Giáo trình Toán cao cấp - Chương 3: các mối liên hệ tuyến tính trong Rn

cho m véc tơ ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ (∗) Lấy m số thực bất kỳ ࢻ૚, ࢻ૛, , ࢻ࢓ và lập tổng ࢻ૚ࢄ૚ + ࢻ૛ࢄ૛ +⋯+ ࢻ࢓ࢄ࢓ (1) 4Định nghĩa: Mỗi tổng (1) được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ (∗). Các số ࢻ૚, ࢻ૛, . . . , ࢻ࢓ gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính đó. Nhận xét: + Từ một hệ véc tơ cho trước có thể lập được vô số các tổ hợp tuyến tính. 5+ Tổng hai tổ hợp tuyến tính bất kỳ của cùng một hệ véc tơ ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ là một tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ đó: ࢻ૚ࢄ૚ + ࢻ૛ࢄ૛ +⋯+ ࢻ࢓ࢄ࢓ +ࢼ૚ࢄ૚ + ࢼ૛ࢄ૛ +⋯+ ࢼ࢓ࢄ࢓ = ࢻ૚ + ࢼ૚ ࢄ૚ + ࢻ૛ + ࢼ૛ ࢄ૛ +⋯ + ࢻ࢓ + ࢼ࢓ ࢄ࢓ 6+ Tích của một tổ hợp tuyến tính bất kỳ của hệ véc tơ ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ với một số ࢼ bất kỳ là một tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ đó: ࢼ ࢻ૚ࢄ૚ + ࢻ૛ࢄ૛ +⋯+ ࢻ࢓ࢄ࢓ = ࢼࢻ૚ ࢄ૚ + ࢼࢻ૛ ࢄ૛ +⋯+ ࢼࢻ࢓ ࢄ࢓ 7Định lý: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ n chiều ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ cho trước: ࡸ = ࢻ૚ࢄ૚ + ࢻ૛ࢄ૛ +⋯+ ࢻ࢓ࢄ࢓ ࢻ૚, ࢻ૛, . . , ࢻ࢓ ∈ ࡾ là không gian véc tơ con của không gian ܀ܖ. Hãy chứng minh định lý trên 82.Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Ta nói rằng vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ nếu vectơ X là một tổ hợp tuyến tính nào đó của hệ vectơ này. 9Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ nếu tồn tại bộ m số ࢻ૚, ࢻ૛, . . , ࢻ࢓ sao cho: ܆ = ࢻ૚ࢄ૚ + ࢻ૛ࢄ૛ +⋯+ ࢻ࢓ࢄ࢓ Chú ý: Nếu X biểu diễn tuyến tính qua Y, tức là: tồn tại số ࢻ sao cho: ࢄ = ࢻࢅ thì ta nói X, Y tỷ lệ 10 Ví dụ 1: Cho các vectơ ࢄ૚= ૛,−૝ ࢄ૛ = ૜, ૞ ࢄ = ૞, ૚ Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ ࢄ૚, ࢄ૛ hay không? Trả lời: Có ൢ ⇒ ࢄ = ૚ࢄ૚ + ૚ࢄ૛ 11 Ví dụ 2: Cho các vectơ ࢄ૚ = ૚, −૛, ૙, ૜ ࢄ૛ = ૜, −૚, ૙, ૚ ࢄ૜ = −૚, ૜, ૙, ૝ ࢄ = −૞, ૠ, ૝, ૛ Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ ࢄ૚, ࢄ૛, ࢄ૜ hay không? 12 ࢄ૚ = ૚, −૛, ૙, ૜ ࢄ૛ = ૜, −૚, ૙, ૚ ࢄ૜ = −૚, ૜, ૙, ૝ ࢄ = −૞, ૠ, ૝, ૛ Trả lời: ?????Không 13 Nhận xét: Vectơ 0୬ luôn biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vectơ cùng chiều: Khi nào thì X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ ܺଵ, ܺଶ, , ܺ௠? n 1 2 n0 0.X 0.X 0.X    Biểu diễn tầm thường 14 Trả lời: Xét hệ thức: ࢄ = ࢻ૚ࢄ૚ + ࢻ૛ࢄ૛ +⋯+ ࢻ࢓ࢄ࢓ Thay số ta được: 1 2 m 1 2 m X X X X                                                      15 Đây thực chất là hệ phương trình tuyến tính m ẩn số: ࢻ૚, ࢻ૛, , ࢻ࢓ với ma trận mở rộng là: 1 2 mX X X X A                     Các véc tơ được xếp dạng cột 16 Thường giải hệ này bằng phương pháp Gauss: + Nếu hệ vô nghiệm thì X không biểu diễn tuyến tính được qua ࢄ૚, ࢄ૛ , , ࢄ࢓ + Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì X biểu diễn tuyến tính duy nhất qua ࢄ૚, ࢄ૛ , , ࢄ࢓ 17 + Nếu hệ có vô số nghiệm thì X biểu diễn tuyến tính được qua ࢄ૚, ࢄ૛ , , ࢄ࢓ bằng vô số cách. Ví dụ 1: Hãy biểu diễn tuyến tính véc tơ X = (2, 1, –1) qua hệ véc tơ: Giải:       1 2 3 X 1,3, 2 X 2,5,1 X 3,7,5        18 Thay số ta được Đs: ܺ = −30 ଵܺ + 49ܺଶ − 22ܺଷ 19 Ví dụ 2: Cho hệ véc tơ Với giá trị nào của k thì véc tơ X = (1, – 3, – 4, k) biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ đã cho ?       1 2 3 X 1, 2, 3, 0 X 2, 3, 1, 5 X 3, 4, 3, 2            20 Giải: Giả sử ta có: Thay số ta được: 1 1 2 2 3 3X k X k X k X   1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 3 k k k 3 1 3 4 0 5 2 k                                                      21 Đồng nhất các thành phần tương ứng ta được hệ: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 k 2k 3k 1 2k 3k 4k 3 3k k 3k 4 5k 2k k                  22 “X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ đã cho ⇔ hệ phương trình với các ẩn ݇ଵ, ݇ଶ, ݇ଷ có nghiệm” Lập ma trận mở rộng của hệ và biến đổi khử ẩn trên ma trận mở rộng ta có: 23 1 2 3 1 2 3 4 3 A 3 1 3 4 0 5 2 k                1 2 3 1 0 1 2 1 0 0 4 4 0 0 12 k 5            1 2 3 1 0 1 2 1 0 0 4 4 0 0 0 k 7            1 2 3 1 0 1 2 1 0 5 6 1 0 5 2 k              Hệ có nghiệm ⟺ k – 7 = 0 ⟺ k = 7 24 Sự phụ thuộc tuyến tính–độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính Định nghĩa: Ta nói rằng hệ vectơ ܺଵ, ܺଶ, , ܺ௠ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại m số thực ߙଵ, ߙଶ,, ߙ௠ trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho:  1 1 2 2 m m nX X X 0        25 Ngược lại, nếu đẳng thức (∗) chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0: ߙଵ = ߙଶ = ⋯ = ߙ௠ = 0 thì ta nói hệ vectơ ܺଵ, ܺଶ, , ܺ௠ độc lập tuyến tính. Như vậy, một hệ véc tơ cho trước chỉ có hai khả năng: ĐLTT hoặc PTTT 26 Xem xét hệ thức (∗) dưới dạng biểu diễn vectơ 0௡ qua hệ véc tơ: ܺଵ, ܺଶ, , ܺ௠ Bài toán: “Kiểm tra xem hệ véc