Mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và điều kiện của Ore và Goldie về sự tồn tại vành các thương

Tự Nhiên TP.HCM, Phịng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi hồn thành khố học. Tơi xin cám ơn quý thầy cơ trong hội đồng khoa học đã đọc, nhận xét và đĩng gĩp những ý kiến quý báu về luận văn này. Cảm ơn tất cả các bạn học viên Cao học Đại số và Lý thuyết số khĩa 18 đã cùng tơi trao đổi hồn thiện kiến thức trong quá trình học tập. Cảm ơn tất cả các bạn bè cùng đồng nghiệp đã quan tâm, động viên tơi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tơi xin dành tất cả những tâm tình sâu lắng nhất đến gia đình, đặc biệt là mẹ tơi trong thời gian điều trị căn bệnh nan y – bệnh ung thư – người đã khơng ngừng động viên tơi hồn thành luận văn. Cĩ thể luận văn của tơi khơng hồn thiện nhưng trong tim mẹ tơi nĩ là đẹp nhất, hay nhất, đáng trân trọng nhất. Cảm ơn bố mẹ đã cho con được đến trường, được cĩ một cuộc đời tươi đẹp, được trải nghiệm hạnh phúc nhất đời mỗi con người là được làm những gì mình thực sự muốn và được chăm sĩc mẹ. Do trình độ cịn hạn chế nên luận văn sẽ khơng tránh khỏi sai sĩt, kính mong được sự thơng cảm và gĩp ý xây dựng của quý thầy cơ cùng các bạn. TP. HCM năm 2010 Vũ Thị Tuyết Mai MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong lĩnh vực lý thuyết các vành khơng giao hốn, ta đã biết để xây dựng vành các thương của các vành khơng giao hốn các nhà tốn học đã xây dựng theo hai cách. Cách cổ điển cịn gọi là “Địa phương hĩa theo tâm” là sự mở rộng tự nhiên của việc xây dựng trường các thương của một miền nguyên, với cách làm này ta thu được vành các thương cổ điển bên trái (hoặc phải) của vành R khơng giao hốn. Đối với cách xây dựng này các nhà tốn học nhận thấy khơng phải tất cả các vành khơng giao hốn đều xây dựng được vành các thương. Do đĩ hai nhà tốn học Ore và Goldie đã tìm ra một cách mới, hiện đại hơn để làm điều này, ta tạm gọi là xây dựng vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie. Chúng ta đã biết, đối với các P.I vành nguyên tố thì luơn luơn xây dựng được các thương theo nghĩa cổ điển và do đĩ các P.I vành nguyên tố cũng cĩ thể xây dựng được theo nghĩa của Ore và Goldie. Vấn đề tương tự được đặt ra cho các P.I nửa nguyên tố. Liệu các P.I vành nửa nguyên tố cĩ thể luơn luơn xây dựng được vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie ? 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là chúng tơi muốn giải quyết một bộ phận các câu hỏi đĩ. Luận văn mong muốn làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và các điều kiện của Ore và Goldie về sự tồn tại vành các thương. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lớp các vành khơng giao hốn. Phạm vi nghiên cứu là các vành đặc biệt. 4. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích và so sánh. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương. Chương 1. Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành khơng giao hốn. Trong chương này luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết vành khơng giao hốn cĩ liên quan đến các chương sau. Luận văn chỉ phát biểu lại các định lý, các bổ đề, các hệ quả và khơng đi sâu vào chứng minh chúng. Các kết quả nhắc lại được dùng làm lý thuyết phục vụ đề tài. Chương 2. Các phương pháp xây dựng vành các thương của các vành khơng giao hốn. Trong chương này chúng tơi nêu rõ hai phương pháp xây dựng vành các thương, theo cách cổ điển và hiện đại. Các định lý hầu hết chúng tơi đều chứng minh một cách tường minh. Chương 3. Nghiên cứu về việc xây dựng vành các thương của Ore và Goldie cho lớp các P.I nửa nguyên tố. Chúng tơi sẽ chỉ ra một ví dụ về sự khơng tồn tại của vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie khi cho một vành P.I nửa nguyên tố. CHƯƠNG 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 1.1. Tĩm tắt những kiến thức cơ sở Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành cĩ đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả đảo (đối với phép nhân) thì R được gọi là một thể (hay vành chia). Định nghĩa 1.1.2 * M được gọi là R -modul nếu tồn tại ánh xạ :f M R M   ,m r mr thỏa:         ) ) ) i m a b ma mb ii m n a ma na iii ma b m ab        với , ; , ,1m n M a b R  * M được gọi là R -modul trung thành nếu  . 0M r  thì 0r  Định nghĩa 1.1.3 Cho M là R -mođun, ta định nghĩa  A M là tập hợp tất cả các phần tử của R linh hĩa tồn bộ M.     . 0A M r R M r   Bổ đề 1.1.4     . 0A M r R M r   là ideal hai phía của R và M là  R A M -modul trung thành. M là R -mođun trung thành    (0)A M  Định nghĩa 1.1.5 M được gọi là R -modul bất khả quy nếu  0M  và M chỉ cĩ hai modul con tầm thường là  0 và M . Bổ đề 1.1.6 Nếu M là R -modul bất khả quy thì RM  với  là ideal tối đại của R . Hơn nữa : ,a R x ax x R      .  được gọi là ideal phải chính quy. Ngược lại, nếu  là ideal phải chính quy thì R  là R -modul bất khả quy. Định nghĩa 1.1.7 (Định nghĩa tâm tập) Cho M là R -modul, ta gọi tâm tập của M trên R là tập hợp:     : ,r rC M E M T T r R        với :rT M M rm mT mr Bổ đề 1.1.8 Nếu M là R -modul bất khả quy thì  C M là một thể (vành chia). Chứng minh Hiển nhiên,  C M là vành con của  E M . Do đĩ  C M là một vành. Ta cần chứng minh  C M  và 0  đều là phần tử khả nghịch trong  C M . Thật vậy, do 0  nên 0M  và M cũng là mođun con của M . Theo giả thiết M là R -modul bất khả quy nên ta cĩ M M  , suy ra  là tồn cấu. Hơn nữa  là đơn cấu, do ker 0  . Thật vậy, giả sử ker 0  thì do M là R -modul bất khả quy nên ker M  , khi đĩ 0  (mâu thuẫn). Tĩm lại ta cĩ  là đẳng cấu. Suy ra tồn tại đẳng cấu ngược  1 E M  . Khi đĩ ta cĩ:   ,r rC M T T r R       1 1 ,r rT T r R        1 ,r rT T r R     1 1 ,r rT T r R       1 C M  Định nghĩa 1.1.9 A được gọi là một vành Artin phải nếu những tập con khác rỗng của các ideal phải của A cĩ phần tử nhỏ nhất. Hay những tập con khác rỗng của các ideal phải của A thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm. 1.2. Radical của vành và của một đại số Định nghĩa 1.2.1 Radical của vành R , ký hiệu là  J R , là tập các phần tử của R mà linh hĩa tất cả các modul bất khả quy của R . Khi đĩ    J R A M  với M là R - modul bất khả quy.  J R được gọi là ideal hai phía của R . Nếu R khơng cĩ modul bất khả quy thì  J R R . Khi đĩ R được gọi là radical Jacbson. Định nghĩa 1.2.2 Một ideal phải  của R được gọi là chính quy nếu cĩ một phần tử :a R , x ax x R    . Định nghĩa 1.2.3 Nếu  là một ideal phải của R thì    : = R x R Rx   . Bổ đề 1.2.4 Nếu  là ideal phải chính quy của R thì  : R là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong  . Nếu  là ideal phải tối đại chính quy của R thì    :A M R với RM  . Định lý 1.2.5    :J R R  với  là ideal phải tối đại chính quy của R . Bổ đề 1.2.6 Nếu  là ideal phải chính quy của   R R  thì  nằm trong một ideal phải chính quy tối đại nào đĩ. Định lý 1.2.7  J R   với  là ideal phải tối đại chính quy của R . Định nghĩa 1.2.8 * a R được gọi là tựa chính quy phải nếu ' : ' ' 0a R a a aa     * 'a được gọi là tựa nghịch đảo phải của a . * Tương tự ta cĩ tựa chính quy trái, tựa nghịch đảo trái. * Một ideal được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nĩ là tựa chính quy phải. *  J R là ideal tựa chính quy phải. Định lý 1.2.9  J R là ideal tựa chính quy phải và chứa mọi ideal tựa chính quy phải, tức là  J R là ideal tựa chính quy phải tối đại duy nhất của R . Định nghĩa 1.2.10 * Phần tử a R được gọi là lũy linh nếu : 0nn N a   . * Ideal phải (trái) của R được gọi là nil-ideal phải (trái) nếu mọi phần tử của nĩ đều lũy linh. * Ideal phải (trái)  của R được gọi là ideal lũy linh phải (trái) nếu :m N  1 2. ... 0 m ia a a a    , tức là : 0mm N    . Nhận xét * Nếu  là ideal lũy linh thì  là nil-ideal. * Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy. *  J R chứa mọi nil-ideal một phía. * Nếu R cĩ ideal lũy linh khác 0 thì R cĩ ideal hai phía lũy linh khác 0. Định nghĩa 1.2.11 A được gọi là đại số trên trường F nếu A thỏa mãn các điều kiện: * A là một vành. * A là khơng gian vecto trên trường F . *      , , :a b A F ab a b a b         Nếu A cĩ đơn vị là 1 thì .1 nằm trong tâm của A với F  . Mệnh đề 1.2.12 Nếu A là đại số trên trường F thì radical của đại số A trùng với radical của vành A . Định nghĩa 1.2.13 Miền nguyên A (trong vành khơng giao hốn) là một vành khơng cĩ ước của khơng. Định nghĩa 1.2.14 Đại số A được gọi là đại số chia nếu A là một vành khơng giao hốn mà mọi phần tử khác khơng đều khả nghịch. 1.3. Một số vành đặc biệt 1.3.1. Vành nửa đơn Định nghĩa 1.3.1.1 Vành R được gọi là nửa đơn    0J R  Định lý 1.3.1.2  R J R là vành nửa đơn. Bổ đề 1.3.1.3 Mọi ideal hai phía A của vành nửa đơn R đều là vành nửa đơn. Định lý 1.3.1.4 Nếu A là ideal hai phía của vành R thì    J A J R A  . Định lý 1.3.1.5      n nJ M R M J R . Với  nM R là vành các ma trận vuơng cấp n lấy hệ tử trong vành khơng giao hốn R nào đĩ. 1.3.2. Vành Artin Định nghĩa 1.3.2.1 Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của R đều cĩ phần tử tối tiểu. (Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của R đều cĩ phần tử tối tiểu). Ta cĩ thể định nghĩa vành Artin bằng cách khác: Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi dãy giảm các ideal phải i của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đĩ các i đều bằng nhau. (Vành R được gọi là vành Artin trái nếu mọi dãy giảm các ideal trái i của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đĩ các i đều bằng nhau). Nhận xét: * Trường, thể (vành chia) là vành Artin. * Tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin. * Mọi vành chỉ cĩ hữu hạn các ideal phải (trái) là vành Artin. * Vành các ma trận vuơng cấp n trên một trường hay thể là vành Artin. * Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin. Định lý 1.3.2.2 Nếu R là vành Artin thì  J R là một ideal lũy linh. Hệ quả 1.3.2.3 Trong vành Artin, mọi nil-ideal đều là ideal lũy linh. Nhận xét: Giả sử R là vành tùy ý, nếu R cĩ ideal phải, lũy linh, khác  0 thì R sẽ cĩ ideal phải hai phía, lũy linh, khác  0 . Định nghĩa 1.3.2.4 Phần tử , 0e R e  được gọi là lũy đẳng nếu 2e e . Bổ đề 1.3.2.5 Giả sử R là một vành khơng cĩ ideal lũy linh khác  0 , giả sử  0  là ideal phải (trái) tối tiểu của vành R . Khi đĩ  là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng nào đĩ trong :R eR  . Nhận xét: Trong vành khơng cĩ ideal lũy linh khác  0 thì mọi ideal phải (trái) khác  0 , tối tiểu đều là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng. Bổ đề 1.3.2.6 Cho R là vành tùy ý, a R sao cho 2a a lũy