Bài giảng Cơ học ứng dụng - Tuần 5 - Nguyễn Duy Khương

Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Ta xét thanh nối giữa xe kéo và máy bay, giả sử bỏ qua khối lượng của thanh và thanh nối chỉ chịu lực tác dụng dọc trục với lực ở hai đầu thanh là P Trước khi tác dụng lực P, thanh có chiều dài L. Sau khi tác dụng lực dọc trục P, thanh có chiều dài L+, vậy  là độ giản dài so với chiều dài ban đầu. Để khảo sát thành phần nội lực trong thanh ta dùng một mặt cắt mn cắt vuông góc với trục thanh CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Bây giờ ta xét thành phần bên trái của mặt cắt mn như là một vật thể tự do Khi xét phần bên trái mặt cắt, ta sẽ có thành phần ứng suất phân bố liên tục tác dụng lên mặt cắt và chính thành phần nội lực dọc trục có độ lớn bằng P là lực tổng hợp của thành phần ứng suất trên. Ứng suất có đơn vị là lực trên một đơn vị diện tích và được ký hiệu là  (sigma). Giả sử ứng suất tác dụng lên mặt cắt mn được phân bố đều trên miền diện tích. Nên nội lực tổng hợp của ứng suất có độ lớn bằng độ lớn của ứng suất nhân với diện tích mặt cắt A, P=A. Do đó ta được công thức tính độ lớn ứng suất: P A   Công thức này tính được cường độ ứng suất của lựcdọc trục trên miền diện tích có hình dạng bất kỳ. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Khi thanh giãn ra bởi lực kéo P thì ứng suất sinh ra là ứng suất kéo. Nếu tác dụng lực theo chiều ngược lại làm thanh chịu nén thì ứng suất sinh ra là ứng suất nén. Do phương của ứng suất vuông góc với mặt cắt nên ta gọi đây là ứng suất pháp tuyến. Ta sẽ có ứng suất pháp có thể là ứng suất kéo hoặc cũng có thể là ứng suất nén. Thành phần ứng suất pháp tuyến sẽ mang dấu dương (+) khi thanh chịu kéo và âm khi thanh chịu nén. Trong phần sau chúng ta sẽ xét thêm một thành phần ứng suất khác nữa là ứng suất tiếp (hoặc ứng suất cắt), ứng suất này sẽ nằm song song với mặt cắt. Khi ta sử dụng hệ đơn vị SI thì đơn vị của lực là (N), diện tích là (m2). Vì thế ta có đơn vị của ứng suất là (N/m2) bằng với đơn vị (Pa), (N/mm2) bằng với đơn vị (MPa). CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Theo hình ta thấy với một thanh thẳng chịu tác dụng của lực dọc trục thì chiều dài thanh sẽ thay đổi, thanh sẽ dài hơn khi chịu kéo và ngắn hơn khi chịu nén, độ thay đổi chiều dài này là . Độ giãn dài tỉ đối của thanh sẽ tính bằng độ thay đổi chiều dài  chia cho chiều dài ban đầu của thanh và đại lượng này được gọi là biến dạng  L   Nếu thanh chịu kéo thì biến dạng này là biến dạng kéo, điều này cho thấy độ dài của thanh sẽ tăng. Nếu thanh chịu nén thì biếng dạng này là biến dạng nén, chiều dài thanh sẽ ngắn lại. Vì hệ số biến dạng là tỉ số của hai chiều dài nên đơn vị của biến dạng là vô thứ nguyên. Giả sử sự dịch chuyển trên thanh là đồng nhất trên toàn thanh, lực dọc trục tác động vào thanh tại trọng tâm của diện tích mặt cắt và vật liệu đồng nhất. Kết quả của trạng thái này được gọi là trạng thái ứng suất biến dạng đơn trục. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Đàn hồi tuyến tính, định luật Hooke và hệ số Poisson Rất nhiều vật liệu kết cấu (kim loại, gỗ, nhựa và sứ) đều có giai đoạn đàn hồi tuyến tính khi gia tải lần đầu. Theo đó, đường cong ứng suất biến dạng sẽ bắt đầu là một đường thẳng và đi từ gốc tọa độ. Khi vật liệu ứng xử trong miền đàn hồi và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính thì gọi đây là đàn hồi tuyến tính. Loại ứng xử này rất quan trọng trong kỹ thuật bởi vì khi thiết kế một kết cấu hoặc một cái máy sẽ nằm trong miền này để tránh sự biến dạng dẻo của vật liệu. CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Ví dụ đường cong ứng suất biến dạng của vật liệu thép Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Định luật Hooke Mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng cho một thanh chịu kéo hoặc chịu