Bài giảng Cơ học ứng dụng - Tuần 9 - Nguyễn Duy Khương

phức tạp Trong trường hợp tổng quát, trạng thái ứng suất của điểm trong thanh chịu uốn ngang phẳng ở trang thái ứng suất phẳng đặc biệt. Mô‐men uốn gây ra ứng suất pháp làm đứt gãy vật liệu. Lực cắt gây ra ứng suất tiếp làm tách lớp các thớ vật liệu CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Ứng suất pháp z phân bố trên mặt cắt ngang do Mx gây ra nên công thức tính ứng suất pháp z giống trong trường hợp thanh chịu uốn thuần túy x z x M y J   Ứng suất tiếp zy do lực cắt Qy gây ra được tính bằng công thức ( ). . ( ) x y zy x S y Q J b y   Moment tĩnh của phần diện tích tính từ lớp biên ngoài cùng đế điểm muốn tính ứng suất tiếp (không chứa trục trung hòa) đối với trục trung hòa. Chiều rộng của mặt cắt ngang đi qua điểm muốn tính ứng suất tiếp và song song với trục trung hòa. ( ) ( ) :xS y f y ( ) ( ) :b y f y Với: Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Công thức tính ứng suất tiếp cho một sốmặt cắt thông thường 1. Mặt cắt hình chữ nhật Công thức tính ứng suất tiếp zy ( ). . ( ) x y zy x S y Q J b y   yQ x y z Với: Qy là nội lực lực cắt 3 12x b hJ  ( )b y b : mô‐men quán tính hình chữ nhật : bề rộng mặt cắt theo tọa độ y CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Mô‐men tĩnh đối với trục x x y Cyy C 2 h 2 h b ( )x C CS y y A  / 2 2 2 4C h y h yy y     Với: yC: tọa độ trọng tâm hình C theo tọa độ y AC: diện tích của hình C theo tọa độ y 2C hA b y      2 22( ) 4 2 2 4x h y h b hS y b y y                Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Ta được công thức tính ứng suất tiếp của mặt cắt hình chữ nhật 2 2 3 6 4 y zy Q h y bh       Ta thấy công thức tính ứng suất tiếp là hàm bậc hai theo y, ứng suất tiếp đạt giá trị cực đại khi y=0 (lớp trung hòa) Ta có công thức tính ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang: max max 3 2 yQ bh   x y b CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 2. Mặt cắt hình tròn 4 4x RJ  : mô‐men quán tính hình tròn  2 23 yzy x Q R y J    max max 2 4 3 yQ R    Ta được công thức tính ứng suất tiếp x y yQ R Ta có công thức tính ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang: Ta thấy công thức tính ứng suất tiếp là hàm bậc hai theo y, ứng suất tiếp đạt giá trị cực đại khi y=0 (lớp trung hòa) Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Mặt cắt ngang định hình Phân bố ứng suất tiếp trong mặt cắt định hình phức tạp hơn so với mặt cắt hình chữ nhật. Ứng suất tiếp theo phương ngang zx nhỏ hơn rất nhiều so với phương đứng zy do đó ta chỉ xétứng suất tiếp lớn nhất zy, bỏ qua ứng suất tiếpzx. Cách tìm ứng suất cũng giống như cách tính ứng suất tiếp trong mặt cắt chữ nhật. x y zy zx Thông thường sử dụng các dạng mặt cắt định hình có sẵn theo tiêu chuẩn nên để biết các thông số Jx, Wx, Sx ta tra bảng. CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Công thức tính ứng suất tiếp lớn nhất và nhỏ nhất trong mặt cắt định hình max y x x Q S J d    min D y x x Q S J d    Với x y t 2 h 2 hh b d D 2 2 2 D x x d hS S t      Là mô‐men tĩnh tại điểm D Để biết các giá trị Sx, Jx, d, h, t tra bảng với mặt cắt định hình tương ứng Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Trạng thái ứng suất các điểm trên tiết diện Công thức tính ứng suất tiếp do lực cắt Qy ( ). . ( ) x y zy x S y Q J b y   x y b xM yQ ,maxn ,maxk Công thức tính ứng pháp do mô‐men Mx gây ra xz x M y J   CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh x y xM ,maxn ,maxk yQ O Hai thành phần ứng suất đều là hàm phụ thuộc vào tọa độ y, vì thế các điểm có những điểm cùng tọa độ y sẽ có giá trị các thành phần ứng suất như nhau. • Tại điểm B và H gọi là lớp biên, chỉ chịu một thành phần ứng suất pháp z nên những điểm này ở trạng thái ứng suất đơn. B H D H B O D • Tại điểm O gọi là lớp trung hòa, chỉ chịu ứng suất tiếp zy nên nhữngđiểm này ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy. • Tại điểm D gọi là lớp trung gian, chịu cả ứng suất pháp z và ứng suất tiếp zy nên những điểm này ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 1‐ Lớp biên Điều kiện bền ở lớp biên chỉ có một thành phần ứng suất pháp  maxmax x x M W    2‐ Lớp trung hòa Điều kiện bền ở lớp trung hòa chỉ có một thành phần ứng suất tiếp  max  ‐ Nếu tính theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền 3) ‐ Nếu tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (thuyết bền 4)   [ ] 2     [ ] 3   CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3‐ Lớp trung gian Các điểm ở lớp trung gian ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt nên ta phải tính ứng suất tương đương. Do đó điều kiện bền ở lớp trung gian có ứng suất tương đương tđ ‐ Nếu tính theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền 3) ‐ Nếu tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (thuyết bền 4) 2 24 [ ]td D D      2 23 [ ]td D D      Với và lần lượt là ứng suất pháp và tiếp tại điểm trung gian.D D Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh  Những điểm cần lưu ý khi tính bền trong bài toán uốn ngang phẳng • Bài toán kiểm tra bền: Ưu tiên kiểm tra bền cho lớp biên, sau đó là lớp trung hòa rồi mới đến lớp trung gian. Tuy nhiên, việc kiểm tra bền trên ba lớp chỉ bắt buộc với thanh có mặt cắt định hình, còn đối với thanh có mặt cắt hình chữ nhật hoặc hình tròn thì chỉ cần kiểm tra bền trên hai lớp là lớp biên và lớp trung hòa. • Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang hoặc tải trọng cho phép: Dựa vào lớp biên để tính kích thước sơ bộ của mặt cắt hoặc tải trọng cho phép, rồi sau đó dùng kết quả sơ bộ này để kiểm tra bền ở lớp trung hòa và lớp trung gian (nếu mặt cắt ngang là hình chữ nhật hoặc hình tròn thì có thể bỏ qua lớp trung gian) Chọn mặt cắt nguy hiểm trên thanh sao cho lực cắt Qy và mô‐men Mx cùng phải lớn nhất.Từ mặt cắt nguy hiểm ta chọn ra điểm nguy hiểm để kiểm tra bền CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Ví dụ: Cho dầm thép mặt cắt nganh hình chữ (số hiệu No20) và chịu lực như hình vẽ. Hãy xác định cường độ qmax của tải trọng để dầm đảm bảo điều kiện bền theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất trong các trường hợp sau: 1) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng đứng . 2) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng nằm . Cho []=12 kN/cm2; a=100cm (vật liệu dẻo) C M = qa2 2q A B a 2a Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 8 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực Dễ dàng ta tính được phản lực liên kết tại A và B 2,5 1,5 y y A qa B qa   C A B 2,5qa 1,5qa 2qa 2q 2,5qa 1,5qa- + 2qa 20,56qa 0,8a CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Bước 3: Tra bảng tìm thông sốmặt cắt 20 ; 7,6 ; 0,5 ; 0,9h cm b cm d cm t cm    Mặt cắt hình với số hiệu No20 ta có các số liệu sau: 4 3 31520 ; 152 ; 88x x xJ cm W cm S cm   4 3 0113 ; 20 ; 2,1y yJ cm W cm x cm   Bước 2: Tìm mặt cắt nguy hiểm Dựa vào biểu đồ mô‐men uốn và biểu đồ lực cắt, ta chọn mặt cắt nguy hiểm sao cho tại đó Mx và Qy là lớn nhất trong dầm. Vì thế, ta chọn mặt cắt tại A là mặt cắt nguy hiểm ứng với 2 xM qa 2,5yQ qa Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 9 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Bước 4: Chọn sơ bộ tải trọng cho phép tại lớn biên Vật liệu dầm làm bằng thép là vật liệu dẻo nên ứng suất pháp lớn nhất 2 max max 152 x x M qa W    4 152 12 0,18 / 10 cq kN m    max  Theo điều kiện bền tại lớp biên 2 12 152 aq  Ta chọn tải trọng để kiểm tra điều kiện bền tại lớp trung hòa và lớp trung gianmax 0,18 / mq kN c 1) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng đứng CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Bước 5: Kiểm tra bền tại lớp trung hòa và lớp trung gian Tại lớp trung hòa chỉ có ứng suất tiếp max max max 2,5 88 2,5 0,18 100 88 1520 0,5 1520 0,5 y x x Q S qa J d           2 max 5, 2 /kN cm  Điều kiện bền tại lớp trung hòa theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất 2 max [ ] 12[ ] 6 / 2 2 kN cm     Thỏa điều kiện bền tại lớp trung hòa. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 10 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Tại lớp trung gian là điểm tiếp giáp giữa phần đế và thân của mặt cắt ngang ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt nên có ứng suất pháp z vàứng suất tiếp zy D y x zy x Q S J d    Với Ứng suất pháp tại lớp trung gian: 2 40,18 10 20 0,9 1520 2 1520 2 x z x M qa hy t J                210,78 /z kN cm  Ứng suất tiếp tại lớp trung gian: 1 2 2 2 D x x h hS S t d t               388 9,1 0,5 4,55 68DxS cm     22,5 0,18 100 68 4 / 1520 0,5zy kN cm      CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Tính ứng suất tương đương tại lớp trung gian theo thuyết bền 3 2 24td z zy    2 2 2 210,78 4 4 13,5 / [ ] 12 /td kN cm kN cm        Ta thấy với qmax=0,18kN/cm thì dầm không thỏa điều kiện bền ở lớp trung gian, do đó ta giảm cường độ qmax của tải trọng. Ta có thể chọn qmax=0,15kN/cm để đảm bảo điều kiện bền theo thuyết bền 3. 2) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng nằm . Dầm đặt nằm sẽ nhận trục y làm trục trung hòa. 2 max max [ ] 20 y y M a W q    412 20 0,024 /10 kN cmq    Ta có thể chọn qmax=0,024kN/cm mà không cần kiểm tra lại lớp trung hòa và lớp trung gian. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 11 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng nằm và làm bằng vật liệu giòn có []k = 4 kN/cm2; []n = 8 kN/cm2 Đối với vật liệu giòn và trục trung hòa không trùng trục đối xứng, ta phải chú ý đến ứng suất kéo và ứng suất nén trên biên. Vì thế ta phải xét tại mặt cắt nguy hiểm sao cho mô‐men uốn gây ra kéo thớ dưới và kéo thớ trên lớn nhất. Vì thế ta có hai điểm nguy hiểm tại điểm A và điểm I. 2A yM qa 2,1cm 5,5cm ‐ + 2qa x y max A min A 20,56IyM qa ‐ + x y max I min I 20,56qa CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh Do sử dụng vật liệu giòn nên []k< []n, nên ta chỉ cần kiểm tra bền cho ba thành phần ứng suất pháp kéo và nén 2 max [ ] 4 / A k kN cm   2 min [ ] 8 / A n kN cm   2 max [ ] 4 / I k kN cm   Với: 2 max 0 2,1 4113 A yA y M ax q J     1 0,0215 /kN cmq  2 min 0( ) (7,6 2,1) 8113 A yA y M aqb x J       2 0,016 /kN cmq  2 max 0 0,56( ) (7,6 2,1) 4 113 I yI y M ab x q J       3 0,0143 /kN cmq  Ta phải chọn tải trọng nhỏ nhất để thỏa cả ba điều kiện bền. Vì thế chọn qmax=0,0143 kN/cm Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9 11/13/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 12 CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh 4) Tìm số hiệu mặt cắt ngang đặt theo dạng nằm với q=0,02kN/cm, và làm bằng vật liệu giòn có []k = 4 kN/cm2; []n = 8kN/cm2 Ta chọn hai điểm nghi ngờ Amin và Imax để chọn kích thước sơ bộ. Sauđó kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện bền tại Amax hay không? 2 min 0 0 ( ) ( ) A A A y y yA yy y y M M M qab x JJ b x W W        2 min [ ] 8 / A n kN cm   2 8 y qa W   4 30,02 10 25 8y W cm   2 2 max 0,56 [ ] 4 / y I y y I k M qa k c W N W m     4 30,56 0,02 10 28 4y cmW     Tra bảng ta sẽ có mặt cắt No22a có Wy=29,9 cm3 thỏa điều kiện bền cho hai điểm nguy hiểm. Kiểm tra lại Amax với mặt cắt mới No22a, dễ dàng ta cũng thấy mặt cắt này thỏa điều kiện bền còn lại.