linh. Khi đĩ, hoặc chính a lũy linh hoặc tồn tại đa thức  q x với hệ số nguyên sao cho  .e a q a là phần tử lũy đẳng khác 0. Định lý 1.3.2.7 Nếu R là vành Artin và  0  là ideal phải (trái) khơng lũy linh của R thì  chứa phần tử lũy đẳng khác 0. Định lý 1.3.2.8 Nếu R là vành tùy ý và e là phần tử lũy đẳng trong R thì    ReJ e eJ R e . Định lý 1.3.2.9 Giả sử R là vành khơng cĩ ideal lũy linh khác  0 và 0e  là phần tử lũy đẳng trong R . Khi đĩ eR (ideal phải chính sinh bởi e ) là ideal phải tối tiểu của R  vành Ree là một thể. Hệ quả 1.3.2.10 Nếu R là vành khơng cĩ ideal lũy linh khác  0 và e là phần tử lũy đẳng trong R thì eR là ideal phải tối tiểu của R  Re là ideal trái tối tiểu của R . Định lý 1.3.2.11 Giả sử R là vành Artin, nửa đơn và  0  là ideal phải bất kỳ của R thì eR  với e là phần tử lũy đẳng. 1.3.3. Vành nguyên thủy Định nghĩa 1.3.3.1 Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nĩ cĩ modul bất khả quy và trung thành. Nhận xét: i) Nếu R là vành nguyên thủy tồn tại M là R -modul bất khả quy và trung thành.       : 0 0A M r R Mr     . Xét ánh xạ:  : : r R E M r T M M m mr     M trung thành  đơn cấu. R nhúng đẳng cấu vào trong  E M    ker 0A M    ii) Nếu R là vành nguyên thủy thì    0J R  . Vì R là vành nguyên thủy thì    0A M  mà      0J R A M   . Vậy mọi vành nguyên thủy đều nửa đơn. iii) Nếu R là vành bất kì với M là R -modul bất khả quy thì  A M là ideal hai phía của R và  R A M là vành nguyên thủy. iv) Nếu M là R -modul bất khả quy,  là ideal phải, tối đại, chính quy của R và nếu RM  thì    :A M R là ideal hai phía lớn nhất nằm trong  . Khi đĩ ta cĩ  :R R là vành nguyên thủy. Định lý 1.3.3.2 R là vành nguyên thủy  là ideal phải, tối đại, chính quy trong R sao cho    : 0R  . Trong trường hợp này R là vành nửa đơn, hơn nữa nếu vành nguyên thủy R giao hốn thì R là trường. 1.3.4. Vành đơn Định nghĩa Vành R được gọi là vành đơn nếu  2 0R  và trong R khơng cĩ ideal thực sự nào ngồi  0 và R . Mối liên hệ giữa vành đơn – vành nửa đơn – vành Artin – vành nguyên thủy i) Nếu R là vành đơn cĩ đơn vị thì R là vành nửa đơn. Thật vậy, do R là vành đơn và cĩ đơn vị nên  J R khơng thể bằng R .    0J R  R là vành nửa đơn. ii) Nếu R vừa là vành đơn vừa là vành Artin thì R là vành nửa đơn. Thật vậy, giả sử R vừa là vành đơn.  2 0R  Mà 2R là ideal của R nên 2R R (vì R là vành đơn). Ta cần chứng minh    0J R  . Giả sử    0J R  , mà  J R là ideal của R nên  J R R (vì R đơn).   2 2J R R R   . Thực hiện liên tiếp các bước ta được     0n nJ R R R   . Mà R là vành Artin nên khơng cĩ phần tử lũy linh khác  0 .    0J R  R là vành nửa đơn. iii) Nếu R là vành nguyên thủy thì R vừa là vành đơn. Thật vậy, giả sử R là vành nguyên thủy, khi đĩ tồn tại M là R -modul bất khả quy trung thành.              : 0 0 0 A M r R Mr J R A M         R là vành nửa đơn. iv) Nếu R là vành vừa đơn vừa nửa đơn thì R là vành nguyên thủy. Thật vậy, để chứng minh R là vành nguyên thủy ta chứng minh rằng trong R tồn tại ideal phải, tối đại, chính quy  mà    : 0R  . Ta cĩ :  : R là ideal của R . Do R là vành đơn nên    : 0R  hoặc  : R R  Nếu  : R R  thì  : R R  (vơ lý vì R là vành nửa đơn).           : 0 : 0 J R R R        R là vành nguyên thủy. v) Nếu R là vành Artin – đơn thì R là vành nguyên thủy. Thật vậy, vì R là vành Artin nên  J R lũy linh, tức là tồn tại n N sao cho     0nJ R  . Mặt khác, do R đơn nên  2 0R  . Mà 2R là ideal hai phía của R nên  2 0R R  (do R đơn).  0 nR R n    R khơng lũy linh.  J R R     0J R  (do  J R là ideal hai phía của R ) R nửa đơn. Vậy R là vành vừa đơn vừa nửa đơn nên R là vành nguyên thủy. 1.3.5. Vành nguyên tố Định nghĩa 1.3.5.1 Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu với mọi ,a b R thì   00 0 a aRb b     . Bổ đề 1.3.5.2 Vành R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu nĩ thỏa một trong các điều kiện sau: i) Linh hĩa tử bên phải (trái) của một ideal phải (trái) khác  0 của R phải bằng  0 . ii) Nếu ,A B là hai ideal của R và  0AB  thì suy ra    0 0 A B   Bổ đề 1.3.5.3 Mọi vành nguyên thủy đều là vành nguyên tố. Định nghĩa 1.3.5.4 Tổng các ideal lũy linh khơng nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng này là  0N , ta định nghĩa một dãy siêu hạng các ideal như sau: * Nếu  là một bản số nào đĩ mà khơng là bản số giới hạn, 1   , ta định nghĩa  N  là ideal của A sao cho    N N  là tổng tất cả các ideal lũy linh của  A N  . * Nếu là bản số giới hạn, nghĩa là khơng cĩ bản số đứng ngay trước nĩ, ta đặt    N N       . Khi đĩ ta cĩ    'N N  nếu '  và tồn tại bản số đầu tiên  sao cho    1N N   . Ta gọi  N  là ideal lũy linh dưới của A , ký hiệu là ln A . Định nghĩa 1.3.5.5 * Đại số A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nĩ đều sinh ra một đại số con lũy linh. * Một ideal I của A được gọi là ideal lũy linh địa phương nếu A I là đại số lũy linh địa phương. Nhận xét: * Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương. * Mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil-ideal. Mệnh đề 1.3.5.6 * Tồn tại duy nhất một nil-ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil-ideal của A , nil-ideal đĩ được gọi là upper nil-radical của A , ký hiệu là  Un A . * Tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A chứa mọi ideal lũy linh một phía của A , ideal lũy linh địa phương tối đại này được gọi là Levitzki nil-radical của A , ký hiệu là  L A . Mệnh đề 1.3.5.7 *  AUn A khơng chứa nil-ideal khác 0. Suy ra    0AUn Un A     . *  A L A khơng chứa ideal lũy linh khác 0. *    0AL L A     *        ln A L A Un A rad A   *   P ln A P với P là ideal nguyên tố của A . 1.4. Một số đại số đặc biệt 1.4.1. Đại số nửa nguyên thủy Định nghĩa 1.4.1.1 Đại số A được gọi là nửa nguyên thủy    0J A  Mệnh đề 1.4.1.2 Nếu A là đại số thì  A J A là đại số nửa nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.1.3 Nếu A khơng cĩ ideal lũy linh khác 0 thì  A  là nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.1.4 Nếu B là ideal hai phía của đại số A thì    J B J A B  . Hệ quả 1.4.1.5 Mọi ideal hai phía của đại số nửa nguyên thủy đều nửa nguyên thủy. (Điều này khơng đúng với ideal một phía). 1.4.2. Đại số nguyên thủy Định nghĩa 1.4.2.1 Đại số A được gọi là nguyên thủy nếu nĩ cĩ một modul bất khả quy trung thành. I A , I được gọi là ideal nguyên thủy A I là đại số nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.2.2 Cho A là một đại số tùy ý, M là một A - modul bất khả quy thì  A M là một ideal hai phía của A và  A A M là một đại số nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.2.3 A là nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính quy  của A sao cho    : 0A  . Khi đĩ A là nửa nguyên thủy và nếu A giao hốn cĩ đơn vị thì A là một trường. Nhận xét: Mọi đại số nguyên thủy đều nửa nguyên thủy. Định nghĩa 1.4.2.4 Giả sử R là vành nguyên thủy, M là một R - modul bất khả quy trung thành. Đặt  C M  thì  là một thể. Khi đĩ M là khơng gian vecto trên  với phép tốn nhân ngồi : M M  với    ,m m m     trong đĩ : M M  thuộc   RC M End M   . 1.4.3. Đại số đơn Định nghĩa 1.4.3.1 Đại số A được gọi là đại số đơn nếu  0A  và A khơng cĩ ideal nào ngồi  0 và A . Mệnh đề 1.4.3.2 Đại số A là đại số đơn cĩ đơn vị thì A là đại số nguyên thủy. 1.4.4. Đại số nguyên tố Định nghĩa 1.4.4.1 * Một ideal P của đại số A được gọi là ideal nguyên tố nếu BC P thì hoặc B P hoặc C P với ,B C A . * Đại số A được gọi là đại số nguyên tố nếu 0 là ideal nguyên tố của A . * P A , P được gọi là ideal nguyên tố A P là đại số nguyên tố. Mệnh đề 1.4.4.2 Nếu A là đại số nguyên thủy thì A là đại số nguyên tố. Bổ đề 1.4.4.3 Các mệnh đề sau tương đương: i) A là đại số nguyên tố. ii)   00 , 0 b bAc b c A c      iii) Linh tử hĩa bên trái của một ideal trái khác 0 bất kì là bằng 0. iv) Linh tử hĩa bên phải của một ideal phải khác 0 bất kì là bằng 0. 1.4.5. Đại số nửa nguyên tố Định nghĩa 1.4.5.1 (Tích trực tiếp con) * Tích trực tiếp của họ các K - đại số   I A  là tập hợp I A   mà trên đĩ ta định nghĩa các phép cộng và nhân như sau:         f g f g             . .f g f g   * Đặt phép chiếu : I A A       . Đại số A được gọi là tích trực tiếp con các đại số   I A  nếu tồn tại đơn cấu : I A A     sao cho ,A A I       IB A    sao cho  0B A AB      Định nghĩa 1.4.5.2 * Một đại số A được gọi là nửa nguyên tố nếu nĩ khơng cĩ ideal lũy linh khác 0. * Một ideal B của đại số A được gọi là ideal nửa nguyên tố nếu là nửa nguyên tố. Nhận xét: A là đại số nguyên tố thì A là nửa nguyên tố. Mệnh đề 1.4.5.3 A là đại số nửa nguyên tố khi và chỉ khi A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố. Định nghĩa 1.4.5.4 Tổng các ideal lũy linh khơng nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng này là  0N , ta định nghĩa một dãy siêu hạng các ideal như sau: * Nếu  là một bản số nào đĩ mà khơng là bản số giới hạn, 1   , ta định nghĩa  N  là ideal của A sao cho    N N  là tổng tất cả các ideal lũy linh của  A N  . * Nếu là bản số giới hạn, nghĩa là khơng cĩ bản số đứng ngay trước nĩ, ta đặt    N N       . Khi đĩ ta cĩ    'N N  nếu '  và tồn tại bản số đầu tiên  sao cho    1N N   . Ta gọi  N  là ideal lũy linh dưới của A , ký hiệu là ln A . Định nghĩa 1.4.5.5 * Đại số A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nĩ đều sinh ra một đại số con lũy linh. * Một ideal I của A được gọi là ideal lũy linh địa phương nếu A I là đại số lũy linh địa phương. Nhận xét: * Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương. * Mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil-ideal. Mệnh đề 1.4.5.6 * Tồn tại duy nhất một nil-ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil-ideal của A , nil-ideal đĩ được gọi là upper nil-radical của A , ký hiệu là  Un A . * Tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A chứa mọi ideal lũy linh một phía của A , ideal lũy linh địa phương tối đại này được gọi là Levitzki nil-radical của A , ký hiệu là  L A . Mệnh đề 1.4.5.7 *  AUn A khơng chứa nil-ideal khác 0. Suy ra    0AUn Un A     . *  A L A khơng chứa ideal lũy linh khác 0. *    0AL L A     *        ln A L A Un A rad A   *   P ln A P với P là ideal nguyên tố của A . CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA CÁC VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 2.1. Phương pháp cổ điển (Địa phương hĩa theo tâm) Cho S là tập con đĩng nhân nằm trong tâm của vành khơng giao hốn K và M là một K -modul. Xét tập   , , ,S M s x s S x M    . Định nghĩa    1 1 2 2, ,s x s x nếu  2 1 1 2: 0s S s s x s x    . Đây là quan hệ tương đương. Ta ký hiệu tập thương là SM và lớp tương đương của  ,s x là 1s x . Ta định nghĩa phép cộng và nhân như sau:         11 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 s x s x s s s x s x k s x s kx         Khi đĩ SM là một K -modul và SM được gọi là địa phương hĩa của M tại S . 2.2. Phương pháp của Ore và Goldie 2.2.1. Định lý Ore Định nghĩa 2.2.1.1 Một phần tử trong vành R được gọi là chính quy nếu nĩ khơng cĩ ước của khơng bên trái và bên phải trong R . Định nghĩa 2.2.1.2 * Vành  Q R chứa R được gọi là vành thương trái của R nếu: 1. Mọi phần tử chính quy trong R đều khả nghịch trong  Q R . 2. Mọi x thuộc  Q R đều cĩ dạng 1x a b , với ,a b R , a chính qui trong R . Nếu  Q R là một vành thương trái của R ta nĩi R là một thứ tự bên trái (left order) trong  Q R . * Vành  Q R chứa R được gọi là vành thương phải của R nếu: 1. Mọi phần tử chính quy trong R đều khả nghịch trong  Q R . 2. Mọi x thuộc  Q R đều cĩ dạng 1x ba với ,a b R , a chính qui trong R . Nếu  Q R là một vành thương phải của R ta nĩi R là một thứ tự bên phải (right order) trong  Q R . Định lý 2.2.1.3 (Định lý Ore) Điều kiện cần và đủ để R cĩ vành thương trái là: cho ,a b R với b chính quy khi đĩ tồn tại 1 1,a b R với 1b chính quy sao cho 1 1b a a b . ( Điều kiện cần và đủ để R cĩ vành thương phải là: cho ,a b R với b chính quy khi đĩ tồn tại 1 1,a b R với 1b chính quy sao cho 1 1ab ba ) Chứng minh Nếu  Q R tồn tại, lấy b chính quy trong R , phần tử  1ab Q R  1 11 1 1 1,ab b a a b R      , 1b chính quy. 1 1b a a b  Vậy điều kiện Ore đúng trong R . Giả sử điều kiện Ore đúng trong R . Lấy   , , , chính quyM a b a b R b  . Trong M ta định nghĩa quan hệ    , ,a b c d nếu 1 1d a b c với 1 1b d d b , 1 chính quyb thì 1 chính quyd . Ta thấy 1 1,b d độc lập nhau, chúng được xác định bởi bội chung bên trái của d và b. Thật vậy nếu cĩ 2 2,b d thỏa 2 2b d d b , ta chọn 1 2,e e chính quy sao cho: 2 2 1 1e b e b 2 2 2 2e d b e b d  2 2 1 1e d b e b d  2 2 1 1e d b e d b  là chính quyb và 2 2 1 1e d e d Từ 1 1d a b c ta được: 2 2 1 1e d a e d a 2 2 1 1e d a e b c  2 2 2 2e d a e b c  2 2d a b c  (do 2e chính quy) Quan hệ trong M là một quan hệ tương đương. Thật vậy, giả sử lớp của  ,a b được viết là a b . Gọi 1M là tập các lớp tương đương trong M . Trong 1M ta đưa vào phép tốn để 1M là một vành như sau. Cho 1,a c Mb d  ta định nghĩa: * Phép cộng :        1 1 1d a b ca cb d b d  với 1 1d b b d , và 1 1,b d chính quy trong R . * Phép nhân:        1 1. a ca cb d g b với 1 1g a a d , và 1g chính quy trong R . Các phép tốn trên đều được định nghĩa tốt và 1M thỏa mãn tất cả các tính chất của  Q R . 2.2.2. Những định lý của Goldie Định nghĩa 2.2.2.1 Cho S là một tập con khác rỗng của vành R . Tập    0,l S x R xs s S     được gọi là linh tử hĩa trái của S . Một ideal trái  của R là một linh tử hĩa trái nếu  l S  với S thích hợp trong R . Chúng ta cũng định nghĩa tương tự cho linh tử hĩa phải  r S của S và phát biểu cho ideal phải như một linh tử hĩa phải. Định nghĩa 2.2.2.2 Một vành R được gọi là vành Goldie trái nếu: 1. R thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng trên linh tử hĩa trái. 2. R không chứa tổng trực tiếp của vô hạn các ideal trái khác không. Nhận xét Một vành Noether trái là một vành Goldie trái nhưng điều đảo lại thì khơng đúng. Định nghĩa 2.2.2.3 Một ideal trái I của R được gọi là ideal thiết yếu nếu I giao khơng tầm thường với mọi ideal trái khác khơng của R . Định nghĩa 2.2.2.4 Một vành R được gọi là nửa nguyên tố nếu nĩ khơng cĩ ideal lũy linh khác khơng. Bổ đề 2.2.2.5 Cho R là một vành nửa nguyên tố thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng trong linh tử hĩa trái. Nếu A B là những ideal trái của R và    r A r B thì tồn tại một phần tử   0 : 0 Aa a R Aa B     Chứng minh R thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng trong linh tử hĩa trái. R thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm trong linh tử hĩa phải. Do đĩ    A B r A r B   Giả sử U là một linh tử hĩa phải nhỏ nhất được chứa trong  r B và U thực sự chứa  r A .  0AU  R khơng cĩ ideal lũy linh  0AUAU  . Lấy  0ua UA AuaU   Ta cĩ:  0Aua B  Nếu khơng cĩ phần tử : 0x A xua  thì x Aua B  . Thật vậy, lấy    ,x A r x r A  , xét  r x U . Do giao của hai linh tử hĩa phải là linh tử hĩa phải nên     U r x U r A   . Hơn nữa, vì      uaU r x uaU r A uaU r A     Từ sự cực tiểu của U suy ra  r x U U   U r x   0xU  (trái giả thiết 0xua  ) Vậy bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2.2.2.5 cĩ hai hệ quả quan trọng sau Hệ quả 2.2.2.6 Cho R là một vành nửa nguyên tố thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng trong linh tử hĩa trái, nếu Rx và Ry là các ideal trái thiết yếu thì Rxy là ideal trái thiết yếu. Chứng minh Giả sử  0A  là một ideal trái của R và  A r R ry A   Ry thực sự là lớp  0A  và  0Ay Ry A   Từ định nghĩa ta cĩ:  Ay l y Mặt khác:      0 0 Ay l y y    Áp dụng bổ đề 2.2.2.5 ta thu được một ideal trái  0T A  mà    0T l y  . Giả sử  T r R rx T   . Do bản chất của Rx ta được  0Tx Rx T    0Txy  Do trong A ta cĩ  0Rxy A  Rxy là một ideal trái thiết yếu. Hệ quả 2.2.2.7 Cho R là một vành nửa nguyên tố thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng trong linh tử hĩa trái, khi đĩ nếu Ra là ideal trái thiết yếu trong R thì Ra phải chính quy. Chứng minh Trường hợp đặc biệt xét ,A R B Ra  . Do bản chất của    0Ra r a  . Xét  l a , do điều kiện dây chuyền tăng trong linh tử hĩa trái ta cĩ:    1: n nn N l a l a    Lấy       1 10 n n n n n x ya x Ra l a xa ya y l a l a            0 0 ny a x     Kết hợp với hệ quả 2.2.2.6 ta được nRa là một ideal trái thiết yếu. Do    0 0nRa l a l a    Vậy Ra là chính quy. Bổ đề 2.2.2.8 R thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm trong linh tử hĩa trái. Chứng minh Giả sử 1 2 ... ...nL L L    là một dây chuyền giảm thực sự của những linh tử hĩa trái.    1i ir L r L   Từ bổ đề 2.2.2.5 ta suy ra tồn tại một ideal trái nC của R , 0 n nC L  sao cho  1 0n nC L   nC tạo thành một tổng trực tiếp của các ideal trái. Vì R là vành Goldie nên tổng nC khơng thể vơ hạn do đĩ chuỗi của những linh tử hĩa phải kết thúc. Bổ đề 2.2.2.9 Nếu    0l c  thì Rc là ideal thiết yếu và c là chính quy. Chứng minh Giả sử  0A  là một ideal trái của R thỏa  0A Rc  Do    0l c  nên nAc tạo thành một tổng trực tiếp. Nếu 0 1 ... 0nna a c a c    với ia A thì  0 0a A Rc   1 ... 0 n na c a c    Do    0l c  nên 11 2 ... 0nna a c a c    Lặp lại liên tiếp n bước ta được 0ia  Suy ra  0Rc A  và Rc là ideal thiết yếu. Từ hệ quả 2.2.2.6 và bổ đề 2.2.2.5 suy ra c là chính quy. Vậy ta cĩ điều phải chứng minh. Định nghĩa 2.2.2.10 Một ideal hai phía S của R được gọi là một ideal linh tử hĩa nếu S là một linh tử hĩa trái của một ideal trái T của R . Từ Định nghĩa 2.2.2.10 ta cĩ  0ST     2 0TS TSTS   R là nửa nguyên tố và  0TS  . Bổ đề 2.2.2.11 Một ideal linh tử hĩa cực tiểu khác khơng của R là một vành Goldie nguyên tố; hơn nữa, tổng trực tiếp hữu hạn của những ideal đĩ là một ideal trái đủ lớn của R . Chứng minh   Giả sử  0S  là một ideal linh tử hĩa cực tiểu của R . Nếu ._.