Giáo trình Toán cao cấp C1 (Bản đẹp)

hiệp TP. HCM. Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên Tải Slide bài giảng Toán C1 Đại học tại dvntailieu.wordpress.com 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2, 3) – NXB Giáo dục. 3. Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2 – ĐH Kinh tế TP. HCM. 4. Lê Quang Hoàng Nhân – Toán cao cấp (Giải tích) – ĐH Kinh tế - Tài chính TP. HCM – NXB Thống kê. 5. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 3, 4) – NXBĐHQG TP.HCM. 6. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1, 2) – NXB Giáo dục.
Chương 1. Hàm số một biến số §1. Bổ túc về hàm số §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn §4. Hàm số liên tục . §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1. Khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho ,X Y ⊂ ℝ khác rỗng. Ánh xạ :f X Y→ với ( )x y f x=֏ là một hàm số. Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là: { }( )G y f x x X= = ∈ .
Chương 1. Hàm số một biến số – Nếu 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x= ⇒ = thì f là đơn ánh. – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. VD 1. a) Hàm số :f →ℝ ℝ thỏa ( ) 2xy f x= = là đơn ánh. b) Hàm số : [0; )f → +∞ℝ thỏa 2( )f x x= là toàn ánh. c) Hsố : (0; )f +∞ → ℝ thỏa ( ) lnf x x= là song ánh. • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu: ( ) ( ), . f f x f x x D− = ∀ ∈ • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu: ( ) ( ), . f f x f x x D− =− ∀ ∈
Chương 1. Hàm số một biến số Nhận xét – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện g f G D⊂ . Khi đó, hàm số ( ) ( )( ) [ ( )]h x f g x f g x= = được gọi là hàm số hợp của f và g. Chú ý ( )( ) ( )( ).f g x g f x≠  VD 2. Hàm số 2 2 22( 1) 1y x x= + − − là hàm hợp của 2( ) 2f x x x= − và 2( ) 1g x x= + .
Chương 1. Hàm số một biến số 1.1.3. Hàm số ngược • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu 1g f −= , nếu ( ), f x g y y G= ∀ ∈ . Nhận xét – Đồ thị hàm số 1( )y f x−= đối xứng với đồ thị của hàm số ( )y f x= qua đường thẳng y x= . VD 3. Cho ( ) 2xf x = thì 1 2 ( ) logf x x− = , mọi x > 0. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 2
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số siny x= có hàm ngược trên ; 2 2  π π −   là 1 : [ 1; 1] ; 2 2 f −  π π − → −   arcsinx y x=֏ . VD 4. arcsin 0 0= ; arcsin( 1) 2 π − = − ; 3 arcsin 2 3 π = .
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2.2. Hàm số y = arccos x • Hàm số cosy x= có hàm ngược trên [0; ]π là 1 : [ 1; 1] [0; ]f − − → π arccosx y x=֏ . VD 5. arccos 0 2 π = ; arccos( 1)− = π; 3 arccos 2 6 π = ; 1 2 arccos 2 3 − π = . Chú ý arcsin arccos , [ 1; 1]. 2 x x x π + = ∀ ∈ −
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2.3. Hàm số y = arctan x • Hàm số tany x= có hàm ngược trên ; 2 2  π π−     là 1 : ; 2 2 f −  π π→ −     ℝ arctanx y x=֏ . VD 6. arctan 0 0= ; arctan( 1) 4 π − =− ; arctan 3 3 π = . Quy ước. ( ) ( )arctan , arctan . 2 2 π π +∞ = −∞ =−
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2.4. Hàm số y = arccot x • Hàm số coty x= có hàm ngược trên (0; )π là 1 : (0; )f − → πℝ cotx y arc x=֏ . VD 7. cot0 2 arc π = ; 3 cot( 1) 4 arc π − = ; cot 3 6 arc π = . Quy ước. cot( ) 0, cot( ) .arc arc+∞ = −∞ = π
Chương 1. Hàm số một biến số §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b→ ∈ , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L → = , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x L− < ε . Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b→ ∈ , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L → = , nếu mọi dãy {xn} trong 0( ; ) \ { }a b x mà 0n x x→ thì lim ( ) n n f x L →∞ = .
Chương 1. Hàm số một biến số Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ , ký hiệu lim ( ) x f x L →+∞ = , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì ( )f x L− < ε . • Tương tự, ký hiệu lim ( ) x f x L →−∞ = , nếu 0∀ε > cho trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì ( )f x L− < ε . Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi 0 x x→ , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x → = +∞ , nếu 0M∀ > lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x M> . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 3
Chương 1. Hàm số một biến số • Tương tự, ký hiệu 0 lim ( ) x x f x → = −∞ , nếu 0M∀ < có trị tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x M< . Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0 x x→ với 0 x x> thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L → + = hoặc 0 lim ( ) x x f x L +→ = . • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0 x x→ với 0 x x< thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L → − = hoặc 0 lim ( ) x x f x L −→ = . Chú ý. 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x x x f x L f x f x L − +→ → → = ⇔ = =
Chương 1. Hàm số một biến số 2.2. Tính chất Cho 0 lim ( ) x x f x a → = và 0 lim ( ) x x g x b → = . Khi đó: 1) 0 lim [ . ( )] . x x C f x C a → = (C là hằng số). 2) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x a b → ± = ± . 3) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x ab → = ; 4) 0 ( ) lim , 0 ( )x x f x a b g x b→ = ≠ ; 5) Nếu 0 0 ( ) ( ), ( ; )f x g x x x x≤ ∀ ∈ − ε + ε thì a b≤ . 6) Nếu 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ; )f x h x g x x x x≤ ≤ ∀ ∈ − ε + ε và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x L → → = = thì 0 lim ( ) x x h x L → = .
Chương 1. Hàm số một biến số Định lý • Nếu 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) x x x x u x a v x b → → = > = thì: 0 ( )lim [ ( )] .v x b x x u x a → = VD 1. Tìm giới hạn 2 12 lim 3 x x x x L x − →∞  =   +  . A. 9L = ; B. 4L = ; C. 1L = ; D. 0L = . Các kết quả cần nhớ 1) 0 0 1 1 lim , lim x xx x− +→ → = −∞ = +∞.
Chương 1. Hàm số một biến số 2) Xét 1 1 0 1 1 0 ... lim ... n n n n m mx m m a x a x a L b x b x b − − −→∞ − + + + = + + + , ta có: a) n n a L b = nếu n m= ; b) 0L = nếu n m< ; c) L =∞ nếu n m> . 3) 0 0 sin tan lim lim 1 x x x x x xα → α → α α = = α α . 4) Số e: ( ) 1 0 1 lim 1 lim 1 . x x x x x e x→±∞ →   + = + =   
Chương 1. Hàm số một biến số VD 2. Tìm giới hạn 2 2 3 lim 1 2 1 x x x L x→∞  = +    + . A. L =∞; B. 3L e= ; C. 2L e= ; D. 1L = . VD 3. Tìm giới hạn ( ) 1 2 4 0 lim 1 tan x x L x +→ = + . A. L =∞; B. 1L = ; C. 4L e= ; D. L e= .
Chương 1. Hàm số một biến số §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lượng vô cùng bé a) Định nghĩa • Hàm số ( )xα được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi 0 x x→ nếu 0 lim ( ) 0 x x x → α = (x0 có thể là vô cùng). VD 1. ( )3( ) tan sin 1x xα = − là VCB khi 1x −→ ; 2 1 ( ) ln x x β = là VCB khi x →+∞. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 4
Chương 1. Hàm số một biến số b) Tính chất của VCB 1) Nếu ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0 x x→ thì ( ) ( )x xα ± β và ( ). ( )x xα β là VCB khi 0 x x→ . 2) Nếu ( )xα là VCB và ( )xβ bị chận trong lân cận 0 x thì ( ). ( )x xα β là VCB khi 0 x x→ . 3) 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x a f x a x → = ⇔ = +α , trong đó ( )xα là VCB khi 0 x x→ .
Chương 1. Hàm số một biến số c) So sánh các VCB • Định nghĩa Cho ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0 x x→ , 0 ( ) lim ( )x x x k x→ α = β . Khi đó: – Nếu 0k = , ta nói ( )xα là VCB cấp cao hơn ( )xβ , ký hiệu ( ) 0( ( ))x xα = β . – Nếu k = ∞, ta nói ( )xα là VCB cấp thấp hơn ( )xβ . – Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB tương đương, ký hiệu ( ) ( )x xα β∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 2 • 1 cosx− là VCB cùng cấp với 2x khi 0x → vì: 2 2 20 0 2 sin 1 cos 12lim lim 2 4 2 x x x x x x → → − = =       . • 2 2sin 3( 1) 9( 1)x x− −∼ khi 1x → . • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))x x x x x xα β ⇔ α − β = α = β∼ . 2) Nếu ( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β β γ∼ ∼ thì ( ) ( )x xα γ∼ . 3) Nếu 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β α β∼ ∼ thì 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )x x x xα α β β∼ . 4) Nếu ( ) 0( ( ))x xα = β thì ( ) ( ) ( )x x xα + β β∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho ( ), ( )x xα β là tổng các VCB khác cấp khi 0 x x→ thì 0 ( ) lim ( )x x x x→ α β bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp nhất của tử và mẫu. VD 3. Tìm giới hạn 3 4 20 cos 1 lim x x x L x x→ − + = + . • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 1) sin x x∼ ; 2) tanx x∼ ; 3) arcsin x x∼ ; 4) arctan x x∼ 5) 2 1 cos 2 x x− ∼ ; 6) 1xe x− ∼ ;
Chương 1. Hàm số một biến số Chú ý. Nếu ( )u x là VCB khi 0x → thì ta có thể thay x bởi ( )u x trong 8 công thức trên. 7) ln(1 )x x+ ∼ ; 8) 1 1n xx n + − ∼ . VD 4. Tính giới hạn 2 20 ln(1 2 sin ) lim sin .tanx x x L x x→ − = . VD 5. Tính ( ) 2 2 30 sin 1 1 3 tan lim sin 2x x x x L x x→ + − + − = + . VD 6. Cho hàm số ( )y f x= thỏa: 2 2 4 2 3 x t t y t t  = − = + . Khi 0x → , chọn đáp án đúng?
Chương 1. Hàm số một biến số Chú ý Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức. A. 2 ( ) 4 x f x ∼ ; B. 2 ( ) 2 x f x ∼ ; C. ( ) 2 x f x ∼ ; D. 2( ) 3f x x−∼ . VD. 2 20 0 2 ( 1) ( 1) lim lim x x x x x x e e e e x x − − → → + − − + − = 20 ( ) lim 0 x x x x→ + − = = (Sai!). ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 5
Chương 1. Hàm số một biến số 3.2. Đại lượng vô cùng lớn a) Định nghĩa • Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) khi 0 x x→ nếu 0 lim ( ) x x f x → = ∞ (x0 có thể là vô cùng). VD 7. 3 cos 1 2 sin x x x + − là VCL khi 0x → ; 3 2 1 cos 4 3 x x x x + − − + là VCL khi x → +∞. Nhận xét. Hàm số ( )f x là VCL khi 0 x x→ thì 1 ( )f x là VCB khi 0 x x→ .
Chương 1. Hàm số một biến số b) So sánh các VCL • Định nghĩa Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi 0 x x→ , 0 ( ) lim ( )x x f x k g x→ = . Khi đó: – Nếu 0k = , ta nói ( )f x là VCL cấp thấp hơn ( )g x . – Nếu k =∞, ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn ( )g x . – Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL tương đương. Ký hiệu ( ) ( )f x g x∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 8. • 3 3 x là VCL khác cấp với 3 1 2x x+ khi 0x → vì: 3 3 3 3 30 0 0 3 1 2 lim : 3 lim 3 lim 2x x x x x x x x x x x→ → →   +  = = = ∞   + . • 3 32 1 2x x x+ − ∼ khi x →+∞.
Chương 1. Hàm số một biến số VD 9. Tính các giới hạn: 3 3 cos 1 lim 3 2x x x A x x→∞ − + = + ; 3 2 7 2 2 1 lim 2 sinx x x B x x →+∞ − + = − . • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi 0 x x→ thì 0 ( ) lim ( )x x f x g x→ bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất của tử và mẫu.
Chương 1. Hàm số một biến số §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC • Hàm số ( )f x liên tục tại 0 x nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . • Hàm số ( )f x liên tục trên tập X nếu ( )f x liên tục tại mọi điểm 0 x X∈ . 4.1. Định nghĩa • Số 0 f x D∈ được gọi là điểm cô lập của ( )f x nếu 0 0 0 0 : ( ; ) \ { }x x x x∃ε > ∀ ∈ − ε + ε thì f x D∉ . Chú ý. Hàm ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì có đồ thị là một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó. Quy ước. Hàm ( )f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.
Chương 1. Hàm số một biến số 4.3. Hàm số liên tục một phía • Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x −→ = ( 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x +→ = ). • Định lý Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ). x x x x f x f x f x − +→ → = = 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại x0 là hàm số liên tục tại x0. • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 6
Chương 1. Hàm số một biến số VD 1. Cho hàm số 2 23 tan sin , 0 ( ) 2 , 0 x x x f x x x  + >=  α ≤ . Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là: A. 0α = ; B. 1 2 α = ; C. 1α = ; D. 3 2 α = . VD 2. Cho hàm số 2 2 ln(cos ) , 0 ( ) arctan 2 2 3, 0 x x f x x x x  ≠=  + α − = . Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là: A. 17 12 α = ; B. 17 12 α =− ; C. 3 2 α =− ; D. 3 2 α = .
Chương 1. Hàm số một biến số 4.4. Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm ( )f x không liên tục tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm gián đoạn của ( )f x . O x y ( )C 0 x • Nếu tồn tại các giới hạn: 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x − − → = , 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x + + → = nhưng 0 ( )f x− , 0 ( )f x+ và 0 ( )f x không đồng thời bằng nhau thì ta nói 0 x là điểm gián đoạn loại một. Ngược lại, 0 x là điểm gián đoạn loại hai.
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. Đạo hàm §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị §4. Quy tắc L’Hospital §1. ĐẠO HÀM 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận ( ; )a b của 0 ( ; )x a b∈ . Giới hạn: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f xy x x∆ → ∆ → +∆ −∆ = ∆ ∆ (nếu có) được gọi là đạo hàm của ( )y f x= tại 0 x . Ký hiệu là 0 ( )f x′ hay 0 ( )y x′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Nhận xét. Do 0 x x x∆ = − nên: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x x x→ − ′ = − Nhận xét. Hàm số ( )f x có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi 0 0 0 ( ) ( ) ( ).f x f x f x− +′ ′ ′= = b) Đạo hàm một phía Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận phải 0 ( ; )x b của 0 x . Giới hạn 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x+→ − − (nếu có) được gọi là đạo hàm bên phải của ( )y f x= tại 0 x . Ký hiệu là 0 ( )f x+′ . Tương tự, 0 ( )f x−′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Cho 3( ) (0)f x x f ′= ⇒ = ∞, ( ) (0 )f x x f +′= ⇒ = +∞. c) Đạo hàm vô cùng • Nếu tỉ số y x ∆ →∞ ∆ khi 0x∆ → thì ta nói ( )y f x= có đạo hàm vô cùng tại 0 x . • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía. Chú ý Nếu ( )f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại 0 x thì tiếp tuyến tại 0 x của đồ thị ( )y f x= song song với trục Oy .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ( )u v u v′ ′ ′± = ± ; ( )uv u v uv′ ′ ′= + ; 2 , k kv k v v ′  ′− = ∈    ℝ; 2 u u v uv v v ′  ′ ′− =    . 2) Đạo hàm của hàm số hợp ( ) [ ( )]f x y u x= : ( ) ( ). ( )f x y u u x′ ′ ′= hay ( ) ( ). ( )y x y u u x′ ′ ′= . 3) Đạo hàm hàm số ngược của ( )y y x= : 1 ( ) ( ) x y y x ′ = ′ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 7
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1) ( ) 1.x xα α−′ = α ; 2) ( ) 1 2 x x ′ = ; 3) ( )sin cosx x′ = ; 4) ( )cos sinx x′ = − ; 5) ( ) 2 1 tan cos x x ′ = 6) ( ) 2 1 cot sin x x ′ = − ; 21 tan x= + ;
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 7) ( )x xe e′ = ; 8) ( ) .lnx xa a a′ = ; 9) ( ) 1ln x x ′ = ; 10) ( ) 1log .lna x x a ′ = ; 11) ( ) 2 1 arcsin = 1 x x ′ − ; 12)( ) 2 1 arccos = 1 x x −′ − ; 13) ( ) 2 1 arctan 1 x x ′ = + ; 14) ( ) 2 1 cot 1 arc x x −′ = + .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số • Cho hàm số ( )y f x= có phương trình dạng tham số ( ), ( )x x t y y t= = . Giả sử ( )x x t= có hàm số ngược và hàm số ngược này có đạo hàm thì: ( ) ( ) . ( ) t x t yy t y x hay y x t x ′′ ′ ′= = ′ ′ VD 2. Tính ( )y x′ của hàm số cho bởi 2 3 2 1 , 0 4 x t t y t  = − ≠ = . VD 3. Tính (1) x y ′ của hàm số cho bởi 2 2 tx e y t t  = = − .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao • Giả sử ( )f x có đạo hàm ( )f x′ và ( )f x′ có đạo hàm thì ( )( ) ( )f x f x′′ ′′= là đạo hàm cấp hai của ( )f x . • Tương tự ta có: ( )( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x− ′= là đạo hàm cấp n của ( )f x . VD 4. Cho hàm số 2( ) sinf x x= . Tính đạo hàm (6)(0)f . A. (6)(0) 32f = ; B. (6)(0) 32f =− ; C. (6)(0) 16f =− ; D. (6)(0) 0f = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Tính ( )( )nf x của hàm số 1( ) (1 )nf x x += − . VD 6. Tính ( )ny của hàm số 2 1 3 4 y x x = − − . VD 7. Tính đạo hàm ( )( )nf x của hàm số ( ) sinf x x= .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn • Cho phương trình ( , ) 0F x y = (*). Nếu ( )y y x= là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế ( )y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì ( )y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*). • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được . 0 x y x F F y′ ′ ′+ = . Vậy , 0.xx y y F y F F ′ ′ ′= − ≠ ′ ( ) x y x y′ ′= được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn ( )y x . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 8
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý Ta có thể xem hàm ẩn ( )y x như hàm hợp ( )u x và thực hiện đạo hàm như hàm số hợp. VD 8. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi 0x yxy e e− + = . Tính ( )y x′ . VD 9. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: ln 0xxy e y− + = (*). Tính (0)y ′ . VD 10. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 2 2ln arctan y x y x + = . Tính ( )y x′ . VD 11. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 3 2 4( 2) 2 0y x y x− − − = (*). Tính (1)y ′′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN 2.1. Vi phân cấp một • Hàm số ( )y f x= được gọi là khả vi tại 0 f x D∈ nếu 0 0 0 ( ) ( ) ( )f x f x x f x∆ = +∆ − có thể biểu diễn dưới dạng: 0( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆ với A là hằng số và 0( )x∆ là VCB khi 0x∆ → . Khi đó, đại lượng .A x∆ được gọi là vi phân của hàm số ( )y f x= tại x0. Ký hiệu 0( )df x hay 0( )dy x . Nhận xét • 0 ( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆ 0 ( ) 0( )f x x A x x ∆ ∆ ⇒ = + ∆ ∆
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 00 0 ( ) ( )x f x A f x A x ∆ →∆ ′⇒ → ⇒ = ∆ . 0 0 ( ) ( ).df x f x x′⇒ = ∆ hay ( ) ( ).df x f x x′= ∆ . • Chọn ( ) ( )f x x df x x dx x= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ . Vậy ( ) ( ) .df x f x dx hay dy y dx′ ′= = VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 2 3( ) xf x x e= tại 0 1x = − . VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số ln(arcsin )2 xy = . VD 2. Tính vi phân cấp 1 của 2arctan( 1)y x= + .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 2.2. Vi phân cấp cao • Giả sử ( )y f x= có đạo hàm đến cấp n thì 1 ( )( )n n n nd y d d y y dx−= = được gọi là vi phân cấp n của hàm ( )y f x= . VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số ln(sin )y x= . VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số 2xy e= . VD 6. Tính vi phân cấp 3 của ( ) tanf x x= tại 0 4 x π = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 7. Tính vi phân cấp 10 của hàm số 3( ) xy x x e= − . Chú ý Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức ( )n n nd y y dx= không còn đúng nữa. Quy tắc tính vi phân cấp n 1) ( . ) .n nd k u k d u= ; ( )n n nd u v d u d v+ = + ; 2) 0 ( ) . n n k n k k n k d uv C d ud v− = =∑ với 0 0,d u u d v v= = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.1. Các định lý 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số ( )f x xác định trong ( ; )a b và có đạo hàm tại 0 ( ; )x a b∈ . Nếu ( )f x đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) tại 0 x trong ( ; )a b thì 0 ( ) 0f x′ = . 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b và khả vi trong ( ; )a b . Nếu ( ) ( )f a f b= thì ( ; )c a b∃ ∈ sao cho ( ) 0f c′ = . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 9
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy • Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b và ( ) 0, ( ; )g x x a b′ ≠ ∀ ∈ . Khi đó, ( ; )c a b∃ ∈ sao cho: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c ′− = ′− 3.1.4. Định lý Lagrange • Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b . Khi đó, ( ; )c a b∃ ∈ sao cho: ( ) ( ) ( ). f b f a f c b a − ′= −
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2. Cực trị của hàm số 3.2.1. Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Cho hàm số ( )f x liên tục trong trong ( ; )a b . Khi đó: • ( )f x được gọi là tăng ngặt trong ( ; )a b nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x − > − , 1 2 , ( ; )x x a b∀ ∈ và 1 2 x x≠ . • ( )f x được gọi là giảm ngặt trong ( ; )a b nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x − < − , 1 2 , ( ; )x x a b∀ ∈ và 1 2 x x≠ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số • ( )f x được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong ( ; )a b nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x − ≥ − hay 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x − ≤ − , 1 2 , ( ; )x x a b∀ ∈ và 1 2 x x≠ . • ( )f x được gọi là đơn điệu trong ( ; )a b nếu ( )f x tăng ngặt hay giảm ngặt trong ( ; )a b . • ( )f x đơn điệu trong ( ; )a b và liên tục trong ( ; ]a b thì ( )f x đơn điệu trong ( ; ]a b (trường hợp khác tương tự).
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số b) Định lý 1 Cho hàm số ( )f x khả vi trong trong ( ; )a b . Khi đó: • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b′ > ∀ ∈ thì ( )f x tăng ngặt trong ( ; )a b . • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b′ < ∀ ∈ thì ( )f x giảm ngặt trong ( ; )a b . • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b′ ≥ ∀ ∈ hay ( ) 0, ( ; )f x x a b′ ≤ ∀ ∈ thì ( )f x tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong ( ; )a b . c) Định lý 2 • Nếu ( )f x tăng ngặt trong ( ; )a b thì ( ) 0f x′ ≥ trong ( ; )a b và không tồn tại ( ; ) ( ; )a bα β ⊂ sao cho ( ) 0f x ≡ . • Nếu ( )f x giảm ngặt trong ( ; )a b thì ( ) 0f x′ ≤ trong ( ; )a b và không tồn tại ( ; ) ( ; )a bα β ⊂ sao cho ( ) 0f x ≡ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của 2ln( 1)y x= + . VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của 2 2 1 ( ) ( 1) x f x x + = − . VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của 2 1 2 y x x = − . VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của 3 4xy e −= .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2.2. Cực trị a) Định nghĩa • Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa 0 x và 0 ( ) ( )f x f x< , 0 ( ; ) \ { }x a b x∀ ∈ thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0 x . • Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa 0 x và 0 ( ) ( )f x f x> , 0 ( ; ) \ { }x a b x∀ ∈ thì ( )f x đạt cực đại tại 0 x . b) Định lý Cho ( )f x có đạo hàm đến cấp 2n trong ( ; )a b chứa 0 x thỏa (2 1) 0 0 ( ) ... ( ) 0nf x f x−′ = = = và (2 ) 0 ( ) 0nf x ≠ . • Nếu (2 ) 0 ( ) 0nf x > thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0 x . • Nếu (2 ) 0 ( ) 0nf x < thì ( )f x đạt cực đại tại 0 x . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 10
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Tìm cực trị của hàm số 6 3( ) 2 3f x x x= − − + . Chú ý • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D⊂ . 3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa Cho hàm số ( )y f x= có MXĐ D và X D⊂ . • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của ( )f x trên X nếu: 0 0 : ( )x X f x M∃ ∈ = và ( ) , f x M x X≤ ∀ ∈ . Ký hiệu là: max ( ) x X M f x ∈ = . • Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của ( )f x trên X nếu: 0 0 : ( )x X f x m∃ ∈ = và ( ) , f x m x X≥ ∀ ∈ . Ký hiệu là: min ( ) x X m f x ∈ = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số • Nếu max ( ) x X M f x ∈ = và min ( ) x X m f x ∈ = thì: ( ) ,m f x M x X≤ ≤ ∀ ∈ . b) Phương pháp tìm max – min  Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ; ]a b . Để tìm [ ; ] max ( ) x a b f x ∈ và [ ; ] min ( ) x a b f x ∈ , ta thực hiện các bước sau: • Bước 1. Giải phương trình ( ) 0f x′ = . Giả sử có n nghiệm 1 ,..., [ ; ] n x x a b∈ (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ). • Bước 2. Tính 1 ( ), ( ),..., ( ), ( ) n f a f x f x f b . • Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm.
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 23( ) 3 2 f x x x x= − − + trên đoạn [0; 2]. Chú ý • Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1. • Có thể đổi biến số ( )t t x= và viết ( ) ( ( ))y f x g t x= = . Gọi T là miền giá trị của hàm ( )t x thì: max ( ) max ( ) x X t T f x g t ∈ ∈ = , min ( ) min ( ) x X t T f x g t ∈ ∈ = . VD 7. Tìm max, min của 2( ) 5 6f x x x= − + + . VD 8. Tìm max, min của 2 sin 1 sin sin 1 x y x x + = + + .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số  Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) Cho hàm ( )y f x= liên tục trên ( ; )a b ( ,a b có thể là ∞). Để tìm ( ; ) max ( ) x a b f x ∈ và ( ; ) min ( ) x a b f x ∈ , ta thực hiện các bước: • Bước 1. Giải phương trình ( ) 0f x′ = . Giả sử có n nghiệm 1 ,..., [ ; ] n x x a b∈ (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ). • Bước 2. Tính 1 ( ),..., ( ) n f x f x và hai giới hạn 1 2 lim ( ), lim ( ) x a x b L f x L f x + −→ → = = . • Bước 3. Kết luận: 1) Nếu 1 1 2 max{ ( ),..., ( )} max{ , } n f x f x L L> thì 1( ; ) max max{ ( ),..., ( )} nx a b f f x f x ∈ = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 2) Nếu 1 1 2 min{ ( ),..., ( )} min{ , } n f x f x L L< thì 1( ; ) min min{ ( ),..., ( )} nx a b f f x f x ∈ = . 3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt max (hoặc min). VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 ( ) 1 x f x x = − trên khoảng (1; )+∞ . Chú ý Ta có thể lập bảng biến thiên của ( )f x thay cho bước 3. VD 10. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm: ( )2 2 1 0m x x+ − − = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số a) Định nghĩa • Hàm số ( )f x được gọi là hàm lồi trong ( ; )a b nếu ( )f x′ tăng trong ( ; )a b . Khi đó, đồ thị ( )y f x= được gọi là đồ thị lõm trong ( ; )a b . • Hàm số ( )f x được gọi là hàm lõm trong ( ; )a b nếu ( )f x′ giảm trong ( ; )a b . Khi đó, đồ thị ( )y f x= được gọi là đồ thị lồi trong ( ; )a b . 3.3. Khoảng lồi, lõm của đồ thị – điểm uốn • Điểm 0 0 0 ( ; )M x y trên đồ thị nằm giữa phần lõm và lồi được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số ( )y f x= . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 11
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số b) Định lý • Nếu ( ) 0f x′′ > (hay ( ) 0f x′′ < ) với mọi ( ; )x a b∈ thì đồ thị hàm số ( )y f x= lõm (hay lồi) trong ( ; )a b . VD 11. Hàm số 3 23 1y x x= − + lõm và có đồ thị lồi trong ( ; 1)−∞ ; hàm 3 23 1y x x= − + lồi và có đồ thị lõm trong (1; )+∞ . (1; 1)M là điểm uốn của đồ thị. • Nếu 0 ( ) 0f x′′ = và ( )f x′′ đổi dấu khi x chuyển từ trái sang phải qua điểm 0 x thì 0 0 0 ( ; )M x y là điểm uốn của đồ thị hàm số ( )y f x= .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 12. Xác định tính lồi, lõm của hàm số: 2 8 lny x x= − . VD 13. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số: arccosy x= . VD 14. Xác định tính lồi, lõm của hàm số arctan2y x= và đồ thị của hàm số arctan2y x= .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.4. Tiệm cận của đồ thị • Tiệm cận đứng Đường cong ( )y f x= có tiệm cận đứng 0 x x= nếu 0 lim ( ) . x x f x → =∞ • Tiệm cận xiên Đường cong ( )y f x= có tiệm cận xiên y ax b= + nếu ( ) lim , lim ( ) . x x f x a f x ax b x→∞ →∞  = − =   Chú ý Khi 0a = thì đồ thị có tiệm cận ngang y b= .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 15. Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số: 2 3 ln(1 )x y x − = . VD 16. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: 23 ( 1)y x x= − . VD 17. Tìm tiệm cận xiên (ngang) của đồ thị hàm số: 2 4 5y x x x= + − + . .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Tìm giới hạn 20 2 lim x x x e e L x − → + − = . Định lý (quy tắc L’Hospital) Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x khả vi trong lân cận của điểm 0 x và ( ) 0g x′ ≠ trong lân cận của... số nhiều biến số ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 23 3.2. Định lý a) Điều kiện cần • Nếu hàm số ( , )z f x y= đạt cực trị tại 0 0 0 ( , )M x y và tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì: / / 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0. x y f x y f x y= = Điểm 0 0 0 ( , )M x y thỏa / / 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y= = được gọi là điểm dừng, 0 M có thể không là điểm cực trị. b) Điều kiện đủ Giả sử ( , )z f x y= có điểm dừng là 0 M và có đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận của điểm 0 M . Đặt 2 2 // //// 0 0 0 ( ), ( ), ( ) xyx y A f M B f M C f M= = = .
Chương 4. Hàm số nhiều biến số Khi đó: • Nếu 2 0 ( , ) 0 AC B f x y A  − > ⇒ > đạt cực tiểu tại 0 M . • Nếu 2 0 ( , ) 0 AC B f x y A  − > ⇒ < đạt cực đại tại 0 M . • Nếu 2 0 ( , )AC B f x y− < ⇒ không đạt cực trị tại 0 M . • Nếu 2 0AC B− = thì ta không thể kết luận. 3.3. Phân loại cực trị • Trong không gian Oxyz , xét mặt cong S chứa đường cong ( )C . Chiếu S lên mpOxy ta được miền 2D ⊂ ℝ và đường cong phẳng ( ) : ( , ) 0x yγ ϕ = (xem hình vẽ).
Chương 4. Hàm số nhiều biến số Khi đó, điểm 1 P S∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu 1 M D∈ là được gọi là điểm cực trị tự do của hàm ( , )f x y xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( )γ ). Tương tự, điểm 2 ( )P C∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu 2 ( )M ∈ γ là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc bởi ( ) : ( , ) 0x yγ ϕ = của hàm ( , )f x y .
Chương 4. Hàm số nhiều biến số 3.4. Cực trị tự do Cho hàm số ( , )f x y xác định trên D . Để tìm cực trị (tự do) của ( , )f x y , ta thực hiện các bước sau: • Bước 1. Tìm điểm dừng 0 0 0 ( , )M x y bằng cách giải hệ: / 0 0 / 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0. x y f x y f x y  = = • Bước 2. Tính 2 // // 0 0 0 0 ( , ), ( , ) xyx A f x y B f x y= = , 2 // 2 0 0 ( , ) y C f x y AC B= ⇒∆ = − . • Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số (1 )z xy x y= − − .
Chương 4. Hàm số nhiều biến số VD 3. Tìm cực trị của hàm 2 2 4 2 8z x y x y= + + − + . VD 4. Tìm cực trị của hàm số 3 3 3 2z x y xy= + − − . VD 5. Tìm cực trị của 2 3 2 23 3 3 2z x y y x y= + − − + . VD 6. Cho hàm số 50 20 ( 0, 0)z xy x y x y = + + > > . Khẳng định đúng là: A. z đạt cực tiểu tại (2; 5)M và giá trị cực tiểu 39z = . B. z đạt cực tiểu tại (5; 2)M và giá trị cực tiểu 30z = . C. z đạt cực đại tại (2; 5)M và giá trị cực đại 39z = . D. z đạt cực đại tại (5; 2)M và giá trị cực đại 30z = .
Chương 4. Hàm số nhiều biến số • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số ( , )f x y ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange. a) Phương pháp khử • Từ phương trình ( , ) 0x yϕ = ta rút x hoặc y thế vào ( , )f x y , sau đó tìm cực trị của hàm một biến. 3.5. Cực trị có điều kiện • Cho hàm số ( , )f x y xác định trên lân cận của điểm 0 0 0 ( , )M x y thuộc đường cong ( ) : ( , ) 0x yγ ϕ = . Nếu tại 0 M hàm ( , )f x y đạt cực trị thì ta nói 0 M là điểm cực trị có điều kiện của ( , )f x y với điều kiện ( , ) 0x yϕ = .
Chương 4. Hàm số nhiều biến số ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 24 VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm 2z x y= thỏa điều kiện: 3 0x y− + = . b) Phương pháp nhân tử Lagrange Tại điểm cực trị ( , )x y của f , gọi // / / yx x y ff λ = − =− ϕ ϕ là nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước: • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): ( , , ) ( , ) ( , ).L x y f x y x yλ = + λϕ • Bước 2. Giải hệ: / / /0, 0, 0 x y L L Lλ= = = ⇒ điểm dừng 0 0 0 ( , )M x y ứng với 0 λ .
Chương 4. Hàm số nhiều biến số • Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại 0 0 0 ( , )M x y ứng với 0 λ : 2 2 // //2 2 // 2 0 ( ) 2 . xyx y d L M L dx L dxdy L dy= + + Các vi phân ,dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: / / 0 0 0 0 0 0 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0 (1) ( ) ( ) 0 (2). x y d x y x y dx x y dy dx dy  ϕ = ϕ + ϕ = + > • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:
Nếu 2 0 ( ) 0d L M > thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại 0 M .
Nếu 2 0 ( ) 0d L M < thì ( , )f x y đạt cực đại tại 0 M .
Nếu 2 0 ( ) 0d L M = thì 0 M không là điểm cực trị.
Chương 4. Hàm số nhiều biến số VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số ( , ) 2f x y x y= + với điều kiện 2 2 5x y+ = . VD 9. Tìm điểm cực trị của hàm z xy= thỏa điều kiện 2 2 1 8 2 x y + = . .
Chương 4. Hàm số nhiều biến số
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai §4. TÍCH PHÂN BỘI HAI 4.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền D đóng và bị chặn trong mpOxy . Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là i S∆ , 1;i n= . Lấy n điểm tùy ý ( ; ) i i i i M x y S∈ ∆ . Khi đó, 1 ( ; ) n i i i i f x y S = ∆∑ được gọi là tổng tích phân của ( , )f x y trên D (ứng với phân hoạch i S∆ và các điểm chọn i M ). • Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox , Oy ta được . i i i S x y∆ = ∆ ∆ hay dS dxdy= . Vậy ( , ) ( , ) . D D I f x y dS f x y dxdy= =∫∫ ∫∫
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai • Nếu giới hạn max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i I f x y S → = = ∆∑ tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch i S∆ và cách chọn điểm i M thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số ( , )f x y trên miền D . Ký hiệu là ( , ) D I f x y dS= ∫∫ .
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai • Nếu tồn tại ( , ) D f x y dxdy∫∫ , ta nói ( , )f x y khả tích trên miền lấy tích phân D ; ( , )f x y là hàm dưới dấu tích phân; ,x y là các biến tích phân. 4.2. Tính chất của tích phân bội hai Giả sử các tích phân dưới đây đều tồn tại. • Tính chất 1 ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f u v dudv=∫∫ ∫∫ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 25
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai • Tính chất 2 [ ( , ) ( , )] D D D f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy± = ±∫∫ ∫∫ ∫∫ ; ( , ) ( , ) , D D kf x y dxdy k f x y dxdy k= ∈∫∫ ∫∫ ℝ. • Tính chất 3 Nếu chia miền D thành 1 2 ,D D bởi đường cong có diện tích bằng 0 thì: 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫ .
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai 4.3. Tính tích phân bội hai bằng tích phân lặp 4.3.1. Xác định miền lấy tích phân 1 2 , ( ) ( ). a x b D y x y y x   ≤ ≤ =   ≤ ≤   1 2 ( ) ( ), . x y x x y D c y d   ≤ ≤ =   ≤ ≤  
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai VD 1. Xác định miền lấy tích phân D giới hạn bởi: 0, 2 , 0y y x x a= = = > .
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai VD 2. Xác định miền lấy tích phân D giới hạn bởi các đường 24, 2y x y x= − = .
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai 4.3.2. Tính tích phân lặp • Giả sử tích phân ( , ) D I f x y dxdy= ∫∫ tồn tại, với 1 2 {( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) . y xb a y x I dx f x y dy= ∫ ∫ • Nếu 1 2 {( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) . x yd c x y I dy f x y dx= ∫ ∫
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai Chú ý  Nếu miền D là hình chữ nhật, [ ; ] [ ; ]D a b c d= × thì: ( , ) ( , ) . b d d b a c c a I dx f x y dy dy f x y dx= =∫ ∫ ∫ ∫  Nếu 1 2 {( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và ( , ) ( ). ( )f x y u x v y= thì: 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . y xb a y x I u x dx v y dy= ∫ ∫ Tương tự, 1 2 {( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . x yd c x y I v y dy u x dx= ∫ ∫ ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 26
Chương 4. Hàm nhiều biến - Tích phân bội hai  Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền đơn giản. VD 3. Tính tích phân 26 D I xy dxdy= ∫∫ . Trong đó, [0; 2] [ 1; 1]D = × − . VD 4. Tính tích phân (2 ) D I x y dxdy= +∫∫ . Trong đó, { 1 , 2 0}D y x y y= ≤ ≤ − − ≤ ≤ . VD 5. Tính tích phân D I ydxdy= ∫∫ , trong đó miền D giới hạn bởi các đường 22,y x y x= + = . §1. Phương trình vi phân cấp 1 §2. Phương trình vi phân cấp 2 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát ( , , ) 0F x y y ′ = (*). Nếu từ (*) ta giải được theo y ′ thì (*) trở thành ( , )y f x y′ = . • Nghiệm của (*) có dạng ( )y y x= chứa hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện 0 0 ( )y y x= cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta được giá trị 0 C cụ thể và nghiệm lúc này được gọi là nghiệm riêng của (*).
Chương 5. Phương trình vi phân VD 1. Cho phương trình vi phân 0y x′ − = (*). Xét hàm số 2 2 x y C= + , ta có: 0y x′ − = thỏa phương trình (*). Suy ra 2 2 x y C= + là nghiệm tổng quát của (*). Thế 2, 1x y= = vào 2 2 x y C= + , ta được: 2 1 1 2 x C y= − ⇒ = − là nghiệm riêng của (*) ứng với điều kiện đầu (2) 1y = .
Chương 5. Phương trình vi phân
Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát: ( ) ( ) .f x dx g y dy C+ =∫ ∫ 1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly
Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: ( ) ( ) 0 (1).f x dx g y dy+ = VD 2. Giải phương trình vi phân 2 2 0 1 1 xdx ydy x y + = + + .
Chương 5. Phương trình vi phân • Nghiệm thu được trực tiếp từ (*) và không thỏa nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị của (*) (trong chương trình, ta không xét nghiệm kỳ dị). VD 4. Giải ptvp 2 3( 1) ( 1)( 1) 0x y dx x y dy+ + − − = . VD 5. Giải ptvp 2xy y y′ + = thỏa điều kiện 1(1) 2 y = . VD 3. Giải phương trình vi phân ( 2)y xy y′ = + .
Chương 5. Phương trình vi phân 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến ( , )f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi 0k > thì ( , ) ( , )nf kx ky k f x y= . Chẳng hạn, hàm số: ( , ) 2 3 x y f x y x y − = + là đẳng cấp bậc 0, 24 3 ( , ) 5 x xy f x y x y + = − là đẳng cấp bậc 1, 2( , ) 3 2f x y x xy= − là đẳng cấp bậc 2.
Chương 5. Phương trình vi phân b) Phương trình vi phân đẳng cấp • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: ( , ) (2).y f x y′ = Trong đó, ( , )f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 27 Phương pháp giải Bước 1. Biến đổi (2) yy x  ′⇔ = ϕ     . Bước 2. Đặt yu y u xu x ′ ′= ⇒ = + . Bước 3. (2) ( ) ( ) du dx u xu u u u x ′⇒ + = ϕ ⇒ = ϕ − ( )( ) 0u u xϕ − ≠ ≠ (đây là ptvp có biến phân ly).
Chương 5. Phương trình vi phân VD 6. Giải phương trình vi phân 2 2x xy y y xy − +′ = . VD 7. Giải phương trình vi phân x yy x y +′ = − với điều kiện đầu (1) 0y = . • Nghiệm tổng quát của (3) là ( , )u x y C= . Nhận xét / /( , ) ( , ), ( , ) ( , ) x y u x y P x y u x y Q x y= = . 1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện / /, ( , ) x y Q P x y D= ∀ ∈ . Nếu tồn tại hàm ( , )u x y sao cho ( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy= + thì phương trình vi phân có dạng: ( , ) ( , ) 0 (3)P x y dx Q x y dy+ = được gọi là phương trình vi phân toàn phần.
Chương 5. Phương trình vi phân Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: ( , ) ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx x y C y= = ϕ +∫ (3c). Trong đó, ( )C y là hàm theo biến y . Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta có / x u P= (3a) và / y u Q= (3b). Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: / / ( ) y y u C y′= ϕ + (3d). Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được ( )C y . Thay ( )C y vào (3c) ta được ( , )u x y .
Chương 5. Phương trình vi phân VD 8. Cho phương trình vi phân: 2 2(3 2 2 ) ( 6 3) 0y xy x dx x xy dy+ + + + + = (*). 1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. 2) Giải phương trình (*). VD 9. Giải ptvp ( 1) ( ) 0yx y dx e x dy+ − + + = .
Chương 5. Phương trình vi phân 1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: ( ) ( ) (4).y p x y q x′ + = • Khi ( ) 0q x = thì (4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) Bước 1. Tìm biểu thức ( )( ) p x dxA x e−∫= . Bước 2. Tìm biểu thức ( )( ) ( ). p x dxB x q x e dx∫= ∫ . Bước 3. Nghiệm tổng quát là ( ) ( )y A x B x C = +   .
Chương 5. Phương trình vi phân Nhận xét. ( ) ( )( ) ( ). . ( ) p x dx q x B x q x e dx dx A x ∫= =∫ ∫ Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng: ( )( ) .p x dxy C x e−∫= VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm nghiệm tổng quát của 2 4 lnyy x x x ′ + = dưới dạng: A. 2 ( )C x y x = ; B. 3 ( )C x y x = ; C. ( )C xy x = ; D. ( )C xy x =− .
Chương 5. Phương trình vi phân ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 28 VD 11. Giải phương trình vi phân 2 0y x y′ − = thỏa điều kiện 9 3x y e = =− . VD 12. Giải phương trình sincos xy y x e−′ + = .
Chương 5. Phương trình vi phân 1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: ( ) ( ) (5).y p x y q x yα′ + = • Khi 0α = hoặc 1α = thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi ( ) ( ) 1p x q x= = thì (5) là pt có biến phân ly. Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) Bước 1. Với 0y ≠ , ta chia hai vế cho yα: (5) ( ) ( ) y y p x q x y yα α ′ ⇒ + = 1( ) ( )y y p x y q x−α −α′⇒ + = .
Chương 5. Phương trình vi phân Bước 2. Đặt 1 (1 )z y z y y−α −α′ ′= ⇒ = −α , ta được: (5) (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x′⇒ + −α = −α (đây là phương trình tuyến tính cấp 1). VD 13. Giải phương trình vi phân 2yy xy x ′ + = với điều kiện đầu 1, 1x y= = . VD 14. Giải phương trình vi phân 3 42y xy x y′ − = . Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: 1 ( ) ( ) ( )y f x y f x dx x C′′ ′= ⇒ = = ϕ +∫ 1 1 2 ( ) ( )y x dx C x x C x C⇒ = ϕ + = ψ + +∫ . §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 2.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Phương trình vi phân khuyết y và y ′ có dạng: ( ) (1).y f x′′ =
Chương 5. Phương trình vi phân VD 1. Giải phương trình vi phân 2y x′′ = . VD 2. Giải ptvp 2xy e′′ = với 7 3(0) , (0) 4 2 y y ′= − = . 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết Phương pháp giải • Đặt z y ′= đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1. VD 3. Giải phương trình vi phân yy x x ′ ′′ = − . 2.1.2. Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: ( , ) (2).y f x y′′ ′= VD 4. Giải pt vi phân ( 1) 0 1 y y x x x ′ ′′ − − − = − với điều kiện (2) 1, (2) 1y y ′= = − .
Chương 5. Phương trình vi phân Phương pháp giải • Đặt z y ′= ta có: . dz dz dy dz y z z dx dy dx dy ′′ ′= = = = . Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly. 2.1.3. Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: ( , ) (3).y f y y′′ ′= VD 6. Giải phương trình vi phân 2 (1 2 ) 0y y y′′ ′+ − = với điều kiện 1(0) 0, (0) 2 y y ′= = .
Chương 5. Phương trình vi phân VD 5. Giải phương trình vi phân 2(1 ) 2( ) 0y y y′′ ′− + = .