nén được biểu diễn bằng công thức E  Với  là ứng suất dọc trục,  là biến dạng dọc trục và E là hằng số tỉ lệ được gọi là mô‐đun đàn hồi của vật liệu. Mô‐đun đàn hồi là độ dốc của đường cong ứng suất biến dạng trong giai đoạn đàn hồi tuyến tínhRobert Hooke (1635‐ 1703) là nhà khoa học nổi tiếng người Anh. Là người đầu tiên khám phá vật liệu đàn hồi và đã thí nghiệm nhiều loại vật liệu như kim loại, gỗ, đá,  xương và gân Công thức trên là công thức đơn giản của định luật Hooke chỉ sử dụng để tìm ứng suất và biến dạng dài cho trường hợp thanh chịu kéo và nén (đơn trục). Những trạng thái ứng suất phức tạp hơn ta sẽ khảo sát trong phần sau CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Hệ số mô‐đun đàn hồi còn được gọi là hệ số Young do một nhà khoa học người Anh khác tìm ra từ các thanh chịu kéo và chịu nén. Để tìm hệ sốmô‐đun đàn hồi ta sử dụng máy kéo nén Thomas Young (1773‐ 1829) là nhà khoa học nổi tiếng người Anh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Hệ số Poisson Khi thanh được gia tải chịu kéo, chiều dài của thanh sẽ dài hơn, ngược lại độ rộng của thanh là nhỏ hơn. Sự tương phản này ta sẽ thấy rất rõ đối với vật liệu là cao su, nhưng đối với kim loại sự thay đổi này trong miền đàn hồi là rất nhỏ nhưng vẫn tồn tại. Chiều dài thanh khi chưa gia tải Chiều dài thanh sau khi gia tải Độ biến dạng theo phương vuông góc với trục thanh ’ chia cho độ biến dạng dài  ta sẽ được tỉ số, tỉ số này gọi là hệ số Poisson được ký hiệu là  (nu) bằng công thức '   Dấu trừ (‐) biểu hiện sự chuyển động ngược chiều của hai trục. Simeon Denis Poisson (1781‐1840) là nhà toán học nổi tiếng người Pháp.  Là người đã tính toán hệ số này bằng lý thuyết vật liệu phân tử. CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Ứng suất và biến dạng cắt Phần này ta sẽ xét một loại ứng suất khác gọi là ứng suất cắt, và ứng suất này sẽ nằm tiếp xúc (nằm trong) với mặt cắt. Xét mô hình như hình vẽ, kéo thanh với một lực là P. Xét lực tác động lên con ốc bu‐lông (giải phóng liên kết) và xét mô hình vật thể tự do phần bên phải tại mặt cắt mn ta sẽ có nội lực lực cắt V Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Nội lực lực cắt V này chính là lực tổng hợp của ứng suất cắt phân bố trên bề mặt mặt cắt  m n Với lực tác dụng như vậy làm vật thể xuất hiện vết nứt Giá trị ứng suất trung bình trên mặt cắt thu được bằng cách chia lực cắt V cho diện tích mặt cắt A của vật. avg V A   Trong công thức trên, ta thấy ứng suất cắt giống như ứng suất pháp tuyến cùng là lực trên một đơn vị diện tích vì thế đơn vị của ứng suất cắt sẽ giống với ứng suất pháp tuyến. Ứng suất cắt sẽ xuất hiện khi thanh chịu kéo, chịu xoắn và chịu uốn mà ta sẽ học trong phần sau. CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Sự bằng nhau của ứng suất cắt trên mặt phẳng vuông góc Ta xét một phần tử chịu lực cắt như hình vẽ, giả sử ứng suất cắt trên hai mặt lần lượt là 1 và 2. Ta có ứng suất cắt ở mặt đối diện cũng sẽ tươngứng bằng 1 và 2. Từ phương trình cân bằng mô‐men ta sẽ chứng minh được 1 2  Vì thế ứng suất tiếp trên bốn mặt là bằng nhau. Như vậy phần tử chỉ chịu ứng suất cắt mà không có ứng suất pháp tuyến vì thế gọi đây là trạng thái ứng suất cắt thuần túy. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 8 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Biến dạng cắt Với phần tử chịu cắt thuần túy sẽ gây ra biến dạng, ta gọi biến dạng này là biến dạng cắt. Khi phần tử chịu biến dạng cắt thì mặt phía trước và sau sẽ bị thay đổi từ hình chữ nhật sang hình thoi. Góc của các cạnh bên sẽ thay đổi. Góc tại điểm q và s lúc trước biến dạng là /2 và góc này giảm đi một góc là  nên góc là có độ lớn sau biến dạng là /2‐. Tương tự thì góc p và r sẽ tăng thành /2+. Góc  là đại lượng của biến dạng góc nên gọi đây là biến dạng cắt. Vì biến dạng cắt là một góc nên đại lượng đo là độ và radian. CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 1. Khái niệm cơ bản về sự kéo, sự nén và sự cắt Định luật Hooke cho sự cắt Trong giới hạn miền đàn hồi, ta có mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất cắt và biến dạng cắt. Mối quan hệ này được biểu diễn bằng công thức G  Với G là mô‐đun trượt đàn hồi. Mô‐đun trượt đàn hồi có đơn vị giống như mô‐đun đàn hồi E và được tính bằng công thức 2(1 ) EG   Với  là hệ số Poisson. Vì hệ số Poisson có giá trị từ 0 đến 0,5 nên G sẽ có giá trị từ 1/3*E đến 1/2*E. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 9 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 2. Ứng suất tổng quát và các thành phần ứng suất Ứng suất trong hệ lực tổng quát Xét một vật chịu lực tác động tổng quát như hình vẽ, để khảo sát các thành phần ứng suất tại điểm Q nằm bên trong vật, ta dùng một mặt cắt đi qua Q và song song với mặt xy. Khi giữ lại phần dưới, ta có được nội lực pháp tuyến và nội lực cắt. Ta chỉ xét nội lực này trên miền diện tích A nằm trên mặt cắt thì nội lực bao gồm Fz, Vz. Tách Vz thành 2 thành phần lần lượt theo phương x và y là Vzx và Vz. x y z F1 F2 F3F4 x y z F1 F2 QA Vz Vzy Vzx Fz CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 2. Ứng suất tổng quát và các thành phần ứng suất x y z Chia mỗi thành phần lực này cho diện tích A, khi diện tích A này tiến về 0, ta sẽ có được 3 thành phần ứng suất F1 F2 z Q zyzx 0 lim zz A F A      0lim zx zx A V A      0lim zy zy A V A      Ba thành phần ứng suất nằm ở mặt dương (có pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều dương của trục) của vật thể sẽ mang dấu dương khi chúng hướng theo chiều dương trục tọa độ, ởmặt âm thì ngược lại. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 10 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 2. Ứng suất tổng quát và các thành phần ứng suất Các thành phần ứng suất Từ mô hình trên ta lần lượt sử dụng sáu mặt phẳng để cắt vật thể quanh điểm Q để xét các thành phần ứng suất trên 6 mặt, ta sẽ được hình lập phương cạnh a chịu các thành phần ứng suất tổng quát. Sáu thành phần ứng suất , , , , ,x y z xy xz yz      Nếu các thành phần ứng suất nằm trên mặt dương và hướng theo trục tọa độ thì các thành phần ứng suất này sẽ dương. Ngược lại, nếu các thành phần ứng suất nằm trên mặt âm và hướng ngược chiều trục tọa độ thì các thành phần ứng suất này sẽ dương. CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 2. Ứng suất tổng quát và các thành phần ứng suất Nếu chúng ta lấy ở mặt nghiêng khác (thay đổi hướng của trục tọa độ) ta sẽ được các thành phần ứng suất khác ', ', ', ', ', 'x y z xy xz yz      Vậy ta có vô số thành phần ứng suất trên những phương bất kỳ trên mặt nghiêng bất kỳ. Ta sẽ chọn được một vài mặt sao cho trên đó chỉ có thành phần ứng suất pháp, ứng suất tiếp bằng không, ta gọi đây là mặt chính. Trong trường hợp các mặt của phân tố trùng với các mặt chính thì phân tố đó gọi là phân tố chính. Những ứng suất nằm trên mặt chính ta gọi là ứng suất chính Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 11 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái ứng suất phẳng Ta xét một phân tố chỉ chịu trạng thái ứng suất phẳng, sẽ có 2 mặt phẳng trên phân tố có ứng suất bằng không (không có ứng suất). Nếu ta có trục z vuông góc với hai mặt này thì ta được z=zx= zy=0. Vì thế phân tố chỉ có 3 thành phần ứng suất x, y, xy. CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng Ta có thấy trong thực tế những bài toán ứng suất phẳng như một tấm phẳng chịu lực tác dụng vào mặt trung hòa của tấm, các lực này nằm trong mặt phẳng. Hoặc một phân tố nằm trên biên mặt phẳng của một kết cấu hoặc máy móc cũng ở trạng thái ứng suất phẳng vì ở bất kỷ điểm nào thuộc bề mặt vật thể không có ngoại lực tác động thì sẽ không có ứng suất trên mặt đó. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 12 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng Ứng suất trên một mặt nghiêng bất kỳ Ta đang có một phân tố (một điểm trên vật thể) trong hệ trục tọa độ Oxy, ta được ba thành phần ứng suất phẳng x, y, xy. Giả sử ta quay hệ trục Oxy một góc  ta sẽ được hệ trục mới Ox1y1. Ta cần tính ứng suất trong hệ trục tọa độ mới Ox1y1 để ta được các ba thành phần ứng suất mới x1, y1,x1y1. CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng Ta xét trên một mặt nghiêng trong phân tố Oxy nghiêng với phương đứng một góc , gắn trên mặt nghiêng đó hệ trục Ox1y1 sao cho trục Ox1 vuông góc với mặt phẳng và hướng ra ngoài phân tố, trục Oy1 sẽ vuông góc Ox1 sao cho tạ thành hệ trục tọa độ thuận Ox1y1. Trên mặt nghiêng đó ta sẽ có hai thành phần ứng suất x1, x1y1. Dựa vào điều kiện cân bằng lực trong phân tố ta sẽ tính được mối quan hệ hai thành phần ứng suất mới trên mặt nghiêng đang xét 1 cos 2 s in2 2 2 x y x y x xy           1 1 s in2 cos 2 2 x y x y xy        Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 13 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng Để tính ứng suất trên trục Oy1 (vuông góc với trục Ox1), ta chỉ cần sử dụng công thức tính ứng suất pháp x1 như trên nhưng ứng với góc +90o ta sẽđược công thức tính y1 1 cos 2 s in2 2 2 x y x y y xy           Nếu ta lấy tổng của hai ứng suất pháp trên hai trục Ox1 và Oy1 ta sẽ được 1 1x y x y       Công thức trên cho thấy tổng hai ứng suất pháp trên mặt nghiêng bất kỳ là hằng số (tổng ứng hai suất pháp không đổi) CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái ứng suất đơn trục: tất cả các thành phần ứng suất đều bằng không ngoại trừ ứng suất pháp theo phương x (y=xy=0) 1 (1 cos 2 ) 2 x x    Các trạng thái ứng suất đặc biệt 1 1 (sin 2 ) 2 x x y    Trạng thái ứng suất cắt thuần túy: tất cả các thành phần ứng suất đều bằng không ngoại trừ ứng suất cắt trên mặt vuông góc trục x (x= y=0) 1 sin 2x xy   1 1 cos 2x y xy   Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 14 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái ứng suất song trục: chỉ có hai thành phần ứng suất pháp trên hai mặt khác không (xy=0) 1 cos 2 2 2 x y x y x        1 1 sin 2 2 x y x y     CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng Ví dụ: Cho phân tố chịu trạng thái ứng suất như hình vẽ. Tính ứng suất trên mặt nghiêng trong các trường hợp sau 30o 60o Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 15 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng 30o Xác định các thành phần ứng suất 60 (MPa)x   Phân tố chịu ứng suất phẳng nên ta có ba thành phần ứng suất 90 (MPa)y  30 (MPa)xy  x <0 vì ứng suất pháp hướng vào trong bềmặt x 1x  Quay trục x ngược chiều kim đồng hồ sao cho phương và chiều của trục x cùng chiều với vector pháp tuyến của mặt nghiêng, ta sẽ xác định được góc  1x 1x  Vậy ta được góc của mặt nghiêng 30o  1 1x y  CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng 30o 3, 48 MPa 79,95 MPa 1 cos 2 s in2 2 2 x y x y x xy           60 90 60 90 cos 2 30 30s in2 30 2 2 o o        3, 48 (MPa) 1 1 s in2 cos 2 2 x y x y xy        Tính ứng suất trên một mặt nghiêng đã cho 60 90 s in2 30 30cos 2 30 2 o o      79,95 (MPa) Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 5 9/29/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 16 CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng x 1x Vậy ta được góc của mặt nghiêng hoặc240o  120o   2 1 1x 1x  1 1x y CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng 3. Trạng thái ứng suất phẳng 78,48 MPa 49,95 MPa 1 cos 2 s in2 2 2 x y x y x xy           60 90 60 90 cos 2 ( 120 ) 30s in2 ( 120 ) 2 2 o o          78, 48 (MPa) 1 1 s in2 cos 2 2 x y x y xy        Tính ứng suất trên một mặt nghiêng đã cho 60 90 s in2 ( 120 ) 30cos 2 ( 120 ) 2 o o        49,95 (MPa)