Giáo trình Toán cao cấp - Chương 2: Ma trận-Định thức

về ma trận.) Tại sao phải có ma trận? Đối với hệ: ൜ ݔ + ݕ = 7 3ݔ − ݕ = 5 Dễ dạng nhận thấy nghiệm: ݔ = 3, ݕ = 4. Đối với hệ kích thước lớn hơn, chẳng hạn: ൞ ݔ + ݕ 2ݔ 5ݔ − + ݕ 4ݕ 3ݔ − ݕ − − + − 2ݖ 4ݖ 10ݖ 6ݖ = = = = 7 2 1 5 Ma trận sẽ giúp bạn Định nghĩa: Ma trận là một bảng số được xếp theo dòng và cột. Một ma trận có m dòng, n cột được gọi là ma trận cấp ݉ × ݊ Dạng tổng quát là: Có thể Ký hiệu dạng thu gọn: ܣ = ܽ௜௝ ௠×௡ 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn m n a a a a a a A a a a                     11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn m n a a a a a a A a a a                     Dấu ngoặc đơn Dấu ngoặc vuông Trong đó ܽ௜௝ là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A. Ví dụ 1: Cho ma trận: ܣ = 1 −2 3 4 −3 5 1 −1 0 −4 2 −1 ଷ×ସ ⟶ ܽଶଷ = 5, ܽଵଶ = −2, ܽଷସ = −1 Ví dụ 2: Lập ma trận ܣ = ܽ௜௝ ସ×ସ cho biết: a୧୨ = ቊ 1 nếu i + j chẵn 2 nếu i + j lẻ Giải: ܣ = 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 aଵଵ =? aଵଶ =? aଵଷ =? aଵସ =? 2. Đẳng thức ma trận Định nghĩa: Hai ma trận được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng đôi một bằng nhau. Tức là, A = a୧୨ ୫×୬, B = b୧୨ ୫×୬ Thì: A = B ⟺ ൜ a୧୨ = b୧୨ ∀i = 1,2, ,m; j = 1,2, , n Ví dụ: Cho ܣ = ܽ ܾ ܿ ݀ ݁ ݂ , ܤ = 1 2 3 4 5 6 Khi đó, ܣ = ܤ ⟺ ܽ = 1 ܾ = 2 ܿ = 3 ݀ = 4 ݁ = 5 ݂ = 6 3. Ma trận không và ma trận đối Định nghĩa 1: Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng không. Ký hiệu: 0௠×௡ m n m n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                      Định nghĩa 2: Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử của nó là số đối của các phần tử tương ứng của ma trận A. Ký hiệu: ma trận đối của A là – A. Như vậy, ܣ = ܽ௜௝ ௠×௡ ⟶ −ܣ = −ܽ௜௝ ௠×௡ Ví dụ: Lập ma trận đối của ma trận sau: II. Các dạng ma trận 1. Ma trận vuông Định nghĩa: Ma trận vuông là ma trận có số dòng bằng số cột. 4 0 A 5 2 7 4           4 0 A 5 2 7 4             Một ma trận có số dòng và số cột đều bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát: 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a A a a a                    Đường chéo chính Chú ý: Đối với ma trận vuông: ܣ = ܽ௜௝ ௡×௡ người ta gọi tổng các phần tử trên đường chéo chính là vết của ma trận đó: ܸếݐ(ܣ) = ܽଵଵ + ܽଶଶ +⋯+ ܽ௡௡ 2. Ma trận tam giác: Định nghĩa: Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0. Có hai loại ma trận tam giác: 11 12 1n 22 2n mn a a a a a a                 11 21 22 m1 m2 mn a a a a a a                Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác dưới 3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị Định nghĩa: Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Ma trận đường chéo cấp n có dạng: 11 22 nn a a a              7 0 0 A 0 4 0 0 0 9           Định nghĩa: Ma trận đơn vị là ma trận vuông có tất cả các phần tử trong đường chéo chính bằng 1, nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. n 1 0 0 0 1 0 E E 0 0 1                     3 1 0 0 E 0 1 0 0 0 1           1. Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với một ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp. Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của ma trận cho nhau. Phép 2: Nhân một dòng (cột) với số ߙ ≠ 0. Phép 3: Biến đổi một dòng(cột) bằng cách cộng vào nó tích của một dòng(cột) khác với một số k tùy chọn. 2. Phép chuyển vị ma trận Cho ma trận ܣ = ܽ௜௝ ௠×௡. Bằng cách xoay các dòng của A thành các cột tương ứng ta được ma trận A’ ܣ = ܽ௜௝ ௠×௡ ଡ଼୭ୟ୷ ୡáୡ ୢò୬୥ ୲୦à୬୦ ୡộ୲ ୲ươ୬୥ ứ୬୥ ܣ′ = ܽ′௜௝ ௡×௠ Ma trận chuyển vị của ma trận A Ví dụ: Tìm ma trận chuyển vị của ma trận sau: ܣ = 1 −2 3 4 −3 5 1 −1 0 −4 2 −1 ଷ×ସ ⟶ ܽଶଷ = 5 Đs: Aᇱ = 1 4 1 −2 3 −3 5 −1 0 −4 2 −1 ସ×ଷ ⟶ ܽ′ଷଶ = 5 Nhận xét: ܽ′௜௝ = ௝ܽ௜∀݅, ݆ § 2. CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số 1. Định nghĩa phép toán 2. Các tính chất cơ bản II. Phép nhân ma trận với ma trận 1. Định nghĩa phép toán 2. Các tính chất cơ bản I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số. Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng cấp ݉ × ݊: ܣ = ܽ௜௝ ௠×௡, ܤ = ܾ௜௝ ௠×௡ Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp ݉ × ݊. Ký hiệu là A + B và được xác định như sau: ܣ + ܤ = ܽ௜௝ + ܾ௜௝ ௠×௡ Định nghĩa2: Cho ma trận ܣ = ܽ௜௝ ௠×௡ và số thực ߙ. Tích của trận A và số thực ߙ là một ma trận cấp ݉ × ݊. Ký hiệu là ߙܣ và được xác định như sau: ߙܣ = ߙ. ܽ௜௝ ௠×௡ Nhận xét: + Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp. + Việc thực hiện phép cộng hai ma trận và nhân ma trận với số được thực hiện tương tự như đối với vectơ: Cụ thể: Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử ở vị trí tương ứng với nhau.” Quy tắc nhân véc tơ với số: ”Nhân một ma trận với sốߙ ta nhân số ߙ với tất cả các phần tử của ma trận đó.” Ví dụ: Cho hai ma trận A = 2 −3 1 4 2 0 , ܤ = −1 1 −3 0 2 −4 Hãy lập: A + B, 2A, 3B, 2A + 3B. Giải: A + B = 2 + (−1) (−3) + 1 1 + (−3) 4 + 0 2 + 2 0 + (−4) = 1 −2 −2 4 4 −4 Các tính chất cơ bản của phép cộng và nhân ma trận với số: (8 tính chất) Với A, B, C là các ma trận cùng cấp ݉ × ݊; ߙ là các số bất kỳ, ta có: 1. Giao hoán: ܣ + ܤ = ܤ + ܣ 2. Kết hợp: ܣ + ܤ + ܥ = ܣ + (ܤ + ܥ) 3. Cộng với ma trận 0: A + 0 = 0 + A = A 4. Cộng với ma trận đối: A + (–A) = 0. 5. Nhân với 1: 1.A = A.1 =A. 6. Phân phối: ߙ ܣ + ܤ = ߙܣ + ߙܤ 7. Phân phối: ߙ + ߚ ܣ = ߙܣ + ߚܣ 8. Kết hợp với phép nhân: ߙߚ ܣ = ߙ(ߚܣ) Chú ý: Ta có phép trừ hai ma trận: A – B = A + (–B) Như vậy, Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp ݉ × ݊: ܣ = ܽ௜௝ ௠×௡, ܤ = ܾ௜௝ ௠×௡ Thì: ܣ − ܤ = ܽ௜௝ − ܾ௜௝ ௠×௡ Quy tắc: “Trừ hai ma trận cùng cấp ta trừ các phần tử của ma trận đứng trước cho các phần tử tương ứng của ma trận đứng sau”. Nhận xét: ߙ ܣ − ܤ = ߙܣ − ߙܤ ߙ − ߚ ܣ = ߙܣ − ߚܤ Chú ý: “Từ các tính chất trên ta suy ra thực hiện biến đổi một biểu thức ma trận (hay đẳng thức ma trận) có thể thực hiện như biến đổi một biểu thức(hay đẳng thức đại số). Tức là, có thể: nhân phân phối, chuyển vế đổi dấu, ”. Ví dụ: (Bài 2 – Trang 112-SGTr) Cho hai ma trận: a) Lập các ma trận: ܣ + ܤ, ܣ − ܤ, 2ܣ + 5ܤ, 3ܣ − ܤ b) Tìm ma trận X thỏa mãn 3 ܺ + 2ܣ + ܤ = ܺ + 7ܣ − 2ܤ Giải: a) ∘ ܣ + ܤ = ∘ ܣ − ܤ = II. Phép nhân ma trận với ma trận. Định nghĩa: Cho hai ma trận 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn m n a a a a a a A a a a                     11 12 1p 21 22 2p n1 n2 np n p b b b b b b B b b b                     số cột của A bằng số dòng B Định nghĩa: Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp ݉ × ݌, ký hiệu là AB và được xác định như sau: ܣܤ = ܥ = 11 12 1p 21 22 2p m1 m2 mp m p c c c c c c c c c                     Ở đó: ܿ௜௝ = ܽ௜ଵ ܽ௜ଶ ⋯ ܽ௜௡ ܾଵ௝ ܾଶ௝ ⋮ ܾ௡௝ = ܽ௜ଵ. ܾଵ௝ + ܽ௜ଶ. ܾଶ௝ +⋯+ ܽ௜௡. ܾ௡௝ Phần tử thuộc dòng i cột j của AB Chẳng hạn: = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70 Chú ý: 1. Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (B). 2. Cấp của ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau. 3. Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij (nằm ở dòng i, cột j của AB) là tích vô hướng của dòng i (của ma trận đứng trước) và cột j (của ma trận đứng sau). d c ij i jc A B  Ví dụ 1: Cho hai ma trận 2 3 3 2 1 3 3 1 2 A ; B 2 3 9 4 2 5 1                 số cột của A = số dòng của B = 3 2 2 AB         11c    1 3 1 2 2 5             3 2 10 5    9 3 2 8     9 8 10 27   27 12 2 13   5 8 27 13 12c  21c  22c  Hãy lập ma trận BA (A, B trong Ví dụ 1) Nhận xét: Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. 3 2 2 3B A  3 3BA  24 11 8 BA 33 14 2 24 9 8          2 4 1 3 2 1 3 A 4 2 5 ; B 5 m 4 1 8 2 3 2 5 3 6                      Ví dụ 2: Cho hai ma trận: Lập ܣ’ܤ =? 42 4m 36 42 50 A B 2 2m 18 10 2 22 5m 17 12 20             A: 13 C: 25 Ví dụ 3: Cho 2 ma trận: 2 2 4 1 2 1 4 3 2 4 5 1 3 4 5 3 1 4 A ; B 2 4 7 3 5 3 1 2 3 6 4 1 5 3 4 1 3 1                           D: - 25 50:50 B: - 23 Phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận A'B là: Ví dụ 4: Cho 3 ma trận: a) Tìm phần tử nằm ở dòng 2, cột 3 của ma trận: 3AᇱC − ଶ ଷ BC + ଵ ସ A. b) Tìm phần tử nằm ở dòng 3, cột 1 của ma trận: BAᇱC. 3 2 1 1 2 3 3 2 1 A 5 6 1 ;B 8 4 1 ;C 3 6 2 7 2 4 3 6 2 5 1 7                                    Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính: Xét hệ phương trình tuyến tính: 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                         Ta có: 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a A ; a a a                    1 2 n x x X ; x              1 2 m b b B b              11 1 12 2 1n n 1 21 1 21 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a x a x a x b a x a x a x b AX B a x a x a x b                                    Ma trận hệ số Cột ẩn số Cột số hạng tự dosố Vậy, hệ trên được viết dưới dạng đơn giản: AX = B Các tính chất cơ bản của phép nhân: 1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC) =ABC 2) Tính phân phối đối với phép cộng: ܣ ܤ + ܥ = ܣܤ + ܣܥ, (ܣ + ܤ)ܦ = ܣܦ + ܤܦ Dạng ma trận của hệ pttt 3) ߙ ܣܤ = ߙܣ ܤ = ܣ ߙܤ Tính chất này cho ta qua tắc: “Khi nhân một số với tích của hai ma trận ta có thể nhân số đó với một trong hai ma trận của tích” 4) Mọi ma trận đều không thay đổi khi nhân với ma trận đơn vị: ܣ. ܧ = ܣ, ܧܤ = ܤ Đặc biệt nếu A vuông: ܣܧ = ܧܣ = ܣ 5) ܣܤ ᇱ = ܤᇱ. ܣ′ Mở rộng: ܣଵܣଶܣ௠ ᇱ = ܣ௠ ᇱ . ܣ௠ିଵ ᇱ ܣଵ′ Chú ý: Đối với ma trận vuông ta có thể sử dụng ký hiệu lũy thừa: ܣ. ܣ = ܣଶ ܣ. ܣ. ܣ = ܣଷ Tổng quát: ܣ௠ = ܣ. ܣܣ m lần § 2. ĐỊNH THỨC Các nội dung chính: 1. Hoán vị của n số tự nhiên đầu 2. Định nghĩa định thức cấp n 3. Tính các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3) 4. Các tính chất cơ bản của định thức I. Hoán vị của n số tự nhiên đầu Định nghĩa: Cho tập ௡ܰ = 1,2, , ݊ Mỗi cách cách sắp xếp n phần tử của tập hợp ௡ܰ theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên. Ký hiệu ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௜ , , ߙ௝ , , ߙ௡ Là một hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên. Số lượng hoán vị của tập n số tự nhiên đầu là: n!. Nghịch thế trong một hoán vị Định nghĩa: Trong hoán vị ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௡ nếu ݅ ߙ௝ thì ta nói hai số ߙ௜ và ߙ௝ tạo thành một nghịch thế. + Nếu tổng số nghịch thế của một hoán vị là số chẵn thì hoán vị đó được gọi là hoán vị chẵn. + Nếu tổng số nghịch thế của một hoán vị là số lẻ thì hoán vị đó được gọi là hoán vị lẻ. Ví dụ: Cho ଺ܰ = 1,2,3,4,5,6 Xét hoán vị: 3,1,6,2,4,5 Cho biết hoán vị trên chẵn hay lẻ? Giải: Đếm số nghịch thế của hoán vị này: 3,1,6,2,4,5 + Số 3 có hai số nhỏ hơn đứng sau nó (số 1 và 2). + Số 1 không có số nhỏ hơn đứng sau nó. + Số 6 có ba số nhỏ hơn đứng sau nó (số 2, 4 và 5). + Số 2 không có số nhỏ hơn đứng sau nó. + Số 4 không có số nhỏ hơn đứng sau nó. ⟹ số nghịch thế của hoán vị trên là: 2 + 0 + 3 + 