Sử dụng tam giác hóa ma trận trong dự báo quá trình hữu hạn các quan sát MA(1), mở rộng cho dự báo quá trình Gauss

đĕng: 30/6/2020 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp sử dụng lý thuyết biểu diễn tam giác hóa ma trận đối xứng xác định dương để hỗ trợ trong dự báo quá trình dừng với hữu hạn các quan sát. Kết quả nghiên cứu cho thấy tính hiệu quả của việc sử dụng tam giác hóa Ω là ma trận có moment cấp 2 từ đó suy ra được hệ số phép chiếu tuyến tính của iY lên 1Y cho bởi 11 11 ;ia -=W W khi biểu diễn tam giác hóa để dự báo cho quá trình trung bình trượt cấp 1 (MA(1)) với số quan sát hữu hạn và dự báo cho quá trình Gauss thì việc tính toán trở nên đơn giản và hiệu quả hơn. Từ khóa: Quá trình MA(1); dự báo; tam giác hóa ma trận; quá trình Gauss. Abstract In this paper, we study a method using the theory of triangular representation of a positive definite symmetry matrix to aid in predicting the stationary process with finite observations. The research results show that the effectiveness of using triangulation is a matrix with moment level 2 from which the linear projection coefficient of iY to 1Y is derived by 11 11 ;ia -=W W when performing triangulation to predict the process of moving average level 1 (MA (1)) with finite number of observations and forecast for Gauss process, the calculation becomes simpler and more efficient. Keywords: MA (1) process; forecasting; triangulating matrix; Gauss process. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Việc dự báo 1 đại lượng biến thiên nói chung và dự báo nhu cầu nói riêng đóng vai trò quan trọng trong kinh tế cũng như đời sống. Dự báo là ước lượng các giá trị tương lai Y t+h , h ≥ 1 của 1 biến ngẫu nhiên dựa trên quan sát các giá trị quá khứ của nó y 1 , y 2 ,..., y n . Tuy nhiên, khi các quan sát quá khứ là hữu hạn ta dùng dự báo tối ưu xấp xỉ. ! ( ) ! ( )1 1 1 1/ , , ... / , , ..., , 0, 0, ... .t s t t t s t t t m t m t mE Y Y Y E Y Y Y Y e e+ - + - - + - - -@ = = Trong đó ta cho các giá trị của ε = 0 và dự báo chính xác với các hệ số được xác định qua phép chiếu tuyến tính được trình bày trong [1]. Tuy nhiên, việc xác định hệ số bằng việc giải hệ các phương trình là rất phức tạp. Vì vậy, trong bài báo này chúng tôi sẽ nghiên cứu phép biểu diễn tam giác hóa ma trận đối xứng xác định dương, đây là công cụ hiệu quả hơn giúp chúng ta tính toán nhanh và chính xác dự báo tối ưu dựa trên hữu hạn các quan sát quá khứ của nó. Ngoài ra trên cơ sở phép biểu diễn tam giác chúng tôi chỉ ra ứng dụng của nó trong việc dự báo cho quá trình trung bình trượt cấp 1 (MA(1)) và mở rộng tam giác hóa khối dự báo tối ưu cho quá trình Gauss. 2. NỘI DUNG 2.1. Nguyên tắc dự báo 2.1.1. Dựa trên kỳ vọng có điều kiện Mục đích chúng ta quan tâm là dự báo của giá trị 1tY + dựa trên tập các biến quan sát .tX Ký hiệu * 1/ ,t tY + là một dự báo của 1tY + cĕn cứ trên các quan sát ,tX *1/t tY + được chọn sao cho ( )2*1 1/ .t t tE Y Y+ +- (1) là nhỏ nhất [2]. Vậy dự báo với sai số bình phương nhỏ nhất chính là kỳ vọng có điều kiện của 1tY + với tX . Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Vĕn Ninh 2. TS. Đào Trọng Quyết NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 62 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 2 (69) 2020 ( )2*1/ 1 / X .t t t tY E Y+ += 2.1.2. Dự báo dựa trên phép chiếu tuyến tính Chúng ta hạn chế lớp dự báo với yêu cầu dự báo * 1/t tY + là hàm tuyến tính của .tX (3) Mục đích là chúng ta đi tìm giá trị α' thỏa mãn sai số dự báo không tương quan với tX tức là: (4) Khi đó dự báo ' tXa α' Xt được gọi là phép chiếu tuyến tính của 1tY + cĕn cứ trên các quán sát .tX Phép chiếu tuyến tính thực chất là sai số bình phương trung bình nhỏ nhất trong lớp các dự báo tuyến tính. Kí hiệu ! ( )1 / 't t tP Y X Xa+ = . Hoặc đơn giản. ! 1 ' ,t tY Xa+ = Với ( ) ( ) 1' '1' .t t t tE Y X E X Xa -+ é ù= ë û 2.1.3. Dự báo chính xác dựa trên hữu hạn các quan sát Một cách khác mà không phải phép xấp xỉ ở trên là ta tính chính xác hàm tuyến tính 1tY + trên m giá trị gần nhất của nó. Đặt [ ]1 11 ... .tt t t t mX Y Y Y- - += Chúng ta sẽ tìm 1 dự báo có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1 1... .t t m m mm X mt t m t mY Y Ya a a a a- - += + + + + (5) Nếu tY là quá trình dừng thì: ( )2t t j jE YY g µ- = + Thay [ ]1 11 ... tt t t t mX Y Y Y- - += vào ( ) ( ) 1' '1' .t t t tE Y X E X Xa -+ é ù= ë û Suy ra: (6) Sau đó ta tính phép chiếu của ( )1tY µ+ - trên: ( ) ( ) ( )1 1, , ..., .tt t t t mX Y Y Yµ µ µ- - +é ù= - - -ë û Ta được: (7) Tương tự ta tính hệ số của tX như sau: ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1 1 1 0 2 21 1 2 0 ... ... .... ... ... ... ...... ... m m m m m m m mm a g g g g g g g ga g g g ga - - - - - é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú=ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ë û ë ûë û Dự báo tại thời điểm s ( kí hiệu /t s tY + ) là: . ! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . .1/ 1 2 1 1...m s m s m st t t t m t mY Y Y Yµ a µ a µ a µ+ - - += + - + - + + - Trong đó: ( ) ( ) ( ) . 1 0 0 1 1 . 1 0 2 11 . 1 2 0 1 ... ... .... ... ... ... ...... ... m s m s m s m s m s m m s mm a g g g g g g g ga g g g ga - - - + - - + - é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú=ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ë û ë ûë û (8) Có nhiều thuật toán được sử dụng để đánh giá (8), ở đây chúng ta sử dụng biểu diễn tam giác hóa ma trận đối xứng xác định dương, cách này hữu ích trong việc tính toán cho các mẫu hữu hạn được trình bày sau đây. 2.2. Biểu diễn tam giác hóa ma trận có moment cấp 2 và phép chiếu tuyến tính Định nghĩa 1 Cho Ω là ma trận đối xứng xác định dương cấp (nxn) có biểu diễn dưới dạng [2]: ,tADAW = (9) Trong đó: 1 21 11 1 1 31 11 31 22 1 1 1 1 11 2 22 3 33 1 0 0 ... 0 0 0 ... 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... 