Giáo trình Cơ kỹ thuật (Trình độ Cao đẳng)

ThS. Ngô Thị Kim Uyển KS. Lê Đức Thông i TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Giáo trình “Cơ kỹ thuật” dùng làm tài liệu học tập hoặc giảng dạy được biên soạn dựa trên cơ sở chương trình môn học. Nguồn thông tin có thể được phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo. Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm. ii LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình “CƠ KỸ THUẬT” được biên soạn theo chương trình môn học Cơ kỹ thuật, tài liệu dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên chuyên ngành Công nghệ Kỹ thuật ôtô. Ngoài ra còn có thể làm tài liệu tham khảo cho các chuyên viên và học viên ngành cơ khí. Nội dung của giáo trình được biên soạn với những kiến thức cơ bản nhất về cơ kỹ thuật. Trên cơ sở mục tiêu môn học khi biên soạn nhóm tác giả đã cố gắng trình bày nội dung giáo trình một cách ngắn gọn, dễ hiểu, cuối mỗi chương là tập hợp các câu hỏi và bài tập giúp người học kiểm tra lại kiến thức đã trình bày trong chương đó. Nhóm tác giả mong rằng với giáo trình này, sinh viên sẽ hiểu được những điều cơ bản nhất của môn Cơ kỹ thuật, làm kiến thức nền tảng để học tốt các môn chuyên ngành. Giáo trình Cơ kỹ thuật chia làm 2 chương chính: Chương 1: Cơ học lý thuyết - Tĩnh học. Căn cứ vào chương trình, nội dung chia ra thành các phần: Tĩnh học nghiên cứu các quy luật cân bằng của vật thể dưới tác dụng của lực. Động học chỉ nghiên cứu các quy luật chuyển động của vật thể đơn thuần về mặt hình học. Động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động của vật thể dưới tác dụng của lực. Chương 2: Sức bền vật liệu. Trình bày đầy đủ các khái niệm cơ bản về nội lực, ứng suất và các giả thuyết về vật liệu. Tính toán được nội lực của vật liệu bằng phương pháp sử dụng mặt cắt. Ứng dụng kiến thức đã học vào việc tính toán điều kiện bền của kết cấu trong các trường hợp chịu lực cụ thể. Trong quá trình biên soạn giáo trình, nhóm tác giả xin chân thành cám ơn đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp chân thành và vô cùng qu báu của các đồng nghiệp và các chuyên gia trong và ngoài trường. iii Giáo trình biên soạn không tránh khỏi một số sai sót nhất định. Chúng tôi rất mong tiếp tục nhận được nhiều ý kiến đóng góp của qu đồng nghiệp và đọc giả để giáo trình được b sung, chỉnh sửa ngày một hoàn thiện hơn. Nhóm tác giả iv MỤC TIÊU MÔN HỌC Giáo trình “Cơ kỹ thuật” được biên soạn trên cơ sở chương trình chương trình môn học Cơ kỹ thuật được xây dựng theo Thông tư số: 03/2017/TT- BLĐTBXH ngày 01/03/2017 của Bộ trưởng Bộ Lao động – Thương binh và Xã hội của nhà trường đã được phê duyệt, nội dung giáo trình bám sát được chương trình đào tạo. Phần cơ học giúp cho sinh viên nghiên cứu các quy luật cân bằng và chuyển động của vật thể dưới tác dụng của lực, phần sức bền vận liệu trang bị kiến thức cơ bản cho việc tính bền của các kết cấu thường dùng trong cơ khí. Cơ kỹ thuật là môn học làm nền tảng cho các môn học kỹ thuật cơ sở và kỹ thuật chuyên ngành. Ngoài ra, giáo trình được biên soạn dựa vào điều kiện với các mô hình, thiết bị được trang bị cho xưởng thực tập của khoa, phù hợp với điều kiện nghiên cứu của sinh viên. Giáo trình sau khi biên soạn, được hội đồng nghiên cứu khoa học công nhận sẽ dùng làm tài liệu giảng dạy và học tập cho sinh viên chuyên ngành Công nghệ kỹ thuật ôtô. Tuy nhiên, giáo trình cũng có thể làm tài liệu nghiên cứu cho sinh viên các chuyên ngành kỹ thuật khác, làm tài liệu tham khảo cho kỹ thuật viên làm việc trong lĩnh vực kỹ thuật cơ khí. v MỤC LỤC Chƣơng 1: CƠ HỌC LÝ THUYẾT - TĨNH HỌC ............................................................... 1 Bài 1. CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC....................................................................................... 2 1.1. Các khái niệm cơ bản .................................................................................................. 2 1.1.1. Vật rắn tuyệt đối ........................................................................................... 2 1.1.2. Lực ................................................................................................................ 2 1.1.3. Một số định nghĩa ......................................................................................... 4 1.2. Các tiên đề tĩnh học ..................................................................................................... 6 1.2.1. Tiên đề 1: (tiên đề về sự cân bằng hai lực) ................................................... 6 1.2.2. Tiên đề 2: (tiên đề về sự thêm bớt hai lực cân bằng) .................................... 6 1.2.3. Tiên đề 3: (tiên đề về hình bình hành lực) .................................................... 6 1.2.4. Tiên đề 4: (tiên đề lực tác dụng và phản lực tác dụng) ................................. 6 1.2.5. Tiên đề 5: (tiên đề hoá rắn) ........................................................................... 7 1.2.6. Tiên đề 6: (tiên đề giải phóng liên kết) ......................................................... 7 1.3. Liên kết và phản lực liên kết ...................................................................................... 7 1.3.1. Liên kết và phản lực liên kết ......................................................................... 8 1.3.2. Các liên kết cơ bản ........................................................................................ 8 1.3.3. Nhận định về hệ lực tác dụng lên vật rắn ................................................... 10 Bài 2. HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY VÀ HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG ................. 15 2.1. Hệ lực phẳng đồng quy ............................................................................................. 15 2.1.1. Định nghĩa ................................................................................................... 15 2.1.2. Hợp lực của hai lực đồng quy ..................................................................... 15 2.2. Phân tích một lực thành hai lực đồng quy .............................................................. 17 2.2.1. Khi biết phương của hai lực ........................................................................ 17 2.2.2. Khi biết phương, chiều và trị số của một lực .............................................. 19 2.3. Hợp lực của một hệ lực phẳng đồng quy ................................................................ 19 2.3.1. Phương pháp đa giác lực ............................................................................. 19 2.3.2. Phương pháp chiếu (phương pháp giải tích) ............................................... 20 2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy .................................................... 22 2.4.1. Phương pháp hình học ................................................................................ 22 2.4.2. Phương pháp giải tích ................................................................................. 23 2.4.3. Phương pháp giải bài toán hệ lực phẳng đồng qui ..................................... 24 2.5. Hệ lực phẳng song song ............................................................................................ 27 2.5.1. Hợp lực của hai lực song song cùng chiều ................................................. 27 2.5.2. Hợp lực của hai lực song song ngược chiều ............................................... 30 2.5.3. Hợp hệ lực phẳng song song ....................................................................... 33 Bài 3. MÔMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM – NGẪU LỰC .................................. 43 3.1. Mômen của lực đối với một điểm ............................................................................ 43 3.1.1. Định nghĩa ................................................................................................... 43 3.1.2. Định l về mômen (định l Varinhông) ..................................................... 45 3.2. Ng u lực ...................................................................................................................... 47 3.2.1. Định nghĩa ................................................................................................... 47 3.2.2. Tính chất của ng u lực trên một mặt phẳng ............................................... 48 3.2.3. Hợp hệ ng u lực phẳng - Điều kiện cân bằng của hệ ng u lực phẳng ....... 49 3.2.4. Thu gọn hệ lực phẳng ................................................................................. 50 vi 3.2.5. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ .............................................. 51 3.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song ................................................... 55 Bài 4. MA SÁT .................................................................................................................... 62 4.1. Ma sát trượt ................................................................................................................. 62 4.1.1. Định nghĩa ................................................................................................... 62 4.1.2. Các định luật về ma sát trượt ...................................................................... 62 4.1.3. Góc ma sát .................................................................................................. 63 4.1.4. Điều kiện cân bằng khi có ma sát trượt ...................................................... 64 4.2. Ma sát lăn .................................................................................................................... 66 4.2.1. Định nghĩa ................................................................................................... 66 4.2.2. Các định luật về ma sát lăn ......................................................................... 66 4.2.3. Điều kiện cân bằng ..................................................................................... 67 Bài 5. TRỌNG TÂM – CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH ................................................................ 73 5.1. Trọng tâm .................................................................................................................... 73 5.1.1. Khái niệm về trọng tâm .............................................................................. 73 5.1.2. Tọa độ trọng tâm của hình phẳng ............................................................... 73 5.1.3. Các phương pháp xác định trọng tâm ......................................................... 75 5.2. Cân bằng n định ....................................................................................................... 79 5.2.1. Khái niệm về n định sự cân bằng của vật thể ........................................... 79 5.2.2. Điều kiện cân bằng n định của vật tựa trên mặt phẳng, hệ số n định ..... 81 Bài 6. CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM ................................................................................ 