Đề thi chọn học sinh giỏi giải toán trên máy tính Casio Lớp 12 - Năm học 2009-2010

Bài 1 : Cho hàm số 2 2 2 5 3( ) 3 1 x xy f x x x       Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho. Cách giải Kết quả AB  Bài 2 : Tính gần đúng hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số : 3 2 1( ) : ( ) 2 3 1C y f x x x x     và 2 33 3 2( ) : ( ) 2 2 3 1     C y g x x x x . Cách giải Kết quả 1x  2x  3 x Bài 3 Cho hai dãy số ( )nu và ( )nv có : 1 1 1 11; 2; 22 15 ; 17 12 ,( 1)n n n n n nu v u v u v v u n        . a/ Tính 5 10 15 18 5 10 15 18, , , , , , ,u u u u v v v v b/ Lập quy trình ấn phím. Cách giải Kết quả Quy trình ấn phím : Bài 4 Tìm số tự nhiên thứ 2010 sau dấu phẩy khi chia 1 cho 23 Cách giải Kết quả Bài 5 : Cho hàm số 3 2( ) 2 3( 3) 18 8y f x x a x ax      . Tìm a để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Cách giải Kết quả Bài 6 : Người ta cắt một tờ giấy hìnhvuông cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp .Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích lớn nhất. Cách giải Kết quả Bài 7 : Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000đ/tháng. Cứ ba năm anh ta lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền (Lấy chính xác đến hàng đơn vị). Cách giải Kết quả CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM Bài Cách giải Đáp số Điểm từng phần Điểm toàn bài 1 * 2 2 13x 22x 8y' 3x x 1      ; 11 17y' 0 x 13     * 11 17 11 17ShiftSTOA, ShiftSTOB 13 13   * f (A)ShiftSTOC, f (B)ShiftSTOD 2 2*AB (ALPHA A ALPHA B) (ALPHA C ALPHA D)    AB 1,4184 0,75x 2 1,5 2 * Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình : 3 2 2 33 32 3 1 2 2 3 1       x x x x x x * 2ALPHA X SHIFT x3– ALPHA X x2 – 3ALPHA X – 1 ALPHA = SHIFT 3 ALHA X x2 + 2  – SHIFT 3 ALHA X SHIFT x3 – 3 ALPHA X +1 1x 1,6180 1x 0,6180  1x 0,5  0.25 1.25 1.5 3 * 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B 1 SHIFT STO X ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA C ALPHA = 22 ALPHA B – 15 ALPHA A ALPHA : ALPHA D ALPHA = 17 ALPHA B -12 ALPHA A ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = 22 ALPHA D – 15 ALPHA C ALPHA : ALPHA B ALPHA = 17 ALPHA D -12 ALPHA C CALC = = = đến khi X = X + 1 bằng một trong các giá trị 5; 10; 15; 18 thì ấn thêm : = = = rồi ghi kết quả 5 10 15 18 5 10 5 5 u 767 u 192547 u 47517071 u 1055662493 v 526 v 135434 v 34219414 v 673575382               0,5 0,25x 4 1.5 4 * 1 0,(0434782608695652173913) 23  * 2010 ≡ 8 (mod 22) * số cần tìm là 8 Số thập phân thứ 2010 sau dấu phẩy là 8 0,5x2 1.0 5 * ĐTHS tiếp xúc Ox k.v.c.k hpt sau có nghiệm : 3 2 2 2x 3(a 3)x 18ax 8 0 6x 6(a 3)x 18a 0            3 22x 3(a 3)x 18ax 8 0 x 3 x a            3 2 27a 35 0 a 9a 8 0         a 1 a 1,2963 a 8,8990 a 0,8990      0,5 0,5x2 1.5 6 * Gọi cạnh đáy hình chóp là x, 2x (0; ) 2  . Chiều cao của hình chóp là : 2 22 x x 1 x 2h 2 2 2 2              Thể tích của khối chóp : 4 5 21 1 x 2 1 x x 2V x 3 2 3 2     * Xét hàm số : 4 5y x x 2  trên 2(0; ) 2 3 4 x 0 (l) y ' 4x 5x 2 ; y ' 0 2 2x (n) 5         BBT : x 0 2 2 5 2 2 y’ ║ + 0 - ║ y ║ ║ ║ ║ Vậy khi 2 2x 5  thì khối chóp đạt GTLN Cạnh đáy khối chóp là : x 0,5657 . 