Bài giảng Cơ học lưu chất - Chương 3: Động lực học lưu chất - Lê Văn Dực

những thông số của dòng chảy được quan tâm xem xét là vận tốc, gia tốc và sự biến thiên của chúng theo thời gian. Bên cạnh đó, phương trình liên tục của lưu chất cũng được trình bày ở nhiều dạng khác nhau. ) Trong phần động lực học, cơ sở lý thuyết sự chuyển động của phần tử lưu chất có xét đến nguyên nhân gây ra chuyển động (lực) và việc xây dựng các phương trình vi phân chuyển động được trình bày. Các nguyên lý biến thiên động lượng và bảo toàn năng lượng được áp dụng để xây dựng các phương trình cơ bản động lực học như Euler, Navier-Stoke, phương trình năng lượng và động lượng được đề cập. Sau đó việc áp dụng các phương trình này cho đoạn dòng chảy lưu chất trọng lực, không nén được, chuyển động ổn định được trình bày. 3.1 Hai phương pháp mô tả chuyển đông của lưu chất : 3.1.1 Phương pháp Lagrange : + Xét một hệ thống trục tọa độ cố định OXYZ (hình H.3.0a). + Chuyển động của lưu chất được mô tả bằng vị trí của các phần tử lưu chất theo thời gian. t = 0 ⇒ orr (xo , yo, zo) ∀ t ⇒ rr (x, y, z) → rr = fr ( orr , t) (3.1) hay x = x(xo , yo, zo, t) y = y(xo , yo, zo, t) z = z(xo , yo, zo, t) z H.3.0a Mo(xo,yo,zo) M(x,y,z) y x O or r rr Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 → xo , yo, zo và t được gọi là những biến số Lagrange. + Nếu như biết rr , ta có thể tính được vận tốc ur (ux, uy, uz) và gia tốc ar (ax, ay, az) của phần tử lưu chất tại thời điểm nào đó như sau : dt rdu rr = & 2 2 dt rda rr = dt dxux = , dt dyu y = , dt dzu z = (3.2.a) 2 2 dt xdax = , 2 2 dt yday = , 2 2 dt zdaz = (3.2.b) + Đường nối vị trí của phần tử lưu chất theo thời gian được gọi là quỹ đạo của chuyển động của phần tử lưu chất đó. Phương trình (3.2a) chính là phương trình quỹ đạo của phần tử lưu chất. + Nhận xét : - Phương pháp này được dùng rộng rãi trong cơ học chất rắn, rất thuận tiện nếu như số lượng phần tử ít. - Trong cơ học lưu chất phương pháp này khó thực hiện vì số lượng phần tử rất lớn. - Ngòai ra, trong lưu chất, tồn tại hiện tượng khuếch tán phân tử → các phân tử lưu chất chỉ giữ được đặc tính riêng trong một khoảng thời gian rất ngắn → việc xác định quỹ đạo rất khó khăn. - Trong thực tế việc nghiên cứu từng phần tử riêng lẽ là không cần thiết vì việc giải các bài toán này rất phức tạp nên phương pháp này ít được dùng. - Phương pháp Lagrange chủ yếu được áp dụng trong một số trường hợp như để nghiên cứu hiện tượng sóng biển, quan sát vết sau vật. 3.1.2 Phương pháp Euler : + Trong phương pháp này, các thông số động học của các phần tử chất lỏng cùng đi qua một điểm nào đó trong miền chuyển động được quan tâm. Ví dụ trạm đo vận tốc đặt cố định trên sông. + Trong một hệ tọa độ xác định, chuyển động của lưu chất được mô tả bằng vận tốc của các phần tử lưu chất tại mỗi vị trí theo thời gian. + Tại một điểm M(x,y,z) cố định trong không gian, ở thời điểm t có một phần tử lưu chất qua M có vận tốc ur (M(x,y,z), t). Ở thời điểm t + dt có một phần tử khác đi qua M có vận tốc ur (M(x,y,z), Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 t+dt). Như vậy trong toàn môi trường lưu chất (∀ M ∈ miền chuyển động), ta xác định được trường các vectơ vận tốc ur = ur (M, t), hay ur = ur (x,y,z,t), với các thành phần : ux =ux(x,y,z,t) uy =uy(x,y,z,t) (3.3) uz =uz(x,y,z,t) x, y, z và t được gọi là các biến Euler. + Nhận xét : - Phương pháp