Thiết kế bộ điều khiển thích nghi trượt bền vững bám theo quỹ đạo trên cơ sở mạng nơron cho hệ thống tay máy robot

rường Đại học Hồ Nam, Trung Quốc Ngày nhận bài: 27/3/2018 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 20/9/2018 Ngày chấp nhận đăng: 28/9/2018 Tóm tắt Sự phát triển các thuật toán điều khiển cho các hệ thống tay máy robot là rất quan trọng. Bộ điều khiển trượt (SMC) đã được sử dụng thành công để điều khiển các hệ thống tay máy robot. Ưu điểm của bộ điều khiển trượt là tính ổn định bền vững ngay cả khi hệ thống nhiễu hoặc thông số của mô hình thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, để thiết kế được bộ điều khiển trượt, người thiết kế cần biết chính xác mô hình của đối tượng. Trong thực tế, vấn đề này không phải lúc nào cũng thực hiện được. Để giải quyết khó khăn trên, bài báo đề nghị sử dụng mạng nơron hàm cơ sở xuyên tâm (RBFNN) kết hợp với bộ điều khiển trượt (SMC). Một hàm trượt bền vững được lựa chọn như một bộ điều khiển phụ để đảm bảo tính ổn định chắc chắn trong các môi trường khác nhau. Các luật thích ứng cho trọng số của RBFNN được thiết lập bằng định lý ổn định Lyapunov, sự ổn định và tính bền vững của toàn bộ hệ thống điều khiển được đảm bảo, và các sai số bám và vị trí hội tụ theo yêu cầu đã được chứng minh. Giải thuật điều khiển nghiên cứu được sẽ áp dụng để điều khiển hệ tay máy hai bậc tự do. Với bộ điều khiển này, đáp ứng của hệ tay máy: phẳng, không có độ vọt lố, không có dao động và sai số bám tiến về zero. Kết quả điều khiển được kiểm chứng bằng phần mềm mô phỏng Matlab. Từ khóa: Điều khiển trượt; mạng nơron; điều khiển thích nghi bền vững; hệ tay máy. Abstract The development of the control algorithms for robot manipulator systems is important. Sliding-mode controller (SMC) has been successfully employed to control robot manipulator systems. The remarkable characteristic of sliding mode control is the robust stability with disturbance and variable model parameters of the system. However to design the controller, the exact model of the plant has to be known. In practically, the problem is hard to solve. To improve the above drawbacks, in this paper, radial basis function neural network (RBFNN) is used and combined with sliding controller (SMC). A robust sliding function is selected as an auxiliary controller to guarantee the stability and robustness under various environments. The adaptation laws for the weights of the RBFNN are adjusted using the Lyapunov stability theorem, the global stability and robustness of the entire control system are guaranteed, and the tracking errors converge to the required, and positions proved. The above-mentioned algorithm is applied to control two degree of a freedom robot manipulator. With the novel controller, the response of the plant is flat, non-overshoot, non-chattering and zero setting error. The method is tested with Matlab simulation software. Keywords: Sliding mode control; neural networks; robust adaptive control; robot manipulator. 1. GIỚI THIỆU Hệ tay máy robot là một hệ thống phi tuyến MIMO (Multi input multi output) đa biến và chịu nhiều bất ổn khác nhau trong động lực học của chúng, làm giảm hiệu suất và tính ổn định của hệ thống, chẳng hạn như nhiễu loạn bên ngoài, ma sát phi tuyến, tải trọng thay đổi, thay đổi thời gian ở mức độ cao. Do đó, để đạt được hiệu suất cao trong Người phản biện: 1. GS.TSKH. Thân Ngọc Hoàn 2. PGS.TSKH. Trần Hoài Linh 20 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 việc bám theo quỹ đạo mong muốn là một nhiệm vụ rất khó khăn. Để khắc phục những vấn đề này, các phương pháp điều khiển khác nhau được đề xuất, bao gồm điều khiển thích nghi, điều khiển thông minh, điều khiển chế độ trượt và điều khiển cấu trúc biến đổi, đã được đề cập trong các tài liệu [1 – 5]. Trong những năm qua, các ứng dụng điều khiển thông minh như điều khiển mờ và điều khiển nơron để điều khiển vị trí cánh tay của hệ thống tay máy robot đã nhận được sự quan tâm rất lớn. Bộ điều khiển mờ là công cụ hiệu quả trong việc xấp xỉ các hệ thống phi tuyến. Trong [6], hai phương pháp điều khiển thích nghi cho hệ thống tay máy robot có sử dụng bù logic mờ. Phương pháp điều khiển thứ nhất sử dụng hệ thống logic mờ để bù đắp sự không chắc chắn của tay máy robot. Phương pháp điều khiển thứ hai là giảm số lượng các quy tắc mờ dựa trên các tính chất của động lực học robot và thành phần không chắc chắn. Trong [7], tác giả đề xuất hai phương pháp điều khiển mờ thích nghi gián tiếp cho một lớp các hệ thống phi tuyến MIMO. Trong hai phương pháp này, hệ thống logic mờ được sử dụng để ước lượng các hàm phi tuyến chưa biết của đối tượng. Phương pháp thứ nhất điều khiển dựa trên đã biết giới hạn trên của sai số xấp xỉ. Phương pháp thứ hai điều khiển dựa trên không biết giới hạn trên của sai số xấp xỉ. Trong [8], một bộ điều khiển mờ lai kết hợp giữa công nghệ backtepping và phương pháp xấp xỉ mờ đã được đưa ra để điều khiển hệ thống phi tuyến với cấu trúc không xác định và có sự tác động của nhiễu bên ngoài. Trong [9], một nghiên cứu mới đã được đưa ra bằng việc kết hợp giữa hệ thống logic mờ Takagi - sugeno với công nghệ backtepping. Thuật toán điều khiển bền vững thích nghi mờ cho hệ thống với tín hiệu thu được đầu vào không biết rõ và thuật toán điều khiển bền vững thích nghi mờ với tín hiệu thu được đầu ra không biết rõ cũng đã được đưa ra. Tuy nhiên, trong tất cả các tài liệu trên luật của bộ điều khiển mờ được xây dựng dựa trên kinh nghiệm của người thiết kế, vì thế bằng những kiến thức kinh nghiệm đó nhiều khi không đủ và rất khó để xây dựng được luật điều khiển tối ưu. Để giải quyết vấn đề này, bộ điều khiển nơron được đưa ra [10-12]. Trong [10], một bộ điều khiển bền vững thích nghi trên cơ sở của mạng nơron đã được đưa ra để điều khiển cho cánh tay robot SCARA. Trong [11], một phương pháp điều khiển phản hồi đầu ra thích nghi sử dụng mạng RBF được đề xuất để bù thích nghi cho đầu ra bám của các hệ thống phi tuyến liên tục. Trong [12], một lược đồ điều khiển bám thích nghi dựa trên mạng nơron được đề xuất cho một lớp hệ thống phi tuyến. Trong đó, mạng nơron RBF được sử dụng để học thích nghi các giới hạn không chắc chắn của hệ thống theo định lý ổn định Lyapunov, và đầu ra của mạng nơron được sử dụng như các tham số của bộ điều khiển để bù cho các tác động không chắc chắn của hệ thống. Trong các tài liệu trên đã kế thừa thuận lợi của bộ điều khiển nơron, đó là khả năng xấp xỉ và khả năng học online các luật trong quá trình bộ điều khiển làm việc. Tuy nhiên, bộ điều khiển nơron không thể tránh khỏi các sai số xấp xỉ. Để giải quyết nhược điểm của bộ điều khiển nơron cần đưa ra bộ điều khiển kết hợp giữa bộ điều khiển nơron với bộ điều khiển trượt [13- 15]. Tác giả đã kết hợp giữa bộ điều khiển nơron với bộ điều khiển trượt để điều khiển cho tay máy robot công nghiệp. Trong đó bộ điều khiển nơron với thuật toán học nhanh và có khả năng xấp xỉ tốt, còn bộ điều khiển trượt với tác dụng bù bền vững đóng vai trò như một bộ điều khiển phụ để đảm bảo sự ổn định và bền vững dưới các môi trường khác nhau. Tuy nhiên, tín hiệu điều khiển trong [13-15] vẫn tồn tại hiện tượng chattering. Để khắc phục nhược điểm trên, trong bài báo của tác giả đã kết hợp trượt nơron với PI để hạn chế sai số xấp xỉ và giảm đáng kể hiện tượng chattering. Do đó, trong phần kết quả mô phỏng, khi áp dụng bộ điều khiển này vào điều khiển hệ thống tay máy robot so sánh với bộ điều khiển trong [15] thì hiệu quả bám, tốc độ hội tụ, tín hiệu chattering đã được cải thiện đáng kể. 2. MÔ HÌNH HỆ TAY MÁY N BẬC TỰ DO Chúng tôi xem xét phương trình động học của robot tay máy n khớp có thể được biểu diễn theo Lagrange như sau: M C(q)q (q,q)q G(q)     (1) trong đó: (q,q,q) R   n 1 là vị trí, vận tốc và gia tốc của robot; M n n(q) R  là ma trận quán tính đối xứng; C n n (q,q) R   là ma trận ly tâm và Coriolis; G n(q) R 1 là vectơ mô tả thành phần trọng lượng;   Rn 1 là mômen điều khiển. Với mục đích thiết kế bộ điều khiển, mô hình tay máy robot (1) có các tính chất sau: Tính chất 1: Ma trận quán tính M(q) là ma trận đối xứng dương và bị chặn: 21 LIÊN NGÀNH ĐIỆN - ĐIỆN TỬ - TỰ ĐỘNG HÓA Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 m x x M q x m x x RT n 1 2 2 2 1    ( ) , (2) với m1 và m2 là hằng số tích cực và chúng phụ thuộc vào khối lượng tay máy robot. Tính chất 2:  M q C q q( ) ( , )- 2 là ma trận đối xứng nghiêng, ∀x: x M q C q q xT [ ( ) ( , )]  2 0 (3) Tính chất 3: C q q q( , )  và G q( ) bị chặn như sau: C q q q C q G q Gk k( , ) , ( )  ≤ ≤ 2 (4) trong đó: Ck, Gk là các hằng số dương. 3. CẤU TRÚC CỦA MẠNG NƠRON RBF Cấu trúc của RBFNN được mô tả trong hình 1. Hình 1. Cấu trúc của mạng nơron RBF Chúng tôi giả sử các giá trị đầu ra của RBFNN lý tưởng là MR R R(q),G (q,q),G (q) và được tính toán như sau: M q M q W h qR M M T M M( ) ( ) * ( )     (5) C q q C q q W h q qR C C T c C( , ) ( , ) * ( , )       (6) G q G q W hR G G T G G( ) ( ) *     (7) trong đó: WM, WC và WG là giá trị lý tưởng của RBF; h h hM C G, , là đầu ra của lớp ẩn; ƐM, ƐC, ƐG sai số mô hình của M q C q q G q( ), ( , ), ( ) tương ứng, và và giả định là bị chặn. Các giá trị ước lượng của MR R(q),C (q,q) và GR(q) có thể được thể hiện bởi RBF như sau: (8) (9) (10) trong đó: và là ước lượng của W WM C, và GW tương ứng; và n là số nơron lớp ẩn. 4. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI BỀN VỮNG TRÊN CƠ SỞ RBFNN Trong phần này, mục tiêu của chúng ta là điều khiển tay máy robot công nghiệp để xác định mômen xoắn điều khiển τ , để sai số bám giữa vị trí khớp mong muốn dq và vị trí vectơ vị trí q có thể hội tụ đến 0 khi t → ∞ . Như vậy, các hàm chưa biết của hệ thống điều khiển tay máy robot công nghiệp được ước lượng và sự ổn định của hệ thống điều khiển có thể được đảm bảo. Cấu trúc của hệ thống điều khiển tay máy robot công nghiệp được thể hiện trong hình 2. Xác định vectơ sai số bám e(t) và hàm trượt s(t) là các hàm như sau: e t q qd( ) -= – (11) s t e e( ) -   – s t e e( ) -   (12) trong đó:     diag n( , ,..., )1 2 là ma trận khuếch đại hằng số dương. Nó là một tiêu chuẩn để xác định s(t). Khi bề mặt trượt s(t) = 0 theo lý thuyết điều khiển trượt chế độ trượt được điều chỉnh bởi phương trình vi phân sau e eλ= - . Các biến trạng thái của hệ thống trên bề mặt trượt được xác định bởi cấu trúc của ma trận λ. Khi hàm trượt s(t) càng nhỏ thì hiệu suất điều khiển sẽ tốt hơn. Do đó, phương trình (1) có thể được viết lại như sau: (13) Từ phương trình (5), (6), (7) thì (13) trở thành: (14) trong đó: ( )f x được xác định là = ( ) R df x M q Đối với đối tượng điều khiển là robot công nghiệp n khớp có phương trình động học (1), luật điều khiển thích nghi được đề xuất như sau: ˆ ( ) s PIf xτ τ τ= + + (15) 22 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 Ở đây: 1 2 0 1 2 , {K , , ...,K }, {K , , ...,K } PI p I p p p pn I I I In K s K sdt K diag K K diag K τ τ = + = = ∫ Kp, KI là ma trận xác định dương; sτ là bộ điều khiển bền vững SMC được sử dụng để loại bỏ các ảnh hưởng của sự không chắc chắn và sai số xấp xỉ; và xˆf là xấp xỉ của hàm thích nghi xf và được định nghĩa như sau: Hình 2. Sơ đồ cấu trúc của hệ thống điều khiển tay máy robot Bộ điều khiển SMC Hệ thống tay máy robot ˆ ˆ ˆˆ ˆ(M C )q ˆ ˆˆ ˆ(q) x R R d R d R R R f M q C q G M q C q λ λ λ λ λ = + + + + - -  Theo phân tích ở trên, chúng ta có thể đưa ra bộ điều khiển bền vững SMC sτ như sau: sgn( )s sK sτ = (16) trong đó: { }1 2, ,......Ks s s snK diag K K= và sK ε> . Thế vào phương trình (15) vào (14) chúng ta được: – – + Ɛ (17) trong đó: ˆ(x) f(x) M (M C )q (q) M R d R R d R d R R R f f q C q G q C q λ λ λ λ = - = + + + + + - -         (18) Bằng cách áp dụng luật điều khiển thích nghi (15) vào phương trình động học (1), và sử dụng điều khiển chế độ trượt bền vững (16), các luật cập nhật thích nghi mạng nơron được thiết kế như sau: i=,1, 2, ...n (19) Trong đó và là ma trận hằng số dương đối xứng. Ổn định của hệ thống mạch vòng kín trong hình 2 được xác định bởi phương trình (15) được chứng minh trong các định lý sau đây. Định lý: Xét một tay máy robot công nghiệp n khớp miêu tả bởi phương trình (1). Nếu luật cập nhật thích nghi mạng nơron RBF được thiết kế như phương trình (19), bộ điều khiển bền vững SMC sτ được cho bởi phương trình (16), và luật điều khiển thích nghi được thiết kế trong phương trình (15), thì sai số bám và độ hội tụ của tất cả các thông số hệ thống được đảm bảo và tiến gần về không. 23 LIÊN NGÀNH ĐIỆN - ĐIỆN TỬ - TỰ ĐỘNG HÓA Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 Chứng minh: Theo phân tích ổn định Lyapunov, nếu hàm Lyapunov xác định dương và đạo hàm của nó là xác định âm, thì hệ thống điều khiển ổn định. Do đó, để đảm bảo tính ổn định của toàn bộ hệ thống điều khiển, chúng tôi xem xét một hàm Lyapunov được chọn như sau: (20) trong đó: . Đạo hàm (t)V theo thời gian, ta thu được phương trình như sau: (21) Theo tính chất 2, phương trình (21) viết như sau: (22) Thế phương trình (17), (18) vào phương trình (22) ta được: (23) Ứng dụng luật cập nhật thích nghi (19) vào (23), và thay thế như sau Mi MiW W= -  , Ci CiW W= -  và Gi GiW W= -  và coi sK ε> thì đạo hàm bị chặn ( ) sgn( )T T T Tp s pV t s K s s K s s s K sε= - - + ≤ - Khi đó: (t) 0V ≤ (24) Từ kết quả cho thấy hệ thống được ổn định không phụ thuộc vào s. Việc chứng minh đã được hoàn thành. 5. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Trong phần này, với mục đích minh họa, chúng tôi xem xét phương trình động học của tay máy robot hai khớp, sơ đồ cấu trúc thể hiện trong hình 3. Hình 3. Tay máy robot công nghiệp hai khớp Phương trình động học của robot [13 - 14] như sau: trong đó: 24 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 trong đó: m1, m2 là khối lượng của các khớp; l1, l2 là chiều dài các khớp. g=9,8 (m/s 2) là gia tốc trọng trường. Các thông số của tay máy robot hai khớp được chỉ ra trong bảng 1 [13 – 14]. Bảng 1. Thông số của robot Khớp Khối lượng (kg) Chiều dài (m) Khớp 1 2 0,8 Khớp 2 1 1 Mục đích là thiết kế lực điều khiển đầu vào để buộc các biến trạng thái [ ]1 2 Tq q q= bám theo quỹ đạo mong muốn với thời gian tiến đến vô cùng. Ở đây, các quỹ đạo vị trí mong muốn của tay máy robot công nghiệp hai khớp được chọn: [ ] [ ]1 2 0.5sin( t) 0.5sin( t) T d d dq q q π π= = và vị trí ban đầu của các khớp là [ ]0 0.09 0.09 Tq = - , vận tốc ban đầu của các khớp là [ ]0 0.0 0.0 Tq = . Cho de q q= - =[ ]1 2 Te e là các sai lệch bám. Các phần tử của ma trận khuếch đại trog luật cập nhật thích nghi (19) là: 5; 5; 5.Mi Ci GiΘ = Θ = Θ = Kết quả mô phỏng khi có nhiễu d(t) = [10sin(t) 10sin(t)]T tác động sau 5 s. Các giá trị tham số được sử dụng trong hệ thống điều khiển thích nghi được chọn cho mô phỏng như sau: λ = diag[5 5] ; Kp = [50 50] ; KI = diag[100 100] ; Ks= diag[0,1 0,1]. Bộ điều khiển được đề xuất của chúng tôi (RBFNN1) được so sánh với bộ điều khiển thích nghi (RBFNN2) trong [20]. Giá trị các thông số sử dụng trong hệ thống điều khiển thích nghi [15] là: λ = diag[5 5]; K = [20 20]; wφ = diag[15 15]. Các kết quả mô phỏng của đáp ứng vị trí khớp, các sai số bám, mômen điều khiển khi không có nhiễu và có nhiễu tác động sau 5 s được thể hiện trong hình 4; 5 Từ kết quả mô phỏng này, chúng ta thấy rằng hệ thống được đề xuất hội tụ với quỹ đạo mong muốn nhanh hơn, đạt được hiệu suất bám tốt hơn và hiện tượng chattering được triệt tiêu hoàn toàn so với bộ điều khiển trong [15]. Hình 4. Vị trí, sai lệch bám, mômen điều khiển của hệ thống tay máy robot Hình 5. Vị trí, sai lệch bám, mômen điều khiển của hệ thống robot khi có nhiễu tác động 25 LIÊN NGÀNH ĐIỆN - ĐIỆN TỬ - TỰ ĐỘNG HÓA Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 6. KẾT LUẬN Trong bài báo này, một bộ điều khiển thích nghi trượt bền vững bám theo quỹ đạo dựa trên cơ sở mạng nơron (RBFNN) được đề xuất điều khiển cho hệ thống tay máy robot đã đạt được vị trí bám chính xác cao trong các môi trường làm việc khác nhau. Dựa trên thuyết ổn định Lyapunov, tác giả đã chứng minh được hệ thống luôn ổn định trên toàn vùng làm việc. Hiệu quả của bộ điều khiển đã được kiểm chứng qua mô phỏng so sánh với bộ điều khiển thích nghi trong [15]. Quan sát kết quả mô phỏng, chúng ta thấy phương pháp điều khiển được đề xuất không chỉ triệt tiêu hiện tượng chattering mà còn có thể đạt được khả năng bám theo quỹ đạo mong muốn một cách chính xác cao và khả năng bền vững của bộ điều khiển bám trong các môi trường khác nhau tốt hơn so với bộ điều khiển trong [15]. Từ kết quả mô phỏng, chúng ta có thể tiếp tục nghiên cứu để đưa vào thực nghiệm cũng như được ứng dụng vào thực tế. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Gueaieb, W., Karray, F., Sharhan, S. S. (2007). A robust hybrid intelligent position/force control scheme for cooperative manipulators. IEE Trans. Mechatronics. 12(2), 109–125. [2]. Kim, E. (2004). Output feedback tracking control of robot manipulators with model uncertainty vis adaptive fuzzy logic. IEEE Trans. Fuzzy Syst. 12(3), 368–378. [3]. Li, Z.J., Yang, C.G., Tang, Y. (2013). Decentralized adaptive Fuzzy control of Coordinated multiple mobile manipulators interacting with nonrigid environments. IET Control.theory appl. 7(3), 397–410. [4]. Sun, F.C., Sun, Z.Q., Feng, G. (1999). An adaptive fuzzy controller based on sliding mode for robot manipulators. IEEE Trans. Syst. Man Cybern. B 29(2), 661–667. [5]. Peng, J., Wang, Y., Sun, W., Liu, Y. (2006): A neural network sliding mode controller with application to robotic manipulator. IEEE Conf. Int. Control. Autom. 1, 2101–2105. [6]. Yoo, B.K., Ham W.C. (2000). Adaptive Control of Robot Manipulator Using Fuzzy Compensator. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 8(2), 186-199. [7]. Labiod, S., Boucherit, M.S., Guerra, T.M. (2005). Adaptive fuzzy control of a class of MIMO nonlinear systems. Fuzzy Sets and Systems, 151, 59-77. [8]. Zhou, S. S., Feng, G., Feng, C. B. (2005). Robust control for a class of uncertain nonlinear systems: Adaptive fuzzy approach based on Backstepping. Fuzzy Sets and Systems, 151(1), 1-20. [9]. Yang, Y. S., Feng, G., Ren, J. S. (2004). A combined backstepping and small gain approach to robust adaptive fuzzy control for strict-feedback nonlinear systems. IEEE Trans. Syst., Man Cybern. A, Syst., Humans, 34(3), 406-420. [10]. Rossomando F G, Soria C M (2016). Adaptive neural sliding mode control in discrete time for a SCARA robot arm. IEEE Latin america transactions, Vol 14, No 6. [11]. Seshagiri, S., Khail, H.K. (2000). Output feedback control of nonlinear systems using RBF neural networks. IEEE Trans. Neural Networks 11(2), 69–79. [12]. Zhihong, M., Wu, H.R., Palaniswami, M. (1998). An adaptive tracking controller using neural networks for a class of nonlinear systems. IEEE Trans. Neural Networks 9(5), 947–955. [13]. Vũ Thị Yến, Wang Yao Nan, Lê Thị Hồng Nhinh, Lương Thị Thanh Xuân (2017). Thiết kế bộ điều khiển thích nghi trượt bền vững trên cơ sở mờ nơron cho robot công nghiệp. Tạp chí Nghiên cứu khoa học – Đại học Sao Đỏ, Việt Nam. [14]. Vũ Thị Yến, Phan Văn Phùng, Nguyễn Trọng Các (2016). Thiết kế bộ điều khiển trượt bền vững trên cơ sở mạng nơron cho robot công nghiệp.̣ Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, Việt Nam. [15]. Pham Van Cuong, Wang Yao Nan (2015). Adaptive trajectory tracking neural network control with robust compensator for robot manipulators. Neural Computing and Applications. 27(2), 525-536.