tơ cho trước: ଵܺ, ܺଶ, , ܺ௠ là ĐLTT hay PTTT?” n 1 1 2 2 m m0 X X X     Có i 0   1 2 m 0      Phụ thuộc tuyến tính Độc lập tuyến tính 27 Các bước giải bài toán này Thay số ta được 28 Ví dụ: Cho hệ véc tơ: ቐ ࢄ૚ = ૚, ૜, −૛, ૞ ࢄ૛ = ૜,−૛, ૚, ૝ ࢄ૜ = −૚, ૡ,−૞, ૟ Hệ véc tơ trên ĐLTT hay PTTT? Giải: o Xét hệ thức: ࢑૚ࢄ૚ + ࢑૛ࢄ૛ + ࢑૜ࢄ૜ = ૙૝ 29 Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang nên hệ véc tơ đã cho là PTTT. Thay số ta được 30 Ví dụ 2: Kiểm tra xem hệ véc tơ sau là ĐLTT hay PTTT? ቐ ܺଵ = (2,−1,6) ܺଶ = (3,2,−5) ܺଷ = (2,6,−3) Giải. 31 Thay số ta được: 32 III. Một số kết quả về sự PTTT - ĐLTT Định lý 1: Một hệ vectơ có từ hai vectơ trở lên phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một vectơ của hệ đó biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại. Hệ quả 1: Một hệ chỉ gồm 2 vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỷ lệ. 33 Hệ có từ 3 vectơ trở lên ? Có 2 vectơ ( tỷ lệ) ? Có 1 vectơ (≠ 0௡) ? Hệ quả 2: Mọi hệ vectơ chứa vectơ 0௡ đều phụ thuộc tuyến tính. Muốn xét hệ véc tơ ĐLTT-PTTT 34 Định lý 2: Nếu một hệ vectơ có một hệ con (một bộ phận) phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính. Hệ quả 1: Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó cũng độc lập tuyến tính. 35 Hệ quả 2: Nếu trong một hệ vectơ có hai vectơ nào đó tỷ lệ thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính. 36 Định lý 3: Cho 2 hệ vectơ n chiều ܺଵ, ܺଶ, , ܺ௥ (ݔ) ଵܻ, ܻ, , ௦ܻ (ݕ) Nếu r > s và mọi vectơ của hệ (x) biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ (y) thì hệ vectơ (x) phụ thuộc tuyến tính. 37 Nói cách khác, Một hệ véc tơ sẽ PTTT nếu tất cả các véc tơ của hệ đó đều biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ của hệ khác có số véc tơ ít hơn 38 Hệ quả 1: Nếu hệ vectơ (x) độc lập tuyến tính và mọi vectơ của hệ (x) biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ (y) thì ࢘ ≤ ࢙ (số véc tơ của (x) không lớn hơn số véc tơ của hệ (y)) 39 Hệ quả 2: Nếu cả hai hệ vectơ (x) và (y) cùng độc lập tuyến tính đồng thời mỗi vectơ của hệ này đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ kia và ngược lại thì hai hệ vectơ đó có số vectơ bằng nhau. 40 Định lý 4: Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn hơn số chiều đều phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 1: CMR nếu hệ véc tơ n chiều ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ ĐLTT và véc tơ ࢄ ∈ ࡾ࢔ không biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ thì hệ véc tơ mới ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓, ࢄ cũng ĐLTT. 41 Ví dụ 2: CMR nếu hệ véc tơ n chiều ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ ĐLTT và hệ véc tơ mới ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓, ࢄ PTTT, thì véc tơ X biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ . 41 1§4. CƠ SỞ CỦA KGVT ࡾ࢔ I. Khái niệm cơ sở của không gian vectơ 1. Định nghĩa cơ sở của ܴ௡ 2. Tọa độ của vectơ trong một cơ sở II. Cơ sở của không gian con 1. Khái niệm cơ sở của không gian con 2. Tìm một cơ sở của không gian con 2I. Khái niệm cơ sở của không gian vectơ 1. Định nghĩa cơ sở của KGVT ࡾ࢔ Định nghĩa: Cơ sở của R୬ là một hệ véc tơ của nó thỏa mãn hai điều kiện: + Số véc tơ bằng số chiều (= n). + Độc lập tuyến tính. 3Nhận xét: Trong ࡾ࢔ mọi hệ véc tơ từ n+1 vectơ trở lên đều phụ thuộc tuyến tính. ⟹ Trong không gian vectơ ࡾ࢔ cơ sở của nó là một hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại (có số vectơ lớn nhất). 4Ví dụ 1: Cho hệ véc tơ n chiều ࡼ૚, ࡼ૛, , ࡼ࢔. CMR nếu tồn tại một véc tơ ࢄ ∈ ࡾ࢔ biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua ࡼ૚, ࡼ૛, , ࡼ࢔ thì hệ véc tơ ࡼ૚, ࡼ૛, , ࡼ࢔ là một cơ sở của ࡾ࢔ 5Ví dụ 2: Trong ࡾ࢔ cho hệ véc tơ: ࡱ૚ = ૚, ૙, , ૙ ࡱ૛ = ૙, ૚, , ૙ . . ࡱ࢔ = (૙, ૙, , ૚) Hệ véc tơ đơn vị có là một cơ sở của ࡾ࢔? Trả lời: ???? Hệ véc tơ đơn vị của ܴ௡ Có Ví dụ 3: Trong không gian ࡾ૜ hệ vectơ sau có là cơ sở của nó hay không? ࢄ૚ = ૜,−૚, ૛ ࢄ૛ = −૚, ૝, ૜ ࢄ૜ = ૚, ૛,−૚ Giải: + Hiển nhiên: Số véc tơ = số chiều (= 3) 6 + Kiểm tra ࢄ૚, ࢄ૛, ࢄ૜Đۺ܂܂ ? ⋄ Xét: ࢻ૚ࢄ૚ + ࢻ૛ࢄ૛ + ࢻ૜ࢄ૜ = ૙૜ ⋄ Đây là hệ thuần nhất có ma trận hệ số là: 7 Thay số ta được: 8 Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác nên hệ véc tơ ࢄ૚, ࢄ૛, ࢄ૜ ĐLTT. Do đó, hệ véc tơ ࢄ૚, ࢄ૛, ࢄ૜ là một cơ sở của ࡾ૜∎ 2. Tọa độ của vectơ trong một cơ sở Trước tiên ta có kết quả sau: 9 Định lý: Trong không gian vectơ ࡾ࢔cho trước một cơ sở ࡼ૚, ࡼ૛, , ࡼ࢔. Khi đó, mọi vectơ X ∈ ࡾ࢔ bất kỳ đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở đó. Tức là, tồn tại duy nhất bộ n số có thứ tự: (ࢻ૚, ࢻ૛, , ࢻ࢔) Sao cho: ࢄ = ࢻ૚ࡼ૚ + ࢻ૛ࡼ૛ +⋯+ ࢻ࢔ࡼ࢔. 