Các biến thể tương đương của tích phân Riemann trong toán phổ thông

lý 5 9 Định lý 6 9-10 Chương 2 : Các biến thể của tích phân Riemann và mối quan hệ 11 Các biến thể của tích phân Riemann 12 Định nghĩa 1 12 Định nghĩa 2 12 Định nghĩa 3 13 Định nghĩa 4 13-14 Mối quan hệ giữa các biến thể đĩ 14 Chương 3: Một số sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thơng khi giải tốn tích phân 19-29 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 L ỜI N ĨI Đ ẦU D E Tích phân Riemann là lý thuyết cĩ một vai trị quan trọng trong Giải tích tốn học, đặc biệt là trong chương trình tốn học phổ thơng . Đề tài này giới thiệu các hình thức khác nhau của tích phân Riemann đối với lớp hàm liên tục trên một đoạn và làm rõ bản chất tương đương của chúng. Nội dung đề tài cĩ ý nghĩa thiết thực đối với học sinh phổ thơng và sinh viên ngành sư phạm tốn, Nội dung đề tài gồm 3 chương: Chương 1: Cơ sở lí luận. Chương 2: Các biến thể của tích phân Riemann và mối quan hệ. