Bài giảng Cơ học lưu chất - Chương 6: Dòng chảy thế và lực nâng lực cản - Lê Văn Dực

thể là chuyển động trong không gian 3 chiều. Tuy nhiên, chương này chủ yếu tập trung vào chuyển động thế hai chiều, hay còn được gọi là chuyển động thế phẳng. Trong thực tế lưu chất luôn luôn tồn tại tính nhớt. Tuy nhiên việc nghiên cứu chuyển động của lưu chất lý tưởng cũng đóng một vai trò quan trọng vì một số lý do sau đây: 1. Khi lưu chất chuyển động với số Re > 1, miền ảnh hưởng của tính nhớt chỉ tồn tại trong một lớp mỏng sát biên, được gọi là lớp biên. Ngoài vùng lớp biên, ảnh hưởng của tính nhớt đến sự chuyển động của các phần tử lưu chất là khá bé, khi đó, ta có thể xem dòng lưu chất như là lưu chất lý tưởng. 2. Lưu chất lý tưởng có thể áp dụng cho lưu chất ít nhớt, hay lưu chất chuyển động với số Re rất lớn, khi đó tính nhớt ít ảnh hưởng đến dòng chảy. Trong thực tế có một số lưu chất đặc biệt có độ nhớt hầu như bằng không khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ tới hạn, chẳng hạn Helium, khi nhiệt độ nhỏ hơn 2,17oK thì độ nhớt đột ngột giảm xuống 0. Các loại lưu chất mang đặc tính này, được gọi là siêu lưu chất. 3. Về mặt lý thuyết, khi bỏ qua tính nhớt, các phương trình vi phân chuyển động của lưu chất sẽ đơn giản hơn, trong một số trường hợp và điều kiện nhất định, ta có thể tìm được lời giải giải tích khá dễ dàng. Các kết quả này có thể được sử dụng để kiểm tra các kết quả thực nghiệm số trên các mô hình toán hoặc hiệu chỉnh mô hình vật lý. 4. Các lý thuyết về chuyển động của lưu chất lý tưởng được áp dụng nhiều trong các lãnh vực như khí động, chuyển động sóng 6.1 Chuyển động thế (chuyển động không quay) Trước khi đi vào nội dung chính, ta cần trình bày qua một số khái niệm có liên quan đến chuyển động thế. • Trường lực có thế: Trường lực F r được gọi là có thế, khi công do nó thực hiện đi dọc theo một đường cong nối hai điểm, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm này. Ta có thể viết: W = ∫ AmB sdF r r . = ∫ AnB sdF r r . Ví dụ trọng lực là trường lực có thế. A B n m Hình 6.1 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 • Trường vectơ có thế: Một trường vectơ ( A r ) được gọi là có thế, nếu tích phân đường dọc theo một đường cong nối hai điểm, chỉ phụ thuộc điểm đầu và cuối mà không phụ thuộc đường cong nối hai điểm đó. ∫ AmB sdA r r . = ∫ AnB sdA r r =. ∫BA sdA rr. • Trường dòng chảy có thế: Về mặt toán học, một trường vận tốc uv được gọi là có thế, nếu ta có thể tìm thấy một hàm số thế vận tốc φ sao cho thỏa điều kiện sau: ∫BA sdu rr. = ∫BA dϕ = φB – φA (6.1) Dòng chảy thoả phương trình (6.1) được gọi là dòng chảy có thế. Phương trình (6.1) có thể viết lại như sau: ∫ ++B A zyx dzudyudxu )...( = ∫ ∂∂+∂∂+∂∂ B A dz z dy y dx x )...( ϕϕϕ (6.2) Từ đây ta suy ra: ux = x∂ ∂ϕ ; uy = y∂ ∂ϕ ; uz = z∂ ∂ϕ (6.3a) hay, dưới dạng vectơ, ta có thể viết: ur = ∇r ϕ = darg r ϕ (6.3b) Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.3a) trở thành: ux = x∂ ∂ϕ ; uy = y∂ ∂ϕ (6.3c) Công thức (6.3a) được viết trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z) như sau; ur = r∂ ∂ϕ ; uθ = r 1 θ ϕ ∂ ∂ ; uz = z∂ ∂ϕ (6.4a) Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.4a) trở thành: ur = r∂ ∂ϕ ; uθ = r 1 θ ϕ ∂ ∂ (6.4b) Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của φ như sau: + Trong hệ tọa độ Descartes: Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 dφ = x∂ ∂ϕ .dx + y∂ ∂ϕ .dy dφ = ux.dx + uy (6.3d).dy + Trong hệ tọa độ cực: dφ = r∂ ∂ϕ .dr + θ ϕ ∂ ∂ .dθ dφ = ur.dr + r.uθ.dθ (6.4c) 6.1.1 Phương trình Bernoulli cho chuyển động thế Như được chứng minh trong Chương 3, phương trình Euler (3.38b) chính là phương trình Bernoulli có thể áp dụng với mọi điểm trong trường chuyển động ổn định, chịu tác dụng của trọng lực (lực khối có thế), lưu chất lý tưởng (không ma sát), không nén được và chuyển động có thế (không quay), như sau: 2 2 1 uzp ργ ++ = E = const (6.5) 6.1.2 Hàm thế vận tốc 6.1.2.1 Định nghĩa dòng chảy có thế và hàm thế vận tốc Dòng chảy có thế là trường dòng chảy sao cho tồn tại một hàm số thế vận tốc φ(x,y,z,t) [hay φ(x,y,z) đối với chuyển động ổn định] thỏa phương trình (6.3a) trong hệ toạ độ Descartes (oxyz) hay thỏa phương trình (6.4a) trong toạ độ trụ (r, θ, z), hoặc thoả phương trình (6.3b) dưới dạng vectơ. 6.1.2.2 Điều kiện dòng chảy có thế Lấy r or t hai vế của phương trình vectơ (6.3b), ta được: r or t(ur ) = ( ))(ϕdargtor rr Công thức toán học cho ta: ( ))(ϕdargtor rr = 0r Suy ra: r or t(ur ) = 0 r Mà ωr = utor rr . 2 1 = 0 r (6.6) Vậy: dòng chảy có thế là dòng chảy không quay. ™ Ghi chú: Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 Xét hệ toạ độ cực (r, θ) • Toán tử )(φdaGrr trong toạ độ cực: )(φdaGrr = r∂ ∂φ . ri r + θ φ ∂ ∂.1 r θ i r với φ (r, θ) (6.7) • Toán tử )(utor rr trong toạ độ cực: )(utor rr = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−∂ ∂ θ θ ru r ur r ).(1 . k r (6.8) với ),( θuuu r r , k r là vectơ đơn vị của trục oz trực giao với mặt phẳng của trường chuyển động. • Toán tử Div )(ur trong toạ độ cực: Div(ur ) = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂ θ θu r ur r r ).(1 với ),( θuuu r r (6.9) 6.1.2.3 Tính chất của dòng chảy có thế Dòng lưu chất không nén được, chuyển động ổn định, phương trình liên tục cho ta: Div(ur ) = 0, Trong tọa độ Descartes, ta có: x ux ∂ ∂ + y u y ∂ ∂ + z uz ∂ ∂ = 0 (6.10) Thế (6.3a) vào phương trình (6.10), ta được: 2 2 x∂ ∂ ϕ + y2 2 ∂ ∂ ϕ + z2 2 ∂ ∂ ϕ = 0 (6.11a) Hay, ϕ2∇ = 0 (6.11b) Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.11a) trở thành: 2 2 x∂ ∂ ϕ + y2 2 ∂ ∂ ϕ = 0 (6.11c) Phương trình (6.11a), (6.11b) hay (6.11c) được gọi là phương trình Laplace, phương trình vi phân tuyến tính đạo hàm riêng phần bậc hai. Có vô số lời giải thoả phương trình Laplace, do đó lời giải cụ thể cần tìm kiếm sẽ phải thỏa mãn một điều kiện biên nhất định nào đó. 6.1.2.4 Đường đẳng thế Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 Đường đẳng thế là đường cong trong không gian sao cho giá trị hàm số thế φ bằng hằng số. Vì vậy ta có: d φ = 0 Î 0... =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ dz z dy y dx x ϕϕϕ hay, ux.dx + uy.dy + uz.dz = 0 (6.12) Phương trình (6.12) là phương trình vi phân của đường đẳng thế. Tích phân phương trình vi phân này, ta sẽ được phương trình đường đẳng thế. 6.1.2.5 Ý nghĩa vật lý của đường đẳng thế ∫B A dϕ = ∫ ++B A zyx dzudyudxu )...( = ∫B A sdu rr. =ΓAB = ϕB - ϕA (6.13) Vậy hiệu của hai đường đẳng thế đi qua hai điểm A và B bằng lưu số vận tốc dọc theo một đường cong bất kỳ nối hai điểm đó. 6.1.3 Hàm dòng trong chuyển động thế phẳng Đối với lưu chất lý tưởng không nén được, chuyển động hai chiều, hàm dòng và hàm thế là một cặp rất hữu ích được sử dụng để nghiên cứu chuyển động thế phẳng. Hàm dòng Ψ được định nghĩa sao cho thỏa điều kiện sau: ux = y∂ Ψ∂ ; uy = - x∂ Ψ∂ (6.14) Với định nghĩa này, phương trình liên tục đối với chuyển động hai chiều lưu chất không nén được tự động thỏa mãn, vì: x ux ∂ ∂ + y u y ∂ ∂ = yx∂∂ Ψ∂ 2 - xy∂∂ Ψ∂ 2 = 0 (6.15) Đối với hệ tọa độ cực, các công thức (6.14) trở thành: ur = r 1 θ∂ Ψ∂ ; uθ = - r∂ Ψ∂ (6.16) Đối với chuyển động phẳng, lưu chất không nén được, ta có thể kết luận như sau: • Luôn luôn tồn tại hàm dòng, không phụ thuộc vào điều kiện dòng chảy quay hay không quay. • Phương trình liên tục là điều kiện cần và đủ đối với sự tồn tại của hàm dòng. • Trường vận tốc được truy ra từ hàm dòng Ψ tự động thỏa phương trình liên tục. Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của Ψ như sau: Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 + Trong hệ tọa độ Descartes dΨ = x∂ Ψ∂ .dx + y∂ Ψ∂ .dy dΨ = - uy.dx + ux (6.14a).dy + Trong hệ tọa độ cực dΨ = r∂ Ψ∂ .dr + θ∂ Ψ∂ .dθ dΨ = - uθ.dr + r. ur.dθ (6.16a) 6.1.3.1 Phương trình Laplace của hàm dòng Trong trường hợp dòng thế phẳng, ta có: tor r (ur ) = ( x u y ∂ ∂ - y ux ∂ ∂ ). k r = 0 r Î x u y ∂ ∂ - y ux ∂ ∂ = 0 (6.17) Thế (6.14) vào (6.17), ta được: 2 2 x∂ ∂ ψ + y2 2 ∂ ∂ ψ = 0 ⇒ Δψ=0 (6.18) Như vậy trong dòng thế phẳng, hàm dòng thỏa phương trình Laplace. 6.1.3.2 Quan hệ giữa đường Ψ = const và đường dòng Phương trình có Ψ = const , suy ra dΨ = 0, suy ra: dψ = x∂ Ψ∂ dx + y∂ Ψ∂ dy = 0 dψ = -uy.dx + ux.dy = 0 (6.19) ⇒ ( ) =ψdx dy x y u u (6.20) Phương trình (6.20) là phương trình của đường dòng. Vậy các đường cong có Ψ = const chính là các đường dòng. 6.1.3.3 Ý nghĩa vật lý của đường dòng Xét dòng chảy giữa hai đường dòng C1 và C2, gọi A y x A B u M C1 C2 O Hình 6.2 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 và B là hai điểm lần lượt trên C2 và C1. Gọi M là một điểm trên đường cong bất kỳ nối hai điểm A và B. Vận tốc tại M là ur Lưu lượng đi giữa hai đường dòng C1 và C2 có thể được tính như sau: ∫= AMB dsnuq ..rr Với ds là đoạn vi phân nằm trên tiếp tuyến với đường cong qua A và B, tại M. Và nr là vectơ đơn vị, pháp tuyến với đường cong qua AB, tại M. Ta có thể viết: sdr = (dx, dy) Và nr .ds = (+dy, -dx) Vì sdr ⊥ nr .ds Suy ra: ∫= AMB dsnuq ..rr = ∫ − AMB yx dxudyu )..( = ∫ AMB dψ = ψB - ψA (6.21) Vậy, hiệu giá trị hàm dòng đi qua hai điểm bằng lưu lượng qua ống dòng giới hạn bởi hai đường dòng đi qua hai điểm đó. 6.1.3.4 Sự trực giao giữa họ đường dòng và đường đẳng thế Tại giao điểm của đường dòng và đường đẳng thế, ta có: ux = x∂ ∂ϕ = y∂ Ψ∂ ; uy = - x∂ Ψ∂ = y∂ ∂ϕ ⇒ x∂ ∂ϕ . x∂ Ψ∂ = -ux. uy ; y∂ ∂ϕ . y∂ Ψ∂ = uy. ux ⇒ x∂ ∂ϕ . x∂ Ψ∂ + y∂ ∂ϕ . y∂ Ψ∂ = 0 ⇒ ϕ ⊥ ψ Vậy, hai họ đường dòng và đường đẳng thế trực giao nhau. 6.1.3.5 Hàm thế phức Vì cả hai hàm thế ϕ(x,y), hàm dòng ψ(x,y) đều thoả phương trình Laplace, nên theo lý thuyết của hàm biến phức, ta có thế xây dựng một hàm biến phức như sau: W(z) = ϕ(x,y) + i.ψ(x,y) (6.22) Với z = x + i.y; với i là số ảo ( i = 1− ), z là biến ảo. Hoặc z = r.eiθ = r(cosθ + isinθ) Ψ=const φ =const ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ Ψ∂ ∂ Ψ∂ yx , ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ yx ϕϕ , Hình 6.3 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 W(z) được gọi là thế phức của dòng chảy. Do đó người ta có thể nghiên cứu trực tiếp dòng thế qua việc nghiên cứu hàm thế phức này. Khi cho trước hàm thế phức w(z), ta có thể dùng các phép biến đổi toán học để đưa về dạng (6.22). Từ đó ta rút ra được: hàm thế là phần thực và hàm dòng là phần ảo. 6.1.3.6 Phương pháp nghiên cứu dòng thế phẳng thông qua hàm dòng, hàm thế và thế phức Khi giải các bài toán có liên quan đến dòng thế phẳng, chúng ta gặp hai loại bài toán chính như sau: ™ Cho trước hàm thế ϕ(x,y), hoặc hàm dòng ψ(x,y) hoặc hàm thế phức w(z), xác định trường vận tốc của dòng chảy. Đây là loại bài toán tìm đạo hàm: • Nhờ vào phương trình (6.22), ta có thể tìm thấy hàm thế ϕ(x,y) hoặc hàm dòng ψ(x,y). • Nhờ vào các công thức (6.3c), (6.4b), (6.14) và (6.16) ta có thể tìm được các thành phần vận tốc trong hệ toạ độ Descartes hay trong tọa độ cực tại một điểm bất kỳ trong trường chuyển động. • Để tìm áp suất tại một điểm bất kỳ trong trường chuyển động, ta dùng phương trình Bernoulli (6.5) áp dụng đối với điểm cần tìm và một điểm cho trước (po, uo), thường là điểm ở xa vô cùng. • Dùng phương pháp vi tích phân, ta có thể tìm được lực do dòng chảy tác dụng lên một đoạn mặt cong nào đó dựa trên áp suất đã tìm được ở bước trên. Cần chú ý tính chất của áp suất thủy động là tác dụng vuông góc với mặt chịu lực đối với dòng lưu chất lý tưởng (không có ma sát nhớt). • Tìm lưu lượng đi qua một đọan cong (thực tế là diện tích cong tạo bởi một đoạn thẳng (đường sinh) vuông góc với mặt phẳng xoy, có chiều dày là 1 m, trợt dọc theo đoạn cong) nối hai điểm A và B, ta áp dụng công thức (6.21). ™ Cho trước trường vận tốc uv , yêu cầu tìm hàm thế ϕ(x,y) hoặc hàm dòng ψ(x,y). Đây là loại bài toán tìm tích phân, là giải phương trình vi phân Laplace (6.11c) hoặc (6.18). Trong quá trình lấy tích phân xuất hiện hai hằng số tích phân. Hai hằng số tích phân này sẽ được xác định cụ thể dựa vào hai điều kiện ở xa vô cùng và điều kiện biên. • Điều kiện ở xa vô cùng: Điều kiện ở xa vô cùng là các giá trị của vận tốc và áp suất ở nơi mà dòng chảy không chịu ảnh hưởng của các điểm đặc biệt, hay của vật rắn. • Điều kiện biên: Khi trường dòng chảy bị giới hạn bởi thành rắn dọc theo đường cong Σ. Điệu kiện biên có thể có dạng sau: i) ψ = const, hay Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 ii) n∂ ∂ϕ = 0 (với nr là phương pháp tuyến của biên ∑). ™ Phương pháp chồng chập nhiều chuyển động thế: Vì hàm thế ϕ(x,y) hoặc hàm dòng ψ(x,y) đều được mô tả bằng các phương trình vi phân đạo hàm riêng loại tuyến tính, phương trình Laplace, nên ta có thể chồng chập nhiều chuyển động thế đơn giản thành một chuyển động thế phức hợp (tổng hợp nhiều dòng thế phẳng); hoặc phân tích chuyển động thế phức tạp thành nhiều chuyển động thế đơn giản hơn. Gọi ϕ1 và ϕ2 là hai chuyển động thế. Cả hai thỏa phương trình Laplace: 2 1 2 x∂ ∂ ϕ + y2 1 2 ∂ ∂ ϕ = 0, và (6.23a) 2 2 2 x∂ ∂ ϕ + y2 2 2 ∂ ∂ ϕ = 0 (6.23b) Rồi thì ta đạt được chuyển động tổng hợp của hai chuyển động thế này là: ϕ = ϕ1 + ϕ2 . Chuyển động tổng hợp này cũng thỏa phương trình Laplace: 2 21 2 )( x∂ +∂ ϕϕ + y2 21 2 )( ∂ +∂ ϕϕ = 0, (6.24) Bởi vì phương trình (6.24) thì tương đương với hai phương trình (6.23a) và (6.23b) cộng với nhau. 6.2 Các chuyển động thế phẳng cơ bản 6.2.1 Chuyển động thẳng đều: Dòng chảy đều có vận tốc là U hợp với trục ox một góc là α, ta có ux = U.cos(α), và uy = U.sin(α) • Xác định hàm dòng: Công thức (6.14a) cho: dΨ = - uy.dx + ux.dy, suy ra: dΨ = - U.sin(α).dx + U.cos(α).dy do đó, Ψ(x,y) = U[cos(α).y - sin(α).x] + C = uxy - uy.x + C. Chọn Ψ=0 khi qua gốc tọa độ (0, 0), suy ra C=0. Khi đó ta được hàm dòng: Ψ(x,y) = U[cos(α).y - sin(α).x] = ux.y - uy (6.25).x Ψ(r, θ) = ux.r.sin(θ) – uy.r.cos(θ) (6.25a) ϕ1 ψ1U y x ϕ2 ψ2 Hình 6.4 Hàm dòng và thế chuyển động đều Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 • Xác định hàm thế: Công thức (6.3d), cho: dφ = ux.dx + uy.dy = U.cos(α).dx + U.sin(α).dy φ(x, y) = U.[cos(α).x + sin(α).y] + C. Chọn φ =0 khi qua gốc tọa độ (0, 0), suy ra C=0. Khi đó ta được hàm thế: φ(x, y) = U.[cos(α).x + sin(α).y] = ux.x + uy (6.26).y φ (r, θ) = ux.r.cos(θ) + uy.r.sin(θ (6.26a)) • Xác định hàm thế phức: Ta có thể tìm thấy hàm thế phức cho chuyển động thẳng đều như sau: (6.27)W(z) = a.z Trong đó, a = U.cos(α) - i.U.sin(α (6.27a)) 6.2.2 Nguồn và giếng: • Điểm nguồn là một điểm trong trường dòng chảy mà tại đó có một nguồn lưu chất với lưu lượng hằng số đổ ra đều về mọi phía. • Điểm giếng (điểm hút), ngược lại với điểm nguồn, là một điểm trong trường dòng chảy mà tại đó, lưu chất được lấy ra với một lưu lượng hằng số. • Cường độ điểm nguồn (hay giếng) là lưu lượng thể tích của nguồn hay giếng trên một đơn vị chiều dày. Cường độ điểm nguồn có giá trị dương, trong khi đó cường độ điểm hút có giá trị âm. • Vận tốc dòng chảy xuyên qua tâm điểm nguồn hoặc giếng. Thành phần vận tốc pháp tuyến với đường thẳng nối tâm bằng không. • Xác định hàm dòng: Xét một nguồn đặt tại gốc tọa độ O(0, 0). Dùng hệ trục tọa độ cực, ta có: ur = r q .2π ; uθ = 0 (6.28) Áp dụng công thức (6.16a), ta có: dΨ = - uθ.dr + r. ur.dθ Giải ra, ta được: Hình 6.5 Điểm nguồn Đường dòng, Ψ = C Đường đẳng thế, φ = C Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 ψ = π2 q θ + C Chọn ψ = 0 khi θ = 0, suy ra: ψ = π2 q θ (6.29) Trong hệ tọa độ Descartes, ta có: ψ = π2 q arctg( x y ) (6.30) • Xác định hàm thế: Áp dụng công thức (6.4c), ta có: dφ = ur.dr + r.uθ.dθ Giải ra, ta được: ϕ = π2 q (6.31).ln(r) Trong hệ tọa độ Descartes, ta có: ϕ = π4 q .ln(x2 + y2 (6.32)) • Điểm nguồn (giếng) đặt tại điểm M(xo, yo): Ta có thể tìm thấy các công thức sau: ϕ = ± π2 q . 22 )()(ln oo yyxx −+− (6.33) ψ = ± π2 q arctg( o o xx yy − − (6.34)) • Xác định hàm thế phức: Ta có thể tìm thấy, hàm thế phức cho điểm nguồn (giếng) đặt tại M(xo, yo) như sau: W(z) = ± π2 q .ln(z-zo) (6.35) Nhận xét: • Trong các công thức (6.33) đến (6.35), dấu + áp dụng cho điểm nguồn và dấu – áp dụng cho điểm giếng. • Đường dòng là các đường thẳng đi xuyên qua điểm nguồn (giếng) Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 • Đường đẳng thế là các vòng tròn đồng tâm, có tâm tại điểm nguồn (giếng), trực giao với các đường dòng. 6.2.3 Xoáy tự do: • Khái niệm: ƒ Dòng xoáy tự do có tâm xoáy là O là một dòng chảy sao cho lưu số dọc theo một đường cong kín bất kỳ bao xung quanh tâm O một lần không đổi. Γ∀C = ∫ C ldu rr. = const (6.36) Γ > 0: ngược chiều kim đồng hồ ; Γ < 0: thuận chiều kim đồng hồ ƒ Vận tốc dòng chảy theo phương xuyên tâm xoáy sẽ bằng không, và chỉ tồn tại thành phần vận tốc theo phương pháp tuyến với đường thẳng xuyên tâm. ƒ Xét vòng tròn tâm O(0, 0), bán kính r. Trong hệ toạ độ cực, ta có công thức tính vận tốc như sau: uθ = r.2π Γ ; ur = 0 (6.37) • Hàm dòng, hàm thế của dòng xoáy tự do có tâm O: Áp dụng công thức (6.16a) và (6.4c), ta có thể tìm được: ψ = - π2 Γ .ln(r) = - π4 Γ .ln(x2 + y2) (6.38) ϕ = π2 Γ θ = π2 Γ arctg( x y ) (6.39) • Hàm dòng, hàm thế của dòng xoáy tự do có tâm M(xo, yo): Áp dụng công thức chuyển trục toạ độ về M(xo, yo) đối với công thức (6.38) và (6.39), ta được: ψ = - π4 Γ .ln[(x - xo)2+ (y- yo)2] (6.40) ϕ = π2 Γ arctg( o o xx yy − − ) (6.41) • Xác định hàm thế phức: Ta có thể tìm thấy hàm thế phức cho dòng xóay tự do có tâm đặt tại M(xo, yo) như sau: Hình 6.6: Xoáy tự do Đường dòng, Đường