Luận văn Nghiên cứu phương pháp phân rã và xây dựng phần mềm giải bài toán ô nhiễm khí quyển

Ĩ KHOA HỌC MÁY TÍNH Giáo viên hƣớng dẫn: TS. Nguyễn Đình Dũng THÁI NGUYÊN - 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này do chính tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Đình Dũng, các kết quả lý thuyết được trình bày trong luận văn là sự tổng hợp từ các kết quả đã được công bố và có trích dẫn đầy đủ, kết quả của chương trình thực nghiệm trong luận văn này được tôi thực hiện là hoàn toàn trung thực, nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm. Thái Nguyên, tháng năm 2020 Học viên cao học Phạm Thanh Nghị Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của giáo viên hƣớng dẫn khoa học TS. Nguyễn Đình Dũng ii LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Đình Dũng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông, Đại học Thái nguyên, các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS. Nguyễn Đình Dũng đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người đã luôn bên cạnh, động viên và khuyến khích tác giả trong quá trình thực hiện đề tài. Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020 Học viên cao học Phạm Thanh Nghị iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1. CÁC MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MÔI TRƯỜNG5 1.1. Phương trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm ........ 5 1.2. Phương trình truyền tải dừng ......................................................................... 10 1.3. Bài toán truyền tải và khuếch tán vật chất, tính duy nhất nghiệm ................. 15 1.4. Bài toán liên hợp cho miền ba chiều .............................................................. 21 1.5. Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp ................................................. 26 1.6. Kết luận chương 1 .......................................................................................... 29 CHƢƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG DỪNG 31 2.1. Các lược đồ sai phân xấp xỉ cấp hai cho bài toán không dừng với toán tử phụ thuộc thời gian [4] ................................................................................... 31 2.1.1. Bài toán thuần nhất .............................................................................. 31 2.1.2. Xét bài toán thuần nhất ........................................................................ 37 2.2. Phương pháp phân rã ..................................................................................... 39 2.2.1 Bài toán thuần nhất ............................................................................... 39 2.2.2. Bài toán không thuần nhất ................................................................... 40 2.3. Phương pháp phân rã nhiều thành phần ......................................................... 44 2.3.1. Bài toán thuần nhất .............................................................................. 45 2.3.2. Bài toán không thuần nhất ................................................................... 46 2.4. Kết luận chương 2 .......................................................................................... 49 CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ TRONG BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN ............................................................................ 50 3.1. Bài toán ô nhiễm khí quyển ........................................................................... 50 3.2. Sai phân biến không gian ............................................................................... 51 3.2.1. Cấp xấp xỉ của toán tử sai phân ........................................................... 53 3.2.2. Tính không âm của toán tử sai phân .................................................... 54 iv 3.3. Lược đồ phân rã giải bài toán ô nhiễm khí quyển ......................................... 55 3.4. Một số kết quả thực nghiệm .......................................................................... 58 3.5. Kết luận chương 3 .......................................................................................... 60 KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ............................................................. 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 63 1 MỞ ĐẦU 1. Tính khoa học và cấp thiết của đề tài Thực tế cho thấy, một số lượng khá lớn những bài toán thực tiễn phức tạp có thể được giải quyết nhờ công cụ của phương trình liên hợp. Chẳng hạn, đó là những bài toán về cơ chế lượng tử, năng lượng hạt nhân, những quá trình động lực học phi tuyến trong vật lý, hoá học và nhiều vấn đề khác. Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi đề cập tới những vấn đề về môi trường và khí hậu. Sự tác động qua lại của chúng chính là những vấn đề trọng tâm của khoa học, vì nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự sống trên trái đất. Môi trường quanh ta, đó là môi trường nước (nước mặt: sông hồ, biển, đại dương; nước ngầm: các dòng chảy trong lòng đất), môi trường không khí, môi trường đất và môi trường sinh thái. Các thành phần của môi trường luôn luôn biến đổi, chúng tác động qua lại với nhau và chuyển hoá từ trạng thái này sang trạng thái khác. Trong môi trường không khí, khí quyển, các thành phần của chúng pha trộn lẫn với nhau(theo một tỷ lệ nào đó), dịch chuyển nhờ gió và khuếch tán. Khí thải công nghiệp là tác nhân lớn nhất làm ô nhiễm không khí. Để bảo vệ được môi trường sống chúng ta phải hiểu được qui luật khách quan và từ đó có các biện pháp tích cực và hữu hiệu để bảo vệ môi trường. Các thực thể vật chất bị nhiễm bẩn ở dạng khí (khói nhà máy, lò hạt nhân, núi lửa v.v...) lan truyền và khuếch tán trong khí quyển, tác động với nhau (dưới ảnh hưởng của nhiệt độ, độ ẩm) trở thành một hợp chất phức tạp, ta gọi chung là hợp chất khí. Trong quá trình chuyển động các thành phần của hợp chất khí tác động với nhau, một số thành phần đang từ không độc hại trở thành độc hại đối với cuộc sống của sinh vật. Quá trình này dẫn đến tình trạng ô nhiễm các lục địa và đại dương. Để giải quyết được điều đó ta cần phải biết được những quá trình lan truyền và khuếch tán các thực thể nhiễm bẩn trong môi trường, mà khi di chuyển liên tục trong khí quyển chúng có thể được biến đổi từ những thành phần không có hại 2 thành những thành phần có hại và ngược lại, thường làm ô nhiễm đại dương và các lục địa. Đó là những vấn đề rất đáng quan tâm. Vì thế giới sẽ không ngừng hoàn thiện, nền văn minh nhân loại sẽ ngày một phát triển, điều rất cần thiết là phải dự đoán được xu hướng phát triển của các ngành công nghiệp, để kết hợp với những vấn đề về gìn giữ thiên nhiên, môi trường. Hơn bao giờ hết, chúng ta cần phải tiến hành đầu tư vốn cần thiết để không chỉ điều chỉnh những tiềm năng sẵn có trong thiên nhiên đã bị mất đi, mà còn nâng cao nó, cải thiện môi trường. Tuy nhiên điều đó đòi hỏi một lượng kinh phí rất lớn. Song vấn đề ấy là rất quan trọng và cần được chứng minh bằng sức mạnh toàn cầu. Vấn đề là ở chỗ có thể thoả thuận được việc cấm vũ khí hạt nhân cũng như có thể thoả thuận về việc giữ gìn hệ thống sinh thái đảm bảo sự sống trên trái đất. Vì vậy đây là vấn đề mang tính toàn cầu. Tổ chức các quốc gia thống nhất kêu gọi lập ra thoả hiệp về việc sử dụng thiên nhiên ở mọi quốc gia, trong sự quan tâm của toàn nhân loại. Thiên nhiên là nguồn của cải chính của con người và khi điều đó được tất cả mọi người công nhận, họ có thể sẽ có những phương pháp hành động để giải quyết được những vấn đề đã nêu trên, tạo điều kiện phát triển nền văn minh, gìn giữ và làm tăng thêm sự phong phú của thiên nhiên. Ở phương diện toán học, nhiệm vụ chủ yếu để giải quyết những vấn đề này là xây dựng được những mô hình toán học phản ánh đúng đắn bản chất tự nhiên khách quan của hiện tượng, tìm ra các mối quan hệ biện chứng về định tính, định lượng và phương pháp hữu hiệu nhằm giải quyết bài toán đặt ra để từ đó định ra chiến lược bảo vệ chất lượng môi trường sống (xem [1]- [3], [6]-[9], [11, 12]). Nội dung đề tài này, học viên trình bày những phương trình liên hợp được phân tích dựa trên các phương trình cơ bản đã được thừa nhận, các điều kiện biên, điều kiện ban đầu, và phương pháp giải các bài toán để thu được kết quả cuối cùng mà nhờ chúng có thể đánh giá được mức độ tác động của thực trạng ô nhiễm trong môi trường của một vùng lãnh thổ (xem [5, 10]). Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “Nghiên cứu phương pháp phân rã và xây dựng phần mềm giải bài toán ô nhiễm khí quyển” làm luận văn tốt nghiệp của mình. Mục tiêu chính của luận văn là tìm hiểu về phương pháp phân rã giải bài toán không dừng và xây dựng ứng dụng bài toàn ô nghiễm khí quyển. 3 2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của đề tài Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu 3 vấn đề cơ bản: - Các mô hình toán học trong vấn đề môi trường; - Phương pháp phân rã giải bài toán không dừng; - Xây dựng ứng dụng phương pháp phân rã trong bài toán ô nhiễm khí quyển. 3. Phƣơng pháp luận nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Tổng hợp, nghiên cứu các tài liệu về các mô hình toán học trong vấn đề môi trường - Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Sau khi nghiên cứu lý thuyết, luận văn sẽ tập trung vào xây dựng chương trình giải bài toán ô nhiễm khí trên môi trường Matlab; Đánh giá kết quả sau khi thử nghiệm - Phương pháp trao đổi khoa học: Thảo luận, xemina, lấy ý kiến chuyên gia. 4. Nội dung và bố cục của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và hướng phát triển, luận văn được bố cục thành ba chương chính như sau: Chương 1 phân tích các mô hình toán học khác nhau của vấn đề ô nhiễm môi trường. Các phương trình cơ bản được rút ra từ những quy luật bảo toàn (bảo toàn khối lượng và động lượng). Mỗi bài toán cơ bản đều xây dựng được một bài toán liên hợp tương ứng nhờ đẳng thức tích phân Lagrange. Tính duy nhất nghiệm của các bài toán cơ bản và bài toán liên hợp đối với những mô hình chính được chứng minh một cách chặt chẽ nhờ đẳng thức đối ngẫu. Chương 2 xây dựng phương pháp giải các bài toán đặt ra ở chương 1. Do độ phức tạp của phương trình, với những giả thiết về điều kiện biên, giá trị ban đầu chặt chẽ người ta mới nhận được nghiệm chính xác của bài toán. Thực tế cho thấy các bài toán đặt ra thường rộng hơn, phức tạp hơn. Do đó, việc tìm các phương pháp giải số cho lớp các bài toán trên là một trong những phương pháp hữu hiệu được sử dụng. Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp số cũng gặp nhiều khó khăn như số chiều lớn, miền phức tạp v.v... Rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư đã đã đưa ra nhiều phương pháp sai phân cho những bài toán ô nhiễm môi trường. Tuy nhiên do thiếu 4 những nền tảng toán học, một số phương pháp sai phân này cho lời giải không phù hợp với thực tiễn. Để khắc phục hạn chế này ta phân rã phương trình khuyếch tán truyền tải bằng quá trình vật lý: Tại mỗi bước thời gian giải phương trình truyền tải bởi phương pháp đặc trưng, và tiếp theo giải bài toán khuyếch tán bởi phương pháp phân rã. Nội dung chương này trình bày khá chi tiết về sự ổn định, cấp chính xác của phương pháp phân rã trong bài toán tiến hoá thuần nhất và bài toán không thuần nhất, phân tích nhược điểm của phương pháp khi toán tử của bài toán là tổng của hai toán tử không giao hoán. Để khắc phục nhược điểm này chúng tôi đưa ra phương pháp phân rã cho bài toán và chứng minh khá chi tiết tính ổn định vô điều kiện và cấp chính xác 2 theo thời gian. Tiếp theo sẽ trình bày cho trường hợp tổng quát khi toán tử của bài toán là tổng của nhiều toán tử nửa xác định dương. Chương 3 xấp xỉ toán tử vi phân của bài toán khuyếch tán đặt ra ở Chương 1 bằng toán tử sai phân với cấp chính xác hai theo các biến không gian và thoả mãn tính không âm. Cuối cùng đưa ra lược đồ phân rã theo thời gian và cài đặt thuật toán để cho kết quả số của bài toán sai phân xấp xỉ nghiệm của bài toán vi phân đã xây dựng ở Chương 1. 5 CHƢƠNG 1 CÁC MÔ HÌNH TOÁN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MÔI TRƢỜNG 1.1. Phƣơng trình truyền tải vật chất trong khí quyển, tính duy nhất nghiệm Giả sử (x, y, z,t) là cường độ của chất thải nào đó, di chuyển cùng với dòng không khí trong khí quyển. Ta sẽ xác định nghiệm của bài toán trong một miền trụ G , với bề mặt S . S  0 H trong đó,  là mặt bên (hay mặt xung quanh) của hình trụ , 0 là mặt đáy dưới (khi z  0)  H là mặt đáy trên (khi z  H )        Gọi V  ui  vj  wk (trong đó i , j,k là các vec tơ đơn vị chỉ phương của các trục x, y, z tương ứng) – là vec tơ vận tốc của các phần tử không khí, được coi như là hàm của x, y, z,t . Sự dịch chuyển của các thực thể vật chất dọc theo quỹ đạo của các hạt không khí, với sự bảo toàn cường độ của nó được mô tả bởi phương trình: d  0 (1.1.1) dt     hay  u  v  w  0 (1.1.2) t x y z Do ở lớp dưới của khí quyển (lớp tiếp giáp với mặt đất), với độ chính xác khá cao, có thể xem không khí là chất không nén được, thể hiện bằng phương trình liên tục u v w    0 (1.1.3) x y z Từ ta đi đến phương trình    divV  0 (1.1.4) t  Về sau, nếu không nói gì thêm, thì ta luôn xem divV  0. Ta giả thiết: w  0 khi z  0 hoặc z  H (1.1.5) 6 Để có được (1.1.4) ta đã sử dụng đẳng thức (1.1.3) với điều kiện khả vi của   và V :      u  v  w  divV divV (1.1.6) x y z Với giả thiết số hạng cuối cùng trong đẳng thức bị triệt tiêu và có dạng:     u  v  w  divV (1.1.7) x y z Đối với phương trình ta đưa vào điều kiện ban đầu:   0 khi t  0 (1.1.8) và điều kiện biên trên S của miền trụ G  S trên khi un  0 (1.1.9)  trong đó 0 và  S là các hàm cho trước và là hình chiếu của vec tơ V lên pháp tuyến ngoài đối với mặt . Đẳng thức là giá trị của nghiệm trên phần biên của , tại đó khối lượng không khí cùng với các chất đang nghiên cứu đi vào miền . Để tìm nghiệm (x, y, z,t) của bài toán thoả mãn các điều kiện , ta giả thiết rằng u,v, w là những hàm đã biết. Nếu như các thông tin về các thành phần véc tơ vận tốc chưa đầy đủ thì cần phải sử dụng một cách tỉ mỉ các xấp xỉ khác nhau mà ta sẽ trình bày sau đây. Phương trình có thể được khái quát hoá. Nếu trong quá trình dịch chuyển, thành phần vật chất đang xét có tham gia phản ứng với môi trường hay là bị phân giải, thì quá trình này có thể được xem như sự hấp thụ vật chất tỷ lệ với đại lượng  . Khi đó trong phương trình xuất hiện thêm số hạng mới  , biểu thị sự gia tăng thành phần  trong không khí:    divV   0 (1.1.10) t Đại lượng   0 , tỷ lệ nghịch với khoảng thời gian xem xét. ý nghĩa của đại lượng này sẽ được hiểu một cách cụ thể; nếu trong ta đặt u  v  w  0. Khi đó có dạng. 7    0 (1.1.11) t Nghiệm của :  t   0e (1.1.12) Lấy logarit cả hai vế của ta được: ln  ln0 t ln e  t ln0 ln  t  ln 0  Gỉa sử t  T là khoảng thời gian làm biến đổi thành phần đang xét từ  0 đến  thì khi đó 1    ln 0 T  Hiển nhiên,  có giá trị tỷ lệ nghịch với khoảng thời gian để cường độ của vật chất tại thời điểm cuối so với cường độ ban đầu bị giảm xuống e lần. Nếu trong miền xác định nghiệm G có các nguồn vật chất làm thay đổi cường độ  của thành phần không khí đang xét và được mô tả bằng hàm f (x, y, z,t) , thì phương trình (1.1.10) có dạng:    divV   f (1.1.13) t Ta xét bài toán cùng với các điều kiện:  0 khi t  0  S trên S khi un  0 w  0 khi z  0 hoặc z  H Nhân cả hai vế của với  ta được:    divV  2  f (1.1.14) t Lấy tích phân hai vế theo cả không gian và thời gian, tức là trên miền G[0,T] ta được: 8     dtdG   divVdtdG    2dt dG   f dt dG G[0,T ] t G[0,T ] G[0,T ] G[0,T ] hay: T  T  T T  dG dt   dt divVdG   dt 2dG   dt f dG (1.1.15) G 0 t 0 G 0 G 0 G Ta có nhận xét:  1  2 (i)   . Như vậy: t 2 t 2 tT T  1 T  2  2  2  2 dG  dt  dG dt  dG  dG  dG     2    G 0 t G 2 0 t G 2 t0 G 2 tT G 2 t0  V 2   u 2    v 2    w 2  (ii) div          2 x  2  y  2  z  2        (u)  (v)  (w)   divV x z z Như vậy:  T  T V 2  dt divVdG   dt div dG 0 G 0 G 2 Với nhận xét này thì phương trình sẽ trở thành   2  2 T V 2 T T  dG   dG   dt div dG   dt 2dG   dt fdG (1.1.16) G 2 tT G 2 t0 0 G 2 0 G 0 G Theo công thức Ostrogradski-Gauss ta có  V 2 u  2  div dG   n dS (1.1.17) G 2 S 2 Ta nhận thấy rằng, do điều kiện un  0 khi z  0 hoặc z  H , nên việc lấy tích phân theo S ở vế phải của thực chất chỉ còn là lấy tích phân theo mặt bên  của hình trụ G . Tuy nhiên, để không làm mất tính tổng quát, ta vẫn ký hiệu tích phân đó được lấy trên S, cho dù có xuất hiện điều kiện . Với giả thiết:  0 khi t  0   S trên khi un  0 (1.1.18) 9 trong đó 0 ,S là những hàm cho trước, ta đưa những hàm này vào (1.1.16) thì đẳng thức sẽ như sau: 2 T  2 T 2 T  2 T T un  2 0 unS  dG   dt dS   dt dG  dG   dt dS   dt fdG (1.1.19) G 2 0 S 2 0 G G 2 0 S 2 0 G trong đó,  un un  0 un   0 un  0   un  un  un (trong , để cho gọn ta đã ký hiệu   T khi t  T ). Đẳng thức chính là đẳng thức tích phân cơ bản để chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.1.13), (1.1.18) . Thật vậy, giả sử bài toán có hai nghiệm phân biệt 1, 2 . Khi đó, vì 1 và  2 là các nghiệm của bài toán nên ta có:   1  divV    f  t 1 1  1   0 t  0 (I)    (x, y, z)  S , u  0  1 S n  và   2  divV    f  t 2 2  2  0 t  0 (II)    (x, y, z)  S , u  0  2 S n  Lấy (I) trừ (II) và đặt   1  2 , ta có:    divV  0 (1.1.20) t   0 khi t  0   0 (x, y, z)  S , un  0 (1.1.21) Đối với hàm  thì đẳng thức có dạng: 10 2 T  2 T T un 2  dG   dt dS   dt dG  0 (1.1.22) G 2 0 S 2 0 G Tất cả các số hạng trong (1.1.22) là dương. Vậy đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi   0 , tức là 1 2 . Như vậy, tính duy nhất nghiệm của bài toán hoàn toàn được chứng minh. Bài toán:    divV   f (1.1.23) t   0 khi t  0   S trên S khi un  0 (1.1.24) Có nghiệm duy nhất trong lớp hàm (x, y, z,t) liên tục, khả vi theo tất cả các biến với điều kiện đầu 0 (x, y, z) và điều kiện biên S (x, y, z,t) là các hàm liên tục với  các hệ số u(x, y, z,t) liên tục và khả vi, thoả mãn điều kiện divV  0 và hàm  là hàm liên tục từng khúc. Từ nay về sau, ta giả thiết rằng tất cả các điều kiện này được thoả mãn. Phương trình (1.1.23) có thể được viết dưới dạng:   A  f (1.1.25) t trong đó:  A  divV  Có thể giả thiết rằng toán tử A tác động trong không gian Hilbert thực L2 (G) với miền xác định D(A) , là tập hợp của các hàm khả vi liên tục theo các biến x, y, z 1.2. Phƣơng trình truyền tải dừng Trong phần này ta tiến hành mô tả quá trình dừng của bài toán truyền tải vật chất (1.1.23), (1.1.24) . Nếu như các hệ số u,v, w cùng với những yếu tố cho trước khác của bài toán như f và  , không phụ thuộc vào thời gian, thì ta có bài toán dừng tương ứng với bài toán được phát biểu rất đơn giản như sau:  divV   f (1.2.1) 11   S trên S khi un  0 (1.2.2) Dễ dàng thấy rằng đẳng thức tương ứng với (1.1.19) có dạng: u  2 u  2  n dS   2dG   n S dS   fdG (1.2.3) S 2 G S 2 G Bằng phương pháp mà ta đã trình bày trong mục (1.1) , có thể thấy rằng bài toán (1.2.1),(1.2.2) có nghiệm duy nhất. Như vậy, bài toán mô tả một quá trình truyền tải vật chất riêng, với những dữ kiện cho trước không thay đổi theo thời gian. Tuy vậy, bộ nghiệm  tương ứng với những V, f , S khác nhau của các bài toán dừng riêng biệt, có thể được sử dụng cả trong việc mô tả những tình huống vật lý phức tạp hơn trong ứng dụng thực tế. Để chứng minh được điều này ta giả sử rằng trong từng giai đoạn khác nhau của thời gian, sự chuyển động của khối lượng không khí cho trước dù ở trạng thái này hay trạng thái khác, trong vùng đang xét, có thể được cho là dừng. Sau mỗi khoảng thời gian như vậy, sự chuyển động của khối lượng vật chất lại có thay đổi và bắt đầu sang một trạng thái dừng mới. Sự thay đổi này diễn ra trong thời gian ngắn hơn khoảng thời gian tồn tại của dạng chuyển động trong bài toán dừng, có thể xem như sự thay đổi của chuyển động đó diễn ra rất nhanh. Giả sử có n khoảng thời gian làm xuất hiện bài toán dừng. Bằng cách này ta đi đến một hệ phương trình độc lập:  divVii  i  f (1.2.4) i iS trên khi uin  0,i 1,2,...,n (1.2.5) Bài toán , , trong đó iS là giá trị của hàm i trên biên , uin là hình chiếu của véc tơ vận tốc gió loại i trên pháp tuyến ngoài đối với biên, tương ứng với mỗi khoảng thời gian ti  t  ti1 có độ dài là ti . Giả sử, tất cả các bài toán , giải được. Khi đó nghiệm của bài n toán trung bình trong thời gian T  ti của sự phân bố các chất pha trộn được i1 biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau: 12 n ~ 1   i ti (1.2.6) T i1 Có thể gọi bài toán (1.2.4) - là mô hình thống kê. Nghiệm của các bài toán dừng dạng (1.2.1),(1.2.2) và , (1.2.5) có nhiều điểm chung với nghiệm của bài toán trung bình trong khoảng thời gian T nào đó của sự phân bố các chất của bài toán không dừng. Thật vậy, xét bài toán không dừng:    divV   f (1.2.7) t   S trên S khi un  0 (r,T) (r,0), r  (x, y, z)G (1.2.8)  Cũng như trong , ta giả sử là các hàm V và  không phụ thuộc vào t . Tính duy nhất nghiệm của bài toán , với các giả thiết tương ứng về độ trơn của các hàm được thiết lập như trong mục 1.1. Lấy tích phân hai vế phương trình trong đoạn [0,T], ta nhận được phương trình: T  T  T T  dt   divVdt   dt   fdt (1.2.8') 0 t 0 0 0 Chia cả hai vế của cho rồi biến đổi ta được: 1 T divu   f ,   dt (1.2.9) T 0 Từ phương trình này, với tính duy nhất nghiệm của bài toán , ta đi đến kết luận: Nghiệm trung bình trong chu kỳ của bài toán , trùng với nghiệm của bài toán .  Ta xét một trường hợp phức tạp hơn. giả sử hàm V đủ trơn trên đoạn và trong khoảng ti   t  ti1, (i 1,2,...,n 1) không phụ thuộc vào thời gian và  trùng với Vi từ . Khoảng thời gian làm thay đổi lưu số  được xem là rất nhỏ so với ti : 13  << ti (1.2.10) Ta tiến hành giải bài toán không dừng (1.2.7) , (1.2.8), tương ứng với véc tơ  V đã được xác định trên:     divV   f , divV  0 (1.2.11) t   S trên S khi un  0 (1.2.12)   trong đó  S liên quan với iS từ (1.2.5) cũng như là V với Vi từ (1.2.4) . Tiếp theo,  ta giả sử V và  S là các hàm tuần hoàn với chu kỳ T , ví dụ bằng một năm. Ta xét bài toán , với điều kiện: (r,T) (r,0), r  (x, y, z) (1.2.13) Khi đó giải bài toán - , ta xác định được sự phân bố vật chất trung bình hàng năm dưới dạng: 1 T   dt (1.2.14) T 0 Dễ dàng nhận thấy rằng có mối liên hệ chặt chẽ giữa cách đặt bài toán không dừng - với bài toán (1.2.4) , đã được xét ở trên. Xét trong khoảng ti ,ti1  phương trình :    divV    f (1.2.15) t i với điều kiện :   S trên khi uin  0 (1.2.16) Giả sử vào thời điểm t  ti  hàm A2  0 nhận giá trị: 0 (ti  )  (1.2.17) Ta ký hiệu hàm i ở dạng: i  i (1.2.18) trong đó i là nghiệm của bài toán , . Hàm i này là nghiệm của bài toán sau đối với t ti ,ti1 : 14   i  divV   0 t i i i i  0 (x, y, z) S, uin  0 (1.2.19) 0 i (ti )  i Nhân phương trình đầu ở (1.1.19) với i rồi lấy tích phân kết quả đó theo miền G . Ta nhận được:  d   2u       i in dS  0 (1.2.20) i  i i    dt  S 2 trong đó: 1   2  2     dG  G  Từ dẫn đến bất đẳng thức: 0 i  exp (t ti  i (1.2.21) Bằng cách xây dựng này, nghiệm của bài toán (1.2.11) - (1.2.13) trên mỗi khoảng ti  t  ti1 , bắt đầu từ một thời điểm nào đó, sẽ là nghiệm đủ nhỏ phân biệt với nghiệm tương ứng của bài toán (1.2.4) , (1.2.5). Nói chung mức độ khác nhau của các hàm này phụ thuộc chủ yếu vào giá trị ti . Khoảng thời gian xét lớp các bài toán với giá trị ti (i 1,2,...,n) là khoảng mà trên đó hàm  và i có sự khác biệt không đáng kể, thực sự lớn hơn hẳn sự bổ xung của nó đến ti . Khi tính đến điều kiện này, ta đưa vào khảo sát đại lượng  và sẽ cho rằng sự phân bố mật độ  1 và  2 của các chất nhiễm bẩn là trùng nhau, nếu:  1  2   (1.2.22) Ta ký hiệu  i là thời gian cần thiết để thiết lập được, theo nghĩa xác định , quá trình phân bố các chất  trong khoảng ti ,ti1 . Khi đó: 0 1  i   ln  t (1.2.23) i   i 15 Thực hiện động một cách tương tự như đã trình bày ở trên, với việc tính đến bất đẳng thức (1.2.21) , ta nhận được sự đánh giá đối với hàm  trong khoảng ti ,ti  :  tt  f  tt    e i     1 e i  (1.2.24) i1  Xét giá trị trung bình năm của chất  : 1 T 1 n 1 n1 ti1 1 n 1 n1 ti  i   dt   t   dt      dt   i i   i  i  i    (1.2.25) T T i1 T i1 T i1 T i0 0 ti  i ti Từ đây, do hệ thức - dẫn đến, hiệu giữa nghiệm của bài toán (1.2.4) , (1.2.5) và bài toán (1.2.11) - (1.2.13) được lấy trung bình theo khoảng [0,T] thoả mãn bất đẳng thức:  3 f  ~   2    1    (1.2.26)    Bằng phương pháp này, nghiệm của bài toán trung bình với chu kỳ T , về sự phân bố vật chất theo mô hình thống kê và bài toán không dừng - với các giả thiết đã nêu đủ gần với nhau. Như vậy, ta thấy rằng khi giải bài toán , hay - và lấy trung bình các kết quả theo (1.2.6) hay (1.2.14) một cách tương ứng, có tính đến quá trình khuếch tán của vật chất mà ta còn gọi là các nhiễu nhỏ của đầu vào. 1.3. Bài toán truyền tải và khuếch tán vật chất, tính duy nhất nghiệm Ta bắt đầu phân tích từ bài toán truyền tải vật chất đã biết trong 1.1:    divV   f (1.3.1) t   0 khi t  0 (1.3.2) Vì trong thực tế, cùng với quá trình truyền tải, các thành phần vật chất còn chịu ảnh hưởng của sự khuếch tán, nên ta có thể xem hàm  như là:    (1.3.3) 16 trong đó  là giá trị trung bình xấp xỉ bằng  , nghĩa là: 1 tT   dt T t 1 tT và  là thành phần bổ xung, có giá trị rất nhỏ và có thể coi   dt T t Cũng lý do đó ta xem:    V  V V  (1.3.4)    trong đó, V là giá trị trung bình xấp xỉ V ; V  là thành phần nhiễu. Lấy tích phân (1.3.1) từ t đến t  T rồi chia kết quả đó cho T , ta được: (t  T) (t) 1 tT  1 tT tT  div Vdt  dt   fdt (1.3.5) T T t T t t Nếu bài toán , (1.3.2) không có nguồn ( f  0 ) thì tương ứng với sẽ là: (t  T) (t) 1 tT  1 tT  div Vdt  dt  0 (1.3.6) T T t T t Thay (1.3.3) , vào ta được:  (t  T)  (t) (t  T) (t) 1 t T     div (V V)(  )dt  T T T  t (1.3.7)  t T ( )dt  0 T t  (t  T)  (t) 1 tT  tT     div Vdt  V dt  T T  t t  (1.3.8)  tT  tT (t  T) (t)  dt  dt   T t T t T  (t  T)  (t)   (t  T) (t)   divV  divV     (1.3.9) T T Ta giả sử:   A,   a (1.3.10) 17 Trong đó  và  là những đại lượng cùng cấp. Theo giả thiết   a nên ký hiệu   . Khi đó thay (1.3.10) vào (1.3.9) ta đi đến phương trình tương A đương sau: (t  T)  (t)     divV  divV    O(1) (1.3.11) T T trong đó O(1) là đại lượng cấp  . Vế phải của phương trình là đại lượng  bậc đủ nhỏ, nên có thể bỏ qua và phương trình có dạng: T (t  T)  (t)    divV  divV    0 (1.3.12) T Nếu T là khoảng thời gian trong đó hàm (t) biến đổi không lớn, thì (t  T)  (t) có thể thay bằng đạo hàm  và kết quả ta đi đến phương trình T t cho thành phần trung bình:     divV  divV    0 t Số hạng thứ ba ở vế trái của phương trình này biểu thị thành phần khuếch tán của quá trình dịch chuyển các thực thể vật chất trong khí quyển. Véc tơ vận tốc rối  V  có thể thay bằng biểu thức thực nghiệm qua trường trung bình như sau:     V =   , v'   , w'   (1.3.13) x y z ở đây   0,  0 là hệ số khuếch tán theo phương nằm ngang và thẳng đứng. Nó được xác định nhờ thực nghiệm đo đạc và là các đại lượng cho trước trong các bài toán về khuếch tán. Thế các biểu thức vào ta đi đến phương trình truyền tải và khuếch tán vật chất trong khí quyển như sau:    divV   K (1.3.14) t