Euler đặc biệt có ưu thế trong việc tìm lời giải của các bài toán lien quan đến chuyển động của lưu chất nhờ vào lý thuyết trường → có thể xác định các đặc trưng chuyển động tại những vị trí cần thiết (ví dụ : dòng chảy bao quanh vật, xác định vận tốc, áp suất tại các điểm trên bề mặt vật rắn). - Ngòai ra, vì số lượng các phương trình vi phân hữu hạn và có thể được biến thành các phương trình sai phân tuyến tính, nên có thể tìm được lời giải bằng phương pháp gần đúng, chẳng hạn phương pháp sai phân và được giải số thông qua chương trình máy tính. 3.2 Một số khái niệm thường dùng : 1. Đường dòng (lưu tuyến) : + Đường dòng tại một thời điểm t, là đường vạch ra trong lưu chất sao cho các vectơ vận tốc của các phần tử lưu chất trên đường đó đều tiếp xúc với nó. + Đường dòng được xác định từ vectơ vận tốc của các phần tử lưu chất khác nhau tại một thời điểm xác định (≠ quĩ đạo là vết của một phần tử lưu chất theo thời gian). + Theo định nghĩa, tiếp tuyến của đường dòng tại mỗi điểm trùng với vectơ vận tốc tại điểm đó → ur // d rr hay ur x d rr = 0 r Ở đây : ur = ux i r + uy j r + uz k r Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 rd r = dx. i r + dy. j r + dz. k r → Phương trình vi phân của đường dòng : )4.3( zyx u dz u dy u dx == + Nhận xét : - Hai đường dòng trong cùng một thời điểm không thể cắt nhau hoặc tiếp xúc nhau. Điều này có thể được chứng minh bằng phương pháp phản chứng: ở một điểm, ở một thời điểm chỉ có một véctơ vận tốc ur duy nhất (hình H.3.0b) , hoặc nếu chúng tiếp xúc nhau thì sẽ không bảo đảm được phương trình bảo tòan khối lượng (hình H3.0.c); hoặc có thể được cứung minh như trong chương thế lưu, đối với bài toán phẳng (chuyển động 2 chiều), trên mỗi đường dòng, hàm dòng ψ = const và lưu lượng Q chảy giữa hai đường dòng bằng (ψ1 - ψ2) → ở một điểm không thể có hai giá trị ψ khác nhau. Tuy nhiên, ngọai trừ trường hợp tại các điểm kỳ dị trong trường chuyển động. Ví dụ điểm dừng trong chuyển động đều quanh hình trụ tròn đứng yên (H.3.0d). (C1) (C2) M 1u r 2u r (C1) (C2) M H.3.0b H.3.0c H.3.0d Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 - Trong chuyển động ổn định, đường dòng trùng với quỹ đạo và hình dạng các đường dòng không thay đổi theo thời gian. 2. Dòng nguyên tố (sợi lưu tuyến) và dòng chảy: + Dòng nguyên tố là tập hợp tất cả các đường dòng đi qua các điểm trên dA (vi phân diện tích trong không gian chứa lưu chất chuyển động). + Dòng chảy là tập hợp tất cả các dòng nguyên tố đi qua diện tích A hữu hạn. + Ống dòng là bề mặt bao quanh dòng chảy ⇔ tập hợp tất cả đường dòng đi qua các điểm trên chu vi bề mặt của A. Vì vận tốc của các phần tử lưu chất trên ống dòng luôn theo phương tiếp tuyến nên lưu chất không thể đi xuyên qua ống dòng. 3. Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực : H.3.1a H.3.1b H.3.1d m = cotang(α) ; A=(b+m.h).h P = 21.2 mhb ++ ; R = A/P H.3.1c Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 + Mặt cắt ướt A là mặt cắt thẳng góc với tất cả các đường dòng qua nó. Mặt cắt ướt có thể là mặt phẳng (khi tất cả các đường dòng song song và thẳng), hoặc là mặt cong (H.3.1c & d). + Chu vi ướt χ (hoặc P) là phần chu vi của mặt cắt ướt tiếp xúc với thành rắn (H.3.1c & d). + Bán kính thủy lực (ướt) χ AR = 4. Lưu lượng: Lưu lượng là lượng lưu chất đi qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian: - Lưu lượng thể tích : Q = ∫∫ A dAu. (3.5a) Với A là diện tích ướt, và dA là vi phân diện tích trên A và u là vận tốc (pháp tuyến với dA) tại một điểm trên dA. Thứ nguyên của [Q] = L3/T, đơn vị là m3/s, l/s. - Lưu lượng khối lượng : QM = ∫∫ A dAu..