Đề thi môn giải tích phi tuyến - Học kì II - Năm học 2014-2015

liên tục trên [0, 1]× IR và u một hàm số thực liên tục trên [0, 1]. Giả sử u(x) = ∫ x 0 g(s, u(s)ds ∀ x ∈ [0, 1]. Hỏi u có khả vi trên (0, 1) hay không? 2. Cho n là một số nguyên dương. Đặt ||x|| = max{|x1|, · · · , |xn|} ∀ x = (x1, · · · , xn) ∈ IRn. Cho f là một hàm liên tục từ [0, 1] vào IRn. Hỏi bất đẳng thức sau đúng hay sai || ∫ 1 0 f(t)dt|| ≤ ∫ 1 0 ||f(t)||dt. 3. Cho E là C([0, 1], IR) và ||v|| = sup{|v(t)| : t ∈ [0, 1]} ∀ v ∈ E. Đặt K = {u ∈ E : ||u|| = 2015}. Hỏi: K có là một tập compắc trong (E, ||.||) hay không? 4. Cho D là một tập mở trong một không gian Banach E. Cho S và T là hai ánh xạ từ D vào E sao cho S(D) và T (D) là hai tập compắc trong E. Đặt H(t, x) = t2S(x) + (1− t3)T (x) ∀ (t, x) ∈ [0, 1]×D. Hỏi H([0, 1]×D) có compắc trong E? 5. Cho D là một tập mở trong một không gian Banach E. Cho f là một trường vectơ compắc từ D vào E sao cho 0 ∈ E \ f(∂D) và deg(0, f,D) = 1. Hỏi phương trình f(x) = 0 có thể có hai nghiệm khác nhau trong D hay không? Hết 1