Thay đổi biến ở bậc Phổ thông trung học - Mối liên hệ giữa giải tích và hình học

bỏ nhiều công sức và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn, người mà tôi xem là tấm gương phải noi theo trong nghiên cứu khoa học. Tôi xin trân trọng cám ơn quí thầy cô đã tận tâm truyền thụ cho chúng tôi kiến thức về didactic toán, trang bị cho chúng tôi một công cụ khoa học và hiệu quả để nghiên cứu chuyên môn, qua đó giúp chúng tôi tự tin, say mê và hạnh phúc trong từng giờ trên bục giảng. Lời cảm ơn trân trọng xin được gởi đến:  TS Đoàn Hữu Hải, Trưởng phòng đào tạo – ĐHSP TP Hồ Chí Minh.  PGS TS Lê Văn Tiến, giảng viên Khoa Toán – Tin trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh.  GS TS Claude Comiti, trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp.  GS TS Annie Bessot, trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp.  GS TS Alain Birebent , trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp. Tôi xin cám ơn TS Nguyễn Xuân Tú huyên đã dành thời gian quí báu giúp tôi chuyển dịch luận văn này sang tiến pháp. Lời cám ơn chân thành xin gởi đến các bạn thân yêu học cùng khóa, những người đã chia sẽ khó khăn vui buồn với tôi trong những năm tháng học cao họcCuối cùng luận văn sẽ không sớm được hoàn thành nếu không có sự hy sinh, động viên của Trúc Huyền vợ tôi. Luận văn này xin được đề tặng cho vợ tôi và Minh Quốc con trai của tôi. TRẦN VĂN MINH MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát Phương pháp đổi biến xuất hiện trong lời giải nhiều dạng toán thuộc chương trình bậc trung học phổ thông Việt Nam : khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc hai tổng quát, đại số hóa các phương trình và bất phương trình qui về bậc hai, đại số hóa các phương trình lượng giác, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit, … Có lẽ vì thế mà ta thường xuyên thấy sự tác động của “phương pháp đổi biến” trong các đề thi tú tài và đại học. Điều đó khiến chúng tôi mong muốn tiến hành một nghiên cứu về sự hiện diện của nó trong chương trình toán bậc trung học phổ thông Việt Nam. Chúng tôi bắt đầu quan sát sự hiện diện của đổi biến qua lời giải hai bài toán được trình bày trong sách giáo khoa giải tích 12, chương trình chỉnh lý hợp nhất 2000. Hai lời giải này được giới thiệu như những ví dụ minh họa, một cho dạng toán khảo sát hàm số, một cho dạng toán tính tích phân. Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt hai lời giải đó. • Bài toán 1 (trang 80 sách giáo khoa giải tích 12) : Khảo sát hàm số y = x3+3x2– 4 Tập xác định: R y’ = 3x2+6x = 3x(x+2) y’’ = 6x+6 = 6(x+1) Bảng biến thiên x – –2 –1 0   y’ 0 0 y 0 –2 - (I) - 4  Sau đó, bằng việc xét dấu y”, người ta nói rằng đồ thị hàm số là một đường cong lồi trong khoảng (-∞; -1), lõm trong khoảng (-1; +∞), và nhận I(-1; -2) làm tâm đối xứng. Từ những kết quả trên, người ta vẽ đồ thị của hàm số. Cuối cùng, nhận xét sau đây được nêu ra : “Chú ý : Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI , thì giữa các tọa độ cũ (x;y) và tọa độ mới (X;Y) của một điểm M của mặt phẳng, có các hệ thức sau (gọi là công thức đổi trục): x 1 X y 2 Y       Thay vào hàm số đã cho ta được Y = X3–3X. Đây là một hàm số lẻ. Vậy đồ thị nhận điểm I là tâm đối xứng.” Phân tích phần chú ý ở cuối lời giải trên, chúng tôi thấy phép đổi hệ trục tọa độ được sử dụng để chứng minh điểm I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho ban đầu. Việc chuyển sang hệ tọa độ mới cho phép tránh những phép biến đổi đại số phức tạp nhằm chứng minh I thỏa mãn điều kiện của một tâm đối xứng của đồ thị hàm số f – vốn không được đề cập trong các sách giáo khoa1. Ở đây, đường cong ban đầu hoàn toàn được giữ nguyên, nhưng hệ tọa độ thay đổi. Trong hệ tọa độ mới, đường cong này trở thành đồ thị của một hàm số khác, thu được từ hàm số ban đầu bằng phép đổi biến. Sau đó, sử dụng tính chất đã được giới thiệu trong phần lý thuyết (“đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng”) người ta suy ra I(-1; -2) là tâm đối xứng của đường cong. Như thế, trong trường hợp này, phép tịnh tiến hệ trục tọa độ được đặt tương ứng với một phép đổi biến số. 1 Trong các sách giáo khoa phổ thông Việt nam, người ta không giới thiệu định nghĩa tổng quát cho phép xác định điều kiện để điểm I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số f, chỉ nói rằng đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng và đồ thị một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Khái niệm tâm đối xứng, trục đối xứng của một hình được đề cập trong HH lớp 10, (chương trình 2000). Ta thấy ở đây một sự phối hợp uyển chuyển trong việc sử dụng các hệ thống biểu đạt (registre) của hai phạm vi (cadre) khác nhau – giải tích (GT) và hình học2 (HH). Cụ thể : đồ thị là một sự biểu đạt bằng ngôn ngữ HH (registre géométique) của hàm số. Nhưng tất cả các tính chất của đồ thị đều có thể được thể hiện qua những biểu thức GT (registre analytique), hay nói cách khác là có thể được chứng minh trong phạm vi GT (cadre analytique). Song, trong lời giải trên, nhằm tránh những phép biến đổi GT phức tạp, người ta ở lại trong phạm vi HH (cadre géométrique) để chứng minh tính đối xứng của đồ thị. Liên tưởng với ý kiến của Douady (1986) về tầm quan trọng của sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong hoạt động toán học nói chung, trong dạy học toán nói riêng, chúng tôi nẩy sinh mong muốn nghiên cứu quan hệ giữa giải tích (GT) và hình học (HH) trong dạy học toán ở trường phổ thông Việt-Nam. Quan hệ này có thể được thể hiện qua nhiều nội dung dạy học, mà đổi biến là một trong những nội dung đó. Như thế, chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là : Đổi biến : quan hệ giữa giải tích và hình học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông. • Bài toán 2 (trang 135 sách giáo khoa giải tích 12) : Tính .  1 3 0 2x 1 dx Đặt t = 2x+1. Khi x = 0 thì t = 1. Khi x = 1 thì t = 3. Ta có dt = 2dx dx =  dt 2 . Do đó : =  1 3 0 2x 1 dx 33 4 3 1 1 1 tt dt 10 2 8   Như vậy, để tính tích phân từ 0 đến 1 của hàm số f xác định bởi biểu thức (2x+1)3 người ta đã đổi sang biến t = 2x+1. Khi đó miền giá trị của t biến thiên từ 1 đến 3. Hàm số f theo biến x trở thành hàm f theo biến t, với t là hàm theo biến x. Về bản chất, phép đổi biến từ x sang t ở đây chính là một sự thiết lập hàm hợp. Trong cả hai lời giải bài toán trên đều có sự tác động của phương pháp đổi biến3. Tuy nhiên, việc đổi biến trong mỗi lời giải được đặt trong một cách tiếp cận khác nhau : đối với bài toán thứ nhất, đổi biến tương ứng với phép đổi hệ tọa độ ; đối với bài toán thứ hai, đổi biến tương ứng với phép lập hàm hợp. Chúng tôi nói rằng đổi biến đã được tiếp cận từ hai quan điểm : 2 Về các thuật ngữ regisstre và cadre bạn đọc có thể tham khảo Douady 1986. 3Trong luận văn này, để đơn giản, chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ “đổi biến” thay cho “phương pháp đổi biến”. Vả lại, thuật ngữ thứ hai có thể làm người ta nghĩ đến phương pháp giải quyết một vấn đề (hay một loại vấn đề) cụ thể, trong khi chúng tôi lại muốn dùng nó theo nghĩa có sự xuất hiện của phương pháp đổi biến khi người ta giải một bài toán (hay một dạng toán) nào đó.  Quan điểm 1: xem đổi biến như là một sự thay đổi hệ trục tọa độ. Trong trường hợp này, hệ tọa độ thay đổi, còn đường cong (đồ thị của hàm số ban đầu) được giữ nguyên, nhưng trong hệ tọa độ mới thì nó trở thành đồ thị của một hàm số mới (thu được từ hàm số ban đầu bằng đổi biến). Chúng tôi nói đây là đổi biến theo quan điểm HH.  Quan điểm 2: xem việc đổi biến như là một sự thiết lập hàm hợp. Chúng tôi nói đổi biến ở đây được nhìn từ quan điểm GT. Những ghi nhận về việc đổi biến trong lời giải của hai bài toán trên cũng như sự tác động thường xuyên của nó trong các kỳ thi tú tài và tuyển sinh đại học khiến chúng tôi quan tâm. Chúng tôi tự hỏi :  Q’1 : Đổi biến được đưa vào ở đâu trong chương trình toán bậc trung học phổ thông Việt nam ? bằng cách nào ? chúng đóng vai trò gì ?  Q’2 : Quan điểm nào - HH hay GT - được ưu tiên hơn trong thể chế dạy học bậc trung học phổ thông Việt nam ?  Q’3 : Sự lựa chọn của thể chế tác động ra sao lên việc học của học sinh ? II. Khung lý thuyết tham chiếu II.1. Lí thuyết nhân chủng học Để tìm một số yếu tố cho phép trả lời cho những câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trước hết trong phạm vi của lý thuyết nhân chủng học. Tại sao lại là lý thuyết nhân chủng học ? Bởi vì cả 3 câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến những khái niệm cơ bản của lý thuyết này : quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, và tổ chức toán học. Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình. Để trình bày các khái niệm này, chúng tôi dựa vào những bài giảng didactic sẽ được công bố trong cuốn sách song ngữ Didactic toán.  Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O. R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu như thế nào O, X có thể thao tác O ra sao. Theo quan điểm này việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối quan hệ của X đối với O. Cụ thể, việc học tập xẩy ra nếu quan hệ R(X, O) bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại).  Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức. Phân tích sinh thái Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định. Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, …. Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy. Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O). Với những định nghĩa trên thì trả lời cho các câu hỏi Q’1, Q’2 chính là làm rõ quan hệ của thể chế I mà chúng tôi quan tâm đối với đối tượng O. Đối tượng O ở đây là “đổi biến”, còn thể chế dạy học I thì với khuôn khổ của luận văn chúng tôi chỉ giới hạn trong phạm vi lớp 12. Những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q’3 sẽ được tìm thấy không chỉ qua việc làm rõ R(I, O) mà còn qua cả nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với O, vì, như đã nói trên, tác động của thể chế I lên chủ thể X (tồn tại trong I) thể hiện qua quan hệ R(X, O). Một câu hỏi được đặt ra ngay tức thì : làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O) ?  Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie. Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , , ], trong đó : T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  là lí thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ  . Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique). Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O : “ Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định (tham khảo Bosch. M và Chevallard Y., 1999). Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại trong O, bởi vì : “Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”. Như thế, việc chúng tôi lấy lý thuyết nhân chủng học làm tham chiếu cho nghiên cứu của mình dường như là hoàn toàn thỏa đáng. II.2. Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy - học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là “[…] một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức được giảng dạy” (Bessot và các tác giả). Những điều khoản của hợp đồng tổ chức nên các mối quan hệ mà Thầy và Trò duy trì đối với một tri thức : “Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua” (Tài liệu đã dẫn). Như vậy, khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta "giải mã" các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Theo định nghĩa trên, rõ ràng là những yếu tố trả lời cho các câu hỏi ban đầu Q’1, Q’2 và Q’3 của chúng tôi đều có thể được tìm thấy qua việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến đối tượng đổi biến. III. Trình bày lại câu hỏi của luận văn Giới hạn trong phạm vi lý thuyết didactic đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi ban đầu mà việc tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời chúng là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này. Hệ thống câu hỏi của chúng tôi xoay quanh những yếu tố cho phép xác định quan hệ giữa thể chế I - thể chế dạy học toán ở lớp 12, với đối tượng O - “đổi biến”, và quan hệ cá nhân của học sinh lớp 12 với O.  Câu hỏi 1 (Q1) : Trong I, O xuất hiện như thế nào? nó lưu trú ở đâu (habitat), trong những tổ chức toán học nào? nó tồn tại và phát triển ra sao? nó có những chức năng gì (niche), cho phép giải quyết những kiểu nhiệm vụ gì? v.v…  Câu hỏi 2 (Q2) : Đâu là những ràng buộc thể chế đối với hai quan điểm đổi biến HH và GT ? Quan điểm nào được ưu tiên hơn trong thể chế mà chúng tôi xem xét ?  Câu hỏi 3 (Q3) : Ứng xử của giáo viên và học sinh bị chi phối bởi những quy tắc nào của hợp đồng didactic? Việc thể chế ưu tiên quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng ra sao đến việc hình thành quan hệ cá nhân của họ với O? Cụ thể hơn, học sinh lớp 12 có thể vận hành O để giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào? Tuy nhiên, trước khi đi tìm những yếu tố trả lời cho ba câu hỏi trên, việc tiến hành một nghiên cứu tri thức luận về đối tượng O là cần thiết. Nghiên cứu đó sẽ giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về O trước khi nghiên cứu cuộc sống của nó trong I. Vì thế, chúng tôi đặt thêm một câu hỏi cần phải được xem xét trước và gọi đó là câu hỏi Q0.  Q0 : về mặt toán học thì O có thể xuất hiện ở đâu, qua những tổ chức toán học nào, trong những phạm vi nào ? có những quan điểm nào được gắn với O ? IV. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Luận văn của chúng tôi nhắm đến việc tìm những yếu tố trả lời cho bốn câu hỏi nêu trên.  Đối với câu hỏi Q0, do không có điều kiện về tư liệu cũng như về thời gian, chúng tôi không thể dấn thân vào một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa trên các tài liệu lịch sử toán. Vì vậy, chúng tôi sẽ chỉ giới hạn trong việc phân tích vài giáo trình toán dùng ở bậc đại học, xem nó như một cơ sở tham chiếu cho việc nghiên cứu sự tồn tại của đổi biến trong thể chế dạy học bậc phổ thông. Đây là nhiệm vụ đầu tiên của chúng tôi. Kết quả của nghiên cứu này sẽ được trình bày trong chương 1. Trong chương này chúng tôi sẽ phải chỉ rõ : về mặt toán học, đổi biến có thể xuất hiện ở đâu ? với vai trò gì ? theo những quan điểm nào? Tham chiếu vào những kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sách giáo khoa toán lớp 12, nhằm vạch rõ cuộc sống của đổi biến trong thể chế mà chúng tôi quan tâm. Trước khi phân tích sách giáo khoa, chúng tôi sẽ lướt qua chương trình toán bậc trung học phổ thông để thấy được sự tiến triển của đối tượng “đổi biến” trong toàn bộ chương trình, và cũng phần nào làm rõ những mong đợi thể chế được phát biểu tường minh. Việc xem xét một số đề thi tú tài và tuyển sinh đại học, thực hiện sau khi phân tích sách giáo khoa, sẽ giúp thấy rõ hơn, hay ít ra cũng là khẳng định cho những yêu cầu của thể chế đã được chúng tôi rút ra từ phân tích chương trình. Ba phân tích này được trình bày trong chương 2, chương “Một nghiên cứu thể chế về đổi biến”. Nghiên cứu thực hiện ở chương 2 nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 nêu trên. Hơn thế, nó sẽ cho phép chúng tôi đưa ra được những giả thuyết liên quan đến hợp đồng didactic chi phối ứng xử của giáo viên và học sinh. Nó còn có thể mang lại cho chúng tôi những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 : sự ưu tiên của thể chế đối với quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng ra sao đến việc học của học sinh ? Chương 3 được dành cho việc kiểm chứng tính thỏa đáng của những giả thuyết này qua một nghiên cứu thực nghiệm mà chúng tôi tiến hành với hai thành viên chính của thể chế là : người dạy và người học.  Về phía người học : Chúng tôi tìm kiếm hoặc xây dựng một số bài toán thực nghiệm có thể giải bằng cả hai cách đổi biến như đã nêu ở trên. Sau đó, quan sát, thu thập và phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ vai trò của từng quan điểm về sự thay đổi biến trong hệ thống dạy- học toán bậc phổ thông trung học.  Về phía người dạy : Chúng tôi dự định thăm dò ý kiến của một số giáo viên dạy toán lớp 12 qua một bộ câu hỏi điều tra, nhằm tìm hiểu quan điểm của họ về vai trò của đổi biến trong dạy-học toán bậc trung học phổ thông , đồng thời kiểm tra tính thỏa đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đưa ra. Chương 1 ĐỔI BIẾN : MỘT NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN Mục đích của chương này là tìm kiếm những yếu tố của câu trả lời cho câu hỏi Q0: về mặt toán học, đổi biến có thể xuất hiện ở đâu, gắn với những tổ chức toán học nào, trong những phạm vi nào? Như đã nói trong phần mở đầu, do không có điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu trên các tài liệu gốc về lịch sử toán học, mà tìm kiếm câu trả lời trong vài giáo trình được sử dụng cho sinh viên toán các trường đại học sư phạm. Lưu ý rằng chúng tôi quan tâm đến hai quan điểm có thể gắn với đổi biến : - Quan điểm HH : xem đổi biến như là một sự thay đổi hệ trục tọa độ, và như thế thì đổi biến có thể gắn với các phép biến hình – vốn được nghiên cứu trong phạm vi HH. - Quan điểm GT : xem đổi biến như là một sự thiết lập hàm hợp, là một tri thức thuộc phạm vi GT. Vì lẽ đó, chúng tôi chọn một giáo trình GT và một giáo trình HH được sử dụng trong các trường đại học sư phạm để nghiên cứu. Cụ thể, đó là : - Nguyễn Mộng Hy (2000), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục. - Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn (1981), Giải tích toán học, NXB Giáo dục. I. Quan điểm HH và quan điểm GT trong giáo trình «Hình học cao cấp» Nội dung của cuốn sách bao gồm ba chương : Chương 1 : Không gian afin và hình học afin. Chương 2 : Không gian ơclit và hình học ơclit. Chương 3 : Không gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh. Liên quan đến hai quan điểm trên, ghi nhận đầu tiên của chúng tôi là trong tài liệu này người ta chỉ nói đến vấn đề đổi mục tiêu, còn các vấn đề về hàm hợp không được xem xét. Điều này có thể được giải thích bởi việc đây là một giáo trình HH. «Đổi mục tiêu» xuất hiện tường minh ở cả ba chương của cuốn sách, nhưng chúng tôi sẽ chỉ trình bày ở đây những điểm chủ yếu được rút ra từ việc phân tích hai chương đầu, vì chương thứ ba đề cập đến các tri thức toán học không được xem xét ở bậc trung học. Chương 1 của giáo trình dành cho việc nghiên cứu các khái niệm không gian afin, mục tiêu afin, tọa độ afin (của một điểm đối với một mục tiêu), phép biến đổi afin, m-phẳng và các siêu mặt bậc hai trong không gian afin. Chương 2 nghiên cứu không gian ơclit, mục tiêu trực chuẩn, tọa độ trực chuẩn (của một điểm đối với một mục tiêu trực chuẩn), phép biến đổi đẳng cự, m-phẳng, siêu mặt bậc hai và siêu cầu trong không gian ơ clit. Chúng tôi sẽ xem xét dưới đây những vấn đề liên quan đến đổi mục tiêu trong không gian afin và không gian ơclit. I.1. Đổi mục tiêu trong không gian afin và ứng dụng của nó  Liên quan đến mục tiêu afin, tọa độ afin, chúng tôi thấy có công thức đổi mục tiêu. Chúng tôi tóm lược lại dưới đây những nội dung được đề cập đến. Trong không gian afin n chiều An cho hai mục tiêu afin E0, Eivà E’0, E’ilần lượt ứng với hai cơ sở nền là  ie và  'ie hất với i = 1,2, . .n. Giả sử các điểm E’i có tọa độ đối với mục tiêu thứ nhấtE0, Ei là E’i = (ai1,ai2,. . . , ain) với i = 0,1,. . n. Khi đó, ma trận sau đây được gọi là ma trận chuyển từ mục tiêu thứ n  0 i, E sang mục tiêu thứE hai  '0 'iE , E : 1 1 01 1 2 02 1 n 0n 2 1 01 2 2 02 2 n 0 n n 1 01 n 2 02 n n 0n a -a a -a . . . . a -a a -a a -a . . . . a - a C .............................................. a -a a -a . . . . a -a          Giả sử X là một điểm của không gian afin An. Ký hiệu (xi) và (x’i) lần lượt là ma trận dòng các tọa độ của X đối với hai mục tiêu trên. Người ta chứng minh rằng quan hệ giữa (xi) và (x’i) được biểu diễn bởi công thức : [x] = [a0] + C*[x’] (1) Trong công thức trên, [x], [x’], C* lần lượt là các ma trận chuyển vị của (xi), (x’i), C. Công thức này được gọi là công thức đổi mục tiêu.  Sử dụng công thức đổi mục tiêu (1), người ta chứng minh được rằng nếu f : An  An là một phép biến đổi afin thì phương trình của nó đối với mục tiêu cho trước {E0; Ei} ( i 1,n ) là : [x’] = C*[x] + [b] (2) Trong công thức trên, [x] và [x’] lần lượt là ma trận chuyển của (xi) và (x’i) - các ma trận dòng tọa độ của điểm X An và X’ = f(X)  An đối với mục tiêu đã chọn ; C* là ma trận chuyển vị của C - ma trận đổi từ mục tiêu {E0;Ei} sang mục tiêu ảnh {E’0;E’i} ; [b] là chuyển vị của (bi) - ma trận dòng tọa độ của điểm E’0 = f(E0).  Công thức đổi mục tiêu (1) còn được sử dụng để tìm các kết quả về đơn hình m chiều, một số tính chất của không gian afin, và các kết quả về siêu mặt bậc hai. Đặc biệt, nó đã được dùng để đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai về dạng chuẩn tắc. Cụ thể, định lý sau được chứng minh nhờ công thức này : Định lí. Trong không gian afin An với mục tiêu afin  0e , ei  một siêu mặt bậc hai (S) có phương trình tổng quát là : n n a x x + 2 a x + a = 0ij i j i i 0 i, j = 1 i = 1   . Bằng cách chọn mục tiêu tọa độ thích hợp, mọi siêu mặt bậc hai (S) trong không gian nA đều có một trong ba dạng chuẩn tắc sau :                r 2 i i i i=1 r 2 i i i i=1 r 2 i i r+1 i i=1 I : e x = 1 , e = ±1, 1 r n II : e x = 0 , e = ±1, 1 r n III : e x = 2x , e = ±1, 1 r n -1 (Nguyễn Mộng Hy, 2000, trang 61, 62). Ta thấy ở đây người ta đã phát biểu tường minh là “chọn một mục tiêu thích hợp”. Điều này có nghĩa là thực hiện một phép đổi mục tiêu. Việc đổi mục tiêu cho phép đưa phương trình của mọi siêu mặt bậc hai về một trong ba dạng đơn giản nhất, thuận lợi cho việc nghiên cứu chúng. Phân tích kỹ phần chứng minh định lý, chúng tôi thấy đổi biến được sử dụng ngầm ẩn ở đây : phép đổi mục tiêu tương ứng với một phép đổi biến số - chính nhờ đổi biến số mà phương trình ban đầu được chuyển về một phương trình mới đơn giản hơn. Nói cách khác, ở đây có sự tác động của đổi biến dưới hình thức đổi mục tiêu. I.2. Đổi mục tiêu trong không gian ơclit và ứng dụng của nó Một không gian vectơ được trang bị thêm tích vô hướng đối với hai vectơ bất kỳ của nó sẽ trở thành một không gian vectơ ơclit (Nguyễn Mộng Hy, 2000, tr. 84). “Không gian ơclit là một loại không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều. Không gian ơclit được gọi là n chiều, kí hiệu là En nếu không gian vectơ ơclit liên kết với nó có số chiều bằng n” (Nguyễn Mộng Hy, 2000, tr. 87). Từ hai định nghĩa trên, ta có thể suy ra ngay được rằng công thức đổi mục tiêu trong không gian ơclit cũng là công thức (1) đã được xây dựng trong không gian afin. Cùng cấu trúc như chương 1, trong chương 2 của giáo trình, công thức đổi mục tiêu được sử dụng để thiết lập phương trình của các phép dời hình và để nghiên cứu các siêu phẳng trong En.  Phương trình của phép dời hình được thiết lập tương tự như đối với các phép biến đổi afin và kết quả thu được là phương trình sau, trong đó A là một ma trận trực giao cấp n (vì cơ sở {E0; Ei} được chọn ở đây là cơ sở trực chuẩn) : [x’] = A[x] + [b] (3)  Cuối cùng, công thức đổi mục tiêu trực chuẩn cũng được áp dụng để đưa các phương trình siêu mặt bậc hai trong không gian Ơclit về dạng chuẩn tắc. Định lý: Đối với mọi siêu mặt bậc hai (S) trong nE ta luôn tìm được một mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của (S) đối với mục tiêu đó có một trong ba dạng chính tắc sau :       , 1 r n Ii , 1 r n IIi , 1 r n III i n 2''x 1ii 1 n 2''x 0ii 1 n 2b X 2mX 0r 1ii 1              I.3. Nhận xét Trong cuốn sách này, liên quan đến đổi biến, chỉ có sự hiện diện của quan điểm HH. Thuật ngữ “đổi biến” không được nói đến, nhưng nó nằm ngầm ẩn trong phép đổi mục tiêu mà mục đích đầu tiên là để đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai bất kỳ về dạng chuẩn tắc (đơn giản hơn, thuận tiện hơn cho việc nghiên cứu nó). Ngoài ra, việc đổi mục tiêu còn cho phép thiết lập phương trình của các phép biến đổi afin và phép dời hình. Để sử dụng những kiến thức rút ra từ cuốn sách trên vào việc phân tích sách giáo khoa phổ thông, chúng ta hãy xét trường hợp n = 2.  Trong E2 cho hai mục tiêu trực chuẩn  1 2O;e ;e   và  ' ' '1 2O ;e ;e  . Khi đó, ma trận chuyển từ cơ sở   1 2e ;e  sang cơ sở  ' '1 2e ;e  là 00 11C     . Thay vào (1), ta tìm được công thức đổi mục tiêu trong trường hợp này : [x] = [a0] + C*[x’] 0 0 1 ' ' 1 1 1 1 1 ' ' 2 22 2 x x a x x1 x ax x x                     1 2 2 a a         Đây chính là công thức đổi tọa độ từ hệ trục Oxy sang hệ trục IXY với I(a1;a2) mà chúng tôi tìm thấy trong sách giáo khoa đại số 10 (tr.40)  Bây giờ, chúng ta xét phương trình của phép dời hình khi n = 2. Theo kết quả được chứng minh trong giáo trình mà chúng tôi tham khảo, với mọi phép dời hình f luôn luôn tìm được một cơ sở trực chuẩn của không gian euclide En sao cho ma trân A của f có dạng : k 2 . 0 . A 1 0 . . 1 A 1A A              Trong đó - sinsin cos iAi cosi i       i  vói i = 1,2,....k (tham khao sách đã dẫn, tr.108,109) Từ đó suy ra , ứng với mọi phép dời hình trong E2 luôn chọn được một mục tiêu trực chuẩn sao cho ma trận A của phép dời hình có một trong ba dạng sau đây : 0 cos - sin 1 0 2) 3) 0 1 sin cos 0 -1 1 1)                 Lần lượt thay ba dạng có thể của A vào công thức (3), ngườii ta rút ra kết luận là trong E2 có ba loại phép dời hình : tịnh tiến, quay, đối xứng. (sách đã dẫn, tr. 110,111,112)  Về các siêu mặt bậc hai, áp dụng định lý nêu trên cho n = 2, ta suy ra đối với mọi đường bậc hai trong E2 ta luôn tìm được một mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của nó đối với mục tiêu đó có một trong ba dạng chính tắc       , 1 r Ii , 1 r IIi , 1 r III i r r r 2''x 1 2ii 1 2''x 0 2ii 1 2b X 2mX 0 2r 1ii 1              Lần lượt thay r = 1, 2 vào ba dạng trên ta có phương trình chính tắc của các đường elip, hepebol, đường tròn, parabol trong mặt phẳng. II. Quan điểm HH và quan điểm GT trong giáo trình “Giải tích toán học” Giáo trình gồm có 8 chương, dành cho việc nghiên cứu hàm một biến thực : giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm một biến và lý thuyết chuỗi. Nếu như trong giáo trình HH chỉ có sự tác động của đổi biến theo quan điểm HH thì ở đây chúng tôi thấy xuất hiện cả hai quan điểm, có thể là ngầm ẩn và với những mức độ khác nhau. II.1. Tác động của quan điểm GT  Trong giáo trình này, khái niệm “hàm hợp” được trình bày ở chương II. “Giả sử X, Y, Z là các tập con không rỗng của tập số thực R, g là ánh xạ từ X vào Y, f là ánh xạ từ Y vào Z. Ta sẽ gọi ánh xạ tích h : x  z = f (g(x)), x  X là hàm số hợp của f và g từ tập X vào tập Z. […] Hàm số y = log (2t+3) là hàm hợp của hàm x = 2t+3 với hàm y = log x. Miền xác định của hàm hợp cũng được xác định rõ : hàm số y = logx xác định với mọi x >0 và hàm số x = 2t+3 xác định trên toàn trục số. Nhưng hàm số hợp y = log (2t+3) chỉ xác định với t > - 32 vì chỉ với điều kiện đó mới có x = 2t + 3 >0” (Vũ Tuấn và các tác giả, 1981, tr. 54) Theo định nghĩa trên, phép đổi biến ở đây tương ứng với phép lập một hàm hợp. Ví dụ kèm theo chứng tỏ rằng bằng cách lập hàm hợp như vậy người ta có thể chuyển hàm số ban đầu về hai (._.hay nhiều) hàm số đơn giản hơn để nghiên cứu. Lướt qua toàn bộ giáo trình, chúng tôi thấy tư tưởng đó tác động rõ rệt ở chương V- “Phép tính vi phân” và chương VI – “Phép tính tích phân”.  Trong chương V, người ta xây dựng qui tắc đạo hàm của hàm số hợp. Kể từ đó, qui tắc này thường xuyên được sử dụng để tìm đạo hàm (cấp n, với n = 1, 2, …) của hàm số ; tính giá trị đạo hàm của hàm số tại một điểm ; chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm ; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, v.v. ... Vì quy tắc này hầu như tác động đến lời giải của mọi bài toán trong đó phải tính đạo hàm của hàm số, nên có lẽ không cần thiết phải nêu ví dụ minh họa ở đây.  Đổi biến theo quan điểm GT còn tác động đến một kiểu nhiệm vụ khác được đề cập ở chương VI - “Phép tính tích phân”. Ví dụ : tìm I= 2 dx a x 2 (a > 0 ). Giải : Bằng cách đặt u = xa ta được : I =  2 2 2adu 1 du 1= = arctgu+a aa (1+u ) 1+u C = 1a artg xa + C (Sách đã dẫn, tr.15) Trong lời giải trên, phép đổi biến (đặt w(x) = u) đã được thực hiện. Ở đây biến mới u là một hàm số của biến x. Hàm số ban đầu trở thành hợp của hai hàm số. Sau khi thay du = w’(x)dx thì tích phân cần tính (theo biến x) được đưa về một tích phân theo biến u. Hiển nhiên, w phải được chọn sao cho tích phân mới dễ tính hơn tích phân ban đầu. Yếu tố công nghệ - lý thuyết giải thích cho kỹ thuật sử dụng trong lời giải trên được tìm thấy trong trích dẫn sau : « Nếu biết  g(u)du = G(u)+C Thì ta có     'g w(x) w (x)dx = G w(x) +C » (Sách đã dẫn, tr.12)  Trong chương này còn có một kiểu đổi biến khác được sử dụng để giải bài toán tính tích phân. Ví dụ : Tính tích phân  a 2 2 0 a - x dx Đặt x = asint. Ở đây α= 0 và πβ = 2 ta có :      π π a 2 22 22 2 2 2 00 0 a sin2t πaa - x dx = a cos t dt = t + = 2 2 4 (Sách đã dẫn, tr.67) Khác với ví dụ trên, ở đây người ta lại thực hiện một phép đổi biến theo kiểu khác : đặt x = (t), với  là hàm số chọn sao cho làm xuất hiện một tích phân đã biết hay dễ dàng tính được. Bằng phép đổi biến này, hàm số đã cho trở thành hợp của hai hàm số. Yếu tố công nghệ - lý thuyết giải thích cho kỹ thuật sử dụng trong lời giải trên nằm ở tính chất sau : ‘‘Giả sử phải tính tích phân b a f(x)dx trong đó f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử rằng x = (t) là một hàm số thỏa mãn các điều kiện: 1) (t) liên tục trên đoạn [ ; ] nào đó và (t  [a ; b] với t [ ; ] 2) ()= a ; ( = b 3) tồn tại đạo hàm’(t) trên đoạn [ ; ] Thế thì : b ' a f(x)dx f( (t)) (t)dt       ” (Sách đã dẫn, tr. 66) Ta thấy, hai kiểu đổi biến khác nhau, nhưng đều gắn liền với quan điểm giải tích – đổi biến tương ứng với việc thiết lập hàm hợp. II.2. Tác động của quan điểm HH • Trong chương V, phần khảo sát hàm số, chúng tôi quan tâm đến bài toán sau : Ví dụ : khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 xy = x -1 Việc giải bài toán được thực hiện theo đúng quy trình quen thuộc : - tính y’, xét dấu y’ để lập bảng biến thiên - tính y’’, xét dấu y’’ để xác định cung lồi, lõm, điểm uốn - tìm tiệm cận - vẽ đồ thị Điều khiến chúng tôi quan tâm là nhận xét nêu ở cuối lời giải như sau : Chú ý : 3 2 xy = x -1 là hàm số lẻ nên đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ. Vì vậy ta có thể chỉ khảo sát hàm số với x  0. (Sách đã dẫn, tr.210) Chú ý này cho thấy lợi ích của việc sử dụng tính chất chẵn lẻ của hàm số. Từ đó có thể suy ra : nếu f không phải là hàm số lẻ theo biến x nhưng là hàm số lẻ theo một biến X = (x) nào đó thì với cách nhìn đổi biến theo quan điểm HH ta có thể dùng phép đổi trục để chuyển việc vẽ đồ thị hàm số f (trong hệ tọa độ Oxy ban đầu) về việc vẽ đồ thị trong hệ tọa độ mới IXY với X  0, sau đó lấy đối xứng qua I. Kết luận tương tự đối với trường hợp f làm hàm số chẵn theo X. Tuy nhiên, trong cuốn giáo trình mà chúng tôi nghiên cúu, không có một ví dụ nào được giải theo kiểu này.  Liên quan đến tích phân còn có vấn đề tính diện tích, thể tích, chiều dài của một cung, …. Về vấn đề này, chúng tôi nhận thấy đổi biến xuất hiện ở khắp nơi. Tuy nhiên, ở đây người ta chỉ dùng phép đổi biến theo kiểu thiết lập hàm hợp để tính các tích phân. Hiện tượng đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi : ngoài suy luận mà chúng tôi vừa nói trên về việc vẽ đồ thị hàm số, phải chăng đổi biến theo quan điểm HH không có ảnh hưởng gì khác đến GT ? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi vượt ra ngoài phạm vi các vấn đề về hàm số một biến số, tham khảo thêm những giáo trình có nghiên cứu các hàm số nhiều biến số. Thật thú vị, chính ở bài toán tính tích phân hai lớp   D f x, y dxdy của hàm hai biến f(x, y) xác định trên một miền D, chúng tôi thấy đổi biến theo quan điểm HH tác động khá nhiều trong trường hợp D là một phần (hay toàn bộ) hình tròn, thậm chí một phần (hay toàn bộ) ellip. Cũng như thế, đổi biến theo quan điểm HH còn có mặt trong lời giải nhiều bài toán tính tích phân f(x, y,z)dxdydz V  của hàm ba biến f(x, y, z) xác định trên miền V khi V là một phần của hình cầu hay hình trụ. Tất nhiên, phép đổi trục ở đây không phải là từ hệ tọa độ trực chuẩn này sang hệ tọa độ trực chuẩn kia, mà là từ một hệ tọa độ trực chuẩn sang một hệ toạ độ cực trong trường hợp tích phân của hàm hai biến, và sang hệ tọa độ cầu trong trường hợp tích phân của hàm ba biến. Do khuôn khổ của luận văn và do chương trình GT của phổ thông không đề cập đến hàm số nhiều biến số, chúng tôi sẽ không đưa ra ở đây những ví dụ minh họa. Bạn đọc có thể tìm thấy chúng trong mọi giáo trình GT hàm nhiều biến. Trở lại với GT hàm một biến, ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến kết luận : về mặt lý thuyết mà nói, đối với vấn đề tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định của hàm một biến, thực ra trong một số trường hợp, bằng cách đổi hệ tọa độ, ta có thể đưa về một tích phân đơn giản hơn. Hơn thế, việc đặt tương ứng đổi biến bởi đổi hệ trục tọa độ còn cho phép dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một số phương trình vốn khá phức tạp nếu biện luận với các đồ thị xét trong hệ tọa độ ban đầu. Kết luận này sẽ được chúng tôi lưu ý khi phân tích sách giáo khoa ở chương 2 và xây dựng tình huống thực nghiệm ở chương 3. III. Kết luận Từ việc phân tích hai giáo trình dành cho sinh viên khoa toán trường đại học sư phạm chúng tôi rút ra ba kết luận sau :  Đổi biến theo quan điểm GT không tác động vào phạm vi HH, chỉ xuất hiện trong phạm vi GT. Ở đây ta có thể gặp nó trong nhiều tổ chức toán học. Đó là những tổ chức gắn liền với các kiểu nhiệm vụ : - Tìm đạo hàm của hàm số ; - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (xét chiều biến thiên của hàm số, cung lồi lỏm, điểm uốn, trong đó tinh đạo hàm được xem là một kiểu nhiệm vụ con) - Tìm nguyên hàm, tính tích phân xác định.  Đổi biến theo quan điểm HH xuất hiện ở cả hai phạm vi HH và GT. Trong HH, đổi biến theo quan điểm này ẩn chứa trong công thức đổi mục tiêu. Công thức đó được sử dụng để thiết lập phương trình các phép biến đổi afin và dời hình. Hai kiểu nhiệm vụ chủ yếu được giải quyết bằng kỹ thuật gắn liền với đổi biến theo quan điểm HH là : - lập phương trình các phép biến đổi afin trong không gian afin, cac phép dời hình trong không gian oclit, - đưa phương trình các siêu mặt bậc hai về dạng chuẩn tắc. Trong GT, đổi biến theo quan điểm HH có thể tác động ít nhất ở ba nội dung : khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ; giải phương trình ; tính tích phân. - Đối với việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số một biến số, đổi biến theo quan điểm HH mang lại một kỹ thuật cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ xác định tính đối xứng (qua một điểm hay qua một đường thẳng) của đồ thị hàm số. - Vì đổi biến theo quan điểm HH có thể xuất hiện khi vẽ đồ thị của hàm số nên nó cũng có thể là yếu tố kỹ thuật trong hai tổ chức toán học gắn liền với hai kiểu nhiệm vụ «biện luận số nghiệm của một phương trình» và «tìm nghiệm gần đúng của một phương trình». - Đối với bài toán tính tích phân, đổi biến theo quan điểm HH là một trong những kỹ thuật cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một số đường cong thường gặp. Ba phần này bao hàm cả những tổ chức toán học gắn liền với các kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi vừa nêu trên khi nói về phạm vi tác động của quan điểm GT.  Tuy vậy, trong giáo trình GT mà chúng tôi xem xét, tác động của quan điểm HH khá yếu ớt. Trở về với mục đích nghiên cứu đã được thể hiện rõ qua tên của luận văn (‘‘Đổi biến : quan hệ giữa GT và HH trong dạy học toán ở trường phổ thông’’), chúng tôi thấy rằng cần phải tập trung nghiên cứu việc dạy học ở lớp 12. Trong thực tế, chương trình lớp 12 đề cập đến hầu hết kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi đã nêu trên : tính đạo hàm, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ; giải phương trình ; tính tích phân. Và như chúng tôi tổng kết lại trong bảng dưới đây những kết qủa thu được từ nghiên cứu tri thức luận, trừ kiểu nhiệm vụ tinh đạo hàm, kỷ thuật giải quyết ba kiểu nhiệm vụ còn lại đều có thể được tạo thành từ đổi biến theo quan điểm này hay quan điểm kia. Kiểu nhiệm vụ Đổi biến theo quan điểm GT la một yếu tố kỹ thuật Đổi biến theo quan điểm HH là một yếu tố kỹ thuật Tính đạo hàm x Xác định chiều biến thiên Xét tính lồi lỏm, điểm uốn của đồ thị x Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Xác định tâm (trục) đối xứng (nếu có) của đồ thị x Tìm nguyên hàm của hàm số x Tính tích phân của hàm số Tính tích phân xác định, tính diện tích hình phẳng x x Giảii phương trình (biện luận, tìm nghiệm gần đúng) x x Chương 2 ĐỔI BIẾN : MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ QUAN HỆ GIỮA GIẢI TÍCH VÀ HÌNH HỌC I. Mở đầu Những câu hỏi cần được trả lời Như đã nói, câu hỏi trung tâm của luận văn này là : quan hệ giữa GT và HH đã được tính đến như thế nào bởi thể chế dạy học được xem xét. Thực ra thì GT và HH giao nhau ở nhiều điểm, cả về phương diện phương pháp luận nghiên cứu lẫn phương diện đối tượng nghiên cứu. Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi chọn “Đổi biến” - một trong những điểm giao nhau đó. Được đặt trong phạm vi của lý thuyết nhân chủng học, nghiên cứu ở chương 2 nhằm mục đích làm rõ quan hệ của thể chế I (sự lựa chọn I sẽ được chúng tôi giải thích ngay trong phần dưới) với đối tượng O (đổi biến). Cụ thể, chúng tôi nhắc lại dưới đây hai câu hỏi đầu tiên cần phải được trả lời qua nghiên cứu quan hệ thể chế R(I, O).  Câu hỏi 1 (Q1) : Trong I, O xuất hiện như thế nào ? nó lưu trú ở đâu (habitat), trong những tổ chức toán học nào ? nó tồn tại và phát triển ra sao? nó có những chức năng gì (niche), cho phép giải quyết những kiểu nhiệm vụ gì ? v.v…  Câu hỏi 2 (Q2) : Đâu là những ràng buộc thể chế đối với hai quan điểm đổi biến HH và GT? Quan điểm nào được ưu tiên hơn trong thể chế mà chúng tôi xem xét ? Từ nghiên cứu thể chế này, chúng tôi hy vọng có thể đưa ra được những giả thuyết liên quan đến câu hỏi thứ ba sau đây mà việc kiểm chứng tính thỏa đáng của những giả thuyết đó sẽ là nghiên cứu tiếp theo cần thực hiện.  Câu hỏi 3 (Q3) : Ứng xử của giáo viên và học sinh bị chi phối bởi những quy tắc nào của hợp đồng didactic? Việc thể chế ưu tiên quan điểm này hay quan điểm kia ảnh hưởng ra sao đến quan hệ cá nhân của họ với O ? Cụ thể hơn, học sinh lớp 12 có thể vận hành O để giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào ? Thể chế cần xem xét Phân tích tri thức luận trình bày trong chương 1 đã chỉ ra rằng đổi biến theo quan điểm HH (đổi biến tương ứng với đổi mục tiêu trong các không gian afin và không gian ơclit tổng quát, tương ứng với đổi hệ trục tọa độ trong các không gian afin và không gian ơclit 2 chiều) có ảnh hưởng mạnh mẽ trong phạm vi HH. Cũng như thế, đổi biến theo quan điểm GT (đổi biến tương ứng với việc thiết lập hàm số hợp) xuất hiện khá nhiều trong phạm vi GT. Tuy nhiên, nếu như quan điểm thứ hai không xuất hiện trong HH thì quan điểm thứ nhất lại có thể mang lại những lời giải gọn gàng cho nhiều bài toán của GT. Nói cách khác, liên quan đến đổi biến, chính là ở trong phạm vi GT mà người ta có thể thấy được sự tác động của cả hai quan điểm. Cụ thể hơn, trong phạm vi GT, nghiên cứu tri thức luận của chúng tôi cũng đã chỉ ra rằng đổi biến theo cả hai quan điểm đều có thể tác động đến việc nghiên cứu các vấn đề : - Vẽ đồ thị hàm số ; - Giải phương trình, hệ phương trình (chính xác hơn là biện luận số nghiệm hay tìm nghiệm gần đúng của phương trình, hệ phương trình) ; - Tính diện tích các hình phẳng. Theo chương trình 2000 thì cả ba vấn đề này đều thuộc trọng tâm môn GT dạy ở lớp 12. Vì lẽ đó, chúng tôi quyết định lựa chọn thể chế I để nghiên cứu là “dạy học GT ở lớp 12”. Khi nghiên cứu quan hệ thể chế R(I, O) chúng tôi cũng sẽ chỉ tập trung vào những vấn đề trên. Tư liệu cần phân tích Để làm rõ quan hệ của thể chế đã lựa chọn với đối tượng “đổi biến”, chúng tôi sẽ phải phân tích chương trình và sách giáo khoa (SGK) GT lớp 12. Cùng với việc phân tích chương trình và sách giáo khoa, nhiều khi để hiểu rõ ý đồ của nosssphère, chúng tôi còn phải nghiên cứu cả các cuốn Tài liệu hướng dẫn giảng dạy viết cho giáo viên. Để thuận tiện, trong phần còn lại của luận văn, chúng tôi quy ước dùng tên Sách giáo viên, viết tắt là SGV, để chỉ loại tài liệu này. Chẳng hạn SGV-12 có nghĩa là Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 12. Ngoài ra, vì vấn đề khảo sát hàm số cũng đã được xét ở các lớp 10 và 11, nên cũng thú vị nếu làm rõ được sự tiến triển của đối tượng này trong chương trình Đại số - Giải tích toàn bậc THPT. Hơn nữa, vì những nội dung dạy ở lớp 12 sẽ xuất hiện trong các đề thi tú tài và tuyển sinh đại học, nên việc phân tích một số đề thi này có lẽ cũng có đóng góp quan trọng cho nghiên cứu quan hệ thể chế. Như thế, nghiên cứu thể chế của chúng tôi sẽ được thực hiện qua việc phân tích : - Chương trình ĐS-GT toàn bậc THPT (áp dụng từ năm 2000), SGV-10, SGV-11viết theo chương trình 2000 - SGK-GT12, SGV-12 và Sách bài tập (SBT) GT12 viết theo chương trình 2000 - Một số đề thi tú tài và tuyển sinh đại học giai đoạn 2003-2007 (giai đoạn sử dụng SGK viết theo chương trình 2000) II. Đổi biến trong chương trình 2000 bậc THPT II.1. Đổi biến trong chương trình đại số 10 Với chương trình 2000, ở lớp 10, đổi biến theo quan điểm HH xuất hiện lần đầu tiên trong phần “khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai tổng quát”. Ở đây, người ta sử dụng đổi biến để chứng mình đồ thị của hàm bậc hai tổng quát ax2 + bx + c cũng là một parabol. Về điều này, SGV-10 nói rõ : “Lớp 9 đã xét hàm số y = ax2. Đồ thị của hàm số này được gọi là đường parabol có đỉnh O và trục đối xứng là Oy. Để chứng minh đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c cũng là một parabol, ta phải đưa nó về dạng Y= aX2 đã biết. Muốn vậy, phải đưa vào một phép đổi trục tọa độ, từ hệ trục Oxy sang hệ trục IXY.” (Sách đã dẫn, tr. 33) Như vậy, để nghiên cứu đồ thị hàm số bậc hai tổng quát, người ta đã dùng phép đổi trục tọa độ. Phép đổi trục tọa độ này tương ứng với phép đổi biến, cho phép đưa hàm số y = ax2 + bx + c về dạng đơn giản hơn Y = aX2. Qua phép đổi trục này, đồ thị hàm số ban đầu hoàn toàn được giữ nguyên, đồng thời trùng với đồ thị - xét trong hệ tọa độ mới – của hàm số mới. Đồ thị ấy là một parabol, đã được nghiên cứu từ lớp 9. “Cần lưu ý với học sinh là khi đổi trục tọa độ thì đồ thị của hàm số vẫn giữ nguyên, chỉ có phương trình của đồ thị là thay đổi. Điều này cũng có nghĩa là từ hàm số y = ax2 + bx + c đã chuyển sang một hàm số mới Y = aX2”. (Sách đã dẫn, tr. 33) Một khi đã biết dạng đồ thị, người ta dễ dàng khảo sát chiều biến thiên, cực trị của hàm số. Hơn thế, sau này đồ thị ấy còn được dùng vào việc biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai và xét dấu tam thức bậc hai : “Khi tổng kết mục hàm số bậc hai, nếu thông qua các ví dụ giáo viên tóm tắt được cho học sinh biết dáng điệu của đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c ứng với 6 trường hợp  0 (khi a>0 và ki a<0) thì rất tốt.  Trong sách giáo khoa điều này dành đến chương IV mới trình bày để sử dụng trong việc giải và biện luận phương trình bậc hai. […] Điều này cũng giúp nhiều cho việc xét dấu tam thức bậc hai.” (Sách đã dẫn, tr. 34) Tiếp tục phân tích chương trình ĐS10, chúng tôi thấy đổi biến theo quan điểm GT xuất hiện ở chương IV- Phương trình và bất phương trình bậc hai. Cụ thể, ở đây người ta dùng đổi biến để đại số hóa các phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai, để giải phương trình trùng phương. Như thế, trong chương trình ĐS10 ta bắt gặp sự tác động của đổi biến theo cả hai quan điểm HH và GT. II.2. Đổi biến trong chương trình đại số và giải tích 11 Trước hết, chúng tôi thấy đổi biến theo quan điểm GT tiếp tục được sử dụng để đại số hóa các phương trình, hệ phương trình lượng giác, mũ, logarit. Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 nói rõ : “Rất nhiều phương trình lượng giác được giải bằng cách sau đây : đặt một hàm số lượng giác hoặc một biểu thức lượng giác bằng một ẩn phụ t (với những điều kiện tương ứng cho t) để đưa về phương trình đại số theo t. Giải phương trình này theo t rồi từ đó giải theo x.” (Sách đã dẫn, tr. 24) Cụ thể hơn, người ta giải thích : chương trình ĐS-GT11 đề cập các loại phương trình lượng giác sau : - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác : a.sin2x + bsinx + c = 0 ; a.cos2x + bcosx + c = 0 ; a.tg2x + btgx + c = 0 ; a.cotg2x + bcotgx + c = 0 (a ≠ 0) - Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx + bcosx = c - Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx : asin²x + bsinxcosx +ccos²x = 0 - Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx : a (cosx + sinx) + bsinxcosx = c Phương pháp chung để giải những dạng phương trình này là tìm cách đưa về các phương trình lượng giác cơ bản : “Nói chung việc giải phương trình lượng giác là biến đổi để đưa chúng về các phương trình lượng giác cơ bản. Cần lưu ý là không phải phương trình lượng giác nào cũng có thể biến đổi để đưa về phương trình lượng giác cơ bản được, nên trong phạm vi phổ thông, không phải phương trình lượng giác nào cũng giải được . Chính vì vậy trong sách giáo khoa chỉ giới thiệu một số dạng phương trình lượng giác đơn giản mà việc đưa về phương trình lượng giác cơ bản có thể thực hiện được bằng một trong hai phương pháp. - Phương pháp đại số hóa bằng cách đặt ẩn phụ. - Phương pháp đưa về phương trình tích » (Sách đã dẫn, tr. 24) Đối với các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit, phương pháp giải cơ bản được nêu ra cũng là đổi biến để đại số hóa, từ đó đưa về phương trình mũ hay phương trình logarrit cơ bản. Ở đây người ta chỉ đề cập đến đổi biến theo quan điểm GT. Việc sử dụng đồ thị để biện luận hay tìm nghiệm gần đúng các phương trình, hệ phương trình không được xem xét nên đổi biến theo kiểu đổi hệ trục tọa độ hiển nhiên cũng không được tính đến. Thậm chí, kiểu đổi biến này cũng chẳng có mặt khi người ta nói về việc “vẽ đồ thị” những hàm số được nghiên cứu ở lớp 11. II.3. Đổi biến trong chương trình giải tích 12 Chương trình GT12 bao gồm bốn chương : - Chương 1 : Đạo hàm - Chương 2 : Ứng dụng của đạo hàm - Chương 3 : Nguyên hàm và tích phân - Chương 4 : Đại số tổ hợp • Hiển nhiên, trong chương 1 người ta đưa vào quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp. Quy tắc này sau đó được sử dụng hầu như ở tất cả những nơi nào mà vấn đề tính đạo hàm được đặt ra. Như chúng tôi đã nói trong phần nghiên cứu tri thức luận, về bản chất, để sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, người ta phải có bước đổi biến số làm trung gian. Tuy nhiên, khi kỹ năng tính đạo hàm của hàm hợp đã đạt đến một mức độ nào đó thì bước đổi biến này không còn xuất hiện tường minh nữa. Điều đó thể hiện rõ qua yêu cầu được chính thức phát biểu trong SGV-12 như sau : “ Về việc áp dụng qui tắc y’x = y’u.u’x , giáo viên cần lưu ý học sinh đến trình tự lấy đạo hàm : lấy đạo hàm của hàm số f đối với u trước rồi lấy đạo hàm của u đối với x sau, tức là phải đi từ trái sang phải. Ví dụ : Để tính đạo hàm của f(x) = sin(cos(5x- 4  )) ta nên tiến hành theo trình tự sau : f ’(x) = [sin( ) ] ’= cos ( ) [ cos ( 5x- 4  ) ] ’ = cos ( cos (5x- 4  ) ) [ -sin ( ) ] (5x- 4  )’ = - 5 sin ( 5x- 4  ) cos ( cos ( 5x- 4  ) ).” (SGV-12, tr. 16) Ví dụ trên càng củng cố thêm nhận định của chúng tôi : kỹ năng tính đạo hàm theo quy tắc y’x = y’u.u’x , trong đó y là phần bên trái, u là phần bên phải, cần đạt đến mức dường như không cần thực hiện phép đổi biến theo kiểu lập hàm hợp nữa. Chính vì thế, khi phân tích SGK GT12, chúng tôi sẽ không chú trọng yếu tố đổi biến trong các bài toán tính đạo hàm và sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Vả lại, ở đây chỉ có đổi biến theo kiểu lập hàm hợp, trong khi chúng tôi lại quan tâm đến những vấn đề mà đổi biến theo cả hai quan điểm HH và GT đều có thể tác động. • Trong chương 2, đạo hàm được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để xét các tính chất của hàm số như chiều biến thiên ; cực đại và cực tiểu; giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một khoảng hay một đoạn ; tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị. Điều đó đã được nói rõ ngay trong SGV-10 : “Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai là hai hàm số đơn giản nhất được xét ở lớp 10. Việc xét các hàm số phức tạp hơn sẽ được trình bày trong giải tích 12 sau khi đã trang bị các công cụ mới như đạo hàm và các ứng dụng của nó.” (SGV-10, tr. 32) Cụ thể, sau khi nêu các ứng dụng của đạo hàm, chương 2 của chương trình GT12 được kết thúc bằng việc khảo sát một số hàm số thuộc những dạng sau :  y = ax3+ bx2+ cx + d ( a ≠ 0 ),  ax by cx d   ( c ≠ 0, D = ad – bc ≠ 0 )  y = 2 , , ax bx c a x b    (aa , ≠ 0 )  y = ax4+bx2+c ( a ≠ 0 ) SGV-12 nêu rõ thứ tự ba việc cần thực hiện để khảo sát một hàm số : tìm tập xác định của hàm số, khảo sát sự biến thiên của hàm số, vẽ đồ thị. “Tìm tập xác định của hàm số đương nhiên phải là bước thứ nhất trong việc khảo sát hàm số, vì nếu hàm số không xác định trên một tập số nào đó thì trên tâp số đó hàm số có tồn tại đâu mà khảo sát. Việc xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có) rất có lợi cho việc vẽ đồ thị của hàm số. Cho nên nếu hàm số có những tính chất đó thì phải lưu ý đến chúng ngay khi tìm tập xác định của hàm số.” (SGV-12, tr.28) Đối với bước khảo sát sự biến thiên của hàm số, chương trình yêu cầu học sinh phải biết sử dụng đạo hàm để lập bảng biến thiên, tìm cực trị, xét tính lồi lõm và xác định điểm uốn (nếu có) của đồ thị. Như vừa nói trên, chúng tôi không đi sâu nghiên cứu những nội dung này. Liên quan đến bước thứ ba, vẽ đồ thị của hàm số, SGV-12 viết : “Bước cuối cùng trong việc khảo sát hàm số là thể hiện tất cả các kết quả của hai bước trước trên đồ thị của hàm số. Muốn cho đồ thị biểu diễn được một cách chính xác hàm số đã cho, trước khi vẽ đồ thị cần chính xác hóa mấy điểm sau đây : 1-Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ 2-Nếu cần thì lấy thêm một số điểm 3-Vẽ tiếp tuyến 4-Nhận xét về những yếu tố đối xứng : tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có). Không yêu cầu chứng minh các nhận xét này. Thuật ngữ đổi biến không hề xuất hiện khi người ta bàn về dạy học chương 2, mặc dù, như nghiên cứu tri thức luận của chúng tôi đã chỉ ra, thì đổi biến theo quan điểm HH có thể tác động ở bước vẽ đồ thị. • Trong chương 3 – “Nguyên hàm và tích phân” - đổi biến được xem như một yếu tố kỹ thuật quan trọng để giải nhiều bài toán : “Phương pháp có hiệu quả để tính tích phân là phương pháp đổi biến số.” (SGV-12, tr. 44) Hai cách đổi biến số (đặt x = u(t) hoặc đặt t = (x)) được SGV-12 đưa ra, kèm theo định lý giải thích cho chúng và các ví dụ minh họa. Đây là đổi biến theo quan điểm GT. Công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định được trình bày sau đó. Một cách logic, ta có thể nghĩ rằng phép đổi biến ứng với việc lập hàm hợp có thể được sử dụng để giải quyết bài toán vốn thuộc phạm vi HH này. Tuy vậy, đổi biến theo kiểu đổi hệ trục tọa độ đã không được nhắc đến, dù trong nhiều trường hợp nó có khả năng mang lại một cách giải gọn gàng hơn. Tóm lại, đổi biến theo quan điểm GT tác động khá mạnh vào những nội dung được đưa vào chương trình ĐS-GT các lớp 11, 12. Trái lại, nếu như việc sử dụng đổi biến theo kiểu đổi hệ trục tọa độ đã được yêu cầu tường minh trong SGV-10 thì nó lại không hề được nhắc đến trong chương trình GT 11 cũng như 12. Song, trước khi phân tích SGK GT12, có lẽ cũng không nên vội vàng kết luận rằng đổi biến theo quan điểm HH không được sử dụng ở đây. III. Đổi biến trong sách giáo khoa GT 12, chương trình 2000 Như đã nói, kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứu chương trình khiến chúng tôi quyết định sẽ tập trung vào những nội dung sau khi phân tích SGK GT12 : - Vẽ đồ thị hàm số ; - Giải phương trình, hệ phương trình ; - Tính diện tích các hình phẳng Như thế, khi phân tích SGK GT12 chúng tôi sẽ tập trung vào việc làm rõ các thành phần của những tổ chức toán học được hình thành từ ba kiểu nhiệm vụ trên. Chúng tôi sẽ nghiên cứu trước hết là phần lý thuyết, sau đó là hệ thống bài tập, nhằm xác định những kỹ thuật được xây dựng để giải quyết từng kiểu nhiệm vụ. Phân tích phần lý thuyết và hệ thống bài tập cùng với những lời giải được đề nghị sẽ xoay quanh ba câu hỏi Q1, Q2, Q3 mà chúng tôi đã nhắc lại ở đầu chương. III.1. Kiểu nhiệm vụ Tvđt “vẽ đồ thị của hàm số” III.1.1. Kiểu nhiệm vụ Tvđt trong SGK GT12 Có 4 loại số được xem xét trong chương trình GT12. Chúng tôi sẽ lần lượt nghiên cứu xem đồ thị của mỗi loại hàm số được vẽ như thế nào. Lưu ý rằng đối với mỗi loại hàm số, SGK không nghiên cứu ở dạng tổng quát, chỉ xem xét trên vài ví dụ cụ thể. a. Hàm số y = ax3+bx2 + cx + d (a ≠ 0) ■ Phần lý thuyết : SGK bắt đầu bằng việc xét ví dụ sau : Ví dụ : Khảo sát hàm số y = x3+ 3x2 – 4 (SGK GT12, tr. 80) Ở đây đạo hàm được sử dụng để lập bảng biến thiên và tìm điểm uốn I(-1 ; -2) của đồ thị. Căn cứ vào bảng biến thiên người ta vẽ đồ thị của hàm số. Ở bước vẽ đồ thị của hàm số SGK nêu chú ý : « Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI  , thì giữa các tọa độ cũ (x;y) và tọa độ mới (X;Y) của một điểm M của mặt phẳng, có các hệ thức (gọi là công thức đổi trục) x 1 x y 2       y Thay vào hàm số đã cho ta được Y = X3 – 3X. Đây là một hàm số lẻ. Vậy đồ thị nhận điểm I làm tâm đối xứng.” (SGK GT12, tr. 81) Ta thấy tính chất “đồ thị hàm số lẻ là một đường cong đối xứng qua gốc tọa độ” đã được sử dụng. Hàm số ban đầu không phải là hàm số lẻ, do đó không thể làm theo lời khuyên mà người ta đã đưa ra cho giáo viên : Việc xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có) rất có lợi cho việc vẽ đồ thị của hàm số. Cho nên nếu hàm số có những tính chất đó thì phải lưu ý đến chúng ngay khi tìm tập xác định của hàm số.” (SGV-12, tr.28) Thế nhưng, bằng cách đổi biến số, ta lại đưa nó về một hàm số lẻ. Rồi bằng cách đổi hệ tọa độ, ta chuyển việc dựng (trong hệ tọa độ Oxy) đồ thị hàm số ban đầu về việc dựng (trong hệ tọa độ IXY) đồ thị hàm số mới. Ví dụ trên liên quan đến một kiểu nhiệm vụ con của Tvđt mà chúng tôi ký hiệu là Tvđt1 : vẽ đồ thị hàm số y = ax3+bx2 + cx + d (a ≠ 0). Lời giải nêu trong ví dụ cho thấy kỹ thuật vđt1 được sử dụng để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là : - Tập xác định : R - Dùng đạo hàm bậc nhất để lập bảng biến thiên ; - Dùng đạo hàm bậc hai để tìm điểm uốn và cung lồi lõm của đồ thị ; - Dùng phép đổi biến theo kiểu đổi trục để chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị cần vẽ ; - Căn cứ vào các kết quả trên để vẽ đồ thị Tính chất “đồ thị hàm số lẻ là một đường cong đối xứng qua gốc tọa độ” chính là một trong những yếu tố công nghệ của kỹ thuật trên. Cụ thể hơn, nó là yếu tố công nghệ của kiểu nhiệm vụ con “xác định tâm đối xứng của đồ thị”. Tiếp theo đó, SGK GT12 đưa thêm một ví dụ khác. Lời giải được trình bày tương tự, duy chỉ có việc chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng không được thực hiện. Nói cách khác, trong ví dụ thứ hai, người ta công nhận đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn là tâm đối xứng. Sau hai ví dụ, SGK nêu ra tóm tắt sau đây, xem như một chỉ dẫn về phương pháp khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba : Bảng tóm tắt Sự khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) 1) Tập xác định : R 2) Đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c ; y’’ = 6ax + 2b. Luôn luôn có một điểm uốn. Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn (SGK GT12, tr. 83) Theo chỉ dẫn này, đồ thị hàm số y = ax3 + bx² +cx + d có điểm uốn là tâm đối xứng. ■ Phần bài tập Trước khi phân tích phần bài tập, cần phải nói rõ rằng tất cả những bài tập nêu trong SGK đều xuất hiện lại trong sách bài tập (SBT). Ngoài những bài này, SBT còn đưa thêm một số bài nữa. Vì vậy, khi phân tích hệ thống bài tập, chúng tôi chỉ cần nghiên cứu SBT. Trong SBT chúng tôi tìm thấy có 7 bài thuộc kiểu nhiệm vụ Tvddt1. Xem xét lời giải được đề nghị, chúng tôi thấy ở 6 bài người ta chỉ xác định điểm uốn mà không nói gì về tâm đối xứng của đồ thị. Có lẽ vì chỉ dẫn trên đã khẳng định điểm uốn là tâm đối xứng nên trong lời giải người ta chỉ cần xác định điểm uốn là đủ. Bài tập thứ bảy thì có khác hơn : người ta yêu cầu học sinh chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng. Bài 2.32 . a) Khảo sát hàm số y = f(x) = - x3 + 3x² + 9x + 2 (1) b)Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) có tâm đối xứng. (SBT GT12, tr. 21) Lời giải được đưa ra là : a) Học sinh tự giải. b) Trước hết ta tìm điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho : y = -x3 + 3x2 + 9x + 2 y’ = -3x2 + 6x + 9 y’’ = -6x + 6 = 0  x = 1 vì y’’ đổi dấu khi x đi qua điểm 1 nên (1 ;13) là tọa độ của điểm uốn. Bây giờ ta hãy chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng. Xét phép biến đổi.  X = x - 1 Y = y - 13 Thay vào (1) ta được Y + 13 = –(X +1)3 + 3(X + 1)2 + (X + 1) +2 Y + 13 = –X 3 – 3X2 –3X – 1 + 3X2 + 6X + 3 + 9X + 11 Y = – X 3 + 12X (2) Hàm số (2) là lẻ nên đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm gốc của hệ tọa độ mới, suy ra đồ Thị (1) có tâm đối xứng là (1 ;13) ( SBT GT 12, tr._.c sinh vẽ được đồ thị hàm số là đạt yêu cầu. - Về vai trò của kỹ thuật dùng công thức đổi trục để giải quyết ba kiểu nhiệm vụ, giáo viên cũng cho là không cần thiết vì chương trình không yêu cầu (không có bài tập dạng này), các bài toán trong chương trình đều có thể giải được mà không cần đổi biến theo quan điểm HH. Họ thấy được tính tiện ích của đổi biến theo quan điểm HH để giải toán nhưng vẩn không chọn kỹ thuật này vì cho rằng học sinh sẽ không nghỉ đến kỹ thuật này. Như vậy thực nghiệm đối với giáo viên đã một phần khẳng định các giả thuyết và các qui tắc mà chúng tôi đưa ra. B. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI HỌC SINH I. mục đích thực nghiệm. Mục đích của thực nghiệm là nghiên cứu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với hai quan điểm đổi biến trong thể chế dạy học được chọn. Thực nghiệm cũng nhằm mục đích kiểm chứng tính thỏa đáng của hai giả thuyết đã được hình thành từ nghiên cứu thể chế ở chương 2. Chúng tôi xin nhắc lại hai giả thuyết đó :  Giả thuyết H1 : tồn tại hai qui tắc hợp đồng R1 và R2 R1. Muốn vẽ đồ thị của hàm số thì trước hết phải dùng đạo hàm để khảo sát hàm số đó. R2. Học sinh có quyền thừa nhận điểm uốn (đối với hàm số dạng ax3 + bx² + cx + d) hoặc giao điểm hai đường tiệm cận (đối với hàm số dạng ax + b cx + d hay 2 ' ' ax + bx + c a x + b ) là tâm đối xứng.  Giả thuyết H2 : Phép đổi biến theo quan điểm HH không thực sự là một công cụ sẵn có ở học sinh khi giải các bài toán thuộc 3 kiểu nhiệm vụ Tvđt, Tpt, Tdt. II. Lựa chọn thực nghiệm . II.1.Bài toán thực nghiệm : Hàm số mà chúng tôi chọn là một hàm số có dạng ax by cx d   , được chọn ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn : - Đồ thị của hàm số đó đã được khảo sát trong chương trình giải tích 12 - Các hệ số trong phương trình hàm số là các số nguyên, nhằm tạo điều kiện cho việc lấy các điểm đặc biệt và vẽ các tiệm cận được dễ dàng . - Cho biết đồ thị của hàm số 1y x  (từ đồ thị này có thể suy ra đồ thị hàm số cần vẽ) và đề nghị vẽ đồ thị hàm số được chọn lên cùng một hệ trục tọa độ (có lưới tọa độ), tạo điều kiện thuận lợi cho cho chiến lược áp dụng công thức đổi trục xuất hiện. - Nhằm mục đích buộc học sinh phải bộc lộ chiến lược dùng công thức đổi trục để vẽ đồ thị hàm số chúng tôi đưa ra yêu cầu : “hãy cố gắng tìm càng nhiều cách khác nhau càng tốt”. Với những tiêu chí trên bài tập 1 được xây dựng như sau : Cho hàm số y = 1x có đồ thị như hình vẽ. ố 1Vẽ đồ thị hà  Để kiểm chứng giả thuyết H2 “Phép đổi biến theo quan điểm HH không thực sự là một công cụ sẵn có ở học sinh khi giải các bài toán thuộc 3 kiểu nhiệm vụ Tvđt, Tpt, Tdt”, chúng tôi cần phải xây dựng tình huống phá vở hợp đồng. Nghĩa là chúng tôi cần phải xây dựng một bài tập quen thuộc, nhưng nếu giải bài toán bằng cách giải quen thuộc (đổi biến theo quan điểm GT) thì sẽ khó hơn rất nhiều khi giải bằng một kỹ thuật mới (đổi biến theo quan điểm HH). Bài toán quen thuộc đầu tiên mà chúng tôi lựa chọn là “ Tính diện tích hình phẳng”. Với tiêu chí như trên bài tập 2 đươc xây dựng như sau : Cho đường cong (C) có phương trình :   22 x 1y 1 với 2   y 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox. - Đây là bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nữa trên của đường elip với trục hoành.. Trong chương trình giải tích 12, công thức tính diện tích hình phẳng của một (E) : 2 2 2 2 x y 1 a b   là S a  b . Bài tập được chọn lựa nhằm mục đích tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược dùng công thức đổi trục xuất hiện. Mặt khác, với bài tập này nếu dùng chiến lược đổi biến theo quan điểm giải tích (đặt ẩn phụ) thì lời giải dài và phức tạp hơn. -Phương trình của đường cong (C) được cho dưới dạng : 2y =   2x 1 1 nhằm mục đích tạo điều kiện cho học sinh liện tưởng đến việc lấy căn bậc hai của hai vế, đưa phương trình của đường cong đã cho về dạng quen thuộc đối với học sinh khi tính diện tích hình phẳng . 2  - Việc chọn các hệ số a = 2 và b = 1 trong phương trình của đường cong (C) nhằm mục đích gây cho học sinh khó thấy được các hệ số a, b, ngăn cản họ trực tiếp dùng công thức tính diện tích của một (E). - Câu hỏi : Em hãy cố gắng tìm càng nhiều cách giải khác nhau càng tốt, nhằm buộc họ bộc lộ cách giải dùng công thức đổi trục.  Bài toán quen thuộc thứ hai mà Chúng tôi xây dựng là bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ Tpt, bài toán cụ thể là : biện luận phương trình chứa căn bậc hai. Ở đây họ có thể có nhiều lựa chọn cách giải : bình phương hai vế khử căn, (phương pháp ở lớp 10), lập bảng biến thiên để biện luận (phương pháp lớp 12), đổi biến theo quan điểm hình học(đổi trục), đổi biến theo quan điểm giải tích (đặt ẩn phụ). Chúng tôi muốn tìm hiểu xem họ thường ưu tiên cho cách giải nào và mức độ thành công của họ. Bài tập mà chúng tôi xây dựng phải tạo điều kiện tối ưu cho cách giải áp dụng công thức đổi trục xuất hiện. Với các tiêu chí đã nêu chúng tôi xây dựng bài tập 3 như sau : a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = 21 x là nửa đường tròn. Hãy vẽ đồ thị của hàm số này. b) Cho phương trình :  21 x 2 mx 2m , với m là tham số.    Biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Em hãy tìm ít nhất hai cách giải khác nhau. - Trong câu a) chúng tôi yêu cầu Chứng minh đồ thị hàm số y = 21 x là nửa đường tròn với mục đích tạo điều kiện cho chiến lược đổi trục ở câu b) xuất hiện. Mặt khác số hạng (x+2)2 dưới dấu căn bâc hai chúng tôi không khai triển ra cùng nhằm mục đích này. - Trong câu b) số hạng –mx được viết ở vế trái do đó học sinh sẽ khó thấy việc đặt ẩn phụ t = x + 1 từ đó gây khó khăn cho học sinh khi áp dụng phương pháp đổi biến theo quan điểm giải tích. - Trong câu b) số hạng –mx được viết ở vế trái và số hạng 2m được viết ở vế phải nhằm gây khó khăn cho học sinh khi vẽ đồ thị đường thẳng y = mx + 2m, ngăn cản họ ứng dụng trực tiếp đồ thị đã vẽ và đường thẳng này để biện luận số nghiệm của phương trình. - Với yêu cầu : Em hãy tìm ít nhất hai cách giải khác nhau nhằm tìm kiếm cơ hội cho cách giải áp dụng công thức đổi trục xuất hiện. II.2. Biến didactic. Thực nghiệm chúng tôi xây dựng xoay quanh vấn đề đổi biến theo quan điểm HH. Do đó, một cách ngầm ẩn hoặc tường minh các bài tập chúng tôi xây dựng đều liên quan đến đồ thị hàm số. Yếu tố: đồ thị hàm số có ảnh hưởng rất lớn đến việc lựa chọn các chiến lược giải của học sinh . chúng tôi chọn các biến sau : V1: Sự hiện diện đồ thị của đường cong (C) Sự hiện diện đồ thị của đường cong (C) có ảnh hưởng nhất định đến sự xuất hiện của các chiến lược giải. Nếu đồ thị của đường cong (C) không xuất hiện trong đề bài thì : - Đối với bài toán vẽ đồ thị hàm số chỉ có thể vẽ được theo hai cách : khảo sát hàm số hoặc tìm các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị. - Đối với bài toán tìm diện tích hình phẳng sẽ tạo điều kiện khó khăn cho chiến lược đổi trục xuất hiện. Tuy nhiên, việc cho sẳn đồ thị của đường cong (C) trong trường trường hợp này dể làm lộ rõ ý đồ thực nghiệm. Do đó, chúng tôi thay bằng câu hỏi gợi ý để học sinh có thể liên tưởng đến đồ thị của đường cong (C). - Đối với bài toán biện luân phương trình học sinh sẽ không bao giờ nghỉ đến chiến lược đổi trục,vì có đổi trục thì họ vẩn không có sự liên tưởng nào để biện luận Biến V1 có thể có các giá trị sau : V11 : Cho trước đồ thị của đường cong (C). V12 : Không cho trước đồ thị của đường cong (C). V2: Các biến có liên quan đến hệ số (các hệ số thuộc tập hợp số nào) Chúng tôi chọn giá trị của các hệ số cho trong phương trình của đường cong củng là một biến didactic vì bản chất các hệ số này có ảnh hưởng rất lớn đến các chiến lược giải. Nếu các hệ số là :số nguyên thì tạo điều kiện cho chiến lược đổi trục xuất hiện ở bài toán 1, chiến lược áp dụng trực tiếp công thức tính diện tích ở bài toán 2. Nếu các hệ số là số vô tỉ thì ngăn cản chiến lược đổi trục xuất hiện ở bài toán 1, tạo điều kiện cho các chiến lược khác xuất hiện ở bài toán 2. Biến V2 có thể có các giá trị sau : V21: Các hệ số là số nguyên. V22: Các hệ số là số vô tỉ và số nguyên. V3: Bản chất của đồ thị đường cong (C) Tùy theo bản chất của đồ thị đường cong (C) mà hình phẳng là một hình hình học quen thuộc đã có cách vẽ, đã có công thức tính diện tích hay là một hình chưa có cách vẽ, chưa có công thức tính diện tích. Nếu đồ thị đường cong (C) là một hình đã có cách vẽ thì sẽ tạo điều kiện cho các chiến lược khảo sát, đổi biến xuất hiện, nếu đồ thị đường cong (C) là một hình quen thuộc đã có công thức tính diện tích thì sẽ tạo điều kiện cho chiến lược đổi trục xuất hiện. Biến V3 có thể có các giá trị sau : V31 : Đồ thị đường cong (C) là một hypebol. V32 : Đồ thị đường cong (C) là một Elip. V33 : Đồ thị đường cong (C) là một đường tròn. V4: Phương thức làm việc của đối tượng thực nghiệm Phương thức làm việc của đối tượng thực nghiệm cũng liên quan đến sự xuất hiện của các chiến lược. nếu hoạt động là cá nhân thì có thể xuất hiện nhiều chiến lược có lời giải sai, . , . nếu hoạt đông theo nhóm sẽ tạo ra sự tranh luận giữa các đối tượng thực nghiệm trong nhóm, từ đó tạo điều kiện cho các chiến lược đúng xuất hiện. Biến V4 có thể có các giá trị sau : V41 : hoạt động cá nhân. V42 : hoạt động nhóm. V43 : hoạt động cá nhân kết hợp với hoạt động nhóm. V5: yêu cầu của bài toán Chúng tôi cho rằng đây củng là một biến didactic vì nó có ảnh hưởng đến các chiến lược giải. - Đối với bài tập 1 nếu chỉ yêu cầu vẽ đồ thị hàm số thì học sinh lớp 12 chỉ khảo sát và vẽ đồ thị, họ không phải tìm kiếm các cách khác và như vậy không tạo cớ hội cho cách áp dụng công thức đổi trục để vẽ đồ thị hàm số xuât hiện. - Đối với bài tập tập 3 nếu yêu cầu giải và biện luận thì tạo điều kiện cho chiến lược bình phương 2 vế xuất hiện. Biến V5 có thể có các giá trị sau : V51 :Giải bài toán bằng nhiều cách V52 :Tính bài toán V53 :Biện luận bài toán III. Phân tích a priori III.1. Bài toán 1 III.1.1 Biến didactic Chúng tôi lựa chọn các giá trị của biến như sau : V11 : Cho trước đồ thị của đường cong (C). V21: Các hệ số là số nguyên V31 : Đồ thị đường cong (C) là một hypebol. V41 : Hoạt động cá nhân. V51 :Giải bài toán bằng nhiều cách Chúng tôi lựa chọn các giá trị này của biến vì muốn tạo điều kiện tối ưu cho chiến lược vẽ đồ thị bằng công thức đổi trục tọa độ xuất hiện, đồng thời muốn kiểm chứng quan hệ cá nhân của mổi học sinh đối với kỹ thuât sử dụng đổi biến theo quan điểm HH . III.1.2. Dự đoán các chiến lược.  Chiến lược S1KS: khảo sát hàm số Học sinh tiến hành các bước khảo sát theo qui trình đã nêu trong sách giáo khoa : - Miền xác định - Tính đạo hàm - Tìm tiệm cận - Vẽ đồ thị  Chiến lược S1ĐB: tìm điểm đặc biệt Học sinh tìm một số điểm đặc biệt nằm trên đồ thị hàm số. Nối các điểm này thành đường cong là đồ thị hàm số  Chiến lược S1HH: đổi trục tọa độ Học sinh Áp dụng công thức đổi trục tọa độ theo vecto  OI = -1,0 .Dịch chuyển đồ thị hàm số 1y = x đã cho song song Oy sang trái một đơn vị. chúng tôi dự đoán chiến lược S1KS có khả năng xuất hiện nhiều hơn. III.2. Bài toán 2. III.2.1 Biến didactic Chúng tôi lựa chọn các giá trị của biến như sau : V12 : Không cho trước đồ thị của đường cong (C). V22: Các hệ số là số vô tỉ và số nguyên. V32 : Đồ thị đường cong (C) là một Elip. V41 : Hoạt động cá nhân. V52 : Tính bài toán Chúng tôi lựa chọn các giá trị này vì muốn tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh với hai quan điểm đổi biến. III.2.2. Dự đoán các chiến lược  Chiến lược S2HH : Đổi trục tọa độ Học sinh Áp dụng công thức đổi trục tọa độ theo vecto  OI = -1,0 . - Công thức đổi trục x 1 y Y     X - Đưa phương trình của đường cong về dạng chính tắc. - Áp dụng công thức tính diện tích của (E) :S = πab  Chiến lược S2GT : Đặt ẩn số phụ. - Đưa pt về dạng : y =  2x 11 2  - Lập pt hoành độ giao điểm của (C) với Ox.. - Diện tích hình phẳng là : S =   21 2 1 2 x 1 1 d 2      x - Đặt x + 1 = 2 sin t hoặc t = x+1 và t = 2 sin u để tính S.  Chiến lược S2DT: Áp dụng công thức tính diện tích - Nhận xét đường cong (C) có dạng (E) với a = 2 và b = 1. - Áp dụng công thức diện tích (E) suy ra kết quả. Chúng tôi dự đoán chiến lược S2ĐT sẽ xuất hiện nhiều hơn. III.3. Bài toán 3 III.3.1. Biến didactic Bài toán 3 được chọn với giá trị của các biến : V11 : Cho trước đồ thị của đường cong (C). V21: Các hệ số là số nguyên. V33 : Đồ thị đường cong (C) là một đường tròn. V41 : Hoạt động cá nhân. V52 : Tính bài toán Giá trị của các biến được lựa chọn với mục đích kiểm tra quan hệ cá nhân của học sinh với đối với kỹ thuật sử dụng đổi biến theo quan điểm HH. III.3.2. Dự đoán các chiến lược.  Chiến lược S3HH : Đổi trục tọa độ. - Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong : y =  21 x 2  và y = m (x+2) - Áp dụng công thức đổi trục x = X - 2 y = Y  - Đưa phương trình hai đường cong về dạng y = 21 X và y = m X - Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình.  Chiến lược S3GT : Đặt ẩn số phụ. - Đặt t = x +2 - Dựa vào đồ thị y = 21 t và y = m t biện luận số nghiệm của phương trình hoặc dùng phương pháp đại số biện luận số nghiệm của phương trình.  Chiến lược S3ĐS: Bình phương hai vế của phương trình. - Đặt điều kiện bình phương 2 vế của phương trình - Áp dụng phép biến đổi đại số giải và biện luận số nghiệm của phương trình Chúng tôi dự đoán chiến lược S3BP và S3GT sẽ xuất hiện nhiều hơn. IV. Phân tích a posteriori Chứng tôi tiến hành thực nghiệm bài toán 1 trên 4 lớp 12 của hai trường trung học phổ thông nguyễn hữu Cầu và nguyễn hữu Tiến gồm 154 học sinh. Đây là hai trường sử đang sử dụng sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000. Ở trường trung học phổ thông nguyễn hửu cầu chúng tôi thực nghiệm với 117 học sinh của các lớp 12A4, 12A5 và 12A7 . Như chúng tôi đã phân tích, công thức đổi trục chỉ có thể được vận dụng ở những đối tượng học sinh khá, giỏi nên chúng tôi tiến hành thực nghiệm thêm 37 học sinh của một lớp chọn ( lớp 12A1 gồm những học sinh khá, giỏi học ban toán- lý- hóa) ở trường trung học phổ thông Nguyễn hữu Tiến. Riêng hai bài toán 3 và bài toán 4, với mục đích tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh đối với hai quan điểm đổi biến, chúng tôi tiến hành với các đối tượng là học sinh vừa thi tốt nghiệp xong (khóa 2006-2007), chúng tôi mời ngẫu nhiên 80 học sinh thuộc đối tượng này tham gia thực nghiệm. Bài toán 1. Cho hàm số y = 1x có đồ thị như hình vẽ. Vẽ đồ thị hàm số y = 1x 1 . Em hãy cố gắng tìm càng nhiều cách khác nhau càng tốt và giải thích cách vẽ của em. Bảng số liệu lược S1ĐB Chiến lược S1HH c thu được (154 học sinh) : Chiến lược S1ks Chiến Khảo sát hàm số Tìm điểm đặc biệt Công thức đổi trụ 133 6 9 2 3 Bảng thống kê cho thấy: dụng chiến lược S1ks để vẽ đồ thị của hàm số. Điều này cho phép chún ị của hàm số. Khi áp dụng chiến lược này h g  Có 133/154 học sinh áp g tôi khẳng định sự tồn tại của qui tắc hợp đồng R1 liên quan đến giả thuyết H1 : “Muốn vẽ đồ thị của hàm số thì trước hết phải dùng đạo hàm để khảo sát hàm số đó”  Có 26/154 học sinh áp dụng chiến lược S1ĐB để vẽ đồ th ọ luôn tìm giao điểm hai đường tiệm cận đứn và ngang, sau đó tìm thêm một số điểm đặc biệt (xem phụ lục 3, bài làm số 82,117). Điều này cho phép chúng tôi khẳng định sự tồn tại của qui tắc hợp đồng R2 liên quan đến giả thuyết H1 : “Học sinh có quyền thừa nhận điểm uốn (đối với hàm số dạng ax3 + bx² + cx + d) hoặc giao điểm hai đường tiệm cận (đối với hàm số dạng ax+b hay cx+ d 2 ' ' ax +bx+c ) là tâm đối xứng”  Có 39/154 a x+b học sinh áp dụng chiến lược S1ĐB để vẽ đồ thị của hàm số. Điều này cho phép chúng tôi kh pẳng định sự tồn tại của giả thuyết H2 : “Phé đổi biến theo quan điểm HH không thực sự là một công cụ sẵn có ở học sinh khi giải các bài toán thuộc 3 kiểu nhiệm vụ Tvđt, Tpt, Tdt”.Trong khi tiến hành thực nghiệm chúng tôi quan sát được : Đầu tiên học sinh luôn chú ý đến câu hỏi vẽ đồ thị hàm số, liền sau đó họ chọn chiến lược tiến hành các bước khảo sát để vẽ đồ thị hàm số đã cho. Do câu hỏi chúng tôi nêu ra : em hãy chọn nhiều cách khác nhau, dẫn đến việc có một số ít học sinh tỏ ra phân vân vì bài toán có cho sẳn đồ thị hàm số 1y x  để làm gì ? họ liên hệ hàm số này với hàm số 1y x 1   và tìm cách đặt X = x+1, từ đó họ dụng công thức đổi trục. Tuy nhiên, có một số h vẫn đặt X = x+1 nhưng họ lại không thấy được đây chính là đổi biến theo quan điểm đổi trục tọa độ, họ lập luận sơ sài theo suy nghỉ của bản thân và vẽ đồ thị theo cách đổi trục (xem phần phụ lục 3, bài làm số….. ). Như vậy, có thể nói học sinh không quen với việc trình bày một cách tường minh công thức đổi trục trong thực hành giải toán. vận ọc sinh Bài toán 2. Cho đường cong (C) có phương trình :   22 x 1y 1 2   với y 0  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox. Em hãy cố gắng tìm càng nhiều cách giải khác nhau càng tốt. Bảng số liệu thu được (80 học sinh) Chiến lược S2HH Đổi trục tọa độ Chiến lược S2GT Đặt ẩn số phụ. Chiến lược S2DT công thức tính diện tích 16 76 0  Có 76/80 học sinh có lời giải dùng chiến lược Chiến lược S2GT để “tính diện tích hình phẳng”.Nghĩa là họ đã dùng đổi biến theo quan điểm giải tích (kỹ thuật tp2) để giải quyết kiểu nhiệm vụ Tdt. Điều này chứng tỏ đổi biến theo quan điểm giải tích có ành hưởng mạnh mẽ lên kiểu nhiệm vụ Tdt.  có 16/80 đã áp dụng chiến lược công thức đổi trục để “tính diện tích hình phẳng”. Tỉ lệ này đã khẳng định sự thất bại, khó khăn của học sinh khi họ buộc phải trình bày tường minh kỹ thuật công thức đổi trục trong lời giải bài toán và càng khẳng định thêm sự tồn tại của giả thuyết H2. (xem phụ lục 3, bài làm số 37) Bài toán 3 a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = 21 x là nửa đường tròn. Hãy vẽ đồ thị của hàm số này. b) Cho phương trình :  21 x 2 mx 2m    , với m là tham số. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Em hãy tìm ít nhất hai cách giải khác nhau. Bảng số liệu thu được (80 học sinh) Chiến lược S3HH Đổi trục tọa độ. Chiến lược S3GT Đặt ẩn số phụ. Chiến lược S3ĐS Bình phương hai vế của phương trình. 0 70 36 Bảng số liệu cho thấy:  Có 70/80 học sinh áp dụng chiến lược S3GT để biện luận số nghiệm của phương trình. Họ đã chọn cách đổi biến theo quan điểm giải tích để đại số hóa phương trình chứa căn bậc hai sau đó biện luận số nghiệm phương trình bằng nhiều cách: - Dùng đạo hàm và bảng biến thiên biện luận số nghiệm của phương trình. (xem phụ lục 3, bài làm số 49) - Dùng qui trình biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình. (xem phụ lục 3, bài làm số 61).  Có 36/80 học sinh áp dụng chiến lược Chiến lược S3ĐS để biện luận số nghiệm của phương trình.. Tuy nhiên, họ thường gặp khó khăn hay thất bại khi dùng chiến lược này. Như vậy, họ thường áp dụng cách cách giải có sẳn trong sách giáo khoa để giải quyết kiểu nhiệm vụ này.  Đặc biệt trong các lời giải của bài toán này không xuất hiện chiến lược dùng công thức đổi trục để biện luận số nghiệm của phương trình, mặc dù chúng tôi đã tạo mọi điều kiện tối ưu cho chiến lược này ( chứng minh đường cong đã cho là nữa đường tròn và vẽ nữa đường tròn này). Điều này càng cũng cố thêm sự tồn tại của giả thuyết H2 mà chúng tôi đã đưa ra. KẾT LUẬN Qua việc phân tích chương trình toán chỉnh lý hợp nhất năm 2000 ở bậc trung học phổ thông của Việt Nam trong đó sách toán giải tích 12 được phân tích sâu hơn cũng như các kết quả thu được từ chương nghiên cứ thực nghiệm đã cho phép chúng tôi trả lời những câu hỏi trọng tâm đặt ra từ đầu trong nghiên cứu của luận văn này.  Về chương trình : Trong chương trình toán chỉnh lý hơp nhất năm 2000 bậc phổ thông trung học của Việt Nam, đổi biến theo quan điểm hình học xuất hiện lần đầu tiên ở lớp 10 với vai trò vẽ đồ thị của hàm parabol tổng quát : y = ax2 + bx +c ( ). Người ta giới thiệu cách dùng công thức đổi trục chỉ để vẽ hàm bậc hai tổng quát mà không chú ý đến việc áp dụng nó trong để vẽ đồ thị các hàm số khác. Vai trò này đã “biến mất” ở lớp 12, không có một nội dung cũng như bài tập nào trong sách giáo khoa 12 đề cập đến vai trò này. Việc vẽ đồ thị được tiến hành theo qui trình khảo sát hàm số, trình bày một cách chi tiết trong sách giáo khoa. Thay vào đó đổi biến theo quan điểm HH chỉ còn đóng vai trò “ngầm ẩn” trong việc xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm đa thức bậc 3, hàm phân thức dạng a 0 ax by cx d   và hàm phân thức dạng 2 ' 'cx db axy a x    . Như vậy vai trò của đổi biến theo quan điểm HH đối với kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị cũng như giải toán đã không được khai thác. Đổi biến theo quan điểm giải tích xuất hiện lần đầu ở lớp 10 với vai trò đại số hóa các phương trình và bất phương trình chứa căn bậc hai. Cũng như vậy, xuất hiện ở lớp 11 với vai trò đại số hóa các phương trình lượng giác, đại số hóa các phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Riêng ở lớp 12, đổi biến theo quan điểm giải tích xuất hiện hầu hết ở các nội dung lý thuyết trong sách giáo khoa với vai trò: tìm đạo hàm các hàm hợp, hổ trợ cho việc khảo sát hàm số, tìm nguyên hàm và tính tích phân xác định. Số lượng các bài tập đi kèm các kiểu nhiều vụ liên quan đổi biến theo quan điểm giải tích là rất lớn so với số lượng bài tập đi kèm với kiểu nhiệm vụ liên quan đổi biến theo quan điểm hình học (như chúng tôi đã thống kê ở trên). Ở lớp 12 vai trò đổi biến theo quan điểm giải tích tỏ ra lấn át vai trò đổi biến theo quan điểm hình học trong thể chế day-học.  Về các giả thuyết và các qui tắc hợp đồng liên quan đến đổi biến theo quan điểm HH. Phân tích sách giáo khoa chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 liên quan đến đổi biến theo hai quan điểm GT và HH chúng tôi nhận thấy : + Sách giáo khoa trình bày chi tiết các kỹ thuật đổi biến theo quan điểm GT. + Đổi biến theo quan điểm HH đóng vai trò công nghệ cho các kiểu nhiệm vụ con thuộc kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị. + Việc vẽ đồ thị hàm số được trình bày chi tiết trong phần khảo sát các hàm số chương trình giải tích 12 với nhiều ví dụ và bài tập đi kèm với các dạng đồ thị. + Đổi biến theo quan điểm hình học chỉ được vận dụng để vẽ đồ thị hàm số bậc 2 tổng quát ở lớp 10. Các phân tích trên cùng với các kết quả nghiên cứu thực nghiệm cho phép chúng tôi khẳng định sự tồn tại của hai giả thuyết:  Giả thuyết H1 : tồn tại hai qui tắc hợp đồng R1 và R2 R1. Muốn vẽ đồ thị của hàm số thì trước hết phải dùng đạo hàm để khảo sát hàm số đó. R2. Học sinh có quyền thừa nhận điểm uốn (đối với hàm số dạng ax3 + bx² + cx + d) hoặc giao điểm hai đường tiệm cận (đối với hàm số dạng ax + b cx + d hay 2 ' ' ax + bx + c a x + b ) là tâm đối xứng.  Giả thuyết H2 : Phép đổi biến theo quan điểm HH không thực sự là một công cụ sẵn có ở học sinh khi giải các bài toán thuộc 3 kiểu nhiệm vụ Tvđt, Tpt, Tdt.  Về quan hệ cá nhân của học sinh và giáo viên đối với hai quan điểm đổi biến. Đối với HS, khi giải các bài toán liên quan đến cả hai phép đổi biến, họ thường áp dụng phép đổi biến theo quan điểm GT ngay cả trong trường hợp đổi biến theo quan điểm HH giúp cho việc giải bài toán dể dàng hơn nhiều. Đối với GV, họ có chú ý đến việc áp dụng đổi biến theo quan điểm HH để giải toán vì sự tiện ích của nó. Tuy nhiên, theo họ vẩn không nên khuyến khích học sinh áp dụng kỹ thuật này trong việc giải toán vì họ cho rằng kỹ thuật này khó và không tồn tại trong thể chế. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt 1. ĐOÀN QUỲNH, VĂN NHƯ CƯƠNG & HOÀNG XUÂN SÍNH, Đại số tuyến tính và Hình học (Tập 2) (1988). NXB Giáo dục, TP. HCM. 2. LÊ THỊ HOÀI CHÂU (2004), Phương pháp dạy – học hình học. NXB ĐHQG TP. HCM, TP. HCM. 3. ABESSOT và C.COMITI (2000-2001). Hợp đồng didacticque, lý thuyết nhân chủng học, bài giảng lớp thạc sĩ Didacticque Toán, Đại Học Sư Phạm TP.HCM 4. NGÔ THÚC LANH (1985), Đại số (Giáo trình sau đại học). NXB Giáo dục, TP. HCM. 5. LÊ VĂN TIẾN (2000), Một số quan điểm khác nhau về giảng dạy giải tích ở trường PT. Tạp chí Nghiên cứu giáo dục số 338 và 339. 6. VŨ TUẤN-PHAN ĐỨC THÀNH-NGÔ XUÂN SƠN (1981), Giải tích toán học.(Sách Đại học sư phạm). NXB Giáo dục, TP. HCM 7. NGUYỄN THỊ NHU HÀ (2004), Máy Tính Bỏ Túi Trong Dạy-Học Toán Luận văn Thạc Sĩ Khoa Học. Đại học Sư phạm TP. HCM, TP. HCM 8. NGÔ THÚC LANH (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Giải tích 12. NXB Giáo dục, Hà Nội. 9. LÊ VĂN TIẾN (2005), Phương pháp dạy – học môn toán ở trường phổ thông (Các tình huống dạy học điển hình).NXB ĐHQG TP. HCM, TP. HCM. 10. NGUYỄN MỘNG HY (2000), Hình học cao cấp. NXB Giáo dục, TP. HCM. 11. NIKOLSKI S. M. (1997) chủ biên, Từ điển bách khoa phổ thông toán học NXB Đại từ điển bách khoa Nga, Moskva. (Bản dịch của Hoàng Quý – Nguyễn Văn Ban – Hoàng Chúng – Trần Văn Hạo – Lê Thị Thiên Hương, NXB Giáo dục, Hà Nội – 2004).. 12. HOÀNG XUÂN SÍNH-TRẦN PHƯƠNG DUNG (1999), Bài tập đại số tuyến tính. NXBGD. 13. Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 10, 11, 12 (2000). Bô giáo dục và đào tạo 14. sách giáo khoa Toán 10 (2005) chương trình phân ban. NXBGD 15. sách giáo khoa Toán 11 (2006) chương trình phân ban. NXBGD 16. TRẦN VĂN HẠO (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 10. NXB Giáo dục, Hà Nội 17. TRẦN VĂN HẠO (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. NXB Giáo dục, Hà Nội. 18. TRẦN VĂN HẠO (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12. NXB Giáo dục, Hà Nội. 19. VĂN NHƯ CƯƠNG (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Hình học 12. NXB Giáo dục, Hà Nội. Tiếng pháp 20. GASQUET S. et CHUZEVILLE R. (1994), Fenêtres sur courbes. C.R.D.P. de Grenoble,Grenoble, France. 21. GUNTHER Martine (1997-1998), De l’utilite’ du changement d’origine. . PHỤ LỤC 1: BỘ CÂU HỎI ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN Kính thưa quý thầy cô. Chúng tôi đang tiến hành một nghiên cứu nhỏ mà để hoàn thành xin được tham khảo ý kiến của quý thầy cô. Xin quý thầy cô vui lòng trả lời những câu hỏi sau (dấu tên). ----------------------------------------------------------- Phần I : Câu hỏi 1 : Dưới đây là 3 bài toán được nêu ra cho học sinh. Đối với mổi bài, xin thầy/cô nêu tóm tắt lời giải (hay những lời giải) mà thầy/cô mong đợi ở học sinh Bài 1 : Vẽ đồ thị hàm số y = 1 x 1 Lời giải mà thầy cô mong đợi ở hoc sinh : ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Bài 2 : Cho phương trình :  21 x 2 mx 2m    , với m là tham số. Bằng ít nhất hai cách khác nhau, em hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình đã cho. Những lời giải mà thầy cô mong đợi ở học sinh : ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. Bài 3 : Cho đường cong (C) có phương trình : = 2y  2x 11 2  với y 0  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox. Lời giải mà thầy/cô mong đợi ở học sinh: ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. Phần II : Câu hỏi 2 : Sau đây là 2 lời giải mà một số học sinh lop 12 đã đưa ra cho bài tóan 3 : Lời giải 1 :       do y 0 2 2 22 x 1 x 1 1y 1 y 1 y 2 x 1 2 2 2            Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (Ox) là :    2 21 2 x 1 0 2 x 1 0 x 1 2,x 1 2 2               Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có : S =  1 2 2 1 2 1 2 x 1 2       .dx Đặt x+1 = 2 sin t dx = 2 cost dt. Đổi cận x -1- 2 -1+ 2 t 2  2  Diện tích hình phẳng cần tìm là :  2 2 2 2 1 2S 2 cos t. 2 cos t.dt 1 cos2t dt 22          = 2 2 2 sin 2t 2t 2 2 2 2 2                  2 2 (đvdt) Lời giải 2 : Đặt y =Y, x = -1 +X Hàm số đã cho trở thành : Y2 = 1- 2 2 2X X Y 2 2 1   (1) (1) là phương trình của một elip có dạng : 2 22 2x y 1a b  , trong đó a = 2 và b = 1 Vì y 0 nên hình phẳng đã cho là nửa phía trên trục hoành của elip có phương trình (1). Ta biết rằng công thức tính diện tích hình elip là : ab. Suy ra, diện tích của hình phẳng cần tìm là : S =  ab 2 2 2   Đối với mỗi lời giải,Thầy cô đánh dấu x vao ô : 5 điểm, nếu hoàn toàn tán thành 4 điểm, nếu tán thành 3 điểm, nếu phân vân 2 điểm, nếu không tán thành 1 điểm, nếu hoàn toàn không tán thành Xin thầy/cô cho biết lý do lựa chọn của Thầy/Cô trong mỗi trường hợp 1 điểm 2 điểm 3 điểm 4 điểm 5 điểm Lý do Lời giải 1 Lời giải 2 Lời giải 3 Câu hỏi 3 : thầy/cô có thường cho hoc sinh sử dụng công thức đổi trục hay không ? Nếu có thì để làm gì ? Nếu không thì vì sao ? Thường xuyên Để : ……………………………………………………………………………………… …… Ít khi Để : ……………………………………………………………………………………… …… Không bao giờ Lý do : ……………………………………………………………………………………… …… Câu hỏi 4 : thầy /cô có khuyến khích hoc sinh sử dụng phép đổi trục để vẽ đồ thị hàm số không ? xin thầy/cô cho biết lý do. Có Không Lý do : ……………………………………………………………………………………… PHỤ LỤC 2: BỘ CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH Trường trung học phổ thông : lớp : Họ và tên : BÀI KIỂM TRA Bài toán 1. Cho hàm số y = 1 x có đồ thị như hình vẽ. Vẽ đồ thị hàm số y = 1 x 1 . Em hãy cố gắng tìm càng nhiều cách khác nhau càng tốt và giải thích cách vẽ của em. Bài toán 2. Cho đường cong (C) có phương trình : = 2y  2x 11 2  với y 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox. Em hãy cố gắng tìm càng nhiều cách giải khác nhau càng tốt. Bài toán 3. a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = 21 x là nửa đường tròn đơn vị phía trên trục Ox. Hãy vẽ đồ thị của hàm số này. b) Cho phương trình :    x 221 x 2 m    , với m là tham số. Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình đã cho bằng ít nhất hai cách khác nhau. ._.