0,75x 2 1.5 7 * Từ đầu năm thứ 1 đến hết năm thứ 3, anh ta nhận được : 1u 700.000x36 đ * Từ đầu năm thứ 4 đến hết năm thứ 6, anh ta nhận được : 0 02u 700.000(1 7 )x36  đ * Từ đầu năm thứ 7 đến hết năm thứ 9, anh ta nhận được : 20 03u 700.000(1 7 ) x36  đ .. * Từ đầu năm thứ 34 đến hết năm thứ 36, anh ta nhận được : 110 012u 700.000(1 7 ) x36  đ Vậy sau 36 năm anh ta nhận được tổng số tiền là : 1 2 3 12u u u .... u    = 120 0 0 0 1 (1 7 )700000x36x 450788972 1 (1 7 )      đ 450788972 đ 0,75x 2 1.5 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài 1. ( 5 điểm) Cho các hàm số 5 2( ) 2008 3 2009 2007, ( 0)f x x x x x     . Tính các giá trị sau: f (1) ;f ( 2) ; f ( 2009) ; f ( 2008 2009 ) Cách giải Kết quả Bài 2. ( 5 điểm) 1) Tính gần đúng nghiệm của phương trình: 2 27x 8y 2360+ = . Cách giải Kết quả 2) Tính tổng 1 2 99 100... 2 3 3 4 100 101 101 102 S          . Lấy nguyên kết quả hiện trên màn hình. Cách giải Kết quả Bài 3. ( 5 điểm) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 2sin 2 4(sin cos ) 3x x x   Cách giải Kết quả Bài 4. ( 5 điểm) Cho 2 dãy số  nu và  nv với : 1 1 1 1 1; 2 22 15 17 12 n n n n n n u v u v u v v u           với n = 1, 2, 3, , k, .. 1. Tính 5 10 15 18 19 5 10 15 18 19, , , , ; , , , ,u u u u u v v v v v 2. Viết quy trình ấn phím liên tục tính 1nu  và 1nv  theo nu và nv . Cách giải Kết quả Bài 5. ( 5 điểm) 1) Xác định các hệ số a, b, c của hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 biết rằng f(x) chia cho (x – 16) có số dư là 29938 và chia cho (x2 – 10x + 21) có biểu thức số dư là 10873 3750 16 x  . 2) Tính chính xác giá trị của biểu thức số: P = 3 + 33 + 333 + ... + 33.....33 13 chữ số 3 Cách giải và quy trình bấm phím Kết quả 1) 2) Bài 6. ( 5 điểm) 1. Tìm chữ số tận cùng của số: 20082009 . 2. Tìm UCLN của 40096920 , 9474372 và 51135438. Cách giải Kết quả 1) 2) Bài 7. ( 5 điểm) 1) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có ba chữ số là abc sao cho 3 3 3abc a b c   . Có còn số nguyên nào thỏa mãn điều kiện trên nữa không ? Nêu sơ lược cách tìm. 2) Cho dãy số có số hạng tổng quát : sin(2 sin(2 sin(2 sin 2)nu      (n lần chữ sin) Tìm 0n để với mọi 0n n thì nu gần như không thay đổi (chỉ xét đến 10 chữ số thập phân), cho biết giá trị 0nu . Nêu qui trình bấm phím. Cách giải và quy trình bấm phím Kết quả 1) abc  2) Bài 8. ( 5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A(-1; 3) cố định, còn các đỉnh B và C di chuyển trên đường thẳng đi qua 2 điểm M(-3 ; -1), N(4 ; 1). Biết rằng góc 030ABC  . Hãy tính tọa độ đỉnh B. Cách giải Kết quả Bài 9. ( 5 điểm) Cho hình ngũ giác đều nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính R = 3,65 cm. Tính diện tích (có tô màu) giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính AB là cạnh của ngũ giác đều và đường tròn (O) (hình vẽ). Cách giải Kết quả Bài 10. ( 5 điểm) Cho tam giác ABC có các đỉnh )3;9( A , 3 1; 7 7 B     và  1; 7C  . 