thế, φ=C Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 W(z) = i.2π Γ .ln(z -zo) (6.42) Với : zo = xo + i.yo ; với Г thuận theo qui ước dấu như nêu trên, nghĩa là Γ > 0 nếu ngược chiều kim đồng hồ; Γ < 0 nếu thuận chiều kim đồng hồ. Nhận xét: ƒ Đường dòng là các vòng tròn đồng tâm, có tâm là tâm xoáy. ƒ Đường đẳng thế là các đường thẳng xuyên qua tâm xoáy, và trực giao với các đường dòng. 6.2.4 Lưỡng cực: • Khái niệm: Xét một dòng chuyển động tổng hợp, tạo bởi một điểm nguồn và một điểm giếng đặt trên trục ox, đối xứng qua trục oy, cách nhau một đoạn là e, có cường độ là q. Áp dụng nguyên tắc chồng chập, ta có: ψ = ψn + ψh = π2 q θn - π2 q θh = π2 q (θn - θh (6.43)) ϕ = ϕn + ϕh = π2 q ln(rn) - π2 q ln(rh) = π2 q (ln(rn) – ln(rh (6.44))) Trong đó : θn = arctg ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + 2 ex y ; θh = arctg ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − 2 ex y (6.45) rn = 2 2 2 yex +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ; rh = 2 2 2 yex +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − (6.46) • Lưỡng cực: Chuyển động của lưỡng cực là chuyển động được tạo bởi một cặp điểm nguồn và giếng đặt cách nhau một đoạn e, có cường độ q, sao cho e.q → mo khi e → 0. mo được gọi là cường độ hay moment của lưỡng cực. • Hàm dòng, hàm thế của lưỡng cực: ƒ Hàm thế: Áp dụng công thức (6.44), và biến đổi, ta có: Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 ϕ = π2 q (ln(rn)-ln(rh)) = π4 q ln 22 22 ) 2 ( ) 2 ( yex yex +− ++ = π4 q ln ( 22) 2 ( 21 yex ex +− + ) ϕ = lim (e → 0 ; e.q → m0) π4 q ln ( 22) 2 ( 21 yex ex +− + ) Áp dụng công thức Taylor , khi Δx vô cùng bé ⇒ ln(1+Δx) = +Δx - 2 2xΔ + . Bỏ qua số hạng bậc cao ⇒ ϕ = lim (e → 0 ; e.q → mo) π2 q 22) 2 ( yex ex +− = = lim (e → 0 ; e.q → mo) π2 qe 22) 2 ( yex x +− ϕ = π2 om 22 yx x + (6.47) Trong toạ độ cực, ta có: ϕ = r mo π θ 2 cos. (6.47a) ƒ Hàm dòng: Chứng minh tương tự, ta có thể đạt được: ψ = - π2 om 22 yx y + (6.48) Trong toạ độ cực, ta có: ψ = - r mo π θ 2 sin. (6.48a) ƒ Hàm thế phức: Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 Ta có thể tìm thấy: W(z) = π2 om . z 1 (6.49) Nhận xét: • Đường dòng là các vòng tròn đi qua gốc tọa độ O, có tâm nằm trên trục Oy. • Đường đẳng thế là các vòng tròn đi qua gốc O, có tâm nằm trên trục Ox, và trực giao với các đường dòng. 6.3 Chồng nhập nhiều chuyển động thế phẳng cơ bản: Áp dụng nguyên tác chồng chập được nêu ở mục 6.1.3.6, ta có thể chồng chập nhiều chuyển động thế đơn giản thành một chuyển động thế phức hợp. 6.3.1 Dòng chảy đều quanh 1 nguồn: chuyển động quanh ½ cố thể: • Chuyển động bao gồm: một chuyển động đều có phương song song trục ox, chiều từ trái qua phải, với vận tốc là U; một nguồn đặt tại O, có cường độ là q. • Hàm thế: Áp dụng công thức (6.26), (6.32), ta có: φ(x, y) = U.x + π4 q .ln(x2 + y2) (6.50) Trong hệ tọa độ cực, ta có: φ(r, θ) = U.r.cos(θ) + π2 q .ln(r) (6.50a) • Hàm dòng: Áp dụng công thức (6.25), (6.30), ta có: ψ(x, y) = U.y + π2 q arctg( x y ) (6.51) Trong hệ tọa độ cực, ta có: ψ(r, θ) = U.r.sin(θ) + π θ 2 q (6.51a) • Hàm thế phức: Ta có thể tìm thấy hàm thế phức của chuỵển động tổng hợp có dạng sau: x y Hình 6.7: Lưỡng cực Đườ g dòng,n Ψ C= Đường đẳng thế, φ = C Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 W(z) = U.z + π2 q .ln(z) (6.52) Nhận xét: ƒ Điểm dừng: Áp dụng công thức (6.16), ta có: ur = r 1 θ∂ Ψ∂ ; uθ = - r∂ Ψ∂ , suy ra: ur = U.cos(θ) + r q π2 (6.53) uθ = -U.sin(θ) (6.54) Điểm dừng