ρ (3.5b) Thứ nguyên của [Q M] = M/T, đơn vị là kg/s, g/s. 5. Vận tốc trung bình mặt cắt ướt : H.3.1e H.3.1f Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 + Vận tốc trung bình V đối với mặt cắt ướt A: A QV = = ∫∫ A dAu A .1 (3.5c) + Vận tốc trung bình V là giá trị tưởng tượng, khác với vận tốc thực u tại mỗi điểm. + Trong thực tế, dễ xác định vận tốc trung bình V bằng cách đo lưu lượng Q và diện tích ướt A. 3.3 Phân loại chuyển đông : 3.3.1 Phân loại theo ma sát nhớt : + Chuyển động lưu chất lý tưởng: Trong thực tế mọi lưu chất đều có tính nhớt. Tuy nhiên, khi xét chuyển động của lưu chất mà tính nhớt hay lực ma sát nhớt cản trở chuyển động của các phần tử lưu chất không đáng kể, người ta có thể bỏ qua lực ma sát nhớt (để làm đơn giản bài toán) và khi đó lưu chất được xem là lý tưởng. Ví dụ: chuyển động lưu chất qua biên rắn ⇒ lớp lưu chất sát biên: lưu chất thực; lớp lưu chất xa biên: lưu chất lý tưởng (bỏ qua ma sát). + Chuyển động của lưu chất thực: - Có hai loại : chuyển động tầng và chuyển động rối. - Osborne Reynolds (1883) là người đầu tiên đã làm thí nghiệm để chứng minh sự tồn tại của hai loại chuyển động này. - Mô tả thiết bị thí nghiệm : Thiết bị thí nghiệm gồm một bình lớn đựng nước, một bình nhỏ đựng nước màu (có khối lượng riêng bằng khối lượng riêng của nước). Nước chảy ra ngoài nhờ ống thủy tinh có van điều chỉnh ở cuối ống. Dòng nước màu cũng cho chảy vào trong ống (xem hình H.3.2). - Mô tả hiện tượng : H.3.2b Các trạng thái chảy muc mau muc maudong nuoc H. 3.2a Thiết bị thí nghiệm Reynolds Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 9 Khi vận tốc nước trong ống nhỏ, dòng màu chảy thành sợi chỉ thẳng tắp ⇒ lưu tốc song song thành lớp → Trạng thái chuyển động tầng. 9 Khi vận tốc nước tăng lên (mở van), dòng màu bắt đầu gợn sóng và sau đó hòa lẫn vào trong nước ⇒ các phần tử chuyển động hỗn độn, trộn lẫn nhau, vận tốc dao động liên tục theo mọi phương và thay đổi trị số ⇒ áp suất dao động → Trạng thái chuyển động rối. 9 Khi chuyển động của phần tử lưu chất bị nhiễu ⇒ lực quán tính có khuynh hướng làm đổi hướng vận tốc, lực ma sát nhớt do các phần tử bao quanh có xu hướng giữ nó ở trạng thái cũ ⇒ h Trong chuyển động tầng: lực quán tính nhỏ, lực ma sát nhớt quan trọng đủ để giữ các phần tử lưu chất theo một trật tự nhất định. h Trong chuyển động rối: lực quán tính lớn, lực ma sát không còn đủ sức khống chế các nhiễu. - Tiêu chuẩn phân loại trạng thái chảy : Tiêu chuẩn để phân biệt trạng thái chảy là số Reynolds (Re), số không thứ nguyên, là tỷ số giữa lực lực quán tính và lực nhớt: μ ρ μ ρ V V V. 22 lconst l lconst = → νμ ρ lVVlRe .== Với : ρ : khối lượng riêng của lưu chất (kg/m3), l : chiều dài đặc trưng của dòng chảy (m), V : vận tốc đặc trưng của dòng chảy (m/s), μ : hệ số nhớt động lực học của lưu chất (Pa.s), ρ μν = là hệ số nhớt động học của lưu chất (m2/s). # Khi Re < Re tới hạn (Re th) ⇒ chuyển động tầng (hình H.3.2b) # Khi Re > Re tới hạn (Re th) ⇒ chuyển động rối (hình H.3.2b) - Dòng chảy trong ống tròn: Đối với dòng chảy trong ống tròn, người ta lấy chiều dài đặc trưng l = D. Và số Reynold tới hạn như sau: Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 μ ρ DV th ..Re = = ν DV . = 2300 (3.6) 3.3.2 Phân loại theo thời gian : + Chuyển động ổn định : Chuyển động ổn định (thường trực, dừng) khi các tính chất của chuyển động không thay đổi theo thời gian ⇒ đạo hàm riêng phần theo thời gian của các đại lượng mô tả chuyển động bằng 0 → ( 0* =∂ ∂ t ) → u = u(x, y, z) & a = a(x, y, z) ⇔ t u ∂ ∂ = 0 & t a ∂ ∂ = 0 + Chuyển động không ổn định : Chuyển động không ổn định (không thường trực, không dừng) khi các tính chất của chuyển động thay đổi theo thời gian → u = u(x, y, z, t) & a = a(x, y, z, t) + Chuyển động rối : - Chuyển động rối thực chất là chuyển động không ổn định và rất phức tạp. - Thường người ta thay thế chuyển động rối thực bởi dòng chảy rối trung bình thời gian. Vận tốc chuyển động của dòng chảy rối thực được xem là tổng của 2 thành phần : vận tốc trung bình thời gian ⎯u và thành phần vận tốc mạch động u’ : xxx uuu '+= Với, xu : vận tốc trung bình theo thời gian theo phương x. u’x : vận tốc mạch động theo phương x ∫+= Tt t xx dtuT u .1 # Nếu ⎯u không phụ thuộc thời gian ⇒ chuyển động rối ổn định (H.3.3b). # Nếu ⎯u phụ thuộc thời gian ⇒ chuyển động rối không ổn định (H.3.3b). Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 3.3.3 Phân loại theo không gian : + Chuyển động 3 chiều : - Mọi chuyển động trong thực tế đều xảy ra trong không gian 3 chiều ⇒ vận tốc, áp suất và các yếu tố khác của dòng chảy thay đổi theo các phương khác nhau. - Trong một số trường hợp đặc biệt, ta có thể đơn giản hóa chuyển động dòng chảy thành dòng chảy 2 hoặc 1 chiều, nếu như sự sai số do đơn giản là không đáng kể. + Chuyển động 2 chiều : Khi các thông số chuyển động thay đổi theo 2 phương vuông góc nằm trong một mặt phẳng và xem như không thay đổi trong các mặt phẳng song song với nó. Ví dụ dòng chảy qua bờ tràn có mặt cắt ngang không đổi, bề rộng dài vô tận. + Chuyển động 1 chiều : - Khi các thông số của chuyển động như vận tốc, áp suất, độ cao mô tả chuyển động tại một thời điểm nhất định chỉ thay đổi theo 1 phương và có giá trị như nhau tại mọi điểm trên cùng một mặt cắt ướt. - Chiều chuyển động được chọn thường dựa theo chiều của đường dòng trung tâm có giá trị vận tốc, áp suất và độ cao là giá trị trung bình trên mặt cắt ướt thẳng góc với đường dòng tại điểm ấy. Hình 3.4 Chuyển động 2 chiều qua đập tràn H.3.3b u'x ux ux T t t+T t Hình 3.3a Vận tốc tức thời ux Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 - Ví dụ : chuyển động của lưu chất trong ống tròn khi dùng các yếu tố trung bình để diễn tả. Thực ra vận tốc bằng không ở sát thành rắn và cực đại ở tâm ống. Do đó, khi dùng vận tốc trung bình để diễn tả dòng chảy, người ta đưa thêm các hệ số điều chỉnh khi cần thiết (tăng độ chính xác) trong các phương trình năng lượng và động lượng. + Dòng đều : - Dòng chảy 1 chiều, có sự phân bố vận tốc trên mặt cắt ướt dọc dòng chảy không thay đổi. - Điều kiện để có dòng đều : # Điều kiện về đường dẫn (tiết diện, độ nhám, độ dốc ): không đổi dọc dòng chảy. # Điều kiện về lưu lượng: không đổi dọc dòng chảy. 3.3.4 Phân loại theo tính nén được : + Chuyển động của lưu chất không nén được : Khi lưu chất chuyển động nếu khối lượng riêng của lưu chất phụ thuộc rất ít vào áp suất và nhiệt độ. Ví dụ chất lỏng hoặc chất khí với vận tốc nhỏ có số Mach M < 0,3. + Chuyển động của lưu chất nén được : Khi lưu chất chuyển động nếu khối lượng riêng của lưu chất phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ. Ví dụ chất khí với vận tốc lớn, có số Mach M > 0,3. + Tiêu chuẩn phân loại chuyển động : Số Mach (M= u/a) là tỷ số giữa vận tốc chuyển động của lưu chất (u) và vận tốc truyền âm trong lưu chất (a) được dùng để phân loại chuyển động của chất khí. # M < 0,3 ⇒ ρ thay đổi không đáng kể → Lưu chất không nén được. # M > 0,3 ⇒ ρ thay đổi đáng kể ⇒ ảnh hưởng của tính nén được phải được xét đến → Lưu chất nén được. Hình 3.5 Biểu đồ phân bố vận tốc trong ống tròn Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 • Nếu M < 1 : chuyển động dưới âm thanh (subsonic) • Nếu M=1 : chuyển động ngang âm thanh (sonic) • Nếu M > 1 : chuyển động trên âm thanh (supersonic) • Nếu M >> 1 : chuyển động siêu thanh (hypersonic) 3.4 Gia tốc của phần tử lưu chất : + Theo phương pháp Euler : Vận tốc tại một điểm của phần tử lưu chất là một hàm số theo tọa độ điểm và thời gian : ur = ur (x,y,z,t). Tại thời điểm t, tại điểm M(x,y,z), lưu chất có vận tốc ur . Ở thời điểm t + Δt; phần tử lưu chất ở vị trí M1(x+Δx, y+Δy, z+Δz) và có vận tốc là: 1u r = ur ( x+Δx, y+Δy, z+Δz, t+Δt). Xét theo phương x : u1x = ux(x+Δx, y+Δy, z+Δz, t+Δt) Giả sử hàm ux là hàm liên tục theo 4 biến số x, y, z, t. Khai triển chuỗi Taylor bậc 1, ta có : u1x = ux + x ux ∂ ∂ Δx+ y u x ∂ ∂ Δy+ z u x ∂ ∂ Δz+ t u x ∂ ∂ Δt Khi đó gia tốc của phần tử lưu chất được xác định như sau : t uu dt dua xxtxx Δ −== →Δ 10lim x x1 y y1 yΔ xΔ M ur 1u r Hình 3.6 Sơ đồ tính gia tốc – phương pháp Euler Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 = 0lim →Δt ( x ux ∂ ∂ . t x Δ Δ + y u x ∂ ∂ . t y Δ Δ + z u x ∂ ∂ . t z Δ Δ + t u x ∂ ∂ ) ax = x ux ∂ ∂ dt dx + y u x ∂ ∂ . dt dy + z u x ∂ ∂ . dt dz + t u x ∂ ∂ ax = dt dux = x ux ∂ ∂ ux+ y u x ∂ ∂ .uy+ z u x ∂ ∂ .uz+ t u x ∂ ∂ (3.7a) Tương tự : ay = dt du y = x u y ∂ ∂ .ux + y u y ∂ ∂ .uy + z u y ∂ ∂ .uz + t u y ∂ ∂ (3.7b) az = dt duz = x uz ∂ ∂ ux + y uz ∂ ∂ uy + z uz ∂ ∂ uz + t uz ∂ ∂ (3.7c) gia tốc đối lưu gia tốc cục bộ Theo (3.7), ta thấy gia tốc của phần tử lưu chất gồm 2 thành phần : - Thành phần gia tốc đối lưu : x uz ∂ ∂ ux + y uz ∂ ∂ uy + z uz ∂ ∂ uz biểu thị suất biến thiên của vận tốc của các phần tử lưu chất do sự khác biệt vị trí trong trường chuyển động. - Thành phần gia tốc cục bộ : t uz ∂ ∂ biểu thị suất biến thiên cục bộ của vận tốc do chuyển động không ổn định. Gia tốc cục bộ bằng 0 khi chuyển động ổn định. Phương trình (3.7) có thể viết dưới dạng vectơ như sau : ar = dt ud r = t u ∂ ∂r +ur .( udarg rr . ) (3.8) Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 Với toán tử : darg r =∇r = x∂ ∂ ir + y∂ ∂ jr + z∂ ∂ kr + Theo phương pháp Lagrange : Vectơ vận tốc là hàm số của tọa độ ban đầu ur = ur (xo , yo, zo, t). Tọa độ ban đầu là các hằng số nên đạo hàm toàn phần hay gia tốc của phần tử lưu chất cũng chính là đạo hàm riêng phần theo thời gian, không có thành phần gia tốc đối lưu. ar = dt ud r = t u ∂ ∂r (3.9) 3.5 Phương pháp thể tích kiểm soát – Lý thuyết vận tải Reynolds: 9 Thể tích kiểm soát (control volume): là một thể tích cố định, W đối với một hệ trục tọa độ OXYZ trong trường lưu chất chuyển động, nằm trong mặt cong kín S, được gọi là mặt kiểm sóat (control surface), qua đó sự biến thiên của thông số (X, extensive parameter) dòng chảy theo thời gian được nghiên cứu. 9 Trong dòng chảy xét thể tích kiểm sóat W được bao bọc bởi mặt kiểm sóat S (hình H.3.7). Trong đó đại lượng X là hệ thống được nghiên cứu (khối lượng, năng lượng hoặc động lượng). Và, gọi k là giá trị của đại lượng X chứa trong một đơn vị khối lượng (k, intensive parameter). H.3.7 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 Ta có công thức để tính X như sau: ∫∫∫= W dwkX ..ρ (3.10a) - Tại thời điểm t1 ⇒ thể tích W1 → chứa X1. - Tại thời điểm t2 = t1 + Δt ⇒ thể tích W1 di chuyển đến thể tích W2 → chứa X2. - Gọi A là thể tích mà: A ⊂ W1 và A ⊄ W2 - Gọi B là thể tích mà: B = W1 ∩ W2 - Gọi C là thể tích mà: C ⊂ W2 và C ⊄ W1 ) Như vậy có nghĩa rằng, sau thời gian Δt: - Một số phần tử lưu chất di chuyển ra khỏi thể tích kiểm soát và chiếm thể tích là C. - Một số phần tử lưu chất bên ngoài vào và lắp đầy thể tích A ) Như vậy ở thời điểm t1 đại lượng X của toàn hệ thống nằm trong thể tích kiểm soát là: Xt1 =XAt1 + XBt1 (a) Và ở thời điểm t2 ⇒ Xt2 =XBt2 + XCt2 (b) Sự thay đổi đại lượng X của hệ thống trong khoảng thời gian Δt là : ΔX = (XBt2 + XCt2)-( XAt1 + XBt1) (c) Thêm vào và trừ XAt2 , ta được: ΔX = (XBt2 + XAt2)-( XAt1 + XBt1)+ XCt2 - XAt2 = X(A+B)t2 - X(A+B)t1 + XCt2 - XAt2 Sự biến thiên của X theo thời gian là : t XX t XX t X AtCttBAtBA Δ −+Δ −=Δ Δ ++ 2212 )()( Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 )(limlimlim 2212 0 )()( 00 d t XX t XX t X dt dX AtCt t tBAtBA tt Δ −+Δ −=Δ Δ= →Δ ++ →Δ→Δ (2)(1) (1) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ t X thể tích kiểm soát = ∫∫∫∂∂ w dwkt ..ρ (e) Với: XCt2 là giá trị của đại lượng X của các phần tử lưu chất ra khỏi thể tích kiểm soát thông qua diện tích S2. XAt2 là giá trị của đại lượng X của các phần tử lưu chất đi vào thể tích kiểm soát thông qua diện tích S1 ́. - Xét diện tích dA ⊂ S2 có vectơ chỉ phương là nr , lưu tốc qua dA là ur . Thể tích qua dA trong đơn vị thời gian là : dQ = un.dA = dAnu .. rr → dQM = ρ.un.dA = ρ. dAnu ..rr Do đó, giá trị đại lượng X của phần tử lưu chất đi qua dA là : k.ρ. dAnu ..rr → XCt2 = Δt. ∫∫ 2 .... S dAnuk rrρ (f) Và tương tự: XAt2 = -Δt. ∫∫ 1 .... S dAnuk rrρ (g) (XAt2 mang dấu trừ vì lưu chất đi vào mặt S1, n r hướng ra ⇒ nu rr. luôn luôn âm) H.3.8 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 Từ đó ta suy ra: (2) = t dAnuktdAnukt t XX SS t AtCt t Δ Δ+Δ =Δ − ∫∫∫∫ →Δ→Δ 1222 .......... limlim 00 rrrr ρρ = ∫∫ +21 ....S dAnuk rrρ = ∫∫S dAnuk .... rrρ Do đó, phương trình (d) trở thành : dt dX hệ thống = CVt X ∂ ∂ + ∫∫S dAnuk .... rrρ (3.10b) Với: CV : thể tích kiểm soát S : diện tích kiểm sóat. Hay : ∫∫∫dtd hệ thống (k.ρ.dw) = CVtX∂∂ + ∫∫S dAnuk .... rrρ (3.10c) 3.6 Phương trình liên tục: + Theo định luật bảo toàn khối lượng: khối lượng của hệ thống không thay đổi theo thời gian dt dm = 0 Ta xét X = m = ∫∫∫ w k.ρ.dw = ∫∫∫ w ρ.dw ⇒ k=1 → HTdt dm = CVt m ∂ ∂ + ∫∫S dAnu ... rrρ → ∫∫∫ w t∂ ∂ρ .dw + ∫∫S dAnu ... rrρ = 0 (3.11) Đây là dạng tích phân của phương trình liên tục khối lượng. + Dùng phép biến đổi GAUSS để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân thể tích: ∫∫S dAnu ... rrρ = ∫∫∫ w dwudiv )..( rρ Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 → ∫∫∫ w t∂ ∂ρ .dw + ∫∫∫ w dwudiv )..( rρ = 0 ∫∫∫ w [ t∂ ∂ρ + div(ρ.ur )].dw = 0 Tích phân này áp dụng cho một thể tích W bất kỳ ⇒ nên ta có thể chuyển sang dạng vi phân của phương trình liên tục. 3.6.1 Phương trình liên tục dạng vi phân, lưu chất nén được chuyển động không ổn định: [ t∂ ∂ρ + div(ρ.ur )] = 0 (3.12a) Nếu là chuyển động ổn định ta có: div(ρ.ur (3.12b)) = 0 3.6.2 Phương trình liên tục dạng vi phân, lưu chất không nén được, chuyển động ổn định: Vì ρ=const, nên từ (3.12b), ta suy ra phương trình liên tục có dạng : div(ur (3.13)) = 0 - Trong hệ thống tọa độ Descartes (3.13) có dạng : x ux ∂ ∂ + y u y ∂ ∂ + z uz ∂ ∂ = 0 (3.14) - Trong hệ thống tọa độ trụ (3.13) có dạng : z uu r ur rr z r ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ θ θ1).(1 = 0 (3.15) 3.6.3 Phương trình liên tục, lưu chất không nén được, chuyển động ổn định, 1 chiều: Vì chuyển động ổn định, nên từ (3.11), ta suy ra: ∫∫S ρ. dAnu ..rr =0 (3.11a) H.3.9 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 Xét thể tích kiểm soát là một đoạn dòng chảy giới hạn bởi hai mặt cắt ướt A1 và A2 và diện tích bao quanh ống dòng Sb ⇒ S = A1 + A2 + Sb → ∫∫S ρ. dAnu ..rr = ∫∫ 1A ρ. dAnu ..rr + ∫∫ 2A ρ. dAnu ..rr + ∫∫ bS ρ. dAnu ..rr = 0 Trên Sb ⇒ nu rr. = 0 Trên A1 ⇒ nu rr. = -u1 Trên A2 ⇒ nu rr. = u2 → - ∫∫ 1A ρ.u1.dA + ∫∫ 2A ρ.u2.dA = 0 ∫∫ 1A ρ.u1.dA = ∫∫ 2A ρ.u2.dA Qm1 = Qm2 (3.16a) ρ1.V1.A1 = ρ2.V2.A2 = const (3.16b) Với ρ1 và V1 là khối lượng riêng và vận tốc trung bình của lưu chất tại mặt cắt ướt 1-1, tương tự ρ2 và V2 áp dụng cho mặt cắt ướt 2-2. +Kết luận : - Đối với lưu chất chuyển động ổn định, 1 chiều lưu lượng khối qua các mặt cắt ướt đều bằng nhau. - Khi lưu chất không nén được ρ1 = ρ2 = const ⇒ khi đó phương trình liên tục viết cho đoạn dòng chảy có dạng : Q1 = Q2 (3.17a) Hay V1A1 =V2.A2 (3.17b) Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 3.6.4 Phương trình liên tục lưu chất không nén được, chuyển động ổn định tại nút: Mở rộng phương trình (3.17a) đối với dòng chảy một chiều, chuyển động ổn định, lưu chất không nén được, xét tại nút I, có nhiều nhánh vào và ra, phương trình liên tục, trở thành: ∑∑ = ravào QQ (3.18) 3.7 Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng (phương trình Euler) : 3.7.1 Phương trình Euler : Q1 = Q2 + Q3 H.3.18b H.3.18a Q5 Q2 Q1 Q3 Q4 Q1 + Q2 + Q5 = Q3 + Q4 H.3.19a Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 Dựa vào nguyên lý cơ học: Tổng ngoại lực tác dụng lên một hệ thống lưu chất bằng tốc độ thay đổi động lượng của khối lưu chất đó. ∑ ∫∫∫== w dwu dt d dt Kdf )19.3(. r rr ρ Xét khối vi phân lưu chất hình hộp ABCDEFGH (hình H.3.19), chiều dài các cạnh là δx, δy, δz. Gọi p, ρ, Fr và ur lần lượt là áp suất, khối lượng riêng, vectơ cường độ lực khối và vectơ vận tốc tại trọng tâm của khối ⇒ Phương trình (3.19) áp dụng cho khối vi phân này trở thành: )20.3(....∑ ∑ ∑ =+= dtudzyxfff Sm rrrr δδδρ ∑ fr : tổng ngoại lực tác dụng lên khối lưu chất; ∑ mfr : Tổng lực khối lượng, Sf∑ r : Tổng lực mặt. 9 Xét hình chiếu phương trình (3.20) lên phương x: )20.3(.... a dt duzyxfff xSxmxx∑ ∑ ∑ =+= δδδρ - Lực khối: ρ.Fx.δx.δy.δ (3.20b)z - Lực mặt: (p- x p ∂ ∂ . 2 xδ ).δy.δz - (p+ x p ∂ ∂ . 2 xδ ).δy.δz = - x p ∂ ∂ .δx.δy.δz (3.20c) Thế (3.20b) và (3.20c) vào phương trình (3.20a), ta được: ρ.Fx.δx.δy.δz - x p ∂ ∂ .δx.δy.δz = ρ.δx.δy.δz. dt dux Sau khi chia 2 vế cho thể tích, phương trình trên trở thành: ρ.Fx - x p ∂ ∂ = ρ. dt dux (3.21a) Chứng minh tương tự, bằng cách chiếu phương trình (3.20) lên các trục OY và OZ, ta được : Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 ρ.Fy - y p ∂ ∂ = ρ. dt du y (3.21b) ρ.Fz - z p ∂ ∂ = ρ. dt duz (3.21c) Biến đổi 3 phương trình (3.21a), (3.21b) và (3.21c) dưới dạng vectơ, ta được: F r - )(1 pdarg rρ = dt ud r (3.22) Hệ phương trình (3.21a), (3.21b) và (3.21c) hoặc (3.22) được gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng, còn được gọi là hệ phương trình Euler. ) Hệ này gồm 3 phương trình chứa 4 ẩn số là ux, uy, uz và p, do đó ta phải cần thêm 1 phương trình nữa để có thể giải tìm nghiệm, trong trường hợp lưu chất lý tưởng & không nén được, ta dùng thêm phương trình liên tục sau : divur = x ux ∂ ∂ + y u y ∂ ∂ + z u z ∂ ∂ = 0 (3.23) Phương trình vi phân Euler dưới dạng Lamb-Grômêkô : Chia phương trình (3.21a) cho ρ, khai triển số hạng gia tốc, ta được : x pFx ∂ ∂− .1ρ = t u x ∂ ∂ + x ux ∂ ∂ .ux + y ux ∂ ∂ .uy + z ux ∂ ∂ .uz Cộng và trừ vế phải phương trình này cho x u y ∂ ∂ .uy và x uz ∂ ∂ .uz, sắp xếp lại, ta được : x pFx ∂ ∂− .1ρ = t u x ∂ ∂ +( x ux ∂ ∂ .ux + x u y ∂ ∂ .uy + x uz ∂ ∂ .uz) + uz ( z ux ∂ ∂ - x uz ∂ ∂ ) - uy ( x u y ∂ ∂ - y ux ∂ ∂ ) (3.24) Mà: ) 2 ( 2u x∂ ∂ = ) 2 ( 222 zyx uuu x ++ ∂ ∂ = x ux ∂ ∂ .ux + x u y ∂ ∂ .uy + x uz ∂ ∂ .uz và: Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 Vận tốc quay : ωr = utor rr . 2 1 = (ωx, ωy, ωz) Với: utor rr . = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ zyx uuu zyx kji rrr Do đó : ( z ux ∂ ∂ - x uz ∂ ∂ ) = 2.ωy và ( x u y ∂ ∂ - y ux ∂ ∂ ) = 2.ωz (3.24) trở thành ⇒ x pFx ∂ ∂− .1ρ = t u x ∂ ∂ + ) 2 ( 2u x∂ ∂ +2(uz.ωy - uy.ωz) (3.25a) Chứng minh tương tự cho phương trình (3.21b) và (3.21c), ta cũng đạt được: y pFy ∂ ∂− .1ρ = t u y ∂ ∂ + ) 2 ( 2u y∂ ∂ +2(ux.ωz - uz.ωx) (3.25b) z pFz ∂ ∂− .1ρ = t u z ∂ ∂ + ) 2 ( 2u z∂ ∂ +2(uy.ωx - ux.ωy) (3.25c) Ta có: ×ωr ur = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ zyx zyx uuu kji ωωω rrr Các số hạng cuối vế phải của các phương trình (3.25a), (3.25b) và (3.25c) lần lượt chính là hình chiếu của số hạng 2.ωr xur lên các trục x, y và z. Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 Do đó, các phương trình (3.25a), (3.25b) và (3.25c) có thể được viết dưới dạng vectơ - Grômêkô như sau : F r - )(1 pdarg rρ = t u ∂ ∂r + ) 2 ( 2udarg r +2.ωr xur (3.26) Ghi chú: nếu trường chuyển động ur có ωr = 0r , thì nó được gọi là chuyển động không quay, hay chuyển động có thế. 3.7.2 Tích phân phương trình Euler : Điều kiện tích phân: ) Lực khối lượng Fr là lực có thế: Trong thực tế lực khối lượng thường là lực có thế, khi đó ta có thể tìm được một hàm số thế π(x,y,z) sao cho : F r = - )(πdarg r (3.27) Với : Fx = - x∂ ∂π ; Fy = - y∂ ∂π ; Fz = - z∂ ∂π ) Hàm áp suất: Gọi Π(x, y, z) là hàm áp suất, được định nghĩa như sau : )(Πdarg r = )(1 pdarg rρ hay ∫=Π ρdp (3.28) Phương trình Euler trong trường hợp lực khối lượng là lực có thế : Thế các hàm π và Π vào phương trình Euler (3.22), ta được : - )( Π+πdarg r = dt ud r (3.29) Thế các hàm π và Π vào phương trình Grômêkô (3.26), biến đổi, ta được : - ) 2 ( 2udarg +Π+πr = t u ∂ ∂r + 2.ωr xur (3.30) Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015 3.7.2.1 Trường hợp ( F r là lực có thế ) chuyển động không quay: Hàm thế vận tốc : Chuyển động không quay là chuyển động thế ⇒ tồn tại hàm thế vận tốc ϕ(x,y,z), sao cho : ur = )(ϕdarg r ⇒ t u ∂ ∂r = )(ϕdarg t r ∂ ∂ = )( t darg ∂ ∂ϕr Với : ux = x∂ ∂ϕ ; uy = y∂ ∂ϕ ; uz = z∂ ∂ϕ Chuyển động không quay : ⇒ ωr = or Thế hàm thế vận tốc ϕ(x,y,z) vào (3.30) và chú ý điều kiện ωr = or , ta rút ra được : ) 2 ( 2u t darg +Π++∂ ∂ πϕr = 0r ⇒