Bài giảng Cơ học ứng dụng - Tuần 12 - Nguyễn Duy Khương

được E  P E EA    Theo định nghĩa ta được biến dạng tỉ đối là tỉ số biến dạng tuyệt đối và chiều dài thanh. L   Vì thế, ta được biến dạng tuyệt đối L  PL EA   Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 2 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Trong trường hợp thanh không đồng nhất (hệ số mô‐đun đàn hồi E thay đổi, tiết diện thanh thay đổi A, nội lực dọc trục Nz thay đổi), ta chia thanh này thành nhiều đoạn sao cho các hệ số trên là hằng số. Biến dạng dài tuyệt đối của thanh 1 n zi i i i i N L E A     CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Ví dụ: Cho thanh chịu kéo nén đúng tâm với diện tích mặt cắt ngang và chịu lực thay đổi như hình vẽ. Biết E=2.105 N/mm2 và diện tích mặt cắt ngang là: AAB=20mm2; ABC=30mm2; ACD=60mm2. Tính biến dạng tuyệt đối của thanh. D C B A 2 kN5 kN7 kN 30 mm 20 mm 20 mm Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 3 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Vẽ biểu đồ nội lực Nz D C B A 2 kN5 kN7 kN 22 33 44 + + ‐ Biến dạng dài tuyệt đối của thanh 1 n zi i i i i N L E A    BC BC CD CDAB AB AB BC CD N L N LN L EA EA EA    5 5 5 2000 20 ( 3000) 20 4000 30 2 10 20 2 10 30 2 10 60            0,01 (mm)  CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 2. Thanh chịu xoắn thuần túy Xét trục đồng nhất chiều dài L và bán kính R chịu mô‐men xoắn T Ứng suất tiếp lớn nhất trong thanh max O TR J   Theo định luật Hooke, ta được max max O T R G G J     Theo định nghĩa biến dạng góc tương đối max R L   maxL R   Góc xoắn tuyệt đối của trục O T L G J     Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 4 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 2. Thanh chịu xoắn thuần túy Trong trường hợp trục không đồng nhất (hệ sốmô‐đun đàn hồi trượt G thay đổi, bán kính R thay đổi, mô‐men xoắn T thay đổi), ta chia thanh này thành nhiều đoạn sao cho các hệ số trên là hằng số. Góc xoắn tuyệt đối của thanh 1 n i i i i Oi T L G J     CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Xét một thanh dầm AB chịu mô‐men uốn dương như hình vẽ bên. Thanh dầm sẽ uốn quanh một điểm C với bán kính cong . Bán kính cong  được tính bằng công thức 1 x x M EJ  Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích (phương trình đường đàn hồi) Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 5 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Trong trường hợp dầm đàn hồi nên độ dốc dy/dz rất bé vì thế ta có thể bỏ đi các vô cùng bé bậc cao 2 2 1 d y dz   Ta để biết rằng dấu của d2y/dz2 và Mx luôn ngược dấu. Nên ta thế 1/ vào phương trình trên ta được 0; " 0xM y 0; " 0xM y y z Mà theo công thức toán học, bán kính cong của quỹ đạo được tính bằng công thức 2 2 3/22 1 1 d y dz dy dz           CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng 2 2 xd d y dz dz    Mối quan hệ giữa góc xoay và chuyển vị y z Q ( )y z z ( )z ( )x dyz dz    x x x d M dz EJ   2 2 x x Md y dz EJ   Nên ta thế 1/ vào phương trình trên ta được Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 6 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Tìm hàm chuyển vị và góc xoay theo biến z khi EJx là hằng số 2 2 x x Md y dz EJ   1x xdyEJ M dz Cdz      1 21 x x M dz dz C z C EJ y         x x x d M dz EJ    11 x x xM dz CEJ    Hoặc sử dụng công thức x dydz   Với C1, C2 là hằng số tích phân tìm được từ điều kiện biên liên kết của dầm CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Điều kiện biên của dầm tại các liên kết Tại x=xA=0 thì y(xA)=0. Tại x=xB thì y(xB)=0. Tại x=xA=0 thì y(xA)=0. Tại x=xB thì y(xB)=0. Tại x=xA=0 thì y(xA)=0. Và (xA)=0. Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 7 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tính chuyển vị và góc xoay tại đầu B CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Tính hàm phân bố mô‐men theo tọa độ z, chọn một mặt cắt bất kỳ cách đầu A đoạn z, dựa vào phương trình cân bằng mô‐men ta được Dễ dàng ta tính được phản lực liên kết tại A z 2 ; 2y A qLA qL M  2 0 2 2 z qLqz qL zM       2 2 2 2 qz qLqLM z    2 2 2 2 1 2 2 x x x Md y qz qLqLz dz EJ EJ         Theo phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi 2 21 2 2x dy qz qLqLz dz dz EJ        3 2 21 6 2 2x dy qz qLz qL z C dz EJ         Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 8 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Mà ta có mối quan hệ giữa chuyển vị và góc xoay 3 2 21 6 2 2x x dy qz qLz qL z C dz EJ             Tại A ta có góc xoay bằng 0 tức nghĩa là (0) 0x  3 2 2 0 1 0 6 2 2x z qz qLz qL z C EJ           0C  3 2 21 6 2 2x dy qz qLz