1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến đi qua điểm  4;1M  . Cách giải Kết quả -----------------------------------------Hết------------------------------------------ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Thí sinh làm trực tiếp vào bản đề thi này, nếu không có yêu cầu gì thêm hãy làm tròn với năm chữ số thập phân. Câu 1: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k nguyên dương thỏa mãn: f(2009) = 2010; f(2010) = 2011 Chứng minh rằng: f(2011) – f(2008) là số lẻ. Cách giải Kết quả Câu 2: Tìm a2009 biết 1 1 0 ( 1) ( 1) ; * ( 2)( 3)n n a n na a n N n n         Cách giải Kết quả Câu 3: Tính chính xác ƯCLN và BCNN của hai số a = 24614205, b = 10719433 Cách giải Kết quả Câu 4: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thỏa mãn hai tính chất sau: 1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị. 2) Là số chính phương. Cách giải Kết quả Câu 5: Tính diện tích phần gạch chéo(được giới hạn trong 4 cung tròn như hình vẽ), biết ABCD là hình vuông cạnh 5,35 cm; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Cách giải Kết quả Câu 6: Cho 3sin 0,3 0 ; cos 0,3 2 2 x x y y                   Tính gần đúng giá trị của biểu thức sau 5 2 2 5 2 2 7 7 tan ( 2 ) cot ( 2 ) sin ( ) cos ( ) x y x yP x y x y        Cách giải Kết quả A N B P C Q D M ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài Cách giải Đáp số Điểm TP Điểm toán bài - Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(2009) = g(2010) = 0. Ta được g(x) = f(x) – x – 1. - Tính giá trị của f(x) ta được f(x) = k(x – 2009)(x – 2010)(x – x0) + x + 1 1 Từ đó tính được f(2011) – f(2008) = 3(2k + 1) là số lẻ với mọi k nguyên dương 5 - Tính vài số hạng đầu bằng quy trình: 1 0SHIFT STO A SHIFT STO B ( 1 )ANPHA C ANPHA ANPHA A ANPHA A  ( ( 2 ) ( 3 ) )ANPHA A ANPHA A    ( 1 ) :ANPHA B ANPHA ANPHA A ANPHA  1 ) :ANPHA A ANPHA ANPHA B ANPHA ANPHA C  Ta được dãy: 1 7 27 11 13 9, , , , , ,... 6 20 50 15 14 8 2.5 2 Dự đoán số hạng tổng quát      1 2 1 10 1n n n a n     , chứng minh bằng quy nạp. Từ đó ta được 2009 2008.4019 20100 a  401,5001 2.5 5 Dùng thuật toán Euclide ƯCLN(24614205, 10719433) = 21311 21311 2.5 3 BCNN(24614205, 10719433) = 24614205.10719433 12380945115 21311  12380945115 2.5 5 4 - Gọi số cần tìm là: 1 2 3 4 5 6n a a a a a a - Đặt 1 2 3x a a a . Khi ấy 4 5 6 1x a a a x   và 21000 1 1001 1n x x x y      hay   1 1 7.11.13y y x   . Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai thừa số của vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái. 183184, 328329, 528529, 715716 5 5 Diện tích hình gạch chéo MNPQ bằng diện tích hình vuông ABCD trừ 4 lần diện tích của một phần tư hình trong bán kính a/2.  222 414. . 4 4 4MNPQ aaS a     6,14cm2 5 6 5 2 2 5 2 2 7 7 tan ( 2 ) cot ( 2 ) sin ( ) cos ( ) x y x yP x y x y        sin 0.3SHIFT SHIFT STO A  cos ( 0.3 ) 2SHIFT SHIFT     2 2 2 2 (( tan ( 2 ) ^ 5 ( tan ( 2 ) ^ 5) ( ( sin ( ) ) ^ 7 ( cos ( ) ^ 7 ANPHA A X ANPHA B X ANPHA A X ANPHAB X ANPHA A ANPHA B ANPHA A ANPHA B         978,7071 5 1 ĐỀ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Nếu không có yêu cầu gì thêm, hãy tính chính xác đến 4 chữ số thập phân. Bài 1: (3 điểm) Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình 3(sin cos ) 5sin cos 2x x x x   Bài 2: (3 điểm) Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y ax b  đi qua điểm (5;2)A và là tiếp tuyến của Elip 2 2 1 16 9 x y   Bài 3: (3 điểm) Cho biết tanx = tan350.tan360.tan370 .tan520.tan530 và 00 < x < 900 Tính 2 3 2 3 3 3 tan (1 os ) cot (1 sin ) ( os sin )(1 osx + sinx) x c x x xM c x x c       Bài 4: (3 điểm) Một số tiền 58000 đồng được gửi tiết kiệm theo lãi kép. Sau 25 tháng được cả vốn lẫn lại là 84155 đ. Tính lãi suất/tháng. Bài 5: (3 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2sin 3cos 1 cos + 2 x xy x    Bài 6: (3 điểm) Cho các hàm số 2 2 4 2 3 5 2sin( ) ; ( ) 1 1 cos x x xf x g x x x       . Hãy tính giá trị của các hàm hợp ( ( ))g f x và ( ( ))f g x tại 3 5x  . Bài 7: (5 điểm) Cho dãy số nu xác định bởi:  1 2 3 1 1 21; 2; 3;...; 2 3 3        n n n nu u u u u u u n a) Tính giá trị của 4 5 6 7, , ,u u u u b) Viết quy trình bấm phím để tính 1nu ? c) Sử dụng quy trình bấm phím trên để tính 10 21 25 28, , ,u u u u Bài 8: (3 điểm) Tính tổng diện tích hình nằm giữa hình thang và ngoài hình tròn (phần màu đậm) biết chiều dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diện tích hình thang bằng 20m2. Bài 9: (3điểm) Cho hàm số y = 2 2 2 7 4 5 6 x x x x     . Tính y(5) tại x = 5 3 Bài 10: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = 27 , BC = 26 ,CD = 25 ,BD= 24 và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD. Tính VABCD. Bài 11: (5 điểm) Cho phương    6log 47 6 1  xx m a) Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình khi m = 0,4287 b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm Bài 12: (3 điểm) Cho đa thức          2 3 151 2 1 3 1 ... 15 1        P x x x x x Được viết dưới dạng   2 150 1 2 15...    P x a a x a x a x . Tìm hệ số 10a --------Hết------- 2 ĐÁP ÁN Bài 1: Tính gần đúng các nghiệm ( độ, phút, giây ) của phương trình 3(sin cos ) 5sin cos 2x x x x   Cách giải Kết quả Điểm Đặt 0sin cos 2 sin( 45 ), 2t x x x t     Suy ra 2 1sin .cos 2 tx x  Pt 1 2 2 3 14 55 6 1 0 3 14 5 t t t t             0 0 3 14sin( 45 ) 5 2 3 14sin( 45 ) 5 2 x x            0 0 1 27 26 '32,75" 360x k  0 0 2 62 33'27, 25" 360x k  0 0 3 51 1'14,2" 360x k   0 0 4 141 1'14, 2" 360x k  0.5 1 1 0.5 Bài 2: Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y ax b  đi qua điểm (5;2)A và là tiếp tuyến của Elip 2 2 1 16 9 x y   Cách giải Kết quả Điểm Do điểm (5;2)A thuộc đường thẳng (d): y ax b  , nên ta có 5a + b = 2 (1) Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Elip: 2 2 2 2 2 2 216 9A a B b C a b     (2) Thay (1) vào 2) : 29 20 5 0a a   (*) Vào Equation giải phương trình bậc hai (*) ta được kết quả. 1 1 2,44907 10, 24533 a b     2 2 0, 22684 3,13422 a b     1 1 1 Bài 3: (3 điểm) Cho biết tanx = tan350.tan360.tan370 .tan520.tan530 và 00 < x < 900 Tính 2 3 2 3 3 3 tan (1 os ) cot (1 sin ) ( os sin )(1 osx + sinx) x c x x xM c x x c       Cách giải Kết quả Điểm tanx = tan350 tan360 x = 26,96383125 M= 2,483639682 1 2 Bài 4: (3 điểm) Một số tiền 58000 đồng được gửi tiết kiệm theo lãi kép. Sau 25 tháng được cả vốn lẫn lại là 84155 đ. Tính lãi suất/tháng. 3 Cách giải Kết quả Điểm A: số tiền có được sau n tháng, a: số tiền gửi ban đầu, r: lãi suất và n: số tháng Suy ra công thức lãi kép A = a( 1+ r)n. Từ đây suy ra 1n Ar a   . Bấm máy ta được kết quả 1,5% 1 1 1 Bài 5: (3 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2sin 3cos 1 cos + 2 x xy x    Cách giải Kết quả Điểm Ta biến đổi 2sin 3cos 1 cos + 2 x xy x    về phương trình: 2sinx + (3 – y)cosx =2y + 1 Vậy pt có nghiệm khi    2 222 3 2 1y y    . Suy ra: 5 61 5 61 3 3 y     4, 270083225 0,936749892y   1 1 1 Bài 6: (3 điểm) Cho các hàm số 2 2 4 2 3 5 2sin( ) ; ( ) 1 1 cos x x xf x g x x x       . Hãy tính giá trị của các hàm hợp ( ( ))g f