Giáo trình Vi tích phân A2 - Chương 1: Hàm nhiều biến - Lê Hoài Nhân

ớn nhất Chương 1. Phép tính vi phân hàm nhiều biến 1 Khái niệm 2 Hàm nhiều biến 3 Giới hạn và tính liên tục 4 Đạo hàm riêng 5 Vi phân 6 Cực trị 7 Cực trị có điều kiện 8 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Khái niệm 1 Không gian Rn: là tập hợp gồm các phần tử có dạng x = (x1, x2, ..., xn) với xi ∈ R. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Khái niệm 1 Không gian Rn: là tập hợp gồm các phần tử có dạng x = (x1, x2, ..., xn) với xi ∈ R. 2 Khoảng cách trong Rn: Cho x , y ∈ Rn. Khoảng các giữa x và y được xác định bởi công thức d(x , y) = √ (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + ...+ (yn − xn)2. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Khái niệm 1 Không gian Rn: là tập hợp gồm các phần tử có dạng x = (x1, x2, ..., xn) với xi ∈ R. 2 Khoảng cách trong Rn: Cho x , y ∈ Rn. Khoảng các giữa x và y được xác định bởi công thức d(x , y) = √ (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + ...+ (yn − xn)2. 3 Các tập hợp phẳng (xem giáo trình trang 4): Lân cận, điểm trong, điểm biên, tập mở, tập đóng, phần trong, sự liên thông, miền và miền hữu hạn. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định nghĩa Hàm nhiều biến: Cho miền D ⊂ Rn. Ánh xạ: f : D 7−→ R x 7−→ u = f (x) Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x1, x2, ..., xn). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định nghĩa Hàm nhiều biến: Cho miền D ⊂ Rn. Ánh xạ: f : D 7−→ R x 7−→ u = f (x) Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x1, x2, ..., xn). n = 2 ta ký hiệu hàm hai biến x , y là z = f (x , y). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định nghĩa Hàm nhiều biến: Cho miền D ⊂ Rn. Ánh xạ: f : D 7−→ R x 7−→ u = f (x) Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x1, x2, ..., xn). n = 2 ta ký hiệu hàm hai biến x , y là z = f (x , y). n = 3 ta ký hiệu hàm ba biến x , y , z là u = f (x , y , z). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định nghĩa Hàm nhiều biến: Cho miền D ⊂ Rn. Ánh xạ: f : D 7−→ R x 7−→ u = f (x) Ta còn ký hiệu hàm nhiều biến là u = f (x1, x2, ..., xn). n = 2 ta ký hiệu hàm hai biến x , y là z = f (x , y). n = 3 ta ký hiệu hàm ba biến x , y , z là u = f (x , y , z). Tập xác định của hàm nhiều biến là tập hợp tất cả các điểm trong Rn sao cho biểu thức u = f (x1, x2, ..., xn) có nghĩa. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y − x) là hàm số hai biến có miền xác định D = {(x , y) ∈ R2 : y − x > 0} CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y − x) là hàm số hai biến có miền xác định D = {(x , y) ∈ R2 : y − x > 0} Ví dụ 2. Hàm số z = √ 1− x2 − y2 là hàm hai biến xác định trên hình tròn đóng D = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y − x) là hàm số hai biến có miền xác định D = {(x , y) ∈ R2 : y − x > 0} Ví dụ 2. Hàm số z = √ 1− x2 − y2 là hàm hai biến xác định trên hình tròn đóng D = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. Ví dụ 3. Hàm số u = ln(4− x2 − y2 − z2) là hàm ba biến xác định trên miền Ω = {(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 4}. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 1. Hàm số z = ln(y − x) là hàm số hai biến có miền xác định D = {(x , y) ∈ R2 : y − x > 0} Ví dụ 2. Hàm số z = √ 1− x2 − y2 là hàm hai biến xác định trên hình tròn đóng D = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. Ví dụ 3. Hàm số u = ln(4− x2 − y2 − z2) là hàm ba biến xác định trên miền Ω = {(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 4}. F Hãy biểu diễn hình học các tập xác định trên. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Đồ thị của hàm số hai biến z = f (x , y) thường là mặt cong S trong không gian mà hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy là tập xác định D của hàm số. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Đồ thị của hàm số hai biến z = f (x , y) thường là mặt cong S trong không gian mà hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy là tập xác định D của hàm số. Ví dụ 4. Đồ thị của hàm số z = sin x + sin y + sin(x + y) với miền xác định 0 ≤ x ≤ pi 2 , 0 ≤ y ≤ pi 2 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Đồ thị của hàm số hai biến z = f (x , y) thường là mặt cong S trong không gian mà hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy là tập xác định D của hàm số. Ví dụ 4. Đồ thị của hàm số z = sin x + sin y + sin(x + y) với miền xác định 0 ≤ x ≤ pi 2 , 0 ≤ y ≤ pi 2 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 5. Đồ thị của hàm số z = 1− x − y với 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 1− x là một tam giác có các đỉnh là A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) và C (0, 0, 1). Hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng Oxy là tam giác OAB . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 5. Đồ thị của hàm số z = 1− x − y với 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ 1− x là một tam giác có các đỉnh là A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) và C (0, 0, 1). Hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng Oxy là tam giác OAB . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 6. Đồ thị của hàm số z = √ x2 + y2 là mặt nón tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 6. Đồ thị của hàm số z = √ x2 + y2 là mặt nón tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 7. Đồ thị của hàm số z = x2 + y2 là mặt Paraboleloid tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 7. Đồ thị của hàm số z = x2 + y2 là mặt Paraboleloid tròn xoay có đỉnh là gốc tọa độ và trục Oz . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 8. Đồ thị của hàm số z = √ 1− x2 − y2 là nửa trên của mặt cầu tâm O bán kính 1. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 8. Đồ thị của hàm số z = √ 1− x2 − y2 là nửa trên của mặt cầu tâm O bán kính 1. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 9. Đồ thị của hàm số z = 1 2 x2 là mặt trụ Parabol có đường sinh song song với trục Oy . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học của hàm hai biến Ví dụ 9. Đồ thị của hàm số z = 1 2 x2 là mặt trụ Parabol có đường sinh song song với trục Oy . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đường mức Định nghĩa Cho hàm số z = f (x , y), C là số thực thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình f (x , y) = C xác định một đường cong trong mặt phẳng Oxy , đường cong này được gọi là đường mức (đẳng trị) của hàm số. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn đường mức Ví dụ 10. Đường mức của mặt nón x = √ x2 + y2 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn đường mức Ví dụ 10. Đường mức của mặt nón x = √ x2 + y2 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn đường mức Ví dụ 10. Đường mức của mặt nón x = √ x2 + y2 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn đường mức Ví dụ 11. Đường mức của mặt cong x2 + (y − z)2 = 2z2 với z ≥ 0. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn đường mức Ví dụ 11. Đường mức của mặt cong x2 + (y − z)2 = 2z2 với z ≥ 0. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Biểu diễn đường mức Ví dụ 11. Đường mức của mặt cong x2 + (y − z)2 = 2z2 với z ≥ 0. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Mặt mức Định nghĩa Cho hàm số u = f (x , y , z) và C là số thực thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình f (x , y , z) = C xác định một mặt cong trong không gian Oxy , mặt cong này được gọi là mặt mức. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Mặt mức Định nghĩa Cho hàm số u = f (x , y , z) và C là số thực thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình f (x , y , z) = C xác định một mặt cong trong không gian Oxy , mặt cong này được gọi là mặt mức. Biểu diễn mặt mức Các mặt mức của hàm số f (x , y , z) = x2 − z . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Mặt mức Định nghĩa Cho hàm số u = f (x , y , z) và C là số thực thuộc miền giá trị của hàm số. Phương trình f (x , y , z) = C xác định một mặt cong trong không gian Oxy , mặt cong này được gọi là mặt mức. Biểu diễn mặt mức Các mặt mức của hàm số f (x , y , z) = x2 − z . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định nghĩa Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y), số L được gọi là giới hạn của hàm f khi x → x0, y → y0 nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 : với mọi (x , y) thỏa √ (x − x0)2 − (y − y0)2 < δ ta có |f (x , y) − L| < ε. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định nghĩa Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y), số L được gọi là giới hạn của hàm f khi x → x0, y → y0 nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 : với mọi (x , y) thỏa √ (x − x0)2 − (y − y0)2 < δ ta có |f (x , y) − L| < ε. Tính chất Giới hạn hàm số nếu có là duy nhất. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ về tính giới hạn Ví dụ 12. lim (x,y)→(2,3) (2x − y2) = 4− 9 = −5. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ về tính giới hạn Ví dụ 12. lim (x,y)→(2,3) (2x − y2) = 4− 9 = −5. lim (x,y)→(a,b) x2y = a2b. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ về tính giới hạn Ví dụ 12. lim (x,y)→(2,3) (2x − y2) = 4− 9 = −5. lim (x,y)→(a,b) x2y = a2b. lim (x,y)→( pi3 ,2) x . sin x y = 2 sin pi 6 = 1. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ về tính giới hạn Ví dụ 12. lim (x,y)→(2,3) (2x − y2) = 4− 9 = −5. lim (x,y)→(a,b) x2y = a2b. lim (x,y)→( pi3 ,2) x . sin x y = 2 sin pi 6 = 1. Ví dụ 13. lim (x ,y)→(0,a) sin xy x ? CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ về tính giới hạn Ví dụ 12. lim (x,y)→(2,3) (2x − y2) = 4− 9 = −5. lim (x,y)→(a,b) x2y = a2b. lim (x,y)→( pi3 ,2) x . sin x y = 2 sin pi 6 = 1. Ví dụ 13. lim (x ,y)→(0,a) sin xy x ? Ví dụ 14. lim (x ,y)→(∞,a) ( 1+ 1 x ) x2 x+y ? CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ về tính giới hạn Ví dụ 12. lim (x,y)→(2,3) (2x − y2) = 4− 9 = −5. lim (x,y)→(a,b) x2y = a2b. lim (x,y)→( pi3 ,2) x . sin x y = 2 sin pi 6 = 1. Ví dụ 13. lim (x ,y)→(0,a) sin xy x ? Ví dụ 14. lim (x ,y)→(∞,a) ( 1+ 1 x ) x2 x+y ? Ví dụ 15. lim (x ,y)→(∞,∞) ( xy x2 + y2 )x2 ? CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ về tính giới hạn Ví dụ 12. lim (x,y)→(2,3) (2x − y2) = 4− 9 = −5. lim (x,y)→(a,b) x2y = a2b. lim (x,y)→( pi3 ,2) x . sin x y = 2 sin pi 6 = 1. Ví dụ 13. lim (x ,y)→(0,a) sin xy x ? Ví dụ 14. lim (x ,y)→(∞,a) ( 1+ 1 x ) x2 x+y ? Ví dụ 15. lim (x ,y)→(∞,∞) ( xy x2 + y2 )x2 ? Ví dụ 16. lim (x ,y)→(∞,∞) x + y x2 − xy + y2 ? CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Chứng minh giới hạn không tồn tại Ví dụ 17. lim (x ,y)→(0,0) xy x2 + y2 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Chứng minh giới hạn không tồn tại Ví dụ 17. lim (x ,y)→(0,0) xy x2 + y2 . Ví dụ 18. lim (x ,y)→(0,0) x2y x4 + y2 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Chứng minh giới hạn không tồn tại Ví dụ 17. lim (x ,y)→(0,0) xy x2 + y2 . Ví dụ 18. lim (x ,y)→(0,0) x2y x4 + y2 . Ví dụ 19. lim (x ,y)→(0,0) y(x2 + y2) y2 + (x2 + y2)2 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Chứng minh giới hạn không tồn tại Ví dụ 17. lim (x ,y)→(0,0) xy x2 + y2 . Ví dụ 18. lim (x ,y)→(0,0) x2y x4 + y2 . Ví dụ 19. lim (x ,y)→(0,0) y(x2 + y2) y2 + (x2 + y2)2 . Ví dụ 20. lim (x ,y)→(0,0) 3 √ x3 + y3 − x − y√ x2 + y2 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Hàm số liên tục Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y) xác định trong tại (x0, y0) và lân cận. Ta nói f (x , y) liên tục tại (x0, y0) nếu CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Hàm số liên tục Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y) xác định trong tại (x0, y0) và lân cận. Ta nói f (x , y) liên tục tại (x0, y0) nếu lim (x ,y)→(x0,y0) f (x , y) = f (x0, y0). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Hàm số liên tục Định nghĩa. Cho hàm số f (x , y) xác định trong tại (x0, y0) và lân cận. Ta nói f (x , y) liên tục tại (x0, y0) nếu lim (x ,y)→(x0,y0) f (x , y) = f (x0, y0). Một hàm số không liên tục tại (x0, y0) thì ta nói hàm số gián đoạn tại (x0, y0). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 21. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 21. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): f (x , y) =   x2y x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 21. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): f (x , y) =   x2y x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Hàm số liên tục - Chú ý Hàm số z = f (x , y) gián đoạn tại (x0; y0) nếu một trong các điều kiện sau đây xảy ra: f (x , y) không xác định tại (x0; y0). lim (x ,y)→(x0,y0) f (x , y) không tồn tại. f (x , y) xác định tại (x0; y0) và lim (x ,y)→(x0,y0) f (x , y) tồn tại nhưng lim (x ,y)→(x0,y0) f (x , y) 6= f (x0, y0). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): f (x , y) = { xy x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0; 0): f (x , y) = { xy x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ Ví dụ 23. Nên định nghĩa giá trị f (0, 0) bằng bao nhiêu để hàm số f (x , y) = x2 + y2 − x3y3 x2 + y2 , (x , y) 6= (0, 0) liên tục tại gốc. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định lý Weierstrass Định lý Weierstrass. Nếu hàm số f (x , y) liên tục trên tập D đóng bị chặn thì f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định nghĩa đạo hàm riêng Cho hàm số f (x , y) xác định tại (x0, y0) và lân cận. Đạo hàm riêng của f theo biến x và y tại điểm (x0, y0) được xác định nhờ biểu thức: CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định nghĩa đạo hàm riêng Cho hàm số f (x , y) xác định tại (x0, y0) và lân cận. Đạo hàm riêng của f theo biến x và y tại điểm (x0, y0) được xác định nhờ biểu thức: ∂f ∂x (x0, y0) = f ′ x(x0, y0) = lim ∆x→0 f (x0 +∆x , y0)− f (x0, y0) ∆x CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định nghĩa đạo hàm riêng Cho hàm số f (x , y) xác định tại (x0, y0) và lân cận. Đạo hàm riêng của f theo biến x và y tại điểm (x0, y0) được xác định nhờ biểu thức: ∂f ∂x (x0, y0) = f ′ x(x0, y0) = lim ∆x→0 f (x0 +∆x , y0)− f (x0, y0) ∆x ∂f ∂y (x0, y0) = f ′ y(x0, y0) = lim ∆y→0 f (x0, y0 +∆y)− f (x0, y0) ∆y CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ Ví dụ 24. Cho hàm số f (x , y) = { xy x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 . Tính ∂f ∂x (0, 0) và ∂f ∂y (0, 0). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ Ví dụ 24. Cho hàm số f (x , y) = { xy x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 . Tính ∂f ∂x (0, 0) và ∂f ∂y (0, 0). Ví dụ 25. Tính z ′x và z ′y nếu z = x2. sin y . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ Ví dụ 24. Cho hàm số f (x , y) = { xy x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 . Tính ∂f ∂x (0, 0) và ∂f ∂y (0, 0). Ví dụ 25. Tính z ′x và z ′y nếu z = x2. sin y . Ví dụ 26. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: z = exy cos(x + y). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ Ví dụ 24. Cho hàm số f (x , y) = { xy x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 . Tính ∂f ∂x (0, 0) và ∂f ∂y (0, 0). Ví dụ 25. Tính z ′x và z ′y nếu z = x2. sin y . Ví dụ 26. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: z = exy cos(x + y). Ví dụ 27. Cho hàm số u = 1 x2 + y2 + z2 . Chứng minh: x .u′x + y .u ′ y + z .u ′ z = −2u. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Chú ý Tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm riêng của hàm nhiều biến là độc lập với nhau, tức là có những hàm số gián đoạn tại (x0, y0) nhưng vẫn tồn tại đạo hàm tại điểm đó. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Chú ý Tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm riêng của hàm nhiều biến là độc lập với nhau, tức là có những hàm số gián đoạn tại (x0, y0) nhưng vẫn tồn tại đạo hàm tại điểm đó. Ví dụ 28. Hàm số f (x , y) = { xy x2 + y2 nếu x2 + y2 6= 0 0 nếu x2 + y2 = 0 gián đoạn tại (0, 0) nhưng nó vẫn có các đạo hàm riêng tại (0, 0). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm hợp Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x , y) và v = v(x , y). Hãy tính ∂f ∂x và ∂f ∂y . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm hợp Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x , y) và v = v(x , y). Hãy tính ∂f ∂x và ∂f ∂y . Điều kiện tồn tại Định lý 5. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm hợp Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x , y) và v = v(x , y). Hãy tính ∂f ∂x và ∂f ∂y . Điều kiện tồn tại Định lý 5. Công thức ∂f ∂x = ∂f ∂u . ∂u ∂x + ∂f ∂v . ∂v ∂x CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm hợp Bài toán Cho hàm số f (u, v) với u = u(x , y) và v = v(x , y). Hãy tính ∂f ∂x và ∂f ∂y . Điều kiện tồn tại Định lý 5. Công thức ∂f ∂x = ∂f ∂u . ∂u ∂x + ∂f ∂v . ∂v ∂x ∂f ∂y = ∂f ∂u . ∂u ∂y + ∂f ∂v . ∂v ∂y CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm hợp - Ví dụ Ví dụ 29. Cho z = sin(u2v) và u = xy2, v = x2 + 1 y . Hãy tính ∂z ∂x và ∂z ∂y . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị