Giáo trình Toán cao cấp A1 (Chuẩn kiến thức)

Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 4) – NXB ĐHQG TP.HCM. 4. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục. 5. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1) – NXB ĐHQG Hà Nội. Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên Tải Slide bài giảng Toán A1 Đại học tại dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm số một biến số §1. Giới hạn dãy số §2. Giới hạn hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn §4. Hàm số liên tục §1. GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.1. Các định nghĩa về dãy số thực  Định nghĩa 1 Một dãy số thực (gọi tắt là dãy số) là một ánh xạ f từ +ℤ vào ℝ cho tương ứng ( ) n f n x= ∈ ℝ . Ký hiệu dãy số là { }, 1,2,... n x n = Trong đó, 1 2 ; ;...; ;... n x x x được gọi là các số hạng và n x là số hạng tổng quát của dãy số.
Chương 1. Hàm số một biến số • Dãy số { }, ( 1)n n n x x = − được cho ở dạng tổng quát. • Dãy số { } n x sau được cho dưới dạng quy nạp (hồi quy): 1 0 1 1 : , 2 2 n n n x x x x − − − = = . VD 1. • Dãy số { } n x được cho dưới dạng liệt kê: 1 2 3 1 1 1 1; ; ;...; ;... 2 3 n x x x x n = = = =  Định nghĩa 2 • Dãy số { } n x được gọi là tăng (hay giảm) nếu 1n n x x +≤ (hay 1n n x x +≥ ) với mọi n +∈ ℤ . • Một dãy số tăng (hay giảm) được gọi là dãy đơn điệu.
Chương 1. Hàm số một biến số • Dãy số 1{ }, 2n n n x x n + = là dãy giảm. • Dãy số { }, ( 1)n n n x x = − không đơn điệu. VD 2. • Dãy số 2 1 { }, n n x x n =− là dãy tăng.  Định nghĩa 3 • Dãy số { } n x được gọi là bị chặn trên nếu M∃ ∈ ℝ sao cho , n x M n +≤ ∀ ∈ ℤ . • Dãy số { } n x được gọi là bị chặn dưới nếu m∃ ∈ ℝ sao cho , n x m n +≥ ∀ ∈ ℤ . • Dãy số { } n x được gọi là bị chặn nếu dãy bị chặn trên và bị chặn dưới.
Chương 1. Hàm số một biến số • Dãy số 1{ }, 2n n n x x n + = bị chặn dưới bởi số 1 2 . • Dãy số { }, ( 1) sinn n n x x n= − bị chặn vì: 1, n x n +≤ ∀ ∈ ℤ . • Dãy số 1{ }, ( )n n n x x n += − không bị chặn trên và cũng không bị chặn dưới.  Định nghĩa 4 • Số a ∈ ℝ được gọi là giới hạn của dãy số { } n x nếu: 0, : n N n N x a∀ε > ∃ ∈ ∀ > ⇒ − < εℝ . VD 3. • Dãy số 2 1 { }, n n x x n =− bị chặn trên bởi số 0 . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 2
Chương 1. Hàm số một biến số Ký hiệu: lim nn x a →∞ = hay n x a→ . • Dãy số { } n x có lim nn x →∞ =−∞ nếu: , : n m N n N x m∀ ∈ ∃ ∈ ∀ > ⇒ <ℝ ℝ . • Dãy số { } n x có lim nn x →∞ = +∞ nếu: , : n M N n N x M∀ ∈ ∃ ∈ ∀ > ⇒ >ℝ ℝ . • Nếu dãy số { } n x có lim nn x a →∞ = ∈ ℝ (hữu hạn) thì ta nói dãy hội tụ, ngược lại thì ta nói dãy phân kỳ. VD 4. Chứng tỏ rằng: 2 1 2lim 3 1 3n n n→∞ − = + .
Chương 1. Hàm số một biến số 1.2. Các tính chất của dãy số hội tụ  Định lý 1 • Nếu dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. • Nếu dãy số hội tụ thì dãy bị chặn. • Nếu dãy số tăng và bị chặn trên thì dãy hội tụ. • Nếu dãy số giảm và bị chặn dưới thì dãy hội tụ.  Định lý 2. Cho hai dãy số hội tụ { }, { } n n x y và lim nn x a →∞ = , lim nn y b →∞ = . Khi đó: • lim ( ) , nn kx ka k →∞ = ∈ ℝ ; lim ( ) n nn x y a b →∞ + = + • lim ( ) n nn x y ab →∞ = ; lim ; 0, 0n nn n x a y b y b→∞ = ≠ ≠ .
Chương 1. Hàm số một biến số  Định lý 3 • Cho hai dãy số { }, { } n n x y thỏa , n n x y n N≤ ∀ ≥ . Nếu lim , lim n nn n x a y b →∞ →∞ = = thì a b≤ . • Cho ba dãy số { }, { }, { } n n n x y z thỏa n n n x y z≤ ≤ với mọi n N≥ . Nếu lim lim n nn n x z a →∞ →∞ = = thì lim nn y a →∞ = . VD 5. Ta có 21 1 10 sin 1n n n ≤ ≤ + nên: 21 1 10 lim sin lim 0 1n nn n n→∞ →∞ ≤ ≤ = + . Vậy 21 1lim sin 0 1n n n→∞ = + .
Chương 1. Hàm số một biến số  Định lý 4 (định lý Cantor) Cho hai dãy số { }, { } n n x y thỏa: 1 1 , [ ; ] [ ; ], lim( ) 0. n n n n n n n nx x y x y x y n y x + + + →∞  ≤ ⊂ ∀ ∈ − = ℤ Khi đó, tồn tại số thực duy nhất [ ; ], n n c x y n +∈ ∀ ∈ ℤ .  Định lý 5 (định lý Bolzano – Weierstrass) • Định nghĩa. Cho dãy số { } n x . Từ đó, ta trích ra dãy số: 1 2 3 ; ; ;...; ;... k n n n n x x x x với các chỉ số k n +∈ ℤ thỏa 1 2 ... ... k n n n< < < < Khi đó, { } k n x được gọi là dãy con trích ra từ dãy { } n x .
Chương 1. Hàm số một biến số • Định lý. Từ mọi dãy số bị chặn, ta đều có thể trích ra được một dãy con hội tụ. VD 6. Cho dãy số bị chặn { }, sin 2n n x x n π = . Từ dãy { } n x , ta có thể trích ra hai dãy con như sau: 2 : sin k x kπ= , 4 1 : sin(4 1) 2k x k π + = + . Ta có: 2 0 k x → (hội tụ) và 4 1 1 k x + → (hội tụ). Nhận xét Do hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau nên dãy { } n x không có giới hạn duy nhất. Vậy dãy { } n x phân kỳ.
Chương 1. Hàm số một biến số  Định lý 6 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) • Định nghĩa. Dãy số { } n x được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu 0ε∀ > cho trước, ta tìm được N +∈ ℤ sao cho ,m n N∀ ≥ thì m n x x ε− < . • Định lý. Mọi dãy số hội tụ đều là dãy Cauchy và ngược lại, mọi dãy Cauchy đều hội tụ. VD 7. Xét sự hội tụ của các dãy số { } n x sau: a) : ( 1)n n x = − ; b) 1 sin1 sin2 sin sin : ... 1.2 2.3 ( 1) ( 1) n n k n k x n n k k= = + + + = + +∑ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 3
Chương 1. Hàm số một biến số Một số kết quả giới hạn cần nhớ 1) lim , n k k k →∞ = ∈ ℝ 2) 1lim =0 lim = nn n n x x→∞ →∞ ⇔ ∞; lim = lim = n nn n x a x a →∞ →∞ ⇔ . 3) 1lim 0, 0 n nα α →∞ = ∀ > ; 1 lim 0, 1 nn α α→∞ = ∀ > . 4) Nếu 1a < thì lim 0n n a →∞ = ; 1a > thì lim n n a →∞ =∞. 5) lim 1n n a →∞ = ( 0a > ); lim 1n n n →∞ = ; 1 lim 1 n n e n→∞   + =    . 6) Nếu 1, 1α β≥ > thì lnlim lim 0 nn n n n n α α β→∞ →∞ = = .
Chương 1. Hàm số một biến số 1.3. Một số ví dụ về giới hạn dãy số VD 8. Tìm 2 2 3 7 lim 5n n n n→∞ − − + . VD 9. Tìm 2 4 6 3 ( 1)(4 3) lim 2n n n n n n→∞ − + − + . VD 10. Tìm 2 3 1 lim 4 n nn n n→∞ − + + . VD 11. Tìm 2 2 2 3 1 2 3 ... lim 5 1n n L n n→∞ + + + + = + + .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 12. Tìm 1 2 2 2 9 2 5 lim 1 n n n n n L n + →∞  + −  =    +  . VD 13. Tìm 4 2 lim 1 1 n n L n + →∞  = −   +  . VD 14. Tìm ( )lim 3 2 1 n L n n →∞ = + − − . VD 15. Tìm giới hạn ( )2 2lim 3 n L n n n →∞ = − + ? A. L =−∞; B. L = +∞; C. 3 2 L =− ; D. 0L = .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 16. Tìm giới hạn ( )3 23lim 1 n L n n n →∞ = + − − ? A. 0L = ; B. L = +∞; C. 1 2 L =− ; D. 1 2 L = . VD 17*. Chứng minh rằng: lim 0, 0 ! n n a a n→∞ = > . VD 18*. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy: 1 0 : 1 , 3 n n x x x−= + = .
Chương 1. Hàm số một biến số §2. GIỚI HẠN HÀM SỐ 2.1. Bổ túc về hàm số 2.1.1. Định nghĩa hàm số Cho hai tập khác rỗng ,X Y ⊂ ℝ . Hàm số f (hoặc ánh xạ f ) từ X vào Y là một quy luật mà mỗi x X∈ xác định được duy nhất một y Y∈ . Khi đó:  Miền xác định (MXĐ) của f , ký hiệu f D , là tập X .  Miền giá trị (MGT) của f là: { }( )G y f x x X= = ∈ .
Chương 1. Hàm số một biến số  Nếu ( )f X Y= thì f là toàn ánh (hay tràn ánh).  Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. VD 1. Các hàm số: • :f →ℝ ℝ với ( ) 2xy f x= = là đơn ánh. • : [0; )f → +∞ℝ với 2( )f x x= là toàn ánh. • : (0; )f +∞ → ℝ với ( ) lnf x x= là song ánh.  Nếu 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x= ⇒ = thì f là đơn ánh.  Hàm số ( )y f x= được gọi là hàm chẵn nếu: ( ) ( ), . f f x f x x D− = ∀ ∈ Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 4
Chương 1. Hàm số một biến số VD 2. Hàm số 2 2 22( 1) 1y x x= + − − là hàm hợp của 2( ) 2f x x x= − và 2( ) 1g x x= + . 2.1.2. Hàm số hợp Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện g f G D⊂ . Khi đó, hàm số ( ) ( )( ) [ ( )]h x f g x f g x= = được gọi là hàm số hợp của f và g .  Hàm số ( )y f x= được gọi là hàm lẻ nếu: ( ) ( ), . f f x f x x D− =− ∀ ∈ Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. Chú ý. ( )( ) ( )( ).f g x g f x≠ 
Chương 1. Hàm số một biến số 2.1.3. Hàm số ngược Hàm số g được gọi là hàm số ngược của hàm số f nếu: ( ), f x g y y G= ∀ ∈ . Ký hiệu là: 1g f −= . VD 3. Cho ( ) 2xf x = thì: 1 2 ( ) log , 0f x x x− = > . Nhận xét Đồ thị của hàm số 1( )y f x−= đối xứng với đồ thị của hàm số ( )y f x= qua đường thẳng y x= .
Chương 1. Hàm số một biến số 2.1.4. Hàm số lượng giác ngược a) Hàm số y = arcsin x • Hàm số siny x= có hàm ngược trên ; 2 2  π π −   là 1 : [ 1; 1] ; 2 2 f −  π π − → −   arcsinx y x=֏ . VD 4. arcsin 0 0= ; arcsin( 1) 2 π − = − ; 3 arcsin 2 3 π = .
Chương 1. Hàm số một biến số b) Hàm số y = arccos x • Hàm số cosy x= có hàm ngược trên [0; ]π là 1 : [ 1; 1] [0; ]f − − → π arccosx y x=֏ . VD 5. arccos 0 2 π = ; arccos( 1)− = π; 3 arccos 2 6 π = ; 1 2 arccos 2 3 − π = . Chú ý. arcsin arccos , [ 1; 1]. 2 x x x π + = ∀ ∈ −
Chương 1. Hàm số một biến số c) Hàm số y = arctan x • Hàm số tany x= có hàm ngược trên ; 2 2  π π−     là 1 : ; 2 2 f −  π π→ −     ℝ arctanx y x=֏ . VD 6. arctan 0 0= ; arctan( 1) 4 π − =− ; arctan 3 3 π = . Quy ước. ( ) ( )arctan , arctan . 2 2 π π +∞ = −∞ =−
Chương 1. Hàm số một biến số d) Hàm số y = arccot x • Hàm số coty x= có hàm ngược trên (0; )π là 1 : (0; )f − → πℝ cotx y arc x=֏ . VD 7. cot0 2 arc π = ; 3 cot( 1) 4 arc π − = ; cot 3 6 arc π = . Quy ước. ( ) ( )cot 0, cot .arc arc+∞ = −∞ = π ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 5
Chương 1. Hàm số một biến số 2.2. Giới hạn hàm số 2.2.1. Các định nghĩa  Định nghĩa 1. Cho hàm ( )f x xác định trong ( ; )a b . Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x tiến đến 0 [ ; ]x a b∈ nếu với mọi 0ε > cho trước, ta tìm được số 0δ > sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x L− < ε. Ký hiệu là: 0 lim ( ) x x f x L → = .  Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) Cho ( )f x xác định trong ( ; )a b . Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b→ ∈ nếu với bất kỳ dãy { } n x trong 0 ( ; ) \ { }a b x mà 0n x x→ thì ( ) n f x L→ .
Chương 1. Hàm số một biến số  Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x →+∞ nếu với mọi 0ε > cho trước ta tìm được số 0M > sao cho khi x M> thì ( )f x L− < ε. Ký hiệu là: lim ( ) x f x L →+∞ = . • Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x →−∞ nếu với mọi 0ε > cho trước ta tìm được số 0m < sao cho khi x m< thì ( )f x L− < ε. Ký hiệu là: lim ( ) x f x L →−∞ = .
Chương 1. Hàm số một biến số  Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Ta nói ( )f x có giới hạn là L = +∞ khi 0 x x→ nếu với mọi số 0M > lớn tùy ý, ta tìm được số 0δ > sao cho khi 0 0 x x . Ký hiệu là: 0 lim ( ) x x f x → = +∞. • Ta nói ( )f x có giới hạn là L =−∞ khi 0 x x→ nếu với mọi số 0m sao cho khi 0 0 x x< − < δ thì ( )f x m< . Ký hiệu là: 0 lim ( ) x x f x → =−∞.
Chương 1. Hàm số một biến số  Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Nếu ( )f x có giới hạn là L (L có thể là ∞) khi 0 x x→ ( 0 x hữu hạn) và 0 x x> thì ta nói ( )f x có giới hạn phải tại 0 x . Ký hiệu: 0 0 lim ( ) x x f x L → + = hoặc 0 lim ( ) x x f x L +→ = . • Nếu ( )f x có giới hạn là L (L có thể là ∞) khi 0 x x→ ( 0 x hữu hạn) và 0 x x< thì ta nói ( )f x có giới hạn trái tại 0 x . Ký hiệu: 0 0 lim ( ) x x f x L → − = hoặc 0 lim ( ) x x f x L −→ = . Chú ý 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x x x f x L f x f x L − +→ → → = ⇔ = =
Chương 1. Hàm số một biến số 2.2.2. Tính chất Cho 0 lim ( ) x x f x a → = và 0 lim ( ) x x g x b → = . Khi đó: 1) 0 lim [ . ( )] . ( ) x x k f x k a k → = ∈ ℝ 2) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x a b → ± = ± 3) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x ab → = ; 4) 0 ( ) lim ( 0) ( )x x f x a b g x b→ = ≠ 5) Nếu 0 0 ( ) ( ), ( ; )f x g x x x x≤ ∀ ∈ − ε + ε thì a b≤ . 6) Nếu 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ; )f x h x g x x x x≤ ≤ ∀ ∈ − ε + ε và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x L → → = = thì 0 lim ( ) x x h x L → = .
Chương 1. Hàm số một biến số Một số kết quả giới hạn cần nhớ 1) ( ) 0 ( ) 0 sin ( ) tan ( ) lim lim 1 ( ) ( )x x x x x xα α α α α α→ → = = . 2) Nếu 1, 1α β≥ > thì lnlim lim 0 xx x x x x α α β→+∞ →+∞ = = 3) Nếu 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) x x x x u x a v x b → → = > = thì: 0 ( )lim [ ( )] .v x b x x u x a → = 4) ( ) 1 0 1 lim 1 lim 1 x x x x x e x→±∞ →   + = + =    . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 6
Chương 1. Hàm số một biến số 2.2.3. Một số ví dụ VD 1. Tìm giới hạn 0 1 3 1 lim x x L x→ − + = . VD 2. Tìm giới hạn 3 0 8 4 2 lim x x x L x→ + − − = . VD 3. Tìm giới hạn 2lim 2 x L x x x →+∞  = + −    . VD 4. Tìm giới hạn 2lim 2 1 x L x x →−∞  = + + +    .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 6. Tìm giới hạn 2 12 1 lim 3 x x x x x L x − →−∞   − − =   +   . A. 9L = ; B. 4L = ; C. 1L = ; D. 0L = . VD 5. Cho hàm số 2 2 2 tan 1 , 1 ( ) sin 1 , 1. 3 3 x x f x x x x  − ≤=  − > − Tính (1)f , 1 lim ( ) x f x −→ và 1 lim ( ) x f x +→ .
