Hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu

hàm đơn điệu thì bài toán hiệu chỉnh luôn có duy nhất nghiệm. Tuy nhiên, nếu f là một song hàm giả đơn điệu thì bài toán hiệu chỉnh không còn là đơn điệu mạnh hay đơn điệu, thậm chí không là giả đơn điệu. Do đó bài toán hiệu chỉnh nói chung không có nghiệm duy nhất, thậm chí tập nghiệm là không lồi. Bài báo trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề cho bài toán cân bằng giả đơn điệu. Chúng tôi khẳng định được rằng bài toán hiệu chỉnh xấp xỉ có nghiệm khi bài toán gốc có nghiệm và mặc dù bài toán hiệu chỉnh không có nghiệm duy nhất nhưng mọi quỹ đạo nghiệm của nó đều có cùng một giới hạn. Từ khóa: Giả đơn điệu; bài toán cân bằng; bài toán hiệu chỉnh. Abstract In the calibration problem, if f is a monotonic function, the calibration problem is unique solution. However, if it is a monotone denture, the calibration problem is not monotonous or monotonous, not even monotone. Therefore the calibration problem generally has no single solution, even the experiment is not convex.This article presents Tikhonov’s method of calibration and the approach to calibration for the monotone equilibrium problem. We assert that the calibration problem approximates the solution when the original problem has the solution and although the problem there is no single solution, but every fund of its own has the same limit. Keywords: Simplified; equilibrium problem; calibration problem. 1. GIỚI THIỆU Bài toán cân bằng lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H. Nikaido, K. Soda nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác, và vào năm 1972 nó được xét đến dưới dạng một bất đẳng thức minimax bởi tác giả Ky Fan. Bài toán thường được sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong lý thuyết trò chơi (Games Theory). Các hướng nghiên cứu đang được chú trọng đối với bài toán cân bằng là: Nghiên cứu những vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định và định lượng như phương pháp giải, tính hội tụ. Trong việc nghiên cứu những vấn đề này, các phương pháp giải đóng một vai trò rất quan trọng. Đến nay đã có một số kết quả đạt được cho một số lớp bài toán cân bằng với các giả thiết lồi và đơn điệu, trong đó chủ yếu sử dụng phương pháp điểm gần kề, phương pháp nguyên lý bài toán phụ, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Bài toán cân bằng khi hàm f không có tính đơn điệu mạnh, nói chung là bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa bài toán không có duy nhất nghiệm hoặc nghiệm của nó không ổn định theo dữ kiện ban đầu. Trong bài báo, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng khi hàm f là một song hàm giả đơn điệu. Ý tưởng chính của các phương pháp này là: Xây dựng các bài toán hiệu chỉnh bằng cách thêm vào toán tử của bài toán gốc một toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham số sao cho bài toán hiệu chỉnh có nghiệm duy nhất. Khi đó, với các điều kiện phù hợp, dãy lặp nhận được bằng cách giải bài toán hiệu chỉnh, có giới hạn là một nghiệm nào đó của bài toán gốc khi cho tham số dần tới một điểm giới hạn thích hợp. Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Văn Ninh 2. TS. Đào Trọng Quyết 65 NGÀNH TOÁN HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ ĐẦU Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng một số kí hiệu, kiến thức, kết quả đã được trình bày trong [1, 2, 3]. Kí hiệu:H là một không gian Hilbert thực. Giả sử C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và thỏa mãn ( )f x,x 0= với mọi x C∈ . Khi đó ta gọi hàm f là một song hàm cân bằng trên C . Song hàm là song hàm giả đơn điệu nếu: ( ) ( )f x, y 0 f y,x 0, x, y C≥ ⇒ ≤ ∀ ∈ . Bài toán cân bằng: Cho f là một song hàm cân bằng trênC. Tìm *x C∈ sao cho ( )*f x , y 0, y C≥ ∀ ∈ . Ta kí hiệu bài toán này là ( )EP C, f và gọi là bài toán cân bằng, tập nghiệm của nó được kí hiệu là ( )S C, f . Một số giả thiết khi xét sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và . Giả thiết: (A1). ( )f ., y là hàm nửa liên tục trên, yếu trên H đối với mỗi x C∈ . (A2). ( )f x,. là hàm lồi, nửa liên tục dưới yếu trên H và khả vi trên ( )domf x,. đối với mỗi x C∈ . Mệnh đề 2.1 Giả sử f thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2). Xét các mệnh đề sau: 1. Tồn tại một vectơ 0y C∈ sao cho là một tập bị chặn. 2. Tồn tại một hình cầu đóng B ⊆ H và một vectơ sao cho ( )0f x, y 0, x C \ B< ∀ ∈ . 3. Tập nghiệm ( )S C, f của bài toán là khác rỗng và compact yếu. 3. HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Bài toán cân bằng trong trường hợp f là song hàm giả đơn điệu là bài toán đặt không chỉnh. Vấn đề đặt ra là tìm cách hiệu chỉnh để xét tính duy nhất nghiệm, tính ổn định nghiệm của bài toán cân bằng. 3.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp cơ bản thường được sử dụng để giải các bài toán đặt không chỉnh. Ý tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng là thay song hàm f bằng một song hàm f : f gε ε= + , trong đó 0ε > là tham số hiệu chỉnh và g là song hàm đơn điệu mạnh được gọi là song hàm hiệu chỉnh, sau đó xét bài toán cân bằng với song hàm fε . Xét bài toán cân bằng: Tìm *x C∈ sao cho . trong đó C là một tập lồi đóng trongH là một song hàm giả đơn điệu trên C. Khi đó bài toán hiệu chỉnh được xây dựng như sau: Tìm x C∈ sao cho ( ) trong đó ( )g x, y là một song hàm đơn điệu mạnh được gọi là song hàm hiệu chỉnh, 0ε > là tham số hiệu chỉnh. Định lý sau đây cho thấy, khi song hàm cân bằng f là giả đơn điệu, bài toán hiệu chỉnh ( )EP C, fε có nghiệm khi và chỉ khi bài toán ban đầu ( )EP C, f có nghiệm và mặc dù không có nghiệm duy nhất nhưng mọi quỹ đạo nghiệm của nó đều hội tụ đến nghiệm của bài toán ( )EP C, fε gần với nghiệm dự đoán xg nhất. Định lý 3.1: Giả sử f là giả đơn điệu trên C và thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2). Khi đó các khẳng định sau là tương đương: 1. khác rỗng với mọi 0ε > và ( ) 0 lim x ε ε +→ tồn tại, với ( )x ε chọn tùy ý trong . 2. khác rỗng với mọi 0ε > và ( ) 0 lim sup x ε ε +→ < ∞ với ( )x ε chọn tùy ý trong . 3. Hơn nữa, nếu một trong các khẳng định trên được thỏa mãn thì trong đó *x là nghiệm duy nhất của bài toán cân bằng với là một song hàm đơn điệu mạnh thỏa mãn Ngoài ra, nếu g là song hàm khoảng cách thì x* là hình chiếu của xg trên tập nghiệm của bài toán ( )EP C, f . Tuy nhiên, nhiều khi bài toán hiệu chỉnh còn khó giải hơn bài toán ban đầu, vì vậy để hạn chế phần nào nhược điểm nói trên ta thay thế bất đẳng thức trong bài toán ( )EP C, fε bởi bất đẳng thức ( )f x, yε δ≥ - trong đó 0δ ≥ là một hằng số cho trước. Khi đó bài toán ( )EP C, fε với song hàm hiệu chỉnh là song hàm khoảng cách trở thành bài toán hiệu chỉnh: Tìm x C∈ sao cho ( ) ( ): gf x, y f x, y x x , y x , y C.ε ε δ= + - - ≥ - ∀ ∈ ( ( )EP C, fδ ε ) Kí hiệu là tập nghiệm của bài toán ( )EP C, fδ ε . 66 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018 Nhận xét: Nếu x thỏa mãn ( )f x, y 0ε ≥ với mọi y C∈ thì cũng thỏa mãn ( )f x, yε δ≥ - với mọi y C∈ , do đó ( ) ( )S C, f S C, fδ ε δ ε⊆ . Bổ đề 3.1: Giả sử f là giả đơn điệu trên C . Khi đó với mọi ( )0, 0,x S C, fε δ> ≥ ∈ , ( )x S C, fδ∈ và gx C∈ ta có: 1) ( ) ( ) 2 22g gx x x x x x 2 .δε ε ε - + - ≤ - + 2) ( ) 2g gx x x xS C, f B 0, C. 2 2δ ε δ ε   + - ⊂ + + ∩     3) ( ) 2g g g x x x xx x . 2 2 δ ε ε + - - ≤ + + trong đó kí hiệu ( )B x,r là hình cầu đóng tâm x, bán kính r. Chứng minh. Giả thiết ( )x S C, f∈ do f là giả đơn điệu nên ta có ( ) ( )f x, y 0 f y,x 0, y C.≥ ⇒ ≤ ∀ ∈ (1) Do ( ) ( )x S C, fδ εε ∈ nên ( )( ) ( ) ( )gf x , y x x , y x , y C.ε ε ε ε δ+ - - ≥ - ∀ ∈ (2) Thay ( )y x ε= vào bất đẳng thức thứ hai trong công thức (1) và thay y x= vào công thức (2) ta được và Từ đó ta có Do đó ( ) ( ) 2 22g gx x x x x x 2 .δε ε ε - + - ≤ - + Vậy 1) được chứng minh. Mặt khác, ta có ( ) ( ) 2 22g g g gx x x x x x x x 2 .δε ε ε   - + - - - ≤ - +    Trong đó ( ) ( ) 2g g gx x x x ,x x δε ε ε - - - - ≤ Do đó ( ) ( ) 2 2g g gx x x xx x x 2 2 ε ε + - - = - - ( ) ( ) g2g g g g x xx x x x ,x x 2 x x . 2 - = - - - - + - ≤ + ε ε δ ε ( ) ( ) g2g g g g x xx x x x ,x x 2 x x . 2 - = - - - - + - ≤ + ε ε δ ε Khi đó: 2), 3) được chứng minh. Bổ đề tiếp theo cho biết tính chất và cấu trúc của tập δ - nghiệm của bài toán hiệu chỉnh khi bài toán gốc có nghiệm. Bổ đề 3.2: Giả sử f là giả đơn điệu trên C và thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2). Khi đó, nếu tập nghiệm ( )S C, f là khác rỗng thì với mọi 0, 0ε δ> > tập δ - nghiệm ( )S C, fδ ε là khác rỗng và compact yếu. Chứng minh: Theo Mệnh đề 2.1, ta luôn tìm được một vectơ 0y C∈ sao cho tập ( ) ( ){ }0 0L y , f : x C : f x, y .δ ε ε δ= ∈ ≥ - là bị chặn. Lấy ( )0y S C, f∈ và ( )0x L y , fδ ε∈ . Từ định nghĩa của ( )0L y , fδ ε ta có ( ) ( )0 0 g 0f x, y : f x, y x x , y xε ε δ= + - - ≥ - Từ điều kiện ( )0f y ,x 0≥ , do f là giả đơn điệu nên ta có ( )0f x, y 0≤ . Do đó: g 0x x , y x δ ε - - ≥ - Khi đó: Từ đó 2 2 2g 0 g 0x x x y x y 2 .δ ε - + - ≤ - + Trong đó 2 2 2g 0 g 0x x x y x y 2 δ ε - + - ≤ - + suy ra ( )2g 0 g 0x x y x 2 , x L y , fδ εδε≤ + - + ∀ ∈ Vậy tập ( )0L y , fδ ε là bị chặn. Định lý dưới đây cho thấy dãy σ - nghiệm của các bài toán hiệu chỉnh sẽ hội tụ mạnh về nghiệm của bài toán gốc gần với nghiệm phỏng đoán gx nhất khi , 0ε σ → , 0ε σ . Điều này cho thấy rằng, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xấp xỉ vẫn ổn định đối với bài toán cân bằng giả đơn điệu trong không gian Hilbert. Định lý 3.2: Giả sử f giả đơn điệu trên C , thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2) và tập nghiệm của bài toán ( )E C, f khác rỗng. Cho { } { }k k,ε σ là hai dãy số dương đơn điệu giảm về 0 và thỏa mãn 67 NGÀNH TOÁN HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018 k k0, 0ε σ→ → khi k → ∞ . Khi đó a) Với mọi k ∈ ¥ , tập kδ - nghiệm ( )k kSE C, fδ ε khác rỗng, compact yếu và 2 22g k k g k k x x x x x x 2 δ ε - + - ≤ - + (3) trong đó ( ) ( )k kk gx SE C, f , x SE C, f , x C.δ ε∈ ∈ ∈ b) Dãy { }kx trong đó kx được chọn tùy ý trong ( )k kSE C, fδ ε , hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất *x của bài toán cân bằng , với và ( ) gg x, y : x x , y x= - - . Hơn nữa, *x chính là hình chiếu của gx trên ( )SE C, f . Chứng minh: a) Chỉ cần áp dụng các bổ đề 3.1 -1), và bổ đề 3.2 với ( ) k kx x ,ε ε ε= = và kδ δ= . b) Vì ( )SE C, f khác rỗng nên ta có thể lấy tùy ý ( )x : SE C, f= . Theo khẳng định a), tập kδ - nghiệm của ( )kE C, fε là khác rỗng với mọi k ∈ ¥ . Lấy tùy ý ( )k kkx SE C, fδ ε∈ . Khi đó: với mỗi k ∈ ¥ , ta có: ( ) ( ) ( )k k k k k g k k k f x,x 0 . f x,x : f x,x x x ,x xε ε δ  ≥  = + - - ≥ - Do k ∈ giả đơn điệu nên từ bất đẳng thức thứ nhất suy ra ( )kf x ,x 0≤ . Do đó, từ bất đẳng thức thứ hai, ta nhận được ( )k k g k k k g x ,x : x x ,x x , k. δ ε = - - ≥ - ∀ (4) Mặt khác, vì k k 0 δ ε → nên nó bị chặn, tức là k k M 0 : 0 M , k. δ ε ∃ > ≤ ≤ ∀ Áp dụng các tính chất 2) và 3) trong bổ đề 3.1 với ( ) k k kx x , ,ε ε ε δ δ= = = , ta có ( )k k g k 2g k k g 2g x x0, 2 x SE C, f B C x x 2 x x0, 2 B C, k. x x M 2 δ ε δ ε  +     ∈ ⊂ ∩   - + +      +     ⊂ ∩ ∀   - + +     và 2g g k g k k x x x xx x , k. 2 2 δ ε + - - ≤ + + ∀ (5) Vì 2g gx x x xB 0, M C, k 2 2   + - + + ∩ ∀     là tập compact yếu nên có một dãy con { } { }jk kx x⊂ sao cho Do jkx là jk δ - nghiệm của bài toán ( )k jE K , fε nên Bởi và ( )f ., y nửa liên tục trên yếu nên ( ) ( ) ( )j jk jj j k k * k k 0 lim f x , y lim f x , y f x , y , y Cε→∞ →∞≤ ≤ ≤ ∀ ∈ Chứng tỏ . Hơn nữa, sử dụng (4) với jk k= ta có ( ) jj j j j kk k kg j k g x ,x : x x ,x x , k δ ε = - - ≥ - ∀ và vì j j j k kg * g * k 0 lim x x ,x x x x ,x x . →∞ ≥ - - ≥ - - nên ( )* * g *g x ,x : x x ,x x 0.= - - ≥ Vì x là một phần tử tùy ý của nên suy ra *x là nghiệm của bài toán . Do g đơn điệu mạnh trên C chứa , vì vậy bài toán có duy nhất nghiệm. Như vậy, ta đã chứng minh được { }kx bị chặn và bất kỳ điểm giới hạn yếu nào của nó cũng là ngiệm duy nhất *x của bài toán . Do đó toàn bộ dãy{ }kx phải hội tụ yếu về *x . Thay *x x= vào bất đẳng thức (5), ta được 2* g * g k g k k x x x xx x , k 2 2 δ ε - - - ≤ + + ∀ Vì k k 0 δ ε → khi k→∞ nên * g k g * g 2k k * g k k x x 2 lim x x lim x x . x x 2 δ ε →∞ →∞  -     - ≤ = -   - + +    Do đó dãy { }k gx x- hội tụ mạnh về * gx x- , do đó { }kx cũng hội tụ mạnh về *x . Hơn nữa, từ (3) ta có 22k g g k k x x x x 2 , k δ ε - ≤ - + ∀ Cho k → ∞ ta nhận được k g gx x x x .- ≤ - (6) Khi đó tập nghiệm ( )SE C, f là lồi, đóng và khác rỗng nên hình chiếu của gx trên ( )SE C, f được xác định duy nhất, và từ (6) ta thấy, hình chiếu đó chính là *x . 68 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018 3.2. Phương pháp điểm gần kề Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng giả đơn điệu. Kết quả hội tụ của phương pháp này cho thấy phương pháp điểm gần kề cũng có thể sử dụng cho bài toán cân bằng giả đơn điệu. Điểm khác biệt cơ bản với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là trong phương pháp điểm gần kề tại mỗi bước lặp, bài toán hiệu chỉnh chỉ phụ thuộc vào điểm lặp ở bước trước và tham số hiệu chỉnh kc 0> không cần dần đến 0. Xuất phát từ một điểm 0 gx : x C= ∈ cho trước, tại mỗi bước lặp k = 1, 2, 3... xét bài toán hiệu chỉnh: Tìm kx C∈ sao cho: ( ) ( )k k k k 1 kk k k f x , y : f x , y c x x , y x , y C.δ -= + - - ≥ - ∀ ∈ trong đó tham số kx 0> và sai số k 0δ ≥ cho trước. Ta gọi nghiệm của bài toán hiệu chỉnh trên là kδ - nghiệm và kí hiệu tập tất cả các kδ - nghiệm là ( ) k k S C, fδ . Gọi dãy { }kx với ( )kk kx S C, fδ∈ là một quỹ đạo xấp xỉ gần kề. Định lý sau đây sẽ chỉ ra rằng, đối với bài toán cân bằng giả đơn điệu, mặc dù bài toán hiệu chỉnh không có duy nhất nghiệm nhưng mọi quỹ đạo xấp xỉ đều có cùng một giới hạn. Định lý 3.3: Giả sử f là giả đơn điệu trên C thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2) và bài toán ( )EP C, f là có lời giải. Lấy { }kc và { }kδ là hai dãy số dương sao cho kc c , k≤ < ∞ ∀ và k k 1 kc δ∞ = < +∞∑ . Khi đó: 1. Đối với mỗi k ∈ ¥ tập nghiệm ( ) k k S C, fδ là khác rỗng, đóng và bị chặn đều. Khi đó ta có: 2 22k 1 k k k 1 k k x x x x x x 2 . c δ- -- + - ≤ - + (7) trong đó ( ) ( )k k kx S C, f ,x S C, fδ∈ ∈ ( ) ( )k k kx , f ,x , fδ . 2. Xét dãy { }kx bất kỳ, trong đó kx chọn tùy ý trong tập ( ) k k S C, fδ , hội tụ yếu đến một nghiệm của bài toán ( )EP C, f . Hơn nữa, nếu { }kx có một điểm hội tụ mạnh, khi đó toàn bộ dãy sẽ hội tụ mạnh đến một nghiệm của bài toán ( )EP C, f ban đầu. Chứng minh: 1. Từ Bổ đề 3.2 với g k 1x x C-= ∈ và kc 0ε = > ta thấy, với mọi k=1; 2; 3... tập nghiệm của bài toán cân bằng ( )kEP C, f là đóng, rỗng và bị chặn đều. Áp dụng ý 1) trong Bổ đề 3.1 với ( )g k 1 kk kc ,x x ,x x , .ε ε δ δ-= = = = Ta được 2 22k 1 k k k 1 k k x x x x x x 2 . c δ- -- + - ≤ - + là điều phải chứng minh. 2. Gọi x là điểm bất động bất kỳ trong tập nghiệm của bài toán ( )kEP C, f , lấy ( )k k kx S C, fδ∈ với k 1≥ . Từ (7) ta có 2 2k k 1 k k x x x x 2 . c δ-- ≤ - + (8) Từ k k 1 kc δ∞ = < +∞∑ ta có k x lim x x µ →∞ - = < ∞ . (9) Dùng bất đẳng thức (7) ta có thể viết lại như sau 2 22k k 1 k 1 k k k x x x x x x 2 . c δ- -- ≤ - - - + Khi đó, do (9) và k k 0 c δ → khi k ∈ ¥ k → ∞ , ta có k k 1 k lim x x 0.- →∞ - = (10) Đặt j j 1 j M : 2 c δ∞ = = < ∞∑ . Khi đó, từ (8) k2 2 2k g gi j 1 k x x x x 2 x x M k. c δ = - ≤ - + ≤ - + ∀∑ 2k gx x x x M k.⇒ - ≤ - + ∀ 2k gx x x x M k.⇒ ≤ + - + ∀ ( ) k 2k g kx S C, f B 0, x x x M C.δ   ⇒ ∈ ⊂ + - + ∩    Do { }kx là bị chặn nên tồn tại một dãy con { } { }k kjx x≤ sao cho Do { }kx là một jkδ - nghiệm của bài toán cân bằng ( )jkEP C, f với mọi jk , ta có ( )j j j jj j jk k k 1 kk k kf x , y c x x , y x , y Cδ-+ - - ≥ - ∀ ∈ (11) Kết hợp với (10), với f là nửa liên tục trên yếu, và điều kiện cùng với (11), trong đó ( ) ( ) ( )j jj j j k k * kk k 0 lim f x , y lim f x , y f x , y , y C →∞ →∞ ≤ ≤ ≤ ∀ ∈ cho thấy ( )*x S C, f∈ . Ta cần chỉ ra rằng *x là điểm tụ yếu duy nhất của{ }kx . Thật vậy, giả sử * * 1 2x ,x là hai điểm tụ yếu phân biệt của{ }kx . Khi đó ( )* *1 2x ,x S C, f∈ . 69 NGÀNH TOÁN HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190. Số 3(62).2018 Áp dụng (9) với * *1 2x ,x đóng vai trò như x ta được k * 1 ik lim x x , i 1,2.µ →∞ - = =1; (12) Rõ ràng 2 2 2k * * k * k * * * 1 1 2 2 1 1 22 x x ,x x x x x x x x .- - = - - - - - (13) Do *1x là một điểm tụ yếu của { }kx từ (12), (13) dẫn đến 2 1 2k * * 2 2 * * 1 1 2 1 2k 0 2 lim x x ,x x x x .µ µ →∞ = - - = - - - Do đó 2 1 22 2 * * 1 2x x 0.µ µ- = - > Thay đổi vai trò của *1x và *2x cho nhau và lập luận tương tự ta cũng thu được kết quả 2 22 2 * * 1 2 1x x 0.µ µ- = - > Điều này là vô lý. Vậy *x là duy nhất. Giả sử dãy con { } { }jk kx x⊆ hội tụ mạnh tới *x ∈H . Khi đó ( )*x C, f∈ S . Áp dụng công thức (8) với *x x= ta được (14) Với 0γ > bất kỳ, do j j k * k lim x x 0 →∞ - = và k k 1 kc δ∞ = < +∞∑ , lấy sao cho lk *x x 2 γ - ≤ và l 2 i i k 1 ic 4 δ γ∞ = + <∑ . Do đó, với lk k 1> + , từ (14) ta được 2 2k * k 1 * k 2 * k k 1 k k 1 k 11 * k k 1 k k 1 k 1 2 2 x x x x 2 x x 2 c c ... x x 2 ... c c c . 2 2 δ δ δ δ γ γ - + - ≤ - +   ≤ - + +    ≤   ≤ - + + + +     ≤ + = Do đó k * lx x , k k 1γ- ≤ ∀ > + . Vậy, với tùy ý ta luôn có k * k lim x x 0 →∞ - = . hay{ }kx hội tụ mạnh về *x , vậy ta có điều cần chứng minh. Kết luận: Chúng ta đã chứng tỏ được rằng, bài toán hiệu chỉnh xấp xỉ có nghiệm khi bài toán gốc có nghiệm và bất kỳ dãy nghiệm nào của các bài toán hiệu chỉnh xấp xỉ cũng hội tụ về cùng một nghiệm của bài toán gốc, nghiệm này cũng chính là hình chiếu của nghiệm phỏng đoán lên tập nghiệm của bài toán ( )E C, f trong trường hợp sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hay phương pháp điểm gần kề. Xét tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề đối với bài toán cân bằng giả đơn điệu. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Đỗ Văn Lưu (2009). Giải tích hàm. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. [2]. Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015). Giáo trình giải tích lồi ứng dụng. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [3]. Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005). Bài toán đặt không chỉnh. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [4]. Bui V. Dinh, Pham G. Hung, Le D. Muu (2014). Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numerical Functional Analysis and Optimization. 35:539-563. [5]. Pham G. Hung, Le D. Muu (2011). The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions. Nonlinear Analysis 74:6121-6129. [6]. M. Bianchi and S. Schaible (1996). Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems. Journal of Optimization Theory and Applications. 90:31-43. [7]. G. Mastroeni (2003). On auxiliary priciple for equilibrium problems. Kluwer Academic, Dordrecht, pp. 289-298. [8]. L. D. Muu (1984). Stability property of a class of variational inequality. Optimization 15:347-351.