10 ∗ Xét hệ gồm n + 1 véc tơ: ଵܲ, ଶܲ, , ௡ܲ; ܺ. Theo Định lý 4 - § 3 - Chương 1: Hệ véc tơ này PTTT. + Từ định nghĩa về sự PTTT suy ra: tồn tại n + 1 số thực: ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௡; ߙ trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho: ߙଵ ଵܲ + ߙଶ ଶܲ +⋯+ ߙ௡ ௡ܲ + ߙܺ = 0௡ 11 Chứng minh (Chứng minh định lý gồm hai phần): Từ đây, ta chứng minh được ߙ ≠ 0. Thật vậy, nếu ߙ = 0 thì ta có: ߙଵ ଵܲ + ߙଶ ଶܲ +⋯+ ߙ௡ ௡ܲ = 0௡ Do ଵܲ, ଶܲ, , ௡ܲ ĐLTT nên ߙଵ = ߙଶ = ⋯ = ߙ୬ = 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết có ít nhất một số khác 0. 12 Vậy ߙ ≠ 0. Từ đó, ta có: ܺ = − ߙଵ ߙ ଵܲ + − ߙଶ ߙ ଶܲ +⋯+ − ߙ௡ ߙ ௡ܲ Hay ܺ = ߚଵ ଵܲ + ߚଶ ଶܲ +⋯+ߚ௡ ௡ܲ ∎ ∗ Cuối cùng để hoàn tất chứng minh ta cần chứng minh biểu diễn trên là duy nhất. 13 Thật vậy, giả sử có hai sự biểu diễn: ܺ = ߚଵ ଵܲ + ߚଶ ଶܲ ++ ߚ௡ ௡ܲ (1) ܺ = ߛଵ ଵܲ + ߛଶ ଶܲ ++ ߛ௡ ௡ܲ (2) Trừ (1) và (2) theo vế ta được: (ߚଵ−ߛଵ) ଵܲ + (ߚଶ−ߛଶ) ଶܲ ++ (ߚ௡−ߛ௡) ௡ܲ = 0௡ Do ଵܲ, ଶܲ, , ௡ܲ ĐLTT nên các hệ số đồng thời bằng 0 14 Tức là ta có: ߚଵ − ߛଵ = ߚଶ − ߛଶ = ⋯ = ߚ௡ − ߛ௡ = 0 Từ đây, suy ra hai biểu diễn (1) và (2) là trùng nhau ∎ 15 Định nghĩa: Bộ gồm n số thực có thứ tự (ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௡) trong Định lý trên được gọi là tọa độ của vectơ X trong cơ sở ଵܲ, ଶܲ, , ௡ܲ Thường ký hiệu là: [ܺ௉భ௉మ௉೙] = (ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௡) Như vậy, [ܺ௉భ௉మ௉೙] = (ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௡) ⟺ 16 ⟺ܺ = ߙଵ ଵܲ + ߙଶ ଶܲ +⋯+ ߙ௡ ௡ܲ Bài toán: “Hãy tìm tọa độ của véc tơ X trong cơ sở cho trước ࡼ૚, ࡼ૛, , ࡼ࢔” Nhận xét: Đây thực chất là bài toán biểu diễn véc tơ X qua hệ véc tơ ଵܲ, ଶܲ, , ௡ܲ cho trước (đã học rồi) (Chỉ có điều bài toán này luôn có nghiệm duy nhất). 17 Ví dụ: Tìm tọa độ của véc tơ ࢄ = (૛,−૜, ૟) trong cơ sở: ቐ ࡼ૚ = (૚, ૛, −૚) ࡼ૛ = ૛, ૜, ૙ ࡼ૜ = ૞, ૠ, ૛ Giải: ∘ Giả sử, ࢄ = ࢻ૚ࡼ૚ + ࢻ૛ࡼ૛ + ࢻ૜ࡼ૜ 18 ∘ Đây là hệ PT tuyến tính có ma trận mở rộng là: 19 Thay số ta được: ∘ Viết lại hệ rồi giải: 20 ∘ Ta có hệ: ൝ ࢻ૚ + ૛ࢻ૛ − ࢻ૛ + − ૞ࢻ૜ ࢻ૜ ࢻ૜ = = = ૛ −ૠ −૟ ∘ Giải hệ thu được nghiệm duy nhất: (ࢻ૚= −૚ૡ,ࢻ૛ = ૛૞,ࢻ૜ = −૟) Đs: ࢄ = −૚ૡࡼ૚ + ૛૞ࡼ૛ − ૟ࡼ૜ 21 II. Cơ sở của không gian con: Định nghĩa: Cơ sở của không gian con ࡸ là một hệ vectơ ࡼ૚, ࡼ૛, , ࡼ࢘ của nó thỏa mãn hai điều kiện sau: + ࡼ૚, ࡼ૛, , ࡼ࢘ Độc lập tuyến tính + Mọi vec tơ ࢄ ∈ ࡸ đều biểu diễn tuyến tính qua ࡼ૚, ࡼ૛, , ࡼ࢘. 22 Ví dụ: Trong không gian ܴଷ xét tập hợp các véc tơ 3 chiều: ܮ = (ݔଵ, ݔଶ, ݔଷ) ݔଵ − 2ݔଶ − 3ݔଷ = 0 ⊂ ܴ ଷ a) CMR: L là một không gian con của ܴଷ. b) Hãy tìm một cơ sở của ܮ . Giải. a) Ai có thể giải được? 23 b) Để tìm một cơ sở của L ta xuất phát từ điều kiện thứ 2 của định nghĩa: Lấy một véc tơ bất kỳ của L: ܺ = (ݔଵ, ݔଶ, ݔଷ) ∈ ܮ, ta có: ݔଵ − 2ݔଶ − 3ݔଷ = 0 ⟹ ݔଵ = 2ݔଶ + 3ݔଷ (Rút ݔଵ theo ݔଶ, ݔଷ) ⟹ ܺ = (2ݔଶ + 3ݔଷ, ݔଶ, ݔଷ) ⟹ ܺ = 2ݔଶ, ݔଶ, 0 + (3ݔଷ, 0, ݔଷ) 24 Tách biến ⟹ࢄ = ࢞૛ ૛, ૚, ૙ + ࢞૜ ૜, ૙, ૚ ⟹ ࢄ = ࢞૛ࡼ૚ + ࢞૜ࡼ૛ Như vậy, + X biểu diễn tuyến tính qua ࡼ૚, ࡼ૛ + ࡼ૚, ࡼ૛ ĐLTT Vậy ࡼ૚, ࡼ૛ là một cơ sở của L ∎ 25 ଵܲ ଶܲ Nhận xét 1: Một không gian con có nhiều cơ sở khác nhau, tuy nhiên số véc tơ trong mỗi cơ sở đều bằng nhau. Hãy chứng minh kết quả này ? Định nghĩa: Số véc tơ trong mỗi cơ sở của KGC L được gọi là số chiều của L. Ký hiệu là: dim L 26 Chẳng hạn: Với KGC ࡸ = (࢞૚, ࢞૛, ࢞૜) ࢞૚ − ૛࢞૛ − ૜࢞૜ = ૙ Ở ví dụ trên thì: dim L = 2 Nhận xét 2: + Trong KGC r chiều (dimL= r) mọi hệ véc tơ có số véc tơ lơn hơn r đều PTTT (số chiều của KGC là số véc tơ ĐLTT cực đại) 27 + Nếu cho trước một cơ sở của KGC L là ࡼ૚, ࡼ૛, , ࡼ࢘ thì mọi véc tơ X của L đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở đó: ࢄ = ࢻ૚ࡼ૚ + ࢻ૛ࡼ૛ +⋯+ ࢻ࢘ࡼ࢘ 28 28 1§5. HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ Các nội dung chính: I. Khái niệm cơ sở và hạng của một hệ vectơ. II. Các định lý cơ bản về hạng. III. Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng. 1. Phép biến đổi thêm - bớt vectơ. 2. Các phép biến đổi sơ cấp. 2§5. HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ I. Khái niệm cơ sở và hạng của một hệ vectơ. Định nghĩa: Cho hệ véc tơ: ܺଵ, ܺଶ, , ܺ௠ (∗) Cơ sở của hệ véc tơ (∗) là một hệ con của nó thoả mãn hai điều kiện: + Độc lập tuyến tính. + Mọi véc tơ của hệ (∗) biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ của hệ con đó. 3Ví dụ: Cho hệ véc tơ: ܺଵ = (1,2,−1) ܺଶ = (0,2,1) ܺଷ = (1,0,−2) ܺସ = (2,2,−3) Nhận xét: + ଵܺ, ܺଶ ĐLTT. + ܺଷ = ଵܺ − ܺଶ , ܺସ = 2 ଵܺ − ܺଶ 4Hiển nhiên, ଵܺ = ଵܺ + 0. ܺଶ , ܺଶ = 0. ଵܺ + ܺଶ Vậy ଵܺ, ܺଶ là một cơ sở của hệ véc tơ ଵܺ, ܺଶ, ܺଷ, ܺସ Nhận xét: + Trong điều kiện thứ 2 của định nghĩa, ta chỉ cần chứng tỏ các véc tơ còn lại của hệ (∗) biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ của hệ con. 5+ Một hệ véc tơ cho trước có nhiều cơ sở khác nhau, tuy nhiên số véc tơ trong mỗi cơ sở đều bằng nhau. Định nghĩa: Số véc tơ trong mỗi cơ sở của một hệ véc tơ được gọi là hạng của hệ véc tơ đó. Ký hiệu là: ݎ( ଵܺ, ܺଶ, , ܺ௠) hay ݎܽ݊݇( ଵܺ, ܺଶ, , ܺ௠) 6Ví dụ: Trong ví dụ trước, hệ véc tơ: ଵܺ = (1,2, −1) ܺଶ = (0,2,1) ܺଷ = (1,0, −2) ܺସ = (2,2, −3) Có hạng bằng 2: ݎ ଵܺ, ܺଶ, ܺଷ, ܺସ = 2. Nhận xét: 0 ≤ ݎ ଵܺ, ܺଶ, , ܺ௠ ≤ ݉݅݊ ݉, ݊ m: số véc tơ, n: số chiều của ௜ܺ Hãy phát biểu bằng lời 7II. Các định lý cơ bản về hạng Định lý 1: Hạng của một hệ véc tơ bằng r khi và chỉ khi trong hệ véc tơ đó tồn tại một hệ con gồm r véc tơ ĐLTT và mọi hệ con có số véc tơ lớn hơn r (nếu có) đều PTTT. 8Nói cách khác, hạng của một hệ véc tơ chính là số véc tơ ĐLTT cực đại trong hệ véc tơ đó. rank Xଵ, Xଶ, , X୫ = r ⟺ ൜ ∘ Tồn tại hệ con gồm r véc tơ ĐLTT ∘ Mọi hệ con có số véc tơ > r đều PTTT 9Chứng minh định lý trên ? (xem giáo trình trang 97) Hệ quả 1: Một hệ véc tơ PTTT khi và chỉ khi hạng của hệ véc tơ đó nhỏ hơn số véc tơ của hệ đó. Nói cách khác, một hệ véc tơ ĐLTT khi và chỉ khi hạng của hệ véc tơ đó đúng bằng số véc tơ của nó. 10 Hệ quả 2: Nếu hạng của hệ véc tơ bằng r thì mọi hệ con gồm r véc tơ ĐLTT của hệ véc tơ đó đều là cơ sở của nó. 11 Định lý 2: Cho hai hệ véc tơ n chiều: ଵܺ, ܺଶ, , ܺ௠ (1) ଵܻ, ଶܻ, , ௣ܻ (2) Nếu mọi véc tơ của hệ (1) đều biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ của hệ (2) thì hạng của hệ (1) không lớn hơn hạng của hệ (2). Hãy chứng minh định lý này? Sách giáo trình trang 98 12 III. Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng. 1) Phép thêm bớt: Cho hai hệ véc tơ: ଵܺ, ܺଶ, , ܺ௠ (1) ଵܺ, ܺଶ, , ܺ௠; ܺ (2) (1) ୘୦ê୫ ୴à୭ ୴éୡ ୲ơ "ଡ଼" (2) (2) ୆ớ୲ đ୧ ୴éୡ ୲ơ "ଡ଼" (1) 13 Định lý: Cho hai hệ véc tơ: ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ (1) ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓; ࢄ (2) Nếu ࢄ = ∑ ࢄ࢏ ࢓ ࢏ୀ૚ thì ࢘ ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓ = ࢘(ࢄ૚, ࢄ૛, , ࢄ࢓; ࢄ) 14 Như vậy, hạng của một hệ véc tơ không thay đổi khi ta thêm vào hoặc bớt đi một véc tơ biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại. 2) Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ véc tơ được gọi là các phép biến đổi sơ cấp: 15 (i). Đổi chỗ hai véc tơ của hệ. (ii). Nhân một véc tơ của hệ với một số k ≠ 0. (iii). Cộng vào một véc tơ của hệ tích của một véc tơ khác trong cùng hệ đó với một số ߙ bất kỳ. Định lý 2: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của hệ véc tơ. Hãy chứng minh 16 Ví dụ: Cho X, Y là hai véc tơ n chiều. CMR: Hạng của hệ véc tơ ܵ = {ܺ + ܻ, ܺ − ܻ, ܽଵܺ + ܾଵܻ, ܽଶܺ + ܾଶܻ, , ܽ௠ܺ + ܾ௠ܻ} bằng hạng của hệ véc tơ ܺ, ܻ Giải.