Ứng dụng của bất đẳng thức Holder và Minkowski trong toán phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KËJ Người thực hiện NGUYỄN PHÚC HẬU Lớp ĐH3A2 Đề Tài Nghiên Cứu Khoa Học ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER và MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Giáo viên hướng dẫn LÊ THÁI DUY An Giang, năm 2004 # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " LỜI CẢM ƠN Hoàn thành đề tài này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Thái Duy - người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Phương giáo viên trường PTTH Long Kiến đã luôn động viên tôi trong quá trình làm đề tài. Tôi chân thành cảm ơn trường Đại Học An Giang đã tạo điều kiện để tôi học tập và nghiên cứu đề tài này. # Trường Đại Học An Giang Trang 1" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " MỤC LỤC ------------------- Trang LỜI MỞ ĐẦU......................................................................................................3 CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ ......................................................................4 §1. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN ...................................................................5 1.1. Hàm lồi ..........................................................................................5 1.2. Bất đẳng thức Jensen....................................................................5 §2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ..................................................................7 2.1. Bất đẳng thức Cauchy ...................................................................7 2.2. Bất đẳng thức Cauchy “suy rộng” ..................................................7 CHƯƠNG II. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI ............................9 §1. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER ................................................................10 1.1. Dạng đại số ................................................................................10 1.2. Dạng giải tích .............................................................................12 1.2.1.Định lý ..............................................................................12 1.2.2. Bổ đề ...............................................................................12 1.2.3. Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích ................................13 §2. BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI ..........................................................15 2.1. Dạng đại số ................................................................................15 2.1.1. Bất đẳng thức Minkowski thứ I ........................................15 2.1.2. Bất đẳng thức Minkowski thứ II .......................................16 2.2. Dạng giải tích .............................................................................17 CHƯƠNG III. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG ...........................................................................19 §1. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER...................................20 1.1.Ứng dụng trong giải tích ...............................................................20 1.1.1. Bất đẳng thức tích phân ..................................................20 1.1.2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .......................................22 1.2. Ứng dụng trong hình học.............................................................26 1.3. Ứng dụng trong lượng giác .........................................................30 1.4. Ứng dụng trong số học................................................................33 1.5. Ứng dụng trong đại số .................................................................36 1.6. Ứng dụng trong hình học giải tích ...............................................39 1.7. Ứng dụng trong giải tích tổ hợp...................................................40 §2. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI.............................42 2.1. Ứng dụng trong lượng giác .........................................................42 2.2. Ứng dụng trong giải tích ..............................................................44 2.3. Ứng dụng trong đại số .................................................................46 2.4. Ứng dụng trong số học................................................................50 KẾT LUẬN........................................................................................................53 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................54 # Trường Đại Học An Giang Trang 2" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " LỜI MỞ ĐẦU Khi còn học phổ thông, đối với tôi bất đẳng thức là một vấn đề khó khăn lớn. Do đó, khi bước chân vào trường Đại Học tôi luôn ao ước có cơ hội nghiên cứu vấn đề này. Bất đẳng thức là chuyên đề khá phức tạp và có ứng dụng phong phú trong toán học. Nó liên quan đến nhiều lĩnh vực khác như: Giải tích, lượng giác, hình học …. Do đó, đây là lý thuyết rất quan trọng. Đã có rất nhiều nhà toán học có những đóng góp quan trọng cho lý thuyết này như: Cauchy, Jensen, Hardy, … trong đó đặc biệt là Hölder và Minkowski. Các bất đẳng thức mang tên hai ông được ứng dụng rộng rãi trong giải toán cao cấp và toán sơ cấp, được vận dụng vào giải các bài toán hay và khó trong các kỳ thi quan trọng như: thi chọn học sinh giỏi, thi quốc gia hay thi Olympic quốc tế … Hơn nữa, đối với học sinh phổ thông, bất đẳng thức là chuyên đề phức tạp và không dễ. Phần đông các em đều không giải được bài toán bất đẳng thức và các bài toán có liên quan. Một phần do các em chưa biết cách vận dụng bất đẳng thức cơ bản, một phần các em chưa nắm được các bất đẳng thức này. Vì vậy, việc nghiên cứu hai bất đẳng thức Hölder và Minkowski có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó không những có ý nghĩa lớn trong việc khảo cứu các bất đẳng thức cơ bản mà còn có tác dụng lớn trong việc giảng dạy sau này. Do từ lý do trên đây nên đề tài này tôi tập trung nghiên cứu hai đối tượng sau: một là hai bất đẳng thức Hölder và Minkowski, hai là ứng dụng của hai bất đẳng thức này vào toán phổ thông. Nhằm thực hiện hai nhiệm vụ: làm rõ các dạng của hai bất đẳng thức trên; vận dụng chúng vào bài toán phổ thông. Để làm được điều này, tôi đã tiến hành đọc một số tài liệu có nhắc đến các nội dung trên, từ đó phân tích, tổng hợp lại, hệ thống những gị làm được một cách hợp lý. Nội dung nghiên cứu gồm: Chương I. Kiến thức cơ sở Chương II. Bất đẳng thức Hölder và Minkowski Chương III. Ứng dụng của bất đẳng thức Hölder và Minkowski trong toán phổ thông Mặc dù đã cố gắng hoàn thành đề tài, nhưng do kiến thức còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót và sai lầm, rất mong sự góp ý của quý thầy cô để đề tại được hoàn chỉnh hơn, xin chân thành cảm ơn. # Trường Đại Học An Giang Trang 3" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu dưới dạng cơ sở phục vụ cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hölder và Minkowski. # Trường Đại Học An Giang Trang 4" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " §1. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN -------------- 1.1. Hàm lồi: 1) Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [ ]βα; . Hàm số f(x) được gọi là lồi trên đó, nếu thoả mãn điều kiện sau: ∀x1, x2 ∈ , ( )ba; ∀ α , 0 mà + β = 1 thì: β ≥ α f(α x1 + xβ 2) ≤ f(xα 1) + f(xβ 2) (1) Về mặt hình học, bất đẳng thức (1) có ý nghĩa như sau: Nếu gọi A1(x1, f(x1)); B(x2, f(x2)) là hai điểm nằm trên đường cong y = f(x), với a < x1 < x < x2 < b; thì mọi điểm của cung A1B1 của đồ thị đều nằm dưới cát tuyến A1B1. Do đó C có toạ độ là C( xα 1 + β x2; f(xα 1) + f(xβ 2)) và D có toạ độ là D( xα 1 + β x2; f( xα 1 + xβ 2)). 2) Hàm số y = f(x) gọi là lõm trên đó, nếu như – f(x) lồi, tức là ∀x1, x2 ∈ ( )ba; , ∀ α , 0 mà = 1 thì f( x β ≥ α+β α 1 + β x2) ≥ α f(x1) + β f(x2). 3) Hàm f(x) liên tục đến đạo hàm cấp hai trên . Nếu như f’’(x) > 0 ( ba; ) ∀x ∈ ( )ba; thì f(x) là hàm lồi trên . ( )ba; x ∈ ( )ba; thì f(x) là hàm lõm trên đó. ∀Nếu như f’’(x) < 0 1.2. Bất đẳng thức Jensen: Cho f(x) là hàm lồi trên [ ]ba; . Giả sử x1, x2, …, xn và α∈ [ ba; ] i > 0, ( )n1,i = ; α 1 + α 2 + …. + α n = 1, ta luôn có: ( )∑∑ == ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n 1i ii n 1i ii xfαxαf Chứng minh: - Với n = 2, thì bất đẳng thức Jensen đúng (theo định nghĩa hàm lồi). - Giả sử bất đẳng thức đã đúng đến n = k – 1. - Xét khi n = k. Giả sử x1, x2, …, xk ∈ [ ]ba; và α i > 0, i = 1, 2, …, k; α 1 + + α 2 + … + α k = 1. Ta có: (1) kk 2k 1i 1k1kii k 1i ii xαxαxαxα ++= ∑∑ − = −− = Đặt , vì thế từ (1) suy ra: 1α0αα 2k 1i i <<⇒= ∑− = ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−−+= − − − == ∑∑ kk1k1k2k 1i ii k 1i ii xα1 αx α1 α α1xαxα Do 1=−+− − α1 α α1 α k1k , mà xk-1, xk đều thuộc [ ]ba; , nên: # Trường Đại Học An Giang Trang 5" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " =*x kk1k1k xα1 αx α1 α −+− − − ∈ [ ]ba; Áp dụng giả thiết quy nạp với k - 1 điểm x1, x2, ….., xk-2, và bộ số *x α 1, α 2,….., α k-2, 1 - . (α α 1 + α 2 + …. + α k-2 + 1 - = 1) α (2) ⇒ ( ) ( ) ( )*2k 1i ii * 2k 1i ii k 1i ii xfα1xfαα)x(1xαfxαf −+≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∑∑∑ − = − == Mặt khác lại theo định nghĩa hàm lồi, ta có: ( ) ( ) ( )kk1k1kkk1k1k* xfα1αxfα1αxα1αxα1αfxf −+−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −+−= −−−− (3) Thay (3) vào (2), ta được: ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−−+≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − − − == ∑∑ kk1k1ki2k 1i i k 1i ii xfα1 αxf α1 α α1xfαxαf Hay ( )∑∑ == ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n 1i ii n 1i ii xfαxαf # Trường Đại Học An Giang Trang 6" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " §2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY -------------------- 2.1. Bất đẳng thức Cauchy: Cho a1, a2, …, an là các số không âm, chứng minh rằng: n n21n21 ....aaan a....aa ≥+++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an. Chứng minh: Xét hàm số f(x) = - lnx với x > 0. Ta có f’(x) = x 1− và 0 x 1)x(''f 2 >= . Vậy f(x) là hàm lồi khi x > 0. Theo bất đẳng thức Jensen, ta có: ( ) ( ) ( )[ ]n21n21 xf.....xfxfn1n x....xxf +++≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++ n xln.....xlnxln n x....xxln n21n21 +++−≤+++−⇔ n n21 n21 ....xxxln n x....xxln ≥+++⇔ Do tính đồng biến của hàm số y = lnx, suy ra n n21 n21 ....xxx n x....xx ≥+++ , 0xi >∀ Dấu bằng xảy ra x⇔ 1 = x2 = ….. = xn. Xét n số a1, a2, …., an ≥ 0. Có hai khả năng sau xảy ra 1. Nếu ai > 0 ∀ i = 1, 2, ….., n, thì theo trên ta có: n n21 n21 ....aaa n a....aa ≥+++ (*) 2. Nếu tồn tại ak = 0 thì (*) hiển nhiên đúng. 2.2. Bất đẳng thức Cauchy “suy rộng”: Cho a1, a2, … , an là các số hạng không âm. Cho α1, α2, ... αn là các số hữu tỉ dương sao cho α1 + α2 + … + αn = 1. Chứng minh rằng: α1a1 + α2a2 +…+αnan ≥ n21 αnα2α1 .....aaa Chứng minh: Vì là các số hữu tỉ dương và n21 α,.....,α,α 1α......αα n21 =+++ , nên có thể viết chúng dưới dạng sau (sau khi đã quy đồng mẫu số các phân số). N p α,......, N p α, N p α nn 2 2 1 1 === . Trong đó p1, p2, .., pn là các số nguyên dương và p1 + p2 + … + pn = N. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với p1 số a1, …, pn số an, ta được: n21 n21p....pp p n p 2 p 1 n21 nn2211 ...aaa p....pp a...a....a...aa...a +++≥+++ +++++++++ # Trường Đại Học An Giang Trang 7" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " N p 1 N p 1 N p 1n n 2 2 1 1 n21 ...aaaa N p....a N pa N p ≥+++⇔ ⇔α1a1 + α2a2 +……+αnan ≥ n21 αnα2α1 .....aaa Dấu bằng xảy ra n21 a....aa ===⇔ . # Trường Đại Học An Giang Trang 8" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " CHƯƠNG II BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI Trong chương này, chúng ta sẽ tìm thấy các dạng đại số và dạng giải tích của bất đẳng thức Hölder; dạng đại số của bất đẳng thức Minkowski thứ I, II và dạng giải tích của bất đẳng thức Minkowski. Đáng chú ý là các hệ quả của hai bất đẳng thức trên, chúng được vận dụng nhiều trong giải toán phổ thông. # Trường Đại Học An Giang Trang 9" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " §1. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER -------------------- 1.1. Dạng đại số: Cho hai dãy số không âm a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn; p, q là các số hữu tỉ dương sao cho 1 q 1 p 1 =+ , ta luôn có: ∑∑∑ === ≥⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n 1k kk q 1 n 1k q k p 1 n 1k p k baba (*) Có đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số A và B không đồng thời bằng không sao cho n.1,2,....,k,BbAa qk p k == Chứng minh: - Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cauchy “suy rộng”. Theo bất đẳng thức Cauchy suy rộng, nếu a 0, b 0, thì: ≥ ≥ ab q b p a qp ≥+ (1) Có đẳng thức khi và chỉ khi ap = bq. Áp dụng (1) với: n,...,2,1k, b bb, a aa q 1 n 1k q k k p 1 n 1k p k k = ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ = ∑∑ == , ta được: q 1 n 1k q k p 1 n 1k p k kk n 1k q k q k n 1k p k p k ba ba b b q 1 a a p 1 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ≥+ ∑∑∑∑ == == (2) Vì (2) đúng k = 1, 2, …, n, nên cộng từng vế n bất đẳng thức trên ta được: ∀ 0 ba ba q 1 p 1 q 1 n 1k q k p 1 n 1k p k kk ≥ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ≥+ ∑∑ == (3) Từ q 1 p 1 + = 1, nên từ (3) suy ra đ.p.c.m Có đẳng thức khi và chỉ khi n bất đẳng thức trong (2) đều trở thành đẳng thức, theo (1), có điều này khi và chỉ khi: n1,k, b....bb b a....aa a q n q 2 q 1 q k p n p 2 p 1 p k =+++=+++ Tức là: , b a..... b a b a q n p n q 2 p 2 q 1 p 1 === Với quy ước: Nếu bk = 0 với một k nào đó thì ak = 0 # Trường Đại Học An Giang Trang 10" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " Ngoài ra, với a1 = … = an = 0 hoặc b1 = … = bn = 0, (*) trở thành đẳng thức, kết hợp hai kết quả trên ta được: (*) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số A và B không đồng thời bằng không sao cho n.1,2,....,k,BbAa qk p k == - Cách 2: Dùng bất đẳng thức Jensen. Xét hàm số f(x) = xp khi x > 0 (p > 1) f’(x) = pxp-1 f’’(x) = p(p – 1)xp-2 > 0 (do p > 1, x > 0) Vậy f(x) là hàm lồi khi x > 0. Áp dụng bất đẳng thức Jensen với xk = ∑ = − = n 1k q k q k k q1 kk b b α;ba (k = 1, 2, …, n) Ta có ngay xk > 0, n1,2,...,k0,αk =∀> và 1α......αα n21 =+++ Khi đó ta có: (**) ( ) kn 1k knn2211 xfαxα....xαxαf ∑ = ≤+++ ( ) Do nn2211 xα....xαxα +++ = ∑∑ = = n 1k kkn 1k q k ba b 1 , vậy: (**) ( )∑∑∑ ∑ = − == = ≤ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇔ n 1k q1p k p k q kn 1k q k p n 1k q k n 1k kk bab b 1 b ba ∑∑ ∑∑ = = = = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ n 1k p kn 1k q k pn 1k q kpn 1k kk a b b ba (Do 0pqqp1 q 1 p 1 =−+⇔=+ ) ∑∑∑ = − == ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⇔ n 1k p k 1pn 1k q k pn 1k kk a.bba p 1 n 1k p k p 1p n 1k q k n 1k kk abba ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤⇔ ∑∑∑ = − == (***) Do q 1 p 1p =− , từ đó suy ra: (***) ≤⇔∑ = n 1k kkba p 1 n 1k p k q 1 n 1k q k ab ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∑∑ == . Bất đẳng thức Hölder được chứng minh xong. # Trường Đại Học An Giang Trang 11" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " Hệ quả: Nếu p = q = 2 thì bất đẳng thức Hölder trở thành: ( )( ) ( )2nn22112n22212n2221 ba....babab....bba....aa +++≥++++++ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: n n 2 2 1 1 b a.... b a b a === . (Bất đẳng thức Bouniakowski) 1.2. Dạng giải tích: 1.2.1. Định lý: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ]ba; , f(x) 0 với mọi x ∈ . Nếu f(x) không đồng nhất không trên ≥ [ ]ba; [ ]ba; thì ( ) .0dxxfb a >∫ Chứng minh: Giả sử x0 ∈ [ sao cho f(x]ba; 0)>0 và α là một số dương sao cho f(x0)> . α 1. Nếu thì tồn tại một số dương h sao cho a ≤ xbxa 0 ≤ với mọi x α ∈ . Khi đó: [ 00 xh;-x ] ] ( ) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfdxxf b x x hx hx a b a 0 0 0 0 ∫∫∫∫ ++= − − Vì f(x) 0 trên [ nên 0 và 0. ≥ ba; ( )dxxfhx a 0∫ − ≥ ( )dxxfb x0 ∫ ≥ Do đó . (1) ( )dxxfb a ∫ ≥ ( )dxxf0 0 x hx ∫ − Mặt khác, vì f(x) > α với mọi x ∈ [ ]00 xh;-x nên: (2) ( )dxxf0 0 x hx ∫ − ≥ 0αhdxα 0 0 x hx >=∫ − Từ (1) và (2) suy ra: ( ) .0dxxfb a >∫ 2. Nếu a x≤ 0 > với mọi x ∈ [ ]. α hx;x 00 + Tương tự như trên ta chứng minh được ( ) .0dxxfb a >∫ 1.2.2. Bổ đề: Giả sử (p, q) là một cặp số mũ liên hợp, tức là 1 q 1 p 1 =+ ; p > 1; q > 1. Khi đó với hai số không âm bất kì ta luôn có: β,α q β p α αβ qp +≤ # Trường Đại Học An Giang Trang 12" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " Có đẳng thức khi và chỉ khi . qp βα = Chứng minh: Hiển nhiên bổ đề đúng với = 0 hoặc = 0. Giả sử > 0 và β > 0. Hàm số y = x α β α p-1 liên tục và đồng biến trên nửa khoảng [ )+∞;0 và lấy giá trị trên đó. Do đó nó có hàm số ngược 1p 1 yx −= trên [ )+∞;0 . Giả sử đường thẳng x = α cắt đồ thị (C) của hàm số y = xp-1 (cũng là đồ thị của hàm số 1p 1 yx −= ) tại điểm A, đường thẳng y = cắt đồ thị (C) tại điểm B và cắt đường thẳng x = α tại điểm C. Khi đó diện tích hình chữ nhật OαCβ không lớn hơn tổng các diện tích của hai tam giác cong OαA giới hạn bởi trục hoành, đường thẳng x = và đồ thị (C) và tam giác cong OβB giới hạn bởi trục tung, đường thẳng y = β và đồ thị (C). β α BβOAαOβCαO SSS +≤ (1) Ta có: αβS βCαO = p α p xdxxS pα 0 pα 0 1p AαO === ∫ − β 0 1 1p 1 β 0 1p 1 BβO 1 1p 1 ydyyS +− == +− −∫ Vì q q 1 1 p 11 1 1p p1 1p 1 == − =−=+− , nên: q β q yS qβ 0 q BβO == Thay vào (1) ta được: q β p α αβ qp +≤ . Có đẳng thức khi và chỉ khi hai điểm A và B trùng nhau, tức là: ( ) pq1pq1p ααββα ==⇔= −− 1.2.3. Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích: Giả sử (p, q) là một cặp số mũ liên hợp, f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn [ . Khi đó: ]ba; ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤ b a q 1 b a qp 1 b a p xdxgdxxfdxxgxf ∫ (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho: A |f(x)|p = B|g(x)|q, ∀x ∈ [ ]ba; Chứng minh: # Trường Đại Học An Giang Trang 13" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " ¾ Nếu một trong hai tích phân ( ) dxxfb a p∫ hoặc ( ) dxxgb a q∫ bằng không thì (1) đúng. Thật vậy, giả sử ( ) dxxfb a p∫ = 0. Khi đó, vì ( ) 0xf p ≥ ,∀x∈ , nên theo định lý 1.2.1 suy ra f(x) = 0, [ ba; ] ∀x∈ [ ]ba; . Do đó f(x)g(x) = 0, ∀x∈ [ ]ba; và ( ) ( ) .0dxxgxfb a =∫ ¾ Giả sử ( ) dxxfb a p∫ > 0 và ( ) dxxgb a q∫ > 0. Áp dụng bổ đề 1.2.2, với ( ) ( ) p 1 b a pdxxf xf α ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ∫ và ( ) ( ) q 1 b a qdxxg xg β ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ∫ , ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dxxg xg q 1 dxxf xf p 1 dxxg xg . dxxf xf b a q q b a p p q 1 b a qp 1 b a p ∫∫∫∫ +≤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ,∀x∈ (2) [ ba; ] Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 q 1 p 1 dxxg dxxg q 1 dxxf dxxf p 1 dxxgdxxf dxxgxf b a q b a q b a p b a p q 1 b a qp 1 b a p b a =+=+≤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Theo bổ đề 1.2.2, (2) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi: ( ) ( ) ( ) ( ) q 1 b a qp 1 b a p dxxg xg dxxf xf ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫∫ , ∀x∈ [ ]ba; Kết hợp với phần 1, ta được (1) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho: A |f(x)|p = B|g(x)|q, ∀x ∈ [ ]ba; Hệ quả: Khi p = q = 2, bất đẳng thức Hölder trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 b a 2 2 1 b a 2 b a dxxgdxxfdxxgxf ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤ ∫∫∫ (Bất đẳng thức Bouniakowski) # Trường Đại Học An Giang Trang 14" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " §2. BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI -------------------- 2.1. Dạng đại số: 2.1.1. Bất đẳng thức Minkowski thứ I: Cho hai dãy số không âm a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn. Giả sử p > 1 là số hữu tỉ. Chứng minh rằng: ( ) p 1 n 1k p k p 1 n 1k p k p 1 n 1k p kk baba ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + ∑∑∑ === Chứng minh: Gọi q là số hữu tỉ mà 1 q 1 p 1 =+ . Vì p > 1 nên q cũng là số hữu tỉ > 1. Áp dụng bất đẳng thức Hölder cho hai dãy số { }ka và ( ){ }1pkk ba −+ , k = 1, 2, …, n, ta được: ( ) ( ) ( ) q 1 n 1k 1pq kk p 1 n 1k p k n 1k 1p kkk baabaa ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤+ ∑∑∑ = − == − (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Hölder cho hai dãy { }kb và ( ){ }1pkk ba −+ ta được: ( ) ( ) ( ) q 1 n 1k 1pq kk p 1 n 1k p k n 1k 1p kkk babbab ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤+ ∑∑∑ = − == − (2) Cộng từng vế (1) và (2), ta có: ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +≤+ ∑∑∑∑ ==== p 1 n 1k p k p 1 n 1k p k q 1 n 1k p kk n 1k p kk bababa (do q(p - 1) = p)(3) Nếu ak = bk = 0, k = 1, 2,…, n thì bất đẳng thức (3) hiển nhiên đúng. ∀ Do đó ta có thể giả thiết . Nên từ (3) ta có: ( ) 0ban 1k p kk >+∑ = ( ) p 1 n 1k p k p 1 n 1k p k q 11n 1k p kk baba ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ + ∑∑∑ == − = Hay ( ) p 1 n 1k p k p 1 n 1k p k p 1 n 1k p kk baba ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + ∑∑∑ === . # Trường Đại Học An Giang Trang 15" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " Hệ quả: Nếu p = q = n = 2, thì bất đẳng thức Minkowski trở thành: ( ) ( ) nn11nn11 ba...baba...ba ++++≤++++ Khi n =2, ta có: ( ) ( ) 22212221222211 bbaababa +++≤+++ vuvu rrrr +≤+⇔ (Với ( ) ( )2121 b,bv,a,au == rr ) (Bất đẳng thức tam giác) 2.1.2. Bất đẳng thức Minkowski thứ II: Cho 2 dãy số không âm a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn. Chứng minh rằng: ( )( ) ( ) n n21n n21n nn2211 ...bbb...aaaba...baba +≥+++ (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n n 2 2 1 1 b a...... b a b a === . Chứng minh: - Cách 1: Có hai trường hợp sau: c Nếu (a1 + b1)(a2 + b2).....(an + bn) = 0. Khi đó phải tồn tại k mà a( nk1 ≤≤ ) k + bk = 0. Do 0ba0b,0a kkkk ==⇒≥≥ . Vậy bất đẳng thức (1) đúng (vì cả hai vế bằng 0). d Nếu (a1 + b1)(a2 + b2).....(an + bn) > 0. Khi đó bất đẳng thức (1) viết lại dưới dạng sau: 1 ba b....... ba b. ba b ba a....... ba a. ba a n nn n 22 2 11 1n nn n 22 2 11 1 ≤+++++++ (2) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++++++≤+++ nn n 22 2 11 1n nn n 22 2 11 1 ba a...... ba a ba a n 1 ba a....... ba a. ba a (3) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++++++≤+++ nn n 22 2 11 1n nn n 22 2 11 1 ba b...... ba b ba b n 1 ba b....... ba b. ba b (4) Cộng từng vế (3), (4) suy ra (1) đúng. Dấu bằng xảy ra trong hai trường hợp sau: a) Hoặc là tồn tại chỉ số k mà ak = bk = 0. b) Hoặc là ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +==+=+ +==+=+ nn n 22 2 11 1 nn n 22 2 11 1 ba b..... ba b ba b ba a..... ba a ba a Với quy ước nếu bk = 0 thì ak = 0, dấu bằng xảy ra n n 2 2 1 1 b a...... b a b a ===⇔ # Trường Đại Học An Giang Trang 16" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " - Cách 2: Dùng bất đẳng thức Jensen. - Xét hàm số f(x) = ln(1+ex). ( ) R∈∀>+=⇒ +=⇒ x,0 e1 e)x(''f e1 e)x('f 2x x x x Vậy f(x) là hàm lồi trên R. Theo bất đẳng thức Jensen, ta có: ( ) ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++≥+++ n x.....xxf n xf.....xfxf n21n21 ( ) ( )[ ] ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≥++++⇔ ++ n x...x xx n1 n1 e1lne1ln...e1ln n 1 Chọn n1,2,....,i, a blnx i i i == ta được: ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +≥ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +++ n a bln..... a bln a bln n n 2 2 1 1 n n 2 2 1 1 e1ln n a b1ln..... a b1ln a b1ln ( )( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⇒ n n21 n21n n21 nn2211 .....aaa .....bbb1ln .....aaa ba.....babaln ( )( ) ( ) n n21n n21n nn2211 b.....bba.....aaba.....baba +≥+++⇒ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: n21 x...xx === n n 2 2 1 1 n n 2 2 1 1 a b... a b a b a bln... a bln a bln ===⇔ ===⇔ 2.2. Dạng giải tích: Giả sử p ≥ 1, f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó: [ ba; ] ( ) ( ) ( ) ( ) p 1 b a pp 1 b a pp 1 b a p dxxgdxxfdxxgxf ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∫∫∫ (1) Chứng minh: Hiển nhiên (1) đúng với p = 1. Giả sử p > 1. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf p +=+ ( ) ( ) 1pxgxf −+ ≤ ( )xf≤ ( ) ( ) 1pxgxf −+ ( )xg+ ( ) ( ) 1pxgxf −+ ,∀ . Do đó: [ b;ax∈ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++≤+ −− ∫∫∫ dxxgxf xgdxxgxf xfdxxgxf 1pb a 1p b a b a p (2) # Trường Đại Học An Giang Trang 17" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " Gọi q là số mũ liên hợp của p. Áp dụng bất đẳng thức Hölder cho hai hàm số liên tục f và 1pgf −+ , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤+ ∫∫∫ −− q 1 b a q1pp 1 b a p1p b a dxxgxfdxxfdxxgxf xf ( ) ( ) ( ) q 1 b a pp 1 b a p dxxgxfdxxf ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∫∫ (3) Tương tự: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q 1 b a pp 1 b a p1p b a dxxgxfdxxgdxxgxf xg ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤+ ∫∫∫ − (4) Từ (2), (3) và (4) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q 1 b a pp 1 b a pp 1 b a p b a p dxxgxf.dxxgdxxfdxxgxf ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤+ ∫∫∫∫ (5) y Nếu ( ) ( ) 0dxxgxfb a p =+∫ thì bất đẳng thức cần chứng minh đúng. y Nếu ( ) ( ) 0dxxgxfb a p >+∫ , từ (5) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) p 1 b a pp 1 b a pq 11b a p dxxgdxxfdxxgxf ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∫∫∫ − Hay ( ) ( ) ( ) ( ) p 1 b a pp 1 b a pp 1 b a p dxxgdxxfdxxgxf ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ∫∫∫ # Trường Đại Học An Giang Trang 18" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " CHƯƠNG III ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Các ứng dụng toán phổ thông của bất đẳng thức Hölder và Minkowski được thể hiện trong chương này một cách khá đặc sắc ở nhiều lĩnh vực toán học: giải tích, giải tích tổ hợp, hình học, hình học giải tích, đại số, lượng giác và số học. # Trường Đại Học An Giang Trang 19" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " §1. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER -------------------- 1.1. Ứng dụng trong giải tích: 1.1.1. Bất đẳng thức tích phân: Bài 1: Giả sử f và g là hai hàm số liên tục, dương trên đoạn [ ]ba; và f(x)g(x) 1 với mọi x ∈ . Chứng minh rằng: ≥ [ ba; ] ( ) ( ) ( )2b a b a abdxxg.dxxf −≥∫∫ Chứng minh: f và g là những hàm số liên tục và dương trên đoạn [ . Vì f(x)g(x) 1 với mọi x ∈ nên ] ] ba; ≥ [ ba; ( ) ( ) 1xgxf ≥ với mọi x ∈ [ ]ba; . Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder cho hai hàm số f và g , ta được: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .abdxdxxgxfdxxgdxxfdxxg.dxxf 22b a 2b a b a b a 22 b a b a −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≥⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≥= ∫∫∫ ∫∫∫ Bài 2: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [ và f(0) - f(1) = 1. Chứng minh rằng: ] ] 0;1 ( )[ ] 1dxxf'1 0 2 ≥∫ Chứng minh: Theo định lý Newton – Leibniz: ( ) ( ) ( ) 10f1fdxxf'1 0 =−=∫ Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder cho hai hàm số f’(x) và g(x) = = 1, x ∈ [ , ta được: 0;1 1= [ ] [ ]∫∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 1 0 2 1 0 2 1 0 2 21 0 21 0 dx(x)f'dx(x)f'dx1(x).1dxf'(x)dxf' Vậy ( )[ ] 1.dxxf'1 0 2 ≥∫ Bài 3: Chứng minh rằng ∀x > 0, ta có: ( )∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−<+<− − x 0 xxt2tx 2 1e1edtee1e Chứng minh: Ta có: ∫∫ +=+ − x 0 2t-tt2 1x 0 t2t dteeedtee (1) Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder, ta có: # Trường Đại Học An Giang Trang 20" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " ( )dteedtedteee x 0 2tt x 0 t 2 2tt x 0 2 1 ∫∫∫ −− +≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + Do đó từ (1), suy ra: ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−<⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−−≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −−∫ 21e1ee2121e1edtee xx2xxx 2x 0 t2t (2) Mặt khác t2t ee −+ > , te ∀0 < t < x, nên: dtee x 0 t2t∫ −+ > = (3) ∫x 0 tdte 1ex − Từ (2) và (3), suy ra: < 1ex − dtee x 0 t2t∫ −+ < ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −− 21e1e xx Bài 4: Cho f(x) là hàm số liên tục cùng với đạo hàm của nó trên đoạn và f(a) = 0. Đặt M = [ ba; ] ( )xfmax bxa ≤≤ . Chứng minh: M 2 . ( ) ( )( )∫−≤ b a 2 dxxf'ab Chứng minh: Gọi x0 là điểm thuộc [ ]ba; sao cho: ( ) ( )xfmaxxf bxa0 ≤≤ = . Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Hölder với hai hàm f’(x) và g(x) = 1, ta được: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫ ∫ ∫∫ −=≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 0 0 00 x a x a x a 2 0 2 2x a dxxf'axdxdxxf'dxxf' Do = f(x( )dxxf'0x a ∫ 0) ⇒ ( )0xf ≤ ( )( ) dxxf'ax 0 x a 2 0 ∫− , từ đó: M ( )( ) ( ) ( )( ) dxxf'abMab.dxxf' b a 22 b a 2 ∫∫ −≤⇒−≤ Bài 5: Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) xác định trên và nhận giá trị cũng trên đoạn [ . Chứng minh: [0;1] ]0;1 ( ) ( ) ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf 1 0 1 0 21 0 ∫∫∫ ≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Chứng minh: Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder , ta được: (1) ( ) ( ) ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf 1 0 2 1 0 2 21 0 ∫∫∫ ≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Vì ( ) ( ) 1x01,xg1;0xf0 ≤≤∀≤≤≤≤ nên: và ( ) ( )xfxf 2 ≤ ( ) ( ) 1x0,xgxg2 ≤≤∀≤ . # Trường Đại Học An Giang Trang 21" # Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu " Suy ra do đó: ( ) ( ) ( ) ( )dx,xgdxxgdx,0xfdxxf0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 ∫∫∫∫ ≤≤≤≤ (2) ( ) ( ) ( ) ( )dxxgdx.xfdxxgdx.xf 1 0 1 0 1 0 2 1 0 2 ∫∫∫∫ ≤ Từ (1) và (2) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf 1 0 1 0 21 0 ∫∫∫ ≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Bài 6: Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên [ ]0;1 và ( ) 1xf ≤ , [0;1x ]∈∀ . Chứng minh: 21 0 1 0 2 f(x)dx1dx(x)f1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−≤− ∫∫ Chứng minh: Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder cho hai hàm số h(x) = = (x)f1 2− và G(x) 1 trên ≡ [ ]0;1 , ta được: 21 0 2 dx(x)f-1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ ( )( ) ∫∫ −≤ 1 0 1 0 2 dxdxxf1 ( )∫−= 1 0 2 dxxf1 Suy ra ( ) ( )∫∫ −≤− 1 0 2 1 0 2 dxxf1dxxf1 (1) Lại áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder cho hai hàm F(x) = f(x) và G(x) ≡ 1 trên [ , ta được: ]0;1 , do đó: 1 - (2) ( ) ( ) ∫∫∫ ≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 1 0 1 0 2 21 0 dxdxxfdxxf 21 0 f(x)dx⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ ≥ ( )∫− 1 0 2 dxxf1 Từ (1) và (2), suy ra 21 0 1 0 2 f(x)dx1dx(x)f1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−≤− ∫∫ 1.1.2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Bài 1: Cho 2 số dương a, b thoả mãn : a x + y b = 1 với x, y > 0. Tìm x, y để: S = x + y nhỏ nhất (tính theo a, b). Giải Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Hölder, ta có: ( a + b )2 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜._.