Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

3::Phương pháp đồ tthịị 29 ™ Bàii ttập áp dụng 31 ™ Dạng 4::Phương pháp dùng ttíính đơn điiệu 39 ™ Bàii ttập áp dụng 41 ™ Dạng 5::Phương pháp đánh giiá 51 ™ Bàii ttập áp dụng 53 ™ Kếtt lluận 71 ™ Tàii ll iiệu ttham khảo 72 LỜI NĨI ĐẦU Nhằm giúp cho cơng tác dạy học ở trường phổ thơng được tốt,giúp cho học sinh nâng cao được trình độ đề tài là một nét phát thảo lớn các phương giải “tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất”. Nội dung của đề tài chia ra làm năm dạng: Dang 1:Dựa vào cơng thức Dạng 2:Tìm điều kiện cần Dạng 3:Phương pháp đồ thị Dạng 4:Phương pháp dùng tính đơn điệu Dạng 5:Phương pháp đánh giá Ứng với mỗi dạng được chia làm ba phần :Từ phần tĩm tắt phương pháp giải đến ví dụ minh hoạ cuối cùng là phần bài tập áp dụng. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn sinh viên say mê học tốn. Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy chủ nhiệm khoa ,thầy Hồ Văn Các,trong thời gian qua đã tạo mọi điều kiện cho em tham gia nghiên cứu đề tài.Em xin gởi lời cảm ơn thầy Hồng Huy Sơn đã hướng dẫn em trong thời gian nghiên cứu đề tài .Và cuối cùng em xin gởi lời cảm ơn đến các thầy trong khoa sư phạm đã gĩp nhiều ý kiến quý báo và giúp cho đề tài của em được nhiệm thu một cách tốt đẹp. Mặc dù đã cố gắng hết sức để tài thành cơng mỹ mảng nhưng chắc chắn khơng tránh khỏi những sai sĩt và khuyết điểm .Kính mong các thầy cơ và các bạn sinh viên đĩng gĩp ý kiến để đề tài ngày càng hồn thiện hơn,xứng đáng là tài liệu tham khảo bổ ích. Long Xuyên ngày 9 tháng 10 năm 2004 Tĩm Tắt Nội Dung Nghiên Cứu " # Kính thưa các thầy, trước hết em xin kính chúc các thầy dồi dào sức khỏe ! Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy chủ nhiệm khoa, thầy Hồ Văn Các , đã tạo điều kiện cho em tham gia nghiên cứu đề tài. Em xin gởi lời cảm ơn đến thầy Hồng Huy Sơn trong thời gian qua đã hướng dẫn em nghiên cứu đề tài. Em xin gởi lời cảm ơn đến các thầy trong hội đồng khoa sư phạm đã tạo điều kiện để tài của em được nghiệm thu. Kính thưa các thầy ! Lĩnh vực tốn sơ cấp cĩ nhiều điểm lí thú, cĩ những dạng tốn mà làm cho chúng ta suy nghĩ rất nhiều mới tìm ra lời giải đáp. Nếu khơng cĩ phương pháp suy nghĩ đúng đắn chắc chắn chúng ta khĩ mà tìm được đáp án đúng hoặc đi lịng vịng quanh co. Một trong những dạng như thế là dạng tốn “Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất”. Chính vì nhận thức được điều đĩ mà em tham gia nghiên cứu vấn đề một cách thận trọng và tổng hợp hết các các dạng của loại tốn này. Nội dung được chia làm năm phần.Ứng với mỗi phần là một dạng tốn của đề tài. Trong mỗi phần được chia làm ba nội dung:tĩm tắt phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng. Dạng 1: Dựa vào cơng thức. Đối với dạng này chúng ta chỉ cần thuộc cơng thức thì cĩ thể giải được ngay khơng cần suy nghĩ nhiều. Tuy nhiên, phải phát hiện đúng dạng mới áp dụng được. Chúng ta cần nhớ các cơng thức: cơng thức gramme, cơng thức ,… Để hiểu được phương pháp em đã đưa ra nhiều ví dụ minh họa dễ hiểu từ dễ đến khĩ. Sau cùng là bài tập áp dụng để củng cố những kiến thức đã nêu. Nhìn chung phương pháp này khá đơn giản đối với các bạn sinh viên học tốn . 042 =− ps Dạng 2: Tìm điều kiện cần Đối với dạng này thì chúng ta quan tâm đến tính chất chẵn lẻ của hàm số. Nếu là hàm chẵn thì đồ thị của nĩ đối xứng qua trục tung,cịn là hàm số lẻ thì đồ thị của nĩ đối xứng nhau qua gĩc tọa độ. Dựa vào tính chất này mà ta phát hiện ra điều kiện cần . Cũng cĩ khi chúng ta lại dựa vào điều kiện cĩ nghiệm duy nhất của phương trình bậc hai để tìm ra điều kiện cần. Sau khi đã tìm ra điều kiện cần bước tiếp theo ta thử lại xem giá trị nào là giá trị tham số cần tìm. Phương pháp này cĩ ưu điểm là giải quyết được khá nhiều bài tập. Mặc dù vậy nĩ cũng phải là phương pháp tối ưu vì cĩ hững bài ta chỉ cần biện luận vài ba câu thì đã xong được bài tốn. Chẳng hạn như phương pháp đồ thị Dạng 3: Phương pháp đồ thị Ưu điểm của phương pháp này là giải quyết nhanh gọn bài tốn. Tuy nhiên, cần phải biết vẽ đồ thị của từng biểu thức trong hệ phương trình. Sau đĩ dựa vào hình mà biện luận. Như đã nĩi thì khơng cĩ phuong pháp nào là tối ưu mỗi phương pháp trên điều cĩ ưu điểm và khuyết điểm. Cĩ những bài tốn mà cả ba phương pháp trên điều khong giải được mà chúng ta phải dùng một phương pháp khác. Đĩ là phương pháp dùng tính đơn điệu Dạng 4: Phương pháp dùng tính đơn điệu Trong phương pháp này ta lại khai thác tính chất đơn điệu của hàm số trên một miền D đơn điệu nào đĩ. Sử dụng tính chất này ta sẽ thu được tính chất tuyệt vời mà việc giải hệ trở nên đon giản đưa về hệ mà trong đĩ cĩ một phương trình cĩ dạng x=y. Sau đĩ ta thay x hoặc y vào các phương trình cịn lại để bện luận. Một phương khác cũng khơng kém phần quan trọng là phương pháp đánh giá Dạng 5:Phương pháp đánh giá Nếu biết sử dụng nhuần nhuyễn các bất đẳng thức như: bất đẳng thức Cauchy, bunnhiacopxki, becnouly,…và các bất đẳng thức khác thì ta sẽ giải được những bài tốn đặc biệt mà các phương pháp trên khơng giải được. Đối vơi dạng tốn thường khĩ phát hiện ra sớm nên cĩ thể nĩi đây là phương pháp khĩ. Do thời gian hạn hẹp nên em đưa ra những bài tập cĩ hạn. Cĩ những dạng đưa ra bài tập tương đối nhiều và cũng cĩ những dạng đưa ra bài tập tương đối ít. Phần bài tập áp dụng cĩ những bài em tự suy nghĩ ra mà khơng cĩ trong sách nào cả vì muơn cĩ nhiều bài tập cho được cân đối giữa các phần. Tuy nhiên, khơng phải vì như vậy mà đưa ra những bài tập qua loa. Đề tài cịn phát triển được nhiều bài tập nhưng vì thời gian khơng cho phép nên em khơng thể đưa ra hết các bài tập .Mặc dù em đã cố gắng hết sức để hồn tất đề tài nhưng chắc chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết. Hy vọng đề tài gĩp phần vào kho tàng tri thức tốn học, là một tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên tốn năm thứ hai, các bạn học sinh phổ thơng và các giáo viên phổ thơng trung học. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-1 I.TÍNH CẤP THIẾT : Như ta đã biết trong chương trình Tốn phổ thơng ta thường gặp những dạng tốn thường địi hỏi chúng ta làm việc với những tham số như giải và biện luận phương trình,bất phương trình,hệ phương trình,hệ bất phương trình. Trong các dạng ấy ta đặc biệt quan tâm đến dạng tốn tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất.Đây là dạng tốn hay và cĩ nhiều lý thú trong cách giải. Thơng thường các biểu thức giải tích cĩ trong hệ phương trình nĩ ẩn dấu một tính nào đĩ.Ta cần phát hiện và khai thác tính chất ấy để tìm ra mối quan hệ đặc biệt hoặc một ràng buộc đối với tham số, từ đĩ tìm ra điều kiện cần. Đơi khi chúng ta dựa vào cơng thức hoặc tính chất hình học đã biết để vẽ đồ thị của hàm,từ đĩ tìm ra lời giải cho bài tốn , thậm chí cĩ thể khảo sát tính đơn diệu của một biểu thức rồi tìm ra được mối liên hệ để giải bài tốn .Và cĩ những bài tốn khơng cĩ cách giải chung địi hỏi chúng ta phải giải chúng bằng một cách nào đĩ và ta gọi chúng là những hệ phương trình khơng mẫu mực. II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất trong đĩ ta đi sâu vào các loại hệ phương trình sau: 1/ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2/ Hệ phương trình đối xứng loại 1 3/ Hệ phương trình đối xứng loại 2 4/ Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 5/ Hệ phương trình mũ – Logarit 6/ Hệ phương trình khơng mẫu mực III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Dựa vào các bài tập trong các tài liệu tham khảo để tìm ra phương pháp chung. Đối với loại tốn này chung qui cĩ một số phương pháp cơ bản sau: 1. Dựa vào cơng thức 2. Tìm điều kiện cần của tham số sau đĩ thử lại 3. Phương pháp đồ thị 4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số 5. Phương pháp đánh giá một biểu thức IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU : Tìm cách giải đối với từng dạng và được tiến hành 3 phần: Phần 1: phương pháp giải Phần 2: Ví dụ Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-2 Dạng 1 : Dựa vào cơng thức Nếu ta gặp được hệ cho dưới dạng ⎩⎨ ⎧ =+ ′=′+′ cbyax cybxa hoặc ⎩⎨ ⎧ =+ = mps csp hoặc ... ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ dxbyax dybyay 23 23 tức là cho dưới dạng hệ phương trình bậc nhất , hệ phương trình đối xứng loại 1 ,hệ phương trình dối xứng loại 2 thì ta giải như sau: - Đối với hệ phương trình nhất: + Tính D = ab a a ′′ + Cho D 0 để tìm m m là giá trị cần tìm để hệ cĩ nghiệm duy nhất ≠ ⇒ - Đối với hệ đối xứng loại 1 : + Đặt ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += = ≥− yxs xyP ps 042 + Tính S2 – 4p = 0 ⇒ tìm được m,với giá trị m này là giá trị m cần tìm để hệ cĩ nghiệm duy nhất ( khơng cần thử lại) - Đối với hệ phương trình đối xứng loại 2 : Trừ từng vế của hai phương trình được phương trình mới và ghép một trong hai phương trình của hệ để được một hệ phương trình mới.Thơng thường đối với hệ mới này ta sẽ dẫn đến giải hai hệ phương trình,một trong hai hệ cĩ dạng ⎩⎨ ⎧ = = yx myxf 0),,( ( I ) Giải hệ (I) tìm m để hệ cĩ nghiệm duy nhất,sau đĩ thay giá trị m này vào hệ cịn lại,nếu hệ này vơ nghiệm hoặc cĩ nghiệm duy nhất trùng với nghiệm của hệ (I) thì đĩ là giá trị cần tìm,ngược lại là khơng. Cĩ khi ta tìm m thuộc một đoạn hoặc một khoảng .Khi đĩ ta biến đổi hệ này để đưa về hệ trong đĩ cĩ một phương trình bậc hai hai ẩn x,y.Khi đĩ ,xem x hoặc y là ẩn và tính ∆ theo ẩn đĩ.Từ đĩ định ∆ < 0 để hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất (so sánh với giá trị m đã tìm ở hệ (I) rồi rút ra kết luận). Ví dụ 1: Tìm m để hệ cĩ nghiệm duy nhất: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-3 ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 45 3 myx ymx Giải + Ta cĩ D = mm1 5 = 5 – Vậy với m ≠ 5± thì hệ Ví dụ 2: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ ++ ++ +++ 1...........32 ...31 ....21 ................................. ...321 nmxmxmx mxmx mxmx mxmxmx Giải Ta cĩ D = = (n-1)m =+ =+ 2........ 3........ ........... nmx nmx m2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 5± đã cho cĩ nghiệm duy nhất =−+ 1......... nnmx 0 m m . . . . . . . . . m m 0 m . . . . . . . . . m m m 0 . . . . . . . . . m . . . . . . . . . . . . . . . . . . m m m . . . . . . . . .0 1 m m . . . . . . . . m 1 0 m . . . . . . . . . m 1 m 0 . . . . . . . . . m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 m m 0 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-4 = (-1)n-1. (n-1) . m . mn-1 =( n-1) . (-1)n-1 . mn ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 Vậy với m 0 thì hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất. ≠ Ví dụ 3 : Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=++ +=+ 2 122 mxyyx myxxy Giải Đặt Đ/K S ⎩⎨ ⎧ = += xyP yxS 2 – 4p 0 ≥ Hệ phương trình trở thành ⎩⎨ ⎧ +=+ += 2 1 mpS mSp ⇔ ⎩⎨ ⎧ = += 1 1 S mp ∨ ⎩⎨ ⎧ += = 1 1 mS p Với thỏa điều kiện S ⎩⎨ ⎧ = += 1 1 S mp 2 – 4p 0 ≥ ⇔ 1 – 4 (m+1) 0 ≥ ⇔ m ≤ - 43 Ư x,y là nghiệm của phương trình X2 – X + m +1 = 0 Với thỏa điều kiện S ⎩⎨ ⎧ += = 1 1 mS p 2 – 4p 0 ≥ ⇔ m -3 m 1 ≤ ∨ ≥ Ư x, y là nghiệm của phương trình Y2 – (m+1)Y + 1 = 0 Để hệ cĩ nghiệm duy nhất xảy ra các trường hợp sau: a/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∆ <∆ 01 02 m = -⇔ 4 3 thỏa điều kiện b/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <∆ =∆ 01 02 m = 1 thỏa điều kiện ⇔ Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-5 c/ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =∆ =∆ += 01 02 2 1 2 1 m vơ nghiệm Vậy với m = - 4 3 hoặc m = 1 thì hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất Ví dụ 4 : (I) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ axyyx axyxy 2 2 Giải (I) ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+− =−+++ 0)1)(( 22)(2)( yxyx axyxyyxyx ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =−++ =+ =−+++ )( 22)(2)( )(1 22)(2)( IIyx axyxyyxyx IIIyx axyxyyxyx Giải hệ (II) : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =−+++ yx axyxyyxyx 22)(2)( ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 0 0 x y ∨ ⎩⎨ ⎧ = =+− yx xa 01)1( (∗ ) Hệ cĩ nghiệm duy nhất ⇔ (∗ ) vơ nghiệm ⇔ a = 1 Thay a = 1 vào hệ (III) ta được ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = 1 2 1 S p vơ nghiệm Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-6 Vì S2- 4p = 1 – 4. 2 1 < 0 Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất Ngược lại nếu giải (III) : Ta cĩ (III) ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ==+ =+= Syx P a xy 1 1 1 S2 – 4p = 1 3 + − a a = 0 ⇔ a = 3 Thay a = 3 vào hệ (II) ta được : ⎩⎨ ⎧ = = 0 0 x y ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = yx x 2 1 Vậy hệ đã cho cĩ ít nhất hai nghiệm do đĩ khơng thỏa. Tĩm lại a = 1 hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất. Ví dụ 5 : ⎪⎨ (I) ⎪⎩ ⎧ +−= +−= axxxy ayyyx 2432 2432 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = +−= yx ayyyx 2432 (II) V (III) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++−++ +−= 1)(322 2432 ayxyxyx ayyyx Giải hệ (II):(II)⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+− yx ayyy 0)52( ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 0 0 x y ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+− yx ayy 052 (∗ ) Hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất ⇔ (∗ ) vơ nghiệm ⇔ = 25 – 4a 4 25 Giải hệ (III) : (III) ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+−+−+ +−= )1(032)3(2 )2(2432 ayyxyx ayyyx Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-7 Từ (1) ta cĩ: = -3yx∆ 2 + 6y + 9 – 4a .Xét tam thức bậc hai theo biến y cịn y∆′ = 36 – 12a 4 25 → x∆ 4 25 Vậy hệ (III) vơ nghiệm Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất ⇔ a > 4 25 Bài tập: 1) (tương tự ví dụ 4) ⎩⎨ ⎧ =+ +=++ mxyyx mxyyx 2 2 22 2) (Đặt S=x+y,P=xy,Đáp số:m=9/4) ⎩⎨ ⎧ =−++ =++++ 022 02 2 xymyx yxyxyx 3) (đáp số :m=2) ⎩⎨ ⎧ +=− =−++++ yxmxy xyyyxx )(2 0)1(2)1()1( 4) (Đáp số:m=-3) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+++ =−−+++++−+ 0 024)(3)(2 22 222233 xyyxm xyyxxyyxyxyx 5) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += += y ayx x axy 2 2 2 2 2 2 (Đáp số:a 0≠ ) 6) (Đáp số:b>4 ][ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =−+− =+−−++− 03 022)( 223 22 xbyyy byxyxyxyx Dạng 2 : Tìm điều kiện cần Cho hệ phương trình ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∈∈ ∈ 0),,( 0),,( , myxF myxG yDyxDx mDm Để giải loại tốn này ta phải xem trong biểu thức F(x,y,m) cĩ tính đối xứng,tính chẵn lẻ hay khơng tức là biểu thức F(x,y,m) khơng thay đổi khi ta thay đổi vị trí của x và y hay khi đồng thời thay x bằng –y và thay y bằng –x,hoặc ta thay x bởi –x hoặc thay y bởi –y,.... Biểu thức F(x,y,m) khơng thay đổi. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-8 * Phương pháp giải: Giả sử hệ cĩ nghiệm duy nhất ( được biểu diễn bằng điểm M) , do tính chất đối xứng của biểu thức nên hệ cịn cĩ nghiệm M1 đối xứng với M. Do tính duy nhất nghiệm nên M ≡ M1 . Từ đĩ ta tìm được điều kiện cần của m ( m ∈ Dm ) + Với m1 ∈ Dm (ta xét cụ thể) ta giải hệ phương trình đơn giản khơng cịn giá trị m1 hoặc cĩ m1 nhưng hệ đơn giản, từ đĩ nhận xét với giá trị m1 đĩ thì bài tốn được thỏa mãn khơng. Nếu thỏa thì giá trị m1 đĩ là điều kiện cần và đủ để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất. Nếu m1 khơng thỏa được bài tốn thì tiếp tục xét m2 ∈ Dm. Tương như vậy đến khi nào ta xét hết các giá trị m ∈ Dm thì dừng. Kết hợp 2 bước trên ta kết luận bài tốn. ( Cĩ ưu điểm giải được nhiều loại hệ phương trình). Ví dụ 1 : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++=+ =+ axyxx yx 22 122 (I) - Điều kiện cần: Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (-x,y) cũng là nghiệm của (I). Do tính duy nhất nghiệm nên suy ra x = - x x = 0 . Khi đĩ hệ trở thành: ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= = ay y 1 12 ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 1 0 y a ∨ ⎩⎨ ⎧ −= = 1 2 y a -Điều kiện đủ: +Với a=0 ta cĩ hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ +=+ )1(122 )2(22 yx xyxx Từ (1) ⇒ x ≤ 1, y ≤ 1 x x≥ 2 , x2 y ≥ Từ (2) ⇒ x2 = y x = x2 (3) Từ (1) , (2) , (3) ⇒ . Vậy a=0 là một giá trị cần tìm ⎩⎨ ⎧ = = 0 1 x y + Với a = 2 ta cĩ hệ phương trình Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-9 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ ++=+ 122 222 yx xyxx (II) Hệ (II) cĩ ít nhất 2 nghiệm (-1,0) , (1,0) do đĩ a=2 khơng thỏa. Vậy a=0 thì hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất. Ví dụ 2 : (I) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ −=− ayx yx 2 32sin - Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (x,-y) cũng là nghiệm của (I) , do tính duy nhất nghiệm nên y = -y ⇒ y = 0 hệ phương trình trở thành x = a = -3 - Điều kiện đủ: với a = -3 ta cĩ hệ phương trình: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=+ −=− 32 32sin yx yx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ −=+ )1(02sin2 )2(32 yy yx y2 ≥ 0 , sin2y 0 từ (1) ⇒ y = 0 ≥ Do đĩ hệ (I) cĩ nghiệm duy nhất (-3,0) Ví dụ 3 : (I) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ ayx ayx 2)1(2 22)1( - Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (y,x) cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = y . Khi đĩ (I) trở thành 2x2 + 2x + 1 – a = 0 ( ) ∗ (I) cĩ nghiệm duy nhất thì Ĩ) cĩ nghiệm duy nhất ⇔ = 1 – 2 + 2a = 0 ∆′ ⇔ a = 1/ 2 - Điều kiện đủ : Với a = 1/ 2 ta cĩ hệ phương trình ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =++ =++ 2 12)1(2 2 122)1( yx yx ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =++ yx yy 0 2 1222 ⇔ x = y = - 1/ 2 Vậy a = 1/ 2 thì hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất. Bài tập tương tự : Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-10 1/ ⎩⎨ ⎧ +=++ =+ 2 2)( mxyyx myxxy 2/ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ =+ =++ azxyz bzxyz zyx 2 4222 3/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−−+= ++−−= ayxyxy axyxyx 22)( 232)( 4/ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++=−++− =+−− ≤≤− 5623)223()223( 02)652(2 06 xxayy xaay x 5/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= +−= mxxxy myyyx 2432 2432 6/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=−+ =+ xyaax yxtg sin12 122 7/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+ =+ xyax yx cos)1( 122sin 8/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+++ =+ ayx ayx 21 3 9/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =+ mxyyx myx 22 10/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−++− =−++− yaxax xayay 32)12(2 32)12(2 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-11 11/ ( )[ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +=+−+ =+−−++ ] =−+++− xazyx xyazayx zyxxyyxz 222)1(2 01)1ln(1)2sin( 0)sin()2()cos( 12/ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +=−+++−++ +=−++−−++ ) 4 sin(2cos62sin62 ) 4 cos(2sin62cos62 π π amaxyayx amaxyayx 13/ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+− = ++ ++ 1123 2 12 1 xay a xx yx 14/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−=− =+ )1(22 22 mxyyx myx 15/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=+ −=+ )1(lg2lglglg )1(lg2lglglg ymxyx xmyyx 16/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −+=+ =+ xyxa yx 1)14( 122 17/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=+ =+ 522 2cos ayx xy Hướng dẫn giải 1/ ⎩⎨ ⎧ +=++ =+ 2 2)( mxyyx myxxy (I) Điều kiện cần: Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (y,x) cũng là nghiệm của (I).Do tính duy nhất nghiệm nên x = y.Khi đĩ (I) trở thành Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-12 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+ = 222 3 mxx mx ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 1 1 x m ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = 2 22 x m ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= 2 22 x m Điều kiện đủ: + Với m=1 ta cĩ hệ phương trình ⎩⎨ ⎧ =++ =+ 3 2)( xyyx yxxy ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = 1 2 yx xy ∨ ⎩⎨ ⎧ = =+ 1 2 xy yx . Hệ ⎩⎨ ⎧ ==+ == Syx Pxy 1 2 vơ nghiệm do S 2-4p = 1-4.2 < 0 . Hệ ⎩⎨ ⎧ == ==+ pxy Syx 1 2 cĩ nghiệm duy nhất x = y = 1 Do đĩ m = 1 là giá trị cần tìm + Với m = -2 2 ta cĩ hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−=++ −=+ 222 24)( xyyx yxxy Đặt S = x + y P = xy Đ/K : S2 – 4p 0 ≥ Hệ trở thành ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−=+ −= 222 24 pS Sp ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −= 2 22 S p ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= = 22 2 S p . Hệ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ −= 2 22 yx xy ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= ++= 2211 2211 x y ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= +−= 2211 2211 x y Vậy m = -2 2 khơng thỏa + Với m = 2 2 ta cĩ hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=++ =+ 222 24)( xyyx yxxy ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = 2 22 yx xy ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = 22 2 yx xy Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-13 . Hệ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ==+ == Syx pxy 2 22 vơ nghiệm S2 – 4p = 4 - 8 2 < 0 . Hệ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ==+ == Syx pxy 22 2 cĩ nghiệm duy nhất x = y = 2 Vậy với m = 1 hoặc m = 2 2 thì hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất Cách 2 : Đặt S = x + y p = xy S2 – 4p 0 ≥ Hệ (I) trở thành ⎩⎨ ⎧ +=+ = 2 2 mpS mSp ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = mS p 2 ∨ ⎩⎨ ⎧ == 2S mp + Với thỏa điều kiện S ⎩⎨ ⎧ = = mS p 2 2 – 4p 0 ≥ ⇔ m2 – 8 0 ≥ ⇔ m ≤ -2 2 m 2∨ ≥ 2 x , y là nghiệm của phương trình X→ 2 – mX + 2 = 0 + Với ⎩⎨ ⎧ == 2S mp thỏa điều kiện S2 – 4p 0 ⇔ m 1 ≥ ≤ Hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất xảy ra các trường hợp sau: a/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <∆ =∆ 01 02 ⇔ ⎩⎨ ⎧ > ±= 1 22 m m ⇔ m = 2 2 b/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∆ <∆ 01 02 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <<− = 2222 1 m m ⇔ m = 1 c/ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =∆ =∆ = 01 02 21.2 2 m ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = −= = 1 22 22 2 m m m m vơ nghiệm Vậy với m=1 hoặc m = 2 2 thì hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-14 2/ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ =+ =++ azxyz bzxyz zyx 2 4222 (I) Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y,z) là nghiệm (I) thì (-x,-y,z) cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x , y = -y x = y = 0 ⇔ Khi đĩ hệ trở thành ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == = baz z 42 ⇔ ⎩⎨ ⎧ === −=== 2 2 baz baz Điều kiện đủ: + Với a = b = 2 ta cĩ hệ phương trình ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ =++ 2 22 4222 zxyz zxyz zyx ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =− =++ )1(2 )2(0)1( )3(4222 zxyz zzxy zyx Tứ (1) z ⇒ ≠ 0 • Nếu x = 0 y = 0 , z = 2 ⇒ • Nếu y = 0 x = 0 , z = 2 ⇒ • Nếu z = 1 ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+ 1 322 xy yx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+ 1 5 xy yx (II)∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −=+ 1 5 xy yx (III) Hệ (II) và (III) luơn cĩ nghiệm do S2 – 4p > 0 Do đĩ hệ đã cho ngồi nghiệm (0,0,2) cịn cĩ nghiệm (x,y,1) Vậy a = b = 2 khơng thỏa + Với a = b= -2 ta cĩ hệ phương trình: ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ −=+ =++ 2 22 4222 zxyz zxyz zyx Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-15 ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −=+ =− =++ )1(2 )2(0)1( )3(4222 zxyz zxyz zyx Từ (1) z ⇒ ≠ 0 • Nếu x = 0 y = 0 , z = -2 ⇒ • Nếu y = 0 x = 0 , z = -2 ⇒ • Nếu z = 1⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= =+ 3 322 xy yx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −=+ 3 32)( xy yx vơ nghiệm Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất (0,0,-2) Vậy với a = b = -2 hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất 3/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−−+= ++−−= ayxyxy axyxyx 222)( 232)( ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+−−++ =++−−+ 03222 03222 axyxyyx axyxyyx (I) Điều kiện cần: Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (-x,y) cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x x = 0. ⇒ Khi đĩ hệ trở thành y2 - 3y + a = 0 (*).Hệ cĩ nghiệm duy nhất thì (*) cĩ nghiệm duy nhất ⇔ a = 9/4 Điều kiện đủ: + Với a = 9 /4 ta cĩ hệ phương trình ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+−−++ =++−−+ )1(0 4 93222 )2(0 4 93222 xyxyyx xyxyyx ⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =− =++−−+ 024 0 4 93222 xxy xyxyyx Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-16 ⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =− =++−−+ 0)12(2 0 4 93222 yx xyxyyx ⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =+− 0 0 4 932 x yy ∨ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =+−+−+ 2/1 0 4 9 2 1.3 2 1.2 4 12 y xxx ⇒ ⎩⎨ ⎧ = = 0 2/3 x y ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+ 2/1 012 y x ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 0 2/3 x y Vậy với a = 9 /4 thì hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất. 4/ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++=−++− =+−− ≤≤− 5623)223()223( 02)652(2 06 xxayy xaay x (I) Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (x,-y) cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên y = -y y = 0 .Khi đĩ ta cĩ ⇒ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎢⎢⎣ ⎡ =+++ =+− = ≤≤− 03362 0652 0 06 axx ax x x Với x = 0 a = -1 ⇒ Với a = 3 x⇒ 2 + 6x + 12 = 0 vơ nghiệm a = 3 khơng phải là điều kiện cần ⇒ Với a = 2 ⇒ x2 + 6x + 9 = 0 ⇔ ⎩⎨ ⎧ −= = 3 0 x y Điều kiện đủ: • Với a = -1 ta cĩ hệ phương trình Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-17 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++=++− =− ≤≤− 262)223()223( 02122 06 xxyy xy x (II) Theo bất đẳng thức Cơ-si 2)223()223( ≥++− yy f(x) = x2 + 6x +2 với x ∈ [ ]0,6− f’(x) = 2x + 6 = 0 ⇔ x = -3 Bảng biến thiên: X -6 - 0 f(x) - + f’(x) 2 x2 + 6x + 2 2 ≤ Do đĩ (II) ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++− 2262 2)223()223( xx yy ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 0 0 x y ∨ ⎩⎨ ⎧ −= = 6 0 x y * Với thay vào hệ (I) thấy thỏa ⎩⎨ ⎧ = = 0 0 x y * Với thay vào hệ (I) thấy khơng thỏa ⎩⎨ ⎧ −= = 6 0 x y Vậy là nghiệm duy nhất ⎩⎨ ⎧ = = 0 0 x y 2 2 -7 3 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-18 Với a = 2 ta cĩ hệ phương trình ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++=++− = ≤≤− 1162)223()223( 02 06 xxyy y x ⇔ Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất ⎩⎨ ⎧ −= = 3 0 x y Vậy với a = 2 hoặc a = -1 thì hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất 5/ (I) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= +−= mxxxy myyyx 2432 2432 Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (y,x) cũng là nghiệm của (I). Do tính duy nhất nghiệm nên x = y.Khi đĩ x3–5x2 +mx = 0 (1) ⇔ (*) ⎢⎣ ⎡ =+− = 05 0 2 mxx x (1) cĩ nghiệm duy nhất ⇔ (*) vơ nghiệm ⇔ m > 25/4 Điều kiện đủ: + Với m>25/4 ta cĩ: (I) ⇔ ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ =++−−+− +−= 02332)( 2432 myyyxxyx myyyx (II) (I II) ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = +−= yx myyyx 2432 ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++−−+ +−= 023)3(2 2432 myyyxx myyyx Giải (II): (II) ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 0y xy ∨ Vơ nghiệm ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+− = 052 myy xy ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 0 0 x y Giải (III) : Xét phương trình bậc hai đối với x x2 + x(y-3) + y2 – 3y +m = 0 (*) cĩ Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-19 x∆ = -3y2 + 6y + 9 – 4m y∆′ = 9 + 3(9 – 4m) = 36 – 12m 25/4. 25/4. (*) vơ nghiệm ⇒ hệ III vơ nghiệm . ⇒ Vậy với m > 25/4 thì hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất. 6/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=−+ =+ xyaax yxtg sin12 122 (I) Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (-x,y), cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x x = 0 . Khi đĩ hệ trở thành: ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= = 1 12 ay y ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 1 2 y a ∨ ⎩⎨ ⎧ −= = 1 0 y a Điều kiện đủ: + Với a = 2 ta cĩ hệ phương trình: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =+ )1(1sin22 )2(122 yxx yxtg Từ (2) ⇒ 1≤y , tgx ≤ 1 Từ (1) ta cĩ : 2x2 + xsin + 1 1 ≥ Cịn hàm f(y) = y là hàm đồng biến trên [ -1,1 ] f(y) f(1) = 1 ≤ Từ (1) x = 0 Khi đĩ ta cĩ hệ y = 1 ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = 1 12 y y ⇒ Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất ( 0,1 ) với a = 2 + Với a = 0 ta cĩ hệ phương trình : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ )3(sin1 )4(122 xy yxtg Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-20 Dễ thấy là nghiệm của hệ ⎩⎨ ⎧ = −= πkx y 1 Vậy hệ cĩ vơ số nghiệm a = 0 khơng thỏa ⇒ Vậy a = 2 thì hệ cĩ nghiệm duy nhất. 7/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+ =+ xyax yx cos)1( 122sin (I) Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (-x,y) cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x x = 0 . Khi đĩ hệ trở thành: ⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += = 1 12 ya y ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 1 2 y a ∨ ⎩⎨ ⎧ −= = 1 0 y a Điều kiện đủ: + Với a = 0 ta cĩ hệ phương trình: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ )1(0cos )2(122sin xy yx Ta thay là nghiệm của hệ.Do dĩ hệ cĩ vơ số nghiệm ⎩⎨ ⎧ = −= π2 1 kx y a = 0 khơng thỏa ⇒ + Với a = 2 ta cĩ hệ phương trình : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+ =+ )3(cos)1(2 )4(122sin xyx yx Từ (4) ⇒ 1sin ≤x , 1≤y Từ (3) ta cĩ : cosx ≤ 1 Do đĩ cosx + y ≤ 1 + 1 = 2 Cịn 2( x +1 ) 2 ≥ Do đĩ , từ (3) ⇒ ⎩⎨ ⎧ = = 0 1 x y Vậy a = 2 thì hệ cĩ nghiệm duy nhất. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-21 8/ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+++ =+ ayx ayx 21 3 (I) Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì ( y+1,x-1) cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = y+1. Khi đĩ ta cĩ hệ phương trình: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ ay ay 22 312 ⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ =+ ≥ ay ay a 624 2)2(4 0 ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ ≥ =−− ay a aa 624 0 0662 ⇔ a = 3 + 15 Điều kiện đủ: + Với a = 3 + 15 ta cĩ hệ phương trình: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+++ +=+ 15 + 321 1539 yx yx Đặt u = 1+x 0 ≥ v = 2+y 0 ≥ x = u⇒ 2 – 1 y = v2 - 2 Khi đĩ hệ trở thành ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+ +=+ 153 1531222 vu vu ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +=+ += 153 2 15312 vu uv u , v là nghiệm của phương trình X2 – ( 3 + 15 )X + 2 15312+ = 0 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-22 u = v = 2 153+ ⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += += 2 15310 2 1538 x y Vậy a = 3 + 15 thì hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất. 9/ (I) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =+ mxyyx myx 22 Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (y,x) cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = y Khi đĩ hệ trở thành ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =−+ mx mxx 22 022 ⇒ ⎢⎣ ⎡ =⇒= =⇒= 00 82 mx mx Điều kiện đủ: + Với m = 0 ta cĩ hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =+ 0 022 xyyx yx ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ = 0 0 yx xy ∨ ⎩⎨ ⎧ −=+ = 2 2 yx xy • Với ⎩⎨ ⎧ =+ = 0 0 yx xy ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 0 0 x y • Với ⎩⎨ ⎧ =−=+ == Syx pxy 2 2 Vơ nghiệm do S 2 – 4p = 4 – 4.2 < 0 m = 0 nhận ⇒ + Với m = 8 ta cĩ hệ phương trình: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =+ 8 822 xyyx yx ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =−=+ == = =+ Syx pxy xy yx 6 14 4 4 ⎩⎨ ⎧ =−=+ == Syx pxy 6 14 vơ nghiệm ( do S 2-4p = 36 – 4.14 < 0) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = =+ 4 4 xy yx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = 2 2 y x Vậy với a = 0 hoặc a = 8 thì hệ cĩ nghiệm duy nhất Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-23 10/ (I) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−++− =−++− yaxax xayay 32)12(2 32)12(2 Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (y,x), cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = y . Khi đĩ hệ trở thành: x2 – 2(a+1)x + a 2 – 3 = 0 (*) (*) cĩ nghiệm duy nhất ⇔ ∆′ = a 2 + 2a +1 – a 2 + 3 = 2a + 4 = 0 a = -2 ⇔ Điều kiện đủ: + Với a = -2 ta cĩ hệ phương trình: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ yxx xyy 132 132 ⇔ vơ nghiệm ⎩⎨ ⎧ = −= 1 1 x y ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=+ =++ 4 132 yx xyy Vậy a = -2 hệ cĩ nghiệm duy nhất 11/ (I) ( )[ ]⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+−−++ +=+−+ =−+++− )3(01)1ln(1)2sin( )2(222)1(2 )1(0)sin()2()cos( xyazayx xazyx zyxxyyxz Điều kiện cần : Nếu (x,y,z) là nghiệm của (I) thì (y,x,z), cũng là nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = y . Khi đĩ hệ trở thành: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+−−+ =−++− = )3(0]1)21ln()1)[(2sin2( )2(012422 )1(02sin xazax azxx x Từ (1) x = ⇒ 2 πk Từ (3) -1 < x < 1 ⇒ → -1 < 2 πk < 1 ⇔ k = 0 ⇒ x = y = 0 Thay lại vào (2) và (3) ta được Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất-24 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ = )4(12 )5(02sin az za Dễ thấy z là nghiệm của hệ (4)(5) thì - z cũng là nghiệm của hệ (4)(5) . Do tính duy nhất n._.