệu là A T = ( aji ) n×m có được bằng cách đổi dòng của ma trận A thành cột hoặc đổi cột thành dòng. Ví dụ: A =  2 −1 3 14 0 9 23 1 −2 0  3×4 AT =  2 4 3 −1 0 1 3 9 −2 1 2 0  4×3 Định nghĩa Tích của ma trận A = (aij)mxn với một số k là ma trận C = k.A = (cij)mxn với cij = k.aij, ∀i, j Ví dụ: A =  2 1 41 1 01 3 9  3×3 ⇒ 2A =  4 2 82 2 02 6 18  3×3 12 Ma trận Các phép toán trên ma trận Định nghĩa Tổng 2 ma trận cùng cấp A = (aij)mxn và B = (bij)mxn là ma trận C = A+ B = (cij)mxn với cij = aij + bij, ∀i, j Ví dụ: Cho ma trận A =  2 1 41 1 01 3 9  và ma trận B =  1 3 11 4 04 3 2  Khi đó ma trận A+ B =  3 4 52 5 05 6 11  ; A − B =? Định nghĩa Cho ma trận A = (aij)mxp và B = (bij)pxn. Khi đó C = A.B tồn tại và C = (cij)mxn với cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj hay AB =  ∗ ∗ ∗ ∗ai1 ai2 . . . aip∗ ∗ ∗ ∗   ∗ b1j ∗ ∗ b2j ∗ ∗ ... ∗ ∗ bpj ∗  =  ... . . . cij . . . ...  13 Ma trận Các phép toán trên ma trận Ví dụ: Xác định ma trận C = A.B A = ( 2 1 4 4 1 0 ) 2x3 B =  1 1 23 0 12 4 3  3x3 Giải C = A.B = ( 2 1 4 4 1 0 ) 2x3 ×  1 1 23 0 12 4 3  3x3 = ( c11 c12 c13 c21 c22 c23 ) 2x3 với c11 = ( 2 1 4 ) ×  132  = 2.1+ 1.3+ 4.2 = 13 c12 = ( 2 1 4 ) ×  104  = 2.1+ 1.0+ 4.4 = 18 c13 = ( 2 1 4 ) ×  213  = 2.2+ 1.1+ 4.3 = 17 14 Ma trận Các phép toán trên ma trận Tương tự ta có c21 = 7, c22 = 4, c23 = 9 Vậy C = A.B = ( 13 18 17 7 4 9 ) Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa AX = B, biết A = ( 2 −1 2 1 ) với B = ( 1 3 ) Giải: Đặt X = ( a b ) , ta có AX = B⇔ ( 2 −1 2 1 ) ( a b ) = ( 1 3 ) ⇔ ( 2a − b 2a+ b ) = ( 1 3 ) ⇔ { 2a − b = 1 2a+ b = 3 ⇔ { a = 1 b = 1 . Vậy X = ( 1 1 ) 15 Ma trận Các tính chất Tính chất A+ B = B+A A+ 0 = A A+ B+ C = (A+ B) + C = A+ (B+ C) k.(lA) = (kl).A k(A+ B) = kA+ kB (k+ l)A = kA+ lA Tính chất ABC = (AB)C = A(BC) A(B ± C) = AB ±AC (B ± C)A = BA ± CA Im.Amxn = Amxn = Amxn.In (kA)B = A(kB) = k(AB) (A ± B)T = AT ± BT (A.B)T = BT.AT 16 Ma trận Các tính chất Chú ý : AB tồn tại không thể suy ra BA tồn tại AB và BA cùng tồn tại không thể suy ra AB = BA A.B = 0 không thể suy ra A = 0 hoặc B = 0 AB = CB không thể suy ra A = C Cho A = (aij)nxn. Quy ước A0 = I, A2 = A.A, . . . ,An = A ·A · · ·A ·A︸ ︷︷ ︸ n 17 Ma trận Các tính chất Bài toán: Cho ma trận A = (aij)nxn. Xác định f(A), biết f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0. Ta có f(A) = anAn + an−1An−1 + · · ·+ a1A+ a0In. Ví dụ: Xác định f(A), biết A = ( 2 1 1 2 ) , f(x) = 2x2 − 4x+ 3 Giải. Ta có: f(A) = 2A2 − 4A+ 3I2 Tính được A2 = ( 2 1 1 2 ) × ( 2 1 1 2 ) = ( 5 4 4 5 ) , từ đó suy ra 2A2 = ( 10 8 8 10 ) Ta có: −4A = ( −8 −4 −4 −8 ) và 3I2 = ( 3 0 0 3 ) Vậy: f(A) = ( 5 4 4 5 ) 18 Ma trận Ma trận con Định nghĩa Cho A = (aij)mxn. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được bằng cách lấy giao của k dòng, k cột bất kỳ của A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hiệu Am1,...,mk; n1,...,nk Ví dụ: Cho A =  0 1 2 34 5 6 78 9 10 11  Khi đó A1,2; 1,2 = ( 0 1 4 5 ) , . . . ,A1,3; 2,4 = ( 1 3 9 11 ) , . . . Số ma trận con cấp k của A = (aij)mxn là Ckm.C k n. 19 Ma trận Ma trận con Định nghĩa Cho A = (aij)nxn. Ma trận con tương ứng với phần tử aij của A, kí hiệu làMij, có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A. Ví dụ: Cho A =  0 1 23 4 56 7 8  . Khi đó M11 = ( 4 5 7 8 ) , . . . ,M23 = ( 0 1 6 7 ) , . . . ,M33 = ( 0 1 3 4 ) , . . . Số ma trận con tương ứng với một phần tử của A = (aij)nxn là n2. 20 Định thức Định nghĩa Định nghĩa Cho A = (aij)nxn =  a11 a12 · · · a1n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann . Định thức của A, kí hiệu là detA hay |A| với n = 1 : |A| = a11 n ≥ 2 : |A| = (−1)1+1a11|M11|+ (−1)1+2a12|M12|+ · · ·+ (−1)1+na1n|M1n| Ví dụ: a. Cho A = ( a b c d ) Ta có |A| = (−1)1+1ad+ (−1)1+2bc = ad − bc 21 Định thức Định nghĩa Ví dụ: b. Cho A = ( 2 −1 3 −2 ) Ta có |A| = 2(−2) − (−1)3 = −1 c. Cho A =  a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33  Ta có |A| = (−1)1+1a11 ∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣∣ + (−1)1+2a12 ∣∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣∣ + (−1)1+3a13 ∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13−a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11 Quy tắc Sarius: A =  a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33  |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13−a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11 22 Định thức Định nghĩa Ví dụ:Tính định thức của các ma trận sau: a) A =  1 0 −12 1 3−1 2 1  b) B =  1 2 3 0 −1 0 1 −1 2 0 1 1 1 2 0 3  23 Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột): 1 P1: Hoán vị dòng i (cột i) và dòng j (cột j): A di↔dj−−−−→ B (A ci↔cj−−−−→ B). 2 P2: Nhân dòng i (cột i) với số λ , 0: A di→λdi−−−−−→ B (A ci→λci−−−−−→ B). 3 P3: Nhân dòng j (cột j) với số λ rồi cộng dòng i (cột i): A di→di+λdj−−−−−−−−→ B (A ci→ci+λcj−−−−−−−→ B). Ví dụ: Cho A =  1 2 34 5 67 8 9  d1↔d2−−−−−→  4 5 61 2 37 8 9  ; A =  1 2 34 5 67 8 9  d1→2d1−−−−−−→  2 4 64 5 67 8 9  ; A =  1 2 34 5 67 8 9  d1→d1+2d2−−−−−−−−−→  9 12 154 5 67 8 9  24 Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý 1 P1: Hoán vị 2 dòng/cột làm định thức đổi dấu. 2 P2: Nhân một dòng/cột với một số λ , 0 làm định thức biến đổi gấp λ lần. 3 P3: Nhân một dòng/cột với một số λ rồi cộng vào một dòng/cột khác không làm định thức thay đổi. 4 Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển bất kỳ dòng/cột nào |A| di= (−1)i+1ai1|Mi1|+ (−1)i+2ai2|Mi2|+ · · ·+ (−1)i+nain|Min| |A| cj= (−1)1+ja1j|M1j|+ (−1)2+ja2j|M2j|+ · · ·+ (−1)n+janj|Mnj| Ví dụ: a. Cho A =  1 0 −32 1 1−1 2 0 . Ta có |A| = − 12 − 3 − 2 = −17 A =  1 0 −32 1 1−1 2 0  d1↔d2−−−−−→  2 1 11 0 −3−1 2 0  = B ⇒ |B| = 17 25 Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp A =  1 0 −32 1 1−1 2 0 . Ta có |A| = −17 A =  1 0 −32 1 1−1 2 0  d1→2d1−−−−−−→  2 0 −62 1 1−1 2 0  = C ⇒ |C| = − 34 A =  1 0 −32 1 1−1 2 0  d1→d1+2d2−−−−−−−−−→  5 2 −12 1 1−1 2 0  = D ⇒ |D| = − 17 26 Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp b. Cho A =  1 0 −3 1 −2 1 1 0 1 2 −1 3 −3 1 1 0  Ta có |A| c3→c3+3c1= ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 1 −2 1 − 5 0 1 2 2 3 −3 1 − 8 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c4→c4−c1= ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 −2 1 −5 2 1 2 2 2 −3 1 −8 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d1= (−1)1+1.1. ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −5 2 2 2 2 1 −8 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6 − 10 − 32 − 4+ 30+ 16 = 6 27 Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp b. Cho A =  1 0 −3 1 −2 1 1 0 1 2 −1 3 −3 1 1 0  Ta có |A| d3→d3+(−3)d1= ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 −3 1 −2 1 1 0 − 2 2 8 0 − 3 1 1 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c4= (−1)1+4.1. ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2 1 1 −2 2 8 −3 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = −( − 4 − 24 − 2+ 6+ 2+ 16) = 6 28 Định thức Các tính chất Tính chất (1) |AT| = |A| Tính chất (2) Ma trận có dòng/cột không thì định thức bằng 0. Tính chất (3) Ma trận có hai dòng/cột tỉ lệ nhau thì định thức bằng 0. Tính chất (4) Cho A = (aij)nxn. Khi đó |kA| = kn|A| 29 Định thức Các tính chất Tính chất (5) Định thức của ma trận tam giác bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. ⇒ Định thức của ma trận chéo bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Ví dụ:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −2 1 1 3 0 2 8 −5 0 0 1 2 0 0 0 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−2).2.1.3 = −12∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2.3.1.5 = 30 30 Định thức Các tính chất Tính chất (6) Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi đó |AB| = |A|.|B| |An| = |A|n Tính chất (7) Nếu các phần tử của một dòng/cột là tổng của 2 số hạng thì định thức có thể phân tích thành hai định thức tương ứng trong đó các dòng/cột còn lại không thay đổi. Ví dụ:∣∣∣∣∣∣∣∣ ∗ ∗ ∗ ∗ ai1 + bi1 ai2 + bi2 . . . ain + bin ∗ ∗ ∗ ∗ ∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣ ∗ ∗ ∗ ∗ ai1 ai2 . . . ain ∗ ∗ ∗ ∗ ∣∣∣∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∗ ∗ ∗ ∗ bi1 bi2 . . . bin ∗ ∗ ∗ ∗ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 31 Định thức Các tính chất Ví dụ:∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 + b1x a1x+ b1 c1 a2 + b2x a2x+ b2 c2 a3 + b3x a3x+ b3 c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 a1x+ b1 c1 a2 a2x+ b2 c2 a3 a3x+ b3 c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣∣∣∣ b1x a1x+ b1 c1 b2x a2x+ b2 c2 b3x a3x+ b3 c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 a1x c1 a2 a2x c2 a3 a3x c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣∣∣∣ b1x a1x c1 b2x a2x c2 b3x a3x c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣∣∣∣ b1x b1 c1 b2x b2 c2 b3x b3 c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ + x2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 a1 c1 b2 a2 c2 b3 a3 c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ + 0 = (1 − x2) ∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 32 Định thức Định thức con Định nghĩa Định thức của ma trận con cấp k của A = (aij)nxn được gọi là định thức con cấp k của |A|. Định thức của A có thể được tính thông qua công thức sau |A| = ∑ 1≤j1<j2<...<jk≤n (−1)i1+···+ik+j1+···+jk |Ai1,...,ik;j1,...,jk |.|Ai1,...,ik;j1,...,jk | trong đó Ai1,...,ik;j1,...,jk là ma trận con của A có được bằng cách bỏ đi k dòng i1, . . . , ik và bỏ đi k cột j1, . . . , jk. 33 Định thức Định thức con Ví dụ: Tính định thức của ma trận A =  1 1 0 0 −1 2 0 0 0 0 3 2 0 0 −1 1  Ta có |A| = ∑ 1≤j1<j2≤4 (−1)1+2+j1+j2 |A1,2;j1,j2 |.|A1,2;j1,j2 | |A| = (−1)1+2+1+2|A1,2;1,2|.|A1,2;1,2| = ∣∣∣∣∣ 1 1−1 2 ∣∣∣∣∣ . ∣∣∣∣∣ 3 2−1 1 ∣∣∣∣∣ = 3.5 = 15 Tổng quát, xét A = (aij)nxn A =  Bkxk CO D(n−k)x(n−k)  Ta có |A| = ∑ 1≤j1<...<jk≤n (−1)1+···+k+j1+···+jk |A1,...,k;j1,...,jk |.|A1,...,k;j1,...,jk | |A| = (−1)1+···+k+1+···+k|A1,··· ,k;1,··· ,k|.|A1,··· ,k;1,··· ,k| = |B||D| Tương tự, A =  Bkxk OC D(n−k)x(n−k)  Ta có |A| = |B||D| 34 Hạng của ma trận Định nghĩa Định nghĩa Hạng của A = (aij)mxn, được kí hiệu là rank(A), là cấp cao nhất của ma trận con của A sao cho tồn tại một ma trận con cấp đó có định thức khác không. Ta có: rankA ≤ min{m; n} Ví dụ: Cho A = ( 1 2 3 2 4 5 ) Ta có rank(A) ≤ 2 và tồn tại ma trận con cấp 2: A1,2;2,3 = ( 2 3 4 5 ) có |A| = − 2 , 0 nên rankA = 2 Ví dụ: Xác định hạng của A =  1 1 0 −21 −2 −1 0−2 1 1 2  Nhận thấy rankA ≤ 3 và A có 4 ma trận con cấp 3 với định thức đều =0,do vậy rankA ≤ 2. Mà tồn tại ma trận con cấp 2 A1,2;1,2 = ( 1 1 1 −2 ) có |A1,2;1,2| = −3 , 0 Vậy rankA = 2 35 Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý 1 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. 2 Ma trận bậc thang theo dòng có hạng bằng số dòng khác không của nó. Trong thực hành ta biến đổi A cpbdsc−−−−−→ B với B là ma trận bậc thang theo dòng. Theo định lý trên ta dễ dàng xác định rankA. Ví dụ: Xác định hạng của A =  1 1 0 −21 −2 −1 0−2 1 1 2  Ta có A d2→d2−d1−−−−−−−−−→ d3→d3+2d1  1 1 0 −20 − 3 − 1 20 3 1 − 2  d3→d3+d2−−−−−−−−→  1 1 0 −20 −3 −1 20 0 0 0  = B. suy ra rankA = rankB = 2. 36 Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Ví dụ: Xác định hạng của A =  2 −1 0 13 1 −1 0−2 1 2 −1  Ta có A d2→2d2−3d1−−−−−−−−−→ d3→d3+d1  2 −1 0 10 5 − 2 − 30 0 2 0  = B Ta có rankA = rankB = 3. Ví dụ: Xác định hạng của a) A =  2 −1 3 −2 44 −2 5 1 72 −1 1 8 2  b) C =  2 0 3 −1 1 −2 2 −3 3 −2 5 −4 5 −2 8 −5  37 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Định nghĩa Cho A = (aij)nxn, nếu tồn tại một ma trận B = (bij)nxn sao cho AB = BA = In. Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu B = A−1 và A được gọi là ma trận khả nghịch. Ví dụ: Cho A = ( 1 1 1 2 ) . Nhận thấy B = ( 2 −1 −1 1 ) thỏa AB = ( 1 0 0 1 ) = I2,BA = I2 nên B = A−1. 