Trường hợp 1 Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 , k k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2 1 2 , k x k x y e y e= = và nghiệm tổng quát là 1 21 2 . k x k x y C e C e= + Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4): 2 1 2 0 (5).k a k a+ + = 2.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 2.2.1. Phương trình thuần nhất • Phương trình thuần nhất có dạng: ( )1 2 1 20, , (4).y a y a y a a′′ ′+ + = ∈ ℝ
Chương 5. Phương trình vi phân ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 29
Trường hợp 2 Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2 , kx kxy e y xe= = và nghiệm tổng quát là 1 2 . kx kxy C e C xe= +
Trường hợp 3 Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k i= α ± β. Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: 1 2 cos , sinx xy e x y e xα α= β = β và nghiệm tổng quát là: ( )1 2cos sin .xy e C x C xα= β + β
Chương 5. Phương trình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân 2 3 0y y y′′ ′+ − = . VD 8. Giải phương trình vi phân 6 9 0y y y′′ ′− + = . VD 9. Giải phương trình vi phân 16 0y y′′ + = . VD 10. Giải phương trình vi phân 2 7 0y y y′′ ′+ + = . VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 0y y y′′ ′− + = .
Chương 5. Phương trình vi phân • Để tìm 1 ( )C x và 2 ( )C x , ta giải hệ Wronsky: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). C x y x C x y x C x y x C x y x f x  ′ ′ + = ′ ′ ′ ′ + = 2.2.2. Phương trình không thuần nhất • Phương trình không thuần nhất có dạng: ( )1 2 1 2( ), , (6).y a y a y f x a a′′ ′+ + = ∈ ℝ a) Phương pháp giải tổng quát • Nếu (4) có hai nghiệm riêng 1 2 ( ), ( )y x y x thì (6) có nghiệm tổng quát là 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).y C x y x C x y x= +
Chương 5. Phương trình vi phân
Chương 5. Phương trình vi phân VD 12. Giải phương trình vi phân 2y y y x′′ ′− + = (a). Giải. Xét phương trình thuần nhất: 2 0y y y′′ ′− + = (b). Ta có: 2 2 1 0 1k k k− + = ⇔ = 1 2 ,x xy e y xe⇒ = = là 2 nghiệm riêng của (b). Suy ra, nghiệm tổng quát của (a) có dạng: 1 2 ( ). ( ).x xy C x e C x xe= + . Ta có hệ Wronsky: 1 2 1 2 . ( ) . ( ) 0 . ( ) ( 1) . ( ) x x x x e C x xe C x e C x x e C x x  ′ ′+ = ′ ′+ + =
Chương 5. Phương trình vi phân Giải hệ bằng định thức Crammer, ta được: 2 1 2 ( ) ( ) x x C x x e C x xe − −  ′ = − ′ = 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( 2 2) ( ) ( ) ( 1) . x x C x C x dx e x x C C x C x dx e x C − −  ′= = + + +⇒  ′= = − + + ∫ ∫ Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: 1 2 2x xy C e C xe x= + + + . VD 13. Cho phương trình vi phân: 22 2 (2 ) xy y y x e′′ ′− + = + (*). 1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là 2 xy x e= . 2) Tìm nghiệm tổng quát của (*). b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT
Phương pháp cộng nghiệm • Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6). VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 sin 2 4 cos2y y x x′′ ′+ = + , biết 1 nghiệm riêng là cos2y x=− .
Chương 5. Phương trình vi phân ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 30 VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của 22cosy y x′′ ′− = (*). Cho biết 1y y′′ ′− = và cos2y y x′′ ′− = lần lượt có nghiệm riêng 1 y x=− , 2 2 1 cos2 sin 2 10 10 y x x=− − .
Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình vi phân: 1 2 1 2 ( ) ( ) (7)y a y a y f x f x′′ ′+ + = + . Nếu 1 ( )y x và 2 ( )y x lần lượt là nghiệm riêng của 1 2 1 ( )y a y a y f x′′ ′+ + = , 1 2 2 ( )y a y a y f x′′ ′+ + = thì nghiệm riêng của (7) là: 1 2 ( ) ( ).y y x y x= +
Chương 5. Phương trình vi phân
Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Xét phương trình 1 2 ( ) (6)y a y a y f x′′ ′+ + = và 1 2 0 (4).y a y a y′′ ′+ + = • Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) ( ( ) n P x là đa thức bậc n ). Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng: ( )m x n y x e Q xα= ( ( ) n Q x là đa thức đầy đủ bậc n ).
Chương 5. Phương trình vi phân Bước 2. Xác định m : 1) Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 0m = . 2) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của (4) thì 1m = . 3) Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng của (4) thì 2m = . Bước 3. Thế . ( )m x n y x e Q xα= vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng cần tìm.
Chương 5. Phương trình vi phân VD 16. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 3 22 3 ( 1)xy y y e x′′ ′− − = + . Giải. Ta có 3 2( ) ( 1)xf x e x= + , 2 2 3, ( ) 1P x xα = = + . Suy ra nghiệm riêng có dạng: 3 2( )m xy x e Ax Bx C= + + . Do 3α = là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 2 2 3 0k k− − = nên 1m = . Suy ra nghiệm riêng có dạng 3 2( )xy xe Ax Bx C= + + .
Chương 5. Phương trình vi phân Thế 3 2( )xy xe Ax Bx C= + + vào phương trình đã cho, đồng nhất thức ta được: 1 1 9 , , 12 16 32 A B C= =− = . Vậy nghiệm riêng là 3 21 1 9 12 16 32 xy xe x x  = − +     . VD 17. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 2 2x xy y y xe e−′′ ′+ + = + .
Chương 5. Phương trình vi phân • Trường hợp 2 f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx] ( ( ) n P x là đa thức bậc n , ( ) m Q x là đa thức bậc m ). Bước 2. Xác định s : 1) Nếu iα β± không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 0s = . 2) Nếu iα β± là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 1s = . Bước 1. Nghiệm riêng có dạng: [ ( )cos ( )sin ]s x k k y x e R x x H x xα β β= + ( ( ), ( ) k k R x H x là đa thức đầy đủ bậc max{ , }k n m= ).
Chương 5. Phương trình vi phân ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 31 Bước 3. Thế [ ( )cos ( )sin ]s x k k y x e R x x H x xα β β= + vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng. VD 18. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 2 3 cos 3 sinx xy y y e x xe x′′ ′+ − = + . VD 19. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 22 2 [( 1)cos sin ]xy y y e x x x x′′ ′− + = + + . VD 20. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 3 siny y x′′ + = (*). Giải. Ta có 2 1 0k k i+ = ⇒ = ± . Nghiệm tổng quát của 0y y′′ + = là:
Chương 5. Phương trình vi phân Mặt khác: 0, 1 1, 0s kα β= = ⇒ = = . Dạng nghiệm riêng của (*) là ( cos sin )y x A x B x= + . 1 2 cos siny C x C x= + (1). Thế ( cos sin )y x A x B x= + vào (*), ta được: 3 3 , 0 cos 2 2 x A B y x=− = ⇒ =− (2). Từ (1) và (2), ta có nghiệm tổng quát là: 1 2 3 cos sin cos 2 x y C x C x x= + − .
Chương 5. Phương trình vi phân
Chương 6. Bài toán Kinh tế - Lý thuyết chuỗi A. MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ §1. Bài toán lãi kép – Đánh thuế doanh thu §2. Bài toán tìm mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa §3. Bài toán người tiêu dùng Tìm đầu vào sao cho chi phí sản xuất nhỏ nhất B. LÝ THUYẾT CHUỖI §1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số §2. Chuỗi số dương §3. Chuỗi số có dấu tùy ý
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế CÁC KHÁI NIỆM – KÝ HIỆU TRONG KINH TẾ • Trung bình của hàm VD. Một doanh nghiệp sản xuất lượng hàng Q và bán hết với đơn giá là P thì tổng doanh thu sẽ là R PQ= . Vậy PQAR P Q = = . Trong kinh tế, đơn giá là trung bình của doanh thu. Xét hai đại lượng kinh tế ,H V có mối quan hệ hàm với nhau: ( )H H V= . Tỉ số ( )H V V được gọi là hàm trung bình của H . Ký hiệu là ( )AH V .
