Giáo trình Cơ lưu chất - Chương 2: Tĩnh học lưu chất - Nguyễn Thị Bảy

khoái: ½Fδxδyδzρ. Toång caùc löïc treân phöông x phaûi baèng khoâng: pxδyδz - pnδyδs(δz/δs) + ½Fxδxδyδzρ = 0 Chia taát caû cho δyδz : px - pn + ½Fxρδx = 0 ⇒ px = pn khi δx → 0. Chöùng minh töông töï cho caùc phöông khaùc px =py = pz = pnSuy ra: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 2 II. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN W A p n Xeùt löu chaát ôû traïng thaùi caân baèng coù theå tích W giôùi haïn bôûi dieän tích A. Ta coù toång caùc löïc taùc duïng leân löu chaát =0: Löïc khoái + löïc maët = 0: 0dApdwF Aw =−ρ ∫∫∫∫∫ Ta xeùt treân truïc x: 0 x )p(F0 x )np(F 0 z np( y )np( x )np(F 0dw)n.p(divdwF0dApdwF x ppppxxx x xzzxyyxxx x W x w x Gauss.d.b A x w x zyx =∂ ∂−ρ⎯⎯⎯⎯ →←=∂ ∂−ρ⇔ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−ρ⇔ =−ρ=−ρ === ∫∫∫∫∫∫⇔∫∫∫∫∫ Xeùt töông töï cho caùc truïc khaùc 0)p(grad1F =ρ−⇔ 0dw)p(graddwF0dApdwF WwAw =−ρ⇔=−ρ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫Keát luaän: III. TÍCH PHAÂN PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN 01 01 01 01 =ρ−++⇒+ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ×=∂ ∂ ρ− ×=∂ ∂ ρ− ×=∂ ∂ ρ− dp)dzFdyFdxF( dz z pF dy y pF dx x pF zyx z y x zA pa pA pB hAB chuaån 0 zB)1(pzpzconstpz:hay constpgzdp1gdz B B A A const γ+=γ+⇔=γ+ =ρ+⎯⎯ →⎯ρ=− =ρ ¾Chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc: Fx, Fy=0, Fz=-g: hay: pB = pA + γhAB hay p = pa+γh (2) (1), (2) laø phöông trình thuyû tónh PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 3 ¾Chaát khí naèm trong tröôøng troïng löïc, neùn ñöôïc: dp p RTgdzdp1gdz =−⇔ρ=− Xem nhö chaát khí laø khí lyù töôûng: RT phayR T pV =ρ= Neáu bieát ñöôïc haøm phaân boá nhieät ñoä theo ñoä cao, ví duï: T=T0 – az; a>0, T0 laø nhieät ñoä öùng vôùi ñoä cao z=0 (thoâng thöôøng laø möïc nöôùc bieån yeân laëng): aR g )azT(Cp )Cln()azTln( aR gpln )azT(R dzg p dpdp p )azT(Rgdz −=⇒ +−=⇒−−=⇒ −=− 0 0 0 0 Goïi p0 laø aùp suaát öùng vôùi z=0: aRg aR g T pCCTp 0 0 00 =⇒= aR g T azTpp ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 0 0 0 Phöông trình khí tónh: Ví duï 1: Giaûi: AÙp suaát tuyeät ñoái taïi maët bieån yeân laëng laø 760mmHg, töông öùng vôùi nhieät ñoä T=288 0K. Nhieät ñoä taàng khí quyeån giaûm 6,5 ñoä K khi leân cao 1000m cho ñeán luùc nhieät ñoä ñaït 216,5 ñoä K thì giöõ khoâng ñoåi. Xaùc ñònh aùp suaát vaø khoái löôïng rieâng cuûa khoâng khí ôû ñoä cao 14500m. Cho R=287 J/kg.0K 0.1695mHg= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⇒⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 1 287*0065.0 81.9 aR g 0 10 01 aR g 0 0 0 p 5,216 11000*0065.05,21676.0 T azTpp T azTpp T0 laø nhieät ñoä öùng vôùi ñoä cao z=0 (maët bieån yeân laëng): Ta tìm haøm phaân boá nhieät ñoä theo ñoä cao: T=T0 – az; vôùi a=0, 0065 Cao ñoä öùng vôùi nhieät ñoä T1=216,5 ñoä K laø z1= 11000m Suy ra: 216,5=288 – 0,0065z1 Nhö vaäy töø z0=0 ñeán z1=11000m, aùp suaát bieán thieân theo phöông trình khí tónh: 3 3 1 1 1 kg/m 0.3645.216*287 10*81.9*6.13*1695.0 RT p ρRT ρ p ===⇒=Töø: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 4 Töø z1=11000 m ñeán z2=14500m, nhieät ñoä khoâng ñoåi neân: zg RT g RT 111 eCpCpln)Cln(pln g RTz p dp g RTdzdp p RTgdz 11 =⇒⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=+−=⇒−=⇒=− −− Taïi ñoä cao z1 ta coù aùp suaát baèng p1; suy ra: ( ) 1 1 1 1 RT g)zz( 1 g RT 1 z epp p eC −=⇒= Nhö vaäy taïi ñoä cao z2 =14500m ta tính ñöôïc: 97.52mmHgmHg 97520.0 e*17.0epp 5.216*278 81.9)1450011000(RT g)zz( 