Tóm tắt Luận án - Đa tạp quán tính và tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân

. . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vào hồi giờ ngày tháng năm 20... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội Hà Nội - 2019 MỞ ĐẦU Mục tiêu chính của luận án "Đa tạp quán tính và tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân" là phát biểu và chỉ ra điều kiện tồn tại đa tạp quán tính (đa tạp quán tính chấp nhận được) cho một số lớp các phương trình vi phân: phương trình vi phân với trễ hữu hạn, phương trình vi phân trung tính, phương trình vi phân cấp hai theo thời gian, phương trình vi phân ngẫu nhiên. Cụ thể, luận án ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo, gồm có 05 chương sau: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết các kết quả bổ trợ sử dụng trong các chương còn lại của luận án: sơ lược về phổ của toán tử và không gian hàm Banach. • Chương 2. Đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình vi phân hàm với trễ hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi định nghĩa khái niệm đa tạp quán tính chấp nhận được và xét sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của lớp các phương trình vi phân với trễ hữu hạn có dạng du + Au = f(t, u ), t > s, t, s ∈ ; u (·) = φ(·) ∈ C (1) dt t R s β trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết1; f : R × Cβ → X là một toán tử phi tuyến ϕ - Lipschit. • Chương 3. Đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình đạo hàm riêng trung tính. Trong chương này, chúng tôi xét sự tồn tại đa tạp quán tính 1 chấp nhận được của lớp các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính dạng  d  (F ut) + A(F ut) = f(t, ut), t > s, dt (2)   us = φ, s ∈ R, trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết1; F : Cβ → X là một toán tử tuyến tính bị chặn được gọi là toán tử sai phân, f : R × Cβ → X là một toán tử phi tuyến liên tục hay là toán tử trễ ϕ - Lipschitz • Chương4. Đa tạp quán tính châp nhận được của phương trình vi phân cấp hai theo biến thời gian Trong chương này, chúng tôi xét sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của lớp các phương trình vi phân cấp hai theo biến thời gian, có dạng  x¨(t) + 2εx˙(t) + Ax(t) = f(t, x(t)), t > s, s ∈ , ε > 0,  R  x(s) = xs,0, s ∈ R, (3)    x˙(s) = xs,1, trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết1; f : R × Xβ → X là toán tử phi tuyến liên tục và 0 6 β 6 1/2. • Chương5. Đa tạp quán tính của phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không gian hàm chấp nhận được Trong chương này, chúng tôi xét sự tồn tại đa tạp quán tính của lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không gian hàm chấp nhận được, có dạng du + Au = f(t, u) + u ◦ W˙ (4) dt trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết1; f là hàm ϕ - Lipschitz; và u ◦ W˙ là phần nhiễu. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược về lý thuyết phổ của toán tử Trong luận án này chúng ta sử dụng giả thiết sau: Giả thiết 1. A là toán tử tự liên hợp, xác định dương có phổ rời rạc, 0 < λ1 λ2 ..., mỗi giá trị có bội hữu hạn và lim λk = ∞. 6 6 k→∞ ∞ Hơn nữa, {ek}k=1 lập thành một cơ sở trực giao trong X bao gồm các hàm riêng tương ứng của A (tức là, Aek = λkek). ∗ Với N ∈ N , ta xây dựng phép chiếu trực giao PN lên không gian con span {ek : k = 1, 2, ..., N}, bởi công thức N X PN x = hx, ekiek. (1.1) k=1 Để đơn giản, từ đây ta viết P thay cho PN . Lúc này, ta có các đánh giá nhị phân sau −tA λ |t| e P 6 Me N với t ∈ R β −tA β λN |t| A e P 6 λN Me , t ∈ R, −tA −λ t (1.2) e (I − P ) 6 Me N+1 , t > 0, " β # β −tA β β −λ t A e (I − P ) M + λ e N+1 , t > 0. 6 t N+1 3 ở đây, M > 1 là một hằng số nào đó. Hơn nữa, ta có thể xây dựng hàm Green   −(t−τ)A e [I − P ] với t > τ, G(t, τ) := (1.3)  −(t−τ)A −e P với t 6 τ. Dễ thấy G(t, τ) từ X vào Xβ. λ + λ Mặt khác, theo các đánh giá nhị phân (1.2), với γ = N N+1 ta có 2  γ(t−τ) β  −µ|t−τ| e A G(t, τ) 6 K(t, τ)e với mọi t 6= τ, (1.4) λ − λ trong đó µ = N+1 N và 2  β  β β  + λN+1 nếu t > τ, K(t, τ) = t − τ  β λN nếu t 6 τ. 1.2 Không gian hàm Banach Để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được, trong các Chương 2 và Chương3 ta giả sử E là một không gian hàm chấp nhận được nào đó và E0 là I I không gian liên kết của nó thỏa mãn Giả thiết 2. (i) Không gian hàm Banach E và không gian liên kết của nó E0 là các I I không gian chấp nhận đưược. (ii) Không gian hàm β 1+β E := {u ∈ E | |u| 1−β ∈ E } I I I cũng là một không gian hàm Banach chấp nhận được với chuẩn  1+β 1−β  1−β 1+β kukβ := max kukE , k|u| kE . I I (iii) E0 chứa hàm E - bất biến ν - mũ, tức là: với hàm ϕ 0, ν > 0 cố định, các hàm I I > hν và Θν −ν|t−·| hν(t) := e ϕ(·) E0 I 4 1−β −ν 1+β |t−·| 1+β 1+β Θν(t) := e 1−β ϕ 1−β (·) , với t ∈ I, E0 I thuộc EI. Bên cạnh đó, để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được cho các phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian, trong Chương4 ta giả sử EI là một không gian hàm chấp nhận được nào đó và E0 là không gian liên kết của nó thỏa mãn I Giả thiết 3. (i) Không gian hàm Banach E và không gian liên kết của nó E0 là các I I không gian chấp nhận đưược. (ii) Với ϕ ∈ E0 và ν > 0 cố định, hàm h cho bởi I ν −ν|t−·| hν(t) := e ϕ(·) khi t ∈ I E0 I thuộc vào EI. Cuối cùng, để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính cho lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không gian hàm chấp nhận được, trong Chương5, ta giả sử E là một không gian hàm chấp nhận được nào đó và E0 là không gian liên kết của nó I I thỏa mãn Giả thiết 4. Không gian hàm Banach E và không gian liên kết của nó E0 là các không I I gian chấp nhận được. Kết luận chương 1 Chương này, chúng tôi tổng hợp những kiến thức cơ bản về lý thuyết phổ của toán tử, không gian hàm Banach và đề xuất một số giả thiết về các không gian hàm Banach sử dụng ở từng chương cụ thể của luận án. 5 Chương 2 ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TRỄ HỮU HẠN 2.1 Phát biểu bài toán Cho X là một không gian Hilbert tách được nào đó, A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1, r > 0, 0 6 β < 1 là các hằng số, ta ký hiệu Cβ = C ([−r, 0]; Xβ)) (2.1) là không gian các hàm liên tục mạnh trên [−r, 0] nhận giá trị trên Xβ. Khi đó, Cβ là một không gian Banach với chuẩn β kvkCβ = sup kA v(θ)k, ∀v ∈ Cβ. θ∈[−r,0] Trong chương này, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình vi phân với trễ hữu hạn có dạng du + Au = f(t, u ), t > s, t, s ∈ ; u (·) = φ(·) ∈ C (2.2) dt t R s β trong đó ; f : R × Cβ → X là một toán tử phi tuyến và r > 0 là hằng số trễ; ut là hàm lịch sử xác định bởi ut(θ) = u(t + θ) với mọi −r 6 θ 6 0. Ta đặt  EI = E(I, Cβ) := h : I → Cβ | h đo được mạnh và kh(·)kCβ ∈ EI . 