Chuổi Fourier và hai bài toán Vật Lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ----------------------- Dương Minh Hiển Tố CHUỖI FOURIER VÀ HAI BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CẢM ƠN Qua thời gian học tập lớp cao học chuyên ngành toán giải tích (khóa 15), tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến các thầy, cô khoa toán hai trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh đã hết lòng tham gia giảng dạyï những tri thức và kinh nghiệm quý báu về toán học. Kiến thức toán học mà các thầy, cô truyền thụ đã cho chúng tôi sự hiểu biết sâu sắc, đầy đủ hơn những gì đã được học ở bậc đại học. Hơn nữa, các thầy, cô đã cho chúng tôi sự tự tin, niềm say mê nghiên cứu khoa học, dù chỉ là bước đầu chập chững. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cô TS. Lê Thị Thiên Hương đã dành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình viết luận văn. Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn học viên khoá 15 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt khóa học. MỞ ĐẦU Chuỗi Fourier (Joseph Fourier, 1768-1830) của một hàm tuần hoàn biểu diễn hàm đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng   1 ( ) cos sin 2 o n n n af x a nx b      nx (1) hay ở dạng phức ( ) inxn n f x c     e (2) Việc nghiên cứu chuỗi này bắt nguồn từ các ngành của vật lí như lí thuyết dao động và lí thuyết truyền nhiệt. J. Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước đó của Euler, d’Alembert và Daniel Bernoulli. J. Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình nhiệt, các công trình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811, cuốn Lí thuyết giải tích về nhiệt học (Théorie analytique de la chaleur) của ông được công bố vào năm 1822. Nhiều nhà toán học nổi tiếng, trong đó có Riemann, Cantor và Lebesgue gắn liền với ngành này. Hoàn toàn có thể nói rằng, trong thời đại của chúng ta, với sức hấp dẫn và sự phát triển của mình, chuỗi Fourier đang chiếm một vị trí quan trọng trong giải tích. Luận văn nghiên cứu chuỗi Fourier và ứng dụng của nó trong hai bài toán vật lí là dao động của dây và truyền nhiệt trong thanh. Nội dung của luận văn bao gồm các chương mục sau Chương 1 trình bày lí thuyết chuỗi Fourier. Chương 2 trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt trong thanh. Chương 3 trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình dao động của dây. Sau cùng là kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn, tuy nhiên, do kiến thức toán học của bản thân còn hạn chế và thời gian nghiên cứu không nhiều nên luận văn khó tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự góp ý của quí thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. Tác giả Chương 1. CHUỖI FOURIER 1.1.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM TUẦN HOÀN CHU KÌ 2 1.1.1.Hàm tuần hoàn Hàm f(x) xác định trên D được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một hằng số dương T sao cho với mọi x thuộc D i) x T D  ii)f(x+T)=f(x) (1.1) Số T>0 nhỏ nhất có tính chất như vậy được gọi là chu kì tuần hoàn của hàm f(x). Các hàm tuần hoàn quen biết nhất là các hàm sinx, cosx, tanx, cotx,…Ta thường gặp các hàm tuần hoàn trong nhiều ứng dụng của toán học vào các bài toán vật lí và kĩ thuật. Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm tuần hoàn có cùng chu kì T cũng luôn luôn là hàm tuần hoàn có chu kì T. Nếu ta dựng đồ thị của hàm tuần hoàn y=f(x) đối với các giá trị của x thuộc một đoạn [a,a+T] nào đó, thì đồ thị của toàn bộ hàm này sẽ nhận được bằng cách lặp lại tuần hoàn phần đã dựng được (hình 1.1) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x f(x) Hình 1.1 1.1.2.Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kì 2 Giả sử đối với hàm f(x) có chu kì 2 ta có khai triển sau   1 ( ) cos sin (1.2) 2 o k k k af x a kx b kx      Số hạng hằng số ở đây được kí hiệu 2 o để cho các công thức này có tính đối xứng. Ta lập bài toán tính các hệ ,k kb với k=1, 2,… khi biết hàm f(x). Muốn vậy ta giả thiết chuỗi (1.2) và các chuỗi sẽ nhận được có tích phân của tổng bằng tổng các tích phân (ta giả thiết cả tính khả tích của f(x) a số ). ,oa a Lấy tích phân đẳng thức (1.2) trên đoạn [-;], ta có 1 ( ) cos sin 2 o k k k af x dx dx a kxdx b kxdx                       Do sincos 0 cossin 0 kxkxdx k kxkxdx k                    nên ( ) (1.3)of x dx a      Nhân hai vế của đẳng thức (1.2) với cosnx và lấy tích phân trên đoạn [-;], ta được 1 ( )cos cos cos cos sin cos 2 o k k k af x nxdx nxdx a kx nxdx b kx nxdx                       Ta cũng có sincos 0nxnxdx n         Khi : k n 1cos cos [cos( ) cos( ) 02kx nxdx k n x k n xdx            Khi k = n: 2 1 cos 2cos 2 nxnxdx dx           Như vậy ( )cos .nf x nxdx a      (1.4) Tương tự ta tìm được ( )sin .nf x nxdx b      (1.5) Từ (1.3), (1.4) và (1.5) suy ra   1 ( )cos ( 0,1,2,...) 1.6 1 ( )sin ( 1,2,...) n n a f x nxdx n b f x nxdx n                Vậy, nếu hàm f(x) khả tích và có thể khai triển thành chuỗi lượng giác thì các hệ số được tính theo các công thức (1.6). ,n na b Bây giờ cho trước một hàm khả tích có chu kì 2 nào đó, ta muốn biểu diễn hàm này dưới dạng chuỗi lượng giác. Các hệ số tính theo các công thức (1.6) được gọi là các hệ số Fourier của hàm f(x), còn chuỗi lượng giác với các hệ số này được gọi là chuỗi Fourier của nó. Ta chú ý rằng trong các công thức (1.6) có tính tích phân các hàm có chu kì 2. Vì vậy đoạn tích phân [-;] có thể được thay bằng đoạn bất kì có độ dài 2. Ngoài các công thức (1.6) ta còn có ,n na b   2 2 1 ( ) cos ( 0,1,2,..) 1.7 1 ( )sin ( 1,2,..) a n a a n a a f x nxdx n b f x nxdx n              Khi lập chuỗi Fourier của hàm f(x) và chưa biết nó có hội tụ đến f(x) hay không, ta viết   1 ( ) cos sin 2 o k k k af x a kx b     kx Cách viết này có nghĩa là hàm f(x) tương ứng với chuỗi Fourier ở vế phải. Khi ta chứng minh được tính hội tụ của chuỗi và tổng của nó bằng f(x) thì ta viết   1 ( ) cos sin 2 o k k k af x a kx b      kx Ví dụ 1.1: Tìm chuỗi Fourier của hàm f xác định bởi      0 khi - x<0 ( ) 1 khi 0 x< f x vaø  ( 2 ) ( )f x f x Giaûi Ta coù haøm f tuaàn hoaøn chu kì 2 vaø coù ñoà thò (hình 1.2) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x f(x) Hình 1.2 Töø coâng thöùc (1.6) ta coù 0 0 1 1 1 1( ) 0. 1 0 . 1oa f x dx dx dx                  1 ( )cosna f x nxdx      01 10 cosdx nxdx          0 1 sin 10 . . sin sin 0 . nx n n n         0 0 0 1 1 1( )sin 0 sinnb f x nxdx dx nxdx             0, n=2m 2 , n=2m+1 khi khi n     0 1 cos 10 . . cos cos 0nx n n n         Chuoãi Fourier cuûa haøm f laø  f x   1 cos sin 2 o k k k a a kx b k     x 1 2 1 2 1 cos cos 2 ... sin sin 2 ... 2 1 2 20 0 .. sin 0.sin 2 .sin 3 ... 2 3 1 2 2sin .sin 3 ... 2 3 1 2 sin(2 1) 2 (2 1) o k a a x a x b x b x x x x x x k x k                              Tổng riêng thứ n n 1 2 2 2S (x) sin .sin 3 ... sin 2 3 x x n n       x trong đó n lẻ. Đồ thị của hàm Sn(x) (hình 1.3) -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5 0.5 1 1.5 f(x) x S1 S3 a) b) -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5 0.5 1 1.5 f(x) x -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5 0.5 1 1.5 x f(x) S9 S15 c) d) Hình 1.3 Ta thấy rằng, khi n càng lớn, hàm Sn(x) càng xấp xỉ hàm f hơn. Đồ thị của Sn(x) tiến gần đến đồ thị hàm f(x), ngoại trừ tại x=0 và các điểm k (kZ). Nói cách khác, f(x) bằng tổng của chuỗi Fourier của nó, ngoại trừ tại các điểm mà f không liên tục. 1.1.3.Dấu hiệu hội tụ của chuỗi Fourier Định lí: Cho hàm f tuần hoàn với chu kì 2, bị chặn và đơn điệu từng khúc trên mỗi chu kì. Khi đó chuỗi Fourier của hàm f hội tụ, tổng của chuỗi Fourier bằng f(x) tại mọi điểm x mà hàm f liên tục. Tại những điểm xo mà hàm f không liên tục, tổng chuỗi fourier hội tụ về giá trị 1 ( ) ( ) 2 o o f x f x    trong đó ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) o o o x x o x x f x f x f x f         x Nếu áp dụng định lí về dấu hiệu hội tụ cho hàm f trong ví dụ 1.1, ta có 00 (0 ) lim ( ) 1 (0 ) lim ( ) 0 x x f f x f f x           và kết quả tương tự với các điểm khác mà hàm f không liên tục. Hơn nữa ta có 1 1(0 ) (0 ) 2 2 f f     Vậy với mọi số nguyên n, ta có 1 1 2( ) sin(2 1) 2 (2 1) ( ), x n 1 , x=n 2 k S x k x k f x khi khi            1.1.4.Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì 2 Giả sử hàm f(x) khả tích trên đoạn [-;]. Đối với hàm này ta lập chuỗi Fourier  1 ( ) cos sin 2 o n n n a f x a nx b    nx (1.8) trong đó 1 ( )cos ( 0,1,2,..) 1 ( )sin ( 1,2,..) n n a f x nxdx n b f x nxdx n                (1.9) Ta sử dụng đẳng thức Euler liên hệ các hàm lượng giác với hàm mũ cos sinie i    Suy ra cos ,sin 2 2 i i i ie e e e i           Vì vậy ta có thể viết cos ,sin 2 2 inx inx inx inx inx inxe e e e e enx i i        2  Thay vào (1.8) ta được 1 ( ) 2 2 2 inx inxo n n n n n a a ib a ibf x e e         (1.10) Nếu đặt , , ( 1,2,..)2 2 2 o n n n n o n n a a ib a ibc c c n      (1.11) thì tổng riêng thứ m của chuỗi (1.10), tức là của cả chuỗi (1.8), có thể được viết là 1 ( ) ( ) m m inx inx inx m o n n n n n S x c c e c e c e       m  (1.12) Vì vậy ta có cách viết ( ) inxn n f x c e    (1.13) Đây là dạng phức của chuỗi Fourier của hàm f(x). Tính hội tụ của chuỗi (1.13) được hiểu như tính tồn tại giới hạn khi của các tổng đối xứng (1.12). m  Các hệ số cn cho bởi công thức (1.11) được gọi là các hệ số Fourier phức của hàm f(x). Đối với các hệ số này có các hệ thức sau 1 ( ) ( 0, 1, 2,..) 2 inx nc f x e dx n         (1.14) Thật vậy, nhờ đẳng thức Euler và các công thức (1.11) ta có 1 1 1( ) [ ( ) cos ( )sin ] ( ) 2 2 2 inx n n nf x e dx f x nxdx i f x nxdx a ib c                   1 1 1( ) [ ( )cos ( )sin ] ( ) 2 2 2 inx n n nf x e dx f x nxdx i f x nxdx a ib c                  Đối với hàm thực f(x) có các hệ số cn và c-n là các số phức liên hợp. Điều này suy ra từ (1.11). Ta nhận thấy các công thức (1.14) có thể nhận được bằng cách tính trực tiếp giống như các công thức (1.9), nếu giả thiết rằng trong (1.13) thay dấu () bởi dấu (=) và phép tích phân từng phần của các chuỗi là đúng. Thật vậy, khi nhân cả hai vế của đẳng thức ( ) ikxn k f x c     e với e -inx và tích phân vế phải từng thành phần trên đoạn [-;] ta tìm được ( ) 2 (1.15)inx nf x e dx c      Vì với k  n ta có ( )1 [cos( ) sin( ) ] 0 2 i k n x k kc e dx c k n x i k n x dx                tức là tất cả các tích phân ở vế phải sẽ bằng 0, trừ tích phân tương ứng khi k=n ta được 2 nc . Các công thức (1.14) được suy ra từ (1.15). 1.2.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM CHẴN, HÀM LẺ CHU KÌ 2 1.2.1.Hàm chẵn, hàm lẻ Giả sử hàm f(x) cho trước trên toàn trục Ox, hay trên một đoạn nào đó đối xứng qua gốc tọa độ. Ta nói f(x) là hàm chẵn nếu với mọi x ta có f(-x) = f(x) Từ định nghĩa này suy ra rằng đồ thị của mọi hàm chẵn y=f(x) đối xứng qua trục Oy. Đối với hàm chẵn ta có 0 ( ) 2 ( ) (1.16) l l l f x dx f x dx    với mọi l ( chỉ cần f(x) xác định và khả tích trên đoạn [-l;l]) Ví dụ 1.2: Hàm số là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy (hình 1.4) 2 cosy x x -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 x f(x) Hình 1.4 Ta gọi hàm số f(x) là hàm lẻ nếu với mọi x ta có f(-x)=-f(x) Đồ thị của hàm lẻ y=f(x) đối xứng qua gốc O(0;0). Đối với hàm lẻ ta có ( ) 0 (1.17) l l f x dx   với mọi l ( chỉ cần f(x) xác định và khả tích trên đoạn [-l;l]) Ví dụ 1.3: Hàm số y=x3-2x là hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc O (hình 1.5) -1 1 -2 -1 1 2 x f(x) Hình 1.5 Từ định nghĩa hàm chẵn và hàm lẻ dễ dàng suy ra 1)Tích của hai hàm chẵn, hay hai hàm lẻ là một hàm chẵn 2)Tích của một hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm lẻ. Thật vậy, Nếu ( ), ( )x x  là các hàm chẵn thì đối với ( ) ( ). ( )f x x x  ta có : ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( )f x x x x x f x         Nếu ( ), ( )x x  là các hàm lẻ thì đối với ( ) ( ). ( )f x x x  ta có : ( ) ( ). ( ) [ ( )].[ ( )] ( ). ( ) ( )f x x x x x x x f x              Như vậy tính chất 1) đã được chứng minh. Nếu ( )x là hàm chẵn, ( )x là hàm lẻ thì đối với ( ) ( ). ( )f x x x  ta có : ( ) ( ). ( ) ( ).[ ( )] ( ). ( ) ( )f x x x x x x x f x               Như vậy tính chất 2) đã được chứng minh. 1.2.2. Chuỗi Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ chu kì 2 Giả sử f(x) là hàm chẵn, tuần hoàn, có chu kì 2. Vì hàm cosnx (n=0,1,2,..) là hàm chẵn nên theo tính chất 1) ở 1.2.1) ta có f(x).cosnx là hàm chẵn. Vì hàm sinnx (n=1,2,..) là hàm lẻ, nên theo tính chất 2) ở (1.2.1) ta có f(x).sinnx là hàm lẻ. Khi đó do (1.6), (1.16) và (1.17), đối với các hệ số Fourier của hàm chẵn f(x) ta có 0 1 2( )cos ( ) cos ( 0,1,2,..) (1.18) 1 ( )sin 0( 1,2,..) n n a f x nxdx f x nxdx n b f x nxdx n                     Do đó, chuỗi Fourier của hàm chẵn chỉ chứa hàm cosin, tức là 1 ( ) cos 2 o n n af x a    nx (1.19) trong đó các hệ số an được tính theo các công thức (1.18). Bây giờ giả sử f(x) là hàm lẻ, tuần hoàn có chu kì 2. Vì cosnx (n=0,1,2,..) là hàm chẵn nên theo tính chất 2) ở (1.2.1) ta có f(x).cosnx là hàm lẻ, còn hàm sinnx (n=1,2,..) là hàm lẻ, nên f(x).sinnx là hàm chẵn. Khi đó do (1.6), (1.16) và (1.17), đối với các hệ số Fourier của hàm lẻ f(x) ta có 1 ( )cos 0( 0,1,2,..) (1.20) 1 2( )sin ( )sin ( 1, 2,..) n n a f x nxdx n b f x nxdx f x nxdx n                       Do đó, chuỗi Fourier của hàm lẻ chỉ chứa hàm sin, tức là 1 ( ) sinn n f x b    nx (1.21) trong đó các hệ số bn được tính theo các công thức (1.20). Vì chuỗi Fourier của hàm lẻ chỉ chứa hàm sin nên rõ ràng nó luôn luôn hội tụ đến 0 khi x dần tới ,0,  (nói chung x dần tới k), bất kể giá trị của f(x) tại các điểm này bằng bao nhiêu. Ta thường gặp bài toán khai triển hàm f(x) trên đoạn [0,] theo hàm cosin hay hàm sin. Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm cosin ta có thể lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách chẵn từ đoạn [0,] ra đoạn [-,0] (hình 1.6) 1 ( ),0 ( ) ( ), 0 f x x f x f x x          Hàm 1f được gọi là thác triển chẵn của hàm f. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 x f(x) Hình 1.6 Khi đó với hàm chẵn vừa thác triển, thì tất cả các lí luận ở trên đều đúng, do đó các hệ số Fourier có thể được tính theo các công thức 0 2 ( )cos ( 0,1,2,..) (1.22) 0( 1, 2,..) n n a f x nxdx n b n         Trong các công thức này chỉ có mặt các giá trị cho trước trên đoạn [0,] của f(x). Do đó, khi tính toán thực tế có thể không cần làm phép thác triển chẵn như đã nêu. Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm sin ta có thể lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách lẻ từ đoạn [0,] ra đoạn [-,0] (hình 1.7). 2 ( ),0 ( ) ( ), 0 f x x f x f x x          Hàm 2f được gọi là thác triển lẻ của hàm f Khi đó các hệ số Fourier được tính theo công thức 0( 0,1,2,..) (1.23)2 ( )sin ( 1,2,..) n n a n b f x nxdx n         -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x f(x) Hình 1.7 Vì ở đây chỉ có giá trị f(x) trên đoạn [0,] nên cũng như trong trường hợp chuỗi theo hàm cosin, thực tế không cần thực hiện phép thác triển hàm f(x) từ đoạn [0,] ra đoạn [-,0]. Tuy nhiên để khỏi mắc sai lầm khi sử dụng dấu hiệu hội tụ trong (1.1.3), ta cần phác vẽ đồ thị của hàm f(x) với thác triển chẵn hay lẻ của nó trên đoạn [-,0] và với thác triển tuần hoàn (theo chu kì 2) trên trục Ox. Ví dụ 1.4: Tìm chuỗi Fourier cosin của hàm f(x)=x với  0,x  Giải Theo (1.22) ta có 0 0 0 2 2( ) cos cosn a a f x nxdx x nxdx              2 22 2cos 1 1 1 ( 1,2,..)nn nn n       0 ( 1, 2,..)nb n  Do đó 1 4 1 1( ) cos (cos cos3 cos 5 ..) 2 2 9 25 o n n af x a nx x x x          n=1 1 2 3 1 2 3 x f(x) n=3 1 2 3 1 2 3 x f(x) Hình 1.8 Ví dụ 1.5: Tìm chuỗi Fourier sin của hàm f(x)=1 với  0,x  Giải Theo (1.23) ta có 0 0 0( 0,1, 2,..) 2 2( )sin sin 2 2( cos 1) (1 ( 1) ) ( 1, 2,..) n n n a n b f x nxdx nxdx nx n n n                    Do đó 4 1 1( ) sin sin 3 sin 5 .. 3 5 f x x x x       n=1 1 2 3 4 1 x f(x) n=5 1 2 3 1 x f(x) 4 Hình 1.9 Ví dụ 1.6: Tìm chuỗi Fourier của hàm f(x)=x2 với x    , f(x+2)=f(x) Giải Ta có f là hàm chẵn, đồ thị của f được vẽ trên hình (1.10) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x f(x) Hình 1.10 Vì f liên tục, trơn từng khúc nên theo dấu hiệu hội tụ ở (1.1.3), chuỗi Fourier sẽ hội tụ khắp nơi về hàm f. Ta có 3 2 2 0 0 2 2 2 3 00 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 2 2cos sin cos sin 4 4cos ( 1) . ( 1,2,..) 0( 1,2,..) o n n n xa x dx xa x nxdx x nx nx nx n n n n n n n b n                              Vậy 2 2 2 1 1( ) 4(cos cos 2 cos3 ..) 3 2 3 f x x x x     -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x f(x) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x f(x) Hình 1.11 (n=1,n=3) Ví dụ 1.7: Tìm chuỗi Fourier của hàm f(x)=x với x    , f(x+2)=f(x) Giải Ta có f là hàm lẻ, đồ thị của f được cho trên hình (1.12) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -3 -2 -1 1 2 3 x f(x) Hình 1.12 Theo (1.23) ta có: 2 0 1 0( 0,1,2,..) 2 2 1sin cos sin 2 2cos .( 1) ( 1, 2,..) n n n a n xb x nxdx nx x n n n n n n                       Vậy 1 1( ) 2(sin sin 2 sin 3 ..) 2 3 f x x x x    -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -3 -2 -1 1 2 3 x f(x) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -3 -2 -1 1 2 3 x f(x) Hình 1.13 (n=1,n=3) 1.3.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM TUẦN HOÀN CHU KÌ TÙY Ý 1.3.1.Chuỗi Fourier của hàm có chu kì tùy ý Nếu một hàm f tuần hoàn có chu kì khác 2, ta tìm chuỗi Fourier của nó bằng phép đổi biến số. Giả sử hàm f(x) có chu kì 2l , nghĩa là f(x+2l)=f(x) với mọi x. Đặt xt l  và ( ) ( ) ltg t f x f        thì ta xác định được hàm g có chu kì 2 và x l  tương ứng với t   . Chuỗi Fourier của hàm g là   1 ( ) cos sin (1.24) 2 o n n n ag t a nt b nt     trong đó 1 ( ) cos ( 0,1,2,..) 1 ( )sin ( 1,2,..) n n a g t ntdt n b g t ntdt n                Trở lại biến x ban đầu ta có chuỗi Fourier của hàm f(x) là 1 ( ) cos sin 2 o n n n a n x n xf x a b l l         (1.25) trong đó 1 ( )cos ( 0,1,2,..) (1.26) 1 ( )sin ( 1,2,..) l n l l n l n xa f x dx n l l n xb f x dx n l l            Ví dụ 1.8: Tìm chuỗi Fourier của hàm f xác định bởi: ( )f x x với 1 1x   và f(x+2)=f(x) với mọi x. Giaûi Đồ thị của hàm f được biểu diễn ở hình (1.14), f có chu kì T=2l=2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 1 x f(x) Hình 1.14 Từ (1.26) ta có các hệ số Fourier là 0 11 0 1 2 2 0 1 1 0 1 0 1 1( ) ( ) 1 1 2 l l x xa f x dx x dx x dx xdx l                   2  Khi n≥1 ta có:   1 1 1 0 11 2 2 01 2 2 2 2 1 ( )cos cos( ) 2 cos( ) 12 cos( ) 2 sin( ) cos( ) 0, 22 cos 1 4 , 2 1 l n l n xa f x dx x n x dx x n x l l xx n x dx n x n x n n khi n k n n khi n k n                                    dx  1 1 1 ( )sin sin( ) 0 l n l n xb f x dx x n x dx l l         (Do cos( )x n x là hàm chẵn, sin( )x n x là hàm lẻ) Từ đó, chuỗi Fourier của hàm f là 2 2 2 2 2 1 4 4 4( ) cos( ) cos(3 ) cos(5 ) .. 2 3 5 f x x x x        hay  2 21 1 4( ) cos[(2 1) ] 2 2 1n f x n n x     n=1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 1 x f(x) n=3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 1 x f(x) Hình 1.15 1.3.2.Chuỗi Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ chu kì tùy ý Giaû söû f(x) laø haøm chaün, tuaàn hoaøn coù chu kì 2l. Tương tự trường hợp haøm coù chu kì 2, ta coù theå ñònh nghóa chuoãi Fourier cuûa f trong caùc tröôøng hôïp f laø haøm chaün hay haøm leû. Töø keát quaû ôû (1.3.1), vôùi pheùp ñoåi bieán xt l  và ( ) ( ) ltg t f x f        ta ñöôïc haøm g coù chu kì 2 và tương ứng với tx  l   . Chuỗi Fourier của hàm g là   1 ( ) cos sin (1.27) 2 o n n n ag t a nt b nt     trong đó 1 1( ) cos ( ) cos ( 0,1, 2,..) 1 1( ) sin ( ) sin ( 1, 2,..) l n l l n l n xa g t ntdt f x dx n l l n xb g t ntdt f x dx n l l                                 Neáu f(x) laø haøm chaün thì ( )sin n xf x l    laø haøm leû. Do ñoù n0 b =0 (n=1,2,..) 1 2( )cos ( )cos (n=0,1,2,..) l l n l n x n xa f x dx f x dx l l l l                   (1.28) Chuỗi Fourier của haøm f laø 1 ( ) cos (1.29) 2 o n n a n xf x a l        Neáu f(x) laø haøm leû thì ( ) cos n xf x l    laø haøm leû. Do ñoù 0 0 ( 0,1,2,..) (1.30)1 1( )sin ( )sin ( 1,2,..) 2 n l l n l a n n x n xb f x dx f x n l l l l               Chuoãi Fourier cuûa haøm f laø 1 ( ) sin (1.31)n n n xf x b l       Ví duï 1.9: Tìm chuoãi Fourier cuûa haøm f(x)= sin x Giaûi Ta coù f laø haøm chaün, chu kì  vaø sin x =sinx vôùi  0,x  , neân 0 0 0 2 2( ) sina f x dx x dx         00 2 2sin . cosxdx x         2 4cos cos 0         0 0 0 0 2 2( ) cos sin cos 1 sin( ) sin( ) 1 sin(1 ) sin(1 ) na f x nxdx x nxdx x nx x nx dx n x n x dx                               0 1 1 1 cos(1 ) cos(1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 n n n n n x n x n n n n n                                        n      2 2 1 1 1 11 1 2. . 1 1 n n n n n n n ( 1)            Khi n=1, ta có   1 0 0 0 2 1sin cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2 cos 0 0 2 2 a x xdx xdx x                     0nb  , với mọi n≥1 Vậy chuỗi Fourier của hàm f là f(x)   2 2 1 12 2sin cos 1 n n x nx n       n=2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x f(x) n=4 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x f(x) Hình 1.16 Ví dụ 1.10: Tìm chuỗi Fourier của hàm số và f(x+4)=f(x) ( ) , 2;2f x x x    Giải Ð? th? c?a hàm f du?c bi?u di?n ? hình (1.17) -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 x f(x) Hình 1.17 Ta có f là hàm lẻ, tuần hoàn, có chu kì T=2l=4. Từ (1.30) ta có các hệ số Fourier 0 ( 0,1, 2,.na n  .) 2 0 1 ( )sin sin 2 l n l n x n xb f x dx x l l           dx   2 2 2 0 1 2 4cos sin 2 2 1 .44 cos n x n x n x n n n n n                 Chuỗi Fourier của hàm f   1 1 1 .4 ( ) sin 2 n n n xf x n          n=3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 x f(x) n=7 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 x f(x) Hình 1.18 1.3.3.Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì tùy ý Gi? s? hàm f(x) cĩ chu kì 2l. Theo (1.25) ta cĩ chu?i Fourier c?a hàm f(x) là 1 ( ) cos sin 2 o n n n a n x n xf x a b l l         (1.32) Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng công thức Euler cos sin in x l n x n xe i l l     ; i2=-1 Suy ra cos 2 sin 2 in x in x l l in x in x l l n x e e l n x e e l           Từ đó ta có khai triển chuỗi Fourier dạng mũ 1 1 1 ( ) [ ] 2 2 2 1 1( ) ( ) 2 2 2 in x in x in x in x l l l l o n n n in x in x o l l n n n n n n a e e e ef x a ib a a ib e a ib e                           Các hằng số được xác định như sau 1 ( ) 2 2 1 1( ) ( ) cos ( )sin 2 2 1 ( ) 2 1 1( ) ( ) cos ( )sin 2 2 1 ( ) 2 l o o l l n n n l l n x l l l n n n l l n x l l ac f x dx l n x n xc a ib f x if x d l l l f x e dx l n x n xc a ib f x if x dx l l l f x e dx l                                     x Như vậy 1 1 ( ) in x in x l l o n n n n f x c c e c e            (1.33) Thay n bằng –n trong (1.33) ta được 1 1 ( ) in x in x l l o n n n n f x c c e c e          Vậy chuỗi Fourier của hàm f có dạng phức là ( ) in x l n n f x c e     (1.34) trong đó 1 ( ) 2 l in x l n l c f x e l     dx ( ) (1.35) 0, 1, 2,..n    Ví dụ 1.11: Cho hàm f(x)=x, với x(-1;1) và f(x+2)=f(x). Tìm dãy  hệ số Fourier phức của f. nc Giải Ta có 1 1 1 0 2o c xdx    1 2 2 1 1 1 2 2 ( ) ( in x in in in in l n e e e ec xe dx in in in in                      ) Do 1i ie e    nên 1( 1)n nc in  Do đó   1 1 1 ( ) n in x in x n f x e e in           1.4.KHAI TRIỂN FOURIER CỦA MỘT HÀM SỐ 1.4.1.Khai triển hàm số trên đoạn [-l;l] Giả sử hàm f liên tục trên đoạn [-l;l] Đặt xt l  và ( ) ( ) ltg t f x f        thì g khả tích trên đoạn  ;  . Chu?i Fourier c?a hàm g là   1 ( ) cos sin (1.36) 2 o n n n ag t a nt b nt     trong đó 1 ( )cos ( 0,1,2,..) 1 ( )sin ( 1,2,..) n n a g t ntdt n b g t ntdt n                Trở lại biến x ban đầu ta có chuỗi Fourier của hàm f(x) là 1 ( ) cos sin 2 o n n n a n x n xf x a b l l         (1.37) trong đó 1 ( ) cos ( 0,1,2,..) 1 ( )sin ( 1,2,..) l n l l n l n xa f x dx n l l n xb f x dx n l l            (1.38) Ví dụ 1.12: Tìm chuỗi Fourier của hàm 0, 1 0 ( ) , 0 1 khi x f x x khi x       Giải Ta có , các hệ số Fourier là 1l  11 1 2 1 0 0 1 1( ) ( ) 2 2 b o a xa f x dx f x dx xdx l             1 0 1 ( )cos cos( ) b n a n xa f x dx x n x l l     dx 1 2 2 0 1sin( ) cos( )x n x n x n n         2 2 2 2 1 [cos 1] 1 [( 1) 1]n n n n          1 0 1 2 2 0 1 1 ( )sin sin( ) 1cos( ) sin( ) 11 cos b n a n n xb f x dx x n x l l x n x n x n n n n n                      dx Vậy chuỗi Fourier của hàm f là   1 2 2 1 11 ( 1) 1( ) cos( ) sin( ) 4 nn n f x n x n n              n x 11 x y Hình 1.19 (n=5,n=12) 1.4.2.Khai triển hàm số trên đoạn [a;b] Nếu hàm f(x) xác định trên đoạn [a;b], thì chuỗi Fourier của nó được biểu diễn bởi công thức 1 ( ) cos sin 2 o n n n a n x n xf x a b l l         (1.39) trong đó 2 b al  và các hệ số Fourier xác định bởi 1 ( ) 1 ( ) cos 1 ( )sin b o a b n a b n a a f x dx l n xa f x l n xb f x l l         dx l dx (n=1,2,3..) (1.40) Ví dụ 1.13: Tìm chuỗi Fourier của hàm 1, 1 1 ( ) 0, 1 3 khi x f x khi x       Giải Ta có 2 2 b al   , các hệ số Fourier là  3 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 2 2 2 b o a a f x dx f x dx dx x l          1 1 1 1( )cos cos 2 2 b n a n x n xa f x dx l l       dx 11 1 2. sin 2 2 n x n         2 sin 2 n n   Với n chẵn, n=2k, k=1,2,3,… 2sin sin 02 k k   Với n lẻ, n=2k+1, k=0,1,2,… (2 1)sin ( 1) 2 kk    Do đó   2 1 12 . , 0,1, 2,... 2 1 k ka kk   1 1 1 1 1 1( )sin sin 2 2 1 2. . cos 0 2 2 b n a n x n xb f x dx l l n x n                 dx Vậy chuỗi Fourier của hàm f là 0 1 2 ( 1) 2 1( ) cos 2 2 1 2 k k kf x x k           1 2 1 x f(x) Hình 1.20 (n=5,n=13) 1.4.3.Khai triển chuỗi Fourier trên đoạn [0,l] Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm cosin ta lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách chẵn từ đoạn [0,l] ra đoạn [-l,0] (hình 1.21) 1 ( ),0 ( ) ( ), 0 f x x l f x f x l x        Hàm 1f được gọi là thác triển chẵn của hàm f -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 x f(x) Hình 1.21 Khi đó với hàm chẵn vừa thác triển, thì tất cả các lí luận ở trên vẫn đúng, do đó các hệ số Fourier được tính theo các công thức 0 2 ( )cos ( 0,1, 2,..) (1.41) 0( 1,2,..) l n n n xa f x dx n l l b n        Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm sin ta lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách lẻ từ đoạn [0,l] ra đoạn [-l,0] (hình 1.22). 2 ( ),0 ( ) ( ), 0 f x x l f x f x l x        Hàm 2f được gọi là thác triển lẻ của hàm f. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x f(x) Hình 1.22 Khi đó các hệ số Fourier được tính theo các công thức: 00 ( 0,1, 2,..) (1.42)2 ( )sin ( 1, 2,..) n l n a n n xb f x dx n l l       Ví dụ 1.14: Tìm chuỗi Fourier cosin của hàm f(x)=x trên đoạ._.