12 1 21 == == −− 3 1 12 2 m/kg209.0p ρp ρ ==vaøø: IV. MAËT ÑAÚNG AÙP, P TUYEÄT ÑOÁI, P DÖ, P CHAÂN KHOÂNG ¾Maët ñaúng aùp cuûa chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc laø maët phaúng naèm ngang ¾Phöông trình maët ñaúng aùp: Fxdx + Fydy + Fzdz=0 ¾AÙp suaát dö : pdö = ptñ - pa ¾Neáu taïi moät ñieåm coù pdö < 0 thì taïi ñoù coù aùp suaát chaân khoâng pck pck= -pdö = pa – ptñ ¾p trong phöông trình thuyû tónh laø aùp suaát tuyeät ñoái ptñ. hoaëc aùp suaát dö ¾Các điểm naøo (?) có áp suất bằng nhau; trong ñoaïn oáng 2-5-6 chöùa chaát khí hay chaát loûng ? 5 6 7 1 2 3 4 0 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 5 V. ÖÙNG DUÏNG 2. Ñònh luaät bình thoâng nhau: pA=pA’+ γ2h2; pB=pB’+ γ1h1 γ1h1=γ2h2Suy ra Töø p.tr thuyû tónh: p=0, chaân khoâng tuyeät ñoái htñA A B td BA hpp γ+= hdöA A pa B hckA A B ck A ckck B du A du hphpp γ=⇒γ−= 1. Caùc aùp keá: dudu B du A du hhpp γ=γ+= pa h1 γ1 γ2 h2 A A’ B’ B A’ Taïi moät vò trí naøo ñoù trong löu chaát neáp aùp suaát taêng leân moät ñaïi löôïng Δp thì ñaïi löôïng naøy seõ ñöôïc truyeàn ñi trong toaøn mieàn löu chaát → öùng duïng trong maùy neùn thuûy löïc. 3. Ñònh luaät Pascal: f p=f/a F=pA Pascal 1623-1662 , Phaùp PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 6 4. Bieåu ñoà phaân boá aùp suaát chieàu saâu: pa h pa+γh pa h pdö=γh pa h pdö/γ=h pck h pck/γ-h pck/γp ck h pck-γh pck pck h pdö/γ=h-h1 pck/γ pdö=0, ptñ=pa h1=pck/γ 5 . Phaân boá aùp suaát treân moät maët cong: h p/γ=h p/γ=h 6 . AÙp keá vi sai: γ1h1= γ2h2Ban ñaàu thì p1=p2=pa: Khi aùp suaát oáng beân traùi taêng leân Δp: p1=pa+Δp; p2=pa 0 h γ1 γ2 h1 h2 pa→pa+ Δp pa A B CΔz AB1BC2a AB1BC2CAB1BAa hhp hhphpppp γ−γ+= γ−γ+=γ−==Δ+ )zhh()zhh(hhp 1122AB1BC2 Δ−−γ−Δ+−γ=γ−γ=Δ⇒ )(z)(hp 2121 γ+γΔ+γ−γ=Δ⇒ Goïi A, a laàn löôït laø dieän tích ngang oáng lôùn vaø oáng nhoû: A ahzz.Ah.a =Δ⇒Δ=⇒ )( A ah)(hp 2121 γ+γ+γ−γ=Δ⇒ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 7 VI. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH PHAÚNG C x yCy Ixx=Ic+yC2A Ixy=Ix’y’+xCyCA Ic pa O(x) y α C hD y dA D yD F hC h Taâm aùp löïc ¾ Giaù trò löïc ApAhAysinydAsin dAsinyhdAdApF du CCC A AA A dudu =γ=αγ=αγ= αγ=γ== ∫ ∫∫ ∫ Töông töï : Ay I xx c 'y'x CD += ¾ Ñieåm ñaët löïc xx AA A D IsindAysindAysinyydFFy αγ=αγ=αγ== ∫∫ ∫ 2 Suy ra: Ay AyI Ay I F Isiny C 2 CC C xxxx D +==αγ= Ay Iyy C C CD += ApF duC du = Ay AyxI Ay I F Isin x C CC'y'x C xyxy D +==αγ= Ic: M. q tính cuûa A so vôùi truïc //0x vaø qua C Ix’y’: M. q tính cuûa A so vôùi troïng taâm C ¾ Löïc taùc duïng leân thaønh phaúng chöõ nhaät ñaùy naèm ngang: F=γΩb Ñaët: Ω=(hA+hB).(AB)/2 Suy ra: BD=[(hB+2hA)/(hB+hA)].(AB)/3 2 hhp BAC +γ= b)AB( 2 hhApF BAC +γ==⇒ B A hA hB Ω hA hB D C* F PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 8 O(y) z x Ax Maët cong A dA dAz dAx h pa n (n,ox) dFx Az 222 zyx FFFF ++= xcx Ax x A x AA xx AphdAhdA )ox,ncos(pdAdFF =γ=γ= == ∫∫ ∫∫ ¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông x ¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông z WhdA )oz,ncos(hdAdFF A z AA zz γ=γ= γ== ∫ ∫∫ W: theå tích vaät aùp löïc: laø theå tích cuûa vaät thaúng ñöùng giôùi haïn bôûi maët cong A vaø hình chieáu thaúng ñöùng cuûa A leân maët thoaùng töï do (Az) VII. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH CONG ÑÔN GIAÛN pa ¾ Caùc ví duï veà vaät aùp löïc W: Pdu w Fz Pa Pck w Fz Pa Pck Pa w Fz w pa w pdö pdö/γ Fz w pck pa pck/γFz pa w Fz pck pa pck/γ w Fz pck pa pck/γ w1 w2 Fz1 Fz2 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 9 pdö pa Fz W1: phaàn cheùo lieàn neùt→Fz1 höôùng leân. W2: phaàn cheùo chaám chaám→Fz2 höôùng xuoáng. W=W1-W2→Fz höôùng xuoáng pdö pa Fz W1: phaàn cheùo lieàn neùt→Fz1 höôùng xuoáng. W2: phaàn cheùo chaám chaám →Fz2 höôùng leân. W=W1-W2→Fz höôùng leân W W1 Ar¾ Löïc ñaåy Archimeøde: WWWAr 12 γ=γ−γ= W2 (phaàn gaïch cheùo) Archimede 287-212 BC PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 10 GAr −= ¾ Vaät noåi W I MD yy= yy D Ar C GA oån ñònh: MD>CD →M cao hôn C D Ar M C G D C G Ar M khoâng oån ñònh:MD<CD →M thaáp hôn C M: Taâm ñònh khuynh. Iyy: Moment quaùn tính cuûa dieän tích maët noåi A so vôùi truïc quay yy. W: theå tích nöôùc bò vaät chieám choã VIII. SÖÏ CAÂN BAÈNG CUÛA MOÄT VAÄT TRONG LÖU CHAÁT ¾ Vaät chìm lô löûng C D Ar G D C G Ar D C oån ñònh khoâng oån ñònh Phieám ñònh Ar G VIII. ÖÙNG DUÏNG Ví duï 2: Tính z, pa=76cmHg, γnb=11200 N/m3; γHg=133000 N/m3 Ta coù: pA = pB + γHg hAB=0.84 γHg + γHg hAB = γHg (0.84+0.8)=1.64 γHg Maët khaùc: pA – pa = γnb .(z+0.4) Suy ra: (z+0.4)=(pA – pa )/ γnb =(1.64 γHg - 0.76 γHg )/ γnb =0.88(γHg / γnb ) =0.88.133000/11200=10.45m Suy ra z = 10.05 m pa z 40cm 40cm ptñ =0 Hg 84cm A B PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 11 Ví duï 3: Bình ñaùy vuoâng caïnh a=2m. Ñoå vaøo bình hai chaát loûng khaùc nhau, δù1 =0,8; δ 2=1,1. V1=6m3; V2=5m3. Tìm pB γ1= δù1 γn=0.8*9.81*10^3 N/m3 γ2= δù2 γn=1.1*9.81*10^3 N/m3 Giaûi: Goïi h2 laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 2: h2=(5/4)m. Goïi h1 laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 1: h1=(6/4)m. Ta coù hAB = h2 – h = 0.25m Suy ra: pB=pA+γ2*hAB= pA + γ2*(0.25) Suy ra: pB= pa+ γ1*h1 + γ2*(0.25) γ1 γ2 a=2m B h=1m h2 h1 A pa Suy ra: pdu B= 0+ γ1*(1.5) + γ2*(0.25)=9.81*103(0.8*1.5+1.1*0.25)=14.5 m nöôùc Thí nghiệm: Ottovon Guericke (8.5.1654) tại Maydeburg, Đức Dùng 2 bán cầu D = 37 cm, bịt kín và hút khí để áp suất tuyệt đối trong qủa cầu bằng không . Cho 2 đàn ngựa kéo vẫn không tách bán cầu ra được. Vậy phải cần 1 lực bằng bao nhiêu để tách hai bán cầu ra (xem lực dình giữa 2 bán cầu không đáng kể) DF =? F =? Chân không p(tuyệt đối) = 0 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 12 Ví duï 4: Van phaúng AB hình chöõ nhaät cao 1,5m, roäng 2m, quay quanh truïc A naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van . Tính löïc F (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân Giaûi: 4.294m 2*5.1*25.4 12 5.1*2 25.4 Ay Iyy 3 C C CD =+=+= KN 125.0775 2*5,1*)2/5,15(*10*81.9AhApF 3C du C du n = −=γ==Giaù trò löïc: Vò trí ñieåm ñaët löïc D: F? 5m 1,5m A B C yC=hC DFn C* O y yD 0.706m4.294m5DB =−=⇒ Tính caùch khaùc: 0.706m 3 5.1 5.35 5.3*25 3 AB. hh h2hDB AB AB =+ +=+ += Ñeå tính löïc F giöõ van yeân, ta caân baèng moment: Fn(AD)=F(AB) Suy ra: F=Fn(AD)/(AB)=125.07*(1.5-0.706)/(1.5) = 66.22 KN pa Ví duï 5: Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân Giaûi: hC = 3+2/3 = 3.666m m31.2 3 4 2 3 2 )sin(60 2AB 0 ==== Dieän tích A cuûa tam giaùc: A=(AE)*(AB)/2=3.079 m2 AÙp löïc: Fndu =γhCA=9.81*3.666*3.079 = 110,76 KN Toaï ñoä yC = OC= hC/sin(600) = 4.234m 4.304m 079.3*234.4 36 31.2*667.2 234.4 Ay 36 h*b y Ay IyyOD 3 C 3 C C C CD =+=+=+== AB chính laø chieàu cao cuûa tam giaùc ñeàu, Caïnh ñaùy AE cuûa tam giaùc: AE=2*AB/tg(600)=2.667m Fn(AD)=F(2) Suy ra: F=Fn(AD)/(2)=110.76*(OD-OA)/2 = 110.76*(4.304-3.464)/2 =46.507 KN A B E pa 3m 2m α=600 C C hC B A D y O F Fn PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 13 E A B P0du = 0,1at 3m 2m α=600 C C hC A D y O F Fn 1m pa B Ví duï 