38 Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn tại Định nghĩa A = (aij)nxn suy biến⇔ |A| = 0. Định lý A = (aij)nxn khả nghịch⇔ A không suy biến⇔ |A| , 0. Ví dụ: Cho biết các ma trận sau có khả nghịch hay không? A = ( 1 3 −2 6 ) B =  2 −3 −1−3 5 01 −2 1  39 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Định lý Cho A = (aij)nxn khả nghịch, gọi Aij = (−1)i+j|Mij| là phần bù đại số của aij. Khi đó Ap =  A11 · · · A1n ... . . . ... An1 · · · Ann  được gọi là ma trận phần bù đại số của A và A−1 = 1 |A|A T p Ví dụ: a. Cho A = ( a b c d ) với |A| = ad − bc , 0 Ta có: Ap = ( + d − c − b + a ) = ( d −c −b a ) Vậy A−1 = 1 |A|A T p = 1 ad − bc ( d −b −c a ) 40 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Ví dụ: b. Xác định ma trận nghịch đảo của A = ( 3 −2 1 1 ) Ta có |A| = 5 , 0 nên A khả nghịch. Vậy A−1 = 1 5 ( 1 2 − 1 3 ) =  1 5 2 5 −1 5 3 5  c. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  1 −2 01 −1 22 −3 3  41 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Ta có |A| = 1 , 0 nên A khả nghịch. Ta có Ap =  + ∣∣∣∣∣ −1 2−3 3 ∣∣∣∣∣ − ∣∣∣∣∣ 1 22 3 ∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣ 1 −12 −3 ∣∣∣∣∣ − ∣∣∣∣∣ −2 0−3 3 ∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣ 1 02 3 ∣∣∣∣∣ − ∣∣∣∣∣ 1 −22 −3 ∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣ −2 0−1 2 ∣∣∣∣∣ − ∣∣∣∣∣ 1 01 2 ∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣ 1 −21 −1 ∣∣∣∣∣  = ⇒ Ap =  3 1 −16 3 −1−4 −2 1  Vậy A−1 = 1 |A|A T p = 1 1  3 6 −41 3 −2−1 −1 1  =  3 6 −41 3 −2−1 −1 1  42 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý Cho A = (aij)nxn khả nghịch, xét ma trận mở rộng (A|In). Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về ma trận In, khi đó ma trận In sẽ biến thành A−1. (A|In) cpbdsctd−−−−−−→ (In|A−1) Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của A =  1 −2 01 −1 22 −3 3  Ta có (A|I3) =  1 −2 0 1 0 01 −1 2 0 1 02 −3 3 0 0 1  d2→d2−d1−−−−−−−−−−−→d3→d3+(−2)d1  1 −2 0 1 0 00 1 2 −1 1 00 1 3 −2 0 1  43 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp d2→d2−d1−−−−−−−−−→ d3→d3−2d1  1 −2 0 1 0 00 1 2 −1 1 00 1 3 −2 0 1  d1→d1+2d2−−−−−−−−−→ d3→d3−d2  1 0 4 −1 2 00 1 2 −1 1 00 0 1 −1 −1 1  d1→d1−4d3−−−−−−−−−→ d2→d2−2d3  1 0 0 3 6 −40 1 0 1 3 −20 0 1 −1 −1 1  Vậy A−1 =  3 6 −41 3 −2−1 −1 1  44 Ma trận nghịch đảo Tính chất Tính chất 1. (A−1)−1 = A 2. |A−1| = 1|A| 3. Cho A = (aij)nxn khả nghịch. Khi đó |Ap| = |A|n−1 4. Cho A,B vuông cùng cấp với AB khả nghịch. Khi đó (AB)−1 = B−1A−1 5. (AT)−1 = (A−1)T 45 Ma trận nghịch đảo Giải phương trình ma trận 1 Cho A = (aij)nxn khả nghịch: AX = B⇔ X = A−1B 2 Cho A = (aij)nxn khả nghịch: XA = B⇔ X = BA−1 3 Cho A = (aij)nxn, B = (bij)mxm khả nghịch: AXB = C⇔ X = A−1CB−1 Thật vậy: 1 AX = B⇔ A−1AX = A−1B⇔ InX = A−1B⇔ X = A−1B 2 XA = B⇔ XAA−1 = BA−1 ⇔ XIn = BA−1 ⇔ X = BA−1 3 AXB = C⇔ A−1AXBB−1 = A−1CB−1 ⇔ InXIm = A−1CB−1 ⇔ X = A−1CB−1 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận: a) ( 4 −6 2 1 ) X = ( 2 5 1 3 ) b) X  1 0 22 −1 34 1 8  = ( 1 −2 −1 2 1 3 ) 46