x và ( ( ))f g x tại 3 5x  . Cách giải Kết quả Điểm Đổi đơn vị đo góc về Radian Gán 3 5 cho biến X, Tính 2 2 2 3 5 1 X XY X     , ta được giá trị 1,523429229Y  và lưu vào bộ nhớ Y (STO Y), Tính 4 2sin( ) ( ( )) 1.997746736 1 cos Yg Y g f x Y     . Làm tương tự ta cũng được: ( ( )) 1,784513102f g x  4 2sin( ) 1 cos ( ( )) 1.997746736     Yg Y Y g f x ( ( )) 1,784513102f g x  1 1 1 Bài 7: (5 điểm) Cho dãy số nu xác định bởi:  1 2 3 1 1 21; 2; 3;...; 2 3 3        n n n nu u u u u u u n a) Tính giá trị của 4 5 6 7, , ,u u u u b) Viết quy trình bấm phím để tính 1nu ? c) Sử dụng quy trình bấm phím trên để tính 10 21 25 28, , ,u u u u Cách giải Kết quả Điểm 4 a) 1 2 6 710; 22; 51; 125   u u u u b) Quy trình bấm phím Nhập biểu thức: X = X + 1 : D = C + 2B + 3A :A= = B: B = C: C = D Với các giá trị ban đầu: X = 3; A = 1; B = 2; C = 3 a) 1 2 6 7 10; 22; 51; 125     u u u u c) 10 21 25 28 1657; 22383417; 711474236; 9524317645     u u u u 1 1 1 Bài 8: (3 điểm) Tính tổng diện tích hình nằm giữa hình thang và ngoài hình tròn (phần màu đậm) biết chiều dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diện tích hình thang bằng 20m2. Cách giải Kết quả Điểm Diện tích hình thang: 20m2. Diện tích một quạt lớn: Squạt lớn = 4.2919 m2. Diện tích một quạt nhỏ: Squạt nhỏ = 1.9829 m2. Diện tích phần cần tìm: S = Shình thang – 2(Squạt lớn + Squạt nhỏ) 7.4378cm2 1 1 1 Bài 9: Cho hàm số y = 2 2 2 7 4 5 6 x x x x     . Tính y(5) tại x = 5 3 Cách giải Kết quả Điểm y = 3 162 ( 2)( 3) x x x     = 2 ( 2) ( 3) A B x x     . Suy ra 3x – 16 = (A + B)x – (3A + 2B)  A = 10, B = -7. Do đó y = 2 + 10 7 2 3x x    . Suy ra y(n) = ( -1)n+1.7. 1n)3x( !n  + ( -1)n.10. 1n)2x( !n  y(5)( 5 3 )  - 154,97683 1 1 1 Bài 10: (5 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = 27 , BC = 26 ,CD = 25 ,BD= 24 và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD. Tính VABCD. Cách giải Kết quả Điểm Đặt a = AB = 7 2 ; b = CD = 5 2 ; c = BD = 4 2 ; d = BC = 6 2 Ta có nửa chu vi tam giác BCD: p = (b + c + d)/2 và S = ))()(( dpcpbpp  Trung tuyến BB’ = 222 22 2 1 bdc  VABCD  59,32491 (đvdt) 1 1 1 5  BG = 3 2 BB’ = 222 22 3 1 bdc   AG = 22 BGAB  . Vậy V = 3 1 S.AG Bài 11: Cho phương    6log 47 6 1  xx m a) Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình khi m = 0,4287 b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để phương trình (1) có nghiệm Cách giải Kết quả Điểm a) Đặt  6 0 xX X Quy về: 2 47 6 0  mX X (2) Giải ra được: 1 246,9541; 0,04591 X X b) (1) có nghiệm  (2) có nghiệm X > 0 Lập bảng biến thiên suy ra 2476 3,523910966 4   m m a) 1 22,4183; 1,7196  x x b) m = 3 1 1 1 Bài 12: Cho đa thức          2 3 151 2 1 3 1 ... 15 1        P x x x x x Được viết dưới dạng   2 150 1 2 15...    P x a a x a x a x . Tìm hệ số 10a Cách giải Kết quả Điểm                         10 0 1 10 10 10 10 10 11 0 1 10 10 11 11 11 11 11 11 12 10 10 12 13 10 10 13 14 10 10 14 15 10 10 15 10 10 10 10 11 10 1 10 ... 11 1 11 ... 12 1 12 ... ... 13 1 13 ... ... 14 1 14 ... ... 15 1 15 ... ... 10 11 1                               x C C x C x x C C x C x C x x C x x C x x C x x C x a C C 10 10 1012 13 14 10 15 2 13 14 15 63700     C C C C 0 63700a 1 1 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài 1. ( 10 điểm) Cho hàm số : 3 2 3 3 ( ) log 12 xx f x x    . Tính tổng: S = f(cot21) + f(cot22) + f(cot23) + + f(cot220) Bài 2. (10điểm) Tính gần đúng nghiệm (theo đơn vị độ, phút, giây) của phương trình: sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x Bài 3. (10 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f(x) os2 2 2 2 ( 1).s inx 3 1 c x x x x       trên [0;1] Bài 4. (20 điểm) a) Tìm x biết : 2 613 23 1 (2 3) 33772562x x xxA C P x x      với nP là số hoán vị của n phần tử, knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử. b) Tìm hệ số của các số hạng chứa x8 và x19 trong khai triển nhị thức Niutơn của 5 3 1 ( )nx x  , biết rằng: 116 15 7( 3)n nC C n    ( n: nguyên dương, x > 0) Bài 5. ( 30điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = 3,54 cm; AD = 4,35 cm; SA = 5,22 cm. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 6. ( 10điểm) Tính giá trị của biểu thức: N = 20 12 20122001 20 12 20122002 ... 20 12 20122008 20 12 20122009        Bài 7.( 10điểm) Tính gần đúng đạo hàm cấp 30 của hàm số: f(x) = sin2x tại x = 201209 5  ---Hết--- ĐÁP ÁN (Dành cho máy FX- 570ES) Bài 1. ( Chế độ: Rad) Cách 1: X = X + 1: A = A + 2 1 tan( )2 3 2 2 3 1 ( ) 3 tan( ) 1 log 12 tan( ) X X X                    CALC 0 X, 0  A = = cho đến khi X nhận giá trị 20 thì dừng, đọc kết quả ở biến B Kết quả: S 160,0595 Cách 2: Khai báo : 2 1 tan( )2 3 20 2 21 3 1 ( ) 3 tan( ) 1 log 12 tan( ) X X X X X                                   Bài 2. Biến đổi phương trình: sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x thành: 4tan3x- 2tan2x – 3tanx + 6 = 0 0 0 0 0 0 0 60 .180t anx 1,732050808 t anx 2 63 26 '6 '' .180 t anx 1,732050808 60 .180 x k x k x k                Bài 3. ( RAD, TABLE) Nhập hàm: os2 2 2 2 ( 1).s inX 3 ( ) 1 c X X f X X X       = Start? 0 = End? 1 = Step? 0,04 = Suy ra [0;1] min ( ) (0) 5f x f  AC Start? 0,44 = End? 0,56 = Step? 0,005 = AC Start? 0,48 = End? 0,5 = Step? 0,001 = Suy ra [0;1] max ( ) 6,7389f x  Bài 4. a) Điều kiện: n nguyên dương, n 13. Khai báo : X = X + 1: 2 613 2 1 1 (2 3) 33772562 X X X X XA C P X X         CALC 0 A = = cho đến khi biểu thức bằng 0, ứng với X = 11 b) Điều kiện: n nguyên dương, n 15. * Khai báo: Y = Y + 1 : 1 16 15 7( 3) Y YC C Y    CALC 0 Y = = cho đến khi biểu thức bằng 0, ứng với Y =12 = n * 5 1112 12 365 12 3 12 2 2 12 123 0 0 1 ( ) ( ) ( ) . k k k k k k k x C x x C x x          -36+11 44.28 8 2 11 k k    .Hệ số của x8 là: 812 495C  -36+11 55.219 10 2 11 k k    .Hệ số của x19 là: 1012 66C  Bài 5. +Chứng minh và tính toán: * Đặt: AB = a,AD = b, SA = c * Dựng C’:Trong (ABCD), gọi: O = AC BD Trong (SBD), gọi: I = SO B’D’ Trong (SAC): AI  SC = C’ * BC AB, AB (ABCD)  SA  BC BC  (SAB) BC AB’, mà: AB’SB AB’ (SBC) AB’SC (1) Tương tự AD’ SC (2) (1) & (2) SC (AB’C’D’)  SC AC’ * . ' ' . ' ' .S AB C S ABC V SB SC V SB SC  ; . ' ' . ' ' .S AC D S ACD V SC SD V SC SD  * VS.ABC= 1 . 3 SA SABC = 1 6 abc=VS.ACD * SAB vuông tại A có: SB = 2 2 2 2SA AB a c   và SA.AB=Ab’.SB 2 2 . ' SA AB ac AB SB a c      SB’ = 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' a c c c SA AB c a c a c a c         *Tương tự: SD’ = 2 2 2 c b c ; SC’ = 2 2 2 2 c a b c  Do đó: VS.AB’C’ = VS.ABC. 5 2 2 2 2 2 ' ' . 6( )( ) SB SC abc SB SC a c a b c     VS.AC’D’ = VS.ACD. 5 2 2 2 2 2 ' ' . 6( )( ) SC SD abc SC SD a b c b c     Vậy: VS.AB’C’D’= VS.AB’C’ +VS.AC’D’ = 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 2 ) 6( ) 6( )( )( ) abc abc a b c a b c a c b c a b c a c b c               + Khai báo: 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ( 2 ) 6( )( )( ) A BC A B C A B C A C B C       CALC 3,54  A; 4,35  B;5,22  C +Kết quả: VS.AB’C’D’  7,9297 (cm3) Bài 6. Khai báo: A = A – 1: B = 20 12 A B  CALC 20122010  A, 0  B = = cho đến khi A = 20122001 thì dừng, đọc kết quả ở B Kết quả: 2088,5103 Bài 7. f’(x) = 2sinx.cosx = sin2x; f’’(x) = 2cos2x = 2sin(2x + 2  ) f’’’(x) = 22.cos(2x + 2  ) = 22.sin(2x + 2. 2  ); f(30) (x) = 229.sin(2x + 29. 2  )  f(30) (201209 5  ) = 229.sin(2.201209 5  + 29. 2  )  165902235,9 c b a I O C A B D S D ' B 'C ' ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT ( Làm tròn 4 chữ số thập phân ) Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 + 2y2 = 2009. Bài 2: Cho hàm số s inx ( )f x x  .Tính f(f(f(f(2)))) (có 2009 chữ f). Bài 3: Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số 2 2 2 3 4 5 x x y x     cách đều hai trục toạ độ. Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi bình phương số đó ta được số tự nhiên có dạng 2009...2009 . Bài 5: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết rằng P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72. Tính P(30). Bµi 6: Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 33s inx cos 2 3s inx cos x x     . Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau: 1 2 2 1 1 1 2 3n n n u u u u u         Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy số (un). Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): 2 2 1 16 9 x y   và điểm B nằm tuỳ ý trên đường thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB. Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% một tháng. Mỗi tháng ông A phải rút ra 1 triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt. a) Hỏi số tiền ông A có được sau 1 năm là bao nhiêu? b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ khi gửi tiền) thì ông A không thể rút ra được số tiền lớn hơn 90 triệu đồng? Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm. Và 02 1 40 3 2 BAC CAD BAD      . Tính giá trị gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD. CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM Bài Cách giải Đáp số Điểm 1 2 22009 2 0 0 31x y y      2 0 Y Y 1:X= (2009 2 ) Y Y     x = 21 y = 28 2,0 2 Mode Mode Mode Mode 2 (sử dụng đơn vị radian) sin 2 2 sin X X X X   Bấm dấu = nhiều lần (17 lần) cho đến khi được một số không đổi 0.876726215 0.8767 2,0 3 Giả sử M(x:y)  ĐTHS 2 2 2 3 4 5 x x y x     cách đều hai trục toạ độ, tức là 2 2 2 3 4 5 x x x x     Dùng lệnh SHIFT SOLVE (gán X=1 và gán X = 0.5) M1(0,7024;0,7024) M2(-0,4127;0,4127) 2,0 4 Bước 1: Tìm 4 chữ số tận cùng của số cần tìm x sao cho 2 ...2009x  . Bước 2: Chèn vào giữa 2009đầu và 2009 cuối các số 0 rồi các số 9(số các số 0 bằng số các số 9) Bước 3: Thử lại chỉ có 448253 thoả mãn bài toán Có 6 số: 3253,8253,1747, 2997,6747,7997. Kết quả: 448253 2,0 5 P(1) = 8 =2.(1+1)2, P(2) =18 = 2(2+1)2, P(3) = 32 = 2(3+1)2, P(4) = 50 = 2(4+1)2, P(5) = 72 = 2(5+1)2 Suy ra P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2(x+1)2 P(30) = 14252522 2,0 6 Đặt 3sin cost x x  thì 2 12 3 0 3 t t t t         Khi t = 1 thì 0 0 0 0 180 360 3sin cos 1 36 52 '12" 360 x k x x x k         Khi t = -3 thì 0 0 0 0 90 360 3sin cos 3 53 7'48" 360 x k x x x k            Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là           0 0 0 0 0 0 0 0 180 360 , 36 52'12" 360 90 360 , 53 7'48" 360 x k x k x k x k 2,0 7 2 ,1 , 1 ,0 2 : 2 3 : 2 3 : D A B X D D A B A B A B X X A B               22 4092S  2,0 8 Vì đường thẳng :5x – 7y – 35 = 0 cắt tia Ox và tia Oy’ nên điểm A thuộc góc phần tư thứ tư. Gỉa sử 23( ; ) ( ), 0, 16 4A A A A A A x y E x y x     AB ngắn nhất khi B là hình chiếu vuông góc của A lên  nên 2 2 2 5 7 35 ( , ) 5 ( 7) 21 5 16 35 4 74 A A A A x y AB d A x x            Xét hàm số 2 21 ( ) 5 16 35,0 4 4 f x x x x      Ta có 2 21 '( ) 5 0 4 16 80 29 x f x x x       (vì x >0) SHIFT d/dx 2 21 80 5 , ) 3,4565 0 294 16 x x      f(0) = -14, f(80/29) = -6, f(4) = -15 nên 15 ( ) 6, (0;4]f x x      Do đó AB nhỏ nhất bằng 6 0,6975 74  ABmin  0.6975 1,0 1,0 Sau n tháng ông A có số tiền là:                     1 2 2(1 ) (1 ) (1 ) ... (1 ) (1 ) (1 ) 1 =A(1+r) (1 ) 1 (1 ) 1 n n n n n n C A r r r r r r r r a) Sau 1 năm số tiền của ông A là:         12 (1 ) 1 =A(1+r) (1 ) 1 98,2651 (1 ) 1 n n rC r r 98,2651 triệu đồng 9 b)            (1 ) 1 A(1+r) (1 ) 1 90 35,4 (1 ) 1 n n r r n r 36 tháng 1,0 1,0 10 Lấy M là trung điểm của AC và lấy điểm N trên cạnh AD sao cho AN = 1. Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp(BMN) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. ^ 2 2 0 0 0 2 . .cos 2sin 20 2sin 40 , 2sin30 1 2 ( )( )( )BMN BM AB AM AB AM BAM BN MN BM BN MN p S p p BM p BN p MN               2 2 . . , 4. ( ,( )) BMN BM BN MN OB S AK d A BMN AB OB     Thể tích khối chóp A.BMN là 1' . 3 BMN V AK S Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì ' 1 1 1 . . 1. . 2 5 10 ' 0,0086 10 V AB AM AN V AB AC AD V V      0,0086 cm3 2,0 ..Hết... ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 + 2y2 = 2009. Bài 2: Cho hàm số s inx ( )f x x  .Tính f(f(f(f(2)))) (có 2009 chữ f). Bài 3: Tìm điểm M trên trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 2 2 2 3 . 4 5 x x y x     Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi bình phương số đó ta được số tự nhiên có dạng 2009...2009 . Bài 5: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết rằng P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72. Tính P(30). Bài 6: Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 33s inx cos 2 3s inx cos x x     . Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau: 1 2 2 1 1 1 2 3n n n u u u u u         Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy số (un). Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): 2 2 1 16 9 x y   và điểm B nằm tuỳ ý trên đường thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB. Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% một tháng. Mỗi tháng ông A phải rút ra 1 triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt. a) Hỏi số tiền ông A có được sau 1 năm là bao nhiêu? b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ khi gửi tiền) thì ông A không thể rút ra được số tiền lớn hơn 90 triệu đồng? Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm. Và