6: Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân Giaûi: hC = 1+ 3+2/3 = 4.666m m31.2 3 4 2 3 2 )sin(60 2AB 0 ==== Dieän tích A cuûa tam giaùc: A=(AE)*(AB)/2=3.079 m2 AÙp löïc: Fndu =γhCA=9.81*4.666*3.079 = 140,97 KN Toaï ñoä yC = OC= hC/sin(600) = 5.389m 5.444m 079.3*389.5 36 31.2*667.2 389.5 Ay 36 h*b y Ay IyyOD 3 C 3 C C C CD =+=+=+== AB chính laø chieàu cao cuûa tam giaùc ñeàu, Caïnh ñaùy AE cuûa tam giaùc: AE=2*AB/tg(600)=2.667m Fn(AD)=F(2) Suy ra: F=Fn(AD)/(2)=140.97*(OD-OA)/2 = 140.97*(5.444 – 4.619)/2 =58.133 KN Ghi chuù: OA=4/sin(600) A B P0ck = 0,6at 3m 2m α=600 C C hC A D y O F Fn 1m pa B Ví duï 7: Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân Giaûi: pC = -γhC = -9.81*103*(1+ 2-2/3) = -9.81*103* 2.333 N/m2 AÙp löïc: Fndu =-γhCA=-9.81*2.333*3.079 = -70.483 KN Toaï ñoä yC = - OC= hC/sin(600) = -2.694 m m804.2- 079.3*694.2 36 31.2*667.2 694.2 Ay 36 h*b y Ay IyyOD 3 C 3 C C C CD =−+−=+=+== Fn(AD)=F(2) Suy ra: F=Fn(AD)/(2)=140.97*(OA-OD)/2 = 70.483*(3.464 – 2.804)/2 =23.25 KN Ghi chuù: OA=3/sin(600) AB =2.31 m AE= 2.667m A=3.079 m2 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 14 ĐS: hD=1,53m Ví duï 8: Van tam giaùc ñeàu ABM caïnh AB=1m ñaët giöõ nöôùc nhö hình veõ (caïnh AB thaúng ñöùng). Aùp suaát treân bình chöùa laø aùp suaát khí trôøi. Bieát hA=1m. Goïi D laø vò trí ñieåm ñaët löïc F cuûa nöôùc taùc duïng leân van öùng vôùi ñoä saâu laø hD. Xác định hD A B A B M hA pa D hD Hdẫn: Ta để ý thấy công thức tính moment quán tính đối với tam giác như trong phụ lục: 3 (*) 36c bhI = so với trục song song với một trong 3 cạnh (đáy b) Trong khi đó, từ lý thuyết đã chứng minh, để xác định vị trí D ta áp dụng công thức: C D C C Iy y y A = + Với Ic là moment q tính của diện tích A so với trục song song Ox và qua trọng tâm C của A Như vây, muốn ứng dụng công thức (*) trong tính toán yD cần phải có một trong 3 cạnh của tam giác phải song song với Ox (cụ thể là nằm ngang). Trong hình vẽ của bài toán, không có cạnh nào của tam giác nằm ngang, nên trước tiên cần chia tam giác ra hai sao cho một cạnh của mỗi tam giác nhỏ nằm ngang. Sau đó tính lực và vị trí điểm đặt lực riêng đối với từng tam giác nhỏ. Cuối cùng tìm vị trí điểm đặt lực tổng theo công thức: 1 1 2 2 1 2 D D D F y F yy F F += + Ví duï 9: Một hệ thống tự động lấy nước vào ống đường kính D = 0,3 m được thiết kế bằng một cửa chắn chữ L. Cửa chắn có bề rộng (thẳng góc với trang giấy) b = 1,2m và quay quanh O. Biết áp suất trong ống là áp suất khí trời và trọng lượng cửa không đáng kể. a) Giải thích cơ chế hoạt động của cửa khi độ sâu h thay đổi. b) Xác định độ sâu h tối thiểu để cửa bắt đầu quay. Trục quay Cửa có bề rộng b Cửa chắn nước vuông góc Nước D L=1m ống lấy nước HD: Chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương Phân tích các lực tác dụng lên cửa gồm hai lực: Fx tác động lên phần van chữ nhật thẳng đứng, moment so với O sẽ là: Fxh/3 Fz tác động lên phần diện tích tròn đường kính D, moment so với O sẽ là: FzL Để van có thể lấy nước vào ống thì tổng moment: Fxh/3-FzL = γh3b/6 - γ LhπD2/4 >0 Suy ra: h(γh2b/6 - γ LπD2/4) > 0 suy ra: γh2b/6 > γ LπD2/4 suy ra: h2 > (LπD2/4) / (b/6 ) Suy ra: 23 0,56 2 L Dh m b π> = PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 15 Ví duï 10: Moät cöûa van cung coù daïng ¼ hình truï baùn kính R=1,5m; daøi L=3m quay quanh truïc naèm ngang qua O. Van coù khoái löôïng 6000 kg vaø troïng taâm ñaët taïi G nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Xaùc ñònh moment caàn môû van Giaûi: KN10.333*5.1* 2 5.1*10*81.9AhApF 3cxxcxx ==γ== KN523* 4 5.1**10*81.9L 4 RWF 2 3 2 z =π=πγ=γ= KN65.165233.10FFF 222z 2 x =+=+= 0 x z 52,571.570796 1.33 52 F F)(tg =α⇒===α G 1,5m nöôùc 0,6m 0,6m G Fx Fz F α D Nm 353166.0*6000*81.96.0*GM === O pa Ví duï 11: Moät hình truï baùn kính R=2m; daøi L=2m ÔÛ vò trí caân baèng nhö hình veõ . Xaùc ñònh troïng löôïng cuûa phao vaø phaûn löïc taïi A Giaûi: KN39.24 2*2* 2 2*10*81.9 AhApFR 3 xcxxcxxA = = γ=== 263.3941KNG )RR 4 3(*L*9.81W-WG 0FFG 22 12 2z1z = +π=γγ=⇒ =++G nöôùc A R Fz1=γW1 Fz2=γW2 pa PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 16 Ví duï 12: Giaûi: KN44.145 2*12.2* 2 12.2*10*81.9 AhApF 3 cxxcxx = = γ== KN12.5989 2* 2 5.1 4 5.1**10*81.9 L 2 R 4 RWF 22 3 22 z = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −π= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −πγ=γ= KN45.9160.12145.44FFF 222z 2 x =+=+= 0 x z 92.15285.0 15.44 6.12 F F)(tg =α⇒===α 2.12m5.1*2R2AB 22 === Moät cöûa van cung coù daïng ¼ hình truï baùn kính R=1,5m; daøi L=2m quay quanh truïc naèm ngang qua O nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . nöôùc Fx Fz F R 450 450 α A B C Fz1 Fz2 pa O Moät oáng troøn baùn kính r = 1 m chöùa nöôùc ñeán nöûa oáng nhö hình veõ. Treân maët thoùang khí coù aùp suaát dö po = 0,5 m nöôùc. Bieát nöôùc ôû traïng thaùi tónh. Tính toång aùùp löïc cuûa nöôùc taùc duïng leân ¼ maët cong (BC) treân 1m daøi cuûa oáng Ví duï 13 rpo B C Giaûi: N98101*)5,05,0(*98101.r) 2 r5,0(γApF xcxx =+=+== N12605.851.285*98101).r5,0 4 r π(γWγF 2 z ==+== N 15973.2FFF 2z 2 x =+= PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 17 Ví duï 14: Giaûi: Moät khoái hình hoäp caïnh a=0,3m ñoàng chaát tyû troïng 0,6 noåi treân nöôùc nhö hình veõ. Tính chieàu saâu ngaäp nöôùc x cuûa hình hoäp . x G = Ar ⇔ 0.6*γn*a3 = γn*a2*x ⇒x= 0.6*a =0.6*0.3 x = 0.18 m Câu 13: Một vật hình trụ đồng chất có tiết diện hình vuông, cạnh là a = 1m, chiều cao là H = 0,8m. Khi cho vào nước, mực nước ngập đến độ cao là h=0,6m. Lực tác dụng lên một mặt bên của vật và tỷ trọng của vật là: h H a a Hình câu 14 Ví duï 15: ĐS: F=1765,8 N; δ=0,75 ĐS: Ví duï 16: Một quả bóng có trọng lượng 0,02 N, phía dưới có buột một vật nhỏ (bỏ qua thể tích) trọng lượng 0,3N. Cho γkhong khi=1,23 kg/m3. Nếu bơm bóng đầy bằng khí có γkhi=0,8 kg/m3 thì đường kính D quả bóng phải bằng bao nhiêu để bóng có thể bay lên được Hdẫn: b Vat khi khongkhi b b Vat khi b khongkhi bG G G W G G W Wγ γ γ+ + = → + + = 0.525220.140.0760.81.230.30.02 DD3WbgamakgamakkGvGb b Vat b khongkhi khi G GW γ γ += − Vật đồng chất nằm cân bằng lơ lửng trong môi trường dầu-nước như hình vẽ. Biết tỷ trọng của dầu là 0,8. Phần thể tích vật chìm trong nước bằng phần thể tích vật trong dầu. Tỷ trọng của vật ? ĐS: 0,90 Ví duï 17: Dầu Nước VậtHướng dẫn: Trọng lượng của vật cân bằng với với lực đẩy Archimede do dầu tác dụng lên nửa cầu trên và nước lên nửa cầu dưới PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 18 A• B• Daàu ω A• B• Nöôùc ω Moät oáng ño tæ troïng nhö hình veõ coù khoái löôïng M = 0,045kg vaø tieát dieän ngang cuûa oáng laø ω = 290mm2 . Khi boû vaøo trong nöôùc coù tæ troïng δN = 1 , oáng chìm ñeán vaïch A, vaø khi boû vaøo trong daàu coù tæ troïng δD = 0,9 oáng chìm ñeán vaïch B. Tìm khoûang caùch ñoïan AB Giaûi: Ví duï 18 )ωLW(γWγgMG ABdn +=== ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −==⇒ 1 δ 1 ωγ GL; γ GW dn AB n 17.24mm1000*1 9.0 1 9810*10*290 045.0*81.9L 6AB =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= − Giaûi: Ví duï 19: Bình truï