Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương 4: Động lực học lưu chất - Phan Văn Huấn

ình Euler) Phương trình Định luật II Newton trên phương x cho phần tử: Tương tự: xzydxdydzp, Haygọi phương trình Ơle I. Phương trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển động (phương trình Euler)I. Phương trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển động (phương trình Euler) Phương trình Ơle Biểu diễn dưới dạng tọa đợ Đêcác Từ biểu thức (4.2) ta suy ra dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler Sau khi sắp xếp trên phương x ta được Tương tự cho phương y và phương z, cuối cùng ta cĩ dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler I. Phương trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển động (phương trình Euler) với  là vận tốc gĩc của phần tử:  Phương trình Euler dạng Lamb-Gromeco viết dưới dạng khác:I. Phương trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển động (phương trình Euler)  Phương trình Euler dạng Lamb-Gromeco viết dưới dạng hình chiếu:I. Phương trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển động (phương trình Euler)Phương trình Euler dạng Lamb-Gromeco: II. Tích phân phương trình chuyển động của lưu chấtGiả thiết: Phương trình Euler dạng Lamb-Gromeco trở thành: 1). Trường hợp chuyển động cĩ thế: Phương trình Euler dạng Lamb-Gromeco trở thành: Trong trường trọng lực U=-gz, ta cĩ: II. Tích phân phương trình chuyển động của lưu chấtĐối với chuyển động ổn định ta được: 2). Trường hợp dịng chảy ổn định a).Tích phân dọc đường dịng, lấy vi phân chiều dài đường dịng nhân vơ hướng với phương trình Euler ta cĩ: sROPhương trình Bernoulli Ta rút ra: II. Tích phân phương trình chuyển động của lưu chấtsROTrong trường trọng lực U=-gz, ta cĩ: Phương trình Bernoulli b).Tích phân theo phương vuơng gĩc với đường dịng, phương trình Euler trong hệ tọa độ tự nhiên cĩ dạng: Lấy vi phân chiều dài đường pháp tuyến với đường dịng nhân vơ hướng nĩ với pt. Euler ta được: Ta cĩ: II. Tích phân phương trình chuyển động của lưu chấtsROTrong trường trọng lực U=-gz, ta cĩ: Khi R  ∞: 1).Trường hợp chuyển động cĩ thế nên p.tr Bernouli áp dụng cho 2 điểm bất kì A và B được viết2).Trường hợp chuyển động ổn định: C là hằng số trên đường dịng Chú ý: Ý nghĩa năng lượng của phương trình Bernoulli: là thế năng của một đơn vị trọng lượng chất lưu (bao gồm vị năng đơn vị z và áp năng đơn vị p/). là động năng của một đơn vị trọng lượng chất lưuII. Tích phân phương trình chuyển động của lưu chấtLưu chất thực: 0  0 Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên phương x:+ Lực khối:+ Lực mặt: xzdxdydzzxyxIII. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển động (Phương trình Navier-Stokes ) Phương trình Định luật II Newton trên phương x cho phần tử: xzdxdydzzxyx vớiTa có phương trình Navier-Stokes trên trục x Giả thiết Stokes:III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển động (Phương trình Navier-Stokes )Ta có  Đối với lưu chất khơng nén được: Lưu ý gia tớc được tính  Tổng quát: Dưới dạng vector:III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển động (Phương trình Navier-Stokes ) Biểu diễn (4.9) dưới dạng hình chiếu, ta có:III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển động (Phương trình Navier-Stokes ) Tích phân phương trình Navier-Stokes cho tồn dịng chảy, ta được phương trình Bernoulli viết cho tồn dịng chất lỏng thực khơng nén được chuyển động ổn định. Đây là một dạng của phương trình năng lượng. Áp dụng định luật bảo tồn năng lượng hay định luật thứ nhất của nhiệt động lực học: Tốc độ biến thiên của động năng và nội năng bằng tổng cơng cơ học của ngoại lực và các dịng năng lượng khác trên 1 đơn vị thời gian.IV. Phương trình năng lượngIV. Phương trình năng lượng1). Phương trình năng lượng cho dịng chất lỏng khơng ổn định cĩ khối lượng riêng  thay đổi cĩ dạng: Với Q là nhiệt trao đổi của thể tích kiểm sốt w với mơi trường, W là năng lượng của thể tích w cĩ mặt bao bọc S, eu là nội năng đơn vị của thể tích chất lưu w.2). Dịng ổn định, khơng trao đổi nhiệt với mơi trườngIV. Phương trình năng lượngĐối với trường hợp này: dQ = 0 và  = const, phương trình (4.11) thành:Chú ý rằng Z = z + p/, phương trình trên thành:chính là phần biến đổi năng lượng do chuyển động của các ptử bên trong khối chất lưu gây ra và do ma sát của khối chất lưu với bên ngồi.Ta thấy:IV. Phương trình năng lượngNĩ chính là năng lượng bị mất đi của chất lưu qua thể tích w trong một đơn vị thời gian, hf là năng lượng mất mát trung bình trong một đơn vị thời gian của một đơn vị trọng lượng chất lưu.ĐặtTừ đĩ: Xét một đoạn dịng chảy vào mặt cắt 1-1 và ra tại mặt cắt 2-2 ( = const):Ta lần lượt tính các tích phân.IV. Phương trình năng lượngNếu trên mặt cắt ướt S, áp suất phân bố theo quy luật thủy tĩnh thì:Tích phân thành phần động năng:Đưa vào hệ số điều chỉnh động năng : đối với chất lưu chảy tầng thì tầng = 2; đối với chất lưu chảy rối thì rối = 1,05  1,1; ta cĩ : = động năng thậtTừ đĩ:IV. Phương trình năng lượng(4.12) là phương trình năng lượng (phương trình Becnuli) cho tồn dịng chảy ổn định đối với chất lỏng thực khơng nén được nằm trong trường trọng lực từ mặt cắt 1 tới mặt cắt 2 (khơng cĩ nhập hoặc tách dịng chất lưu).Hay Xét dịng chảy cĩ nhập hoặc tách lưu ( = const):Phương trình (4.12) thành:với Hf là tổng năng lượng dịng chảy bị mất đi khi chảy từ các m/c vào đến các m/c ra (trong 1 đ.vị thời gian).IV. Phương trình năng lượng3). dịng chảy cĩ sự trao đổi năng lượng với bên ngồi Dịng chảy được bơm cung cấp năng lượng Hb hay dịng chảy cung cấp năng lượng Ht cho turbine, thì phương trình Becnuli cĩ dạng tổng quát hơn:Trong đĩ: HB là năng lượng do bơm cung cấp cho một đơn vị trọng lượng dịng chảy khi dịng chảy qua bơm gọi là cột áp bơm.HT là năng lượng mà một đơn vị trọng lượng dịng chảy cung cấp cho turbine khi qua turbine.4). Ứng dụng của phương trình năng lượngIV. Phương trình năng lượngÁp dụng phương trình Bernoulli trên đường dịng từ A tới B (hình vẽ), bỏ qua mất mát năng lượng, ta cĩ:Do uB = 0 nên:Trong đĩ: k là trọng lượng riêng của chất khí; l là trọng lượng riêng chất lỏng. Ví dụ 1: Đolưu tốc điểm của dịng khí bằng ống Pito vịngÁp dụng phương trình thuỷ tĩnh lần lượt cho các cặp điểm AA’ (trong mơi trường khí), A’B’ (trong mơi trường lỏng) và BB’ (trong mơi trường khí) ta cĩ:Từ đĩ:vàTừ (1) và (2) ta suy ra:Thực tế do mất năng lượng nên vận tốc thực tại điểm A lớn hơn vận tốc tính từ cơng thức bên Cấu tạo của ống Ventury biểu diễn như hình vẽ. Chất lỏng chảy cần đo lưu lượng cĩ khối lượng riêng 1 , chất lỏng trong ống chữ U cĩ khối lượng riêng 2; trọng lượng riêng tương ứng của chúng là 1 và 2. Ví dụ 2: Đo lưu lượng bằng ống VenturyKhi đo dịng chảy, hiệu độ cao của chất lỏng chảy trong ống chữ U là h.Xét hai mặt cắt cĩ diện tích ướt là S1 và S2 tương ứng với hai vị trí ống cĩ đường kính là D1 và D2. Áp dụng phương trình năng lượng cho dịng chảy từ mặt cắt S1 đến mặt cắt S2 (bỏ qua mất mát năng lượng), ta cĩ:Ví dụ 2: Đo lưu lượng bằng ống VenturyChất lỏng chảy trong ống Ventury là chảy rối, nên α1,α2 1, chú ý rằng lưu lượng Q = SV, do đĩ: Từ đĩ, ta cĩ:Ví dụ 2: Đo lưu lượng bằng ống VenturyChú ý:  Lưu lượng Q ở trên tính được khơng kể tới tổn thất năng lượng.Thực tế lưu lượng Qthực nhỏ hơn, nên cần hiệu chỉnh lại lưu lượng sau khi tính Qtính. Hiệu chỉnh bằng cơng thức trên như sau: Qthực = C.Qtính với C < 1 là hệ số hiệu chỉnh Ventury (do mất năng lượng sinh ra).Ví dụ 3: Dịng chảy ổn định qua lỗ thành mỏngXét một bình rộng đựng chất lỏng, gần đáy bình cĩ một vịi chảy cĩ cấu tạo dạng ống co thắt như hình vẽ.Năng lượng của dịng chảy từ bình ra ngồi chủ yếu bị mất đi là do co hẹp khi qua lỗ, đây là loại mất năng cục bộ, nĩ tỷ lệ với Vc2 tại mặt cắt co hẹp c-c. Áp dụng phương trình năng lượng cho trường hợp này, ta cĩ:Ví dụ 3: Dịng chảy ổn định qua lỗ thành mỏngDo đĩ cĩ thể viết:Do bình rộng nên Vo  0 và áp suất trên mặt thống po = 0, từ đĩ:Vớigọi là hệ số lưu tốcTa cĩ:Trong đĩ: S là diện tích lỗ tháo,  là hệ số co hẹp, Cd < Cv là hệ số lưu lượng.Ví dụ 4: Dịng chảy khơng ổn định ra ngồi bìnhXét một bình đựng chất lỏng chiều cao H, tiết diện S; ở đáy bình cĩ một lỗ tiết diện a cho chất lỏng chảy ra ngồi (hình vẽ).Tại thời điểm t, lưu lượng chất lỏng chảy qua lỗ được cho bởi biểu thức:Ta suy ra:Thời gian để nước trong bình chảy hết là: Độ cao chất lỏng trong bình giảm theo thời gian. Sau thời gian dt, chất lỏng trong bình giảm một lượng:V. Phương trình động lượngDạng tổng quát của phương trình động lượng (chứng minh từ chương động học): Đối với dịng ổn định: Đối với dịng nguyên tố chuyển động ổn định (vào ở dS1; ra ở dS2), ta cĩ:V. Phương trình động lượng Đối với tồn dịng chảy từ mặt cắt 1-1 đến 2-2, chiếu phương trình động lượng lên một phương s bất kỳ, rồi sau đĩ lấy tích phân trên từng mặt cắt S1, S2 ta được: Ta thấy rằng động lượng thực của dịng chảy lớn hơn động lượng tính theo các số hạng vế trái của biểu thức (4.18), do đĩ người ta đưa vào hệ số hiệu chỉnh động lượng αo. Thực nghiệm tìm được αo(chảy tầng) = 4/3; αo(chảy rối) = 1,02  1,05.V. Phương trình động lượng Như vậy phương trình động lượng chiếu trên một phương s bất kỳ, đối với tồn dịng chảy ổn định và chất lưu khơng nén được, đi vào mặt cắt 1 và đi ra ở mặt cắt 2 được viết dưới dạng: Nếu dịng chảy cĩ nhiều mặt cắt ra và mặt cắt vào thì:= ĐLra/S = ĐLvào/S= ĐLra/S = ĐLvào/S Áp dụng của phương trình động lượngPhân tích ngoại lực, thơng thường gồm các lực sau:+ Trọng lực G+ Lực ma sát Fms giữa chất lỏng với thành rắn.+ Phản lực N từ thành rắn tác dụng vào khối chất lưu.+ Áp lực Fi từ các phía tác dụng vào các mặt cắt đối với dịng chảy ra hoặc vào khối thể tích kiểm sốt (tính như áp lực thuỷ tĩnh).= ĐLra/S = ĐLvào/S Áp dụng của phương trình động lượng+ Hai lực ma sát Fms và phản lực N thường gộp chung thành một lực R gọi là lực của thành rắn tác dụng vào khối chất lưu.+ Lực trọng trường G bị triệt tiêu khi chiếu lên phương nằm ngang (vì G theo phương thẳng đứng), hoặc giả thiết nhỏ nên khơng tính tới (trừ trường hợp cĩ giá trị lớn đáng kể và khi chiếu phương trình động lượng lên phương thẳng đứng).Ví dụ 1: Lực của tia nước tác dụng trên một tấm phẳng nghiêngCho một vịi cĩ tiết diện S, phun nước với vận tốc v vào một tấm phẳng đặt nghiêng 1 gĩc  so với phương nằm ngang. Bỏ qua ma sát và tác dụng của khơng khí (hình vẽ), xét các trường hợp:a) Tấm phẳng đứng yên (u = 0), tính lực F tác dụng lên tấm phẳng và các lưu lượng Q2, Q3.b) Nếu tấm phẳng di chuyển với vận tốc u, tính lực F td lên tấm phẳng và phản lực N của tấm phẳng. Hướng dẫn giảia). Tấm phẳng đứng yên (u = 0), Lấy thể tích kiểm sốt như trên hình vẽ. Ngoại lực gồm:+ Trọng lượng nước trong thể tích kiểm sốt+ Phản lực của tấm phẳng:HayPhương trình động lượng cho thể tích kiểm sốt là:Chiếu (1) lên phương vuơng gĩc với mặt phẳng nghiêng ta được: Hướng dẫn giảiVới: Q1 = V1.S , 1=1 Chiếu (1) lên phương song song với mặt phẳng nghiêng ta được: 0 = Q2 2V2 - Q3 3V3 - Q1 1V1cosTừ (3) và (4): Q2 = Q1(1 + cos )/2 ; Q3 = Q1(1 – cos )/2 Suy ra: 0 = Q2 – Q3 – Q1cos (3)Phương trình liên tục cho: Q1 = Q2 + Q3 (4)b) Đổi hệ quy chiếu, xem tấm phẳng đứng yên, vịi chuyển động giật lùi với vận tốc u, điều này cũng cĩ nghĩa là nước chuyển động đến tấm phẳng với vận tốc V1 = V - u. Thay vào (2) ta được: F = .S.(V – u)2sin Ví dụ 2: Lực của dịng nước tác dụng lên một vịi phunÁp dụng phương trình động lượng cho thể tích kiểm sốt như hình vẽ. Chọn 0 =1 Thành phần lực tác dụng lên thể tích kiểm sốt theo phương x: F1 = p1S1 ; F2 = 0 (do nước bắt đầu ra khỏi vịi phun khơng cịn chịu áp lực). Áp dụng phương tình năng lượng cho dịng chảy từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2: Như vậy lực F của lưu chất tác dụng vào vịi hướng tới và bằng R. Bài tập tự giải Một đoạn ống thu hẹp nằm trong mặt phẳng thẳng đứng nối hai ống: ống lớn cĩ tiết diện 0,5x0,4 (m2) với vận tốc trung bình của nước là v0, ống thứ 2 cĩ tiết diện 0,5x0,2 (m2). Tại các mặt cắt AA và BB đặt các ống đo áp và áp kế (hình vẽ). Xác định độ chênh áp p nếu cho biết vận tốc tại A là 0,7v0 cịn ở B là 2,3v0, lưu lượng qua ống là Q=600lít/s, khoảng cách giữa 2 mặt cắt là 0,12m, trong hai trường hợp:a). Tổn thất trong ống là hwAB= 0. b) Tổn thất trong ống là hwAB= 0,1m. Cho g=10m/s2; 1=2=1;  =9,81.103 N/m3 .Bài tập 1 Một chiếc xe đang chạy lấy nước từ một cái mương nhỏ bằng một ống cĩ đường kính 10 cm và đưa nước lên độ cao H = 3 m. Tốc độ của xe là V= 65 km/h.Bài tập 2 1). Tính tốc độ tối đa và lưu lượng nước chảy ra khỏi ống. Cĩ nhận xét gì về độ sâu đặt ống h.2). H phải lớn hơn bao nhiêu để nước khơng chạy ra khỏi ống?