88 6.1. Phương trình chuyển động của điểm ....................................................................... 88 6.1.1. Quĩ đạo của điểm ........................................................................................ 88 6.1.2. Phương trình chuyển động của điểm .......................................................... 88 6.2. Vận tốc chuyển động của điểm ................................................................................ 90 6.2.1. Định nghĩa ................................................................................................... 90 6.2.2. Vận tốc chuyển động cong ......................................................................... 90 6.3. Gia tốc chuyển động của điểm ................................................................................. 92 6.3.1. Định nghĩa ................................................................................................... 92 6.3.2. Gia tốc toàn phần ........................................................................................ 92 6.3.3. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến..................................................... 92 6.4. Những chuyển động thường gặp .............................................................................. 94 6.4.1. Chuyển động thẳng biến đ i đều ................................................................ 94 6.4.2. Chuyển động tròn biến đ i đều ................................................................... 96 6.5. Khảo sát chuyển động của điểm bằng phương pháp tọa độ ................................. 98 6.5.1. Vận tốc ........................................................................................................ 98 6.5.2. Gia tốc ......................................................................................................... 99 Bài 7. CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN ........................................................ 107 7.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn ......................................................................... 107 7.1.1. Định nghĩa ................................................................................................. 107 7.1.2. Tính chất của chuyển động tịnh tiến ......................................................... 108 7.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định ...................................... 108 7.2.1. Định nghĩa ................................................................................................. 108 7.2.2. Vận tốc góc ............................................................................................... 109 7.2.3. Gia tốc góc ................................................................................................ 110 7.2.4. Các chuyển động quay thường gặp ........................................................... 112 7.3. Chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh 1 trục cố định ...................... 114 vii 7.3.1. Quỹ đạo ..................................................................................................... 114 7.3.2. Vận tốc ...................................................................................................... 114 7.3.3. Gia tốc ....................................................................................................... 115 7.4. Chuyển động t ng hợp của điểm ........................................................................... 119 7.4.1. Khái niệm và định nghĩa ........................................................................... 119 7.4.2. Định l hợp vận tốc................................................................................... 120 7.5. Chuyển động song phẳng của vật rắn .................................................................... 123 7.5.1. Khái niệm về chuyển động song phẳng của vật ....................................... 123 7.5.2. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng ph p tịnh tiến và quay .............. 125 7.5.3. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng ph p quay quanh tâm tức thời .. 126 Bài 8. CÔNG VÀ NĂNG LƢỢNG ................................................................................... 139 8.1. Cơ sở động lực học chất điểm ................................................................................ 139 8.1.1. Các tiên đề cơ bản của động lực học ........................................................ 139 8.1.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm.................................... 141 8.1.3. Lực quán tính, nguyên l Đalămbe ........................................................... 145 8.1.4. Cơ sở động lực học hệ chất điểm .............................................................. 148 8.2. Công của lực ............................................................................................................. 153 8.2.1. Công của lực không đ i trên đường thẳng................................................ 153 8.2.2. Định l công của hợp lực .......................................................................... 155 8.2.3. Công của trọng lực .................................................................................... 156 8.2.4. Công trong chuyển động quay .................................................................. 156 8.3. Công suất và hiệu suất ............................................................................................. 159 8.3.1. Khái niệm về công suất ............................................................................. 159 8.3.2. Công suất trong chuyển động thẳng ......................................................... 159 8.3.3. Công suất trong chuyển động quay .......................................................... 159 8.3.4. Khái niệm về hiệu suất ............................................................................. 160 Bài 9. CÁC ĐỊNH L ẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ......................................... 167 9.1. Định lý biến thiên động lượng của chất điểm ...................................................... 167 9.1.1. Động lượng của chất điểm ........................................................................ 167 9.1.2. Xung lượng của lực .................................................................................. 167 9.1.3. Định l biến thiên động lượng .................................................................. 167 9.2. Định lý biến thiên động lượng của hệ chất điểm ................................................. 170 9.2.1. Động lượng của hệ chất điểm ................................................................... 170 9.2.2. Định l biến thiên động lượng của hệ chất điểm ...................................... 170 9.3. Định lý biến thiên động năng của chất điểm ........................................................ 172 9.3.1. Động năng của chất điểm ......................................................................... 172 9.3.2. Định l biến thiên động năng của chất điểm ............................................ 172 9.4. Định lý biến thiên động năng của hệ chất điểm ................................................... 174 9.4.1. Động năng của hệ chất điểm ..................................................................... 174 Chƣơng 2: SỨC BỀN VẬT LIỆU.................................................................................... 168 Bài 10. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỨC BỀN VẬT LIỆU ............................. 180 10.1. Đối tượng và nhiệm vụ của sức bền vật liệu ...................................................... 180 10.1.1. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................. 180 10.1.2. Nhiệm vụ ................................................................................................. 180 10.2. Một số giả thuyết cơ bản về sức bền vật liệu ..................................................... 181 10.2.1. Giả thiết về sự liên tục, đồng tính và đẳng hướng của vật liệu .............. 181 10.2.2. Giả thiết về sự đàn hồi của vật liệu ......................................................... 181 viii 10.2.3. Giả thiết về quan hệ tỉ lệ bậc nhất giữa lực và biến dạng ....................... 182 10.3. Ngoại lực – nội lực phương pháp mặt cắt - ứng suất ........................................ 182 10.3.1. Ngoại lực ................................................................................................. 182 10.3.2. Nội lực .................................................................................................... 183 10.3.3. Phương pháp mặt cắt và ứng suất ........................................................... 186 10.3.4. Biểu đồ nội lực (Bài toán phẳng) ............................................................ 189 Bài 11. KÉO – NÉN ĐÚNG TÂM ................................................................................... 197 11.1. Khái niệm về k o (n n) đúng tâm, lực dọc và biểu đồ lực dọc ....................... 197 11.1.1. Định nghĩa ............................................................................................... 197 11.1.2. Lực dọc và biểu đồ lực dọc ..................................................................... 197 11.2. Ứng suất và biến dạng ........................................................................................... 201 11.2.1. Ứng suất pháp () trên mặt cắt ngang của thanh .................................... 201 11.2.2. Kiểm tra bền của thanh chịu lực ............................................................. 202 11.2.3. Biến dạng ................................................................................................ 203 11.3. Tính toán về k o n n ............................................................................................. 204 11.3.1. Định luật Húc (Hooke) ........................................................................... 204 11.3.2. Tính độ dãn dài tuyệt đối của thanh chịu lực k o Δl .............................. 205 Bài 12. CẮT VÀ DẬP ....................................................................................................... 212 12.1. Cắt ............................................................................................................................ 212 12.1.1. Định nghĩa ............................................................................................... 212 12.1.2. Ứng suất .................................................................................................. 212 12.1.3. Biến dạng ................................................................................................ 213 12.1.4. Định luật Húc .......................................................................................... 213 12.1.5. Tính toán về cắt....................................................................................... 213 12.2. Dập .......................................................................................................................... 214 12.2.1. Định nghĩa ............................................................................................... 214 12.2.2. Ứng suất .................................................................................................. 214 12.2.3. Tính toán về dập ..................................................................................... 215 Bài 13. XOẮN THUẦN TÚY CỦA THANH THẲNG .................................................... 220 13.1. Định nghĩa .............................................................................................................. 220 13.1.1. Quy ước dấu của mômen xoắn nội lực ................................................... 220 13.1.2. Vẽ biểu đồ ............................................................................................... 221 13.2. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn .................................................................... 223 13.3. Công thức ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn thuần túy......224 13.3.1. Ứng suất trên mặt cắt thanh chịu xoắn ................................................... 224 13.3.2. Tính toán về xoắn ................................................................................... 225 Bài 14. UỐN PHẲNG CỦA THANH THẲNG ............................................................... 230 14.1. Các định nghĩa và phân loại ................................................................................. 230 14.1.1. Định nghĩa ............................................................................................... 230 14.1.2. Phân loại ................................................................................................. 230 14.2. Nội lực và biểu độ nội lực .................................................................................... 231 14.2.1. Nội lực – quy ước dấu của nội lực .......................................................... 231 14.2.2. Biểu độ nội lực cho và M .................................................................... 232 14.3. Dầm uốn phẳng thuần túy ..................................................................................... 235 14.3.1. Định nghĩa ............................................................................................... 235 14.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang .......................................................... 235 14.3.3. Biểu thức liên hệ giữa ứng suất pháp với thành phần mômen uốn ........ 238 ix 14.3.4. Vị trí trục trung hòa ................................................................................ 238 14.3.5. Ứng suất k o và n n lớn nhất ................................................................. 239 14.3.6. Tính toán về uốn phẳng thuần túy .......................................................... 240 14.4. Uốn ngang phẳng ................................................................................................... 243 14.4.1. Định nghĩa ............................................................................................... 243 14.4.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang .......................................................... 244 14.4.3. Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang ............................................................ 244 14.4.4. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng ............................................... 245 MỤC LỤC HÌNH Hình 1.1: Biểu diễn lực tác dụng lên vật thể. .................................................................. 3 Hình 1.2: Hai lực trực đối. .............................................................................................. 4 Hình 1.3: Hệ lực tác dụng lên vật thể. ............................................................................ 4 Hình 1.4: Hai hệ lực tương đương. ................................................................................. 5 Hình 1.5: Hệ lực và hợp lực của hệ................................................................................. 5 Hình 1.6: Hợp lực của hai lực theo tiên đề hình bình hành lực. ..................................... 6 Hình 1.7: Lực và phản lực tác dụng. ............................................................................... 7 Hình 1.8: Lực tác dụng và phản lực liên kết tựa. ............................................................ 8 Hình 1.9: Lực tác dụng và phản lực liên kết dây mềm. ................................................... 8 Hình 1.10: Lực tác dụng và phản lực liên kết thanh. ...................................................... 9 Hình 1.11: Phản lực và sơ đồ khớp liên kết bản lề di động. ........................................... 9 Hình 1.12: Phản lực và sơ đồ khớp liên kết bản lề cố định. ......................................... 10 Hình 1.13: Phản lực và sơ đồ liên kết ngàm. ................................................................ 10 Hình 2.1: Hệ lực phẳng đồng quy. ................................................................................ 15 Hình 2.2: Hợp hai lực đồng quy. ................................................................................... 15 Hình . Hợp lực của hai lực đồng quy cùng phương, cùng chiều. ............................ 16 Hình . Hợp lực của hai lực đồng quy cùng phương, ngược chiều. .......................... 16 Hình . Hợp lực của hai lực đồng quy vu ng g c. .................................................... 16 Hình 2.6: Hợp hai lực đồng quy bằng phương pháp tam giác lực. .............................. 17 Hình 2.7: h n t ch một lực thành hai lực hi biết phương của hai lực. ...................... 18 Hình 2.9: h n t ch một lực thành hai lực hi biết phương, chiều một lực. ................. 19 Hình 2.10: Hợp hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp đa giác lực. ..................... 19 Hình 2.11: Chiếu lực lên trục tọa độ. ............................................................................ 21 Hình 2.12: Chiếu lực song song hoặc vu ng g c với trục tọa độ. ................................ 21 Hình 2.16: Hợp hai lực song song cùng chiều. ............................................................. 27 Hình . h n t ch một lực ra hai lực song song cùng chiều .................................... 29 Hình 2.21: Hợp lực của hai lực song song ngược chiều. .............................................. 31 Hình 2.23: h n t ch một lực ra hai lực song song ngược chiều. ................................ 32 Hình 2.25: Hợp hệ lực song song. ................................................................................. 34 Hình 2.26: Tâm của hệ lực song song. .......................................................................... 35 Hình 2.27: Hệ lực ph n bố đều. .................................................................................... 35 Hình 3.1: Cách lấy m men của lực đối với một điểm. .................................................. 43 Hình 3.2: Cách lấy dấu m men. .................................................................................... 43 Hình 3.4: M men hợp lực hệ là hai lực đồng qui. ........................................................ 45 x Hình 3.5: M men hợp lực hệ là hai lực song song. ...................................................... 46 Hình 3.7: Ngẫu lực. ....................................................................................................... 47 Hình 3.8: Ký hiệu chiều quay ngẫu lực. ........................................................................ 48 Hình 3.11: Dời song song một lực. ............................................................................... 50 Hình 3.12: Thu một hệ lực về t m cho trước. ................................................................ 50 Hình 4.1: Lực ma sát trượt. ........................................................................................... 62 Hình 4.2: Góc ma sát. .................................................................................................... 63 Hình 4.4: Điều kiện cân b...iết hình chiếu ⃗ và ⃗ của lực ⃗ ta hoàn toàn xác định được lực ⃗ : √ ( ) (2-5) Phương chiều: Xác định bởi góc . Ta có: (2-6)  Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui: Giả sử cho hệ lực phẳng đồng qui ( ⃗ , ⃗ , , ⃗ ) có hình chiếu tương ứng lên các trục tọa độ vuông góc là: ( ⃗ , ⃗ , , ⃗ ) hình chiếu trên trục Ox. ( ⃗ , ⃗ , , ⃗ ) hình chiếu trên trục Oy. Theo định l về hình chiếu vectơ: “Hình chiếu của vectơ t ng hợp bằng t ng đại số hình chiếu của các vectơ thành phần”. Ta có: ∑ ∑  Về trị số: Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 22 √ √(∑ + (∑ + (2-7)  Về phương, chiều: được xác định bởi góc . ∑ ∑ ∑ ∑ (2-8) 2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng ồng qu 2.4.1. Phƣơng pháp hình học Hợp lực ⃗ có gốc là gốc của lực đầu, có mút trùng với mút của lực cuối. Như vậy, ⃗ đã kh p kín đa giác lực. Vì hợp lực ⃗ kh p kín đa giác lực cho nên để hệ lực phẳng đồng qui được cân bằng hợp lực ⃗ phải có trị số bằng 0 hay thu về một điểm thì đa giác lực phải tự đóng kín. Khi đó trên đa giác lực mút của vectơ lực cuối phải trùng với gốc của vectơ lực đầu. Vậy: “Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng qui được cân bằng là đa giác lực phải tự đóng kín”. Ta sẽ áp dụng kết luận này để giải bài toán vật rắn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng đồng qui. Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 23 Ví dụ 2.2: Tại mút A của giá ABC treo một vật nặng có khối lượng m =20 kg. Xác định phản lực các thanh AB và AC. Biết  = 30o. Hình 2.13 Bài giải X t cân bằng nút A. Các lực tác dụng lên nút A gồm lực cho trước có trị số P = mg = 20  10 = 200 N và các phản lực liên kết ⃗⃗ và ⃗⃗ theo điều kiện cân bằng thì 3 lực này phải tự đóng kín một tam giác lực ta có: √ √ 2.4.2. Phƣơng pháp giải t ch Muốn hệ lực đồng qui tác dụng lên vật rắn được cân bằng thì hợp lực ⃗ phải bằng không. Theo phương pháp giải tích: √ ( ) Trong đó: { ( )   2Y2X2y2x FFRRR Cho nên để R = 0 khi và chỉ khi: và Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 24 Vậy: “Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng qui tác dụng lên vật rắn cân bằng là t ng đại số hình chiếu các lực lên hai trục tọa độ vuông góc đều phải bằng không”. { (2-9) Điều kiện trên chính là hệ phương trình cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy, nó cho phép ta giải bài toán cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy với nhiều lắm là hai yếu tố chưa biết. 2.4.3. Phƣơng pháp giải bài toán hệ lực phẳng ồng qui Vật rắn cân bằng khi hệ lực tác dụng lên nó bao gồm các lực đã cho và phản lực liên kết cân bằng. Khi giải bài toán cân bằng của vật rắn có thể áp dụng phương pháp giải tích hoặc phương pháp hình học nhưng ph biến và có hiệu quả nhất là phương pháp giải tích. Giải bài toán cân bằng của vật thường tiến hành theo các bước sau: 1. Chọn vật khảo sát: Vật khảo sát phải là vật rắn mà sự cân bằng của nó cần thiết cho yêu cầu xác định của bài toán. Nếu như bài toán tìm phản lực liên kết thì vật khảo sát phải là vật chịu tác dụng của phản lực liên kết cần tìm, nếu là bài toán tìm điều kiện cân bằng của vật thì vật khảo sát phải chính là vật đó. 2. Giải phóng vật khảo sát khỏi liên kết và xem đó là vật tự do dưới tác dụng của các lực đã cho và phản lực liên kết. 3. Thiết lập điều kiên cân bằng của vật bởi các phương trình cân bằng của hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các lực cho và phản lực liên kết. 4. Giải hệ phương trình cân bằng để xác định trị số và phương chiều của các phản lực liên kết hoặc thiết lập mối quan hê giữa các lực để đảm bảo điều kiện cân bằng cho vật khảo sát. 5. Nhận xét các kết quả thu được: Cần chú ý rằng chiều của các phản lực thường chưa được xác định vì thế lúc đầu phải tự chọn chiều. Dựa vào kết Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 25 quả giải hệ phương trình cân bằng ta có thể xác định chiều của các phản lực chọn đứng hay sai. Nếu các phản lực liên kết cho trị số dương thì chiều chọn là đứng và nếu trị số âm thì chiều phải đảo lại. Ví dụ 2.3: Ống trụ đồng chất có khối lượng m = 6kg đặt lên máng ABC và vuông góc tại B, mặt BC của máng hợp với mặt phẳng nằm ngang 1 góc 600. Xác định phản lực của máng lên ống trụ ở 2 điểm tiếp xúc D và E. Bài giải Ống trụ cân bằng dưới tác dụng của lực: trọng lực ⃗ của ống trụ, các phản lực ⃗⃗ và ⃗⃗ của máng lên trụ. Ta thấy, ống trụ được cân bằng khi thay thế bởi hệ lực ( ⃗ , ⃗⃗ , ⃗⃗ ) với: P = mg = 6.10 = 60 N Hình 2.14 Chọn hệ trục tọa độ xBy, ta có hệ phương trình cân bằng: Fx = ND – P.Cos30 0 = 0 (1) Fy = NE – P.Sin30 0 = 0 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: √ √ Vậy chiều của phản lực lên ống đúng chiều đã chọn. Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 26 Ví dụ 2.4: Ở đầu A của giá ABC gắn một ròng rọc có bán kính rất nhỏ. Dây mềm vắt qua ròng rọc treo vật nặng có trọng lượng P = 100N và được giữ bằng tời D. Xác định phản lực của các thanh AB và AC khi bỏ qua ma sát ròng rọc, trọng lượng của thanh và dây. Hình 2.15 Ròng rọc A cân bằng dưới tác dụng của lực ⃗ và các phản lực ⃗ , ⃗ , ⃗ . bán kính ròng rọc không đáng kể nên coi ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ , đồng qui tại A. Bỏ qua ma sát ròng rọc nên P = T, chọn hệ trục tọa độ xAy có trục Ay trùng với đường tác dụng của lực ⃗ , ta có phương trình cân bằng: Fx = SCCos45 o – SB + TCos45 o = 0 (1) Fy = SCSin45 o – P – TSin45 o = 0 (2) Thay T = P vào (2) ta có: ( √ , Thay SC vào (1): √ √ Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 27 2.5. Hệ lực phẳng song song 2.5.1. Hợp lực của hai lực song song cùng chiều 2.5.1.1. Định lý “Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực song song cùng chiều với chúng có trị số bằng t ng trị số. Còn điểm đặt chia trong đường nối điểm đặt của hai lực thành hai đoạn tỷ lệ nghịch với trị số của hai lực ấy”. Hình 2.16: Hợp hai lực song song cùng chiều. Chứng minh Giả sử có hai lực song song cùng chiều ⃗ và ⃗ đặt tại 2 điểm A và B của vật, ta phải tìm hợp lực của chúng. Để giải quyết vấn đề này ta thay chúng bằng các lực đồng qui tương ứng. Ta thêm vào 2 điểm A và B hai lực cân bằng nhau ⃗ và ⃗ , ta có: ( ⃗ , ⃗ )  ( ⃗ , ⃗ ⃗ , ⃗ ) Hợp lực ( ⃗ ⃗ ) ta được ⃗ ⃗ + ⃗ và hợp lực ( ⃗ , ⃗ ) ta được ⃗ ⃗ + ⃗ Suy ra: ( ⃗ , ⃗ )  ( ⃗ , ⃗ Ta trượt lực ⃗ và ⃗ về điểm đồng qui O rồi phân chúng ra các thành phần như cũ, các lực ⃗ và ⃗⃗⃗ cân bằng nhau, cho nên ta chỉ hợp các lực ⃗⃗ ⃗ và ⃗⃗⃗ tại O ta được hợp lực ⃗ = ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ mà P’1 = P1 và P’2 = P2. Suy ra: R = F1 + F2 (2-10) Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 28 Trượt R về C nằm trên đường thẳng AB ta xác định được vị trí C. • X t tam giác OAC và tam giác OA’M đồng dạng, ta có: (2-11) • X t tam giác OBC và OB’N đồng dạng ta có: (2-12) • Chia (2-11) cho (2-12) với F1 = F2 ta có: Theo tính chất của tỷ lệ thức, biểu thức trên có thể viết: (2-13) Vậy định l đã được chứng minh • Nhận x t: Hợp lực có điểm đặt ở gần lực có trị số lớn. Ví dụ 2.5: Ở hai đầu thanh AB người ta treo những trọng tải P1= 60KN, P2 = 20KN. Xác định khoảng cách từ A đến C để thanh AB nằm ngang, biết AB = 0,6m. Hình 2.17 Bài giải Để thanh AB nằm ngang thì điểm C phải trùng với điểm đặt hợp lực ⃗ , ta có công thức: R = P1 + P2 = 60 + 20 = 80 KN Và: Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 29 2.5.1.2. Phân t ch một lực ra hai lực song song cùng chiều Giả sử tại điểm C đặt lực ⃗ , cần phân tích ⃗ ra làm hai lực ⃗ và ⃗ song song cùng chiều. Ta có các trường hợp: Hình 2.18 h n t ch một lực ra hai lực song song cùng chiều a) Biết trị s một thành phần ⃗ và iểm ặt A. Trị s và iểm ặt của ⃗ ƣợc xác ịnh từ biểu thức: Trị số: R = P1 + P2  P2 = R – P1 Điểm đặt: Ví dụ 2.6: Dầm AB dài 7m treo vật nặng có trọng lực P = 14 KN. Hỏi phải treo vật cách gối A bao nhiêu để áp lực tác dụng lên gối A có trị số NA = 5 KN. Hình 2.19 Bài giải Nếu áp lực lên gối A là 5 KN thì áp lực lên gối B có trị số là: NB = P – NA = 14 – 5 = 9 KN ( ⃗ là hợp lực hai gối đỡ ⃗⃗ A và ⃗⃗ B) Ta có công thức: Vậy cần treo vật cách gối A một đoạn 4,5m b) Biết iểm ặt của hai lực thành phần, tức là biết khoảng cách AC và CB. Theo định lý hợp hai lực song song cùng chiều: Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 30 Trị số của ⃗ và ⃗ là: Ví dụ 2.7: Ôtô tải trọng 50.000N đỗ trên cầu cách đầu A của cầu 4m, cách đầu B 6m. Xác định những lực tác dụng vào gối A và B của cầu. Hình 2.20 Bài giải Biểu diễn tải trọng bằng vectơ ⃗ rồi phân tích ⃗ ra làm hai lực song song ⃗ và ⃗ , ta có: 2.5.2. Hợp lực của hai lực song song ngƣợc chiều 2.5.2.1. Định lý Hợp hai lực song song ngược chiều (không cùng trị số) là một lực song song cùng chiều với lực có trị số lớn, có trị số bằng hiệu của hai lực đã cho có điểm đặt chia ngoài đường nối điểm đặt hai lực đã cho thành hai đoạn tỷ lệ nghịch với trị số của hai lực ấy. Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 31 Hình 2.21: Hợp lực của hai lực song song ngược chiều. Chứng minh Giả sử có hai lực song song ngược chiều ⃗ và ⃗ với ⃗ > ⃗ đặt ở A và B ta phải xác định hợp lực của hai lực đó. Để xác định hợp lực ta có thực hiện tương tự như hợp hai lực song song cùng chiều. Ta phân ⃗ ra các thành phần ⃗⃗⃗ (trực đối với ⃗ ) và ⃗ . Như vậy, theo tiên đề 2, hệ lực ( ⃗ , ⃗ )  ( ⃗ , ⃗⃗⃗ , ⃗ )  ⃗ . Vậy ⃗ chính là hợp lực của hệ lực ( ⃗ , ⃗ ). Xác định trị số và điểm đặt của ⃗ : Ta có: F1 = R + F’2 = R + F2 Suy ra: R = F1 – F2 (2-14) Điểm đặt: theo định l hợp lực song song cùng chiều, ta có: (2-15) Theo tính chất của tỉ lệ thức: (2-16) Công thức còn có thể viết dưới dạng khác: (2-17) Định l đã được chứng minh. Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 32 Ví dụ 2.8: Hai lực ⃗ và ⃗ có P1 = 60 KN, P2 = 40 KN với AB = 0,4m. Xác định hợp lực của hai lực ấy. Hình 2.22 Bài giải Áp dụng công thức (2-14): R = P1 – P2 = 60 – 40 = 20 KN Theo công thức (2-10) 2.5.2.2. Phân t ch một lực ra hai lực song song ngƣợc chiều Giả sử có lực ⃗ đặt tại điểm C, cần phân tích ⃗ ra làm hai lực ⃗ và ⃗ song song ngược chiều. Ta có các trường hợp: Hình 2.23: h n t ch một lực ra hai lực song song ngược chiều. a) Biết trị s một thành phần ⃗ và iểm ặt A. Trị s và iểm ặt của ⃗ ƣợc xác ịnh theo biểu thức: Trị số: R = P1 – P2  P2 = P1 – R Điểm đặt: b) Biết iểm ặt của hai lực thành phần, tức là biết khoảng cách CA và CB. Theo định lý hợp hai lực song song ngược chiều: Trị số của ⃗ và ⃗ là: Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 33 Ví dụ 2.9: Có lực R = 100N, cần phân tích ⃗ ra các thành phần ⃗ và ⃗ đặt tại A và B. Biết CA = 20cm, CB = 70cm, trong đó C là điểm đặt của ⃗ . Hình 2.24 Bài giải Trị số của các lực thành phần ⃗ và ⃗ : 2.5.3. Hợp hệ lực phẳng song song 2.5.3.1. Hợp nhiều lực song song Giả sử có hệ lực phẳng song song ( ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) bằng cách hợp dần hai lực một, trừ trường hợp hệ thu về hai lực song song ngược chiều có trị số bằng nhau nhưng không cùng đường tác dụng, còn lại hệ luôn có hợp lực. Hợp lực đó có thể xác định như sau: Để xác định hợp lực, ta dùng phương pháp cộng liên tiếp. Trước tiên hợp lực ⃗ và ⃗ ta được hợp lực ⃗ đặt tại C1. Sau đó hợp lực ⃗ và ⃗ ta có hợp lực ⃗ đặt tại C2 có trị số R2 = P1 + P2 + P3. Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 34 Hình 2.25: Hợp hệ lực song song. Tiếp tục ta hợp lực ⃗ và ⃗ ta có hợp lực ⃗ đặt tại C3 và có trị số R3 = P4 + P5. Cuối cùng ta hợp hai lực ⃗ và ⃗ theo qui tắc hợp hai lực song song ngược chiều ta có hợp lực ⃗ của cả hệ lực song song đặt tại điểm C có trị số: R = P1 + P2 + P3+ P4 + P5 Phương pháp xác định hợp lực đó có thể dùng với một số bất kỳ các lực song song. Ta có kết luận: “ Hợp lực của hệ lực song song có trị số bằng t ng đại số các lực thành phần” Về phương chiều: Nếu R1 > R2 thì hợp lực song song cùng chiều với các lực ⃗ , ngược lại nếu R1 < R2 thì hợp lực song song cùng chiều với lực ⃗ . Về điểm đặt: Điểm đặt được xác định dần bằng cách xác định điểm đặt hợp lực của hai lực một. Như vậy, nếu hệ có n lực thì phải thực hiện (n – 1) phép hợp hai lực để xác định được điểm đặt C1, C2, ., cuối cùng mới xác định được điểm đặt C của hợp lực. 2.5.3.2. Tâm của hệ lực song song Nếu ta v n giữ nguyên điểm đặt và trị số các lực nhưng đ i phương của chúng bằng cách quay hệ lực cùng một góc quanh các điểm đặt của chúng theo cùng một chiều. Khi đó hợp lực ⃗ cũng đ i phương và song song với các lực mới, mặt khác vì vị trí điểm đặt của các lực không đ i, nên điểm đặt C của hợp lực ⃗ khi đã đ i phương v n không đ i. Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 35 Hình 2.26: Tâm của hệ lực song song. Như vậy, khi có một hệ lực song song, dù quay hệ lực như thế nào hợp lực của hệ lực v n có đường tác dụng đi qua một điểm C cố định. Điểm C được gọi là tâm của hệ lực song song. Xác định tâm của hệ lực song song chính là xác định điểm đặt của hợp lực của hệ lực đã cho. 2.5.3.3. Hệ lực phân b ều Hệ lực phân bố đều tương đương với một lực t ng hợp có trị số bằng tích trị số của lực phân bố (q) và khoảng phân bố (a), còn điểm đặt nằm tại điểm giữa của khoảng cách phân bố. Q = q  a (2-18) Hình 2.27: Hệ lực ph n bố đều. Ví dụ 2.10: Hệ lực phẳng đồng quy tại O gồm các lực có trị số: F1 = 100N, F2 = 80N, F3 = 50N, F1 = 90N.  Xác định hợp lực của hệ.  Đặt thêm vào điểm đồng quy một lực ⃗⃗⃗⃗ như thế nào để hệ lực ( ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) cân bằng? Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 36 Hình 2.28 Bài giải Chọn hệ trục xOy như hình 2.29. Chiếu các lực lên hệ trục, ta có: Hình 2.29 X = F2.cos30 o + F3.cos20 o – F4.cos70 o = 80. √ + 50.0,9397 – 90.0,342 = 69,28 + 49,99 – 30,78 = 85,49N Y = F1 + F2.sin30 o – F3.sin20 o – F4.sin70 o = 100 + 80. – 50.0,312 – 90.0,9397 = 100 + 40 – 17,1 – 84,57 = 38,33N Trị số của hợp lực ⃗ : √ √ √ Phương, chiều hợp lực ⃗ : Vậy ⃗ nằm ở góc tư thứ nhất, hợp với Ox góc   24o9’ Để hệ lực ( ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) cân bằng phải đặt thêm vào điểm O lực ⃗ cùng phương ngược chiều với ⃗ có trị số F5 = 93,69N. Hình 2.30 Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 37 Ví dụ 2.11: Vật có khối lượng m = 2000kg treo bằng dây vắt qua ròng rọc A có bán kính không đáng kể và nối với trục kéo D, các góc trên hình 2.31. Xác định phản lực của thanh AB và AC. Hình 2.31 Bài giải Ròng rọc A cân bằng dưới tác dụng của lực ⃗ và các phản lực ⃗ , ⃗ , ⃗ . Bán kính ròng rọc không đáng kể nên coi ⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗ , đồng qui tại A. Bỏ qua ma sát ròng rọc nên P = T, chọn hệ trục tọa độ xAy có trục Ay trùng với đường tác dụng của lực ⃗ , ta có phương trình cân bằng: Fx = SC.Cos60 o – SB + T.Cos60 o = 0 (1) Fy = SC.Sin60 o – P – T.Sin60 o = 0 (2) Thay T = P vào (2) ta có: ( √ ) Thay SC vào (1): Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 38 Ví dụ 2.12: Quả cầu có khối lượng 1kg, tựa trên mặt nghiêng nhẵn tại điểm B và treo bằng dây mềm AC (Hình a). Hãy xác định áp lực của quả cầu lên mặt nghiêng và sức căng dây AC. Biết AC song song với mặt nghiêng. Hình 2.32 Bài giải Quả cầu cân bằng dưới tác dụng của 3 lực: Trọng lực ⃗ phương, chiều hướng về tâm trái đất, có trị số P = mg  10.10 = 100N. Áp lực của quả cầu lên mặt nghiêng bằng phản lực ⃗⃗ của mặt nghiêng tác dụng lên quả cầu, điểm đặt tại B và vuông góc với mặt nghiêng. Lực căng ⃗ của dây có phương theo dây. Ba lực này đồng quy tại tâm O của quả cầu (Hình b). Đây là hệ lực phẳng đồng quy, chọn hệ trục như hình vẽ. Áp dụng điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy, ta có hai phương trình cân bằng: X = N – P.cos30o = 0  N = P. cos30o = 100. √ = 86,6N Y = T – P.sin30o = 0  T = P. sin30o = 100. = 50N Ví dụ 2.13: Ở hai đầu A và B của thanh AB dài 150cm, đặt các lực trị số F1 = 50N và F2 = 50N. Hình 2.33  Xác định hợp lực của hệ.  Phải đặt thêm và thanh AB một lực như thế nào để hệ ( ⃗ ⃗ , ⃗ ) cân bằng? Bài giải Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 39  Hệ ( ⃗ ⃗ ) có hợp lực đặt tại C song song cùng chiều với các lực ⃗ ⃗ và có trị số: R = 50 + 100 = 150N Vị trí điểm C: CA = AB. = 100cm Hình 2.34  Muốn hệ lực ( ⃗ ⃗ , ⃗ ) cân bằng ta phải đặt thêm vào điểm C lực ⃗ cùng phương, ngược chiều với R có trị số F3 = 150N. CÂU HỎI ÔN TẬP BÀI 2 1. Định nghĩa hệ lực phẳng đồng qui. 2. Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp hình học (đa giác lực). 3. Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp giải tích. 4. Phát biểu các định lý về hệ lực phẳng song song cùng chiều. 5. Phát biểu các định lý về hệ lực phẳng song song ngược chiều. BÀI TẬP 2-1. Quả cầu có trọng lượng P = 200N, tựa trên mặt nghiêng nhẵn tại điểm A và treo bằng dây mềm BC (hình 2.35). Xác định phản lực của mặt nghiêng quả cầu lên và phản lực dây BC. ĐS: N = T = √ N. Hình 2.35 Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 40 2-2. Tại điểm A của một giá gồm thanh AB và AC người treo vật nặng trọng lượng P = 1000N, góc của các thanh có trên hình 2.36. Xác định phản lực của các thanh. Hình 2.36 ĐS: SB = 731,9N; SC = 896,3N. 2-3. 1-1. Lực P = 25kN tác dụng lên piston A. Thanh truyền AB làm với phương nằm ngang l góc 14o (hình 2.37). Xác định áp lực của piston lên xylanh và lực tác dụng dọc theo thanh truyền. Bỏ qua trọng lượng của piston và thanh truyền. Đs: ⃗⃗ = 6,4kN; ⃗ = 25,8kN. Hình 2.37 2-4. Đèn trọng lượng 80N được gắn vào giữa điểm B của dây cáp ABC. Hai đầu dây gắn vào móc A và C trên mặt phẳng ngang (hình 2.38); độ dài dây ABC là 16m, độ lệch của điểm treo đèn với mặt ngang là BD = 0,1m. Xác định lực kéo ⃗ và ⃗ lên phần AB và BC của dây. Hình 2.38 ĐS: TA = TB = 3200N 2-5. Ở đầu A của giá ABC treo vật nặng trọng lượng P = 300N (hình 2.39).  Xác định phản lực của các thanh AB và AC khi bỏ qua trọng lượng của thanh.  Nhận xét xem trong hai thanh AB và AC thanh nào có Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 41 thể thay bằng dây mềm? ĐS: SAC = 200√ N; SAB = 100√ N; Thanh AB. Hình 2.39 2-6. Vật nặng có trọng lượng P = 2kN được giữ bởi trục tời D có dây vắt qua ròng rọc A, các góc như hình 2.40. Xác định phản lực của các thanh AB và AC. Bỏ qua ma sát của ròng rọc, trọng lượng thanh và dây. Hình 2.40 ĐS: SAB = 0; SAC = 34,6 N 2-7. Thanh đồng chất AB dài 100cm trọng lượng P = 100N. Ở điểm C trên thanh treo vật có trọng lượng G = 200N (hình 2.41). Xác định sức căng của dây AE và BF. Biết AC = 40cm; BC = 10cm. Hình 2.41 ĐS: TAE = 170N; TBF = 130N Bài 2. Hệ lực phẳng đồng quy và hệ lực phẳng song song Cơ kỹ thuật 42 2-8. Cầu trục trọng lượng P = 60kN chạy trên hai ray A và B có khoảng cách AB = 5m. Xe tời có trọng lượng P1 = 40kN chạy trên cầu trục (hình 2.42). Xác định áp lực của cầu trục lên ray cho hai vị trí sau: - Xe tời ở giữa cầu trục. - Xe tời cách ray A 1m. ĐS: - PA = PB = 50kN - PA = 62kN; PB = 38kN Hình 2.42 2-9. Dầm AB có chiều dài 10m, hai tải trọng P1 = 30kN; P2 = 70kN cách nhau 4m di động trên dầm (hình 2.43). Tính khoảng cách x từ gối A đến tải trọng P2 trong các trường hợp để: - Áp lực lên hai gối A và B có trị số bằng nhau. - Áp lực lên hai gối B có trị số lớn nhất. Hình 2.43 ĐS: x = 3,8m; x = 6m. Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 43 Bài 3. MÔMEN CỦA LỰC ĐỐI VỚI MỘT ĐIỂM – NGẪU LỰC 3.1. Mômen của lực i với một iểm 3.1.1. Định nghĩa Mômen của một lực ⃗ đối với tâm O là tích số giữa trị số của lực và cánh tay đòn của lực đối với điểm đó. Hình 3.1: Cách lấy mômen của lực đối với một điểm. ̅ ( ⃗ ) (3-1) F: trị số lực tác dụng. a: Khoảng cách từ đường tác dụng của lực đến tâm quay. ̅ ( ⃗ ): Mômen của lực ⃗ đối với điểm 0.  Qu ƣớc về dấu của mômen Lấy dấu dương (+) khi nhìn vào mặt phẳng tác dụng thấy lực ⃗ quay theo chiều mũi tên vòng quanh O theo chiều ngược kim đồng hồ, lấy dấu trừ (–) trong trường hợp quay ngược lại. Hình 3.2: Cách lấy dấu mômen. Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 44 Mômen đại số thường được biểu diễn bởi mũi tên vòng quanh tâm O theo chiều của mômen. Đơn vị mômen: nếu lực ⃗ tính bằng Niutơn (N), cánh tay đòn a tính bằng mét (m) thì mômen ̅ ( ⃗ ) tính bằng Niutơn m t (Nm).  Nh n xét - Nếu đường tác dụng của lực ⃗ đi qua tâm O (a = 0) thì mômen của lực đối với điểm O = 0. - Về trị số mômen của lực đối với một điểm bằng hai lần diện tích tam giác có đỉnh là điểm lấy mômen, có cạnh đáy là v ctơ lực. Ví dụ 3.1: Xác định mômen của ⃗ và ⃗ đối với các điểm A và B. Biết F1 = 10 kN, F2 = 12 kN, AC = CD = DB = 2m,  = 30 0 (góc hợp giữa ⃗ và AC). Hình 3.3 Bài giải * Mômen của ⃗ đối với các điểm A và B. ̅ ⃗ = – F2.AD = –12.4 = – 48 kNm ̅ ⃗ = F2.DB = 12.2 = 24 kNm * Mômen của ⃗ đối với các điểm A và B. ̅ ⃗ = – F1.AI = – F1.AC.Sin  = –10.2.Sin 30 o = –10.2. = –10kNm ̅ ⃗ = F1.BK = F1.CB.Sin  = 10.4.Sin 30 o = 10.4. = 20 kNm Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 45 3.1.2. Định lý về mômen ( ịnh lý Varinh ng) “Mômen hợp lực của một hệ lực phẳng đối với một điểm nào đó nằm trên mặt phẳng của các lực bằng t ng đại số mômen của các lực thành phần đối với điểm đó”. ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) ∑ ̅ ( ⃗⃗⃗ ) (3-2) Chứng minh: a) Trƣờng hợp hệ là hai lực ồng qui Giả sử có hai lực ⃗ và ⃗ đồng quy tại A, có hợp lực ⃗ và O là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng của hai lực này, Ta phải chứng minh: ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) Từ O ta vẽ đường Ox vuông góc với OA, rồi từ mút của ⃗ , ⃗ và ⃗ hạ đường Bb, Cc, Dd vuông góc với Ox. Hình 3.4: Mômen hợp lực hệ là hai lực đồng qui. Ta có: ̅ ( ⃗ ) = 2SΔOAB = OA.Ob ̅ ( ⃗ ) = 2SΔOAC = OA.Oc ̅ ( ⃗ ) = 2SΔOAD = OA.Od Theo hình vẽ Od = Ob + bd = Ob + Oc (Oc = bd là hình chiếu hai đoạn thẳng song song bằng nhau) Vì thế: ( ⃗ ) = OA.Od = OA(Ob + Oc) = OA.Ob + OA.Oc Suy ra: ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 46 b) Trƣờng hợp hệ là hai lực song song Giả sử có hai lực song song ⃗ và ⃗ , có hợp lực ⃗ . Từ O ta kẻ đường Ox vuông góc với đường tác dụng lực. Hình 3.5: Mômen hợp lực hệ là hai lực song song. ̅ ( ⃗ ) = F1.Oa ̅ ( ⃗ ) = F2.Ob ̅ ( ⃗ ) = R.Oc Mà R = F1 + F2 ; Oc = Oa + ac Nên: ( ⃗ ) = (F1 + F2).(Oa + ac) = F1.Oa + F1.ac + F2.Oa + F2.ac Vì: hay F1.ca = F2.bc Do đó: ̅ ( ⃗ ) = F1.Oa + F2.bc + F2.Oa + F2.ac = F1.Oa + F2(Oa + ac + bc) Tức là: ( ⃗ ) = F1.Oa + F2.Ob  ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) Ví dụ 3.2: Hệ lực phẳng song song (hình 3.5) có F1 = 200N, F2 = 300N, F3 = 400N. Xác định hợp lực của hệ. Hình 3.6 Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 47 Bài giải Trị số của hợp lực: R = F1 + F3 – F2 = 200 + 400 – 300 = 300N ⃗ song song cùng chiều với các lực ⃗ và ⃗ . Lấy điểm O trên đường tác dụng của ⃗ , giả sử ⃗ nằm bên phải O và có cánh tay đòn là a. Áp dụng định lý Va – ri – nhông đối với điểm O. ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ )  – aR = 2F2 – 4F3 = 2.300 – 4.400 = – 1000  a = Như vậy, đường tác dụng của ⃗ nằm bên phải điểm O và cách O một đoạn a = 3,33m. 3.2. Ng u lực 3.2.1. Định nghĩa a) Định nghĩa Ng u lực là một hệ gồm hai lực song song ngược chiều, cùng trị số nhưng không cùng đường tác dụng. Hình 3.7: Ngẫu lực. b) Mômen ng u lực Mặt phẳng chứa hai lực gọi là mặt phẳng tác dụng. Khoảng cách d giữa đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn. Chiều quay vòng của các lực theo đường khép kín trong mặt phẳng tác dụng gọi là chiều quay của ng u lực. Tích số m = F.d gọi là mômen của ng u lực. Mômen của ng u lực là tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn của ng u lực. Đơn vị chính để đo trị số của mômen ng u lực là Niutơn - mét ký hiệu là Nm, ngoài ra còn dùng bội số là kilô Niutơn – mét, ký hiệu kNm. 1kNm = 10 3 Nm Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 48 3.2.2. T nh chất của ng u lực trên một mặt phẳng Người ta đã chứng minh được định l về sự tương đương của ng u lực: “Hai ng u lực cùng nằm trong một mặt phẳng và cùng chiều quay, cùng trị số mômen thì tương đương.” Từ định l trên ta suy ra các tính chất của ng u lực:  Tính chất 1: Tác dụng của một ng u lực không thay đ i khi ta di chuyển ng u lực trong mặt phẳng tác dụng của nó.  Tính chất 2: Ta có thể biến đ i lực và cánh tay đòn tùy miễn là đảm bảo trị số mômen và chiều quay không thay đ i. Qua các tính chất trên ta thấy tác dụng của ng u lực trong mặt phẳng hoàn toàn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mômen của nó. Kết hợp hai yếu tố đó lại người ta đưa ra khái niệm đại số mômen ng u lực, ký hiệu: ̅ . ̅ (3-3)  F: Lực tác dụng.  d: Cánh tay đòn ng u lực.  Qui ước về dấu:  ̅ lấy dấu (+) Khi chiều quay ng u lực ngược chiều kim đồng hồ.  ̅ lấy dấu (–) Khi chiều quay ng u lực thuận chiều kim đồng hồ. Để đơn giản, ta gọi tắt đại số mômen ng u lực là mômen ng u lực, tránh nhầm l n với trị số mômen ng u lực. Cũng từ tính chất của ng u lực mà có thể biểu diễn ng u lực bằng chiều quay và trị số mômen.  K hiệu chiều quay: mômen và chiều quay được k hiệu bằng mũi tên vòng. Hình 3.8: Ký hiệu chiều quay ngẫu lực. Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 49 3.2.3. Hợp hệ ng u lực phẳng - Điều kiện cân bằng của hệ ng u lực phẳng a) Hợp hệ ng u lực phẳng Định lý: Hệ ng u lực phẳng tương đương với một ng u lực t ng hợp có mômen bằng t ng đại số mômen của các ng u lực thuộc hệ. ̅ ̅ ̅ ̅ ∑ ̅ (3-4) Ví dụ 3.3: Hệ ng u lực phẳng gồm các ng u lực ̅1 = 100 Nm; ̅2 = – 80 Nm; ̅3 = 250 Nm ; ̅4 = – 200 Nm. Xác định mômen của ng u lực t ng hợp. Nếu ng u lực t ng hợp có cánh tay đòn là 2m thì trị số của lực phải là bao nhiêu? Bài giải Ta có: ̅ = ̅ 1 + ̅ 2 + ̅ 3 + ̅ 4 = 100 + (–80) + 250 + (– 200) = 70 Nm Khi d = 2 thì: ̅ b) Điều kiện cân bằng “Điều kiện cần và đủ để một hệ ng u lực phẳng tác dụng lên vật rắn được cân bằng là t ng đại số mômen của các ng u lực thuộc hệ phải bằng không.” ̅ (3-5) Ví dụ 3.4: Dầm CD chịu tác dụng bởi ng u lực ( ⃗ , ⃗ ) có trị số lực P = 3.105N. Xác định phản lực tại 2 gối đỡ A và B. Các kích thước cho trên hình 3.9. Hình 3.9 Bài giải Ở hai gối đỡ A và B sẽ có phản lực tạo thành ng u lực ⃗⃗ ⃗⃗ để cân bằng với ng u lực ( ⃗ , ⃗ ). Hình 3.10 Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 50 Theo điều kiện cân bằng ta có: ̅ = – P.10 + NA.6 = 0  NA = NB = 3.2.4. Thu gọn hệ lực phẳng 3.2.4.1. Định lý dời lực song song “Khi dời song song một lực để tác dụng cơ học không thay đ i ta phải thêm vào một ng u lực phụ có mômen bằng mômen của lực đối với điểm mới dời đến.” Hình 3.11: Dời song song một lực. Chứng minh: cho ⃗ đặt tại C. Áp dụng tiên đề 2, đặt thêm vào điểm O hai lực ⃗ và ⃗ cân bằng nhau và có F’ = F” = F, các lực ⃗ , ⃗ , ⃗ song song với nhau, khi đó: ⃗  ⃗ , ⃗ , ⃗ ) ⃗ và ⃗ tạo thành ng u lực nên: ⃗  ⃗ , ng u lực ( ⃗ , ⃗ )] ⃗ song song cùng chiều và có trị số bằng trị số của ⃗ , nghĩa là có thể coi ⃗ là ⃗ dời song song từ C đến O. 3.2.4.2. Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trƣớc Giả sử cho hệ lực phẳng bất kỳ ( ⃗ ⃗ ⃗ đặt ở A, B, , N cần phải thu hệ lực đó về tâm O nằm trong mặt phẳng chứa lực. Hình 3.12: Thu một hệ lực về t m cho trước. Áp dụng định l dời lực song song ta dời các lực đó về tâm O ta được một hệ lực phẳng đồng qui ở O và một hệ ng u lực phẳng, thu gom hệ lực đồng qui Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 51 ta được ⃗ và thu gom hệ ng u lực phẳng ta được ̅. ⃗ gọi là v ctơ chính, ̅ gọi là mômen chính của hệ lực phẳng đối với điểm O. Vậy: “Hệ lực phẳng bất kỳ tương đương với một véctơ chính và một mômen chính”.  Xác ịnh vectơ ch nh ⃗⃗ Vì hình chiếu của các lực ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ lên các trục tọa độ luôn luôn bằng hình chiếu của ⃗ ⃗ ⃗ lên các trục tọa độ. Áp dụng định l về hình chiếu, ta có: √ (3-6) Phương chiều: (3-7)  Xác ịnh mômen chính ̅ ̅ ̅ ⃗ (3-8) Điểm mà các lực được hệ thu về gọi là tâm thu gọn. Nếu chọn tâm thu gọn khác điểm O thì vectơ v n song song cùng chiều và cùng trị số ⃗ , nghĩa là vectơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn, còn mômen chính thay đ i theo tâm thu gọn vì với mỗi tâm thu gọn khác nhau, lực có thể có cánh tay đòn và chiều quay khác nhau. 3.2.5. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ 3.2.5.1. Điều kiện cân bằng tổng quát “Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kỳ được cân bằng là v ctơ chính và mômen chính của hệ đối với một tâm bất kỳ đều phải bằng không”. { ⃗ ̅ (3-9) Bài 3. Mômen của lực đối với một điểm – Ngẫu lực Cơ kỹ thuật 52 3.2.5.2. Các dạng phƣơng trình cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ a) Dạng 1: Điều kiện cần và ủ ể hệ lực phẳng bất kỳ ƣợc cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên hai trục tọa ộ và tổng mômen của các lực i với một tâm bất kỳ nằm trong mặt phẳng các lực ều phải bằng không. { ̅ ( ⃗ ) (3-10) b) Dạng 2: Điều kiện cần và ủ ể hệ lực phẳng bất kỳ ƣợc cân bằng là tổng mômen của các lực i với hai iểm A và B bất kỳ nằm trong mặt phẳng chứa các lực và tổng hình chiếu của các lực i với trục x không vuông góc với phƣơng AB ều phải bằng không. { ̅ ( ⃗ ) ̅ ( ⃗ ) (3-11) Ox không vuông góc với AB. c) Dạng 3: Điều kiện cần và ủ ể hệ lực phẳng bất kỳ ƣợc cân bằng là tổng mômen ... trục.  Tại vị trí nào có mômen tập trung thì tại đó biểu đồ có bước nhảy, trị số của bước nhảy bằng trị số của mômen tập trung và theo chiều của mômen nếu vẽ từ bên trái.  Cũng có thể vẽ biểu đồ theo phương pháp phân tích t ng tác dụng thành các trường hợp tác dụng riêng lẻ, vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực của từng tác dụng. Biểu đồ MZ là t ng đại số của từng biểu đồ riêng lẻ. Ví dụ 13.2: Vẽ biểu đồ mômen xoắn MZ (hình 13.4a) Hình 13.4 Phân tích thành t ng của hai trường hợp tác dụng riêng lẻ (hình 13.4b, c). Trong mỗi trường hợp, ngoại lực là một ng u lực gây xoắn, do đó nội lực trong thanh cũng là mômen xoắn. Biểu đồ nội lực của từng tác dụng được vẽ Bài 13. Xoắn thuần tuý của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 223 ngay trên hình 13.4b, c. Biểu đồ MZ của thanh là t ng đại số hai biểu đồ trên (hình 13.4d). 13.2. Biến dạng của thanh tròn chịu xo n Trước khi thanh chịu xoắn, ta kẻ trên mặt của thanh các đường song song với trục thanh biểu thị cho các thớ dọc, các đường vuông góc với trục thanh biểu thị cho các mặt cắt (hình 13.5a). Hình 13.5: Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn. Sau khi thanh chịu xoắn (hình 13.5b):  Chiều dài của thanh cũng như khoảng cách giữa các mặt cắt v n giữ không đ i.  Bán kính của mặt cắt v n thẳng và có chiều dài không đ i. Như vậy, biến dạng trong xoắn là biến dạng trượt nên phát sinh tiếp ứng z nằm trên mặt cắt và có phương vuông góc với bán kính. Do tác dụng của các mômen xoắn ngoại lực mà các mặt cắt đều xoay đi một góc, gọi  là góc xoắn tuyệt đối giữa hai mặt cắt, đơn vị (rad). Tỷ số giữa góc xoắn tuyệt đối  với độ dài của thanh l gọi là góc xoắn tương đối: Ta có: (13-3) Trong đó: G: Là mô đuyn dàn hồi khi trượt của vật liệu. Jo: Là mômen quán tính phụ thuộc vào hình dạng của mặt cắt. Bài 13. Xoắn thuần tuý của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 224  là góc trượt tương đối. Ta có: .l = R (13-4) Ở tâm của mặt cắt: R = 0 nên  = 0. Ở một điểm bất kỳ cách tâm 1 khoảng ,  = . Ở vành ngoài của mặt cắt max =.max = .R 13.3. Công thức ứng suất tiếp trên mặt c t ngang của thanh tròn chịu xo n thuần túy 13.3.1. Ứng suất trên mặt c t thanh chịu xo n Áp dụng định luật Huc, khi MZ chưa vượt quá giới hạn nhất định, ứng suất xoắn z tỉ lệ thuận với độ trượt tương đối. z = .G. Vì  biến thiên từ 0 đến lớn nhất, tương ứng với phần vật liệu ở tâm mặt cắt đến vành ngoài của nó, nên trị số ứng suất tiếp biến thiên từ 0 đến zmax. Ở tâm mặt cắt  = 0, z = 0 Ở vị trí cách tâm 1 khoảng :  = .;  = .G = ..G Ở vành ngoài của mặt cắt: max = .R và max = max.G = .R.G Như vậy, ứng suất z tỉ lệ thuận với khoảng cách từ điểm đang x t tới trục và được biểu diễn trên hình 13.6. Hình 13.6: Tỉ lệ khoảng cách tới trục của ứng suất z. Nội lực phân bố trên phần tử diện tích F là F.. Mômen xoắn nội lực trên phần tử diện tích F: M = F.. Bài 13. Xoắn thuần tuý của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 225 Mômen xoắn nội lực trên toàn bộ mặt cắt là: Đặt: Và gọi Jo là mômen quán tính độc cực, đơn vị m 4 . Ta có: hay Đặt: (đơn vị Wo là m 3 ) Ta có: (13-5) Wo đặc trưng cho khả năng chống xoắn của thanh và được gọi là mômen diện tích chống xoắn. Với thanh tròn: 13.3.2. T nh toán về xo n a) Điều kiện bền Điều kiện bền của thanh chịu xoắn thuần túy: Một thanh chịu xoắn thuần túy đảm bảo điều kiện bền khi ứng xuất xoắn z lớn nhất trong thanh nhỏ hơn ứng suất xoắn cho phép (tối đa ứng suất xoắn cho phép). ] (13-6) Từ điều kiện trên, ta có bài toán cơ bản trong xoắn thuần túy:  Kiểm tra bền xoắn. ]  Đối với vật liệu dẻo: th p, nhôm, đồng ] ch: giới hạn chảy. n >1: hệ số an toàn.  Đối với vật liệu bền: gang, đá, bê tông Bài 13. Xoắn thuần tuý của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 226 ] b: giới hạn bền.  Chọn ch thƣớc t cắt. ]  Chọn tải trọng ch hé . MZ ≤ Wo.[] b) Điều kiện cứng Các chi tiết máy khi truyền tải phải có độ cứng đủ lớn tức là góc xoắn tương đối lớn nhất về trị số tuyệt đối không được vượt quá trị số cho phép []: ] (13-7)  Chọn kích thước mặt cắt: ]  Chọn tải trọng cho phép: MZ ≤ Jo.G.[] Ví dụ 13.3: Một trục bằng th p có công suất 300kW, quay với vận tốc n = 300 vòng/phút. Tính đường kính của trục, biết [] 80MN/m2. Bài giải Áp dụng công thức (13-6) ta có: ] Mà Wo = 0,2d 3  0,2d3 √ ] Bài 13. Xoắn thuần tuý của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 227 √ Ta chọn d = 40mm Bài 13. Xoắn thuần tuý của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 228 CÂU HỎI ÔN TẬP BÀI 13 Thế nào là một thanh chịu xoắn thuần túy? Lấy các ví dụ thực tế. Nêu điều kiện bền và điều kiện cứng trong xoắn thuần tuý của thanh thẳng. BÀI TẬP 13-1. Vẽ biểu đồ nội lực (MZ) của thanh tròn chịu lực như hình 13.7. Biết l = 1m; M1 = 3kN; M2 = 1kN và M3 = 2kN. Hình 13.7 13-2. Kiểm tra độ bền của một trục chịu lực như hình 13.8. Vật liệu trục có ứng suất tiếp cho ph p [] = 14kN/cm2. Hình 13.8 ĐS: ] ] 13-3. Tìm đường kính trục và góc xoắn ở mặt cắt B của trục cho trên hình 13.9. Mômen xoắn M = 15kNm tác dụng ở đầu tự do B; vật liệu làm thanh có ứng suất tiếp [] = 10kN/cm2, môđun đàn hồi G = 8.106kN/cm2. Hình 13.9 ĐS: √ ] √ Bài 13. Xoắn thuần tuý của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 229 13-4. Xác định các kích thước mặt cắt ngang của một trục tròn rỗng có tỉ lệ giữa đường kính trong và ngoài , vật liệu thanh có ứng suất tiếp cho phép [] = 12kN/cm2. Thanh chịu tác dụng của một mômen xoắn M = 12kNm ĐS: √ ] ; d = 7,62cm. 13-5. Mộ thanh chịu xoắn như hình 13.10. Vật liệu thanh có môđun đàn hồi trượt G = 8.10 3 kN/cm 2. Kiểm tra độ cứng của thanh nếu góc xoay tương đối cho ph p giữa hai mặt cắt A và B [AB] = 8 o Hình 13.10 ĐS: | | | | ] 13-6. Một trục tròn đặc đường kính d = 60mm truyền chuyển động quay với tốc độ n = 900 vòng/phút, vật liệu trục có ứng suất cho ph p [] = 8kN/cm2. Trục có thể truyền công suất tối đa là bao nhiêu? ĐS: ] ] Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 230 Bài 14. UỐN PHẲNG CỦA THANH THẲNG 14.1. Các ịnh nghĩa và phân loại 14.1.1. Định nghĩa Nếu một thanh dưới tác dụng của ngoại lực mà trục thanh bị uốn cong, ta nói thanh đó chịu uốn. Thanh chịu uốn gọi là dầm. Mặt phẳng của dầm chứa ngoại lực tác dụng gọi là mặt phẳng tải trọng. Nếu trục của dầm sau khi uốn v n nằm trong mặt phẳng tải trọng thì dầm đó chịu uốn phẳng. Hình 14.1 ầm chịu uốn phẳng.  Ngoại lực tác dụng có thể là lực tập trung, lực phân bố và mômen tập trung hoặc phân bố. Mặt phẳng chứa các lực và mômen đó được gọi là mặt phẳng tải trọng  Đường tải trọng là giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của thanh.  Mặt phẳng quán tính chính trung tâm là mặt phẳng tạo nên bởi trục của thanh và một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. 14.1.2. Phân loại a) U n thuần tú Một dầm chịu uốn phẳng thuần túy là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có một thành phần mômen uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 231 Ví dụ 14.1: Một thanh bị ngàm một đầu, đầu tự do chịu tác dụng của mômen uốn ngoại lực nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm. Hình 14.2 b) U n ngang phẳng Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu tác dụng của các ngoại lực vuông góc với trục của dầm hay những ng u lực, cả hai loại này đều nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm. Hình 14.3: Dầm uốn ngang phẳng. 14.2. Nội lực và biểu ộ nội lực 14.2.1. Nội lực – qu ƣớc dấu của nội lực a) Nội lực Giả sử xét một dầm AB chịu tác dụng lực ⃗ , dầm chịu uốn ngang phẳng. Dùng phương pháp mặt cắt để xét nội lực. Ta có phần đang x t cân bằng thì nội lực trên mặt cắt phải cân bằng với ngoại lực. Nghĩa là trên mặt cắt phải có lực ⃗ cân bằng với ngoại lực ⃗ và một mômen uốn nội lực chống lại sự uốn do lực ⃗ gây ra. Hình 14.4: Nội lực dầm chịu uốn ngang phẳng. ∑Fy = Q – P = 0  Q = P ∑mo = – P.x +M = 0  M = P.x Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 232 b) Qui uớc dấu cho ⃗⃗ và Mx - Lực cắt ⃗ > 0 tại mặt cắt nếu ngoại lực tác dụng lên phần đang x t có xu hướng làm phần đó quay thuận chiều kim đồng hồ quanh trọng tâm mặt cắt đang x t. Ngược lại ⃗ < 0 - Mômen uốn Mx > 0 tại mặt cắt nếu ngoại lực ở phần dầm đang x t làm căng phần phía dưới dầm. Ngược lại Mx < 0. 14.2.2. Biểu ộ nội lực cho ⃗⃗ và M Biểu đồ nội lực ⃗ và mômen Mx: là 2 đồ thị biểu diễn sự biến thiên của lực cắt ⃗ và mômen uốn Mx theo vị trí trên dầm. Muốn vẽ các biểu đồ ⃗ và Mx ta phải:  Vẽ sơ đồ tĩnh để xác định các phản lực.  Phân dầm ra từng đoạn theo sự phân bố của ngoại lực để nội lực không thay đ i đột ngột, rồi lập biểu đồ giải thích của ⃗ và Mx trên từng đoạn nhờ phương pháp mặt cắt.  Vẽ biểu đồ lực cắt ⃗ và mômen uốn Mx: trục hoành song song và dài bằng trục để chỉ vị trí trên dầm, tung độ dương của ⃗ nằm ở trên, tung độ dương của Mx nằm phía dưới (phù hợp với thớ căng của dầm). Hình 14.5 Quy ước biểu diễn biểu đồ nội lực.  Cách vẽ biểu đồ ⃗ và Mx theo điểm đặc biệt:  Cách vẽ ⃗  Điểm nào có lực tập trung, đồ thị ⃗ có bước nhảy.  Đoạn nào không có lực phân bố thì đồ thị ⃗ là hằng số.  Đoạn nào có lực phân bố thì đồ thị ⃗ là hàm bậc nhất. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 233  Cách vẽ Mx  Điểm nào không có mômen điểm đó Mx = 0.  Nếu đồ thị ⃗ là một hằng số thì đồ thị Mx là hàm bậc nhất.  Nếu đồ thị ⃗ là hàm bậc nhất thì đồ thị Mx là hàm bậc hai. Chú ý: Tại các mặt cắt mà Qy = 0 và đ i đầu dấu từ (+)  (–) thì Mx đạt cực đại và ngược lại. Ví dụ 14.2: Vẽ biểu đồ lực cắt ( ⃗ ) và mômen uốn (Mx) của dầm trên hình 14.6a. Hình 14.6 Bài giải Để vẽ biểu đồ nội lực của dầm một đầu ngàm cứng ta không cần tính phản lực, khi tính nội lực ở mặt cắt nào ta cũng x t cân bằng của phần dầm không có ngàm. Trong bài toán này ta chia dầm làm hai đoạn AB và BC. Đoạn AB (0  z  2m). Cắt dầm tại mặt cắt có hoàng độ z và xét cần bằng của phần dầm bên trái (hình 14.6b): Qy = – P = – 5kN Biểu đồ lực cắt trong đoạn này là đường thẳng song song với đường chuẩn. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 234 Mx = m – P.z = 6 – 5z Biểu đồ mômen là đường thẳng xiên với đường chuẩn, để vẽ ta chỉ cần xác định mômen ở mặt cắt đầu đoạn và cuối đoạn. Khi z = 0  MxA = 6kNm. Khi z = 2  MxB = 6 – 5.2 = – 4kNm Đoạn BC (2  z  4m). Xét cân bằng của phần bên trái mặt cắt (hình 14.6c): Qy = – P – q(z – 2) = –5 – 2(z – 2) = – 2z – 1 Khi z = 2  QB = –5kNm, Khi z = 4  QB = –9kNm Mx = m – P.z – q(z – 2). = 6 – 5z – (z – 2)2 = 6 – 5z – (z – 2)2 Biểu đồ mômen là đường cong bậc hai nên để vẽ ta cần xác định mômen uốn của ba mặt cắt. Khi z = 2  MB = – 4kNm Khi z = 3  MI = – 10kNm Khi z = 4  MC = – 18kNm Trong đó I là đoạn giữa BC. Căn cứ vào kết quả tính được ta vẽ biểu đồ lực cắt (hình 14.6d) và biểu đồ mômen (hình 14.6e). Trên biểu đồ đã vẽ ta dễ dàng suy ra được các phản lực của ngàm C.  Nh n xét:  Điểm nào có lực tập trung, đồ thị ⃗ có bước nhảy.  Đoạn nào không có lực phân bố thì đồ thị ⃗ là hằng số.  Đoạn nào có lực phân bố thì đồ thị ⃗ là hàm bậc nhất.  Điểm nào không có mômen điểm đó MX = 0.  Nếu đồ thị ⃗ là một hằng số thì đồ thị MX là hàm bậc nhất.  Nếu đồ thị ⃗ là hàm bậc nhất thì đồ thị MX là hàm bậc hai. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 235  Tại các mặt cắt mà Qy = 0 và đ i đầu dấu từ (+) sang (–) thì MX đạt cực đại và ngược lại. 14.3. Dầm u n phẳng thuần tú 14.3.1. Định nghĩa Một dầm gọi là uốn thuần túy phẳng khi trên mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực là mômen uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Hình 14.7: Dầm chịu uốn thuần tuý. 14.3.2. Ứng suất pháp trên mặt c t ngang a) Định nghĩa Một thanh chịu uốn thuần túy phẳng khi trên mặt cắt ngang chỉ có một thành phần chịu lực là Mx. Hình 14.8: Ứng suất trên mặt cắt ngang dầm chịu uốn thuần tuý. Để tiện quan sát, ta x t một dầm thẳng có mặt cắt là hình chữ nhật. Ở mặt bên của dầm, ta kẻ các đường song song với trục thanh biểu thị cho các thớ dọc, các đường vuông góc với trục hoành biểu thị cho các mặt cắt. Sau khi thanh chịu uốn thuần túy ta thấy: các đường vuông góc với trục dầm trước và sau khi biến dạng v n thẳng và vuông góc với trục dầm đã bị uốn cong, các đường kẻ song song với trục dầm trở thành những đường cong đồng dạng với trục dầm đã bị uốn cong. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 236 Giả thiết biến dạng trong dầm tương tự như biến dạng mặt ngoài của nó, ta có kết luận:  Trước và sau khi chịu uốn thuần túy, các mặt cắt F đều thẳng và vuông góc với trục dầm.  Khi dầm chịu uốn thuần túy, các thớ dọc của phần trên của dầm bị co lại, các thớ ở phần dưới của dầm giãn ra, đi từ phần bị co đến phần bị giãn có một lớp thớ v n giữ nguyên chiều dài gọi là lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hòa với mắt cắt gọi là trục trung hòa. Với mặt cắt đối xứng, trục trung hòa vuông góc với trục đối xứng và đi qua trọng tâm của mặt cắt (trục x trên hình vẽ 14.8c là trục trung hòa). Như vậy biến dạng trong uốn thuần túy là biến dạng dọc, trên mặt cắt xuất hiện ứng suất pháp u. b) Ứng suất pháp Xét một mặt cắt ngang nào đó và chọn hệ trục toạ độ như sau: trục Ox là trục đường trung hoà, trục Oy là trục đối xứng (một trục quán tính chính trung tâm), trục Oz vuông góc với mặt cắt ngang. Ta thấy trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp vì nếu có ứng suất tiếp thì dưới tác dụng của nó mặt cắt ngang sẽ sẽ bị vênh đi và các ô vuông sẽ không giữ được nguyên góc vuông nữa. Hình 14.9: Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang dầm chịu uốn thuần tuý. Theo định luật Húc, ta có: (a) : độ giãn dài tỉ số thanh chịu kéo hoặc chịu nén. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 237 Nếu biết được biến dạng, ta dễ dàng tìm được sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang. Muốn vậy ta x t đoạn dầm z được cắt bởi hai mặt cắt 1 – 1 và 2 – 2 (hình 14.10). Sau khi biến dạng hai mặt cắt này tạo với nhau một góc . Gọi  bán kính cong của thớ trung hoà O1O2. Vì thớ trung hoà không bị biến dạng nên: ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̂ Hình 14.10: Biến dạng dầm chịu uốn thuần tuý. Xét biến dạng của một thớ mn cách thớ trung hoà một khoảng y. Chiều dài của thớ này trước khi biến dạng là ̅̅ ̅̅ = z = . Bán kính cong của cung 0102 là . Bán kính cong của cung mn là ( + y). Và sau khi biến dạng: ̅̅ ̅̅ = Độ dãn dài tỉ số của thớ mn bằng: (b) Thay (b) vào (a), ta được: (14-1) Tại một mặt cắt ngang bán kính  có trị số xác định, E là một hằng số. Vậy quy luật phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang là phẳng. Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất với mặt ngang chính là trục trung hoà (đường trung hoà). Rõ ràng ứng suất pháp trên đường thẳng song song với trục trung hoà có trị số như nhau (hình 14.11). Qua biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang, ta thấy: các điểm có trị số pháp lớn nhất là các điểm xa trục trung hoà nhất. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 238 Hình 14.11: Biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang. 14.3.3. Biểu thức liên hệ giữa ứng suất pháp với thành phần m men u n Xét mặt cắt ngang có mômen uốn Mx, ta có: Mx = ∑zyF (c) Thay vào (c), ta có quan hệ: ∑ là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà, ký hiệu Jx. Do đó: (14-2) So sánh (c) và 14-2 ta suy ra công thức ứng suất pháp trên mặt cắt ngang như sau: (14-3) 14.3.4. Vị tr trục trung hòa Từ định nghĩa về uốn phẳng thuần tuý, ta suy ra trên mặt cắt ngang thành phần lực dọc Nz = 0, ta có: NZ = ∑zyF = 0 Thay giá trị vào biểu thức trên, ta được: ∑ Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 239 Trong đó ∑ là mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà. Vì suy ra Sx = 0. Vậy trục trung hoà là trục trung tâm. Trong hệ thống toạ độ như đã chọn, trục y là trục quán tính chính trung tâm trùng với đường tải trọng. Vậy trung hoà chính là một trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với đường tải trọng. 14.3.5. Ứng suất kéo và nén lớn nhất Như đã biết ở trên, ứng suất pháp có trị số tuyệt đối lớn nhất tại các điểm xa trục trung hoà nhất, tức là các điểm m p trên hay m p dưới. Gọi , lần lượt là khoảng cách thớ chịu kéo và thớ chịu nén ở xa đường trung hòa nhất. Khi đó ứng suất chịu kéo lớn nhất max và ứng suất chịu nén lớn nhất min sẽ tính bởi các công thức: | | | | (14-4) | | | | (14-5) | | | | (14-6) Các đại lượng và gọi là các suất tiết diện hoặc mômen chống uốn của mặt cắt ngang. Hình 14.12: Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có hai trục đối xứng. Nếu trục trung hoà là trục đối xứng, ví dụ mặt cắt ngang là hình chữ nhật, hình tròn, chữ I, thì ta thấy ứng suất kéo và ứng suất nén có trị số tuyệt đối bằng nhau:| | | | . Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 240 Khi đó: (14-7) Ứng suất nén và kéo cực đại có trị số bằng nhau: | | | | (14-8) Trong đó:  max là ứng suất k o lớn nhất, lấy dấu (+).  min là ứng suất n n lớn nhất, lấy dấu (–).  Wx là mô đun chống uốn.  Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b và chiều cao h: Mặt cắt là hình vuông:  Mặt cắt ngang hình tròn:  Mặt cắt ngang hình vành khăn đường kính ngoài D, trong, d: Ý nghĩa vật lý của mômen chống uốn: khi mômen chống uốn càng lớn dầm chịu được mômen uốn càng lớn. 14.3.6. T nh toán về u n phẳng thuần tú Điều kiện bền của thanh chịu uốn phẳng: Một thanh chịu uốn phẳng đảm bảo điều kiện bền khi ứng suất lớn nhất tại tiết diện nguy hiểm phải nhỏ hơn ứng suất uốn cho ph p (tối đa là bằng ứng suất uốn cho phép). + Dầm bằng vật liệu dòn: []k  []n | | ] ] + Dầm bằng vật liệu dẻo: []k = []n = []max Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 241 | | ] Từ điều kiện bền ta cũng có ba bài toán cơ bản trong uốn:  Kiểm tra bền uốn: Kiểm tra thanh chịu lực có đảm bảo độ bền hay không. Dùng công thức (14-4) hay (14-5) để kiểm tra. Ví dụ 14.3: Trên mặt cắt ngang của một dầm chữ T ngược (hình14.13), mômen uốn Mx = 7200 Nm. Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho ph p khi k o và nén khác nhau: []k = 20MN/m 2 ; []n = 30MN/m 2. Kiểm tra bền, biết rằng: Jx = 5312,5cm 4 . Bài giải Ta có: Hình 14.13 ] | | ] Vậy dầm đủ bền.  Chọn kích thước mặt cắt ngang sao cho dầm thỏa điều kiện bền. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 242 Ví dụ 14.4: Dầm AB dài 4m dùng để nâng tải trọng P = 180kN (hình 14.14). Hãy chọn kích thước mặt cắt, cho biết dầm làm bằng gỗ hình chữ nhật có b = 2a và [k,n]=10 MN/m 2 . Bài giải Biểu đồ MU được biểu diễn trên hình 14-14 có: Hình 14.14 Áp dụng điều kiện bền: ] ] Mà b = 2a nên: ] √  Chọn tải trọng cho ph p: Định tải trọng cho ph p [P] để dầm thỏa điều kiện bền. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 243 Ví dụ 14.5: Một dầm bằng gang có mặt cắt ngang như hình 14.15. Xác định trị số mômen uốn cho ph p (mômen có chiều như hình vẽ). Biết: []k = 1,5 kN/cm 2 . Hỏi với trị số mômen uốn cho ph p đó, ứng suất n n lớn nhất trong dầm là bao nhiêu? Cho biết Jx = 25470cm 4 . Hình 14.15 Bài giải Từ điều kiện bền | | | | ] ] ] Tương ứng ta có: ] | | 14.4. U n ngang phẳng 14.4.1. Định nghĩa Dầm gọi là chịu uốn ngang phẳng khi trên mặt cắt ngang có 2 nội lực là: mômen uốn Mx và lực cắt ⃗ y. Hình 14.16: Mặt cắt ngang và ứng suất dầm chịu uốn ngang phẳng. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 244 Khác với trường hợp uốn thuần túy, ngoài ứng suất pháp z do mômen Mx gây ra còn có ứng suất tiếp zy do lực cắt ⃗ y gây ra. Trạng thái ứng suất của một phân tố có các mặt song song các trục tọa độ biểu diễn như hình 14.16c, d. 14.4.2. Ứng suất pháp trên mặt c t ngang Chấp nhận với sai số không lớn (sai số trong phạm vi b hơn 5%, sai số đó có thể bỏ qua được) có thể dùng công thức sau để tính ứng suất pháp trong thanh chịu uốn ngang phẳng. (14-9) 14.4.3. Ứng suất tiếp trên mặt c t ngang Trong tính toán người ta thường bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất tiếp do lực cắt. Khi cần tính đến ảnh hưởng người ta thường sử dụng công thức Juprapxki dưới dạng: (14-10) Trong đó: zy: ứng suất tiếp tại toạ độ có phương của lực cắt ⃗ y; Jx: mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà; b C : chiều rộng mặt cắt đi qua điểm tính ứng suất vuông góc với chiều của ứng suất tiếp; : mômen tĩnh của phần mặt cắt ngang bị cắt đối với trục trung hoà: : toạ độ trọng tâm của phần tiết diện bị cắt đối với trục trung hoà. Hình 14.17: Ứng suất tiếp phân bố đều theo chiều rộng b của tiết diện. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 245  Với tiết diện ngang là hình chữ nhật: ( )  Tại m p trên và dưới của tiết diện:  Tại những điểm nằm trên đường trung hòa: y = 0 nên  Với tiết diện ngang là hình tròn: ( )  Tại m p trên và dưới của tiết diện.  Tại những điểm nằm trên đường trung hòa. y = 0 nên 14.4.4. Kiểm tra bền dầm chịu u n ngang phẳng Trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng có 2 ứng suất:  Ứng suất pháp z do mômen uốn Mx gây ra.  Ứng suất tiếp zy do lực cắt ⃗ y gây ra. Biểu đồ phân bố ứng suất pháp và ứng suất tiếp theo chiều cao của mặt cắt ngang hình chữ nhật (Hình 14.18b, c), ta thấy có ba loại phân tố ở trạng thái ứng suất khác nhau (Hình 14.18a): Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 246 Hình 14.18: a) Các phân tố ở trạng thái ứng suất khác nhau; b) Sự phân bố ứng suất pháp; c) Sự phân bố ứng suất tiếp.  Những điểm ở biên trên và dưới  = 0, chỉ có z  0 nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn.  Những điểm nằm trên trục trung hòa a = 0, chỉ có max nên trạng thái ứng suất của những phân tố ở những điểm này là trượt thuần túy.  Các điểm khác, z  0 và zy  0, nên chúng ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. Khi kiểm tra bền toàn dầm, phải bảo đảm mọi phân tố đều thỏa điều kiện bền (đủ 3 điều kiện bền). a) Phân t ở trạng thái ứng suất ơn (những iểm ở trên biên trên và dƣới của dầm) Xét tại mặt cắt có M max và sử dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất ta có:  Dầm làm bằng vật liệu dẻo, [k] = [n] = [], điều kiện bền: | | ] (14-11)  Dầm làm bằng vật liệu dòn, [k]  [n], điều kiện bền: ] | | ] (14-12) b) Phân t ở trạng thái ứng suất trƣợt thuần túy (những iểm nằm trên trục trung hòa) Xét tại mặt cắt có | | , ta có | | ] Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 247  Dầm bằng vật liệu dẻo:  Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: ] ] (14-13)  Theo thuyết bền thế năng biến đ i hình dáng: ] ] √ (14-14)  Dầm bằng vật liệu dòn: sử dụng thuyết bền Mohr. ] ] (14-15) Trong đó: ] ] c) Phân t ở trạng thái ứng suất phẳng ặc biệt Xét tại mặt cắt có mômen uốn Mx và lực cắt ⃗ y cùng lớn (có thể nhiều mặt cắt). Chọn điểm nguy hiểm trên mặt cắt để có z và zy tương đối lớn (chỉ cần kiểm tra tại những nơi nguy hiểm như nơi tiếp giáp giữa lòng và đế của mặt cắt chữ I, chữ C) chỗ thay đ i tiết diện. Các ứng suất của phân tố này được tính bởi các công thức quen thuộc: Từ đây cũng có ba bài toán cơ bản:  Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền.  Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang. Dựa vào điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn để chọn sơ bộ kích thước mặt cắt ngang dầm. Sau đó, tiến hành kiểm tra bền đối với các phân tố ở trạng thái ứng suất khác. Nếu không đạt thì thay đ i kích thước mặt cắt ngang.  Bài toán cơ bản 3: Định tải trọng cho phép. Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 248 Từ điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, xác định sơ bộ tải trọng cho phép, sau đó tiến hành kiểm tra bền các phân tố còn lại. Ví dụ 14.6: Một dầm th p mặt cắt chữ T có hình dáng và kích thước như hình 4.34b chịu tác dụng của lực như hình hình 14.19. Hãy kiểm tra cường độ của dầm biết []k = 30 MN/m 2 , []n = 100 MN/m 2. Kích thước mặt cắt là cm. Hình 14.19 Bài giải Nếu hệ trục toạ độ x1y chọn như hình vẽ thì trục trung hoà x song song với trục x1 và cách trục x1 một khoảng: Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục trung hoà x (đồng thời cũng là mômen quán tính chính trung tâm) của mặt cắt: Với dầm chịu lực như hình (hình 14.19a) thì mặt cắt tại ngàm mômen có trị số lớn nhất: Và các thớ phía trên của dầm chịu kéo, các thớ dưới chịu nén. Theo công thức ta tính được: = – 47.103kN/m2 = – 47MN/m2 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 249 So sánh ta thấy: | | = 28,2MN/m 2 < [k] = 30MN/m 2 . | | = 47MN/m 2 < [n] = 100MN/m 2 . Do đó dầm đảm bảo cường độ. Ví dụ 14.7: Một dầm mặt cắt chữ nhật có h = 1,4b, chịu lực như hình 14.20. Hãy chọn kích thước mặt cắt cho dầm. Biết: [] =10 MN/m2, [] = 6 MN/m2. Hình 14.20 Bài giải Ta sẽ chọn kích thước mặt cắt theo điều kiện cường độ ứng suất pháp, sau đó kiểm tra lại theo điều kiện cường độ ứng suất tiếp. Với dầm chịu lực như hình vẽ mặt cắt giữa nhịp có mômen lớn nhất: Còn các mặt cắt tại hai đầu dầm có lực cắt lớn nhất: | | Từ điều kiện cường độ ứng suất pháp ta tính được: ] Vì mặt cắt chữ nhật nên ta có: Vậy: √ Do đó ta chọn b =17cm và h = 1,4.17 = 24cm. Với kích thước mặt cắt ta tính được: Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 250 So sánh max = 0,367MN/m 2 < [] = 6MN/m2. Điều đó chứng tỏ mặt cắt đã chọn thoả điều kiện cường độ ứng suất tiếp. CÂU HỎI ÔN TẬP BÀI 14 1. Nêu định nghĩa về đường tải trọng, mặt phẳng tải trọng. 2. Thế nào là một dầm chịu uốn phẳng, uốn phẳng thuần tuý, uốn ngang phẳng? Viết công thức tính ứng suất trên mặt cắt của dầm chịu uốn. 3. Lớp trung hoà là gì? Trục trung hoà là gì? 4. Nêu trình tự cách vẽ biểu đồ mômen uốn, lực cắt. Trình bàu cách quy ước dấu của lực cắt, mômen uốn và cách chọn hệ trục toạ độ khi vẽ biểu đồ. 5. Viết biểu thức tính trị số ứng suất kéo và nén có trị số lớn nhất. 6. Trình bày điều kiện bền cho dầm chịu uốn phẳng thuần tuý, uốn ngang phẳng. BÀI TẬP 14-1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn của dầm trên hình 14.21. Biết M1 = 1kNm; M2 = 2kNm; P1 = 1kN; P2 = P3 = 2kN; a = 4m. Hình 14.21 Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 251 14-2. Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực cho các dầm có sơ đồ chịu lực sau (hình 14.22): Hình 14.22 14-3. Dầm AB chịu tải trọng P = 18kN (hình 14.23). Dầm làm bằng th p có tiết diện hình vuông 10 x 10 cm. Hãy kiểm tra độ bền của dầm, biết [U ] = 120 MN/m 2 . Hình 14.23 14-4. Kiểm tra độ bền của một dầm gang hình 14.24, nếu ứng suất cho ph p về nén []n = 16kN/cm 2 và ứng suất cho ph p về k o []k = 16kN/cm 2 . Hình 14.24 ĐS: | | | | | | ] | | | | | | ] Bài 14: Uốn phẳng của thanh thẳng Cơ kỹ thuật 252 14-5. Xác định kích thước mặt cắt ngang hình chữ nhật của một dầm côngxon hình 14.25. Tỉ lệ giữa các cạnh mặt cắt ngang h = ; a = 0,25m; q = 10kN/m; P = 10qa và ứng suất cho ph p [] = 1kN/cm2; [] = 0,12kN/cm2. Hình 14.25 Đs: √ ] √ ]  h2 = 25,6cm; b = = 17cm. 14-6. Xác định trị số của lực ⃗ tác dụng trên dầm đơn giản như hình 14.26. nếu dầm có ứng suất cho ph p [] = 16kN/cm2 và [] = 8kN/cm2, các kích thước a = 0,8m, b = 3cm, h = 8cm. Hình 14.26 ĐS: ] ] Vậy: P  6,4kN. Cơ kỹ thuật 253 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƢỜNG DÙNG KÝ HIỆU TÊN GỌI ĐƠN VỊ ⃗ ⃗ ⃗ ... Lực N (Niutơn) hoặc kN ̅ ( ) Mômen của lực ⃗ đối với điểm O Nm (Niutơn m t) ̅ Ng u Nm (Niutơn m t) s Quãng đường m t hoặc km Vận tốc m/s hoặc km/h Gia tốc m/s2 m khối lượng kg g Gia tốc trọng trọng  10m/s2 JX Mômen quán tính kgm 2 Jo Mômen quán tính độc cực m 4 K Động lượng kgm/s ⃗ Xung lượng của các ngoại lực kgm/s T Động năng kgm2/s2 A Công Jun N Công suất W (oát) J/s ⃗⃗ Lực dọc N ⃗ Lực cắt N Mx Mômen uốn Nm Mz Mômen xoắn Nm Wx Môđun chống uốn. m 3  Góc (Alpha) độ hoặc rad Góc (Beta) độ hoặc rad  Góc trượt tương đối (Gamma) Rad (Radian)  Lượng biến thiên (Delta)  Gia tốc góc (Epsilon) rad/s 2  Hiệu suất (Eta)  Góc xoắn tương đối (Theta) rad  Hệ số Poatxông (Mu)  Bán kính xoắn (Rho) m  Ứng suất pháp tuyến (Sigma) N/m 2 hoặc kN/m2  Ứng suất tiếp tuyến (Tau) N/m 2 hoặc kN/m2  Góc quay (Phi) rad  Vận tốc góc (Omega) rad/s Toạ độ trọng tâm của phần tiết diện bị cắt đối với trục trung hoà (Xi). m Cơ kỹ thuật 254 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] GS. TS. Đỗ Sanh, PGS. TS. Nguyễn Văn Đình, PGS. TS Nguyễn Nhật Lệ – Giáo trình Cơ học Tập1 (Tĩnh học và động học) – NXB Giáo dục 1999. [2] GS. TS. Đỗ Sanh, PGS. TS. Nguyễn Văn Vượng, TS. Phan Hữu Phúc – Giáo trình Cơ kỹ thuật – NXB Giáo dục 2007. [3] Nguyễn Khắc Đam – Giáo trình Cơ kỹ thuật – NXB Giáo dục 1992. [4] Nguyễn Quang Tuyến, Nguyễn Thị Thạch – Giáo trình Cơ kỹ thuật – Sở giáo dục đào tạo Hà Nội - NXB Hà Nội 2005. [5] Phạm Văn Chiểu, Nguyễn Văn Nhậm – Cơ học lý thuyết và cơ sở Nguyên lý máy – NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội 1978. [6] Nguyễn Văn Nhậm, Trần Văn Khuê – Bài tập Cơ kỹ thuật – NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội 1985. [7] Bùi Ngọc Ba, Đặng Đình Lộc, Bùi Trọng Lựu – Sức bền vật liệu tập 1 – NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp. Hà Nội 1993. [8] V Kim Cương, Hoàng Xuân Lượng – Sức bền vật liệu – Học viện kỹ thuật Quân sự Hà Nội 1990. [9] Chủ biên: Vũ Đình Lai – Bài tập Sức bền vật liệu – NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội 1986. [10] Chủ biên: Nguyễn Xuân Lựu – Bài tập Sức bền vật liệu – NXB Giao thông vận tải Hà Nội 2005. [11] Chủ biên: I.N Mirôliubôp – Người dịch: Vũ Đình Lai – Nguyễn Văn Nhậm – Bài tập Sức bền vật liệu – NXB Xây dựng Hà Nội 2002.