Chương 1. Hàm số một biến số VD 7. Tìm giới hạn 2 3 2 2 3 lim 1 x x x x L x − →∞  + +  =   +  . A. L =∞; B. 3L e= ; C. 2L e= ; D. 1L = . VD 8*. Tìm giới hạn 2 1 0 cos lim cos2 x x x L x→  =     . A. L =∞; B. 3 2L e= ; C. 1 2L e= ; D. 1L = .
Chương 1. Hàm số một biến số §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lượng vô cùng bé a) Định nghĩa • Hàm số ( )xα được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi 0 x x→ nếu 0 lim ( ) 0 x x x → α = (x0 có thể là vô cùng). VD 1. ( )3( ) tan sin 1x xα = − là VCB khi 1x −→ ; 2 1 ( ) ln x x β = là VCB khi x →+∞.
Chương 1. Hàm số một biến số b) Tính chất của VCB 1) Nếu ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0 x x→ thì ( ) ( )x xα ± β và ( ). ( )x xα β là VCB khi 0 x x→ . 2) Nếu ( )xα là VCB và ( )xβ bị chận trong lân cận 0 x thì ( ). ( )x xα β là VCB khi 0 x x→ . 3) 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x a f x a x → = ⇔ = +α , trong đó ( )xα là VCB khi 0 x x→ .
Chương 1. Hàm số một biến số c) So sánh các VCB • Định nghĩa Cho ( ), ( )x xα β là các VCB khi 0 x x→ , 0 ( ) lim ( )x x x k x→ α = β . Khi đó: – Nếu 0k = , ta nói ( )xα là VCB cấp cao hơn ( )xβ , ký hiệu ( ) 0( ( ))x xα = β . – Nếu k = ∞, ta nói ( )xα là VCB cấp thấp hơn ( )xβ . – Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )xα và ( )xβ là các VCB tương đương, ký hiệu ( ) ( )x xα β∼ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 7
Chương 1. Hàm số một biến số VD 2 • 1 cosx− là VCB cùng cấp với 2x khi 0x → vì: 2 2 20 0 2 sin 1 cos 12lim lim 2 4 2 x x x x x x → → − = =       . • 2 2sin 3( 1) 9( 1)x x− −∼ khi 1x → . • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))x x x x x xα β ⇔ α − β = α = β∼ . 2) Nếu ( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β β γ∼ ∼ thì ( ) ( )x xα γ∼ . 3) Nếu 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( )x x x xα β α β∼ ∼ thì 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )x x x xα α β β∼ . 4) Nếu ( ) 0( ( ))x xα = β thì ( ) ( ) ( )x x xα + β β∼ .
Chương 1. Hàm số một biến số • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho ( ), ( )x xα β là tổng các VCB khác cấp khi 0 x x→ thì 0 ( ) lim ( )x x x x→ α β bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp nhất của tử và mẫu. VD 3. Tìm giới hạn 3 4 20 cos 1 lim x x x L x x→ − + = + . • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 1) sin x x∼ ; 2) tanx x∼ ; 3) arcsin x x∼ ; 4) arctan x x∼ 5) 2 1 cos 2 x x− ∼ ; 6) 1xe x− ∼ ;
Chương 1. Hàm số một biến số Chú ý. Nếu ( )u x là VCB khi 0x → thì ta có thể thay x bởi ( )u x trong 8 công thức trên. 7) ln(1 )x x+ ∼ ; 8) 1 1n xx n + − ∼ . VD 4. Tính giới hạn 2 20 ln(1 2 sin ) lim sin .tanx x x L x x→ − = . VD 5. Tính ( ) 2 2 30 sin 1 1 3 tan lim sin 2x x x x L x x→ + − + − = + . VD 6. Cho hàm số ( )y f x= thỏa: 2 2 4 2 3 x t t y t t  = − = + . Khi 0x → , chọn đáp án đúng?
