Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 1
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
NỘI DUNG
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
0yF 1 2R P P
Nên dễ dàng ta tính được phản lực liên kết tại đầu B
Xét thanh AB chịu lực kéo nén như hình vẽ bên, ta nhận
thấy rằng bậc tự do của hệ 0dof
Nhưng xét thanh AB chịu lực kéo nén như dưới, ta thấy bậc
tự do c
16 trang |
Chia sẻ: Tài Huệ | Ngày: 19/02/2024 | Lượt xem: 141 | Lượt tải: 0
Tóm tắt tài liệu Bài giảng Cơ học ứng dụng - Tuần 13 - Nguyễn Duy Khương, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ủa hệ
0dof
Phương trình cân bằng lực cho hệ
0yF A BR PR
Hai phản lực liên kết tại A và B là 2 ẩn số nên ta cần thêm 1
phương trình nữa để tìm 2 ẩn số trên
0AB
Ta gọi đây là hệ siêu tĩnh
Ta gọi đây là phương trình tương thích
Tìm chuyển vị tuyệt đối như bình thường theo 2 ẩn RA, RB
Cách 1: Dùng phương trình tương thích
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Xét thanh AB chiều dài L, diện tích tiết diện là A và mô‐
đun đàn hồi E có liên kết như hình vẽ. Tác dụng lực P tại
điểm C cách A đoạn a như hình vẽ.
Tại đầu A và B có 2 phản lực liên kết như hình vẽ.
Theo công thức tính chuyển vị tuyệt đối của thanh chịu
kéo nén đúng tâm, ta được
AB AC CB
Nội lực trên đoạn AC và CB là
AACN R
AC CB
A
B
B
AN a N b a b
EA EA EA EA
R R
Nên chuyển vị tuyệt đối của thanh AB là
BCBN R
Mà ta có phương trình tương thích
0AB 0A BR Ra bEA EA
A B bR a R
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Dựa vào phương trình cân bằng lực ta được
Dựa vào 2 phương trình trên, dễ dàng tính được phản lực liên kết tại A
và B là
A BR PR
AR
Pb
L
BR PaL
Từ phản lực liên kết đã biết, ta có thể tính chuyển vị tại điểm C
A
C AC
R a Pab
EA LEA
Tương tự, ta cũng tính được ứng suất trong thanh từ thành phần nội lực
đã biết
AC
AC
N Pb
A AL
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
L
Cách 2: Dùng phương pháp cộng tác dụng
Để giải bài toán siêu tĩnh, ta có thể sử dụng phương pháp cộng tác dụng.
BRR
0AB
Ta tách thành hai bài toán tính chuyển vị:
1. Tính chuyển vị L do tải trọng gây ra.
2. Tính chuyển vị R chỉ do phản lực liên kết RB gây ra.
Vậy chuyển vị tổng của thanh AB là AB L R
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Áp dụng phương pháp cộng tác dụng ta có
1. Tính chuyển vị L do tải trọng gây ra.
L
Pa
EA
2. Tính chuyển vị R chỉ do phản lực liên kết RB gây ra.
L
BRR
B
R
R L
EA
Vậy chuyển vị tổng của thanh AB là
0AB L R 0BR LPaEA EA B
aR P
L
Sử dụng phương trình cân bằng lực để tìm RA
0BA R PR A bR PL
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Ví dụ: Cho thanh chịu kéo nén đúng tâm với diện tích mặt cắt
ngang và chịu lực thay đổi như hình vẽ. Biết E=200 GPa. Tính
phản lực liên kết tại A và B biết khoảng cách đầu B cách mặt
nền là 4,5mm
300 kN
600 kN
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Trước tiên, ta phải tính chuyển vị do ngoại lực gây ra có làm đầu B
chạm vào mặt nền hay không
1. Tính chuyển vị L do tải trọng gây ra.
600 150 600 150 900 1500
400 200 250 200 250 200L
600 150 600 150 900 1500 5,625 mm
400 200 250 200 250 200L
Ta thấy chuyển vị tuyệt đối của thanh AB khi chịu ngoại lực
5,625 mm 4,5 mmL
Nên đầu B sẽ chạmmặt nền tại B. Do đó, tại B có phản lực liên kết RB
2. Tính chuyển vị R chỉ do phản lực liên kết RB gây ra.
300 300 39
400 200 250 200 4000
B
R
B BR R R
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Theo nguyên lý cộng tác dụng ta được
AB L R 395,625 4,54000
BR 115,4 kNBR
300 kN
600 kN
L
300 kN
600 kN
R
Chuyển vị tuyệt đối của thanh AB đúng bằng khoảng cách khe hở
Phương trình cân bằng lực theo phương đứng
300 600 0BAR R 784,6 kNAR
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Cách 1: Dùng phương trình đường đàn hồi
Xét thanh dầm AB chịu tải P ở giữa dầm,
ngàm tại đầu A và đầu B là liên kết khớp bản
lề trượt (liên kết đơn).
Phân tích phản lực liên kết ta được 4 phản lực
liên kết (4 ẩn số).
Nếu sử dụng 3 phương trình cân bằng ta không thể tính được 4 ẩn số !!
Vì thế ta phải tìm riêng một ẩn bằng cách sử dụng phương trình đường
đàn hồi của dầm.
Viết phương trình đường đàn hồi giống như chương tìm chuyển vị của
dầm nhưng liên kết vẫn giữ nguyên và trong phương trình đường đàn
hồi có 1 ẩn số là phản lực liên kết cần tính.
Dựa vào điều kiện liên kết ta sẽ tính được phản lực liên kết đó.
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều
q. Tại A là liên kết ngàm và tại B là liên kết khớp bản lề trượt.
Tính phản lực liên kết tại B.
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Phân tích phản lực liên kết
BRA
R
AM
Ba ẩn số mà ta chỉ có hai phương trình cân bằng lực, nên hệ này là hệ
siêu tĩnh bậc 1
Sử dụng phương trình đường đàn hồi (đường cong biến dạng) với liên
kết ban đầu để tìm phản lực liên kết RB tại B.
0
0
2
A
A
y
BA
BR R
M R
F qL
LM L qL
22
A B
A B
qL
q
R R
M RL L
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Bằng cách làm tương tự như tìm phương trình đường đàn hồi trước
đây, ta được phương trình cân bằng mô‐men nội lực
0
2A A
zM R zM qz
z
AR
AM 2
2A A
qzM RM z
2 2
2 2B B
M RqL qzL qL zR
2 2
2 2B B
qz qLqLzM R Rz L
Phương trình vi phân đường đàn hồi
2 2 2
2
1
2 2B
x
x x
B
Md y qz qLqL Rz z L
dz EJ EJ
R
23 2 21
6 2 2 2
B
B
x
zdy qz qLz qR RL z Lz C
dz EJ
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
3 24 3 2 21( )
24 6 6 4 2x
B Bz Lzqz qLz qL zy z R Cz
J
R D
E
Trong phương trình đường đàn hồi có 3 ẩn số chưa biết, trong đó có 2
hằng số tích phân C, D và 1 phản lực liên kết RB
Để tìm 3 ẩn số này ta dùng 3 điều kiện biên
(điều kiện liên kết của dầm)
(0) 0y
Dễ dàng ta tìm được
(0) 0x ( ) 0y L
0C 0D 3
8B
R qL
Ta tìm được phản lực liên kết còn lại
5
8A
R qL
2
8A
M qL
0; 0z y
0; 0xz
; 0z L y
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 8
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Bỏ 2 liên kết tại B
Cách 2: Dùng phương pháp lực
Đối với bài toán hệ siêu tĩnh, để dùng phương pháp
này ta làm các bước sau:
1) Chọn một hệ cơ bản
Hệ cơ bản là hệ tĩnh định được suy ra từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ bớt
liên kết
Bỏ 1 liên kết tại A và
1 liên kết tại B
Bỏ 2 liên kết tại A
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản
Đặt các lực liên kết vào những nơi liên kết đã bị bỏ đi
1X
2X
2X 1X
1X
2X 2X
1X
1X
2X
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 9
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
Đặt tải trọng lên hệ cơ bản đã chọn.
1X
2XA
B
Vậy chuyển vị tại đầu B có 2 phản lực liên kết phản có giá trị giống như
điều kiện liên kết của hệ siêu tĩnh
Tức là chuyển vị tuyệt đối của đầu B là bằng không theo 2 phương X1 và
X2 (do tại B là khớp bản lề cố định nên không cho dịch chuyển theo 2
phương)
Gọi 11, 12, 21, 22 là các chuyển vị đơn vị theo các phương X1 và X2.
Vậy chuyển vị theo các phương X1, X2 và tải trọng gây nên được tính
1 1 2 121 11 PX X
2 2 2 221 21 PX X
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B bằng không nên ta được
1=2=0. Ta có phương trình chính tắc:
Với: 1 và 2 lần lượt là chuyển vị tuyệt đối của dầm tại đầu B
ij là chuyển vị theo phương i do lực 1 đơn vị gây nên theo phương j.
i j
ij
M M
ds
EJ
iP là chuyển vị theo phương i do tải trọng gây nên.
i P
iP
M M ds
EJ
11 12 1
2
1 2
1 21 22 2
0
0
P
P
X X
X X
Giải hệ phương trình trên ta sẽ được 2 ẩn số là X1 và X2 là 2 phản lực liên
kết.
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 10
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ta có thể suy rộng ra cho hệ suy tĩnh bậc n. Khi đó hệ phương trình chính
tắc có dạng
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
11
... 0
... 0
...
... 0
n
n
n P
n P
n nn nn P
X X X
X X X
X X
Các hệ số ii là hệ số chính, ij là hệ số phụ và iP là số hạng tự do
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều
q. Tại A là liên kết ngàm và tại B là liên kết khớp bản lề trượt.
Tính phản lực liên kết tại B.
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 11
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
1X
Chọn hệ cơ bản từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi 1 liên kết tại B (ta vẫn
có thể làm cách khác là bỏ đi 1 liên kết tải A)
1) Chọn một hệ cơ bản
2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản
Tại B bỏ 1 liên kết thì ta thêm vào đó 1 phản lực liên kết
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
11 11 0PX
Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B
bằng không nên ta được 1=0. Ta có
phương trình chính tắc:
Để tính 11 và 1P, ta vẽ biểu đồmô‐men uốn
MP chỉ do tải trọng gây ra và M1 chỉ do lực
X1=1 đơn vị gây ra
1 1
11
M M ds
EJ
Dùng phương pháp nhân biểu đồ để tính tích
phân này. Lấy biểu đồ M1 nhân với M1 (cách
nhân giống như bài tính chuyển vị)
311 1 11 1 1 22 3 3
Lm L L L
EJ EJ EJ
MP
2
2
qL
M1
L
M1
L
1
1m
2
2m
1X
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 12
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
1
1
P
P
M M ds
EJ
Dùng phương pháp nhân biểu đồ để tính tích phân này. Lấy biểu đồ M1
nhân với MP
2 41 2 21 1 1 33 2 4 8P
qL qLm L L
EJ EJ EJ
11 11 0PX
Ta có phương trình chính tắc:
1
3 4
0
3 8
L qL
E J
X
J E
1
3
8
LX q
Để tìm phản lực liên kết tại A, ta làm như bài toán tĩnh định bình thường
khi bỏ đi một liên kết tại B và thay vào một lực X1 bằng giá trị trên
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều
q. Tại A và B là liên kết ngàm. Tính phản lực liên kết tại B.
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 13
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Chọn hệ cơ bản từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi 2 liên kết tại B
1) Chọn một hệ cơ bản
2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản
Tại B bỏ 2 liên kết thì ta thêm vào đó 2 phản lực liên kết
1X
2X
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của
đầu B bằng không nên ta được
1=2=0. Ta có phương trình chính tắc:
Để tính các hệ số trong hệ phương trình, ta
vẽ biểu đồ mô‐men uốn MP chỉ do tải trọng
gây ra, M1 chỉ do lực X1=1 đơn vị gây ra, M2
chỉ domô‐men X2=1 đơn vị gây ra
1 1
11
M M ds
EJ
11 12 1
2
1 2
1 21 22 2
0
0
P
P
X X
X X
1X
2X
MP
2
2
qL
M1
L
M2
1
2 2
22
M M ds
EJ
1 2
12 21
M M ds
EJ
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 14
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Dùng phương pháp nhân biểu đồ để tính các tích phân này
3
11
1 1 2
2 3 3
LL L L
EJ EJ
Lấy biểu đồM1 nhân với biểu đồM1
22
1 1 1 LL
EJ EJ
Lấy biểu đồM2 nhân với biểu đồM2
2
12 21
1 1 1
2 2
LLL
EJ EJ
Lấy biểu đồM1 nhân với biểu đồM2 (hoặc
lấy biểu đồM2 nhân với biểu đồM1)
2 4
1
1 1 3
3 2 4 8P
qL qLL L
EJ EJ
Lấy biểu đồM1 nhân với biểu đồMP
2 3
2
1 1 1
3 2 6P
qL qLL
EJ EJ
Lấy biểu đồM2 nhân với biểu đồMP
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ta có phương trình chính tắc:
11 12 1
2
1 2
1 21 22 2
0
0
P
P
X X
X X
1 2
3 2 4
2
1
3
2
0
3 2 8
0
2 6
L L qL
EJ EJ EJ
L L qL
EJ EJ EJ
X X
X X
2
2
1 2
12
qL
qL
X
X
X2<0 nên chiều đúng của phản lực liên kết là chiều ngược lại với chiều
giả sử ban đầu.
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 15
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L=1 m chịu tải phân bố
đều q=20 kN/m. Tại A là liên kết ngàm, đầu B cách mặt nền một
đoạn =0,2 cm. Tính phản lực liên kết tại B nếu đầu B chạm vào
nền biết dầm có mặt cắt ngang chữ I (No12), E=2.104 kN/cm2.
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Trước tiên, ta phải tính chuyển vị do ngoại lực gây ra có làm đầu B
chạm vào mặt nền hay không
Tính chuyển vị chỉ do tải trọng gây ra.
Theo bài ví dụ tính chuyển vị của thanh
dầm trong chương trước, ta được chuyển
vị tại đầu B là
4
8B x
qLy
EJ
Thanh dầmmặt cắt chữ I số hiệu 20 nên ta được
4350 cmxJ
2 4
4
20 10 100 0,36 cm
8 2 10 350B
y
Ta thấy 0, 2 cmBy
Nên đầu B chạm vào mặt nền, đây là hệ siêu tĩnh bậc 1
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 13
12/14/2011
Giảng viên Nguyễn Duy Khương 16
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Chọn hệ cơ bản từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ đi 1 liên kết tại B (liên kết
tựa)
1) Chọn một hệ cơ bản
2) Đặt các phản lực liên kết vào hệ cơ bản
Tại B bỏ 1 liên kết thì ta thêm vào đó 1 phản lực liên kết
1X
CHƯƠNG 7 Tính hệ siêu tĩnh
2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
3) Thiết lập phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
111 1 1PX
Từ điều kiện chuyển vị tuyệt đối của đầu B
khác không và bằng nên ta được 1=-=-
0,2 cm (giá trị âm vì chiều chuyển vị ngược
chiều X1 quy ước ban đầu). Ta có phương
trình chính tắc:
Tương tự bài trước ta được
3 3
11 4
100 0,05
3 3 2 10 350
L
EJ
MP
2
2
qL
M1
L
M1
L
1
1m
2
2m
1X
4
1 0,36 cm8P
qL
EJ
Ta có phương trình chính tắc:
111 1 1PX 10,05 0,36 0, 2X
1 3, 2 kNX
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_co_hoc_ung_dung_tuan_13_nguyen_duy_khuong.pdf