6 Khi đó, EI là một không gian Banach với chuẩn khkE := kh(·)k . I Cβ E I và là không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được EI. Hơn nữa, ta giả sử f là hàm ϕ - Lipschitz như trong Định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1. Cho E là một không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ là một hàm giá trị dương thuộc vào E. Hàm f : R × Cβ → X gọi là ϕ - Lipschitz nếu f thỏa mãn (i) kf(t, 0)k 6 ϕ(t) với mọil t ∈ R, (ii) kf(t, φ1) − f(t, φ2)k 6 ϕ(t)kφ1 − φ2kCβ với mọi t ∈ R và mọi φ1, φ2 ∈ Cβ. Nhận thấy rằng, nếu f(t, φ) là ϕ - Lipschitz thì kf(t, φ)k 6 ϕ(t)(1 + kφkCβ ) với mọi φ ∈ Cβ và t ∈ R. Định nghĩa 2.2. Một hàm u(·) là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.2) trên [s − r, T ] nếu us(θ) = φ(θ) với θ ∈ [−r, 0] và t Z −(t−s)A −(t−τ)A u(t) = e u(s) + e f(τ, uτ )dτ (2.3) s với mọi t ∈ [s, T ]. 2.2 Đa tạp quán tính chấp nhận được Lúc này, trên Cβ, ta có thể định nghĩa toán tử chiếu Pˆ bởi công thức −θA (Pˆ φ)(θ) = e P φ(0) với φ ∈ Cβ. (2.4) Khi đó, ta có thể định nghĩa khái niệm về "đa tạp quán tính chấp nhận được" như sau Định nghĩa 2.3. Một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E của phương trình (2.3) là một tập các mặt Lipschitz M = (Mt)t∈R trong Cβ có dạng ˆ Mt = {pˆ + Φt(ˆp(0)) | pˆ ∈ P Cβ} ⊂ Cβ 7 trong đó Φt : PX → (I − Pˆ)Cβ là một ánh xạ Lipschitz. Hơn nữa, các điều kiện sau được thỏa mãn (i) Các hằng số Lipschitz của Φt không phụ thuộc t. Nói cách khác, tồn tại một hằng số C không chứa t sao cho kΦ (x ) − Φ (x )k C Aβ(x − x ) ∀ x , x ∈ X ; t ∈ . t 1 t 2 Cβ 6 1 2 1 2 β R (ii) Tồn tại γ > 0 để với mỗi φ ∈ Mt0 có duy nhất một nghiệm u(·) của phương trình (2.3) trên (−∞, t0] thỏa mãn ut0 = φ và hàm −γ(t0−t) t 7→ e kutkCβ , t 6 t0 thuộc E(−∞,t0] với mỗi t0 ∈ R. (iii) M là bất biến dương đối với phương trình (2.3). Nghĩa là, nếu u(t) là một nghiệm của phương trình (2.3) thỏa us = φ ∈ Ms, thì với mọi t > s ta có ut ∈ Mt. (iv) M hút tất cả các nghiệm của phương trình (2.3) với cấp độ mũ. Tức là, với u(·) là nghiệm tùy ý của phương trình (2.3), và với s ∈ R cố định nào đó, tồn tại một ∗ hằng số dương H và một nghiệm ut thuộc M sao cho ∗ −γ(t−s) kut − ut kCβ 6 He với t > s. (2.5) Định lý sau là kết quả chính của chương này, chỉ ra sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình (2.3) Định lý 2.1. Cho A thỏa mãn Giả thiết1. Hơn nữa, cho E, E0 và ϕ ∈ E0 thỏa mãn Giả −µ|t| thiết2. Ký hiệu eµ là hàm số eµ(t) = e với mọi t ∈ R, đặt 3rµ 2β ! kΛ1ϕk∞ N1N2e λN keµkkmkβ γr  β β β  } := −µ + e N1β + N1λN+1 + N2λN 1 − e 1 − kmkβ 2β (2.6) 1−β   1+β 2 1+β 1+β + β Λ1ϕ 1−β . 1 − β ∞ Giả sử f là ϕ - Lipschitz và hơn nữa max {km(·)kβ, }} < 1 (2.7) 8 trong đó hàm m được định nghĩa ở (2.8), λN < λN+1 là hai giá trị riêng liên tiếp của λ − λ A, và µ = N+1 N . Khi đó, phương trình (2.3) có đa tạp quán tính chấp nhận được 2 lớp E . Trong đó, β µr β β m(t) = β e (1 + λN+1 + λN ) 2β ! (2.8)  2  1+β 1+β 1+β 1−β −µ|t−·| −µ 1−β |t−·| 1−β 1+β × ke ϕ(·)k 0 + ke ϕ (·)k 0 E 1 − β E 2.3 Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình Fisher - Kolmogorov Trong mục này, ta áp dụng kết quả ở trên cho phương trình Fisher - Kolmogorov có trễ có dạng  2   ∂w(t, x) ∂ w(t, x) a  = + aw(t, x) 1 − w(t − r, x) t > s, 0 < x < π  ∂t ∂x2 K(t)  w(t, 0) = w(t, π) = 0, t ∈ (2.9)  R   w(x, t) = φ(x, t), 0 6 x 6 π, −r 6 t 6 0 với w(t, x) biểu thị cho mật độ dân số tại vị trí x và thời gian t; r là một hằng số dương, a > 0 là hệ số tái sinh tuyến tính và K(t) > 0 là sức chứa của môi trường tại thời điểm t, ϕ là một hàm cho trước. Kết luận chương2 Chương này, chúng tôi định nghĩa và chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình vi phân hàm với trễ hữu hạn và sử dụng kết quả thu được chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình Fisher - Kolmogorov. Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [1] trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 9 Chương 3 ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG TÍNH 3.1 Phát biểu bài toán Trong chương này, chúng ta xét các phương trình vi phân trung tính dạng  d  (F ut) + A(F ut) = f(t, ut), t > s, dt (3.1)   us = φ, s ∈ R, trong đó A là một toán tử tuyến tính không bị chặn trên một không gian Hilbert tách được X nào đó; F : Cβ → X là một toán tử tuyến tính bị chặn được gọi là toán tử sai phân, f : R × Cβ → X là một toán tử phi tuyến liên tục hay là toán tử trễ, và ut là hàm lịch sử xác định bởi ut(θ) := u(t + θ) với mọi θ ∈ [−r, 0]. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được trong trường hợp f là ϕ-Lipschitz (như trong Định nghĩa 2.1). Tương tự như Chương2, ta đặt  EI = E (I, Cβ) := h : I → Cβ | h đo được mạnh và kh(·)kCβ ∈ EI . Khi đó, EI là một không gian Banach với chuẩn khkE := kh(·)k . I Cβ E I và là không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được EI. Hơn nữa, ta cũng cần giả thiết sau về toán tử sai phân F : 10 Giả thiết 5. Cho X là một không gian Hilbert tách được. Toán tử sai phân F : Cβ → X có dạng F = δ0 − Ψ với δ0 : Cβ → X là hàm Delta Dirac tập trung tại 0 (tức là, δ0ϕ = ϕ(0)), và Ψ: Cβ → Xβ là một toán tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn kΨk < 1. Định nghĩa 3.1. Một hàm u ∈ C([s − r, T ]; Xβ) là một nghiệm đủ tốt của (3.1) trên đoạn [s − r, T ] nếu us = φ với giá trị ban đầu φ ∈ Cβ và t Z −(t−s)A −(t−τ)A F ut = e F φ + e f(τ, uτ )dτ (3.2) s với mọi t ∈ [s, T ]. 3.2 Đa tạp quán tính chấp nhận được Lúc này, trên Cβ, tương tự như Chương2, ta định nghĩa phép chiếu Pˆ bởi −θA (Pˆ φ)(θ) = e P φ(0) với φ ∈ Cβ. Khi đó, ta định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận được cho (3.2) như sau Định nghĩa 3.2. Một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E của (3.2) là một họ các mặt Lipschitz M = (Mt)t∈R trong Cβ có dạng ˆ Mt = {pˆ + Φt(ˆp(0))|pˆ ∈ P Cβ} ⊂ Cβ ˆ ˆ ˆ trong đó Φt : PX → QCβ (Q = IdCβ − P ) và các điều kiện sau được thỏa mãn (i) Hằng số Lipschitz của Φt không phụ thuộc t, tức là, tồn tại một hằng số C không chứa t sao cho kΦ (p ) − Φ (p )k C Aβ(p − p ) , ∀ p , p ∈ X ; ∀t ∈ . t 1 t 2 Cβ 6 1 2 1 2 β R (ii) Tồn tại γ > 0 sao cho với mỗi φ ∈ Ms tồn tại tương ứng một và chỉ một nghiệm u(t) của (3.2) trên (−∞, s] sao cho us = φ và hàm −γ(s−t) n(t) = e kutkCβ , t 6 s thuộc E(−∞,s] với mỗi s ∈ R. 11 (iii) M là F - bất biến dương dưới tác động của (3.2), tức là, nếu u(t) là một nghiệm của (3.2), hàm u˜s định nghĩa bởi u˜s(θ) = F us+θ ∀θ ∈ [−r, 0] (3.3) và u˜s ∈ Ms thì u˜t0 ∈ Mt0 với mọi t0 > s. Ở đây, u˜t0 là hàm định nghĩa trong (3.3) khi s thay bởi t0. (iv) M hút tất cả các nghiệm của(3.2) với cấp độ F -mũ, tức là, với nghiệm bất kỳ u(·) của (3.2) và với s ∈ R cố định, tồn tại một hằng số dương H, một nghiệm u∗(·) ∗ sao cho u˜t ∈ Mt và ku − u∗k He−γ(t−s) t s t t Cβ 6 với > (3.4) ∗ trong đó u˜t xác định trong (3.3). Định lý sau là kết quả chính của chương này, chỉ ra sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình (3.2) Định lý 3.1. Cho A thỏa mãn Giả thiết1; E, E0 và ϕ ∈ E0 thỏa mãn Giả thiết2. Hơn nữa, cho F thỏa mãn Giả thiết5 và f là ϕ-Lipschitz sao cho max {||m||β, }} < 1 − kΨk . (3.5) Khi đó, phương trình (3.2) có một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E . Trong đó 3rµ 2β ! ||Λ1ϕ||∞ N1N2e λN ||eµ||||m||β γr  β β β  } = −µ + e N1β + N1λN+1 + N2λN 1 − e 1 − ||m||β 2β (3.6) 1−β   1+β 2 1+β 1+β + β Λ1ϕ 1−β , 1 − β ∞ −µ|t| ở đây eµ(t) = e , và m(·) được định nghĩa như trong (2.8). 12 3.3 Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình truyền nhiệt của vật liệu nhớ có trễ Kết quả của chương được áp dụng cho bài toán  " # ∂ ∂2 t  u(t, x) = u(t, x) + R (t − s)(t − s − 1)u(s, x)ds  2  ∂t ∂x t−1   t t  + R [−2(t − s) + 1] u(s, x)ds + a(t) R ln (1 + |u(s, x)|) ds, t−1 t−1 (3.7)   u(0, t) = u(π, t) = 0, t s  >    us(x, θ) = u(x, s + θ) = φ(x, θ), x ∈ [0, π], θ ∈ [−1, 0] . trong đó a(t) xác định bởi     1 1  n nếu t ∈ n − n+c , n + n+c với n = 1, 2, .... a(t) = 2 2 (3.8)   0 trường hợp còn lại. Kết luận chương3 Qua chương này, chúng ta xây dựng khái niệm đa tạp quán tính chấp nhận được và chứng minh sự tồn tại của nó một lớp các phương trình vi phân trung tính và sử dụng kết quả thu được chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình truyền nhiệt của vật liệu có nhớ, trễ. Các kết quả ở chương này, có thể được xem như là kết quả mở rộng của chương2. Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [2] trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 13 Chương 4 ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA CẤP HAI THEO BIẾN THỜI GIAN 4.1 Phát biểu bài toán Trong chương này, chúng ta chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp các phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian có dạng  x¨(t) + 2εx˙(t) + Ax(t) = f(t, x(t)), t > s, s ∈ , ε > 0,  R  x(s) = xs,0, s ∈ R, (4.1)    x˙(s) = xs,1, trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết1; f : R × Xβ → X là toán tử phi tuyến liên β tục và Xβ := D(A ) với 0 6 β 6 1/2. Đặt H = D(A1/2) × X. Ta có H là một không gian Hilbert tách được với tích vô hướng (U, V ) = (Ax0, y0) + (x1, y1), trong đó U = (x0, x1),V = (y0, y1) ∈ H . Lúc này, trên H bài toán (4.1) có thể được viết lại dưới dạng hệ cấp một như sau dU(t)  + AU(t) = F(t, U(t)), t > s, dt (4.2)   U(s) = Us, với U(t) := (x(t), x˙(t)) và Us = (xs,0, xs,1). 14 Trong đó, toán tử tuyến tính A và ánh xạ F được định nghĩa bởi các công thức AU = (−x1, Ax0 + 2εx1) với tập xác định D(A) = D(A) × D(A1/2), F(t, U(t)) = (0, f(t, x0(t))) với U = (x0, x1). Ta có thể kiểm tra được các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử A có dạng ± p 2 ± ± µN = ε ± ε − λN , gN = (eN , −µN eN ) với mọi N = 1, 2, ··· với λN và eN là các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử A. Hơn nữa, ta đặt  EI = h : I → H | h đo được mạnh và kh(·)k ∈ EI . Khi đó, EI là một không gian Banach với chuẩn khkE := kkh(·)kkE . I I và là không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được EI. 2 Giả sử tồn tại số tự nhiên N sao cho ε > λN+1. Ta phân tích H dưới dạng tổng trực giao H = H1 ⊕ H2 với H1 = span{(ek, 0), (0, ek): k = 1, ··· ,N}, H2 = span{(ek, 0), (0, ek): k > N + 1} Trên H1 và H2, ta trang bị các tích vô hướng sau 2 0 0 0 0 0 1 0 1 hU, V i1 = ε (x , y ) − (Ax , y ) + (εx + x , εy + y ), 0 0 2 0 0 0 1 0 1 hU, V i2 = (Ax , y ) − (ε − 2µN+1)(x , y ) + (εx + x , εy + y ). 0 1 0 1 Trong đó, U = (x , x ) và V = (y , y ) là các phần tử lần lượt thuộc H1 và H2. Khi đó, ta có thể định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trong H như sau 1/2 hU, V i = hU1,V1i1 + hU2,V2i2, |U| = hU, Ui . 15 với U = U1 + U2 và V = V1 + V2, trong đó Vi,Ui ∈ Hi, i = 1, 2. Ta cố định N, và xét các không gian con ± ± H1 := span{gk : k 6 N}. + − Ta có H1 = H1 ⊕ H1 và ký hiệu PHi là các phép chiếu trực giao lên các không gian con Hi trong H , i = 1, 2. − + Đặt P ≡ P và Q := I − P = P + PH2 . Ta có các đánh giá H1 H1  tA  µ− |t| e P  6 e N , t ∈ R,  −tA  −µ− t e (I − P ) 6 e N+1 , t > 0. Hơn nữa, ta định nghĩa hàm Green như sau   −(t−τ)A e [I − P ] với mọi t > τ, G(t, τ) = (4.3)  −(t−τ)A −e P với mọi t 6 τ. Khi đó G(t, τ) từ H vào H và γ(t−τ) −α|t−τ| e |G(t, τ)| 6 e với mọi t, τ ∈ R (4.4) trong đó µ− − µ− µ− + µ− α := N+1 N và γ := N+1 N . 2 2 Nhận xét 4.1. Trong trường hợp không gian pha vô hạn chiều, thay cho (4.2), ta xét phương trình tích phân Z t −(t−s)A −(t−ξ)A U(t) = e U(s) + e F(ξ, U(ξ))dξ với hầu hết t > s. (4.5) s Lúc này, một nghiệm của phương trình (4.5) được hiểu là một hàm U(·) đo được mạnh xác định trên một khoảng J nào đó, nhận giá trị trong H và thỏa mãn (4.5) với t, s ∈ J. Lưu ý rằng, một nghiệm U của phương trình (4.5) được gọi là một nghiệm đủ tốt của phương trình (4.2). Tiếp theo, ta định nghĩa tính chất ϕ-Lipschitz của phần phi tuyến f như sau 16 Định nghĩa 4.1. Cho E là một không gian hàm Banach chấp nhận được trên R và ϕ là một hàm dương thuộc E. Khi đó, hàm f : R × Xβ → X gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thỏa mãn β
(i) kf(t, x)k 6 ϕ(t) 1 + A x với hầu hết t ∈ R và với mọi x ∈ Xβ, β (ii) kf(t, x1)−f(t, x2)k 6 ϕ(t) A (x1 − x2) với hầu hết t ∈ R và với mọi x1, x2 ∈ Xβ. Theo cách xác định của F, ta có Mệnh đề 4.1. Nếu f là ϕ-Lipschitz, thì |F(t, U)| 6 ϕ(t) + ψ(t)|U|, (4.6) |F(t, U) − F(t, V )| 6 ψ(t)|U − V |, (4.7) với ( s ) 1 β −1 β− 2 −1 λN+1 ψ(t) = ϕ(t)λN+1δN,ε = ϕ(t)λN+1δN,ε max 1, 2 . ε − λN+1 Nhận xét 4.2. Để đơn giản, với mọi t ∈ R ta đặt ( ( s )) 1 β− 2 −1 λN+1 κ(t) := max{ϕ(t), ψ(t)} = max ϕ(t), ϕ(t)λN+1δN,ε max 1, 2 ε − λN+1 như vậy, nếu f là ϕ-Lipschitz thì F là κ-Lipschitz, hay |F(t, U)| 6 κ(t)(1 + |U|), |F(t, U) − F(t, V )| 6 κ(t)|U − V |. 4.2 Đa tạp quán tính chấp nhận được Định nghĩa 4.2. Cho E là một không gian hàm chấp nhận được và E là một không gian Banach tương ứng với E. Một đa tạp quán tính chấp nhận dược lớp E của phương trình (4.5) là một họ các mặt M = {Mt}t∈R trong X sao cho mỗi Mt là đồ thị của một hàm Lipschitz Φt : P H → (I − P )H , 17 tức là, Mt = {U + ΦtU : U ∈ P H } với t ∈ R. (4.8) Hơn nữa, các tính chất sau được thỏa mãn (i) Các hằng số Lipschitz của Φt độc lập với t, nghĩa là, tồn tại một hằng số C không phụ thuộc t sao cho |ΦtU1 − ΦtU2| 6 C|U1 − U2| với mọi t ∈ R và U1,U2 ∈ P H . (4.9) (ii) Tồn tại γ > 0 sao cho với mỗi U0 ∈ Mt0 đều tồn tại một và chỉ một nghiệm U(·) của phương trình (4.5) trên (−∞, t0] thỏa mãn U(t0) = U0 và hàm −γ(t0−t) V (t) = e |U(t)|, t 6 t0 (4.10) thuộc E(−∞,t0] với mỗi t0 ∈ R. (iii) {Mt}t∈R là bất biến dương dưới tác động của (4.5), tức là, nếu một nghiệm U(·) của phương trình (4.5) thỏa mãn U(s) ∈ Ms, thì U(t) ∈ Mt với t > s. (iv) {Mt}t∈R hút mũ tất cả các nghiệm của phương trình (4.5), tức là, với U(·) là nghiệm tùy ý của (4.5), và s ∈ R tùy ý cố định, tồn tại một hằng số dương H sao cho −γ(t−s) distH (U(t), Mt) 6 He với t > s, (4.11) trong đó γ là hằng số ở (4.10), và distH là tựa khoảng cách Hausdorff sinh bởi chuẩn trong H . Nội dung chính của chương này là kết quả về sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình (4.5) ở định lý sau: Định lý 4.1. Cho A thỏa mãn Giả thiết1 và E, E0 thỏa mãn Giả thiết3. Giả sử f là ϕ-Lipschitz. Nếu kN k < 1 và 2 kΛ ϕk + k < 1, (4.12) (1 − k)(1 − e−α) 1 ∞ thì phương trình (4.5) có một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E . 18 −α|t−·| Trong đó k = kK(·)kE với K(t) = e κ(·) E0 và ( ( s )) 1 β− 2 −1 λN+1 κ(·) := max ϕ(·), ϕ(·)λN+1δN,ε max 1, 2 . ε − λN+1 4.3 Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình truyền sóng tắt dần Để kết thúc chương này, ta xét phương trình truyền sóng tắt dần nửa tuyến tính dạng  ∂2u ∂u ∂2u  (t, x) + 2ε (t, x) = (t, x) + a(t) ln (1 + |u(t, x)|) , x ∈ (0, π), t t0  ∂t2 ∂t ∂x2 >  u(t, 0) = u(t, π) = 0 t > t0   ∂u  u(t , x) = φ (x), (t , x) = φ (x), 0 < x < π. 0 1 ∂t 0 2 (4.13) trong đó φ1, φ2 là các hàm cho trước nào đó, và a(t) xác định bởi     1 1  n nếu t ∈ n − n+c , n + n+c với n = 1, 2, .... a(t) = 2 2 (4.14)   0 trường hợp còn lại. Kết luận chương4 Qua chương này, chúng ta đã định nghĩa và chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian và ứng dụng kết quả đạt được chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho lớp phương trình truyền sóng tắt dần. Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [3] trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 19 Chương 5 ĐA TẠP QUÁN TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN TRÊN KHÔNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 5.1 Phát biểu bài toán Trong chương này, ta sẽ chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu nhân tính theo nghĩa Stratonovich dạng du + Au = f(t, u) + u ◦ W˙ (5.1) dt trong đó A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định tương, tự liên hợp (thường được xem như là toán tử vi phân đạo hàm riêng) và có phổ rời rạc; f là hàm ϕ - Lipschitz (như trong Định nghĩa 5.1); và u ◦ W˙ là phần nhiễu. Hơn nữa, ta định nghĩa Định nghĩa 5.1. Cho β ∈ [0, 1/2). Giả sử E là một không gian hàm Banach trên R và ϕ là một hàm giá trị dương thuộc vào E. Hàm f : R × Xβ → X gọi là ϕ - Lipschitz nếu f thỏa mãn β •k f(t, x)k 6 ϕ(t)(1 + A x ) với hầu hết t ∈ R và với mọi x ∈ Xβ; β •k f(t, x1) − f(t, x2)k 6 ϕ(t) A (x1 − x2) với hầu hết t ∈ R và với mọi x1, x2 ∈ Xθ. Định nghĩa 5.2. Một họ các ánh xạ {θt} trên một không gian xác suất (Ω, F, ) gọi t∈R P là một hệ động lực metric nếu các điều kiện sau được thỏa mãn 20 (i) θ0 = IdΩ, và θt+s = θt ◦ θs với mọi t, s ∈ R; (ii) Ánh xạ (t, ω) 7→ θtω là (B ⊗ F; F) - đo được; (iii) P bất biến đối với theo θt với mọi t ∈ R; Trong chương này, ta chỉ xét hệ động lực metric sinh từ quá trình Wiener. Cụ thể, giả sử Wt là quá trình Wiener trên R, có quỹ đạo thuộc không gian C0(R, R) gồm các hàm thực liên tục, xác định trên R, triệt tiêu tại t = 0; F là mộ σ - đại số Borel liên kết với quá trình Wiener; P là độ đo Wiener trên Ω; và với mỗi t ∈ R ánh xạ θt : (Ω, F, P) → (Ω, F, P) xác định bởi θtω(·) = ω(· + t) − ω(t). (5.2) Hơn nữa, ta xét tập con Ω ⊂ C0( , ), bất biến đối với {θt} , nghĩa là, θtΩ = Ω với R R t∈R t ∈ R. 5.2 Đa tạp quán tính Giả sử z(·) là nghiệm dừng duy nhất của phương trình dz + zdt = dWt. (5.3) Khi đó, đặt v(t) = e−z(θtω)u(t) phương trình (5.1) trở thành dv + Av = z(θ ω)v + e−z(θtω)f(t, ez(θtω)v). (5.4) dt t Tiếp theo, ta gọi nghiệm đủ tốt của phương trình (5.4) trên đoạn J là một hàm đo được mạnh v(·) xác định trên J nhận giá trị trong Xθ thỏa mãn phương trình tích phân t t τ −(t−s)A+R z(θ ω)dr Z −(τ−s)A+R z(θ ω)dr−z(θ ω) r r τ  z(θ ω)  v(t) = e s v(s) + e s f τ, e τ v(τ) dτ (5.5) s với hầu hết t ≥ s, t, s ∈ J và ω ∈ Ω. Định nghĩa 5.3. Đa tạp quán tính ngẫu nhiên cho nghiệm đủ tốt của phương trình (5.4) là một họ các mặt Lipschitz {M (ω)}ω∈Ω trong X sao cho 21 (i) với mỗi ω ∈ Ω, M (ω) được biểu diễn dưới dạng đồ thị của một ánh xạ Lipschitz m(ω): PX → QXβ, tức là, M (ω) = {x + m(ω)x | x ∈ PX}; (ii) tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mỗi x0 ∈ M (ω) có duy nhất một nghiệm v(·) của phương trình (5.5) trên (−∞, 0] sao cho v(0) = x0 và t γt−R z(θ ω)dr r β sup e 0 A v(t) < ∞; (5.6) t60 (iii) M (ω) bất biến dương dưới tác động của(5.5), tức là, nếu một nghiệm v(t), t > 0 của phương trình (5.5) thỏa mãn v(0) ∈ M (ω), thì v(t) ∈ M(θtω) với mọi t > 0; (iv) M (ω) hút mũ tất cả các nghiệm của phương trình (5.5), tức là, với nghiệm tùy ý v(·) của phương trình (5.5) thì tồn tại nghiệm v∗(·) của phương trình (5.5) sao cho v∗(t) ∈ M (ω) với mọi t ≥ 0 và một hằng số H(ω) để β ∗ −γt A (v (t) − v(t)) 6 H(ω)e với t > 0. Ta đặt t 1+β ! Z ϕ(s) 2β R(ϕ, β) := sup 1+β ds < ∞. (5.7) t∈R t−1 (t − s) 2 và   β β β  1−β M β N + λ N + λ N 1+β  1 N+1 1 N 2  1 − β   kΛ ϕk + MββR(ϕ, β)  1 − e−α 1 ∞ (1 + β)α  k = 1 (5.8)  khi 0 < β <  2 M(N + N )  1 2 kΛ ϕk khi β = 0.  1 − e−α 1 ∞ Nội dung chính của chương này là kết quả về sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình (5.4) ở định lý sau: Định lý 5.1. Cho A thỏa mãn Giả thiết1 và E, E0 thỏa mãn Giả thiết4. Hơn nữa, 0 f : R × Xβ → X là ϕ-Lipschitz với ϕ ∈ E sao cho (5.7) được thỏa mãn. Giả sử M 3kλ2θN k < 1 và N 2 kΛ ϕk + k < 1 (5.9) (1 − k)(1 − e−α) 1 ∞ trong đó k được xác định bởi (5.8). Khi đó, tồn tại một đa tạp quán tính ngẫu nhiên cho nghiệm đủ tốt của phương trình (5.4). 22 5.3 Đa tạp quán tính của phương trình Chafee-Infante Để kết thức chương này, ta áp dụng các kết quả và phương trình Chafee-Infante không ôtônôm nhiễu nhân tính dạng  ∂u(t, x) ∂2u(t, x)  = + ru(t, x) − b(t)u3(t, x) + u(t, x) ◦ W˙ (t) t > 0, 0 < x < π  ∂t ∂x2  u(t, 0) = u(t, π) = 0, t ∈ R    u(0, x) = φ(x) 0 < x < π. (5.10) Kết luận chương5 Qua chương này, chúng ta đã định nghĩa và chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính của một lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên trên các không gian hàm chấp nhận được, kết quả chỉ ra được áp dụng cho một lớp các phương trình Chafee - Infante không ôtônôm. Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [4] trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Những kết quả đã đạt được Luận án "Đa tạp quán tính và tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân" nghiên cứu tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân thông qua việc xét sự tồn tại của đa tạp quán tính cho một số dạng phương trình vi phân. Cụ thể, luận án đã: Chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp các phương trinh vi phân có trễ hữu hạn; chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp các phương trinh vi phân trung tính; chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp các phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian; chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính cho một lớp các phương trinh vi phân ngẫu nhiên trên các không gian hàm chấp nhận được. 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo Sau những kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề sau đây có thể được tiếp tục nghiên cứu: sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của các phương trình vi phân cấp hai, hệ các phương trình vi phân, chẳng hạn, hệ nhiệt đàn hồi phụ thuộc thời gian,....; sự tồn tại đa tạp quán tính của một số dạng phương trình vi phân hàm với trễ vô hạn; sự tồn tại đa tạp quán tính của phương trình vi phân cấp phân thứ; sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của các phương trình vi phân mô tả chuyển động của dòng chất lỏng không tuân theo định luật Newton. 24 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1. Thieu Huy Nguyen, Anh Minh Le (2018), “Admissible Inertial Manifolds for De- lay Equations and Applications to Fisher-Kolmogorov Model”, Acta Applicandae Mathematicae 156 (1), 15-31. (SCI) 2. Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen; Anh Minh Le (submitted), “Admissible Inertial Manifolds for Neutral Equations and Application