troøn chöùa chaát loûng trong ñoù coù thaû phao hình caàu. Bình naøy laïi ñöôïc nhuùng noåi treân maët thoaùng beå chöùa cuøng loaïi chaát loûng. Bieát : Troïng löôïng cuûa bình laø G1; Troïng löôïng cuûa chaát loûng chöùa trong bình laø G2; TyÛ soá caùc chieàu saâu (nhö hình veõ) k=z1/z2; Tìm troïng löôïng cuûa phao Theo ñònh luaät Ar.; toaøn boä heä chòu taùc duïng cuûa löïc ñaåy Ar, höôùng leân, baèng troïng löôïng cuûa khoái chaát loûng bò vaät chieám choã. Trong khi ñoù löïc theo phöông thaúng ñöùng taùc duïng leân toaøn boä heä bao goàm G+G1+G2 . Vaäy: G + G1 + G2 = Ar = z1A γ vôùi A laø tieát dieän ngang cuûa bình. Xeùt rieâng heä goàm chaát loûng trong bình vaø phao, ta coù troïng löôïng cuûa phao cuõng baèng troïïng löôïng cuûa khoái chaát loûng bò phao chieám trong bình : G = z2A γ -G2 ⇒ Aγ = (G+G2)/z2 G1 G z2 z1 Ar G2 Suy ra: G + G1 + G2 = z1(G+G2)/z2 = kG+kG2. 2 1 G 1k GG −−=⇒ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 19 Một bình baèng saét hình noùn cuït khoâng ñaùy ( δ=7.8) được uùp như hình vẽ. Đaùy lôùn R=1m, ñaùy nhoû r=0,5m, cao H=4m, daøy b=3mm. Tính giới hạn möïc nöôùc x trong bình ñeå bình khoûi bò nhaác leân. Giaûi: 3/)RrrR(HπV 22gnoncuttron ++= Troïng löôïng bình: 3/))br)(bR()br()bR((HπV 22inoncutngoa ++++++= R r H x b W rx Fz Ví duï 20: Ñieàu kieän: G ≥ Fz Suy ra: 441.96 ≥ Fz Giaûi ra ñöôïc x ≤ 1.09 m kgf96.441057.0*8.7*1000)VV(δγVδγG gnoncuttroninoncutngoann ==−== 096.441x7.392x36.16 23 ≥+−⇔ 32 2 n 22 n x 2 x 22 nnz x36.16x7.392x H )rR(x H )rR(R3 3 xπ γ ))rR( H xR(R))rR( H xR(R2 3 xπ γ )RrrR( 3 xπxπRγWγF −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−−−−= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−−== Ta tính löïc Fz höôùng leân do nöôùc taùc duïng leân bình: ( )rR H xRr rR rR H x x x −−=⇒− −=Từ quan hệ: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 20 a H g g* α A B O x zVIII. TÓNH HOÏC TÖÔNG ÑOÁI 1.Nöôùc trong xe chaïy tôùi tröôùc nhanh daàn ñeàu: •Phaân boá aùp suaát: 0dp ρ 1)dzFdyFdxF( zyx =−++ vôùi Fx=-a; Fy=0; Fz=-g Suy ra: Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng: * aABABB B A A hpphayhppgzpgzp γ+=γ+=⇒+ρ=+ρ •P.tr Maët ñaúng aùp: Cx g azCgzax)gdzadx( +−=⇒=+⇒=−− 0 Cpgzaxdp)gdzadx( =ρ++⇒=ρ−−− 0 1 2.Nöôùc trong bình truï quay ñeàu quanh truïc thaúng ñöùng: ω2r HH/2 H/2 O z r g ω A B ÔÛ ñaây: Fx=ω2x; Fy=ω2y; Fz=-g. Suy ra: C g2 rω γ pz0dp ρ 1)gdzydyωxdxω( 22 22 =−+⇒=−−+ Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng: * aABAB 2 B 2 B B 2 A 2 A A hγpphayhγppg2 rω γ pz g2 rω γ pz +=+=⇒−+=−+ •P.tr Maët ñaúng aùp: C g rzC g rz)gdzydyxdx( +ω=⇒=ω−⇒=−ω+ω 22 0 2222 22 •Phaân boá aùp suaát: PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 21 W ρrWg ρlWg ρrWω2 r ρlWω2r Fr Fl ρr >ρl : chìm ra ρr <ρl : noåi vaøo Nguyeân lyù laéng ly taâm : IX. ÖÙNG DUÏNG TÓNH TÖÔNG ÑOÁI ¾Haït daàu quay cuøng trong nöôùc seõ noåi leân maët thoaùng vaø ôû taâm bình truï. ¾Haït caùt quay cuøng trong nöôùc seõ chìm xuoáng vaø ôû meùp daùy bình truï. Ví duï 21: Moät thuøng hình truï hôû cao H = 1,2 m chöùa nöôùc ôû ñoä saâu ho=1m vaø di chuyeån ngang theo phöông x vôùi gia toác a = 4m/s2. Bieát bình coù ñöôøng kính D = 2m. Tính aùp löïc cuûa nöôùc taùc duïng leân ñaùy bình trong luùc di chuyeån vôùi gia toác treân Giaûi x g az −= Choïn goác toaï ñoä laø giao ñieåm cuûa truïc bình vaø maët thoaùng , p.tr maët thoaùng: Taïi x=-D/2: m2.012.1hHm407.0181.9 4z 02/D =−=−>==− Vaäy khi bình chuyeån ñoäng nöôùc traøn ra ngoaøi. Sau khi traøn ra xong, maët thoaùng nöôùc phaûi vöøa chaïm meùp sau bình. Giaû söû luùc aáy bình döøng laïi, thì möïc nöôùc trong bình coøn laïi laø h1. Ta coù: m793.0407.02.1 2 hΔHhm407.01 81.9 4z 2 hΔ 12/D =−=−=⇒=== − Suy ra löïc taùc duïng leân ñaùy bình luùc aáy laø: KN 24.42 4 D πhγF 2 1 == h1 D x HΔh Δh/ 2 O PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 22 Quả bóng không trọng lượng được buộc trong thùng kín đầy nước. Thùng chuyển động tới nhanh dần đều với gia tốc a. Quả bóng sẽ chuyển động như thế nào? Và ở vị trí nào thì đạt được giá trị cân bằng. Lực căng T tác động lên sợi dây Ví duï 22: Do thùng chuyển động nhanh dần đều, áp suất tác dụng lên các điểm ở nửa mặt trước quả bóng nhỏ hơn nửa mặt sau (xem lại lý thuyết thùng nước chuyển động tới nhanh dần đều trong tĩnh tương đối). Như vậy bóng sẽ chuyển động về phía trước Khi sợi dây đạt tới vị trí nghiêng một góc α với phương ngang như hình vẽ thì bong bóng sẽ cân bằng với góc α được tính như sau: cotgα = g/a Giá trị lực căng T sẽ tìm được trên cơ sở cân bằng lực trên phương của lực căng T (phương của g*) α a g a g* HƯỚNG DẪN: ĐS: Ví duï 23: Một bình bên trái đựng nước, bên phải kín khí với áp suất dư p0. Trên vách ngăn giữa hai bên có một van hình vuông nằm ngang, có thể quay quanh trục nằm ngang qua A, cạnh b=0,2m. Khoảng cách thẳng đứng từ trọng tâm van tới bề mặt nước của ngăn bên trái là hC=1m. Toàn bộ bình được đặt trong thang máy chuyển động lên nhanh dần đều với gia tốc a=2m/s2. Nếu áp suất bên trên mặt nước của ngăn trái là pck=2 m nước thì để van ở trạng thái cân bằng như hình vẽ, áp suất p0 phải là bao nhiêu? 393.9298480.042-1962-0.210.2 Fn, Npc, N/m2A, m2a, m/s2Pdu, N/m2pdu, m nươchc, mb, m Hdẫn: n CF p A= ( )C du Cp p g a hρ= + + 0 0 0 0 ( )( ) ( ) 2 / 2 n n b AD F FAD F F F p b A = → = → = a A p0pck B hC Fn F0D 2 3 A B A B p p bAD b p p ⎛ ⎞+= − ⎜ ⎟+⎝ ⎠ 10241.67409.66670.1039971102986671.10.9 p0, N/m2F0, NAD, mpB, N/m2pA, N/m2hB, mhA, m PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 23 Ví duï 24: Xe chôû nöôùc daøi 3m, cao 2m. Nöôùc trong bình luùc xe ñöùng yeân laø 1,5m. Xe ñang chuyeån ñoäng ñeàu treân maët phaúng ngang ñeán moät doác nghieâng leân 300. a) Hoûi neáu xe vaån chuyeån ñoäng ñeàu thì nöôùc coù traøn ra khoâng? b) Ñeå nöôùc khoâng traøn ra thì xe phaûi chaïy chaäm daàn ñeàu vôùi gia toác a=bao nhieâu? c) Tính aùp löïc taùc duïng leân thaønh tröôùc vaø sau xe khi xe chuyeån ñoäng chaäm daàn ñeàu nhö caâu b. Cho beà roäng xe b=1mHdẫn: Nhaän xeùt thaáy khi xe ñöùng yeân treân doác thì nöôùc ñaõ traøn ra roài (tính ra Δh=1,5*tg(300)=0,866m>0,5m). Neân ñeå nöôùc khoâng traøn ra ngoaøi thì xe phaûi chaïy chaäm daàn ñeàu vôùi giai toác a. Ta choïn heä truïc xoz nhö hình veõ vaø phaân tích löïc khoái cuûa phaàn töû löu chaát, vaø chieáu leân phöông x, z(xem hình veõ). gcos 30 0 300 z x A(1,5; -0,5) B(-1,5 ;0,5) g Ñöôøng naèm ng ang o 2m 1m a -gsin 30 0 300 2m 3m 1,5m Δh 0 0 0 01( sin30 ) cos30 ( sin30 ) cos30pa g dx g dz dp a g x g z Cρ ρ− − = ⇔ = − − + 0 0 0 0 sin30( sin30 ) cos30 0 cos30 a ga g dx g dz z x C g −− − = ⇔ = + Ñeå nöôùc khoâng traøn ra ngoaøi neân maët thoaùng phaûi ñi qua B(-1,5; 0,5) vaø A(1,5; -0,5), theá vaøo ptr maët ñ. aùp. Suy ra gia toác a=2,07m/s2 Ptr phaân boá aùp suaát: Ptr maët ñaúng aùp: Töø ptr phaân boá aùp suaát nhaän xeùt thaáy treân thaønh xe sau hoaëc tröôùc, aùp suaát cuûa moät ñieåm baát kyø ñöôïc tính theo aùp suaát cuûa ñieåm treân maët thoaùng nhö sau: 0 0 0cos30 cos30 cos30 ( )B B p pg z g z p z zγρ ρ+ = + ⇒ = − Suy ra löïc taùc duïng leân thaønh sau, tröôùc laø: 22 0 0 0 2cos30 cos30 2s F hbdh bγ γ= =∫ 21 0 0 0 1cos30 cos30 2tr F hbdh bγ γ= =∫ Ví duï 25: Moät bình truï D=100mm chöùa nöôùc quay troøn quanh truïc thaúng ñöùng qua taâm. Khi möïc chaát loûng giöõa bình haï thaàp xuoáng 200mm (so vôùi luùc tónh) thì bình quay vôùi vaän toác bao nhieâu? Neáu quay bình vôùi n=800v.ph maø khoâng muoán ñaùy bò caïn thì chieàu cao toái thieåu cuûa bình phaûi baèng bao nhieâu? Giaûi ω2r H0.2 m0.2 mO z r g ω A B Phöông trình maët thoaùng: g2 RωH g2 rωz 2222 =⇒= Khi möïc nöôùc giöõa bình haï xuoáng 0,2m thì H=0,4m. Suy ra: ph/vong53556.03s )05.0( 81.9*2*4.0 ω 81.9*2 )05.0(ω4.0 1-2 22 ===⇒= Neáu quay bình vôùi n=800v/ph =83,76 s-1 maø khoâng muoán ñaùy bò caïn thì : 0.896m 81.9*2 )05.0()76.83(H 22 == Vaây chieàu cao toái thieåu cuûa bình phaûi laø 0.896 m PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 24 Ví duï 26: Moät heä thoáng goàm 3 oáng nghieäm thaúng ñöùng baèng vaø thoâng nhau quay quanh Oz qua oáng giöõa nhö hình veõ. Vaän toác quay n=116 voøng/ph. Boû qua ñoä nghieâng maët nöôùc trong oáng. Tìm pC, pO, pB trong hai tröôøng hôïp nuùt kín vaø khoâng nuùt C, C’, Giaûi: Neáu nuùt kín C,C’ thì khi quay, nöôùc khoâng di chuyeån, nhöng aùp suaát taïi C vaø C’ seõ taêng leân. Phöông trình maët ñaúng aùp – aùp suaát pC (choïn goác toaï ñoä taïi ñaùy parabol): m 0.30 81.9*2 2.0*12.15h g2 rωz 2222 ==⇒= Nhö vaäy aùp suaát dö taïi C vaø C’ baèng nhau vaø baèng: 2951N/m 0.30*9810hγpp 2du'C du C ==== N/m 6875)3.04.0(*γp 3924N/m 0.40*98104.0*γp 2du B 2du D =+=⇒ ===⇒ AC’ C ω D B r=0.2m r=0.2m O h 40cm Neáu khoâng nuùt C,C’ thì khi quay, nöôùc taïi A seõ haï thaáp xuoáng h, vaø nöôùc taïi C vaø C’ seõ daâng leân h/2. Phöông trình maët ñaúng aùp – aùp suaát khí trôøi (choïn goác toaï ñoä taïi ñaùy parabol): r=0.2m r=0.2m AC’ C ω D B O h h/2 0.2mh m 0.30 81.9*2 2.0*12.15h 2 3 g2 rωz 2222 =⇒==⇒= 2 ' / 2 9810*0.10 981N/m du du C Cp p hγ⇒ = = = = N/m 4905)1.04.0(*γp 1967.5N/m 0.2*9810)2.04.0(*γp 2du B 2du D =+=⇒ ==−=⇒ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THUY TINH 25 A H Một hệ thống gồm bình trụ hở bán kính R chứa nước cao so với đáy là H. Cho bình quay đều quanh trục thẳng đứng qua tâm vừa đủ để nước không tràn ra. Sau đó đặt toàn bộ hệ thống quay này trong thang máy chuyển động lên nhanh dần đều với gia tốc a. Cho biết : R=0,4m; H=1,2m; a=2m/s2 a) Gọi A là điểm ở đáy parabol mặt thoáng nước. So với khi chưa đặt hệ thống vào thang máy, thì vị trí của A như thế nào? b) Lực tác dụng lên đáy bình khi bình trong thang máy? Ví duï 27: Khi thùng chuyển động lên nhanh dần đều, nếu chọn gốc tọa độ tại đáy của mặt thoáng thì phương trình mặt thoáng trở thành: Vậy paraboloit mặt thoáng trở nên cạn hơn, nên nước sẽ không tràn ra ngoài, điểm A sẽ di chuyển lên trên 2 2 2 ( ) rz g a ω= + H dẫn: Câu 14: Một bình hình trụ bán kính R=0,6m, chiều cao là H=0,7m; đựng nước đến độ cao h = 0,4m. Bình quay tròn với vận tốc N (vòng / phút) được treo trong thang máy chuyển động lên chậm dần đều với gia tốc không đổi là a = 1,5 m/s2. Xác định N tối đa để nước không tràn ra ngoài. ĐS: 54,61 vòng/phút Ví dụ 28 Ví duï 29: Moät bình hình hoäp kín (cao b, ñaùy vuoâng caïnh a) chöùa nöôùc ñaày nöôùc quay troøn quanh truïc thaúng ñöùng qua taâm. Bieát taïi A- taâm ñaùy treân cuûa bình laø aùp suaát khí trôøi. Tính löïc taùc duïng leân maët beân cuûa bình Giaûi b g2 rω*h 22 =Ta coù: dAx x y 0 ry a/2 a A h* Maët ñaúng aùp - pa C Löïc taùc duïng leân vi phaân dAx baèng: bdy g2 ) 4 ay(ω 2 b γdApdF 2 22