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế • Biên tế VD. Giả sử chi phí C của 1 doanh nghiệp để sản xuất ra Q sản phẩm là: 3 21 10 1000 70 3 C Q Q Q= − + + (đơn vị tiền tệ). Biên tế của hàm ( )H V theo biến V tại 0 V là đại lượng 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) V V H V H V H V V V→ − ′= − . Ký hiệu là 0 ( ) V MH V . Chẳng hạn, biên tế của doanh thu R theo sản lượng Q tại 0 Q là đại lượng mô tả độ tăng của doanh thu khi Q tăng thêm 1 đơn vị tại 0 Q . Ta có: 0 0 ( ) ( ) Q MR Q R Q′= .
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế Sử dụng biên tế, ta ước lượng chi phí để doanh nghiệp sản xuất ra sản phẩm thứ 50 là: (50) 2500C ′ = (đơn vị tiền tệ). • Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa P Đơn giá (Price) Q Số lượng (Quantity) R Doanh thu (Revenue) Π Lợi nhuận (Profit) C Chi phí (Cost) D Cầu (Demand) S Cung (Supply) T Thuế (Tax) ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 32
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế §1. BÀI TOÁN LÃI KÉP BÀI TOÁN ĐÁNH THUẾ DOANH THU 1.1. Bài toán lãi kép • Nếu chia khoảng thời gian t ra làm n khoảng bằng nhau thì lãi suất mỗi khoảng là (%)s n . • Giả sử một người gửi số tiền 0 P vào một ngân hàng với lãi suất (%)s trong thời gian t . Sau thời gian t thì người đó có tổng số tiền là: ( )0 0 0 1 .P P sP P s= + = + Tổng số tiền cuối khoảng thời gian thứ nhất người đó có được là: 0 0 0 1 . s s P P P P n n  = + = +    
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế • Người đó lại gửi tiếp số tiền có được vào ngân hàng thì cuối khoảng thứ hai số tiền có được là: 2 0 0 0 1 1 1 . s s s s P P P P n n n n          = + + + = +                Tiếp tục như vậy cho đến cuối kỳ thì tổng số tiền người đó có được là: 0 1 . n s P n   +     • Nếu tăng số lần rút và gửi lên vô hạn lần thì sau khoảng thời gian t , tổng số tiền người đó có, được tính theo công thức lãi kép liên tục là: 0 .sP P e=
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế VD 1. Đầu tháng 1 năm 2010, một người gửi 100 triệu đồng ở 1 ngân hàng với lãi suất 8% trên một năm và cuối năm 2010 tới nhận. Tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi người đó nhận được trong các trường hợp sau: 1) Đầu năm gửi đến cuối năm đến nhận; 2) Mỗi tháng đến rút tiền và gửi lại; 3) Mỗi ngày đến rút tiền và gửi lại; 4) Lãi kép liên tục. Giải 1) Lãi suất tiền gửi là 8%s = nên tổng số tiền người đó nhận được vào cuối năm là: ( )0 1 100(1 8%) 108P P s= + = + = (triệu đồng).
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế 1.2. Bài toán đánh thuế doanh thu Giả một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm. Gọi Q là sản lượng và P là giá bán 1 đơn vị sản phẩm. Biết hàm cầu của thị trường về loại sản phẩm trên trong 1 đơn vị thời gian là ( ) ( ) D Q P D P= , tổng chi phí là ( )C C Q= và tổng số thuế là ( )T T t= (với t là mức thuế doanh thu định trên một đơn vị sản phẩm). • Bài toán 1 Tìm mức sản lượng Q theo t để doanh nghiệp đạt mức lợi nhuận tối đa sau thuế. Mức sản lượng này được gọi là sản lượng hợp lý nhất của doanh nghiệp. Ta có 3 bài toán sau đây:
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế • Bài toán 2 Tìm t để khi doanh nghiệp đạt mức lợi nhuận tối đa thì thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất. • Bài toán 3 Tìm t để sản lượng hợp lý nhất của doanh nghiệp đạt một mức tối thiểu hay tối đa.  Cách giải Bước 1. Từ hàm cầu ta tìm P theo Q . Bước 2. Lập các hàm: • Tổng thuế doanh nghiệp phải đóng là T Qt= , doanh thu của doanh nghiệp là ( )R RQ PQ= = . • Lợi nhuận của doanh nghiệp thu được là: R C TΠ = − − (doanh thu “–” chi phí “–” thuế).
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế Bước 3 • Tìm mức sản lượng 0 ( )Q t theo t để hàm Π đạt giá trị lớn nhất (Bài toán 1). • Từ 0 ( )Q t tìm được, ta tìm t để hàm T đạt giá trị lớn nhất (Bài toán 2). • Giải 0 ( )Q t Q≥ hay 0 ( )Q t Q≤ với Q là mức sản lượng tối thiểu hay tối đa (Bài toán 3). ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, December 07, 2010 Toán cao cấp C1 Đại học 33
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế VD 2. Một doanh nghiệp (DN) sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm. Biết hàm cầu của loại sản phẩm này và và hàm tổng chi phí sản xuất lần lượt là ( ) 800 D Q P P= − và 2 200 100C Q Q= + + . 1) Nếu biết mức thuế doanh thu định trên một đơn vị sản phẩm là t thì DN sẽ ấn định sản lượng như thế nào để lợi nhuận sau thuế là lớn nhất ? 2) Khi DN đạt lợi nhuận sau thuế lớn nhất, hãy tìm mức thuế doanh thu t áp trên một đơn vị sản phẩm để tổng thuế thu được từ DN này là lớn nhất ? 3) Nhu cầu xã hội cần có tối thiểu 125 đơn vị sản phẩm của DN này. Vậy mức thuế doanh thu chỉ được áp tối đa là bao nhiêu ?
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế §2. BÀI TOÁN TÌM MỨC SẢN LƯỢNG ĐỂ DOANH NGHIỆP ĐẠT LỢI NHUẬN TỐI ĐA (Cực đại hóa lợi nhuận theo sản lượng) 2.1. Sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo a) Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm Trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo thì giá bán do thị trường quyết định và không phụ thuộc vào mức sản lượng của DN. Khi đó, tổng doanh thu là R PQ= và hàm lợi nhuận là R CΠ = − . Ta tìm mức sản lượng Q để hàm Π đạt cực đại.
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế VD 1. Một DN sản xuất một loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Biết giá của sản phẩm trên thị trường là 130P = (đơn vị tiền) và tổng chi phí để sản xuất ra Q ( 1)Q > đơn vị sản phẩm là: 3 21 10 20 3 C Q Q Q= − + + . Hãy tìm mức sản lượng để lợi nhuận DN đạt cực đại ? b) Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm Giả sử một DN sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Biết giá bán của các sản phẩm là 1 P , 2 P ; hàm tổng chi phí phụ thuộc vào mức sản lượng 1 Q , 2 Q là 1 2 ( , )C C Q Q= .
Chương 6. A. Một số bài toán Kinh tế Tìm mức sản lượng tương ứng của từng sản phẩm mà DN cần sản xuất để có lợi nhuận tối đa.  Cách giải Bước 1. Lập các hàm doanh thu và lợi nhuận của DN: 1 1 2 2 R PQ PQ= + và R CΠ = − . Bước 2. Tìm mức sản lượng dương * 1 Q , * 2 Q để hàm lợi nhuận Π đạt cực đại. VD 2. Một DN sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá bán hai sản phẩm này trên thị trường là 1 450