xuất hiện ở nơi có vận tốc bằng 0. Do đó: uθ = 0 và ur = 0 Î sin(θ) = 0 ⇔ θ =0 hoặc θ = π và U.cos(θ) + r q π2 = 0 Nếu θ = 0 Î r < 0 Î không phù hợp vì r ≥ 0, do đó θ = π Nếu θ = π Î r = U q π2 ; vậy toạ độ điểm dừng là ( U q π2 , π) , nghĩa là điểm dừng nằm trên trục ox, bên trái điểm gốc tọa độ O, cách O một đoạn U q π2 , khoảng cách này tỉ lệ thuận với cường độ điểm nguồn (q) và tỷ lệ nghịch với vận tốc dòng đều (U). ƒ Đường dòng đi qua điểm dừng: Đường dòng đi qua điểm dừng có thể được tìm thấy bằng cách thế tọa độ điểm dừng vào phương trình (6.51a), ta được: ψ = 2 q vậy phương trình của đường dòng qua điểm dừng là: U.r.sin(θ) + π θ 2 q = 2 q (6.55) Hình 6.8 Dòng chảy quanh nửa cố thể. Nguồn y x q/2πU Điểm dừng Ψ = q/2 Ψ = q/2 U Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 ƒ Hình 6.8 chỉ ra đường dòng đi qua điểm dừng, nó chạy từ bên trái đi qua điểm dừng, rẻ nhánh và tiến vô hạn về bên phải, chia trường dòng chảy ra làm hai khu vực không trao đổi lưu chất lẫn nhau, và thành lập nên đường biên của một nửa cố thể. 6.3.2 Chuyển động quanh cố thể dạng Rankine • Chuyển động tổng hợp bao gồm: 9 Chuyển động đều song song trục ox, chiều từ trái sang phải với vận tốc là U 9 Điểm nguồn đặt tại (-a,0), với cường độ là +q. 9 Điểm giếng đặt tại (a, 0), với cường độ là -q. • Hàm thế: Áp dụng công thức (6.26), (6.33), ta được: ϕ = U.x + π4 q .ln((x+a)2 + y2) - π4 q .ln((x-a)2 + y2 (6.56)) Hay: ϕ = U.x + π4 q ln ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− ++ 22 22 )( )( yax yax (6.56a) • Hàm dòng: Áp dụng công thức (6.25), (6.34), ta được: ψ = U.y + π2 q arctg ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ax y - π2 q arctg ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ax y (6.57) Hay ψ = U.y - π2 q arctg ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ 222 2 ayx ay (6.57a) • Hàm thế phức: Ta có thể tìm thấy, hàm thế phức như sau: W(z) = U.z + π2 q .ln(z+a) - π2 q (6.58).ln(z-a) Hay W(z) = U.z + π2 q .ln ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − + az az (6.58a) • Nhận xét: ƒ Đường dòng khi Ψ = 0: Cho Ψ = 0 vào phương trình (6.57a), ta được: 9 Đường y = 0. U a a A B C D x ynguoàn gieáng Hình 6.9 Chuyển động quanh cố thể Rankine Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 9 Đường cong (C) có phương trình như sau: U.y - π2 q arctg ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ 222 2 ayx ay = 0 (6.59) Hay ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ q yUπ2tan = 222 2 ayx ay −+ (6.59a) Đây là một đường cong khép kín, cắt trục ox tại A và B; cắt trục oy tại C và D. ƒ Điểm dừng và vận tốc tại các điểm đặc biệt: Áp dụng công thức (6.3c) và công thức (6.56), ta có thể tính được vận tốc như sau: ux = x∂ ∂ϕ = U - ( ) ][ [ ]2222 222 )( . yaxyax ayxqa +−++ −− π (6.60) uy = y∂ ∂ϕ = - ( )[ ][ ]2222 )(1.2 yaxyaxqaxy +−++π (6.60a) Điểm dừng là điểm ở đó hai thành phần vận tốc ux và uy bằng 0. Từ phương trình (6.60a) với uy = 0, ta suy ra được y = 0. Như vậy điểm dừng có thể xảy ra trên trục ox. Cho y = 0 và ux = 0 vào phương trình (6.60) và giải ra ta được: U = )( 22 ax qa−π giải ra, ta tìm được hoành độ của điểm dừng: x = U qaa π+± 2 (6.61) Vậy, ta có hai điểm dừng là A và B nằm trên trục ox, đối xứng nhau qua gốc tọa độ O và có hoành độ cho bởi phương trình (6.61). Phương trình (6.60a) cho chúng ta vận tốc theo phương y (uy ) bằng 0 dọc trên trục oy. Do đó: uCy = uDy = 0 ƒ Cố thể Rankine: Đường cong kín (C) phân chia trường dòng chảy ra làm hai phần riêng biệt: phần bên trong và phần bên ngoài. Hai phần này không có sự trao đổi lưu chất qua lại đường cong (C). Dòng chảy giống như là chuyển động quanh một cố thể rắn được bao bởi đường (C). Cố thể này được gọi là cố thể Rankine. 