Dự thảo tóm tắt Luận án - Một số bài toán về tính ổn định và điều khiển được của hệ chuyển mạch tuyến tính

1 : Phản biện 2: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Vào hồi giờ ngày tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội. MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Lý thuyết ổn định và điều khiển của các hệ động lực được nghiên cứu từ những năm 60 của thể kỷ 20, còn các bài toán tương tự cho hệ chuyển mạch được các nhà nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 50 năm trở lại đây như Liberzon, 1973; Hespanha & More, 1998; Shorten & Narendra, 2000; Ge, Sun, 2003; G¨ocek, 2004; Lin, 2005; Liberzon & Trenn, 2009;... Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ con thời gian liên tục hoặc thời gian rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó. Dưới biểu diễn toán học đơn giản, một hệ thống thời gian liên tục như vậy có thể được mô tả bằng phương trình vi phân thay đổi theo thời gian dạng n x˙(t) = fσ(x(t)), x ∈ R , t ≥ 0, σ ∈ Σ, (1) trong đó, F := {fk(x): k ∈ N} là một họ hữu hạn các trường véc tơ liên tục Lipschitz ,N := {1, 2,...,N } , Σ là tập hợp các hàm hằng số từng khúc σ : [0, +∞)×Kn → N gọi là tín hiệu chuyển mạch hoặc luật chuyển mạch. Các hệ con có thể là hệ liên tục hay rời rạc, không suy biến (chính quy) hay suy biến. Tín hiệu chuyển mạch σ phụ thuộc vào biến thời gian t hoặc biến trạng thái x hoặc cả hai, hay chuyển mạch ngẫu nhiên với hàm phân phối cho trước. Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực, chẳng hạn như hệ thống cơ khí, ngành công nghiệp ô tô, điều khiển máy bay, chuyển đổi năng lượng (xem trong các cuốn sách Liberzon 2003 và Sun 2011). Một trong các bài toán quan trọng nhất trong những nghiên cứu hệ chuyển mạch là tìm các điều kiện để một hệ chuyển mạch ổn định với bất kỳ luật chuyển mạch nào hoặc có thể ổn định hóa được bởi một luật chuyển mạch thỏa mãn các ràng buộc cho trước. Các phương pháp được sử dụng nhiều nhất là phương pháp hàm Lyapunov, nguyên lý so sánh nghiệm, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) và đại số Lie. Dưới đây chúng tôi xin dẫn ra một vài kết quả tiêu biểu cho trường hợp hệ tuyến tính. Xét hệ chuyển mạch tuyến tính trong Kn dạng n x˙(t) = Aσ(t)x(t), x ∈ K , t ≥ 0, σ ∈ Σ, (2) trong đó, σ(·) : [0, +∞) → N là hàm hằng từng khúc, liên tục phải, Aσ(t) ∈ A := n×n {Ak ∈ K , k ∈ N }, t ≥ 0 là tập hữu hạn cho trước các ma trận cấp n trên trường số K, với K = R hoặc C. Khi đó nghiệm x = 0 của hệ chuyển mạch (2) ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch nếu tất cả các hệ con x˙(t) = Akx(t), t ≥ 0, k ∈ N , có chung hàm Lyapunov toàn phương dạng V (x) = x>P x, P là ma trận đối xứng xác định dương. Các trường hợp riêng của kết quả này khi tất cả các ma trận Ak của hệ con đều ổn định Hurwitz (tức là tất cả các giá trị riêng của chúng nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng phức) và giao hoán từng đôi một (được đưa ra bởi Narendra) hoặc 1 chuẩn tắc (xem Zhai) hoặc cùng đưa được về dạng ma trận tam giác trên (tức là tồn −1 tại một ma trận không suy biến T cấp n sao cho tất cả các ma trận T AkT, k ∈ N đều là ma trận tam giác trên xem Mori) và các điều kiện đại số dựa trên đại số Lie tạo bởi ma trận hệ con Ak, k ∈ N (theo Agrachev). Tuy nhiên đây chỉ là các điều kiện đủ. Một điều kiện cần và đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch đã được Monchanov và Pyatnitskii đã đưa ra đó là sự tồn tại hàm Lyapunov V (x) chung, trong đó V là hàm lồi chặt và thuần nhất bậc 2 đối với biến x. Bên cạnh các hướng nghiên cứu trên về hệ chuyển mạch, khía cạnh ổn định vững cho các hệ không chắc chắn hoặc chứa tham số nhiễu đã nhận được sự quan tâm đáng kể trong lý thuyết hệ thống và điều khiển trong những thập kỷ qua. Với hệ ổn định tiệm cận x˙(t) = A0x(t), t ≥ 0 người ta đo độ vững của tính ổn định tiệm cận cho hệ bằng khái niệm bán kính ổn định, được định nghĩa là số δ0 ≥ 0 lớn nhất sao cho hệ nhiễu x˙(t) = (A0 + ∆)x(t), t ≥ 0 vẫn ổn định tiệm cận với bất cứ n nhiễu ∆ ∈ K thỏa mãn k∆k < δ0. Trong trường hợp K = C, các công thức và thuật toán tính bán kính ổn định phức được Hinrichsen và Pritchard đưa ra năm 1986. Bài toán tương tự cho bán kính ổn định thực phức tạp hơn nhiều và được nghiên cứu năm 1995 bởi Qiu và các cộng sự. Về mặt hình học, bán kính ổn định là khoảng cách từ tập ổn định đến tập không ổn định của hệ thống. Xuất phát từ quan điểm lý thuyết cũng như thực tiễn, vấn đề mô tả và tính toán bán kính ổn định có tầm quan trọng rất lớn, do đó đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều các nhà toán học. Đáng chú ý là các vấn đề tương tự cũng đã được xem xét đối với các nhiễu tổng quát hơn, ví dụ: nhiễu có cấu trúc A0 → A0 + D∆E và N P đa nhiễu A0 → A0 + Di∆iEi cho nhiều loại hệ động lực tuyến tính khác, bao gồm i=1 hệ không dừng và hệ có trễ, hệ ẩn, hệ dương cũng như hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều, trong cả thời gian liên tục và rời rạc. Những người quan tâm đến bài toán ổn định vững của các hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu có thể tìm đọc chuyên khảo của Hinrichsen và Pritchard năm 2005, trong đó ngoài những kết quả toán học thú vị còn có một danh mục tài liệu tham khảo rất phong phú về chủ đề này. Một câu hỏi đặt ra là liệu người ta có thể xác định thước đo độ vững (bán kính ổn định) cho các hệ chuyển mạch tuyến tính hay không? Hơn nữa, làm thế nào để mô tả và tính toán được bán kính ổn định đó? Theo hiểu biết tốt nhất của chúng tôi, câu hỏi như vậy cho đến nay chưa được giải quyết, mặc dù các khía cạnh phân tích ổn định vững của lớp các hệ chuyển mạch đã được nghiên cứu bởi một số tác giả Liberzon, Y. Sun, Letel, Bagherzadeh, Zhang. Bản luận án này sẽ trả lời một phần cho các câu hỏi trên. Phần đầu Chương 2, chúng tôi đưa ra định nghĩa bán kính ổn định cho hệ chuyển mạch tuyến tính (2) với giả thiết ma trận của các hệ con chịu nhiễu Ak → Ak + Dk∆kEk, k ∈ N và sẽ thiết lập một số cận trên và cận dưới cho bán kính ổn định. 2 Trong một số trường hợp đặc biệt, các cận này sẽ cho ta công thức bán kính ổn định cho một số hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu không có cấu trúc. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng hầu hết các công trình đã biết về ổn định vững của hệ chuyển mạch luôn giả thiết ma trận nhiễu ∆i bị ràng buộc. Các kết quả của luận án không yêu cầu giả thiết nói trên, do đó đòi hỏi cách tiếp cận khác biệt. Tiếp theo, Chương 2 của Luận án nghiên cứu bài toán ổn định vững đối với các hệ chuyển mạch được mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ. Trong đó, tốc độ thay đổi của trạng thái không chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại của hệ thống mà còn phụ thuộc vào trạng thái của nó trong quá khứ. Cho đến nay, hầu hết các công trình trong lĩnh vực này đã tập trung vào phân tích độ ổn định cho các hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ rời rạc dạng 0 1 x˙(t) = Aσ(t)x(t) + Aσ(t)x(t − h), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (3) trong đó h > 0 là thời gian trễ. Hiện nay việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ có trễ bằng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương chung cổ điển đã được thay bằng các hàm Lyapunov-Krassovski. Để xây dựng hàm Lyapunov-Krassovski chung cho hệ có trễ dạng tổng quát là rất khó. Tuy nhiên, trong trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính dương có trễ, người ta có thể xây dựng được hàm Lyapunov đồng dương tuyến tính chung (tức là V (x) = v>x, v ∈ Rn, v  0). Ngoài ra, các tính chất phổ của ma trận không âm và