Bài giảng Cơ học ứng dụng - Tuần 13 - Nguyễn Duy Khương

ủa hệ 0dof  Phương trình cân bằng lực cho hệ 0yF  A BR PR   Hai phản lực liên kết tại A và B là 2 ẩn số nên ta cần thêm 1 phương trình nữa để tìm 2 ẩn số trên 0AB  Ta gọi đây là hệ siêu tĩnh Ta gọi đây là phương trình tương thích Tìm chuyển vị tuyệt đối như bình thường theo 2 ẩn RA, RB Cách 1: Dùng phương trình tương thích Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Xét thanh AB chiều dài L, diện tích tiết diện là A và mô‐ đun đàn hồi E có liên kết như hình vẽ. Tác dụng lực P tại điểm C cách A đoạn a như hình vẽ. Tại đầu A và B có 2 phản lực liên kết như hình vẽ. Theo công thức tính chuyển vị tuyệt đối của thanh chịu kéo nén đúng tâm, ta được AB AC CB    Nội lực trên đoạn AC và CB là AACN R AC CB A B B AN a N b a b EA EA EA EA R R        Nên chuyển vị tuyệt đối của thanh AB là BCBN R  Mà ta có phương trình tương thích 0AB  0A BR Ra bEA EA     A B bR a R    CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Dựa vào phương trình cân bằng lực ta được Dựa vào 2 phương trình trên, dễ dàng tính được phản lực liên kết tại A và B là A BR PR  AR Pb L  BR PaL Từ phản lực liên kết đã biết, ta có thể tính chuyển vị tại điểm C A C AC R a Pab EA LEA     Tương tự, ta cũng tính được ứng suất trong thanh từ thành phần nội lực đã biết AC AC N Pb A AL    Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm L Cách 2: Dùng phương pháp cộng tác dụng Để giải bài toán siêu tĩnh, ta có thể sử dụng phương pháp cộng tác dụng.   BRR 0AB  Ta tách thành hai bài toán tính chuyển vị: 1. Tính chuyển vị L do tải trọng gây ra. 2. Tính chuyển vị R chỉ do phản lực liên kết RB gây ra. Vậy chuyển vị tổng của thanh AB là AB L R    CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Áp dụng phương pháp cộng tác dụng ta có 1. Tính chuyển vị L do tải trọng gây ra. L Pa EA   2. Tính chuyển vị R chỉ do phản lực liên kết RB gây ra. L BRR  B R R L EA    Vậy chuyển vị tổng của thanh AB là 0AB L R     0BR LPaEA EA   B aR P L   Sử dụng phương trình cân bằng lực để tìm RA 0BA R PR    A bR PL  Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Ví dụ: Cho thanh chịu kéo nén đúng tâm với diện tích mặt cắt ngang và chịu lực thay đổi như hình vẽ. Biết E=200 GPa. Tính phản lực liên kết tại A và B biết khoảng cách đầu B cách mặt nền là 4,5mm 300 kN 600 kN CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Trước tiên, ta phải tính chuyển vị do ngoại lực gây ra có làm đầu B chạm vào mặt nền hay không 1. Tính chuyển vị L do tải trọng gây ra. 600 150 600 150 900 1500 400 200 250 200 250 200L          600 150 600 150 900 1500 5,625 mm 400 200 250 200 250 200L            Ta thấy chuyển vị tuyệt đối của thanh AB khi chịu ngoại lực 5,625 mm 4,5 mmL    Nên đầu B sẽ chạmmặt nền tại B. Do đó, tại B có phản lực liên kết RB 2. Tính chuyển vị R chỉ do phản lực liên kết RB gây ra. 300 300 39 400 200 250 200 4000 B R B BR R R        Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Theo nguyên lý cộng tác dụng ta được AB L R      395,625 4,54000 BR   115,4 kNBR  300 kN 600 kN L 300 kN 600 kN R   Chuyển vị tuyệt đối của thanh AB đúng bằng khoảng cách khe hở Phương trình cân bằng lực theo phương đứng 300 600 0BAR R    784,6 kNAR  CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Cách 1: Dùng phương trình đường đàn hồi Xét thanh dầm AB chịu tải P ở giữa dầm, ngàm tại đầu A và đầu B là liên kết khớp bản lề trượt (liên kết đơn). Phân tích phản lực liên kết ta được 4 phản lực liên kết (4 ẩn số). Nếu sử dụng 3 phương trình cân bằng ta không thể tính được 4 ẩn số !! Vì thế ta phải tìm riêng một ẩn bằng cách sử dụng phương trình đường đàn hồi của dầm. Viết phương trình đường đàn hồi giống như chương tìm chuyển vị của dầm nhưng liên kết vẫn giữ nguyên và trong phương trình đường đàn hồi có 1 ẩn số là phản lực liên kết cần tính. Dựa vào điều kiện liên kết ta sẽ tính được phản lực liên kết đó. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tại A là liên kết ngàm và tại B là liên kết khớp bản lề trượt. Tính phản lực liên kết tại B. CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Phân tích phản lực liên kết BRA R AM Ba ẩn số mà ta chỉ có hai phương trình cân bằng lực, nên hệ này là hệ siêu tĩnh bậc 1 Sử dụng phương trình đường đàn hồi (đường cong biến dạng) với liên kết ban đầu để tìm phản lực liên kết RB tại B. 0 0 2 A A y BA BR R M R F qL LM L qL             22 A B A B qL q R R M RL L      Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Bằng cách làm tương tự như tìm phương trình đường đàn hồi trước đây, ta được phương trình cân bằng mô‐men nội lực 0 2A A zM R zM qz    z AR AM 2 2A A qzM RM z      2 2 2 2B B M RqL qzL qL zR           2 2 2 2B B qz qLqLzM R Rz L       Phương trình vi phân đường đàn hồi 2 2 2 2 1 2 2B x x x B Md y qz qLqL Rz z L dz EJ EJ R           23 2 21 6 2 2 2 B B x zdy qz qLz qR RL z Lz C dz EJ           CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng 3 24 3 2 21( ) 24 6 6 4 2x B Bz Lzqz qLz qL zy z R Cz J R D E            Trong phương trình đường đàn hồi có 3 ẩn số chưa biết, trong đó có 2 hằng số tích phân C, D và 1 phản lực liên kết RB Để tìm 3 ẩn số này ta dùng 3 điều kiện biên (điều kiện liên kết của dầm) (0) 0y  Dễ dàng ta tìm được (0) 0x  ( ) 0y L  0C  0D  3 8B R qL Ta tìm được phản lực liên kết còn lại 5 8A R qL 2 8A M qL 0; 0z y  0; 0xz   ; 0z L y  Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 8 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Bỏ 2 liên kết tại B Cách 2: Dùng phương pháp lực Đối với bài toán hệ siêu tĩnh, để dùng phương pháp này ta làm các bước sau: 1) Chọn một hệ cơ bản Hệ cơ bản là hệ tĩnh định được suy ra từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ bớt liên kết Bỏ 1 liên kết tại A và 1 liên kết tại B Bỏ 2 liên kết tại A CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng 2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản Đặt các lực liên kết vào những nơi liên kết đã bị bỏ đi 1X 2X 2X 1X 1X 2X 2X 1X 1X 2X Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 9 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng 3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết Đặt tải trọng lên hệ cơ bản đã chọn. 1X 2XA B Vậy chuyển vị tại đầu B có 2 phản lực liên kết phản có giá trị giống như điều kiện liên kết của hệ siêu tĩnh Tức là chuyển vị tuyệt đối của đầu B là bằng không theo 2 phương X1 và X2 (do tại B là khớp bản lề cố định nên không cho dịch chuyển theo 2 phương) Gọi 11, 12, 21, 22 là các chuyển vị đơn vị theo các phương X1 và X2. Vậy chuyển vị theo các phương X1, X2 và tải trọng gây nên được tính 1 1 2 121 11 PX X      2 2 2 221 21 PX X      CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B bằng không nên ta được 1=2=0. Ta có phương trình chính tắc: Với: 1 và 2 lần lượt là chuyển vị tuyệt đối của dầm tại đầu B ij là chuyển vị theo phương i do lực 1 đơn vị gây nên theo phương j. i j ij M M ds EJ   iP là chuyển vị theo phương i do tải trọng gây nên. i P iP M M ds EJ   11 12 1 2 1 2 1 21 22 2 0 0 P P X X X X             Giải hệ phương trình trên ta sẽ được 2 ẩn số là X1 và X2 là 2 phản lực liên kết. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 10 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Ta có thể suy rộng ra cho hệ suy tĩnh bậc n. Khi đó hệ phương trình chính tắc có dạng 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 11 ... 0 ... 0 ... ... 0 n n n P n P n nn nn P X X X X X X X X                          Các hệ số ii là hệ số chính, ij là hệ số phụ và iP là số hạng tự do CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tại A là liên kết ngàm và tại B là liên kết khớp bản lề trượt. Tính phản lực liên kết tại B. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 11 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng 1X Chọn hệ cơ bản từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi 1 liên kết tại B (ta vẫn có thể làm cách khác là bỏ đi 1 liên kết tải A) 1) Chọn một hệ cơ bản 2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản Tại B bỏ 1 liên kết thì ta thêm vào đó 1 phản lực liên kết CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng 3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết 11 11 0PX    Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B bằng không nên ta được 1=0. Ta có phương trình chính tắc: Để tính 11 và 1P, ta vẽ biểu đồmô‐men uốn MP chỉ do tải trọng gây ra và M1 chỉ do lực X1=1 đơn vị gây ra 1 1 11 M M ds EJ   Dùng phương pháp nhân biểu đồ để tính tích phân này. Lấy biểu đồ M1 nhân với M1 (cách nhân giống như bài tính chuyển vị)   311 1 11 1 1 22 3 3 Lm L L L EJ EJ EJ          MP 2 2 qL M1 L M1 L 1 1m 2 2m 1X Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 12 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng 1 1 P P M M ds EJ   Dùng phương pháp nhân biểu đồ để tính tích phân này. Lấy biểu đồ M1 nhân với MP   2 41 2 21 1 1 33 2 4 8P qL qLm L L EJ EJ EJ            11 11 0PX    Ta có phương trình chính tắc: 1 3 4 0 3 8 L qL E J X J E    1 3 8 LX q  Để tìm phản lực liên kết tại A, ta làm như bài toán tĩnh định bình thường khi bỏ đi một liên kết tại B và thay vào một lực X1 bằng giá trị trên CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tại A và B là liên kết ngàm. Tính phản lực liên kết tại B. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 13 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Chọn hệ cơ bản từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi 2 liên kết tại B 1) Chọn một hệ cơ bản 2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản Tại B bỏ 2 liên kết thì ta thêm vào đó 2 phản lực liên kết 1X 2X CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng 3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B bằng không nên ta được 1=2=0. Ta có phương trình chính tắc: Để tính các hệ số trong hệ phương trình, ta vẽ biểu đồ mô‐men uốn MP chỉ do tải trọng gây ra, M1 chỉ do lực X1=1 đơn vị gây ra, M2 chỉ domô‐men X2=1 đơn vị gây ra 1 1 11 M M ds EJ   11 12 1 2 1 2 1 21 22 2 0 0 P P X X X X             1X 2X MP 2 2 qL M1 L M2 1 2 2 22 M M ds EJ   1 2 12 21 M M ds EJ    Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 14 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Dùng phương pháp nhân biểu đồ để tính các tích phân này 3 11 1 1 2 2 3 3 LL L L EJ EJ        Lấy biểu đồM1 nhân với biểu đồM1   22 1 1 1 LL EJ EJ     Lấy biểu đồM2 nhân với biểu đồM2 2 12 21 1 1 1 2 2 LLL EJ EJ          Lấy biểu đồM1 nhân với biểu đồM2 (hoặc lấy biểu đồM2 nhân với biểu đồM1) 2 4 1 1 1 3 3 2 4 8P qL qLL L EJ EJ          Lấy biểu đồM1 nhân với biểu đồMP 2 3 2 1 1 1 3 2 6P qL qLL EJ EJ          Lấy biểu đồM2 nhân với biểu đồMP CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Ta có phương trình chính tắc: 11 12 1 2 1 2 1 21 22 2 0 0 P P X X X X             1 2 3 2 4 2 1 3 2 0 3 2 8 0 2 6 L L qL EJ EJ EJ L L qL EJ EJ EJ X X X X         2 2 1 2 12 qL qL X X      X2<0 nên chiều đúng của phản lực liên kết là chiều ngược lại với chiều giả sử ban đầu. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 15 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L=1 m chịu tải phân bố đều q=20 kN/m. Tại A là liên kết ngàm, đầu B cách mặt nền một đoạn =0,2 cm. Tính phản lực liên kết tại B nếu đầu B chạm vào nền biết dầm có mặt cắt ngang chữ I (No12), E=2.104 kN/cm2.  CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Trước tiên, ta phải tính chuyển vị do ngoại lực gây ra có làm đầu B chạm vào mặt nền hay không Tính chuyển vị chỉ do tải trọng gây ra. Theo bài ví dụ tính chuyển vị của thanh dầm trong chương trước, ta được chuyển vị tại đầu B là 4 8B x qLy EJ  Thanh dầmmặt cắt chữ I số hiệu 20 nên ta được 4350 cmxJ  2 4 4 20 10 100 0,36 cm 8 2 10 350B y      Ta thấy 0, 2 cmBy   Nên đầu B chạm vào mặt nền, đây là hệ siêu tĩnh bậc 1 Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 16 CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Chọn hệ cơ bản từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi 1 liên kết tại B (liên kết tựa) 1) Chọn một hệ cơ bản 2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản Tại B bỏ 1 liên kết thì ta thêm vào đó 1 phản lực liên kết 1X CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh 2. Thanh chịu uốn ngang phẳng 3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết 111 1 1PX     Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B khác không và bằng  nên ta được 1=-=- 0,2 cm (giá trị âm vì chiều chuyển vị ngược chiều X1 quy ước ban đầu). Ta có phương trình chính tắc: Tương tự bài trước ta được 3 3 11 4 100 0,05 3 3 2 10 350 L EJ      MP 2 2 qL M1 L M1 L 1 1m 2 2m 1X 4 1 0,36 cm8P qL EJ      Ta có phương trình chính tắc: 111 1 1PX     10,05 0,36 0, 2X    1 3, 2 kNX 