Bài giảng Cơ học kỹ thuật Tĩnh học vật rắn - Chương 4: Trọng tâm vật rắn - Phạm Thành Chung

nghĩa và công thức Nội dung 1 Định nghĩa và công thức Tâm của hệ lực song song Trọng tâm vật rắn 2 Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 2 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Định nghĩa và công thức 1.1 Tâm của hệ lực song song Nội dung 1 Định nghĩa và công thức Tâm của hệ lực song song Trọng tâm vật rắn 2 Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 2 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Định nghĩa và công thức 1.1 Tâm của hệ lực song song Tâm của hệ lực song song Cho hệ lực song song (~F1,~F2,...,~Fn) có véc tơ chính ~R ′ = ∑ ~Fk 6= 0. Chọn ~e là véctơ đơn vị trên trục ∆//~Fk , ta có ~Fk = F¯k~e, (k = 1, 2, ..., n). Do ~R ′ 6= 0, ~R ′. ~MO = 0, nên hệ lực song song ( ~F1, ~F2, ..., ~Fn ) có hợp lực.



Cr kF kukr kM C O e Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 3 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Định nghĩa và công thức 1.1 Tâm của hệ lực song song Định nghĩa và công thức xác định Điểm hình học C mà mômen chính của hệ lực song song ( ~F1, ~F2, ..., ~Fn ) đối với C luôn bằng không khi hướng của hệ lực song song thay đổi, được gọi là tâm của hệ lực song song. Từ hình vẽ: ~MC = n∑ k=1 (~uk × ~Fk) = n∑ k=1 (~rk − ~rc)× ~Fk = 0 ⇒ ( n∑ k=1 F¯k ~rk ) × ~e = ~rC ( n∑ k=1 F¯k ) × ~e Biểu thức này đúng với mọi phương ~e nên ~rC = n∑ k=1 F¯k ~rk n∑ k=1 F¯k . (1) Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 4 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Định nghĩa và công thức 1.2 Trọng tâm vật rắn Nội dung 1 Định nghĩa và công thức Tâm của hệ lực song song Trọng tâm vật rắn 2 Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 4 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Định nghĩa và công thức 1.2 Trọng tâm vật rắn Định nghĩa Khi vật rắn gần trái đất, trọng tâm của vật rắn là tâm của hệ trọng lực của các phần tử tạo thành vật rắn.



Cr dP u r C B 

Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 5 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Định nghĩa và công thức 1.2 Trọng tâm vật rắn Chia vật rắn thành các phần tử nhỏ, theo công thức (1) ta có ~rC = 1 P ∫ B ~r dP (2) với P là trọng lượng của vật rắn B. Hệ quả: Công thức tọa độ, công thức trọng tâm vật thể đồng chất, hình phẳng, tấm phẳng Thí dụ: Xác định toạ độ trọng tâm của một tam giác cạnh đáy b, chiều cao là h. Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 6 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định Nội dung 1 Định nghĩa và công thức 2 Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng Trọng tâm của vật ghép Các quy tắc Guldin Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 6 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.1 Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng Nội dung 1 Định nghĩa và công thức 2 Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng Trọng tâm của vật ghép Các quy tắc Guldin Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 6 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.1 Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng Định lý và hệ quả Định lý: Nếu vật rắn đồng chất có mặt phẳng (trục, tâm) đối xứng thì trọng tâm của nó nằm trên mặt phẳng (trục, tâm) đối xứng đó. Hệ quả: Nếu vật rắn đồng chất có nhiều mặt phẳng đối xứng (trục đối xứng) thì trọng tâm của vật rắn nằm trên đường giao của các mặt phẳng (tại giao điểm của các trục) đối xứng đó. Thí dụ: Trọng tâm của cung tròn đồng chất Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 7 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.1 Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng Thí dụ Xác định vị trí trọng tâm của cung tròn đồng chất AB có bán kính r và góc ở tâm AOB = 2α (hình vẽ). Lời giải. Lấy một cung dL nhỏ ứng với góc dϕ. Ta có dL = rdϕ, x = r cosϕ, L = 2rα (3) Do tính chất đối xứng, ta có trọng tâm C của cung tròn nằm trên trục x. Tính xC theo công thức (3) xC = 1 L ∫ xdL = 12rα α∫ −α r2 cosϕdϕ = r sinαα (4) Nếu cung AB là nửa đường tròn thì α = pi 2 , sinα = sin pi 2 = 1, xC = 2 r pi (5) Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 8 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.2 Trọng tâm của vật ghép Nội dung 1 Định nghĩa và công thức 2 Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng Trọng tâm của vật ghép Các quy tắc Guldin Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 8 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.2 Trọng tâm của vật ghép Định lý Nếu một vật rắn phẳng được ghép từ m phần, mỗi phần đồng chất có diện tích Ai , và có vị trí trọng tâm Ci (xi , yi ), thì trọng tâm của toàn vật rắn được xác định bởi công thức xC = ∑ xiAi∑ Ai , yC = ∑ yiAi∑ Ai (6) Đối với các vật ghép không gian, các công thức (6) được mở rộng thành xC = ∑ xiPi∑ Pi , yC = ∑ yiPi∑ Pi , zC = ∑ ziPi∑ Pi (7) Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 9 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.2 Trọng tâm của vật ghép Thí dụ
y x a R r 
AC Tìm trọng tâm của một thiết diện tròn đồng chất tâm O, bán kính R, bị khoét đi một hình tròn tâm A bán kính r . Cho biết OA = a, a + r < R (hình vẽ). Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 10 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.2 Trọng tâm của vật ghép Thí dụ
y x a R r 
AC Lời giải. Thiết diện trên hình vẽ tương đương hình ghép một hình tròn tâm O(0,0) bán kính R , diện tích A1 = piR 2 với một hình tròn tâm A(a, 0), bán kính r , diện tích A2 = −pir2. Chọn hệ trục toạ độ như trên hình vẽ. Do yC = 0, ta chỉ cần tìm xC : xC = x1A1 + x2A2 A1 + A2 = 0.piR2 − apir2 piR2 − pir2 = − ar2 R2 − r2 Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 11 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.3 Các quy tắc Guldin Nội dung 1 Định nghĩa và công thức 2 Các phương pháp xác định vị trí trọng tâm vật rắn Trọng tâm của vật rắn đồng chất đối xứng Trọng tâm của vật ghép Các quy tắc Guldin Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 11 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.3 Các quy tắc Guldin Quy tắc Guldin 1 Diện tích của mặt tròn xoay sinh ra bởi đường cong phẳng L quay quanh một trục đồng phẳng x không cắt nó, bằng tích chiều dài của đường cong L với chiều dài của đường tròn tạo ra bởi trọng tâm của đường cong L quay quanh trục x A = 2piyCL. (8)

 
       
Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 12 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Các phương pháp xác định 2.3 Các quy tắc Guldin Quy tắc Guldin 2 Thể tích V sinh ra bởi hình phẳng A quay quanh trục x đồng phẳng và không cắt hình phẳng, bằng tích diện tích hình phẳng cơ sở A với chiều dài đường tròn tạo ra bởi trọng tâm hình phẳng quay quanh trục x V = 2piyCA (9)
        Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 13 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập (SV luyện tại lớp lý thuyết) Bài tập (SV luyện tại lớp lý thuyết) Bài 4-2b. Bài 4-4c. Bài 4-5a. Bài 4-8b, d. Cơ học kỹ thuật (Engineering Mechanics) Chương 4. Trọng tâm vật rắn 2014 14 / 14CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt