Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương 2: Tĩnh học lưu chất - Phan Văn Huấn

hái cân bằng chịu tác dụng của nhiều ngoại lực (trọng lực, lực quán tính, lực ly tâm, .)II. Áp suất thủy tĩnh1. Định nghĩa: Áp suất thủy tĩnh là lực pháp tuyến tác dụng lên một đơn vị diện tíchÁp suất thủy tĩnh tại một điểm:II. Áp suất thủy tĩnh (tt)2. Tính chất: a). Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng gĩc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy.b). Giá trị áp suất tại một điểm khơng phụ thuộc vào hướng đặt của diện tích chịu lực. Các lực tác dụng lên phần tử chất lưu gồm:Lực mặt: pxyz; pyxz; pzyx; psys.Lực khối: Fxyz với  là khối lượng riêng của chất lưu, F là lực khối đơn vị. Ta cĩ thể chứng minh tính chất (b) như sau: xét sự cân bằng của 1 vi phân thể tích lưu chất hình lăng trụ tam giác.II. Áp suất thủy tĩnh (tt)s zx y px psABCDFEzxyOLực do px tác dụng lên mặt ABCD chiếu lên Ox: px. y.zLực do ps tác dụng lên mặt BCEF chiếu lên Ox: -ps .y.s.sin = -ps .y. s. z/ s  = -ps .y. zF là lực khối đơn vị, lực khối tác dụng lên phần tử lưu chất chiếu lên Ox là:s zx y px psABCDFEzxyOII. Áp suất thủy tĩnh Do khối chất lưu nằm cân bằng nên tổng các lực tác dụng lên nĩ theo phương bất kỳ phải bằng khơng, chẳng hạn phương x, ta có:px .y.z - ps .y.z + (1/2).Fx .x.y.z = 0 Hay px - ps + (1/2).Fx .x = 0 . Khi x  0  px = ps s zx y px psABCDFEzxyOChứng minh tương tự cho các phương khác, cuối cùng ta cĩ: px = py = pz = pn II. Áp suất thủy tĩnh (tt)3. Đơn vị của áp suất+ Hệ SI: [p] = N/m2 = Pa + Hệ khác: kgf/cm2, atmotphe kỹ thuật (at), atmotphe vật lý (atm), m nước, mmHg, 1 at = kgf/cm2 = 10 m nước = 735 mmHg = 9,81.104 Pa (N/m2)II. Áp suất thủy tĩnh (tt)a). Mặt đẳng áp của chất lỏng nằm trong trường trọng lực là mặt phẳng nằm ngang. Phương trình mặt đẳng áp: Fxdx + Fydy + Fzdz = 0 b). Áp suất tuyệt đối ptđ : là giá trị đo áp suất so với chuẩn là chân khơng tuyệt đối, nĩ chính là giá trị áp suất thực. ví dụ áp suất của khơng khí pk = 98100 N/m2.4. Mặt đẳng áp, áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân khơng: II. Áp suất thủy tĩnh (tt)c). Áp suất dư pd: là giá trị đo áp suất so với chuẩn là áp suất khí trời (pa) tại vị trí đo (cịn gọi là áp suất tương đối) hay áp suất được so sánh với áp suất khí quyển: pd = ptđ – pa d). Áp suất chân khơng pck: là áp suất cịn thiếu cần phải thêm vào cho bằng áp suất khí trời:pck = pa – ptđ = 98100 N/m2 – ptđ = – pd 4. Mặt đẳng áp, áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân khơng: II. Áp suất thủy tĩnh (tt)III. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất 1. Phương trình vi phân cơ bản.Xét khối chất lỏng vi phân , cạnh x, y, z, cân bằng , khối lượng riêng ρ.+ Lực khối đơn vị:+ Lực tác dụng lên khối hình hộp theo phương Ox là : Lực khối: Lực mặt  áp lực:xzyOIII. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt) Lực tác đợng lên chất lỏng gờm: lực khới và lực mặt. Tổng ngoại lực tác dụng chiếu lên phương x: Áp dụng định luật I Newton cho 1 phần tử lưu chất cân bằng:xzyVậy dạng véc tơ phương trình cơ bản tĩnh học lưu chất là:Dưới dạng tọa độ Đêcác III. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt)a). Chất lỏng nằm trong trường trọng lực: (1), (2) là phương trình thủy tĩnh Fx; Fy= 0; Fz= -g pA pB hAB Chuẩn 0 zB zA pap trong phương trình thủy tĩnh là áp suất tuyệt đối ptđ hoặc áp suất dư pdưIII. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt)Bài 1: viết phương trình thủy tĩnh cho 2 điểm A và B như hình vẽ:yz zBzAA hAB=zB-zApBpAB xIII. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt)Bài tập áp dụngb). Chất khí nằm trong trường trọng lực, nén được: Chất khí là khí lý tưởng, sử dụng phương trình khí lý tưởng: p = RT Nếu nhiệt độ khối khí thay đổi theo độ cao, ví dụ theo qui luật T = To – az với a > 0, To là nhiệt độ ứng với z = 0 (thường lấy là mực nước biển). Khi đĩ:III. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt) Cuối cùng ta thu được phương trình tĩnh học khí quyển:b). Chất khí nằm trong trường trọng lực, nén được: Lấy tích phân hai vế ta được:Kí hiệu po là áp suất ở độ cao z = 0, ta cĩ:III. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt)2. Ứng dụng p=0, chân khơng tuyệt đối htđ A A B hdưA A B pa A B pa hckA pA = pB + htđ pdưA = pdưB + hdư = hdư pdưA = pdưB - hck pckA = hck a). Các áp kếIII. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt)Một ống hình chữ U hở hai đầu đựng hai chất lỏng khối lượng riêng 1 và 2 tương ứng (hình vẽ). Từ phương trình thuỷ tĩnh ta cĩ pA = pA’ + 2gh2 ; pB = pB’ + 1gh1 (1) pA = pA’ + 2h2 ; pB = pB’ + 1h1 (2)Ta cĩ: pA = pB (mặt đẳng áp) và pA’ = pB’ = pa b). Định luật hai bình thơng nhau:2. Ứng dụng Từ các (1) và (2) ta suy ra:III. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt)c). Định luật Pascal: Tại một vị trí nào đó trong lưu chất nếu áp suất tăng lên một đại lượng Δp thì đại lượng này sẽ được truyền đi trong toàn miền lưu chất.→ ứng dụng trong máy nén thủy lựcKích thủy lựcη - Hiệu suất máy, η < 1.d). Biểu đồ phân bố áp suất theo chiều sâu 2. Ứng dụngIII. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt)e). Biểu đồ phân bố áp suất trên mặt cong 2. Ứng dụngIII. Phương trình vi phân cơ bản của tĩnh học lưu chất (tt)Dùng biểu đồ phân bố áp suất theo chiều sâu, ta xác định được áp lực tác dụng lên các mặt của khối chất lỏng hình hộp chữ nhật cĩ đáy nằm ngang (hình vẽ).Áp lực tác dụng lên mặt đáy (hình a): F = hLbÁp lực tác dụng lên mặt bên (hình b): F = h2b/2(a)(b) Bài 2: Nước chảy trong ống từ A-B. Để đo độ chênh cột áp tĩnh người ta dùng ống đo áp đo chênh như hình vẽ. Xác định độ chênh cột áp tĩnh và độ chênh áp suất giữa 2 điểm A và B. Biết chất lỏng (1) là nước nước = 1000kg/m3 (2) là thủy ngân Hg = 13,6, h =0,7m, b-a = 0,3m Hướng dẫn giải: Phương trình thủy tĩnh áp dụng cho các cặp điểm A-M, M-N, N-B: Độ chênh cột áp tĩnh giữa 2 điểm A và B là Hay Độ chênh áp suất giữa 2 điểm A và B là: xBề mặt chất lỏngTrọng lượng riêng = dFhhCFydSCDyyCyDOp0Cho 1 tấm phẳng, diện tích S nằm chìm trong chất lỏng và nghiêng một gĩc  so với bề mặt chất lỏng.IV. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNGD:tâm áp lựcC: trọng tâm1). Độ lớn: Xét một vi phân diện tích dS, áp lực tác dụng thẳng gĩc vào diện tích và cĩ giá trị: dF = pdS  p = p0 + hÁp lực tác dụng lên tịan bộ diện tích: IV. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG (tt) pC là giá trị áp suất tại trọng tâm C của tấm phẳng, p0 là áp tại mặt thống, F = pCS = (p0 + hC)SvậyxBề mặt chất lỏngTrọng lượng riêng = dFhhCFydSCDyyCyDOD:Tâm áp lực hC = yC.sinα Áp dụng định lý Varignon's: “Mơmen của hợp lực đối với một trục bằng tổng mơmen của các lực thành phần đối với trục đĩ”. Mơmen đối với trục Ox:Độ lệch tâm: IV. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG (tt)HayyD - toạ độ tâm áp lực yC - toạ độ trọng tâmhC - độ sâu trọng tâmIC là mơmen quán tính của S ứng với trục song song với Ox và đi qua trọng tâm C. 2). Điểm đặt lực tại D:Sau khi tích phân ta đượcĐiểm đặt áp lực luơn ở sâu hơn trọng tâm của hình phẳng.  Ic của một số hình: - Hình trịn đường kính d: Ic = d4/64 - Hình chữ nhật rộng b cao h: Ic = b.h3/12 - Hình tam giác đều cạnh b chiều cao h: Ic = b.h3/36 IV. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG (tt)1). Trường hợp đơn giản: mặt cong một chiều abc nằm xiên gĩc đối với trục Oz và Oy, cĩ cạnh ab song song với trục Oy (hình vẽ ).V. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH CONG Lực tổng cộng tác dụng lên mặt cong: Theo phương x, ta cĩ: Theo phương z, ta cĩ:W gọi là thể tích vật áp lực, là thể tích giới hạn bởi mặt cong và các mặt bên thẳng đứng tựa trên chu vi của mặt cong và mặt thống. VD?Xét vật cĩ thể tích W chìm trong chất lỏngXét vi phân thể tích dW hình lăng trụ thẳng đứng. Nĩ cĩ 2 bề mặt trên và dưới tiếp xúc với chất lỏng và thành phần áp lực trên phương trục z tác dụng trên 2 bề mặt này là: dFz1 và dFz2.Áp lực tổng cộng tác dụng lên dW theo trục z:Thành phần áp lực trên trục z tác dụng lên tồn bộ bề mặt bao bọc thể tích W:Tương tự, tính được 2 thành phần áp lực trên 2 trục cịn lại:zp0xdSzdWz1dFz1dFz2dWz2WdFz = dFz2 - dfz1dW()2). Lực đẩy Archimedè: Vật ngập hồn tồn trong chất lỏngKý hiệu C là điểm đặt của trọng lượng của vật, D là điểm đặt của lực đẩy Archimède tác dụng lên vật. Khi vật ngập hồn tồn trong chất lỏng sẽ cĩ thể cĩ 2 trường hợp xảy ra hình vẽ.Nếu C nằm ở dưới điểm D, vì một lý do nào đĩ (ngoại lực tác dụng chẳng hạn) vật bị nghiêng đi, khi khơng cịn tác dụng của ngoại lực vật sẽ tự chuyển về trạng thái cân bằng ban đầu. Đĩ là trạng thái cân bằng ổn định.Nếu C nằm trên điểm D, khi vật bị nghiêng đi khỏi vị trí cân bằng ban đầu, nĩ sẽ khơng thể tự trở về trạng thái cân bằng ban đầu được. Đĩ là trạng thái cân bằng khơng ổn định.3. Sự cân bằng một vật trong chất lưu3. Sự cân bằng một vật trong chất lưuBài 3: Cho 1 cửa van hình chữ nhật cĩ bề rộng b = 5m. Chịu áp lực nước thượng lưu như hình vẽ với H = 2m. Hỏi áp lực thủy tĩnh F tác dụng lên van? OCHBài 4: Cho 1 tấm phẳng hình tam giác chìm trong chất lỏng cĩ tỷ trọng  = 1.2, cĩ các kích thước như sau: h = 3m, b = 2m; H = 1m,  = 600; p0 = 0.Tìm đợ lớn của áp lực; độ sâu trọng tâm;toạ độ trọng tâm và đợ lệch tâm cùa vật.hCxp0yOhbCBài 5: Van phẳng hình trịn đặt trên mặt phẳng nghiêng 1 gĩc 600 như hình vẽ. Van cĩ thể quay quanh trục nằm ngang qua tâm C. Bỏ qua ma sát. Xác định:a. Áp lực tác dụng lên vanb. Momen cần tác dụng để mở van. Bài 6: Xác định áp lực do dầu tác dụng lên một van cung dạng ¼ hình trụ cĩ bán kính 0,5m, dài 2m nằm dưới độ sâu h =1m.h=1mDầu (0,8)FZFFXpa Hướng dẫn giải:1). Chất lỏng tĩnh trong thùng chuyển động thẳng với gia tốc khơng đổi.Vector cường độ lực khối: dp = - axdx -(g+az)dz Phương trình của áp suất thủy tĩnh: Mặt đẳng áp: *Chuyển động thẳng ngang: p +ax + gz = const;Trên mặt phẳng x=const:*Chuyển động thẳng đứng: p +(g+a)z = const; z =C aaxzaxza=azzxVI. Ứng dụng tĩnh học tương đối p +axx+(g+az)z = const2). Chất lỏng tĩnh trong thùng chuyển động quay trịn đều.Vector cường độ lực khối: dp =r2dr - gdz Phương trình của áp suất thủy tĩnh: Mặt đẳng áp:  Họ các mặt cong paraboloid trịn xoay Trên mặt trụ r = const:xzwVI. Ứng dụng tĩnh học tương đối (tt)Bài 7: Một bình kín rộng 2m, chứa đấy nước chuyển động nhanh dần đều theo phương ngang, chiều như hình vẽ (gia tốc a = 2m/s). Nếu tại E cĩ 1 lỗ nhỏ. Xác định áp suất tại A và B và áp lực tác dụng lên mặt đứng AB.Giải: pE = pa = 0P +axx + gz =constpA + axxA + gzA = pE + axxE + gzE pA = pE +ax(xE - xA) = 0 +1000x2x0,5 =1000 PapA + axxA + gzA = pB + axxB + gzBpB = pA +ghAB = 1000 +1000x9,81x1 =10810 PaTrên mặt AB áp suất phân bố theo quy luật:Nên: 1mABxz0,5m0,6mEBài 8: Ba ống nhỏ cùng đường kính cao H = 1m nối với nhau như hình vẽ, chứa nước đến độ cao h = 0,5m. Biết a =0,4m. Xác định chiều cao nước trong 3 ống nếu 3 ống quay đều quanh trục z với vận tốc  = 2rad/s h1zh3hh2a3arBài 9: Cho một xe cĩ kích thước H = 3m, L = 5m, b = 2m, chứa nước đến chiều cao h = 2,5m, chuyển động nhanh dần đều theophương ngang với gia tốc a như hình vẽ. Hỏi:1. amax để nước khơng tràn ra ngồi ?2. Tính áp lực nước lên thành sau xeGiải:Từ phương trình mặt thống: Áp lực lên thành sau của xe: Psau = b = 9810N/m3 x(0,5x3mx3m)x2m = 88290 NxzaaLHh0,50,5HHBài 10: Cho một bình hở cĩ kích thước R = 3m, H = 4m, chứa nước đến chiều cao h = 3,1m, chuyển động quay trịnxung quanh truc của bình với vận tốc  như hình vẽ. Hỏi:1. max để nước khơng tràn ra ngồi ?2. Tính áp lực nước lên ½ thành bìnhGiải:Từ phương trình mặt thống: Tại A: Tại B: H1 = CÁp lực lên thành sau của xe: pysau = 2R = 9810N/m3 x(0,5x4mx4m)x2x3m = 470880 NxzwRhHABH10,90,9HH