6.3.3 Chuyển động đều quanh hình trụ: 6.3.3.1 Hình trụ đứng yên: Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 • Khái niệm: Dòng chảy đều quanh hình trụ tròn là dòng chảy quanh cố thể Rankine khi ta cho a tiến tới 0. Khi đó cố thể Rankine thành hình trụ tròn. Dòng chảy này cũng có thể xem như là một chuyển động tổng hợp của một dòng đều và một lưỡng cực. • Hàm thế: Áp dụng phương trình (6.26a) và phương trình (6.47a), ta được: ϕ = U.r.cos(θ) + π2 om . r 1 .cos(θ) (6.62) Đặt thừa số chung, ta được, ϕ = U.r.cos(θ)(1+ U mo π2 . 2 1 r ) (6.62a) Đặt: R2 = U mo π2 (6.63) Ta được: ϕ = U.r.cos(θ)(1+ 2 2 r R ) (6.62b) • Hàm dòng: Áp dụng phương trình (6.25a) và phương trình (6.48a), ta được: ψ = U.r.sin(θ) - π2 om . r 1 .sin(θ) (6.64) Đặt thừa số chung, ta được, ψ = U.r.sin(θ)(1- U mo π2 . 2 1 r ) (6.64a) Đưa giá trị R vào, ta được: ψ = U.r.sin(θ)(1- 2 2 r R (6.64b)) • Hàm thế phức: Ta có thể tìm thấy, hàm thế phức như sau: W(z) = U.(z + z R 2 ) (6.65) Hình 6.10 Dòng chảy quanh trụ tròn không quay U y x Gieáng Nguoàn A B C D Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 • Nhận xét: ƒ Đường dòng khi Ψ=0: Sử dụng phương trình (6.64b), cho Ψ=0 9 Sin(θ) = 0, suy ra θ=0 hoặc θ=π, đó là các điểm nằm trên trục Ox. 9 r = R, đường dòng là (C), là vòng tròn tâm O bán kính bằng R. Đường cong kín (C) này chia trường chuyển động ra làm 2 vùng: bên trong và bên ngoài (C). Hai vùng này không có trao đổi lưu chất xuyên qua đường cong (C). Dòng chảy đều như bao quanh một cố thể hình trụ tròn có bán kính R. ƒ Sự phân bố vận tốc trên (C): Dùng công thức (6.4b): ur = r∂ ∂ϕ ; uθ = r 1 θ ϕ ∂ ∂ áp dụng đối với phương trình (6.62b), ta được: ur = U.cos(θ)(1- 2 2 r R ); (6.66a) r = R, suy ra ur = 0. uvà θ = -U.sin(θ)(1+ 2 2 r R (6.66b)) r = R, do đó: uθ = -2U.sin(θ (6.66c)) uθ = 0, suy ra θ=0 và θ=π, vì vậy: + Hai điểm A và B là hai điểm dừng + Hai điểm C và D có vận tốc cực đại là uC = uD = 2U. ƒ Sự phân bố áp suất trên (C): Áp dụng phương trình Bernoulli cho một điểm trên mặt trụ ( trên (C) ) và một điểm ở xa vô cùng, ta có: p*∞ + ρ. 2 2U = p* + ρ. 2 2u = p* + 2ρ. 2U sin2(θ (6.67)) Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – January 2014 Δp* = p* - p*∞ = ρ. 2 2U (1 – 4. sin2(θ)) (6.68) Với : p* = p + γz 6.3.3.2 Hình trụ quay: • Khái niệm: Chuyển động đều quanh trụ tròn quay có thể được quan niệm bằng hai cách: - Chuyển động tổng hợp gồm: chuyển động đều + lưỡng cực + xoáy tự do. - Chuyển động tổng hợp gồm: chuyển động đều quanh hình trụ đứng yên + xoáy tự do. Ở đây, ta giả thiết xoáy tự do thuận chiều kim đồng hồ, nên theo quy ước, lưu số có giá trị là - Г. ( với Г > 0 ) • Hàm thế: Áp dụng công thức (6.26a), (6.47a) và (6.39), ta có: ϕ = U.r.cos(θ) + π2 om r 1 cos(θ) - π2 Γ θ (6.69) Hay áp dụng công thức (6.62b) và (6.39), ta được: ϕ = U.r.cos(θ)(1+ 2 2 r R ) - π2 Γ θ (6.69a) Với R2 = U mo π2 • Hàm dòng: Áp dụng công thức (6.25a), (6.48a) và (6.38), ta có: ψ = U.r.sin(θ) - π2 om r 1 sin(θ) + π2 Γ ln(r) (6.70) Hay áp dụng công thức (6.64b) và (6.38), ta được: ψ = U.r.sin(θ)(1- 2 2 r R ) + π2 Γ ln(r) (6.70a) • Vận tốc trên mặt trụ: Áp dụng công thức (6.4b): Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyri