Giáo trình Toán cao cấp - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

kết quả nhanh chóng và gọn gàng nhất!! Trước tiên ta xét hai phương pháp là phương pháp ma trận và phương pháp định thức để giải một loại hệ đặc biệt là: Hệ Cramer § 1: Phương pháp ma trận và định thức 1. Hệ Cramer: Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ pttt thỏa mãn 2 điều kiện:  Số phương trình bằng số ẩn.  Ma trận hệ số không suy biến (ࢊࢋ࢚(࡭) ≠ ૙) Ví dụ: Hãy cho biết hệ sau có là hệ Cramer? ቐ ૛࢞ + ૞࢟ ࢞ + ૝࢟ ૜࢞ + ૟࢟ −−+ ࢠ૜ࢠ૛ࢠ === ૚−૛૙ Giải:  Hiển nhiên: số PT = số ẩn (= ૜)  ࢊ = ࢊࢋ࢚ ࡭ = ૛ ૞ −૚૚ ૝ −૜ ૜ ૟ ૛ = ૜ ≠ ૙ Vậy hệ đã cho là hệ Cramer. 2. Phương pháp ma trận. Một hệ pttt luôn viết được dưới dạng ma trận: AX = B (1) Nếu hệ (1) là hệ Cramer thì ࢊ = ࢊࢋ࢚(࡭) ≠ ૙ ⟶ ∃࡭ି૚. Từ đó, ࡭ࢄ = ࡮⟺ ࡭ି૚ ࡭ࢄ = ࡭ି૚࡮ ⟺ ࡭ି૚࡭ ࢄ = ࡭ି૚࡮⟺ ࢄ = ࡭ି૚࡮ Như vậy, Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất: ࢄ = ࡭ି૚࡮ Phương pháp giải hệ nhờ công thức trên được gọi là phương pháp ma trận Ví dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp ma trận (phương pháp ma trận nghịch đảo): ቐ ૛࢞ + ૞࢟ ࢞ + ૝࢟ ૜࢞ + ૟࢟ −−+ ࢠ૜ࢠ૛ࢠ === ૚−૛૙ Giải:  ࢊ = ࢊࢋ࢚ ࡭ = ૛ ૞ −૚૚ ૝ −૜ ૜ ૟ ૛ = ૜ ≠ ૙  Hệ trên là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất: ࢄ = ࡭ି૚࡮ GABRIEL CRAMER ( 1704 – 1752) Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 tại Geneva, Thụy Sĩ mất 4/1/1752 ở Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có rất nhiều cố gắng trong việc học tập. Năm 1722, khi mới 18 tuổi ông đã đạt được học vị tiến sĩ cho luận án dựa trên lý thuyết của âm thanh. Cramer nổi tiếng là một người biên soạn thiên tài. Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông là “ Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique”, trong đó có qui tắc Cramer nổi tiếng. Định lý sau đây còn gọi là Quy tắc Cramer: Định lý: Hệ Cramer n ẩn số ࢞૚,࢞૛, ,࢞࢔ luôn có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức: ࢞૚ = ࢊ૚ࢊ , ࢞૛ = ࢊ૛ࢊ , ,࢞࢔ = ࢊ࢔ࢊ Trong đó, ࢊ = ࢊࢋ࢚(࡭), A - ma trận hệ số ࢊ࢐ = ࢈૚࢈૛⋮ ࢈࢔ Chứng minh: Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất: ࢄ = ࡭ି૚࡮ Các cột còn lại giống hệt của d Cột thứ j ࢞૚ ࢞૛ ⋮ ࢞࢔ = ૚ ࢊ ࡭૚૚ ࡭૛૚ ⋯ ࡭૚૛ ⋯ ࡭૛૛ ⋯ ⋯ ⋱ ࡭૚࢔ ࡭૛࢔ ⋯ ࡭࢔૚ ࡭࢔૛ ⋯ ࡭࢔࢔ ࢈૚ ࢈૛ ⋮ ࢈࢔ ⟶ ࢞࢐ = ૚ࢊ ࡭૚࢐ ࡭૛࢐ ⋯ ࡭࢔࢐ ࢈૚࢈૛⋮ ࢈࢔= ૚ ࢊ ࢈૚࡭૚࢐ + ࢈૛࡭૛࢐ + ⋯+ ࢈࢔࡭࢔࢐ Chính là ௝݀ ⟶ ࢞࢐ = ࢊ࢐ࢊ ∎ Ví dụ: Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer ቐ ૛࢞ + ૞࢟ ࢞ + ૝࢟ ૜࢞ + ૟࢟ −−+ ࢠ૜ࢠ૛ࢠ === ૚−૛૙ Giải:  ࢊ = ࢊࢋ࢚ ࡭ = ૛ ૞ −૚૚ ૝ −૜ ૜ ૟ ૛ = ૜ ≠ ૙ Ví dụ: Tìm m để hệ sau đây là hệ Cramer, khi đó hãy giải hệ bằng quy tắc Cramer. ቐ ૝࢞ + ૜࢟ −૛࢞ + ૛࢟ ૜࢞ + ૞࢟ −−+ ૛ࢠ࢓ࢠ૜ࢠ === ૚−૚૛ Giải:  ࢊ = ࡭ = ૝ ૜ −૛−૛ ૛ −࢓ ૜ ૞ ૜ = ૚૚࢓ + ૠ૝ §2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT 1. Các dạng biểu diễn của hệ phương trình.  Dạng khai triển (dạng tổng quát): Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số ࢞૚,࢞૛, ,࢞࢔ có dạng: ൞ࢇ૚૚࢞૚ + ࢇ૚૛࢞૛ ࢇ૛૚࢞૚ ⋯ + ⋯ ࢇ૛૛࢞૛ ⋯ ࢇ࢓૚࢞૚ + ࢇ࢓૛࢞૛ ++ ⋯+ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ++ ⋯+ ࢇ૚࢔࢞࢔ ࢇ૛࢔࢞࢔ ⋯ ࢇ࢓࢔࢞࢔ == ⋯= ࢈૚ ࢈૛ ⋯ ࢈࢓  Dạng ma trận ࡭ࢄ = ࡮  ࡭ = ࢇ࢏࢐ ࢓×࢔: ma trận hệ số  ࢄ = ࢞૚࢞૛⋮ ࢞࢔ ࢔×૚: cột ẩn số  ࡮ = ࢈૚࢈૛ ⋮ ࢈࢓ ࢓×૚ : cột số hạng tự do.  Dạng véc tơ: ࡭૚ ࢉ࢞૚ + ࡭૛ࢉ࢞૛ + ⋯+ ࡭࢔ࢉ࢞࢔ = ࡮ ࡭࢐ ࢉ:cột hệ số của ẩn thứ j(cột j của ma trận hệ số) Nhận xét: Hệ có nghiệm ⟺ Cột số hạng tự do B biểu diễn tuyến tính qua các cột của ma trận hệ số ࡭૚ ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢔ࢉ . 2. Điều kiện có nghiệm Định lý (Cronecker - Capelli) “Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng: ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ ” Chứng minh(gồm hai phần)  Giả sử hệ có nghiệm, ta cần chứng minh: ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ . + Thật vậy, theo định nghĩa về hạng ta có: ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭૚ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢔ࢉ ࢘ ࡭ഥ = ࢘(࡭૚ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢔ࢉ ;࡮) + Vì hệ có nghiệm nên: B bdtt qua ࡭૚ ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢔ࢉ ⟶ ࢘ ࡭૚ ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢔ࢉ = ࢘ ࡭૚ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢔ࢉ ;࡮⟶ ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ  Giả sử : ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ . Ta cần chứng minh hệ có nghiệm + Thật vậy, Giả sử: ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ = ࢘ , Lấy một cơ sở của hệ véc tơ cột của A: ࡭࢐૚ ࢉ ,࡭࢐૛ࢉ , ,࡭࢐࢘ࢉ . Dễ thấy ࡭࢐૚ࢉ ,࡭࢐૛ࢉ , ,࡭࢐࢘ࢉ (hệ con ĐLTT có số véc tơ bằng hạng) cũng là cơ sở của hệ véc tơ cột của ࡭ഥ. Suy ra, B bdtt qua ࡭࢐૚ ࢉ ,࡭࢐૛ࢉ , ,࡭࢐࢘ࢉ ⟶ ⟶B bdtt qua ࡭૚ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢔ࢉ (mỗi véc tơ còn lại gán hệ số bằng 0). Như vậy, cột số hạng tự do B bdtt qua các cột của ma trận hệ số, do đó hệ có nghiệm. Định lý được chứng minh. 3. Khảo sát tổng quát hệ pttt Xét hệ pttt n ẩn số: ࢞૚,࢞૛, ,࢞࢔ Trước tiên ta tìm hạng của ma trận hệ số và ma trận mở rộng: ࢘ ࡭ , ࢘(࡭ഥ)  Nếu ࢘ ࡭ ≠ ࢘(࡭ഥ) ⟹ Hệ vô nghiệm.  Nếu ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ = ࢘: Hệ có nghiệm. Để tìm nghiệm, ta chọn một định thức con cơ sở bất kỳ của A. Không mất tổng quát ta giả sử: ۲ = ۲૚૛ܚ૚૛ܚ = ࢇ૚૚ ࢇ૚૛ ⋯ࢇ૛૚⋯ ࢇ૛૛⋯ ⋯⋯ ࢇ࢘૚ ࢇ࢘૛ ⋯ ࢇ૚࢘ ࢇ૛࢘ ⋯ ࢇ࢘࢘ ≠ ૙ Là một định thức con cơ sở của A. Do ࢘ ࡭ഥ = ࢘, nên D đồng thời cũng là định thức con cơ sở của ࡭ഥ. Từ đây suy ra, r dòng đầu của ࡭ഥ là một cơ sở của hệ véc tơ dòng của nó. Suy ra, các dòng từ dòng thứ r+1 đến dòng m bdtt qua r dòng đầu. Từ đó ta có thể biến đổi các dòng r+1,,m thành các dòng bằng 0. Điều này chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với hệ sau (giữ lại các PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở): ൞ࢇ૚૚࢞૚ + ࢇ૚૛࢞૛ ࢇ૛૚࢞૚ ⋯ + ⋯ ࢇ૛૛࢞૛ ⋯ ࢇ࢘૚࢞૚ + ࢇ࢘૛࢞૛ ++ ⋯+ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ++ ⋯+ ࢇ૚࢔࢞࢔ ࢇ૛࢔࢞࢔ ⋯ ࢇ࢘࢔࢞࢔ == ⋯= ࢈૚ ࢈૛ ⋯ ࢈࢘  Nếu ࢘ = ࢔ thì hệ đã cho là hệ cramer, do đó nó có nghiệm duy nhất (xác định theo quy tắc Cramer)  Nếu ࢘ < ࢔. Theo các chỉ số trên của định thức con cơ sở ࡰ૚૛࢘૚૛࢘ ≠ ૙: Hệ PT cơ sở của hệ ban đầu Chú ý: ∎ Hệ PT cơ sở được lập bằng cách giữ lại các PT của hệ ban đầu có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở của ma trận hệ số. ∎ Và việc giải h ban đầu được chuyển thành việc giải hệ PT cơ sở (vì chúng tương đương) Ta gọi ࢞૚,࢞૛, ,࢞࢘ là các ẩn chính, các ẩn còn lại là các ẩn tự do. Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý ta được một hệ Cramer (với các ẩn chính). Giải hệ Cramer theo quy tắc Cramer ta biểu diễn được ẩn chính qua ẩn tự do. Trường hợp này hệ có Vô số nghiệm. Tóm tắt các bước giải hệ Bước 1: Lập ࡭,࡭ഥ và tính ࢘ ࡭ , ࢘(࡭ഥ)  Nếu ࢘ ࡭ ≠ ࢘(࡭ഥ) ⟶ hệ vô nghiệm.  