kết quả từ lý thuyết về hệ dương cũng đã được sử dụng hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định của các hệ chuyển mạch dương tuyến tính. Phần cuối chương 2, dựa trên cùng cách tiếp cận trên, chúng tôi đưa ra một số tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát được mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm (FDE) tuyến tính 0 x˙(t) = Aσ(t)x(t) + Lσ(t)xt, t ≥ 0, σ ∈ Σ, (4) trong đó, với mỗi t ≥ 0, xt(θ) := x(t + θ), θ ∈ [−h, 0] và Lσ(t) là toán tử tuyến tính bị chặn từ C([−h, 0], Rn) vào Rn. Các tiêu chuẩn thu được sẽ bao gồm nhiều kết quả đã biết (liên quan đến sự ổn định tiệm cận của các hệ thống chuyển mạch có nhiều độ trễ rời rạc và độ trễ phân phối) như là các trường hợp đặc biệt. Áp dụng kết quả này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 0 tổng quát dạng (4) khi dữ liệu của hệ Aσ,Lσ chịu nhiễu cấu trúc và đưa ra một số ước lượng cho các bán kính ổn định. Mặc dù cũng đã có một số kết quả tương tự trong các trường hợp riêng đưa ra bởi Li nhưng theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay, bài toán ổn định vững cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ dạng tổng quát như trên được nghiên cứu lần đầu tiên trong luận án này. Song song với hướng nghiên cứu bài toán ổn định vững hệ chuyển mạch với mọi tín hiệu chuyển mạch, bài toán ổn định vững đối với các lớp tín hiệu chuyển mạch thỏa mãn các điều kiện hoặc ràng buộc, đặc biệt là các hệ chuyển mạch tuần hoàn cũng 3 được nghiên cứu nhiều. Trong thực tế, hệ chuyển mạch tuần hoàn đóng vai trò quan trọng chẳng hạn như trong mạch điện, bộ điều khiển, bộ lọc chuyển đổi và hộp số xe đã được đưa ra bởi Bolzern, Tokarzewski. Mô hình toán học của hệ chuyển mạch tuần hoàn được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình vi phân  x˙(t) = Akx(t); tk−1 + `T ≤ t < tk + `T ; k ∈ N, (5) x(t0) = x0; ` = 0, 1,... ; t ≥ t0. Hệ (5) có thể được biểu diễn dưới dạng hệ chuyển mạch (2) với tín hiệu chuyển mạch σ là hàm tuần hoàn, hằng từng khúc từ tập [0, +∞) vào tập chỉ số N xác định bởi σ(t) = k với t ∈ [tk−1 + `T, tk + `T ), trong đó k = 1,...,N; ` = 0, 1,.... Một số tác giả nghiên cứu về hướng này, chẳng hạn Anh, Dai, Go¨kcek, Shorten trong đó phân tích tính ổn định và ổn định hóa của các hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục hoặc thời gian rời rạc tuần hoàn. Đến năm 2009, Liberzon và Trenn đã có kết quả về hệ chuyển mạch suy biến dạng Eσ(t)x˙(t) = Aσ(t)x(t), trong đó Eσ(t) là tập hữu hạn các ma trận suy biến. Trong Chương 3, luận án đã đưa ra khái niệm bán kính ổn định cho lớp hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính và thiết lập một số ước lượng cho các bán kính ổn định dưới tác động của nhiễu lên cả hệ thống và các thời điểm chuyển mạch. Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa vững của các lớp hệ chuyển mạch tuyến tính, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương chung và nguyên lý so sánh nghiệm nhằm đưa ra các tiêu chuẩn ổn định mũ và sử dụng chúng để đánh giá tính ổn định vững và ổn định hóa vững của hệ. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục chịu nhiễu cấu trúc afin sau đây: • Hệ chuyển mạch tuyến tính x˙(t) = Aσ(t)x(t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, n×n Aσ(t) ∈ A := {Ak ∈ K , k ∈ N}, t ≥ 0. • Hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc ˆ x˙(t) = Aσ(t)x(t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, ˆ ˆ lk×qk Aσ(t) ∈A:={Ak +Dk∆kEk, ∆k ∈ K , k ∈ N}, t ≥ 0. • Hệ chuyển mạch có trễ tổng quát được mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính tổng quát Z 0 0 x˙(t) = Aσ(t)x(t) + d[ησ(t)(θ)]x(t + θ), t ≥ 0, σ ∈ Σ. −h 4 • Hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát chịu nhiễu cấu trúc Z 0 0 x˙(t) = Aeσ(t)x(t) + d[ηeσ(t)(θ)]x(t + θ), t ≥ 0, σ ∈ Σ, −h 0  0 0 0 0 rk×qk Aeσ(t) ∈ Ae:= Aek := Ak + Dk∆kEk, ∆k ∈ R , k ∈ N ,  1 1 sk×pk ηeσ(t)(·) ∈ Γe := ηek := ηk +Dkδk(·)Ek, δk ∈NBV ([−h, 0], R ), k ∈N . • Hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính  x˙(t) = Akx(t); tk−1 + `T ≤ t < tk + `T ; k ∈ N, x(t0) = x0; ` = 0, 1,... ; t ≥ t0. • Hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc hệ thống  x˙(t) = (Ak + Dk∆kEk)x(t); tk−1 + `T ≤ t < tk + `T ; k ∈ N, x(t0) = x0; ` = 0, 1,... ; t ≥ t0. • Hệ chuyển mạch tuần hoàn chịu nhiễu hệ thống và thời điểm chuyển mạch  x˙(t) = (Ak + Dk∆kEk)x(t); tk−1 + δtk−1 + `T ≤ t < tk + δtk + `T ; k ∈ N, x(t0) = x0; ` = 0, 1,... ; t ≥ t0. Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng các phương pháp của lý thuyết ổn định phương trình vi phân (lý thuyết hàm Lyapunov, nguyên lý so sánh nghiệm, lý thuyết Floquet), các phương pháp giải tích, giải tích hàm và đại số tuyến tính (lý thuyết Perron -Frobenius, định lý Hahn-Banach, biểu diễn Riesz, ...). Kết quả của luận án Luận án nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa vững cho hệ chuyển mạch tuyến tính và đã thu được các kết quả chính sau: • Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc của hệ chuyển mạch tuyến tính với mọi tín hiệu chuyển mạch. Đánh giá bán kính ổn định của hệ dựa trên hàm Lyapunov toàn phương chung và nguyên lý so sánh nghiệm. • Chứng minh một số điều kiện đủ về ổn định mũ cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát được mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm và sử dụng điều kiện thu được để đánh giá độ ổn định vững của hệ khi các ma trận chịu nhiễu cấu trúc affine. • Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc, đánh giá các cận của bán kính ổn định và ổn định hóa vững cho hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính. 5 Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại: - Xêmina bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. - Các hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội, 23- 25/4/2015), lần thứ 14 (Ba Vì, Hà Nội, 21-23/4/2016), lần thứ 15 (Ba Vì, Hà Nội, 20-22/4/2017) và lần thứ 17 (Ba Vì, Hà Nội, 18-20/4/2019). - The second Vietnam International Applied Mathematics Conference, HCM City, 12-2017. -Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 8-2018. Các kết quả chính của luận án đã được đăng trên các tạp chí Applied Mathematics and Computation (xem [CT1]), IET Control Theory & Applications (xem [CT2])) và một bài gửi đăng (xem [CT3]) . Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, danh mục các công trình công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về không gian định chuẩn, chuẩn toán tử tuyến tính và một số kết quả bổ trợ khác; lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tổng quát, hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ chuyển mạch tổng quát cũng như hệ chuyển mạch tuyến tính; bài toán ổn định vững các hệ chịu nhiễu đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ phương trình vi phân có trễ. Chương 2. Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính. Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương và nguyên lý so sánh nghiệm chúng tôi thiết lập điều kiện ổn định mũ. Tiếp theo, chúng tôi sử dụng điều kiện ổn định mũ thu được đo độ ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính và hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ. Chương 3. Tính ổn định vững và ổn định hóa vững của hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính. Chúng tôi đưa ra định nghĩa bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống hoặc nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyển mạch. Từ đó, chúng tôi đưa ra đánh giá cận trên/dưới cho các bán kính ổn định. Tiếp theo chúng tôi đưa ra khái niệm và các định lý về ổn định hóa nhanh và ổn định hóa chậm của hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc hệ thống. 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong Chương này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và kết quả đã biết về lý thuyết ổn định của các hệ động lực nói chung, các bài toán về ổn định vững của hệ tuyến tính và môt số kết quả bổ trợ sử dụng trong luận án. 1.1 Véc tơ và ma trận Cho hai ma trận thực cỡ l × q là A = (aij) và B = (bij) bất đẳng thức A ≥ B có nghĩa là aij ≥ bij với i ∈ l, j ∈ q. Đặc biệt nếu aij > bij với i ∈ l, j ∈ q thì ta viết > m l×q A  B thay cho A ≥ B. Với x = (x1, x2, ..., xm) ∈ R và P = (pij) ∈ R ta định > nghĩa giá trị tuyệt đối của véc tơ và ma trận như sau |x| = (|xi|) và |P | = (|pij|). Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian véc tơ trên trường K. Ánh xạ k · k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện với ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K: i)kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = 0; ii)kλxk = |λ|kxk; iii)kx + yk ≤ kxk + kyk. Cho ma trận A ∈ Kn×n ta định nghĩa và kí hiệu hoành độ phổ, bán kính phổ của A lần lượt là µ(A) := max{<λ : λ ∈ σ(A)}, ρ(A) := max{|λ| : λ ∈ σ(A)} trong đó σ(A) := {z ∈ C : det(zIn − A) = 0} là phổ của ma trận A. n×n n×n Bổ đề 1.1. Cho trước B ∈ R+ ,C ∈ C . Khi đó, |C| ≤ B ⇒ µ(A+C) ≤ µ(A+B). Định nghĩa 1.2. (Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M ∈ Kl×q chuẩn của kMxk toán tử tuyến tính M : Kq → Kl, x 7→ Mx xác định bởi kMk := max = x6=0 kxk  maxkxk=1 kMxk , được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M. Định nghĩa 1.3. Một ma trận thực cấp n được gọi là ma trận Metzler nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều không âm. Điều đó có nghĩa là ma trận A := n×n (aij) ∈ R , i, j ∈ n được gọi là ma trận Metzler nếu aij ≥ 0 với mọi i, j ∈ n, i 6= j. Định lý 1.1 (Định lý Perron-Frobenius ). Giả sử A ∈ Rn×n là ma trận Metzler và t ∈ R. Khi đó 7 n i) µ(A) là một giá trị riêng của A và tồn tại một véc tơ không âm x ∈ R+, x 6= 0 sao cho Ax = µ(A)x. ii) Giả sử α ∈ R cho trước. Khi đó, tồn tại một véc tơ không âm x ∈ Rn, x 6= 0, sao cho Ax ≥ αx khi và chỉ khi µ(A) ≥ α. −1 iii) (tIn − A) tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > µ(A). Định lý 1.2. Cho A ∈ Rn×n là ma trận Metzler. Những điều kiện sau đây là tương n đương: i) µ(A) < 0; ii) Tồn tại p ∈ R+, p  0 sao cho Ap  0; iii) A khả nghịch và −A−1 ≥ 0. k ∗ n×n A ∞ A A A+A Bổ đề 1.2. Cho ma trận A ∈ và e = P . Khi đó ke k ≤ ke 2 k. R k=0 k! Bổ đề 1.3. Cho A, B là các ma trận Hermit. Khi đó A λmax(A) i) λmax(A+B) ≤ λmax(A)+λmax(B); ii) −λmax(A) ≤ λmax(−A); iii) ke k = e . Bổ đề 1.4. Cho α, β, γ là các số dương và ω = max{α, β} thỏa mãn n 2 o Ω := (x, y) ∈ R : xy + αx + βy − γ ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 .  √ 2 αβ + γ − (α + β) nếu αβ + γ > ω2,   γ Khi đó, min {x + y} = nếu αβ + γ ≤ ω2 và ω = β > α, . (x,y)∈Ω β  γ  nếu αβ + γ ≤ ω2 và ω = α > β α 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov Xét hệ động lực được mô tả bởi hệ phương trình vi phân n x˙ = f(x), x ∈ R , t ≥ 0, (1.1) trong đó f : D → Rn là hàm Lipschitz địa phương trên tập mở D, 0 ∈ D, f(0) = 0 và thỏa mãn điều kiện sao cho với mọi x0 ∈ D thì (1.1) có duy nhất nghiệm, kí hiệu x(t) := x(t, x0) thỏa mãn x(0) = x0 và xác định trên toàn [0, +∞). Định nghĩa 1.4. i) Nghiệm x = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định (ổn định Lyapunov) nếu ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, x0) > 0 : kx0k < δ ⇒ kx(t)k < ε, ∀t ≥ 0. ii) Nghiệm x = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận (địa phương) nếu nghiệm đó ổn định và ∃δ = δ(ε, x0)> 0 :kx0k<δ thì lim x(t) = 0. t→+∞ iii) Nghiệm x = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ (địa phương) nếu ∃α > 0, β > −βt 0 và ∃δ = δ(ε, x0) > 0 : kx0k < δ thì kx(t)k ≤ α kx0k e , ∀t ≥ 0. 8 iv) Nghiệm x = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu nghiệm n đó ổn định và với mọi x0 ∈ thì lim x(t) = 0. R t→+∞ v) Nghiệm x = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ toàn cục nếu ∃α > 0, β > 0 −βt n sao cho kx(t)k ≤ α kx0k e , ∀t ≥ 0, ∀x0 ∈ R . Định lý 1.3 (Định lý Lyapunov). Xét hệ (1.1) và giả sử tồn tại hàm khả vi liên tục V : D → R sao cho i)V (0) = 0; ii)V (x) > 0, ∀x ∈ D, x 6= 0; iii)V 0(x)f(x) ≤ 0, ∀x ∈ D, x 6= 0, trong đó V 0(x) = gradV (x) = ( ∂V (x) , ∂V (x) ,..., ∂V (x) )> thì nghiệm x = 0 ∂x1 ∂x2 ∂xn của hệ (1.1) ổn định. Hơn nữa, nếu V 0(x)f(x) < 0, ∀x ∈ D, x 6= 0 thì nghiệm x = 0 của hệ (1.1) ổn định tiệm cận. Xét hệ chuyển mạch phi tuyến tổng quát có thể được mô tả bởi phương trình sau x˙ = fσ(t)(x), t ≥ 0, (1.2) trong đó x ∈ Rn là các biến trạng thái, Σ = {σ : [0, +∞) → N}- tập các tín hiệu chuyển mạch là các hàm hằng từng khúc, liên tục phải với tập chỉ số N = {1, 2,...,N} n và fk, ∀k ∈ N là các hàm Lipschitz trên toàn R , fk(0) = 0, ∀k ∈ N. Như vậy, ứng với hệ chuyển mạch (1.2), ta có N hệ con dạng x˙ = fk(x), k ∈ N. (1.3) Định lý 1.4. Nếu tất cả các hệ con (1.3) có chung một hàm Lyapunov V (x) thỏa mãn 0 n V (x)fk(x) < 0, ∀x ∈ R , x 6= 0, k ∈ N, thì nghiêm x = 0 của hệ chuyển mạch (1.2) là ổn định tiệm cận với mọi tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ. Xét hệ động lực tuyến tính dạng n x˙(t) = Ax(t), x(t) ∈ K , t ≥ 0, (1.4) n×n n trong đó A ∈ K , K = R hoặc K = C. Với mọi x0 ∈ K nghiệm của hệ (1.4) At thỏa mãn x(0) = x0 có thể biểu diễn dưới dạng x(t) = x(t, x0) = e x0. Hệ (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu kx(t, x0)k → 0 khi t → ∞. Điều này cũng tương đương µ(A) < 0.Ngoài ra, người ta thường xét hàm Lyapunov toàn phương dạng V (x) = x>P x, trong đó P ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó, hệ (1.4) là ổn định mũ nếu tồn tại ma trận P = P > > 0 thỏa mãn A>P + P A < 0. Xét hệ chuyển mạch tuyến tính có dạng n x˙ = Aσ(t)x, x ∈ R , t ≥ 0, σ ∈ Σ. (1.5) Ứng với hệ chuyển mạch (1.5) ta có N hệ con tuyến tính n x˙ = Akx, x ∈ R , t ≥ 0, k ∈ N. (1.6) Định lý 1.5. Nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương P thỏa mãn hệ bất đẳng > thức ma trận PAk + Ak P < 0 với mọi k = 1, 2, . . . , N. thì hệ chuyển mạch tuyến tính (1.5) ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ. 9 1.3 Bài toán ổn định vững các hệ chịu nhiễu 1.3.1 Ổn định vững hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ tuyến tính x˙ = Ax, x ∈ Kn, t ≥ 0 ổn định Hurwitz, nghĩa là µ(A) < 0 và hệ nhiễu có dạng A → A + D∆E. Bán kính ổn định có cấu trúc của hệ được định n×n nghĩa là rK(A, D, E) := inf{k∆k : ∆ ∈ K ,A + D∆E không ổn định Hurwitz}. −1 Công thức bán kính ổn định phức r (A, D, E) = sup σ (E(ısI − A)−1D) C s∈R max −1 và công thức bán kính ổn định thực r (A, D, E) = sup µ (E(ısI − A)−1D) . R s∈R R Công thức bán kính ổn định thực, bán kính ổn định phức có cấu trúc của hệ dương −1 −1 n×l q×n bằng nhau và rC(A, D, E) = rR(A, D, E) = kEA Dk , với D ∈ R+ ,E ∈ R+ là các ma trận xác định cấu trúc nhiễu không âm. 1.3.2 Ổn định vững hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Xét hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính dạng Z 0 x˙(t) = Ax(t) + d[η(θ)]x(t + θ), t ≥ 0, (1.7) −h trong đó h > 0 cố định, A ∈ Rn×n và η(·) ∈ NBV ([−h, 0], Rn×n) , ϕ ∈ C([−h, 0], Rn) là một điều kiện đầu của phương trình (1.7) xác định bởi x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0] luôn có duy nhất nghiệm x(t, ϕ), xác định trên toàn [0, +∞). Định nghĩa 1.5. Hệ (1.7) (hay hệ (A, η)) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại M ≥ 1 và α > 0 sao cho −αt n kx(t, ϕ)k ≤ Me kϕk, ∀t ≥ 0, ∀ϕ ∈ C([−h, 0], R ). Giả sử hệ có trễ (1.7) ổn định mũ và các ma trận của hệ chịu nhiễu affine dạng l0×q0 A → Ae := A + D0∆E0, ∆ ∈ C 1 1 l1×q1 η → ηeδ := η + D δE , δ ∈ NBV ([−h, 0], C ) (1.8) n×li qi×n trong đó, Di ∈ C ,Ei ∈ C , i ∈ M = {0, 1} là các ma trận xác định cấu trúc nhiễu, ∆ và δ(·) là các nhiễu chưa biết. Kích thước nhiễu l0×q0 l1×q1 ∆e := [∆, δ], ∆ ∈ C , δ ∈ NBV ([−h, 0], C ) được đo bởi giá trị k∆e k := k∆k + kδk, kδk = V ar[−h,0]δ(·). Khi đó, bán kính ổn định phức có cấu trúc của hệ (A, η) được định nghĩa bởi công thức n l0×q0 l1×q1 rC(A, η) := inf k∆e k; ∆e := [∆, δ], ∆ ∈ C , δ ∈ NBV ([−h, 0], C ), 10 o sao cho hệ nhiễu (A,e ηeδ) không ổn định mũ . (1.9) −1  R 0 sθ  Xét hàm truyền Gij(s) = EiH(s) Dj, i, j ∈ M với H(s) = sIn −A− −h e d[η(θ)] Định lý 1.6. Giả sử hệ (1.7) ổn định mũ và chịu nhiễu cấu trúc affine dạng (1.8) khi 1 1 đó, ≤ rC(A, η) ≤ . Hơn nữa, nếu D0 = maxi,j∈M; ω∈R kGij(ıω)k maxi∈M; ω∈R kGii(ıω)k 1 D1 hoặc E0 = E1 thì công thức bán kính ổn định phức rC(A, η) = . maxi∈M; ω∈R kGii(ıω)k Định nghĩa 1.6. Hệ (1.7) được gọi là dương nếu với bất kỳ hàm giá trị ban đầu n n ϕ ∈ C([−h, 0], R+) thì mọi nghiệm của hệ (1.7) thỏa mãn x(t, ϕ) ∈ R+ với mọi t ≥ 0. Định lý 1.7. Các mệnh đề sau đây là tương đương : i) Hệ (1.7) là hệ dương; ii) A ∈ Rn×n là ma trận Metzler và L là toán tử dương; iii) A ∈ Rn×n là ma trận Metzler và η(·) là đơn điệu tăng. Định lý 1.8. Hệ dương (1.7) là ổn định mũ nếu và chỉ nếu µ(A + η(0)) < 0. Giả sử (1.7) là hệ dương ổn định mũ và chịu nhiễu cấu trúc dạng (1.8) với các ma n×li qi×n trận cấu trúc Di ∈ R+ ,Ei ∈ R+ , i ∈ M = {0, 1} khi đó ta có định nghĩa bán kính ổn định của hệ n o r+(A, η) := inf k∆e k; ∆e := [∆, δ] ∈ D+, sao cho hệ nhiễu(A,e ηeδ) không ổn định mũ 0 0 n l ×q l1×q1 o trong đó, D+ = ∆e := [∆, δ], ∆ ∈ R+ , δ ∈ NBV ([−h, 0], R ) và ηeδ là hàm tăng . Định lý 1.9. Giả sử hệ dương (A, η) mô tả bởi phương trình vi phân phiếm hàm n×li (1.7) ổn định mũ và chịu nhiễu cấu trúc affine dạng (1.8) trong đó Di ∈ R+ ,Ei ∈ qi×n R+ , i ∈ M = {0, 1}. Nếu D0 = D1 hoặc E0 = E1 thì 1 1 rC(A, η) = rR(A, η) = r+(A, η) = = −1 . max kGii(0)k max kEi(−A − η(0)) Dik i∈M i∈M 1.4 Kết luận chương Trong Chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về véc tơ và ma trận; không gian định chuẩn, chuẩn toán tử tuyến tính và một số quả bổ trợ; lý thuyết ổn định Lyapunov cho các hệ phương trình vi phân tổng quát, hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ chuyển mạch đưa ra các khái niệm ổn định và hàm Lyapunov; bài toán ổn định vững các hệ chịu nhiễu đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ phương trình vi phân có trễ. 11 Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH BẤT KỲ TUYẾN TÍNH Kết quả của chương đã được đăng trong bài báo [CT2] và [CT3] đang gửi đăng. 2.1 Bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính 2.1.1 Nghiên cứu tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính sử dụng hàm Lyapunov toàn phương Xét hệ chuyển mạch tuyến tính trên Kn có dạng x˙(t) = Aσ(t)x(t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, n×n Aσ(t) ∈ A := {Ak ∈ K , k ∈ N}, t ≥ 0, (2.1) Nghiệm không của hệ thống (2.1) là ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch nếu tất cả các hệ thống con x˙(t) = Akx(t), t ≥ 0, k ∈ N, (2.2) có một hàm Lyapunov toàn phương chung dạng V (x) = x>P x trong đó P là ma trận > đối xứng xác định dương thỏa mãn hệ bất PAk + Ak P < 0 với mọi k = 1, 2, . . . , N. Trước tiên ta nghiên cứu lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tuyến tính thường dạng n x˙(t) = Ax(t), x ∈ K , t ≥ 0, (2.3) n×n với mỗi ma trận A ∈ K xác định toán tử tuyến tính LA : Hn → Hn cho bởi ∗ công thức LA(P ) = −(PA + A P ), trong đó Hn tập các ma trận Hermit và ma trận P ∈ Hn. Gọi UA là tập hợp tất cả các hàm Lyapunov toàn phương của hệ (2.3) (tức ˙ + là V (x(t)) < 0 ∀t ≥ 0 , x(t) là nghiệm của (2.3) sao cho x(0) = x0 6= 0). Gọi Hn là tập các ma trận Hermit xác định dương khi đó hệ phương trình tuyến tính (2.3) ổn + + định Hurwitz khi và chỉ khi tập UA := {P ∈ Hn : LA(P ) ∈ Hn } là khác rỗng. Giả thiết rằng hệ (2.3) là ổn định Hurwitz và ma trận P ∈ UA 6= ∅ điều này tương đương + + + P ∈ Hn và LA(P ) ∈ Hn . Vì ánh xạ LA phụ thuộc liên tục vào ma trận A và nón Hn là 12 + l×q n×l q×n mở, khi đó LA+D∆E(P ) ∈ Hn , với mọi nhiễu đủ nhỏ ∆ ∈ K và D ∈ K ,E ∈ K là các ma trận xác định cấu trúc nhiễu. Với mỗi ma trận P ∈ UA ta có thể đo chất ∗ lượng của hàm Lyapunov VP (x) = x P x bằng đại lượng l×q + dK(A, P, D, E):=inf{k∆k: ∆∈K , LA+D∆E(P )6∈Hn }. (2.4) ∗ Định lý 2.1. Nếu hệ (2.3) ổn định Hurwitz và VP (x) = x P x, P ∈ UA là hàm QLF của hệ thì độ vững dK(A, P, D, E) của VP (x) theo công thức (2.4) thỏa mãn λmin(LA(P )) dK(A, P, D, E) ≥ . 2kDkkEkλmax(P ) Ta đo mức độ tốt hàm Lyapunov của hệ (2.3) bằng d¯ (A, D, E) := sup d (A, P, D, E). K P ∈UA K Định lý 2.2. Nếu hệ (2.3) ổn định Hurwitz thì 1 ¯ ≤ dK(A, D, E) ≤ rK(A, D, E), (2.5) 2kDkkEkλmax(PI ) −1 trong đó rK(A, D, E) là bán kính ổn định có cấu trúc của A và PI = L (I) là nghiệm ∗ duy nhất của phương trình Lyapunov LA(P ) = −(PA + A P ) = I. n n Xét hệ chuyển mạch (2.1) trên K với mọi x0 ∈ K và tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ thì hệ chuyển mạch (2.1) có duy nhất nghiệm x(t, x0, σ), t ≥ 0 thỏa mãn x(0) = x0. Định nghĩa 2.1. Hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn các số dương M, β sao cho mọi nghiệm của hệ phương trình (2.1) thỏa mãn −βt kx(t, x0, σ)k ≤ Me kx0k, ∀t ≥ 0, (2.6) n với mọi x0 ∈ K và mọi tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ. Giả sử hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) ổn định mũ và các ma trận Ak, k ∈ N chịu nhiễu cấu trúc dạng Ak → Aˆk := Ak + Dk∆kEk, k ∈ N, (2.7) n×l q ×n trong đó, Dk ∈ K k ,Ek ∈ K k là các ma trận xác định cấu trúc nhiễu và ∆k ∈ Klk×qk , k ∈ N là các ma trận nhiễu chưa biết. Khi đó hệ chuyển mạch chịu nhiễu được mô tả như sau: ˆ x˙(t) = Aσ(t)x(t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (2.8) ˆ ˆ lk×qk Aσ(t) ∈A:={Ak +Dk∆kEk, ∆k ∈ K , k ∈ N}, t ≥ 0. n×l q ×n Để đơn giản ta đặt D := {Dk; Dk ∈ K k , k ∈ N}, E := {Ek; Ek ∈ K k , k ∈ l1×q1 l2×q2 N}. Ta đo kích thước của các nhiễu ∆ := (∆1, ∆2,..., ∆N ) ∈ K × K × ... × lN ×qN K bởi k∆kmax := maxk∈N k∆kk. Giả sử hệ chuyển mạch (2.1) ổn định mũ và có một QLF chung, tức là UA := ∩k∈N UAk 6= ∅, trong đó các nón UAk là tập các hàm Lyapunov toàn phương của các hệ con. Cho ma trận P ∈ UA, ta đặt α(P ) := min smin(LA (P )). (2.9) k∈N k 13 Định lý 2.3. Nếu hệ chuyển mạch (2.1) ổn định mũ và có hàm QLF chung thì hệ chuyển mạch chịu nhiễu (2.8) vẫn còn ổn định mũ với mọi nhiễu cấu trúc dạng (2.7) thoản mãn k∆k < 1 sup α(P ) , max 2M P ∈UA λmax(P ) trong đó M := max kDkkkEkk. (2.10) k∈N Định nghĩa 2.2. Giả sử hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) ổn định mũ và hệ thống chịu nhiễu cấu trúc. Ta định nghĩa bán kính ổn định như sau:  lk×qk r (A,D, E) := inf k∆kmax; ∆ =(∆1,..., ∆N ), ∆k ∈ K , K (2.11) ∃σ ∈ Σ sao cho (2.8) không ổn định mũ , Định lý 2.4. Nếu hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) ổn định mũ và có UA 6= ∅ thì bán kính ổn định có cấu trúc với nhiễu affine thỏa mãn 1 α(P ) sup ≤ rK(A, D, E) ≤ min{rK(Ak,Dk,Ek)}, (2.12) 2M P ∈ UA smax(P ) k∈N trong đó k ∈ N , rK(Ak,Dk,Ek) là bán kính ổn định có cấu trúc của hệ con (2.2). Hệ quả 2.1. Hệ chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn (2.8) ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch, nếu tồn tại ma trận Hermit P xác định dương sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn ∗ LAk (P ) = −(PAk + AkP ) là xác định dương với mọi k ∈ N, (2.13) α(P )