Phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

Lêi nãi ®Çu To¸n häc lµ mét m«n khoa häc chiÕm vÞ trÝ quan träng kh«ng thÓ thiÕu trong cuéc sèng con nguêi. Cïng víi sù ph¸t triÓn néi t¹i cña to¸n häc vµ c¸c ngµnh khoa häc kh¸c, to¸n häc chia thµnh to¸n lý thuyÕt vµ to¸n øng dông. Gi¶i tÝch sè hay cßn gäi lµ ph­¬ng ph¸p sè lµ m«n khoa häc thuéc lÜnh vùc to¸n øng dông nghiªn cøu c¸ch gi¶i gÇn ®óng c¸c ph­¬ng tr×nh, c¸c bµi to¸n xÊp xØ hµm sè vµ c¸c bµi to¸n tèi ­u. ViÖc gi¶i mét bµi to¸n xÊp xØ hµm sè nh»m môc ®Ých thay mét hµm sè d­íi d¹ng phøc t¹p nh­ d¹ng biÓu thøc hoÆc mét hµm sè d­íi d¹ng b¶ng b»ng nh÷ng hµm sè ®¬n gi¶n h¬n. Trong lý thuyÕt xÊp xØ hµm ng­êi ta th­êng nghiªn cøu c¸c bµi to¸n néi suy, bµi to¸n xÊp xØ ®Òu vµ bµi to¸n xÊp xØ trung b×nh ph­¬ng. Trong ®å ¸n nµy em ®Ò cËp ®Õn bµi to¸n dïng ph­¬ng ph¸p xÊp xØ trung b×nh ph­¬ng hay cßn gäi lµ ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng tèi thiÓu ®Ó xÊp xØ hµm trong thùc nghiÖm. §Ó hoµn thµnh ®å ¸n nµy em xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« trong khoa To¸n tin øng dông- Tr­êng ®¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi ®· quan t©m gióp ®ì em vµ t¹o mäi ®iÒu kiÖn cho em trong suèt qu¸ tr×nh lµm ®å ¸n. §Æc biÖt em xin ch©n thµnh göi lêi c¶m ¬n ®Õn PGS-TS Lª Träng Vinh, ng­êi ®· trùc tiÕp tËn t×nh h­íng dÉn, chØ b¶o vÒ kinh nghiÖm vµ tµi liÖu trong suèt qu¸ tr×nh em lµm ®å ¸n tèt nghiÖp. Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Hµ Néi, th¸ng 5 n¨m 2008 Bïi V¨n B»ng Ch­¬ng I PH¦¥NG PH¸P B×NH PH¦¥NG TèI THIÓU LËP C¤NG THøC Tõ THùC NGHIÖM 1.1 Giíi thiÖu chung 1.1.1 §Æt vÊn ®Ò Cã rÊt nhiÒu ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó lËp nh÷ng ®a thøc tõ thùc nghiÖm mµ ta ®· biÕt ®Õn nh­ phÐp néi suy ®Ó lËp ®a thøc cÊp n: (®¹i sè hoÆc l­îng gi¸c) xÊp xØ hµm sè mµ ta ®· biÕt c¸c gi¸ trÞ cña hµm nµy lµ t¹i c¸c ®iÓm . Ph­¬ng ph¸p néi suy nãi trªn khi sö dông trong thùc tiÔn th× cã nh÷ng ®iÒu cÇn c©n nh¾c lµ: Trong c¸c ®a thøc néi suy ta ®ßi hái) = . Tuy nhiªn sù ®ßi hái nµy kh«ng cã ý nghÜa nhiÒu trong thùc tÕ. Bëi v× c¸c sè lµ gi¸ trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm , trong thùc tÕ chóng ta cho d­íi d¹ng b¶ng vµ th­êng thu ®­îc tõ nh÷ng kÕt qu¶ ®o ®¹c hoÆc tÝnh to¸n trong thùc hµnh. Nh÷ng sè y nµy nãi chung chØ xÊp xØ víi c¸c gi¸ trÞ ®óng cña hµm t¹i . Sai sè m¾c ph¶i nãi chung kh¸c kh«ng. NÕu buéc th× thùc chÊt ®· ®em vµo bµi to¸n c¸c sai sè cña c¸c sè liÖu ban ®Çu nãi trªn (chø kh«ng ph¶i lµ lµm cho gi¸ trÞ cña hµm néi suy vµ hµm trïng nhau t¹i c¸c ®iÓm ). §Ó cho ®a thøc néi suy biÓu diÔn xÊp xØ hµm mét c¸ch s¸t thùc ®­¬ng nhiªn cÇn t¨ng sè mèc néi suy (nghÜa lµ lµm gi¶m sai sè cña c«ng thøc néi suy). Nh­ng ®iÒu nµy l¹i kÐo theo cÊp cña ®a thøc néi suy t¨ng lªn do ®ã nh÷ng ®a thøc néi suy thu ®­îc kh¸ cång kÒnh g©y khã kh¨n cho viÖc thiÕt lËp còng nh­ dùa vµo ®ã ®Ó tÝnh gi¸ trÞ gÇn ®óng hoÆc kh¶o s¸t hµm . 1.1.2 Bµi to¸n ®Æt ra ChÝnh v× nh÷ng lý trªn nªn ph­¬ng ph¸p t×m hµm xÊp xØ cã thÓ sÏ s¸t thùc h¬n th«ng qua hai bµi to¸n: Bµi to¸n 1(t×m hµm xÊp xØ). Gi¶ sö ®· biÕt gi¸ trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm t­¬ng øng . T×m hµm xÊp xØ víi hµm trong ®ã (1 - 1) víi lµ nh÷ng hµm ®· biÕt, lµ nh÷ng hÖ sè h»ng sè. Trong khi gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy cÇn chän hµm sao cho qu¸ tr×nh tÝnh to¸n ®¬n gi¶n ®ång thêi nh­ng sai sè cã tÝnh chÊt ngÉu nhiªn (xuÊt hiÖn khi thu ®­îc c¸c sè liÖu ) cÇn ph¶i ®­îc chØnh lý trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n. Trong bµi to¸n t×m hµm xÊp xØ trªn viÖc chän d¹ng cña hµm xÊp xØ lµ tïy thuéc ý nghÜa thùc tiÔn cña hµm . Bµi to¸n 2 (t×m c¸c tham sè cña mét hµm cã d¹ng ®· biÕt). Gi¶ sö ®· biÕt d¹ng tæng qu¸t cña hµm (1 – 2) Trong ®ã: lµ nh÷ng h»ng sè. Gi¶ sö qua thùc nghiÖm ta thu ®­îc n gi¸ trÞ cña hµm øng víi c¸c gi¸ trÞ cña ®èi. VÊn ®Ò lµ tõ nh÷ng sè liÖu thùc nghiÖm thu ®­îc cÇn x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó t×m ®­îc d¹ng cô thÓ cña biÓu thøc (1 – 2): vÒ sù phô thuéc hµm sè gi÷a vµ . 1.2 Sai sè trung b×nh ph­¬ng vµ ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng tèi thiÓu t×m xÊp xØ tèt nhÊt víi mét hµm 1.2.1 Sai sè trung b×nh ph­¬ng Nh÷ng hµm trong thùc nghiÖm thu ®­îc th­êng m¾c ph¶i nh÷ng sai sè cã tÝnh chÊt ngÉu nhiªn. Nh÷ng sai sè nµy xuÊt hiÖn do sù t¸c ®éng cña nh÷ng yÕu tè ngÉu nhiªn vµo kÕt qu¶ thùc nghiÖm ®Ó thu ®­îc c¸c gi¸ trÞ cña hµm. ChÝnh v× lý do trªn, ®Ó ®¸nh gi¸ sù sai kh¸c gi÷a hai hµm trong thùc nghiÖm ta cÇn ®­a ra kh¸i niÖm vÒ sai sè (hoÆc ®é lÖch) sao cho mét mÆt nã chÊp nhËn ®­îc trong thùc tÕ, mét mÆt l¹i san b»ng nh÷ng sai sè ngÉu nhiªn (nghÜa lµ g¹t bá ®­îc nh÷ng yÕu tè ngÉu nhiªn t¸c ®éng vµo kÕt qu¶ cña thùc nghiÖm). Cô thÓ nÕu hai hµm thùc chÊt kh¸ gÇn nhau th× sai sè chóng ta ®­a ra ph¶i kh¸ bÐ trªn miÒn ®ang xÐt. Kh¸i niÖm vÒ sai sè nãi trªn cã nghÜa lµ kh«ng chó ý tíi nh÷ng kÕt qu¶ cã tÝnh chÊt c¸ biÖt mµ xÐt trªn mét miÒn nªn ®­îc gäi lµ sai sè trung b×nh ph­¬ng. 1.2.2 §Þnh nghÜa Theo ®Þnh nghÜa ta sÏ gäi lµ sai sè (hoÆc ®é lÖch) trung b×nh ph­¬ng cña hai hµm vµ trªn tËp , nÕu = . (2 – 1) 1.2.3 ý nghÜa cña sai sè trung b×nh ph­¬ng §Ó t×m hiÓu ý nghÜa cña sai sè trung b×nh ph­¬ng ta gi¶ thiÕt , (x) lµ nh÷ng hµm liªn tôc trªn ®o¹n vµ lµ tËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu trªn Theo ®Þnh nghÜa fÝch ph©n x¸c ®Þnh ta cã (2 – 2) Trong ®ã: = . (2 – 3) Gi¶ sö cã trªn mét sè h÷u h¹n cùc trÞ vµ lµ mét sè d­¬ng nµo ®ã cho tr­íc. Khi ®ã trªn sÏ cã k ®o¹n riªng biÖt sao cho (víi , ) Gäi lµ tæng c¸c ®é dµi cña k ®o¹n nãi trªn. Víi n ®ñ lín vµ ®ñ bÐ, tõ (2 – 2) ta suy ra < ( bÐ tïy ý). Tõ (2 – 3) suy ra > . Do ®ã . NghÜa lµ tæng ®é dµi cña c¸c ®o¹n sÏ bÐ tïy ý. Tãm l¹i: víi ®ñ bÐ (n kh¸ lín) th× trªn ®o¹n (trõ t¹i nh÷ng ®iÓm cña nh÷ng ®o¹n mµ cã tæng ®é dµi bÐ tïy ý), ta cã . Trong ®ã lµ mét sè d­¬ng tïy ý cho tr­íc. Tõ nhËn xÐt trªn ta rót ra nh÷ng ý nghÜa thùc tiÔn cña sai sè trung b×nh ph­¬ng nh­ sau: NÕu sai sè trung b×nh ph­¬ng cña hai hµm f(x) vµ trªn tËp hîp n ®iÓm (n ®ñ lín) mµ kh¸ bÐ th× víi tuyÖt ®¹i ®a sè gi¸ trÞ cña x trªn [a, b] cho sai sè tuyÖt ®èi gi÷a f(x) vµ kh¸ bÐ. 1.2.4 XÊp xØ hµm theo nghÜa trung b×nh ph­¬ng Tõ ý nghÜa cña sai sè trung b×nh ph­¬ng nãi trªn Ta nhËn thÊy nÕu c¸c gi¸ trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm vµ nÕu sai sè trung b×nh ph­¬ng = kh¸ bÐ th× hµm sÏ xÊp xØ kh¸ tèt víi hµm . C¸ch xÊp xØ mét hµm sè lÊy sai sè trung b×nh ph­¬ng lµm tiªu chuÈn ®¸nh gi¸ nh­ trªn gäi lµ xÊp xØ hµm theo nghÜa trung b×nh ph­¬ng. Râ rµng: NÕu hµm thu ®­îc b»ng thùc nghiÖm (nghÜa lµ ) th× c¸ch xÊp xØ nãi trªn ®· san b»ng nh÷ng sai l¹c t¹i tõng ®iÓm (n¶y sinh do nh÷ng sai sè ngÉu nhiªn cña thùc nghiÖm). §ã lµ lý do gi¶i thÝch lý do v× sao ph­¬ng ph¸p xÊp xØ theo nghÜa trung b×nh ph­¬ng ®­îc sö dông réng r·i trong thùc tiÔn. Ta xÐt tr­êng hîp lµ phô thuéc c¸c tham sè . (2 – 4) Trong sè nh÷ng hµm cã d¹ng (2 – 4) ta sÏ gäi hµm (2 – 5) lµ xÊp xØ tèt nhÊt theo nghÜa trung b×nh ph­¬ng víi hµm nÕu sai sè trung b×nh ph­¬ng víi lµ bÐ nhÊt. Cô thÓ lµ trong ®ã . (2 – 6) Tõ (2 – 6) ta nhËn thÊy (2 – 5) t­¬ng ®­¬ng víi ®¼ng thøc: . (2 – 7) Tõ ®ã viÖc t×m hµm xÊp xØ tèt nhÊt (trong sè nh÷ng hµm d¹ng (2 – 4) víi hµm ) sÏ ®­a vÒ t×m cùc tiÓu cña tæng b×nh ph­¬ng trong ®ã . Bëi vËy ph­¬ng ph¸p t×m xÊp xØ tèt nhÊt theo nghÜa trung b×nh cßn gäi lµ ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng tèi thiÓu ®Ó xÊp xØ hµm trong thùc nghiÖm. Ch­¬ng II C¸c ph­¬ng ph¸p xÊp xØ 2.1 XÊp xØ hµm trong thùc nghiÖm b»ng ®a thøc suy réng 2.1.1 §Þnh nghÜa Gi¶ sö cho hÖ hµm: Ta sÏ gäi hµm lµ ®a thøc suy réng cÊp m nÕu cã d¹ng . (3 – 1) Trong ®ã lµ c¸c hÖ sè h»ng sè. HÖ hµm ®· cho gäi lµ hÖ c¬ b¶n. 2.1.2 Néi dung Theo phÇn trªn vÒ t×m hµm xÊp xØ gi¶ sö ®· biÕt n gi¸ trÞ thùc nghiÖm cña hµm t¹i c¸c ®iÓm t­¬ng øng . Khi ®ã viÖc t×m mét ®a thøc suy réng cã d¹ng (3 – 1) mµ xÊp xØ víi hµm nãi trªn sÏ chuyÓn vÒ viÖc t×m m+1 hÖ sè trong (3 – 1). §Ó qu¸ tr×nh tÝnh to¸n ®­îc ®¬n gi¶n ta xÐt ®a thøc suy réng víi cÊp m kh«ng lín l¾m. Tuy nhiªn ta vÉn ph¶i chän n ®ñ lín do ®ã cã thÓ gi¶ thiÕt n m+1. Kh¸c víi bµi to¸n néi suy ë ®©y ta kh«ng cÇn x¸c ®Þnh m+1 gi¸ trÞ tõ n ph­¬ng tr×nh: (v× sè ph­¬ng tr×nh th­êng nhiÒu h¬n sè Èn). Ta sÏ ¸p dông ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng tèi thiÓu ®Ó t×m ®a thøc suy réng xÊp xØ tèt nhÊt víi hµm trªn . Trong (2 – 7) ta coi = = . Tõ ®ã ta suy ra: lµ ®iÓm cùc tiÓu cña hµm m+1 biÕn = . (3 – 2) Do ®ã lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh = 0 ; = 0 ; ……; = 0. HoÆc d¹ng t­¬ng ®­¬ng víi nã (3 - 3) Gäi lµ vÐc t¬ n chiÒu víi thµnh phÇn thø i lµ . Gäi lµ vÐc t¬ n chiÒu víi thµnh phÇn thø i lµ . Theo ®Þnh nghÜa tÝch v« h­íng c¸c vÐc t¬ ta cã ; (3 – 4) Do ®ã (3 – 3) ®­îc chuyÓn vÒ d¹ng (3 - 5) Ta nhËn thÊy (3 – 5) lµ hÖ (m + 1) ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh dïng ®Ó x¸c ®Þnh m + 1 hÖ sè: trong ®a thøc xÊp xØ . Ma trËn cña hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (3 – 5) cã c¸c phÇn tö lµ , do ®ã lµ mét ma trËn ®èi xøng (dùa vµo tÝnh chÊt giao ho¸n cña tÝch v« h­íng). Ta sÏ gäi hÖ ph­¬ng tr×nh (3 – 5) lµ hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn. §Þnh thøc cña hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn cã d¹ng G( = (3 – 6) Ta gäi ®Þnh thøc lµ ®Þnh thøc Gram cña hÖ vÐc t¬ trªn tËp ®iÓm . Mµ ta ®· biÕt: NÕu hµm c¬ së lµ hÖ hµm ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn th× trong sè nh÷ng ®a thøc suy réng cÊp m cã d¹ng (3 – 1) lu«n tån t¹i mét ®a thøc suy réng . (3 – 1’) Lµ xÊp xØ tèt nhÊt theo nghÜa trung b×nh ph­¬ng ®èi víi hµm . Ngoµi ra cßn cã thÓ chøng minh khi hÖ c¬ së lµ nh÷ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn th× . NghÜa lµ trong tr­êng hîp nµy hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn (3 – 5) cã vµ duy nhÊt nghiÖm øng víi c¸c hÖ sè cña ®a thøc (3 – 1’) xÊp xØ tèt nhÊt víi hµm (theo nghÜa trung b×nh ph­¬ng). Do vËy ta cã thÓ cho r»ng hÖ hµm c¬ së nghÜa lµ hÖ hµm ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn ®o¹n . 2.1.3 Sai sè cña ph­¬ng ph¸p. Cïng víi viÖc t×m hµm xÊp xØ cho hµm ta cÇn ®¸nh gi¸ sai sè hoÆc ®é lÖch cña nã ®èi víi hµm . Sai sè ë ®©y hiÓu theo nghÜa trung b×nh ph­¬ng. Cô thÓ lµ ta ®i t×m ®¹i l­îng . (3 – 7) Tõ (3 – 1’) ta cã = [ . (3 – 8) MÆt kh¸c =. (3 – 9) KÕt hîp (3 – 9) víi (3 – 5) ta cã: . Thay kÕt qu¶ trªn vµo (3 – 8) ta cã: . (3 – 10) Thay (3 – 10) vµo (3 – 7) ta cã . (3 – 11) Trong ®ã lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn (3 – 5). 2.1.4. Më réng trªn hÖ trùc giao. 2.1.4.1 §Þnh nghÜa: §Ó ®¬n gi¶n hãa kÕt qu¶ trªn th× ta ®Þnh nghÜa vÒ hÖ hµm trùc giao nh­ sau: HÖ hµm gäi lµ hÖ trùc giao trªn tËp nÕu (3 – 12) Sè mµ gäi lµ chuÈn cña hµm trªn tËp hîp . Trong tr­êng hîp hÖ hµm trùc giao mµ th× hÖ hµm ®­îc gäi lµ hÖ trùc chuÈn trªn tËp hîp . 2.1.4.2 TiÕp cËn lêi gi¶i Tõ mét hÖ c¬ së bÊt kú bao giê còng lËp ®­îc mét hÖ trùc chuÈn t­¬ng øng sao cho mçi hµm cña hÖ trùc chuÈn lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c hµm trong hÖ c¬ së ®· cho: . (3 – 13) Tõ (3 – 5) vµ (3 – 12) ta nhËn thÊy r»ng: NÕu lµ hÖ trùc giao th× ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt (3 – 1’) cña cã c¸c hÖ sè cho bëi c«ng thøc . Hay . (3 – 14) Tõ ®ã ta cã 2.1.4.3 Sai sè cña ph­¬ng ph¸p Dùa trªn (3 – 11) ta suy ra sai sè trung b×nh ph­¬ng cña ®a thøc xÊp xØ lµ: . (3 – 15) V× nªn tæng: lµ mét ®¹i l­îng ®¬n ®iÖu t¨ng theo m. Do ®ã tõ (3 – 15) ta suy ra sai sè trung b×nh ph­¬ng sÏ gi¶m khi m t¨ng. Tãm l¹i nÕu cÊp m cña ®a thøc xÊp xØ (3 – 1’) (víi hÖ c¬ së lµ trùc giao) cµng lín th× ®a thøc xÊp xØ cµng tèt. 2.1.4.4. Chó ý Mét ®Æc ®iÓm chó ý ë ®©y lµ: Trong tr­êng hîp chung khi cÇn thay ®æi cÊp m cña ®a thøc xÊp xØ (3 – 1’) th× hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn (3 – 5) dïng ®Ó x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cña ®a thøc hoµn toµn thay ®æi. Do ®ã qu¸ tr×nh t×nh to¸n (gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn) cÇn lµm l¹i tõ ®Çu. Tuy nhiªn khi hÖ hµm c¬ së lµ trùc giao th× muèn thay ®æi cÊp m cña ®a thøc xÊp xØ (3 – 1’) (ch¼ng h¹n t¨ng tõ m lªn m+1) ta chØ cÇn thªm sè tõ c«ng thøc (3 – 14). Cßn c¸c hÖ sè ®· thu ®­îc cho ®a thøc vÉn dïng ®­îc cho ®a thøc . NhËn xÐt trªn rÊt bæ Ých vÒ mÆt thùc hµnh tÝnh to¸n v× khi muèn xÊp xØ mét hµm thùc nghiÖm b»ng mét ®a thøc suy réng cÊp m (3 – 1’): do khu«n khæ cña sù tÝnh to¸n ta kh«ng cÇn chän ngay tõ ®Çu sè m ®ñ lín. Khi ®ã nÕu hÖ hµm c¬ së lµ mét hÖ trùc giao th× khi xuÊt ph¸t ta cã thÓ chän sè m nhá (ch¼ng h¹n m = 1 hoÆc 2). Sau khi thùc hµnh tÝnh to¸n nÕu thÊy sai sè trung b×nh ph­¬ng t­¬ng øng ch­a ®ñ bÐ (so víi yªu cÇu) th× ta cã thÓ t¨ng dÇn sè m lªn vµ tÝnh thªm c¸c hÖ sè bæ sung (tõ c«ng thøc (3 – 14)). 2.2 XÊp xØ hµm trong thùc nghiÖm b»ng ®a thøc ®¹i sè 2.2.1 §Æt vÊn ®Ò Gi¶ sö biÕt n gi¸ trÞ thùc nghiÖm cña hµm t¹i c¸c ®iÓm t­¬ng øng. Ta ®Æt vÊn ®Ò xÊp xØ hµm bëi mét ®a thøc cÊp m cã d¹ng . (4 – 1) 2.2.2 TiÕp cËn lêi gi¶i §Ó gi¶i bµi to¸n nµy ta ¸p dông nh÷ng kÕt qu¶ tæng qu¸t ë phÇn II, trong ®ã hÖ hµm c¬ së cã d¹ng , , …, . (4 – 2) khi ®ã tõ (3 – 4) ta cã vµ . (4 – 3) Dùa vµo (3 – 5) ta suy ra c¸c hÖ sè cña ®a thøc xÊp xØ (4 – 1) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn cã d¹ng sau (4 – 4) 2.2.3 Sai sè trung b×nh Tõ (3 – 7) vµ (3 – 11) ta suy ra sai sè trung b×nh cña ®a thøc xÊp xØ cã d¹ng (4 – 4) lµ: . (4 – 5) VÒ mÆt thùc hµnh, ®Ó t×m c¸c hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh chuÈn (4 – 4) ta lµm theo l­îc ®å trong b¶ng 1. C¸c hÖ sè vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh ®Çu tiªn cho bëi c¸c tæng « lÇn l­ît tõ cét (1) ®Õn cét (m), cña ph­¬ng tr×nh thø 2 cho bëi c¸c tæng lÇn l­ît tõ cét 2 ®Õn cét (m+1), … cßn c¸c vÕ ph¶i cña (4 – 4) cho bëi c¸c tæng ë lÇn l­ît tõ cét (2m+2) ®Õn cét cuèi cïng (3m+2). … … (1) (2) (3) (2m+1) (2m+2) (2m+3) (2m+4) (3m+2) 1 … 1 … … … … … … … … … … … … … … … n … … B¶ng 1 2.2.4 Tr­êng hîp c¸c mèc c¸ch ®Òu §èi víi tr­êng hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu nhau: th× qu¸ tr×nh tÝnh to¸n sÏ ®¬n gi¶n h¬n rÊt nhiÒu. D­íi ®©y ta sÏ tr×nh bµy kÕt qu¶ trong tr­êng hîp nµy. Tr­êng hîp 1: NÕu n lµ sè lÎ (). §Æt hay . Do ®ã khi nhËn c¸c gi¸ trÞ th× nhËn c¸c gi¸ trÞ nguyªn sau: . Sau phÐp ®æi biÕn (4 – 8) th× ®a thøc (4 – 1) còng cã bËc m vµ cã d¹ng . (4 – 9) T­¬ng tù nh­ (4 – 4) c¸c hÖ sè b cña (4 – 9) thu ®­îc tõ hÖ ph­¬ng tr×nh (4 – 10) HÖ ph­¬ng tr×nh (4 – 10) so víi hÖ (4 – 4) ®¬n gi¶n h¬n rÊt nhiÒu v× c¸c tæng nh÷ng lòy thõa lÎ cña b»ng 0 . (4 – 11) Tr­êng hîp 2: ch½n () Ta ®Æt hoÆc . (4 – 12) Khi ®ã nÕu x nhËn c¸c gi¸ trÞ x, x, … , x th× u nhËn c¸c gi¸ trÞ nguyªn sau ®©y vµ trong hÖ (4 – 10) còng v¾ng mÆt nh÷ng tæng c¸c lòy thõa lÎ cña u: . (4 – 13) Tãm l¹i, trong méi tr­êng hîp ( lÎ hoÆc ch½n) vÕ tr¸i cña (4 – 10) ®Òu v¾ng mÆt c¸c hÖ sè cã d¹ng ( lµ sè lÎ). Ngoµi ra c¸c hÖ sè cßn l¹i cña vÕ tr¸i (cã d¹ng , ch½n) chØ phô thuéc vµo n (v× nhËn c¸c gi¸ trÞ nguyªn). Do ®ã cã thÓ lËp nh÷ng b¶ng tÝnh s½n c¸c hÖ sè nµy (tïy thuéc vµo n). Cuèi cïng, sau viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh (4 – 10) ta thu ®­îc d­íi d¹ng (4 – 9). §Ó trë l¹i d­íi d¹ng (4 – 1) ta cÇn lµm phÐp ®æi biÕn ng­îc l¹i ®Ó chuyÓn biÕn vÒ biÕn x ban ®Çu. Cô thÓ trong thu ®­îc ta sÏ dïng c«ng thøc ®æi biÕn (4 – 8) nÕu n lÎ, dïng c«ng thøc (4 – 12) nÕu n ch½n. D­íi ®©y ta x©y dùng c«ng thøc cô thÓ hÖ (4 – 10) trong c¸c tr­êng hîp m = 1, m = 2. Tr­êng hîp m = 1, nghÜa lµ (4 – 9) cã d¹ng: . §ång thêi (4 – 10) cã d¹ng (4 – 4) Tõ ®ã suy ra (4 – 14) Tr­êng hîp m = 2 nghÜa lµ (4 – 9) cã d¹ng Vµ khi ®ã (4 – 10) cã d¹ng: Gi¶i hÖ 3 ph­¬ng tr×nh trªn ta ®­îc (4 – 15) NÕu ta gäi (4 – 16) Khi ®ã c¸c kÕt qu¶ (4 – 14) vµ (4 – 15) cã thÓ tãm t¾t trong b¶ng 2. Ngoµi ra tõ (4 – 16) ta nhËn thÊy c¸c sè theo nh÷ng gi¸ trÞ lÎ cña n tõ 3 ®Õn 21 ë b¶ng 3. Trong phÇn d­íi cña b¶ng 4 cho c¸c sè theo nh÷ng gi¸ trÞ ch½n cña n tõ 4 ®Õn 22. m C¸c hÖ sè cña Q(u) b b b 1 2 B¶ng 2 (§Ó ®¬n gi¶n trong phÇn nµy ta hiÓu lµ ) Víi n lÎ: n 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 333333.10 200000.10 142857.10 111111.10 909091.10 769231.10 666667.10 588235.10 526316.10 476190.10 500000.10 100000.10 357143.10 166667.10 909091.10 549451.10 357143.10 245098.10 175439.10 129870.10 100000.10 485714.10 333333.10 255411.10 207459.10 174825.10 151131.10 133127.10 118973.10 107551.10 100000.10 142857.10 476190.10 216450.10 116550.10 699301.10 452489.10 309598.10 221141.10 163452.10 150000.10 714286.10 119048.10 324675.10 116550.10 499500.10 242405.10 128999.10 737137.10 445778.10 B¶ng 3 Víi n ch½n: n 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 250000.10 166667.10 125000.10 100000.10 833333.10 714286.10 625000.10 555556.10 500000.10 454545.10 500000.10 142857.10 595283.10 303030.10 174825.10 109890.10 735294.10 515996.10 375940.10 282326.10 640625.10 394531.10 289062.10 228906.10 189732.10 162109.10 141555.10 125651.10 112973.10 102628.10 781250.10 195312.10 781250.10 390625.10 223214.10 139509.10 930060.10 651042.10 473485.10 355114.10 156250.10 167411.10 372024.10 118371.10 468282.10 214629.10 109419.10 604683.10 356004.10 220567.10 B¶ng 4 2.3 XÊp xØ hµm trong thùc nghiÖm b»ng ®a thøc trùc giao 2.3.1 §Þnh nghÜa hÖ hµm trùc giao XÐt hÖ ®a thøc: (5 – 1) Trong ®ã , , , … Tæng qu¸t . (5 – 2) Theo ®Þnh nghÜa ta sÏ gäi (5 – 1) lµ hÖ ®a thøc trùc giao trªn tËp hîp , nÕu (5 – 1) lµ hÖ hµm trùc giao trªn tËp . Cô thÓ lµ: (5 – 3) 2.3.2 §Æt vÊn ®Ò Tõ ®Þnh nghÜa ta nhËn thÊy hÖ ®a thøc trùc giao lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña hÖ hµm trùc giao. Do ®ã ta ¸p dông kÕt qu¶ ë phÇn 2.3 víi . Cô thÓ lµ: khi cho u c¸c gi¸ trÞ thùc nghiÖm cña hµm t¹i c¸c ®iÓm x (i = 1, 2, …, n) ta ®Æt vÊn ®Ò xÊp xØ hµm bëi mét ®a thøc suy réng cÊp m (víi hÖ c¬ së (5 – 1)) cã d¹ng . (5 – 4) Tõ (3 – 14) ta suy ra c¸c hÖ sè cña (5 – 4) cã thÓ thu ®­îc tõ c«ng thøc . (5 - 5) Tõ (3 - 11) ta suy ra sai sè trung b×nh ph­¬ng cña ®a thøc xÊp xØ lµ . (5 - 6) ë ®©y (cã d¹ng (5 – 4)) lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnhcña nh÷ng ®a thøc ®¹i sè cÊp tõ 0 ®Õn m, do ®ã thùc chÊt còng lµ mét ®a thøc cÊp m (nh­ cho bëi (4 – 1)). NghÜa lµ hµm xÊp xØ còng lµ mét ®a thøc ®¹i sè th«ng th­êng nh­ ®· thu ®­îc trong phÇn (2.4). Tuy nhiªn do tÝnh trùc giao cña hµm c¬ së (5 – 1) nªn kh¸c víi phÇn 2.4 ë ®©y ta kh«ng cÇn gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn mµ t×m c¸c hÖ sè cña ®a thøc (5 – 4) trùc tiÕp tõ c«ng thøc (5 – 5) ®· chØ ra ë trªn. Ngoµi ra do nh÷ng ®Æc ®iÓm cña hÖ hµm trùc giao ta cã thÓ t¨ng dÇn cÊp cña mµ kh«ng cÇn ph¶i lµm l¹i tõ ®Çu qu¸ tr×nh tÝnh to¸n. §ã chÝnh lµ ­u ®iÓm cña ph­¬ng ph¸p xÊp xØ hµm ë ®©y so víi nh÷ng kÕt qu¶ thu ®­îc trong phÇn (2.4). 2.3.3 Néi dung cña ph­¬ng ph¸p Néi dung chñ yÕu cña viÖc t×m ®a thøc xÊp xØ (5 – 4) thùc chÊt lµ t×m hÖ thøc trùc giao (5 – 1). §Ó lµm ®­îc ®iÒu nµy ta t×m c«ng thøc truy håi ®Ó x¸c ®Þnh lÇn l­ît c¸c ®a thøc trùc giao cña hÖ (5 – 1). Tr­íc hÕt ta ®i t×m nh÷ng hµm ®Çu tiªn: cña hÖ (5 – 1). Theo ®Þnh nghÜa th× . Ngoµi ra, tõ (5 – 2) ta thÊy cã d¹ng . §Ó x¸c ®Þnh hÖ sè trong (5 – 8) ta sö dông ®iÒu kiÖn ®Çu tiªn trong (5 – 3) víi r = 1 vµ s = 0 . Tõ ®ã suy ra: . Thay kÕt qu¶ nµy vµo (5 – 8) ta cã . (5 – 9) §Ó x¸c ®Þnh nh÷ng ®a thøc trùc giao cña hÖ cßn l¹i cña hÖ (5 – 1): ta sÏ chøng minh bæ ®Ò sau ®©y Bæ ®Ò1: Mäi ®a thøc trùc giao cÊp r +1 (r 1): cña hÖ (5 – 1) ®­îc x¸c ®Þnh theo c¸c ®a thøc vµ tõ c«ng thøc truy håi sau . (5 – 10) Trong ®ã Chøng minh Tõ (5 – 3) ta cã: . (5 – 13) Tõ (5 – 10) ta l¹i cã == =. (5 – 14) Nh­ng VËy tõ (5 – 14) suy ra . (5 – 15) KÕt hîp (5 – 13) vµ (5 – 15) ta cã . Hay (*) Tõ (5 – 3) ta còng cã . (5 – 16) Tõ (5 – 10) ta còng cã = = = . (5 – 17) Nh­ng . Nªn tõ (5 – 17) suy ra . (5 – 18) KÕt hîp (5 – 16) vµ (5 – 18) ta cã: . Hay . (* *) Tõ (*) vµ (* *) th× bæ ®Ò 1 ®­îc chøng minh hoµn toµn. Tuy nhiªn ®Ó ®¬n gi¶n c¸c tö sè vµ mÉu sè cña c¸c c«ng thøc vµ ta sÏ chøng minh bæ ®Ò sau Bæ ®Ò 2: C¸c tö vµ mÉu sè cña c¸c c«ng thøc (5 – 11) vµ (5 – 12) cã thÓ khai triÓn thµnh tæng nh÷ng lòy thõa cã d¹ng: . (5 – 19) Cô thÓ lµ + = =. (5 – 20) + . (5 – 21) + (5 – 22) trong ®ã , , … , lµ c¸c hÖ sè cña ®a thøc cho d­íi d¹ng (5 – 2). Chøng minh Tõ (5 – 2) ta cã thÓ viÕt lÇn l­ît c¸c ®a thøc d­íi d¹ng (5 – 23) Ta cã . . Tæng qu¸t . Hay ta cã thÓ thu ®­îc (5 – 24) Víi k < r vµ dùa trªn (5 – 24) ta cã = = = = = = = + … + . Tõ ®ã dùa trªn (5 – 3) ta cã (víi k < r) = 0 + .0 + …+ .0 = 0. (5 – 25) Gi¶ sö lµ ®a thøc bËc s < r . Khi ®ã = = = . Tõ ®ã dùa trªn (5 – 25) ta cã . (5 – 26) Ngoµi ra dùa trªn (5 – 2) ta cã = = = . KÕt hîp víi (5 – 25) ta cã = . (5 – 27) Dùa trªn (5 – 2) ta cã = = . (5 – 28) KÕt hîp (5 – 27) vµ (5 – 28) ta suy ra (5 – 20) MÆt kh¸c v× lµ ®a thøc bËc r – 1 víi hÖ sè cña lµ 1 nªn lµ ®a thøc bËc r víi hÖ sè cña lµ 1. Do ®ã ta cã thÓ viÕt . (5 – 29) Trong ®ã lµ ®a thøc bËc r – 1. Tõ (5 – 29) suy ra = = . (5 – 30) Nh­ng dùa trªn (5 – 26) ta cã = 0. Do ®ã tõ (5 – 30) ta thu ®­îc (5 – 21) . Cuèi cïng tõ (5 – 2) ta cã . (5 – 31) Trong ®ã lµ mét ®a thøc cÊp r – 2 Tõ (5 – 31) suy ra . (5 – 32) Trong ®ã lµ ®a thøc bËc r – 1. Tõ (5 – 32) ta cã . Do ®ã suy ra = = = . (5 – 33) Nh­ng dùa trªn (5 – 26) ta cã . (5 – 34) MÆt kh¸c dùa trªn (5 – 2) ta cã = = = . (5 – 35) Thay (5 – 34), (5 – 35) vµo (5 – 33) ta thu ®­îc (5 – 22) tøc lµ . Tõ ®ã bæ ®Ò 2 hoµn toµn ®­îc chøng minh. Tõ bæ ®Ò 1 vµ bæ ®Ò 2 ta nhËn thÊy r»ng: §Ó thu ®­îc c¸c ®a thøc trùc giao cña hÖ (5 – 1), tõ c¸c c«ng thøc (5 – 10) vµ (5 – 12) ta cÇn tÝnh tÊt c¶ c¸c tæng nh÷ng lòy thõa cã d¹ng . Ngoµi ra khi ¸p dông c«ng thøc (5 – 5) ®Ó t×m c¸c hÖ sè cña (5 – 4) l¹i cÇn tÝnh c¸c tæng , …, ë mÉu sè cña c«ng thøc. NghÜa lµ dùa trªn (5 – 20) cÇn tÝnh c¸c tæng nh÷ng lòy thõa . Cßn c¸c tö sè cña c«ng thøc (5 – 5) lÇn l­ît lµ . §Ó tÝnh mçi tö sè nµy ta dùa vµo (5 – 2) vµ dùa vµo khai triÓn . = = . (5 – 36) Tãm l¹i: §Ó t×m hµm xÊp xØ ta cÇn t×m 2m tæng vµ m tæng . Khi ®ã trong b¶ng tÝnh to¸n gi¶i bµi to¸n mçi tæng nãi trªn ®­îc lËp theo mét cét. 2.3.4 Sai sè cña ph­¬ng ph¸p Cuèi cïng ®Ó tÝnh sai sè trung b×nh ph­¬ng mét c¸ch thuËn lîi ta dïng c«ng thøc (5 – 6) . Nªn khi tÝnh to¸n ta cÇn tÝnh thªm tæng . Khi sai sè trung b×nh ph­¬ng t×m ®­îc ch­a ®ñ bÐ (nghÜa lµ m ch­a ®ñ lín) ta cÇn t¨ng dÇn cÊp m cña hµm xÊp xØ . Khi ®ã trong b¶ng tÝnh cò cÇn bæ xung nh÷ng cét tÝnh vµ míi nh­ng kÕt qu¶ cò vÉn ®­îc sö dông. 2.4 XÊp xØ hµm b»ng ®a thøc l­îng gi¸c 2.4.1 §Þnh nghÜa ®a thøc l­îng gi¸c Trong thùc tÕ khi tÝnh to¸n ta gÆp nh÷ng hµm cã tÝnh chÊt tuÇn hoµn. Ta t×m c¸ch xÊp xØ mét hµm ®Ó ph¶n ¸nh ®­îc ®Æc ®iÓm riªng cña nã. Khi ®ã tõ ®a thøc suy réng tæng qu¸t . (6 – 1) LÊy hÖ hµm l­îng gi¸c lµm hµm c¬ së. Ta gi¶ thiÕt r»ng c¸c hµm xÐt trªn ®o¹n . Trªn ®o¹n cã ®é dµi th× hÖ hµm l­îng gi¸c . Lµ tuÇn hoµn vµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Khai triÓn hµm theo c¬ së (6 – 1) gäi lµ khai triÓn l­îng gi¸c hay khai triÓn Fourier. Tøc lµ hµm xÊp xØ lµ mét ®a thøc l­îng gi¸c cã d¹ng . (6 – 2) Trong ®ã lµ nh÷ng h»ng sè vµ k lµ sè tù nhiªn nµo ®ã. 2.4.2 ThuËt to¸n 2.4.2.1 Tr­êng hîp hµm cho b»ng b¶ng Cô thÓ biÕt n gi¸ trÞ cña hµm t¹i c¸c ®iÓm vµ gi¶ sö ë ®©y ta coi . (6 – 3) Khi ®ã . (6 – 4) Víi th× (6 – 5) (6 – 6) (6 – 7) Dùa trªn c¸c c«ng thøc (6 – 4) (6-7) ta thÊy hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn (3 – 5) ®Ó x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cña ®a thøc xÊp xØ (6 – 1) cã d¹ng (6 – 8) Trong gi¶i tÝch ng­êi ta chøng minh r»ng: HÖ hµm l­îng gi¸c c¬ b¶n (6 – 1) lµ hÖ hµm ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn toµn trôc sè . NghÜa lµ hÖ ph­¬ng tr×nh chuÈn (6 – 8) lu«n vµ cã duy nhÊt nghiÖm. Sai sè trung b×nh ph­¬ng cña ®a thøc víi hµm cã d¹ng tæng qu¸t lµ . (6 – 9) HoÆc tØ mØ h¬n nÕu sö dông (3-11) vµ (6-7) ta thu ®­îc . (6 – 10) C¸c h»ng sè trong (6 – 10) lµ nghiÖm cña (6 – 8). Trªn ®©y ®· tr×nh bµy mét ph­¬ng ph¸p ®Ó x©y dùng mét ®a thøc l­îng gi¸c xÊp xØ víi hµm trong ®ã c¸c ®iÓm cã vÞ trÝ bÊt kú. B©y giê ta xÐt tr­êng hîp c¸c ®iÓm n»m trªn kho¶ng vµ c¸ch ®Òu nhau. NghÜa lµ: . Trong ®ã . (6 – 11) §Ó chØ ra tÝnh trùc giao cña hÖ l­îng gi¸c (6-1) trªn tËp hîp nãi trªn ta sÏ chøng minh bæ ®Ò sau Bæ ®Ò 3 Víi vµ lµ nh÷ng ®iÓm cña tËp hîp , ta cã c¸c ®¼ng thøc sau (6 – 12) (6 – 13) (6 – 14) . (6 – 15) Chøng minh Nh­ ta ®· biÕt c«ng thøc Ole sau ®©y . (6 – 16) Trong ®ã x lµ mét sè thùc cßn i lµ ®¬n vÞ ¶o (nghÜa lµ =-1) B»ng c¸ch ®ång nhÊt thøc c¸c phÇn thùc vµ c¸c phÇn ¶o víi nhau ta nhËn thÊy khi vµ chØ khi (p lµ mét sè nguyªn). Tõ ®ã ta nhËn thÊy khi th× . Vµ ¸p dông c«ng thøc tÝnh tæng n tõ mét chuçi sè nh©n (c«ng béi lµ ) ta cã . (6 – 17) V× (nghÜa lµ mét sè nguyªn) nªn theo nhËn xÐt rót ra tõ c«ng thøc ¬le (6 – 16) ta cã . Tõ ®ã dùa trªn (6 – 17) ta cã .(6 – 18) Tõ (6 – 16) vµ (6 – 18) ta l¹i cã . (6 – 19) §ång nhÊt c¸c phÇn thùc vµ phÇn ¶o tõ vÕ ®Çu tiªn vµ vÕ sau cïng cña (6 – 19) ta ®­îc . (6 – 20) Trong (6 – 20) lÊy q = r (r = 1, 2, …, k) ta thu ®­îc (6 – 12) vµ lÊy q = r + s (r = 1, …, k; s = 1, …, k) ta cã . (6 – 21) . (6 – 22) Trong (6 – 20) lÊy q = r - s (r = 1, …,k; s = 1, …,k; r s). Ta cã . (6 – 23) . (6 – 24) Nh­ng khi r = s th× nªn ®¼ng thøc (6 – 24) dïng trong c¶ hai tr­êng hîp r=s nghÜa lµ . (6 - 24’) Theo biÕn ®æi l­îng gi¸c ta l¹i cã . (6 – 25) . (6 – 26) . (6 – 27) Dùa trªn (6 – 21), (6 – 23) tõ (6 – 25) vµ (6 – 26) ta thu ®­îc (6 – 14) Dùa trªn (6 – 22), (6 – 24) tõ (6 – 27) ta thu ®­îc (6 – 13) Ta xÐt biÕn ®æi l­îng gi¸c . (6 – 28) . (6 – 29) Tõ (6 – 20) ta l¹i cã . (6 – 30) Tõ (6 – 28), (6 – 29) vµ (6 – 30) ta suy ra (6 – 15). VËy bæ ®Ò hoµn toµn ®­îc chøng minh. Vµ ta rót ra c¸c hÖ sè cña ®a thøc lµ: ; (r = 1, …, k). 2.4.2.2 Tr­êng hîp hµm cho b»ng biÓu thøc Ta vÉn xÐt c¸c hµm trªn ®o¹n vµ dïng hµm c¬ së nh­ d¹ng hµm cho b»ng b¶ng. Theo ®Þnh nghÜa tÝch v« h­íng , . (6 – 31) Víi th×: (6 – 32) (6 – 33) (6 – 34) Trªn ®o¹n cã ®é dµi th× hÖ c¬ së (6 – 1) lµ c¬ së trùc giao. Do ®ã ta tÝnh c¸c hÖ sè theo c«ng thøc: Sai sè trung b×nh ph­¬ng cña ®a thøc Ch­¬ng III: C¸c vÝ dô minh häa 3.1 §a thøc ®¹i sè 3.1.1 VÝ dô 1 Bµi to¸n: Sö dông ph­¬ng ph¸p binh ph­¬ng tèi thiÓu t×m ®a thøc bËc 2: xÊp xØ víi hµm cho bëi b¶ng 5 sau B¶ng 5 x 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81 y 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28 ë ®©y m = 2, n = 5 vµ tõ b¶ng 1 ta thu ®­îc b¶ng 6 ®Ó tÝnh c¸c hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh chuÈn. (Qu¸ tr×nh tÝnh to¸n thùc hiÖn víi 3 ch÷ sè sau dÊu phÈy). B¶ng 6 1 1 1 1 1 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81 0.608 20434 5.476 9.734 14.516 0.475 3.796 12.813 30.371 55.306 0.370 5.922 29.982 94.759 210.717 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28 1.950 1.872 2.621 7.020 16.307 1.520 2.921 6.133 21.902 62.128 5 11.61 32.768 102.761 341.750 11.35 29.770 94.604 Tõ ®ã suy ra c¸c hÖ sè : cña ®a thøc xÊp xØ cho tõ hÖ ph­¬ng tr×nh (4 – 6) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh (4 – 6), ta cã . Do ®ã ®a thøc xÊp xØ cÇn t×m cã d¹ng . §Ó so s¸nh c¸c víi P vµ chuÈn bÞ tÝnh sai sè trung b×nh ph­¬ng ta thùc hiÖn tÝnh to¸n trªn b¶ng 7. B¶ng 7 x y P P-y [P-y] 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 2,505 1,194 1,110 2,252 4,288 0,005 -0,006 -0,010 0,002 0,008 0,000025 0,000036 0,000100 0,000004 0,000064 Suy ra =0,000229. Vµ sai sè trung b×nh ph­¬ng ==0,007. 3.1.2 VÝ dô 2 Bµi to¸n: ¸p dông ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng tèi thiÓu ®Ó t×m ®a thøc bËc 3: xÊp xØ víi hµm cho theo b¶ng ë thÝ dô 1. Trong thÝ dô nµy ta cã m = 3, n = 5 vµ tõ b¶ng 1 ta thu ®­îc b¶ng 8 ®Ó tÝnh c¸c hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh chuÈn. (Qu¸ tr×nh tÝnh to¸n ®­îc thùc hiÖn víi 3 ch÷ sè sau dÊu phÈy). B¶ng 8 x x x x x x x y xy xy xy 1 1 1 1 1 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 0,608 2,434 5,476 9,734 14,516 0,475 3,796 12,813 30,371 55,306 0,370 5,922 29,982 94,759 210,717 0,289 9,239 70,158 295,647 802,832 0,225 14,413 164,171 922,418 3058,791 2,50 1,20 1,12 2,25 4028 1,950 1,872 2,621 7,020 16,307 1,520 2,921 6,133 21,902 62,128 1,186 4,556 14,350 68,335 236,711 5 11,61 32,768 102,761 341,750 1178,165 4160,017 11,35 29,770 94,604 305,139 Nh­ vËy c¸c hÖ sè cña ®a thøc xÊp xØ lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh sau (4 – 7) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh (4 – 7) ta cã: ; ; ; . Do ®ã ®a thøc xÊp xØ cÇn t×m cã d¹ng . (4 – 8) §Ó so s¸nh c¸c víi vµ tÝnh sai sè trung b×nh ph­¬ng ta thùc hiÖn tÝnh to¸n trªn b¶ng 9. B¶ng 9 x y 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 2,504 1,195 1,114 2,251 4,286 0,004 -0,005 -0,006 0,001 0,006 0,000016 0,000025 0,000036 0,000001 0,000036 3.2 §a thøc trùc giao 3.2.1 VÝ dô 1 Bµi to¸n: XÊp xØ hµm cho trong cét (2) vµ (3) cña b¶ng 10 sao cho sai sè trung b×nh ph­¬ng cña c«ng thøc xÊp xØ kh«ng v­ît qu¸ 0,1. Víi n = 11 B¶ng 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,15411 0,19516 0,22143 0,28802 0,32808 0,38183 0,45517 0,57012 0,57930 0,91075 0,13895 19,47 21,83 23,11 26,11 27,60 28,89 33,17 33,38 32,31 31,88 25,46 0,02375 0,03809 0,04903 0,08296 0,10764 0,14579 0,20718 0,32504 0,57654 0,82947 1,29721 0,00366 0,00743 0,01086 0,02389 0,03531 0,05567 0,09430 0,18531 0,43776 0,75544 1,47745 0.00056 0,00145 0,00240 0,00688 0,01159 0,02126 0,04292 0,10565 0,33239 0,68801 1,68275 3,00052 4,26034 5,11725 7,52020 9,05501 11,03107 15,09799 19,03061 24,53298 29,03471 28,99767 0,46241 0,83150 1,13308 2,16609 2,97086 4,21187 6,87216 10,84984 18,62801 26,44350 33,02697 379,08 476,55 534,07 681,73 761,76 824,63 1100,25 1114,22 1043,94 1016,33 648,21 5,40292 303,21 3,68270 3,08708 2,89586 156,67835 107,59629 8590,77 XÐt m = 1 vµ t×m hµm xÊp xØ cã d¹ng . (2 – 1) §Ó tÝnh ta lËp c¸c cét (2), (3), (4), (7) cña b¶ng 10, tõ ®ã ta cã . NghÜa lµ . Khi ®ã . Vµ . . . Thay kÕt qu¶ b»ng sè , , vµo (2 – 1) . Sai sè trung b×nh ph­¬ng lµ . Theo yªu cÇu cña bµi to¸n th× sai sè cßn lín (). Bëi vËy chóng ta cÇn t¨ng cÊp cña ®a thøc xÊp xØ lªn mét ®¬n vÞ. Cô thÓ ta cÇn lËp hµm xÊp xØ . (2 – 2) §Ó t×m trong d¹ng (2 – 2) ta chØ cÇn t×m thªm vµ . Trong qu¸ tr×nh nµy ta thùc hiÖn tÝnh to¸n ë cét (5), (6) vµ (8). Vµ ta cã VËy dùa vµo c¸c c«ng thøc (5 – 11) vµ (5 – 12) ta cã: Tõ ®ã ¸p dông (5 – 10) ta suy ra NghÜa lµ ; . §Ó tÝnh tr­íc hÕt ta dùa trªn (5 – 36) ta cã Dùa trªn (5 – 20) ta cã Tõ ®ã ¸p dông c«ng thøc (5 – 5) ta ®­îc . Tõ vµ míi t×m ®­îc, trë l¹i (5 – 38) ta cã §Ó tÝnh sai sè trung b×nh ph­¬ng cña ®a thøc xÊp xØ ta tÝnh ¸p dông c«ng thøc (5 – 6) ta t×m ®­îc sai sè trung b×nh ph­¬ng ®èi víi ®a thøc xÊp xØ lµ . Ta nhËn thÊy r»ng sai sè nµy ®· tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n (). Do ®ã ta cã thÓ dïng ®a thøc bËc hai ®Ó xÊp xØ hµm ®· cho. Vëy hµm xÊp xØ t×m ®­îc lµ: Trong tr­êng hîp nÕu yªu cÇu bµi to¸n cÇn nhá h¬n n÷a th× ta tiÕp tôc t¨ng cÊp cña ®a thøc lªn råi tÝnh. ë ®©y ta xÐt m = 3 tøc lµ ta t×m hµm xÊp xØ . §Ó t×m ta chØ cÇn tÝnh thªm vµ . Trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n nµy ta thùc hiÖn qu¸ tr×nh tÝnh to¸n ë c¸c cét (7), (8) vµ (11) cña b¶ng 11. B¶ng 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0._.