0 + 0 = 5 (lẻ) Vậy hoán vị: 3,1,6,2,4,5 là hoán vị lẻ Bây giờ, bạn hãy đổi chỗ 3 và 5 cho nhau, để được hoán vị: 5,1,6,2,4,3. Số nghịch thế là: ??? Vậy hoán vị đổi thành hoán vị chẵn. 4 + 0 + 3 + 0 + 1 = 8 Kết quả trên được khái quát: Định lý: Nếu đổi chỗ hai số trong một hoán vị (giữ nguyên vị trí của những số còn lại) thì hoán vị thay đổi tính chẵn lẻ (tức là hoán vị chẵn biến thành hoán vị lẻ và ngược lại). Hệ quả 1: Nếu ݊ ≥ 2 thì trong số n! hoán vị của n số tự nhiên đầu có một nửa là hoán vị chẵn và một nửa là hoán vị lẻ. Hệ quả 2: Với ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௡ là một hoán vị của n số tự nhiên đầu, bằng cách đổi chỗ các cột ta đưa được ma trận: về dạng thì hai hoán vị ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௡ và ߚଵ, ߚଶ, , ߚ௡ có cùng tính chẵn lẻ. 1 2 n 1 2 n           1 2 n 1 2 n         II. Định nghĩa định thức cấp n Cho ma trận vuông cấp n: ܣ = ܽଵଵ ܽଵଶ ⋯ ܽଶଵ ⋯ ܽଶଶ ⋯ ⋯ ⋯ ܽ௡ଵ ܽ௡ଶ ⋯ ܽଵ௡ ܽଶ௡ ⋯ ܽ௡௡ ௡×௡ Trước tiên ta trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cách chọn ra các bộ gồm n phần tử của A lấy trên các dòng khác nhau và các cột khác nhau, tức là không có hai phần tử nào cùng nằm trên một dòng hay một cột” Để chọn một bộ gồm n phần tử như vậy: Ta lấy một hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên đầu tiên(sau này gọi là hoán vị chỉ số cột): ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௡ Theo hoán vị đó ta chọn n phần tử của ma trận A như sau: + Trên dòng 1 lấy phần tử thuộc cột ߙଵ: ܽଵఈభ + Trên dòng 2 lấy phần tử thuộc cột ߙଶ: ܽଶఈమ . + Trên dòng n lấy phần tử thuộc cột ߙ௡: ܽ௡ఈ೙ Và lập tích số: −1 ௛. ܽଵఈభ . ܽଶఈమ ܽ௡ఈ೙ (∗) (h:là số nghịch thế của hoán vị: ߙଵ, ߙଶ, , ߙ௡) Nhận xét: ∘ Mỗi tích số dạng (∗) là tích của một bộ n phần tử của ma trận A lấy trên các dòng khác nhau và các cột khác nhau và được gán dấu theo quy tắc sau: ∗ Gán dấu “+” nếu là hoán vị chỉ số cột là hoán vị chẵn. ∗ Gán dấu “–” nếu là hoán vị chỉ số cột là hoán vị lẻ. ∘ Có n! tích số dạng (∗). Định nghĩa: Tổng của tất cả n! tích số dạng (∗) được gọi là định thức của ma trận vuông A và được ký hiệu là: ܣ hoặc det ܣ hoặc có thể viết dưới dạng một bảng số có n dòng, n cột đặt giữa hai dấu gạch đứng: ܽଵଵ ܽଵଶ ⋯ ܽଶଵ ⋯ ܽଶଶ ⋯ ⋯ ⋯ ܽ௡ଵ ܽ௡ଶ ⋯ ܽଵ௡ ܽଶ௡ ⋯ ܽ௡௡ ∘ Định thức của một ma trận vuông cấp n được gọi là định thức cấp n. ∘ Mỗi tích số T = −1 ௛. ܽଵఈభ . ܽଶఈమ ܽ௡ఈ೙ được gọi là một thành phần của định thức. Như vậy, định thức cấp n là tổng của n! thành phần của nó: det ܣ = ෍ −1 ௛ . ܽଵఈభ . ܽଶఈమ ܽ௡ఈ೙ (ఈభ,ఈమ,,ఈ೙) Tổng trên lấy cho tất cả các hoán vị của ௡ܰ Chú ý: ∘ Khái niệm định thức chỉ áp dụng đối với ma trận vuông. ∘ Định thức là một số thực xác định (điều này khác với ma trận là một bảng số): + ቊ ܽ௜௝ ∈ ܴ ∀݅, ݆ = 1, ݊ ⟹ d = det (ܣ) ∈ ܴ (Lời: ””) + ቊ ܽ௜௝ ∈ ܼ ∀݅, ݆ = 1, ݊ ⟹ d = det (ܣ) ∈ ܼ (Lời: ””) Ví dụ 1: Có bao nhiêu thành phần của định thức cấp 5 chứa các phần tử ܽଵସ, ܽଷଵ, ܽସହ. Viết công thức tính các phần tử đó. Giải: Một thành phần của định thức cấp 5 có dạng: Ví dụ 2: Cho đa thức một biến x: hệ số của lũy thừa cao nhất của P(x) là:   5 4 3 x 7 3 1 6 2 4 P x 3x 3 1 9 10 5 2 4 11 2x 7 9 8 5 11       A: – 256 C: 354 B: 344 D: – 276 50:50 Ví dụ: Cho định thức: ݀ ݔ = 5ݔ 4 3ݔ 1 3 ݔ 2 1 ݔ 1 1 1 2 1 1 ݔ Chỉ sử dụng định nghĩa hãy tìm thành phần của định thức chứa ݔସ và ݔଷ. Giải. SV tự giải. 3. Tính các định thức cấp 1, 2, 3 bằng định nghĩa. Định thức cấp 1: ࡭ = ࢇ૚૚ ૚×૚ ⟶ ࢊ = ࡭ = ࢇ૚૚ Quy tắc: “Định thức cấp 1 bằng phần tử duy nhất của nó”. Hoán vị ߙଵ Số nghịch thế T.P tương ứng 1 0 +ܽଵଵ 1 Định thức cấp 2: ࡭ = ࢇ૚૚ ࢇ૚૛ ࢇ૛૚ ࢇ૛૛ ૛×૛ , ࢔! = ૛! =2(thành phần) ⟶ ࢊ = ࡭ = +ࢇ૚૚ࢇ૛૛ − ࢇ૚૛ࢇ૛૚ Hoán vị ߙଵ, ߙଶ Số nghịch thế (h) TP tương ứng −1 ௛ܽଵఈభܽଶఈమ 1,2 0 +ܽଵଵܽଶଶ 2,1 1 −ܽଵଶܽଶଵ 2 Như vậy, ݀ = ܣ = ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଶଵ ܽଶଶ = ܽଵଵ. ܽଶଶ−ܽଵଶ. ܽଶଵ Quy tắc: “Định thức cấp 2 bằng tích hai phần tử nằm trên đường chéo chính trừ đi tích hai phần tử trên đường chéo phụ”. – + 3 Ví dụ 1: Tính các định thức sau: a) ݀ = 2 3 4 5 = 2.5 − 3.4 = −2 b) ݀ = ܽ ܾݔ ݕ = ܽݕ − ܾݔ 4 Định thức cấp 3: ࡭ = ࢇ૚૚ ࢇ૚૛ ࢇ૛૚ ࢇ૜૚ ࢇ૛૛ ࢇ૜૛ ࢇ૚૜ ࢇ૛૜ ࢇ૜૜ ૜×૜ ࢔! = ૜! = ૟(thành phần) ⟶ ࢊ = ࡭ = Tổng của 6 thành phần của nó. 5 Vậy, ݀ = ܣ = ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଶଵ ܽଷଵ ܽଶଶ ܽଷଶ ܽଵଷ ܽଶଷ ܽଷଷ = ଵܶ + ଶܶ + ଷܶ − −( ସܶ + ହܶ + ଺ܶ) Hoán vị ߙଵ, ߙଶ, ߙଷ Số nghịch thế (h) TP tương ứng −1 ௛ܽଵఈభܽଶఈమܽଷఈయ 1,2,3 0 +ܽଵଵܽଶଶܽଷଷ = + ଵܶ 2,3,1 2 +ܽଵଶܽଶଷܽଷଵ = + ଶܶ 3,1,2 2 +ܽଵଷܽଶଵܽଷଶ = + ଷܶ 3,2,1 3 −ܽଵଷܽଶଶܽଷଵ = − ସܶ 2,1,3 1 −ܽଵଶܽଶଵܽଷଷ = − ହܶ 1,3,2 1 −ܽଵଵܽଶଷܽଷଶ = − ଺ܶ 6 ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଶଵ ܽଷଵ ܽଶଶ ܽଷଶ ܽଵଷ ܽଶଷ ܽଷଷ ଵܶ ଶܶ ଷܶ 7 ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଶଵ ܽଷଵ ܽଶଶ ܽଷଶ ܽଵଷ ܽଶଷ ܽଷଷ ହܶ ସܶ ଺ܶ 8 ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଶଵ ܽଷଵ ܽଶଶ ܽଷଶ ܽଵଷ ܽଶଷ ܽଷଷ − ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ + Mẹo 9 Ví dụ 1: Tính định thức sau: ݀ = 2 −3 4 1 6 5 −3 3 2 = 2.6.2 + 5. – 3 . – 3 + 1.3.4 − − 4.6. −3 + 1. −3 . 2 + 3.5.2 = =129 10 Ví dụ 2: Tính các định thức sau: a) ݀ = 1 ݉ −2 3 2 1 5 4 0 = 0 + 5݉ − 24 − −20 + 0 + 4 = 5݉ − 8 b)݀ = −2 3 1 1 −2 2 6 ݊ + 1 4 = 16 + 36 + ݊ + 1 − −[−12 + 12 − 4 ݊ + 1 ] = 5݊ + 57 11 Ví dụ 3: Tính định thức: ݀ = 3 2݉ −1 4 5 2 −1 3 6 C: 35-27m B: 34-47m D: 51-52m 50:50 A: 55-52m 12 Chú ý: Cấp định thức càng cao số thành phần càng lớn nên không thể tính định thức cấp cao bằng định nghĩa. Thậm chí, cấp thấp tính bằng định nghĩa đôi khi cũng gặp khó khăn, chẳng hạn: ݀ = 12345678 13345678 23456789 24456789 =? 13 4. Các tính chất cơ bản của định thức Định lý 1: ࡭′ = ࡭ (∀࡭ vuông) Từ định lý trên suy ra: Vai trò của dòng và cột là như nhau, Do đó: tất cả các tính chất của định thức đã đúng với dòng thì cũng đúng với cột. 14 Định lý 2: Nếu tất cả các phần tử của một dòng nào đó của định thức cấp n bằng 0 thì định thức đó bằng 0. Chẳng hạn, a) ܌ = ૜૚ ૛࢓ −૚૞ ૙ ૙ ૙ −૞૚ ૜ૢ ૟૞ = ૙ 15 b) ࢊ = ૜૚ ૛ૢ ૙ ૛૚ ૛૜ −૟૞ ૠૡ ૙ ૙ −૚૚ ૢ૜ ૙ ૠ૚ ૞ૠ ૠૢ ૡ૜ = ૙ 16 Định lý 3: Nếu trong định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí của các dòng còn lại thì định thức đổi dấu. Chẳng hạn, 1 2 3 4 3 1 2 1 1   1 2 3 2 1 1 4 3 1   44 44  đổ id ấu 17 Hệ quả: Định thức bằng 0 nếu nó có 2 dòng bằng nhau. Chẳng hạn, 31 2 2 21 23 3 4 3 4 −11 5 5 71 57 79 83 = 0 18 Định lý 4: Nếu nhân một dòng nào đó của định thức d với một số ࢻ (tức là nhân tất cả các phần tử của dòng đó với số ࢻ) thì định thức mới nhận được bằng định thức cũ nhân với ࢻ. 19 Tức là: ࢇ૚૚ ⋯ ࢇ૚૛ ⋯ ⋯ ⋯ ࢻ. ࢇ࢏૚ ⋯ ࢻ. ࢇ࢏૛ ⋯ ⋯ ⋯ ࢇ࢔૚ ࢇ࢔૛ ⋯ ࢇ૚࢔ ⋯ ࢻ. ࢇ࢏࢔ ⋯ ࢇ࢔࢔ = ࢻ. ࢇ૚૚ ⋯ ࢇ૚૛ ⋯ ⋯ ⋯ ࢇ࢏૚ ⋯ ࢇ࢏૛ ⋯ ⋯ ⋯ ࢇ࢔૚ ࢇ࢔૛ ⋯ ࢇ૚࢔ ⋯ ࢇ࢏࢔ ⋯ ࢇ࢔࢔ 20 Nói cách khác: Nhân tử chung của một dòng trong định thức có thể đưa ra ngoài dấu định thức. ૢ ૚ૡ ૛ૠ ૛૙ ૛૞ ૜૙ ૛ૡ ૜૛ ૜૟ = ૢ ૚ ૛ ૜ ૛૙ ૛૞ ૜૙ ૛ૡ ૜૛ ૜૟ = ૢ. ૞. ૚ ૛ ૜ ૝ ૞ ૟ ૛ૡ ૜૛ ૜૟ ૢ. ૞. ૝ ૚ ૜ ૝ ૟ ૠ ૡ ૢ 21 Chú ý: Ta cần nhận thấy sự khác nhau: ࢑. ࡭ khác với ࢑ ࡭ : 3 ૛ −૜ ૝ ૚ −૚ ૞ ૡ ૚ ૠ =? 3 ૛ −૜ ૝ ૚ −૚ ૞ ૡ ૚ ૠ =? 