Nếu ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ = ࢔ (n:số ẩn) ⟶ hệ là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất (xác định bằng quy tắc Cramer)  Nếu ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ = ࢘ < ࢔ ⟶ hệ có vô số nghiệm, chuyển sang Bước 2 Bước 2: Từ ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ = ࢘,  Chọn một định thức con cơ sở của A: ࡰ = ࡰ࢏૚࢏૛࢏࢘࢐૚࢐૛࢐࢘ ≠ ૙  Từ D lập hệ phương trình cơ sở (Giữ lại các PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở) ∎ Giải hệ cơ sở bằng cách: Quy định ẩn chính là ࢞࢐૚ ,࢞࢐૛ , ,࢞࢐࢘ (Các ẩn cùng chỉ số cột của định thức con cơ sở), các ẩn còn lại là các ẩn tự do. ∎ Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý, chuyển chúng sang vế phải ta được hệ Cramer với các ẩn là ẩn chính. Giải hệ này ta thu được nghiệm tổng quát. Lưu ý: Chỉ bằng 3 số tự nhiên là: ࢘ ࡭ ,࢘(࡭ഥ) và ࢔ ta có thể biết được số nghiệm của hệ (không cần giải) ∎ ࢘ ࡭ ≠ ࢘(࡭ഥ): hệ vô nghiệm ∎ ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ = ࢔: hệ có nghiệm duy nhất ∎ ࢘ ࡭ = ࢘(࡭ഥ) < ࢔: hệ vô số nghiệm Ví dụ: Giải hệ sau ቐ ࢞૚ −૝࢞૛ +૜࢞૜ ૛࢞૚ +࢞૛ −࢞૜ −࢞૚ −૞࢞૛ +૝࢞૜ −૛࢞૝+૜࢞૝−૞࢞૝ === ૛−૚૜ Giải: ∎ Tìm ࢘ ࡭ , ࢘ ࡭ഥ Ta có: Ví dụ 2: Giải hệ sau ቐ ࢞૚ +૛࢞૛ −࢞૜ ૞࢞૚ +࢞૛ +࢞૜ −૝࢞૚ +࢞૛ −૛࢞૜ +૜࢞૝−࢞૝+૝࢞૝ === ૚૙−૚ Giải: ∎ Tìm ࢘ ࡭ , ࢘ ࡭ഥ Ta có: Ví dụ 3: Giải hệ sau ൞ ૜࢞૚ +࢞૛ +࢞૜ ૛࢞૚ −࢞૛ +૝࢞૜ −࢞૚ ૛࢞૚ +૛࢞૛+૜࢞૜ −૜࢞૜−૛࢞૜ ==== ૚ −૚ ૙ ૚ Giải: ∎ Tìm ࢘ ࡭ , ࢘ ࡭ഥ Ví dụ 4: Cho hệ ቐ ૜࢞૚ +૝࢞૛ −࢞૜ ૞࢞૚ +૜࢞૛ +૛࢞૜ ૠ࢞૚ +૛࢞૛ +࢑࢞૜ === ૚૜૞ a) Với giá trị nào của k thì hệ có nghiệm b)Biện luận theo k số nghiệm của hệ. Giải. §2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT Các nội dung chính:  Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường.  Cấu trúc tập hợp nghiệm.  Hệ nghiệm cơ bản.  Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Chú ý: Hệ thuần nhất có thể viết dưới dạng ma trận: ൞ ࢇ૚૚࢞૚ + ࢇ૚૛࢞૛ ࢇ૛૚࢞૚ ⋯ + ⋯ ࢇ૛૛࢞૛ ⋯ ࢇ࢓૚࢞૚ + ࢇ࢓૛࢞૛ ++ ⋯+ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ++ ⋯+ ࢇ૚࢔࢞࢔ ࢇ૛࢔࢞࢔ ⋯ ࢇ࢓࢔࢞࢔ == ⋯= ૙૙⋯૙ ⟺ ࡭ࢄ = 0 Hệ thuần nhất luôn có nghiệm. Như vậy, đối với hệ thuần nhất câu hỏi đặt ra là: “Khi nào hệ có nghiệm không tầm thường?” 1. Điều kiện có nghiệm không tầm thường. Chú ý: Ta luôn có: ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ , nên chỉ có hai khả năng:  ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ = ܖ: Hệ có nghiệm duy nhất (chính là nghiệm tầm thường).  ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭ഥ < ܖ: Hệ có vô số nghiệm Từ đó, ta có định lý: Định lý: Hệ thuần nhất (n ẩn số) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi ࢘ ࡭ < ࢔. Hệ quả:  Hệ thuần nhất với số PT bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi ࢊࢋ࢚ ࡭ = ૙.  Hệ thuần nhất với số PT nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường. Hãy chứng minh các kết quả này? Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Bài 11 - Trang 200 - SGTr) Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hệ véc tơ cột của ma trận hệ số độc lập tuyến tính thì nó có nghiệm không tầm thường hay không? Tại sao? Giải. Hệ véc tơ cột của ma trận hệ số A độc lập tuyến tính thì ࢘ ࡭ = ࢔ (n: số véc tơ cột = số cột = số ẩn). Vậy hệ không có nghiệm không tầm thường ∎ Ví dụ 2: (Bài 12 - Trang 200 - SGTr) CMR: Nếu ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hai cột tỷ lệ thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường. Giải. Nếu ma trận hệ số có hai cột tỷ lệ thì hệ véc tơ cột sẽ PTTT, nên ࢘ ࡭ < ࢔ ⟹ hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường ∎ Ví dụ 3: (Bài 13 - Trang 200 - SGTr) Ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 9 ẩn số có ma trận chuyển vị bằng ma trận đối của nó. Hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường hay không? Tại sao? Giải.  Từ GT ta suy ra: ࡭ᇱ = −࡭ (Từ đây ta suy ra A vuông cấp 9)  Lấy định thức hai vế: ࡭′ = −࡭ ⟹ ࡭ = −૚ ૢ ࡭ ⟹ ࡭ = − ࡭ ⟹ ࡭ = ૙  Vậy hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường (Hệ quả 1) ∎ 2. Cấu trúc tập hợp nghiệm  Mỗi nghiệm của hệ pttt thuần nhất n ẩn số cũng là một bộ gồm n số có thứ tự, nên có thể xem mỗi nghiệm đó như một véc tơ n chiều, hoặc một ma trận cột.  Gọi L là tập nghiệm của hệ thuần nhất, thì: ࡼ = ࢻ૚ࢻ૛⋯ ࢻ࢔ ∈ ࡸ ⇔ ࡭ࡼ = ૙ Định lý: Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ thuần nhất n ẩn số là một không gian con của ࡾ࢔. Chứng minh. Hãy nhắc lại khái niệm và cách chứng minh một tập con là KGC? Chứng minh. L là KGC ⟺ ൜ ∘ L kín đối với phép cộng: ∀P, Q ∈ L ⟹ P + Q ∈ L ∘ L kín đối với phép nhân:∀P ∈ L,∀α ∈ R ⟹ αP ∈ L Ta gọi tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất là không gian nghiệm. 3. Hệ nghiệm cơ bản Xét không gian nghiệm của hệ thuần nhất khi nó có vô số nghiệm (࢘ ࡭ < ࢔) Định nghĩa: Hệ nghiệm cơ bản của một hệ thuần nhất là một cơ sở của không gian nghiệm của hệ thuần nhất đó. Nhận xét:  Một hệ thuần nhất có nhiều hệ nghiệm cơ bản khác nhau.  Hệ nghiệm ࡼ૚,ࡼ૛, ,ࡼ࢙ là một hệ nghiệm cơ bản ⟺ nó thỏa mãn 2 điều kiện: + ࡼ૚,ࡼ૛, ,ࡼ࢙ ĐLTT + Mọi nghiệm của hệ đều bdtt qua hệ nghiệm cơ bản.  Nếu ࡼ૚,ࡼ૛, ,ࡼ࢙ là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất thì nghiệm tổng quát của hệ đó là: ࢄ = ࢻ૚ࡼ૚ + ࢻ૛ࡼ૛ + ⋯+ ࢻ࢙ࡼ࢙(ࢻ૚,ࢻ૛, ,ࢻ࢙ là các số bất kỳ) Câu hỏi đặt ra là: 1. Mỗi hệ nghiệm cơ bản có bao nhiêu nghiệm? 2. Tìm một hệ nghiệm cơ bản như thế nào? Định lý: Khi r(A) = r < n thì không gian nghiệm của hệ thuần nhất n ẩn AX = 0 là một KGC n – r chiều của ࡾ࢔. Nhận xét: Số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản = n – r = số ẩn – hạng của ma trận hệ số = số ẩn tự do. Chứng minh: Ta sẽ chỉ ra một hệ nghiệm cơ bản của hệ gồm n – r nghiệm. + Khi r < n hệ thuần nhất có n – r ẩn tự do, giả sử là: ࢞࢘ା૚,࢞࢘ା૛, ,࢞࢔(࢞૚,࢞૛, ,࢞࢘ là các ẩn chính). + Khi đó, mỗi bộ n – r số ࢻ࢘ା૚,ࢻ࢘ା૛ ,ࢻ࢔ bất kỳ gán cho các ẩn tự do ࢞࢘ା૚,࢞࢘ା૛, ,࢞࢔ cho tương ứng một nghiệm của hệ. Mỗi bộ đó có thể xem như một véc tơ n – r chiều. Nếu dùng các véc tơ đơn vị n – r chiều ࡱ૚,ࡱ૛, ,ࡱ࢔ି࢘ làm các bộ số gán cho các ẩn tự do thì ta có n – r nghiệm sau: ࡼ࢘ା૚ = ⋮10 ⋮ ૙ ,ࡼ࢘ା૛ = ⋮૙૚ ⋮ ૙ , ,ࡼ࢔ = ⋮૙૙ ⋮ ૚ Ta sẽ chứng minh ࡼ࢘ା૚,ࡼ࢘ା૛, ,ࡼ࢔ là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất. ∘ Trước hết ta thấy rằng các nghiệm ࡼ࢘ା૚,ࡼ࢘ା૛, ,ࡼ࢔ ĐLTT. Thật vậy, ࢑࢘ା૚ࡼ࢘ା૚ + ࢑࢘ା૛ࡼ࢘ା૛ + ⋯+ ࢑࢔ࡼ࢔ = ⋮࢑࢘ା૚࢑࢘ା૛ ⋮ ࢑࢔ = ૙࢔ ⟹ ࢑࢘ା૚ = ࢑࢘ା૛ = ⋯ = ࢑࢔ = ૙ ∘ Xét một nghiệm bất kỳ của hệ ứng với bộ số ࢻ࢘ା૚,ࢻ࢘ା૛, ,ࢻ࢔ gán cho các ẩn tự do ࢞࢘ା૚,࢞࢘ା૛, ,࢞࢔: ࡳ = ⋮ࢻ࢘ା૚ࢻ࢘ା૛ ⋮ ࢻ࢔ Gọi Q là một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm ࡼ࢘ା૚,ࡼ࢘ା૛, ,ࡼ࢔với với các hệ số tương ứng ࢻ࢘ା૚,ࢻ࢘ା૛, ,ࢻ࢔: ࡽ = ࢻ࢘ା૚ࡼ࢘ା૚ + ࢻ࢘ା૛ࡼ࢘ା૛ + ⋯+ ࢻ࢔ࡼ࢔ = ࡽ = ⋮ࢻ࢘ା૚૙ ⋮ ૙ + ⋮૙ࢻ࢘ା૛ ⋮ ૙ + ⋯+ ⋮૙૙ ⋮ ࢻ࢔ = ⋮ࢻ࢘ା૚ࢻ࢘ା૛ ⋮ ࢻ࢔ Vì Q là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ thuộc không gian nghiệm, nên Q là một nghiệm của hệ. Từ đây, ta suy ra Q = G. Điều này chứng tỏ nghiệm nghiệm bất kỳ G của hệ biểu diễn tuyến tính qua. Vậy ࡼ࢘ା૚,ࡼ࢘ା૛, ,ࡼ࢔ là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất đã cho. Định lý được chứng minh. Nhận xét:  Phép chứng minh định lý trên đồng thời chỉ ra cách tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.  Trong chứng minh trên thay vì chọn hệ véc tơ đơn vị gán cho các ẩn tự do, ta có thể chọn hệ véc tơ n – r chiều ĐLTT (Thường lấy các dòng của một định thức khác 0, cấp n – r ) Các bước tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất AX = 0  Tìm hạng của ma trận hệ số: ࢘ ࡭ = ࢘  Chọn một định thức con cơ sở D của ma trận hệ số A. Theo D ta lập hệ phương trình cơ sở và chỉ định các ẩn chính, các ẩn tự do. (Khi ܚ ࡭ = ࢘ < ࢔ thì hệ phương trình cơ sở có r phương trình và có n – r ẩn tự do)  Biểu diễn các ẩn chính qua ẩn tự do (gần như giải hệ)  Chọn n – r véc tơ n – r chiều ĐLTT làm các bộ số gán cho các ẩn tự do (thường chọn hệ véc tơ đơn vị n – r chiều: ࡱ૚,ࡱ૛, ,ࡱ࢔ି࢘ ∈ ܀ܖ). Mỗi bộ số đó cho ta một nghiệm của hệ nghiệm cơ bản. Ví dụ: Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ: ቐ ૜࢞૚ +࢞૛ −૛࢞૜ ૛࢞૚ +૜࢞૛ +࢞૜ ૝࢞૚ −࢞૛ −૞࢞૜ +૞࢞૝ −૛࢞૝+૚૛࢞૝ === ૙૙૙ Giải: ∎ Tìm được ࢘ ࡭ = ૛. Chú ý 1: Ta có thể chọn các dòng của một định thức khác 0 để gán cho các ẩn tự do để được các hệ nghiệm cơ bản khác nhau, Chẳng hạn: ࢞૜,࢞૝ = ૠ,ૠ ⟹ nghiệm: ࡽ૚ = −૚૙,ૢ,ૠ,ૠ ࢞૜,࢞૝ = ૙,ૠ ⟹ nghiệm: ࡽ૛ = −૚ૠ,૚૟,૙,ૠ ⟹Hệ nghiệm cơ bản là: ࡽ૚,ࡽ૛ Chú ý 2: Nếu ta đã giải được hệ thuần nhất, tức là đã tìm được nghiệm tổng quát thì từ nghiệm tổng quát ta dễ dàng suy ra được hệ nghiệm cơ bản: ࢞૚ ࢞૛ ࢞૜ ࢞૝ = ࢻ − ૚ૠ ૠ ࢼ −ࢻ + ૚૟ ૠ ࢼ ࢻ ࢼ ࢞૚ ࢞૛ ࢞૜ ࢞૝ = ࢻ − ૚ૠૠ ࢼ−ࢻ + ૚૟ ૠ ࢼ ࢻ ࢼ = ࢻ−ࢻࢻ ૙ + − ૚ૠૠ ࢼ૚૟ૠ ࢼ ૙ ࢼ ࢞૚ ࢞૛ ࢞૜ ࢞૝ = ࢻ ૚−૚ ૚ ૙ + ࢼ − ૚ૠૠ૚૟ ૠ ૙ ૚ ࡼ૚ ࡼ૛ Ví dụ 2: Cho hệ thuần nhất có ma trận hệ số là: ૛ ૜ ૝ ૞ ૡ −૞ −૚ −૛ ࢑ −૜ ૜ −ૢ Tìm k để không gian nghiệm là không gian con 2 chiều của ࡾ૝. Khi đó hãy tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ. Ví dụ 3: Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ (coi như BTVN) ቐ ૛࢞૚ +૜࢞૛ −࢞૜ ૜࢞૚ +૛࢞૛ −૞࢞૜ ૝࢞૚ +࢞૛ −ૢ࢞૜ −૞࢞૝+࢞૝+ૠ࢞૝ +૛࢞૞−૜࢞૞−ૡ࢞૞ === ૙૙૙ 4. Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ࡭ࢄ = ࡮ ૚ ⟶ ࡭ࢄ = ૙ ૛ Định nghĩa: Hệ (2) được gọi là hệ thuân nhất liên kết của hệ (1). Cùng vế trái Định lý:  Tổng một nghiệm của (1) với mọt nghiệm của (2) là một nghiệm của (1).  Hiệu hai nghiệm của (1) là một nghiệm của (2).  Từ đây, suy ra: Nghiệm TQ của (1) = nghiệm riêng của (1) + Nghiệm TQ của (2). Nhận xét: Nếu đã giải được hệ (1) thì ta suy ra ngay được nghiệm TQ của hệ (2): Nghiệm TQ của (2) = Nghiệm TQ của (1) – nghiệm riêng của (1). Ví dụ 1: Cho hệ ൞ ૛࢞૚ ࢞૚ ૜࢞૚ ૝࢞૚ + −++ ࢞૛ ࢞૛ ૜࢞૛ ૞࢞૛ −+ − − ࢞૜ ࢞૜ ૜࢞૜ ૞࢞૜ −+ − − ࢞૝ ࢞૝ ૜࢞૝ ૞࢞૝ + −++ ࢞૞ ૛࢞૞ ૝࢞૞ ૠ࢞૞ ==== ૚૙૛૜ Tìm nghiệm tổng quát của hệ trên, từ đó tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất liên kết của nó.