qL z dz EJ       Nên 3 2 21 6 2 2x qz qLz qL zy dz EJ        4 3 2 21 24 6 4x qz qLz qL z D EJ        Tại A ta có chuyển vị bằng 0 tức nghĩa là (0) 0y  4 3 2 2 0 1 0 24 6 4 zx qz qLz qL z D EJ          0D  CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 1. Thanh chịu kéo nén đúng tâm Hàm chuyển vị có dạng 4 3 2 21 24 6 4x qz qLz qL zy EJ       Hàm góc xoay có dạng 3 2 21 6 2 2x x qz qLz qL z EJ         Vậy chuyển vị và góc xoay tại đầu B với z=L là 4 8B x qLy EJ  3 6xB x qL EJ    Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 9 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Cách 2: Sử dụng phương pháp năng lượng kết hợp với nhân biểu đồ Bước 1: Vẽ biểu đồMx(z) do tải trọng thực tác dụng lên thanh dầm. Trình tự thực hiện tính độ võng và góc xoay Bước 2: Đặt một lực ảo P=1 tại vị trí cần tính độ võng (mô‐men ảo M=1 tại vị trí cần tính góc xoay ). Hướng và chiều của lực sẽ là hướng và chiều của độ võng và góc xoay ta đang cần tính. Bước 3: Vẽ biểu đồmô‐men ảo Mx chỉ do lực P (mô‐men M) gây ra Bước 4: Biểu đồ mô‐men uốn thực tạo ra một miền diện tích là  và trọng tâm của diện tích đó có tọa độ theo phương z là z*. Tại vị trí ta z=z* tìm được độ lớn của mô‐men ảo dựa vào biểu đồ mô‐men ảo là m. Để tính độ võng (góc xoay) ta dùng công thức sau x my EJ  CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Trong trường hợp phần diện tích của biểu đồ mô‐men uốn thực được chia ra thành nhiều miền diện tích nhỏ i thì ta cũng sẽ tìm được tọađộ trong tâm của từng miền diện tích đó. Tại vị trí các điểm trọng tâm ta tìm được độ lớn của biểu đồ mô‐men ảo là mi. Để tính độ võng (góc xoay) ta dùng công thức 1 1 n i i ix y m EJ     Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 10 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Ví dụ: Cho dầm AB đồng chất chiều dài L chịu tải phân bố đều q. Tính chuyển vị và góc xoay tại đầu B CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Bước 1: Vẽ biểu đồ Mx(z) do tải trọng thực tác dụng lên thanh dầm. 1P  Bước 2: Đặt một lực ảo P=1 tại vị trí cần tính độ võng tại B. Bước 3: Vẽ biểu đồ mô‐men ảo Mx chỉ do lực P gây ra Diện tích của biểu đồ mô‐men là hình parabol có cực trị tại B nên theo bảng phụ lục diện tích và trọng tâm của hình parabol cách đầu A một đoạn là 4 Lz  Tại vị trí trọng tâm của hình parabol, ta tìm được độ lớn mô‐men ảo tại z=L/4 là 3 4 Lm   2 3 2 3 6 qLL qL    LMx 2 2 qL Mx / 4z L 3 / 4L Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 11 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Vậy độ võng của dầm tại đầu B là 3 4 3 6 4 8B x x x qL L m qLy EJ EJ EJ              / 4z L 2 2 qL Mx 1M  1 Mx 1 Tương tự: khi cần tính độ võng tại B ta đặt vào B mô‐men ảo 1 có độ lớn 1 đơn vị, tại vị trí trọng tâm của mô‐men phân bố thực ta có mô‐men phân bố ảo là 1. 1m    3 316 6xB x x x qL m qL EJ EJ EJ            CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Ví dụ: Cho dầm thép mặt cắt nganh hình chữ (số hiệu No20) và chịu lực như hình vẽ. 1) Tính độ võng lớn nhất trong dầm. 2) Tính góc xoay tại độ võng đó C M = qa2 2q A B a 2a Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 12 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng C A B 2,5qa 1,5qa 2qa 2q 2qa 20,56qa 0,75a Ta thấy tại C có mô‐ men nội lực là lớn nhất và không có liên kết nên độ võng tại C là lớn nhất. Để tìm chuyển vị tại C ta đặt một lực ảo 1 đơn vị tại C, ta được biểu đồ lực ảo như hình bên (làm như là lực thực bình thường) a 1m 1 2 2m 3m 3 Mx Mx P=1 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Dựa vào công thức tính diện tích và trọng tâm ta được 2 3 1 qa a qa      2 3 2 1 0,5 0,25 2 qa a qa      2 3 3 22 0,75 0,56 0,56 3 a qa qa    1 0,5m a  3 0,375m a  2 0,917m a   3 3 3 1 1 1 0,5 0,25 0,917 0,56 0,375 n C i i ix x y m qa a qa a qa a EJ EJ          40,52 C x qay EJ   (Hình chữ nhật) (Tương đương tam giác) (Parabol) Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 12 12/14/2011 Giảng viên Nguyễn Duy Khương 13 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng C A B 2,5qa 1,5qa 2qa 2q 2qa 20,56qa 0,75a Để tìm góc xoay tại C ta đặt một mô‐men ảo 1 đơn vị tại C, ta được biểu đồ lực ảo như hình bên (làm như là lực thực bình thường) 1 1m 1 2 2m 3m 3 Mx Mx M=1 CHƯƠNG 6 Tính biến dạng của thanh 3. Thanh chịu uốn ngang phẳng Dựa vào công thức tính diện tích và trọng tâm ta được 2 3 1 qa a qa      2 3 2 1 0,5 0,25 2 qa a qa      2 3 3 22 0,75 0,56 0,56 3 a qa qa    1 1m   3 0,375m   2 0,917m    3 3 3 1 1 1 1 0,25 0,917 0,56 0,375 n xC i i ix x m qa qa qa EJ EJ            31,02 xC x qa EJ   (Hình chữ nhật) (Tương đương tam giác) (Parabol)