1n n n A h h h h k k - - - - - - é ùê úW Wê úê ú = W Wê úê úê úW Wê úë û Và 11 122 21 11 12 1, 1 1, 1 1, 0 ... 0 0 ... 0 .... ... ... ... 0 0 ... nn n n n n n n D c c c c - - - - - - Wé ùê úW -W W Wê ú = ê úê úê ú-ë û Biểu thức (9) được gọi là phép biểu diễn hóa ma trận đối xứng xác định dương Ω. Định lý 1. (Xem [2]) Giả sử ( )1 2, ,..., tnY Y Y Y= là véctơ ngẫu nhiên trong đó ma trận có moment cấp 2 cho bởi: ( ) .tE YYW = (10) Mà Ω = ADAt là biểu diễn tam giác hóa của Ω. Khi đó với i j> bất kỳ thì hệ số của phép chiếu iY lên Y j , Y j-1 ,..,Y 1 chính là phần tử dòng i và j của ma (2) *1/ ' .t t tY Xa+ = ( )1 ' 0.t t tE Y X Xa+é ù- =ë û ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 2 2 1 2 ... = ... x t m m mm m t m m Ya a a a a µ g µ g µ g µ -é ù= ë ûé ù+ + +ë û 1 2 2 2 0 1 1 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 2 0 1 ... ... x ... . ... ... ... ... ... ... m m m m µ µ µ µ g µ g µ g µ µ g µ g µ g µ µ g µ g µ g µ - - - - - é ùê ú + + +ê úê ú+ + +ê úê úê ú+ + +ë û ! ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1/ 1 2 1 1 ... ... . m mt t t tm m t m Y Y Y Y µ a µ a µ a µ + - - + - = - + - + + - NGÀNH TOÁN HỌC 63Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 2 (69) 2020 trận ,A giá trị của phần dư iid trong ma trận D là sai số bình phương trung bình của phép chiếu iY lên Y i-1 , Y i-2 ,..,Y 1 . Chứng minh: Ta đặt: 𝑌𝑌" = 𝐴𝐴!"𝑌𝑌. (11) Ma trận cấp 2 của phép biến đổi trên là: 𝐸𝐸"𝑌𝑌$𝑌𝑌$ !% = 𝐸𝐸(𝐴𝐴"#𝑌𝑌𝑌𝑌![𝐴𝐴!]"#) = 𝐴𝐴"#𝐸𝐸(𝑌𝑌𝑌𝑌!)[𝐴𝐴!]"# Với E Y!Y! jt⎛⎝ ⎞⎠ = dii i = j0 i ≠ j{ . (12) Các biến ngẫu nhiên 𝑌𝑌" là không tương quan với nhau, ta nhân 2 vế của (12) với A ta được.𝐴𝐴𝑌𝑌" = 𝑌𝑌 Tương đương: ⎣⎢⎢⎢ ⎡ 1 0 0 . . . 0𝛺𝛺!"𝛺𝛺""#" 1 0 . . . 0𝛺𝛺$"𝛺𝛺""#" ℎ$!ℎ!!#" 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .𝛺𝛺%"𝛺𝛺""#" ℎ%!ℎ!!#" 𝑘𝑘%$𝑘𝑘$$#" . . . 1 ⎦⎥⎥ ⎥⎤ ⎣⎢⎢⎢ ⎢⎡𝑌𝑌".𝑌𝑌!.𝑌𝑌$.. . .𝑌𝑌%/⎦⎥⎥⎥ ⎥⎤ = ⎣⎢⎢⎢ ⎡𝑌𝑌"𝑌𝑌!𝑌𝑌$. . .𝑌𝑌%⎦⎥⎥⎥ ⎤. (13) Phương trình đầu tiên trong (13)𝑌𝑌!" = 𝑌𝑌!. (14) Tức là phần tử đầu tiên của các vecto Y và 𝑌𝑌" là giống nhau. Phương trình thứ 2 cho ta:𝛺𝛺!!𝛺𝛺""#"𝑌𝑌"# + 𝑌𝑌!# = 𝑌𝑌!. Thay (13) vào phương trình trên ta được:𝑌𝑌!" = 𝑌𝑌! − 𝛺𝛺!"𝛺𝛺""#"𝑌𝑌" = 𝑌𝑌! − 𝛼𝛼𝑌𝑌" Ở đây 121 11a -=W W . Mà 𝑌𝑌!" và 𝑌𝑌!" không tương quan với nhau nên:𝐸𝐸"𝑌𝑌!$𝑌𝑌"$% = 𝐸𝐸[(𝑌𝑌" − 𝛼𝛼𝑌𝑌!)𝑌𝑌!] = 0. (15) Giá trị α thỏa mãn (15) chính là hệ số phép chiếu tuyến tính của 2Y lên 1Y . Ta coi 𝑌𝑌!" như là phần dư của phép chiếu tuyến tính của 2Y lên 1 ,Y từ (11) ta tìm được sai số bình phương trung bình của phép chiếu này.𝐸𝐸"𝑌𝑌$!!% = 𝑑𝑑!! = 𝛺𝛺!! − 𝛺𝛺!"𝛺𝛺""#"𝛺𝛺"!. Phương trình thứ 3 cho ta: 𝛺𝛺!"𝛺𝛺""#"𝑌𝑌#" + ℎ!$ℎ$$#"𝑌𝑌#$ + 𝑌𝑌#! = 𝑌𝑌!. Thay 𝑌𝑌!" vào 𝑌𝑌!" vào phương trình này ta được:𝑌𝑌"! = 𝑌𝑌! − 𝛺𝛺!"𝛺𝛺""#"𝑌𝑌" − ℎ!$ℎ$$#"(𝑌𝑌$ − 𝛺𝛺$"𝛺𝛺""#"𝑌𝑌"). (16) Tương tự 𝑌𝑌"! là phần dư và nó không tương quan với 1Y hoặc 2Y , điều này có nghĩa là: ! ( ) ( )1 1 13 2 1 31 11 1 32 22 2 21 11 1/ , .P Y Y Y Y h h Y Y- - -=W W + -W W (17) Sai số bình phương trung bình của phép chiếu này chính là phương sai 𝑌𝑌"! và bằng 33d . ! ( ) 2 13 3 2 1 33 32 22 23/ , .E Y P Y Y Y h h h h-é ù- = -ë û Như vậy, muốn dự báo 3Y ta cho thông tin ban đầu 1 ,Y sau đó dự báo cho 3Y dựa trên 1Y và được xác định bởi: ! ( ) 13 1 31 11 1/ ,P Y Y Y-= W W Và dự báo của 2Y dựa trên 1Y như sau: ! ( ) 12 1 21 11 1/ ,P Y Y Y-= W W Khi đó (1.17) trở thành ! ( ) ! ( ) ! ( )13 2 1 3 1 32 22 2 2 1/ , / / .P Y Y Y P Y Y h h Y P Y Y- é ù= + -ë û (18) Tương tự như vậy với i j> bất kỳ thì hệ số của phép chiếu iY lên Yj, Yj-1,..,Y1 chính là phần tử dòng i và j của ma trận ,A giá trị của phần dư iid ma trận D là sai số bình phương trung bình của phép chiếu iY lên Yi-1, Yi-2,..,Y1 (đpcm). Nhận xét: Như vậy, dùng biểu diễn tam giác hóa Ω ta đã suy ra được hệ số phép chiếu tuyến tính của 2Y lên 1Y cho bởi 121 11 ,a -=W W và nói chung hệ số phép chiếu tuyến tính của iY lên 1Y cho bởi 11 11 .ia -=W W 2.3. Áp dụng biểu diễn tam giác hóa ma trận trong dự báo Phần này trình bày việc sử dụng biểu diễn tam giác hóa ma trận trong dự báo chính xác cho quá trình trung bình MA(1) và mở rộng cho quá trình Gauss. 2.3.1. Dự báo chính xác trên hữu hạn các quan sát của quá trình MA(1) Định nghĩa 2 Cho { }t te ¥=-¥ là dãy ồn trắng. Quá trình tY có biểu diễn sau [3]: 1 ,t t tY µ e qe -= + + Được gọi là quá trình trung bình trượt cấp 1, ký hiệu là MA(1), μ, θ là hằng số bất kỳ. Bài toán: Giả sử quá trình MA(1) cho bởi phương trình: 1.t t tY µ e qe -= + + Dự báo giá trị nY dựa trên n - 1 giá trị trước của nó (Y 1 , Y 2 ,..,Y n-1 ) sử dụng tam giác hóa ma trận xác định dương. Lời giải: Đặt [ ]1 2 1 ... t n nY Y Y Y Yµ µ µ µ-º - - - - và ký hiệu Ω là ma trận tự hiệp phương sai của .Y ( ) 2 2 2 2 2 1 0 0 ... 0 1 ... 0 .0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 tE YY q q q q s q q q é ù+ê ú +ê úê úW = = +ê úê úê ú+ë û NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 64 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 2 (69) 2020 Ma trận A trong biểu diễn tam giác hóa của Ω là: ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 4 2 22 2 12 1 0 ... 0 0 1 ... 0 01 10 ... 0 0 ,1 ... ... ... ... ... 1 ...0 0 ... 11 ... n n A q q q q q q q q q q q - - é ùê úê úê ú+ê ú +ê ú = ê ú+ +ê úê úê ú + + +ê úê ú + + +ë û ( ) 2 2 4 22 2 2 2 12 1 0 .... 0 10 ... 01 .... ... ... ... 1 ...0 0 ... 1 ... n n D q q q qs q q q q - é ù+ê ú + +ê úê ú+ = ê úê úê ú + + +ê úê ú+ + +ë û Để sử dụng phép biểu diễn tam giác hóa cho việc dự báo chính xác dựa trên hữu hạn các quan sát, ta sử dụng kết quả.𝑌𝑌" = 𝑌𝑌! − 𝐸𝐸&(𝑌𝑌!/𝑌𝑌!"#, 𝑌𝑌!"$, . . . , 𝑌𝑌#). Từ hệ thống các phương trình của: Được viết lại như sau: Y 1 − µ = Y!1, Y 2 − µ = θ 1+θ 2 Y ! 1 +Y ! 2 , Y 3 − µ = θ 1+θ 2( ) 1+θ 2 +θ 4 Y ! 2 +Y ! 3, .... Y n − µ = 1+θ 2 + ...+θ 2n 1+θ 2 + ...+θ 2 n−1( ) Y ! n−1 +Y! n. Giải phương trình cuối ta được: Y ! n = Y n − E! Y n / Y n−1,Yn−2 ,...,Y1( ) = Yn − µ − θ 1+θ 2 +θ 4 + ...+θ 2 n−2( )⎡⎣ ⎤⎦ 1+θ 2 +θ 4 + ...+θ 2 n−1( )⎡⎣ ⎤⎦ Y n−1 − E! Yn−1 / Yn−2 ,Yn−3,...,Y1( )⎡⎣ ⎤⎦.(19) Suy ra: ! ( ) ( ) ( ) ! ( ) 1 2 1 2 22 4 1 1 2 3 12 12 4 / , , ..., 1 ... / , , ..., .1 ... n n n n n n n nn E Y Y Y Y Y E Y Y Y Y µ q q q q q q q - - - - - - -- = + é ù+ + + +ë û é ù-ë ûé ù+ + + +ë û Sai số bình phương trung bình của dự báo này chính là: ! ( ) ( ) 2 4 2 2 1 2 1 2 12 4 1 .../ , , ..., .1 ... n n n n nMSE E Y Y Y Y q q qs q q q- - - + + + +é ù =ë û + + + +Nhận xét: Khi số dự báo n rất lớn, ta giả sử quá trình trung bình trượt khả nghịch tức là 1,q < khi n®¥ thì: ( ) ( ) 2 22 4 2 12 4 1 ... .1 ... n n q q q q qq q q - - é ù+ + + +ë û ®é ù+ + + +ë û Trong khi sai số bình phương trung bình tiến đến σ2. Vì vậy, dự báo hữu hạn các quan sát vẫn tiến đến dự báo cho vô hạn các quan sát. Ngoài ra việc tính toán công thức (19) vẫn đúng cho trường hợp 1.q > Khi θ = 1 sai số bình phương trung bình MSE của dự báo này cho bởi ( ) 2 1n n s + và nó tiến đến σ2 khi n®¥ . 2.3.2. Biểu diễn tam giác hóa khối và dự báo tối ưu cho quá trình Gauss Định nghĩa 3 Quá trình { },tY Y t T= Î được gọi là quá trình Gauss hay quá trình chuẩn, nếu các phân phối hữu hạn chiều của nó là Gauss, tức là phân phối của véctơ ngẫu nhiên ( )1 , ..., nt tY Y là Gauss đối với mọi tập con hữu hạn [3]. Bài toán: Giả sử chúng ta quan sát trên 2 bộ biến. Bộ thứ nhất các phần tử coi như véctơ (n 1 x1) ký hiệu 1 ,Y bộ thứ 2 là véctơ (n 2 x1) ký hiệu 2 .Y Ma trận có moment cấp 2 được viết như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 11 12 21 222 1 2 2 . t t t t E YY E YY E Y Y E Y Y é ù W Wé ùê úW = = ê úê ú W Wë ûë û Dự báo 2Y và trường hợp 2Y là một quá trình Gauss. Lời giải: Nhân ma trận 11 21 11 2 0n n IE I é ù = ê ú-W Wë û và 1 t E với Ω ta được: 111 1 1 22 21 11 12 0 .0 tE E - Wé ùW = ê úW -W W Wë û Đặt 1 11 1 21 11 2 0 .tn n IA E ADAI - - é ù = = ÞW =ê úW Wë û Ta có: Y ! 1 = A −1 Y ⇔ Y!1 Y ! 2 ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ = I n1 0 −Ω 21 Ω 11 I n2 ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ Y 1 Y 2 ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ ⇒Y!1 = Y1,Y! 2 = Y2 −Ω21Ω11−1Y1 Từ phương trình 𝑌𝑌!" ta có 121 11-W W chính là ma trận hệ số liên kết của phép chiếu tuyến tính của véctơ 2Y lên véctơ 1Y ! ( ) 12 1 21 11 1/ .P Y Y Y-= W W Sai số bình phương trung bình của phép chiếu tuyến tính này. E Y 2 − P! Y 2 / Y 1( ){ } Y2 − P! Y2 / Y1( )t{ } = E Y! 2Y! 2 t⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = D22 = Ω 22 −Ω 21 Ω 11 −1Ω 12 . Dựa vào biểu diễn tam giác khối ở trên, ta sẽ dự báo tối ưu cho quá trình Gauss như sau: Đặt 1Y là véctơ (n1x1) với giá trị trung bình μ và 2Y là véctơ (n 2 x1) với giá trị trung bình μ2. 𝑌𝑌" = 𝐴𝐴!"𝑌𝑌 NGÀNH TOÁN HỌC 65Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 2 (69) 2020 Ma trận tự hiệp phương sai cho bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 11 12 21 22 = . t t t t E Y Y E Y Y E Y Y E Y Y µ µ µ µ µ µ µ µ é ù- - - -ê ú =ê ú- - - -ë ûW Wé ùê úW Wë û Nếu 2Y là Gauss, hàm mật độ đồng thời của chúng cho bởi. Nghịch đảo của Ω cho bởi: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1/2 11 12 , 1 2 /2 21 22 1 11 12 1 1 1 2 2 21 22 2 2 1, 2 1 exp .2 Y Y n n t t f Y Y yy y y p µ µ µ µ - + - W W = W W ì üW W -é ù é ùï ïé ù- - -í ýê ú ê úë û W W -ë û ë ûï ïî þ Định thức của Ω tính bằng: .tA D AW = Nhưng A là ma trận tam giác dưới có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 nên 1A = do đó ,DW = và 11 12 11 1 21 22 22 21 11 12 1 11 22 21 11 12 0 0 . x - - W W W =W W W -W W W = W W -W W W Khi đó mật độ đồng thời viết lại là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1/21 , 1 2 11 22 21 11 12/2 1 1 1 11 1 1 11 2 22 21 11 12 2 1, 2 1exp 2 1 ,2 Y Y n n t t f Y Y y y y m y m p µ µ -- + - -- = W W -W W W ì- - W -íî ü- - W -W W W - ýþ Với: ( )12 21 11 1 1 .m yµ µ-= +W W - Hàm mật độ điều kiện của 2Y đối với 1Y tìm bằng cách chia (20) cho mật độ biên. ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1/2 1 1 11 1 1 11 1 1/2 1 1exp .22 t V nf y y yµ µp - --é ù= W - W -ê úë û (20) Hàm mật độ điều kiện của 2Y đối với 1Y là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 , 2 1 1/2 / 1 2 /21 1 2 2 , 1/ 2 1exp ,2 Y Y Y Y n Y t f Y Yf Y Y Hf y y m H y m p - - = = é ù- - -ê úë û ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 , 2 1 1/2 / 1 2 /21 1 2 2 , 1/ 2 1exp ,2 Y Y Y Y n Y t f Y Yf Y Y Hf y y m H y m p - -é ù- - -ê úë û Với: 122 21 11 12 .H -=W -W W W Nói cách khác: ( )2 1/ , .Y Y N m H! Vì vậy, dự báo tối ưu cho quá trình Gauss là: ( ) ( )12 1 2 21 11 1 1/ .E Y Y yµ µ-= +W W - 3. KẾT LUẬN Bài báo đã chỉ ra được việc sử dụng biểu diễn tam giác hóa Ω là ma trận có moment cấp 2 từ đó suy ra được hệ số phép chiếu tuyến tính của iY lên 1Y cho bởi 11 11 .ia -=W W Và áp dụng biểu diễn tam giác hóa để dự báo cho quá trình trung bình trượt cấp 1 (MA(1)) với số quan sát hữu hạn, đồng thời trên cơ sở đó phát triển thành phép biểu diễn tam giác khối và dự báo cho quá trình Gauss. Với cách đánh giá hệ số này trong dự báo thì việc tính toán trở đơn giản và hiệu quả hơn khi các quan sát là hữu hạn. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Vĕn Hữu, Nguyễn Hữu Dư (2003), Phân tích thống kê dự báo, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Trần Thị Hằng (2014), Phân tích thống kê chuỗi thời gian dừng, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [4] James D.Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press. [5] Pete J. Brockwell, Richard A. Davis (2002), Introduction to Series and Forecasting, NXB Springer, New York. Nguyễn Thị Hồng - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu): + Năm 2008: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán, Trường Đại học Vinh. + Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ Bản, Trường Đại học Sao Đỏ. - Lĩnh vực quan tâm: Lý thuyết xác suất và thống kê toán. - Email: nguyenhong.sd@gmail.com. - ĐT: 0969634689. THÔNG TIN TÁC GIẢ