Chương 1. Hàm số một biến số Chú ý Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức. A. 2 ( ) 4 x f x ∼ ; B. 2 ( ) 2 x f x ∼ ; C. ( ) 2 x f x ∼ ; D. 2( ) 3f x x−∼ . VD. 2 20 0 2 ( 1) ( 1) lim lim x x x x x x e e e e x x − − → → + − − + − = 20 ( ) lim 0 x x x x→ + − = = (Sai!).
Chương 1. Hàm số một biến số 3.2. Đại lượng vô cùng lớn a) Định nghĩa • Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) khi 0 x x→ nếu 0 lim ( ) x x f x → = ∞ (x0 có thể là vô cùng). VD 7. 3 cos 1 2 sin x x x + − là VCL khi 0x → ; 3 2 1 cos 4 3 x x x x + − − + là VCL khi x → +∞. Nhận xét. Hàm số ( )f x là VCL khi 0 x x→ thì 1 ( )f x là VCB khi 0 x x→ .
Chương 1. Hàm số một biến số b) So sánh các VCL • Định nghĩa Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi 0 x x→ , 0 ( ) lim ( )x x f x k g x→ = . Khi đó: – Nếu 0k = , ta nói ( )f x là VCL cấp thấp hơn ( )g x . – Nếu k =∞, ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn ( )g x . – Nếu 0 k≠ ≠∞, ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k = , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL tương đương. Ký hiệu ( ) ( )f x g x∼ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 8
Chương 1. Hàm số một biến số VD 8. • 3 3 x là VCL khác cấp với 3 1 2x x+ khi 0x → vì: 3 3 3 3 30 0 0 3 1 2 lim : 3 lim 3 lim 2x x x x x x x x x x x→ → →   +  = = = ∞   + . • 3 32 1 2x x x+ − ∼ khi x → +∞.
Chương 1. Hàm số một biến số VD 9. Tính các giới hạn: 3 3 cos 1 lim 3 2x x x A x x→∞ − + = + ; 3 2 7 2 2 1 lim 2 sinx x x B x x →+∞ − + = − . • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi 0 x x→ thì 0 ( ) lim ( )x x f x g x→ bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất của tử và mẫu.
Chương 1. Hàm số một biến số §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC • Hàm số ( )f x liên tục tại 0 x nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . • Hàm số ( )f x liên tục trên tập X nếu ( )f x liên tục tại mọi điểm 0 x X∈ . 4.1. Định nghĩa • Số 0 f x D∈ được gọi là điểm cô lập của ( )f x nếu 0 0 0 0 : ( ; ) \ { }x x x x∃ε > ∀ ∈ − ε + ε thì f x D∉ . Chú ý. Hàm ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì có đồ thị là một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó. Quy ước. Hàm ( )f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.
Chương 1. Hàm số một biến số 4.3. Hàm số liên tục một phía • Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x −→ = ( 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x +→ = ). • Định lý Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ). x x x x f x f x f x − +→ → = = 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại x0 là hàm số liên tục tại x0. • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.
Chương 1. Hàm số một biến số VD 1. Cho hàm số 2 23 tan sin , 0 ( ) 2 , 0 x x x f x x x  + >=  α ≤ . Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là: A. 0α = ; B. 1 2 α = ; C. 1α = ; D. 3 2 α = . VD 2. Cho hàm số 2 2 ln(cos ) , 0 ( ) arctan 2 2 3, 0 x x f x x x x  ≠=  + α − = . Giá trị của α để hàm số liên tục tại 0x = là: A. 17 12 α = ; B. 17 12 α =− ; C. 3 2 α =− ; D. 3 2 α = .
Chương 1. Hàm số một biến số 4.4. Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm ( )f x không liên tục tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm gián đoạn của ( )f x . O x y ( )C 0 x • Nếu tồn tại các giới hạn: 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x − − → = , 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x + + → = nhưng 0 ( )f x− , 0 ( )f x+ và 0 ( )f x không đồng thời bằng nhau thì ta nói 0 x là điểm gián đoạn loại một. Ngược lại, 0 x là điểm gián đoạn loại hai. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 9
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. ĐẠO HÀM 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận ( ; )a b của 0 ( ; )x a b∈ . Giới hạn: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f xy x x∆ → ∆ → +∆ −∆ = ∆ ∆ (nếu có) được gọi là đạo hàm của ( )y f x= tại 0 x . Ký hiệu là 0 ( )f x′ hay 0 ( )y x′ . §1. Đạo hàm §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị §4. Công thức Taylor §5. Quy tắc L’Hospital §6. Khảo sát hàm số
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Nhận xét. Do 0 x x x∆ = − nên: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x x x→ − ′ = − Nhận xét. Hàm số ( )f x có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi 0 0 0 ( ) ( ) ( ).f x f x f x− +′ ′ ′= = b) Đạo hàm một phía Cho hàm số ( )y f x= xác định trong lân cận phải 0 ( ; )x b của 0 x . Giới hạn 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x+→ − − (nếu có) được gọi là đạo hàm bên phải của ( )y f x= tại 0 x . Ký hiệu là 0 ( )f x+′ . Tương tự, 0 ( )f x−′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Cho 3( ) (0)f x x f ′= ⇒ = ∞, ( ) (0 )f x x f +′= ⇒ = +∞. c) Đạo hàm vô cùng • Nếu tỉ số y x ∆ →∞ ∆ khi 0x∆ → thì ta nói ( )y f x= có đạo hàm vô cùng tại 0 x . • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía. Chú ý Nếu ( )f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại 0 x thì tiếp tuyến tại 0 x của đồ thị ( )y f x= song song với trục Oy .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ( )u v u v′ ′ ′± = ± ; ( )uv u v uv′ ′ ′= + ; 2 , k kv k v v ′  ′− = ∈    ℝ; 2 u u v uv v v ′  ′ ′− =    . 2) Đạo hàm của hàm số hợp ( ) [ ( )]f x y u x= : ( ) ( ). ( )f x y u u x′ ′ ′= hay ( ) ( ). ( )y x y u u x′ ′ ′= . 3) Đạo hàm hàm số ngược của ( )y y x= : 1 ( ) ( ) x y y x ′ = ′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1) ( ) 1.x xα α−′ = α ; 2) ( ) 1 2 x x ′ = ; 3) ( )sin cosx x′ = ; 4) ( )cos sinx x′ = − ; 5) ( ) 2 1 tan cos x x ′ = 6) ( ) 2 1 cot sin x x ′ = − ; 21 tan x= + ;
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 7) ( )x xe e′ = ; 8) ( ) .lnx xa a a′ = ; 9) ( ) 1ln x x ′ = ; 10) ( ) 1log .lna x x a ′ = ; 11) ( ) 2 1 arcsin = 1 x x ′ − ; 12)( ) 2 1 arccos = 1 x x −′ − ; 13) ( ) 2 1 arctan 1 x x ′ = + ; 14) ( ) 2 1 cot 1 arc x x −′ = + . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 10
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số • Cho hàm số ( )y f x= có phương trình dạng tham số ( ), ( )x x t y y t= = . Giả sử ( )x x t= có hàm số ngược và hàm số ngược này có đạo hàm thì: ( ) ( ) . ( ) t x t yy t y x hay y x t x ′′ ′ ′= = ′ ′ VD 2. Tính ( )y x′ của hàm số cho bởi 2 3 2 1 , 0 4 x t t y t  = − ≠ = . VD 3. Tính (1) x y ′ của hàm số cho bởi 2 2 tx e y t t  = = − .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao • Giả sử ( )f x có đạo hàm ( )f x′ và ( )f x′ có đạo hàm thì ( )( ) ( )f x f x′′ ′′= là đạo hàm cấp hai của ( )f x . • Tương tự ta có: ( )( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x− ′= là đạo hàm cấp n của ( )f x . VD 4. Cho hàm số 2( ) sinf x x= . Tính đạo hàm (6)(0)f . A. (6)(0) 32f = ; B. (6)(0) 32f =− ; C. (6)(0) 16f =− ; D. (6)(0) 0f = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Tính ( )( )nf x của hàm số 1( ) (1 )nf x x += − . VD 6. Tính ( )ny của hàm số 2 1 3 4 y x x = − − . VD 7. Tính đạo hàm ( )( )nf x của hàm số ( ) sinf x x= .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn • Cho phương trình ( , ) 0F x y = (*). Nếu ( )y y x= là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế ( )y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì ( )y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*). • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được . 0 x y x F F y′ ′ ′+ = . Vậy , 0.xx y y F y F F ′ ′ ′= − ≠ ′ ( ) x y x y′ ′= được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn ( )y x .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý Ta có thể xem hàm ẩn ( )y x như hàm hợp ( )u x và thực hiện đạo hàm như hàm số hợp. VD 8. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi 0x yxy e e− + = . Tính ( )y x′ . VD 9. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: ln 0xxy e y− + = (*). Tính (0)y ′ . VD 10. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 2 2ln arctan y x y x + = . Tính ( )y x′ . VD 11. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 3 2 4( 2) 2 0y x y x− − − = (*). Tính (1)y ′′ .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 12. Viết phương trình tiếp tuyến của 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b + = tại điểm 0 0 ( ; ) ( )M x y E∈ . Giải • Với 0 0y ≠ , ta có: 2 2 2 2 1 x y F a b = + − 0 2 0 2 2 2 x y x F a y F b  ′ =⇒  ′ = 2 0 0 2 0 ( ) b x y x a y ′⇒ = − . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 11
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Phương trình tiếp tuyến tại điểm 0 0 ( ; ) ( )M x y E∈ là: 0 0 0 ( )( )y y x x x y′= − + 2 0 0 02 0 ( ) b x y x x y a y ⇒ =− − + 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 b x x a y y b x a y⇒ + = + 0 0 2 2 1 x x y y a b ⇒ + = (*). • Với 0 0y = , ta có 0 x a= ± . Khi đó, phương trình tiếp tuyến là x a= ± thỏa (*). Vậy phương trình tiếp tuyến là 0 0 2 2 1 x x y y a b + = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN 2.1. Vi phân cấp một • Hàm số ( )y f x= được gọi là khả vi tại 0 f x D∈ nếu 0 0 0 ( ) ( ) ( )f x f x x f x∆ = +∆ − có thể biểu diễn dưới dạng: 0( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆ với A là hằng số và 0( )x∆ là VCB khi 0x∆ → . Khi đó, đại lượng .A x∆ được gọi là vi phân của hàm số ( )y f x= tại x0. Ký hiệu 0( )df x hay 0( )dy x . Nhận xét • 0 ( ) . 0( )f x A x x∆ = ∆ + ∆ 0 ( ) 0( )f x x A x x ∆ ∆ ⇒ = + ∆ ∆
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 00 0 ( ) ( )x f x A f x A x ∆ →∆ ′⇒ → ⇒ = ∆ . 0 0 ( ) ( ).df x f x x′⇒ = ∆ hay ( ) ( ).df x f x x′= ∆ . • Chọn ( ) ( )f x x df x x dx x= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ . Vậy ( ) ( ) .df x f x dx hay dy y dx′ ′= = VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 2 3( ) xf x x e= tại 0 1x = − . VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số ln(arcsin )2 xy = . VD 2. Tính vi phân cấp 1 của 2arctan( 1)y x= + .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 2.2. Vi phân cấp cao • Giả sử ( )y f x= có đạo hàm đến cấp n thì 1 ( )( )n n n nd y d d y y dx−= = được gọi là vi phân cấp n của hàm ( )y f x= . VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số ln(sin )y x= . VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số 2xy e= . VD 6. Tính vi phân cấp 3 của ( ) tanf x x= tại 0 4 x π = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 7. Tính vi phân cấp 10 của hàm số 3( ) xy x x e= − . Chú ý Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức ( )n n nd y y dx= không còn đúng nữa. Quy tắc tính vi phân cấp n 1) ( . ) .n nd k u k d u= ; ( )n n nd u v d u d v+ = + ; 2) 0 ( ) . n n k n k k n k d uv C d ud v− = =∑ với 0 0,d u u d v v= = .
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.1. Các định lý 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số ( )f x xác định trong ( ; )a b và có đạo hàm tại 0 ( ; )x a b∈ . Nếu ( )f x đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) tại 0 x trong ( ; )a b thì 0 ( ) 0f x′ = . 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b và khả vi trong ( ; )a b . Nếu ( ) ( )f a f b= thì ( ; )c a b∃ ∈ sao cho ( ) 0f c′ = . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Sunday, October 31, 2010 Toán cao cấp A1 Đại học 12
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy • Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b và ( ) 0, ( ; )g x x a b′ ≠ ∀ ∈ . Khi đó, ( ; )c a b∃ ∈ sao cho: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c ′− = ′− 3.1.4. Định lý Lagrange • Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b . Khi đó, ( ; )c a b∃ ∈ sao cho: ( ) ( ) ( ). f b f a f c b a − ′= −
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2. Cực trị của hàm số 3.2.1. Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Cho hàm số ( )f x liên tục trong trong ( ; )a b . Khi đó: • ( )f x được gọi là tăng ngặt trong ( ; )a b nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f