22 Ví dụ: Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của ࢑࡭ =? C: n୩|A| B: ݊݇|A| D: ݇|A| 50:50 A: k୬|A| 23 Hệ quả 1: Định thức bằng 0 nếu có hai dòng tỷ lệ. Hệ quả 2: ܓۯ = ࢑࢔ ࡭ 24 Định lý 5: Nếu trong định thức. ܉૚૚ ⋯ ܉૚૛ ⋯ ⋯ ⋯ ܊ܑ૚ + ܋ܑ૚ ⋯ ܊ܑ૛ + ܋ܑ૛ ⋯ ⋯ ⋯ ܉ܖ૚ ܉ܖ૛ ⋯ ܉૚ܖ ⋯ ܊ܑܖ + ܋ܑܖ ⋯ ܉ܖܖ Dòng thứ i được viết dưới dạng tổng của hai dòng: 25 ܊ܑ૚ + ܋ܑ૚, ࢈ܑ૛ + ࢉܑ૛, , ࢈ܑܖ + ࢉܑܖ = = ࢈࢏૚, ܊ܑ૛, , ࢈࢏࢔ + ࢉ࢏࢔ + ࢉ࢏૚, ࢉ࢏૛, , ࢉ࢏࢔ Thì ta có thể tách định thức d thành tổng của hai định thức: ࢊ૚ + ࢊ૛ dଵ = aଵଵ ⋯ aଵଶ ⋯ ⋯ ⋯ ܾ௜ଵ ⋯ b୧ଶ ⋯ ⋯ ⋯ a୬ଵ a୬ଶ ⋯ aଵ୬ ⋯ b୧୬ ⋯ a୬୬ , dଶ = aଵଵ ⋯ aଵଶ ⋯ ⋯ ⋯ ܿ௜ଵ ⋯ c୧ଶ ⋯ ⋯ ⋯ a୬ଵ a୬ଶ ⋯ aଵ୬ ⋯ c୧୬ ⋯ a୬୬ 26 Ví dụ: ܽଵ + ܽ′ଵ ܾଵ ܿଵ ܽଶ + ܽ′ଶ ܾଶ ܿଶ ܽଷ + ܽ′ଷ ܾଷ ܿଷ = ܽଵ ܾଵ ܿଵ ܽଶ ܾଶ ܿଶ ܽଷ ܾଷ ܿଷ + ܽ′ଵ ܾଵ ܿଵ ܽ′ଶ ܾଶ ܿଶ ܽ′ଷ ܾଷ ܿଷ Định lý 6: Nếu ta cộng vào một dòng của định thức tích của một dòng khác với một số k tùy ý thì định thức không thay đổi. 27 Ví dụ 1: Ví dụ 2: CMR: 28 Định lý 7: Định thức bằng 0 nếu hệ véc tơ dòng của nó phụ thuộc tuyến tính. Chú ý: Điều ngược lai vẫn đúng, tức là: “Nếu định thức bằng 0 thì hệ véc tơ dòng của nó phụ thuộc tuyến tính” 29 Định lý 8: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thì: ࡭࡮ = ࡭ . |࡮| Hệ quả: ࡭࢓ = ࡭ . ࡭ ࡭ = ࡭ ࢓ m lần 30 Ví dụ 1: Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của ࢑࢓࡭࢖ =? C: n୩୫ A ୮ B: ݊݇௠ A ୮ D: ݇௠ A ୮ 50:50 A: k୫୬ A ୮ 31 Ví dụ 2: Cho ۯ = ૛ −૜ ૞ ૡ ૠ ૚ ૜ ૝ −૛ Tính ࢊࢋ࢚ ૛ ૞ ࡭ૠ Giải: Dễ thấy: |A| = – 38, ࢊࢋ࢚ ૛ ૞ ࡭ૠ = ૛ ૞ ࡭ૠ = ૛ ૞ ૜ ࡭ ૠ = ૛ ૞ ૜ −૜ૡ ૠ = − ૢ૚૞૜૛૝૟૟૙ૠ૜૟ ૚૛૞ 32 Ví dụ 3: Cho d là định thức cấp n bất kỳ. Gọi ࢄ૚, ࢄ૛ là dòng thứ nhất và dòng thứ 2 của d và xem mỗi dòng của d như một véc tơ n chiều. Định thức thay đổi thế nào nếu thay dòng thứ 2của nó bằng véc tơ ૛ࢄ૚ − ૜ࢄ૛ (các dòng còn lại giữ nguyên). 33 33 § 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC Các nội dung chính: 1. Phương pháp khai triển a. Khái niệm phần bù đại số b. Quy tắc khai triển định thức 2. Phương pháp biến đổi về dạng tam giác 1. Phương pháp khai triển a. Khái niệm phần bù đại số Định nghĩa: Xét định thức cấp n: ܽଵଵ ⋯ ⋯ ⋯ ܽଵ௝ ⋯ ܽ௜ଵ ⋯ ⋯ ܽ௜௝ ⋯ ܽ௡ଵ ⋯ ܽ௡௝ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ܽଵ௡ ⋯ ܽ௜௡ ⋯ ܽ௡௡ Xóa đi dòng i và cột j (dòng và cột chứa phần tử aij) của định thức d, ta được định thức cấp n – 1, ký hiệu là Mij. ݀ ଡ଼óୟ ୢò୬୥ ୧,ୡộ୲ ୨ ܯ௜௝ (định thức cấp n-1) Định nghĩa: Định thức Mij được gọi là phần bù và Aij = (–1)i+j Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij trong định thức d. Chú ý: ܣ௜௝ = ቊ +ܯ௜௝ nếu i + j chẵn −ܯ௜௝ nếu i + j lẻ Ví dụ: Xét định thức: ݀ = 3 −2 5 2 1 −1 4 5 −3 Hãy tính: ܣଵଵ = + 1 −1 5 −3 = 2 Chú ý: ܣ௜௝ = ቊ +ܯ௜௝ nếu i + j chẵn −ܯ௜௝ nếu i + j lẻ Ví dụ: Xét định thức: ݀ = 3 −2 5 2 1 −1 4 5 −3 Hãy tính: ܣଵଶ = − 2 −1 4 −3 = 2 Chú ý: ܣ௜௝ = ቊ +ܯ௜௝ nếu i + j chẵn −ܯ௜௝ nếu i + j lẻ Ví dụ: Xét định thức: ݀ = 3 −2 5 2 1 −1 4 5 −3 Hãy tính: ܣଵଷ = + 2 1 4 5 = 6 b) Quy tắc khai triển định thức Trong Ví dụ trên: Ta thấy: ݀ = 3 −2 5 2 1 −1 4 5 −3 = 32 Các PT dòng 1: ܽଵଵ = 3, ܽଵଶ = −2, ܽଵଷ = 5 Phần bù đại số: ܣଵଵ = 2, ܣଵଶ = 2, ܣଵଷ = 6 ⟹ ܽଵଵܣଵଵ + ܽଵଶܣଵଶ + ܽଵଷܣଵଷ = 3.2 + −2 . 2 + 5.6 = 32 ⟹ ݀ = ܽଵଵܣଵଵ + ܽଵଶܣଵଶ + ܽଵଷܣଵଷ Định lý: Ta có công thức khai triển định thức cấp n theo dòng i: ݀ = ܽ௜ଵܣ௜ଵ + ܽ௜ଶܣ௜ଶ +⋯+ ܽ௜௡ܣ௜௡ Bạn hãy phát biểu công thức này thành lời.. “Định thức cấp n bằng tổng của các tích các phần tử trên một dòng nào đó với phần bù đại số tương ứng của các phần tử trên dòng đó. Tương tự ta cũng có công thức khai triển định thức cấp n theo cột thứ j: ݀ = ܽଵ௝ܣଵ௝ + ܽଶ௝ܣଶ௝ +⋯+ ܽ௡௝ܣ௡௝ Bạn hãy phát biểu công thức này thành lời.. “Định thức cấp n cũng bằng tổng của các tích các phần tử trên một cột nào đó với phần bù đại số tương ứng của các phần tử trên cột đó. Nhận xét: Định lý trên cho phép ta hạ cấp khi tính định thức, tức là chuyển việc tính một định thức cấp cao về việc tính các định thức cấp thấp hơn. Ví dụ 1: Tính định thức ݀ = 1 2 3 0 3 9 11 7 −2 −2 7 4 5 0 4 1 ݀ = 1 2 3 0 3 9 11 7 −2 −2 7 4 5 0 4 1 Khai triển định thức theo dòng 2: ݀ = 0. ܣଶଵ + 9.ܣଶଶ + 7. ܣଶଷ + 0. ܣଶସ ܣଶଶ = + 1 3 5 3 −2 4 −2 4 1 = −11 ? ? ? ? ݀ = 1 2 3 0 3 9 11 7 −2 −2 7 4 5 0 4 1 ܣଶଷ = − 1 2 5 3 11 4 −2 7 1 = −176 ⟹ ݀ = 9. ܣଶଶ + 7. ܣଶଷ = 9 −11 + 7. −176 = −1331 Chú ý 1: Để giảm bớt khối lượng tính toán, trước khi khai triển ta biến đổi sao cho một dòng hoặc cột nào đó chỉ còn duy nhất một phần tử khác 0. Khi đó định thức bằng phần tử khác 0 duy nhất đó nhân với phần bù đại số của nó. Chú ý 2: Để tránh nhầm lẫn khi biến đổi trên định thức cần chú ý: tác động của các phép biến đổi sơ cấp làm thay đổi định thức: Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của định thức ⟶ Định thức đổi dấu. Phép 2: Nhân một dòng (cột) của định thức với số k ⟶ Nhân thêm భ ೖ bên ngoài Phép 3: Cộng vào một dòng (cột) tích một dòng (cột) khác với một số k ⟶ Định thức không thay đổi. Ví dụ 2: Tính định thức ݀ = 3 1 4 5 2 −2 3 2 1 4 2 3 2 6 −1 6 = 3 1 4 11 −7 0 0 10 −11 −2 0 −5 2 10 −7 2 Biến đổi bằng 0 ݀ = 3 1 4 11 −7 0 0 10 −11 −2 0 −5 2 10 −7 2 = 1. ܣଵଶ = − 11 10 10 −7 −11 −7 −2 −5 2 = 4 −1 3 7 11 7 −2 −5 2 = 217 Ví dụ 3: Tính định thức: ݀ = −3 2 −1 2 5 −1 −3 3 1 6 4 2 4 2 3 1 A: – 489 C: 594 B: 588 D: – 589 50:50 Ví dụ 4: Tính định thức: ݀ = −2 3 1 2 3 −1 −3 ݉ 1 2 1 2 2 2 3 1 A: 49 – 37m C: 59-45m D: 58-39m 50:50 B: 47 – 39m 2. Phương pháp biến đổi về dạng tam giác Chú ý rằng: ࢇ૚૚ ࢇ૚૛ ࢇ૛૛ ࢇ૚࢔ ࢇ૛࢔ ࢇ࢔࢔ = ࢇ૚૚. ࢇ૛૛ࢇ࢔࢔ DĐịnh thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính Chẳng hạn ૞ ૙ ૜૝ ૙ ૙ ૠ ૙ ૜૚ ૢ ૙ ૙ ૙ ૝૞ ૛ૠ ૠ૞ ૚૚ = ૞. ૠ. ૢ. ૚૚ Bây giờ, để tính định thức cấp n d, ta có thể sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi d về dạng tam giác và d sẽ bằng “tích các phần tử trên đường chéo chính” ݀ ୱử ୢụ୬୥ ୡáୡ ୮୦é୮ ୠ୧ế୬ đổ୧ ୱơ ୡấ୮ ݀଴(Dạng tam giác) Ví dụ 1: Tính định thức: ࢊ = 2 −1 1 0 3 1 −1 2 2 3 1 −2 0 −1 3 1 =(–1).1.1.(– 56) = 56 Ví dụ 2: Tính định thức cấp n HD: Hãy lấy dòng 1 cộng vào các dòng còn lại (định thức không thay đổi) Đs: d = n! & § 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Các nội dung chính: 1. Ma trận nghịch đảo a. Khái niệm ma trận nghịch đảo b. Các tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo 2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo a. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông b. Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo c.Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi ma trận 3. Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận 1. Ma trận nghịch đảo a. Khái niệm ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: ࡭ࢄ = ࢄ࡭ = ࡱ Chú ý: ∘ Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông. ∘ Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông (nếu có) là duy nhất. Chứng minh: Giả sử X, Y là hai ma trận nghịch đảo của A: AX = XA = E AY = YA = E ⟹ࢄ = ࢄࡱ = ࢄ ࡭ࢅ = ࢄ࡭ ࢅ = ࡱࢅ = ࢅ∎ Vì vậy: Ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là ࡭ି૚ ⟹ ࡭࡭ି૚ = ࡭ି૚࡭ = ࡱ ⟹ ࡭ ࡭ି૚ = ࡱ ⟹ ࡭ି૚ = ૚ ࡭ b. Một vài tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo. Tính chất 1: ࡭ି૚ ି૚ = ࡭, ࡭ି૚ = ࡭ ି૚ Tính chất 2: ࡭࡮ ି૚ = ࡮ି૚࡭ି૚ Hãy chứng minh các tính chất này bằng định nghĩa? Câu hỏi 1: Khi nào ma trận A có ma trận nghịch đảo? Câu hỏi 2: Khi đó tìm ma trận nghịch đảo như thế nào? 2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo a. Ma trận phụ hợp của ma trận vuông (Chỉ áp dụng cho ma trận vuông) Định nghĩa: Cho ma trận vuông ࡭ = ࢇ૚૚ ࢇ૚૛ ⋯ࢇ૛૚⋯ ࢇ૛૛⋯ ⋯⋯ ࢇ࢔૚ ࢇ࢔૛ ⋯ ࢇ૚࢔ ࢇ૛࢔ ⋯ ࢇ࢔࢔ ࢔×࢔ Ma trận phụ hợp của ma trận A cũng là một ma trận vuông có cùng cấp với A, nó được ký hiệu và xác định như sau: ࡭∗ = ࡭૚૚ ࡭૛૚ ⋯࡭૚૛ ⋯ ࡭૛૛ ⋯ ⋯ ⋯ ࡭૚࢔ ࡭૛࢔ ⋯ ࡭࢔૚ ࡭࢔૛ ⋯ ࡭࢔࢔ ࢔×࢔ Chú ý: ࢇ࢏࢐∗ = ࡭࢐࢏ Ví dụ 1: Cho ࡭ = ૚ ૙ −૚૛ ૞ ૚ −૛ ૚ ૝ . Tìm ࡭∗ =? Đs: ࡭∗ = ࡭૚૚ ࡭૛૚ ࡭૜૚࡭૚૛ ࡭૛૛ ࡭૜૛ ࡭૚૜ ࡭૛૜ ࡭૜૜ = ૚ૢ −૚ ૞−૚૙ ૛ −૜ ૚૛ −૚ ૞ ࡭૚૚ = + ૞ ૚૚ ૝ = ૚ૢ Ví dụ 2: Cho ࡭ = ૚ ૛ −૚−૜ ૙ ૚ −૛ ૜ ૛ −૚ ૜ ૚ ૝ ૝ −૚ ૛ Tìm phần tử thuộc dòng 3 cột 4 của ࡭∗. Đs: ࢞૜૝ = ࡭૝૜ = − ૚ ૛ ૝−૜ ૚ ૝ ૙ −૛ −૚ = −૚ Ví dụ 3: Cho: ࡭ = −૛ ૜ −૛૚ ૙ ૛ −૚ ૜ ૙ −૚ ࢓ ૚ ૚ ૝ −૜ ૛ Tìm phần phần tử thuộc dòng 4 cột 1 của ma trận phụ hợp của ma trận A. C: -28 B: -4 D: 28 50:50 A: 4 Liên hệ giữa A và ࡭∗ Định lý: Với mọi A vuông, và E là ma trận đơn vị cùng cấp với A, ta luôn có: ࡭࡭∗ = ࡭∗࡭ = ࢊ.ࡱ (ࢊ = |࡭|) Để chứng minh định lý này ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề: Với mọi ma trận ࡭ = ࢇ࢏࢐ ࢔×࢔ Ta đều có: ∘ ࢇ࢏૚ ࡭࢐૚ + ࢇ࢏૛࡭࢐૛ + ⋯+ ࢇ࢏࢔࡭࢐࢔ == ൜ ࢊ = ࡭ ܖếܝ ܑ = ܒ ૙ ܖếܝ ܑ ≠ ܒ (૚) ∘ ࢇ૚࢏ ࡭૚࢐ + ࢇ૛࢏࡭૛࢐ + ⋯+ ࢇ࢔࢏࡭࢔࢐ == ൜ ࢊ = ࡭ ܖếܝ ܑ = ܒ ૙ ܖếܝ ܑ ≠ ܒ (૛) Ta chứng minh (1): ∘ Với ࢏ = ࢐ (1) chính là công thức khai triển định thức cấp n. ∘ Với ࢏ ≠ ࢐ xét định thức sau đây: ࢊഥ = ࢇ૚૚ ࢇ૚૛ ⋯ ࢇ࢏૚ ⋯ ࢇ࢏૛ ⋯ ⋯ ⋯ ࢇ࢏૚ ࢇ࢔૚ ࢇ࢏૛ ࢇ࢔૛ ⋯ ࢇ૚࢔ ࢇ࢏࢔ ⋯ ࢇ࢏࢔ ࢇ࢔࢔ Thay dòng j bởi dòng i Dòng i Dòng j ∘ Định thức ࢊഥ = ૙ (có hai dòng bằng nhau) ∘ Khai triển định thức theo dòng thứ j: ࢊഥ = ࢇ࢏૚࡭࢐૚ + ࢇ࢏૛࡭࢐૛ + ⋯+ ࢇ࢏࢔࡭࢐࢔ = ૙∎ Chú ý rằng: Vế trái của (1) chính là tích vô hướng: ࢇ࢏૚࡭࢐૚ + ࢇ࢏૛࡭࢐૛ + ⋯+ ࢇ࢏࢔࡭࢐࢔ = ࡭࢏ࢊ × ࡭∗ ࢐ࢉ Bây giờ ta sẽ sử dụng bổ đề để chứng minh định lý trên: Ta sẽ chứng minh: ࡭࡭∗ = ࢊ.ࡱ , đẳng thức còn lại ࡭∗࡭ = ࢊ.ࡱ được chứng minh tương tự. • Phần tử thuộc dòng i cột j của ࡭࡭∗ là: ࢉ࢏࢐ = ࢇ࢏૚ ࢇ࢏૛ ⋯ ࢇ࢏࢔ ࡭࢐૚࡭࢐૛⋮ ࡭࢐࢔= ࢇ࢏૚࡭࢐૚ + ࢇ࢏૛࡭࢐૛ + ⋯+ ࢇ࢏࢔࡭࢐࢔ = = ൜ ࢊ = ࡭ ܖếܝ ܑ = ܒ ૙ ܖếܝ ܑ ≠ ܒ • Từ đây suy ra: ࡭࡭∗ = ࢊ ૙ ૙૙ ૙ ࢊ ૙ ૙ ࢊ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ૙ ࢊ = ࢊࡱ∎ c) Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý: Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo (khả nghịch) ⟺ࢊ = ࢊࢋ࢚(࡭) ≠ ૙ Một ma trận vuông có định thức ࢊ ≠ ૙ được gọi là ma trận không suy biến Khi đó, ma trận nghịch đảo được xác định theo công thức: ࡭ି૚ = ૚ ࢊࢋ࢚(࡭)࡭∗ Chứng minh: + Nếu A có ma trận nghịch đảo, tức là tồn tại ࡭ି૚ ⟹࡭࡭ି૚ = ࡱ ⟹ ࡭ ࡭ି૚ = ࡱ ⟹ ࡭ ࡭ି૚ = ૚ ≠ ૙ ⟹ ࢊ = ࡭ ≠ ૙∎ + Nếu ࢊ = ࡭ ≠ ૙ . Nhân hai vế của Định lý: ࡭࡭∗ = ࡭∗࡭ = ࢊࡱ với ૚ ࢊ : ૚ࢊ ࡭࡭∗ = ૚ ࢊ ࡭∗࡭ = ૚ ࢊ ࢊࡱ ⟹ ࡭ ૚ ࢊ ࡭∗ = ૚ ࢊ ࡭∗ ࡭ = ࡱ ⟹ ࡭ି૚ = ૚ ࢊࢋ࢚(࡭)࡭∗∎ ࡭ି૚ ࡭ି૚ Như vậy, ࡭ି૚ = ૚ ࢊ ࡭૚૚ ࡭૛૚ ⋯ ࡭૚૛ ⋯ ࡭૛૛ ⋯ ⋯ ⋯ ࡭૚࢔ ࡭૛࢔ ⋯ ࡭࢔૚ ࡭࢔૛ ⋯ ࡭࢔࢔ ࢔×࢔ ⟹ Phần tử thuộc dòng i cột j của ma trận ࡭ି૚ là: ࢞࢏࢐ = ૚ࢊ࡭࢐࢏ Ví dụ 1: Cho ࡭ = ૚ ૙ −૚૛ ૞ ૚ −૛ ૚ ૝ Ma trận A có ma trận nghịch đảo không. Tìm ࡭ି૚ =? Đs: ࡭ = ૠ ≠ ૙ ⟹ ∃࡭ି૚ = ૚ ૠ ૚ૢ −૚ ૞ −૚૙ ૛ −૜ ૚૛ −૚ ૞ Ví dụ 2: Cho ma trận: ࡮ = ૚ −૚ ૙૛ ૞ ૚ ૜ ࢓ ૛ Tìm m để B khả nghịch, Khi đó tìm phần tử thuộc dòng 2 cột 3 của ࡮ି૚ Giải:  B khả nghịch ⟺ ࢊ = ࡮ ≠ ૙  Ta có ࢊ = ࡮ = ૚૚ −࢓ ≠ ૙⟺ ࢓ ≠ ૚૚  Vậy B khả nghịch ⟺࢓ ≠ ૚૚∎ 27+1 Ví dụ 3: Cho: ࡭ = −૚ ૛ ૚૚ ૛ ૚ −૚ ૛ −૜ −૛ ૜ ૚ ૚ ૛ ૚ −૛ Phần tử thuộc dòng 3 cột 2 của ma trận nghịch đảo của ma trận A là: B: – 36 D: – 9 50:50 A: ૚ ି૜૟ C: ૚ ૝ Đối với ma trận cấp lớn, việc tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức ࡭ି૚ = ૚ ࢊ ࡭∗ là không khả thi, vì khối lượng tính toán sẽ rất lớn. Vậy còn cách nào khác để tìm ma trận nghịch đảo? Phương pháp biến đổi sơ cấp Giả sử A có ma trận nghịch đảo. Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta có thể thực hiện các bước sau:  Ghép thêm ma trận đơn vị cấp n vào bên phải ma trận A. Làm như vậy ta được một ma trận cấp ࢔ × ૛࢔ ࡭ ࡱ ࢔×૛࢔  Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ véc tơ dòng (không được biến đổi cột) ta có thể biến đổi ma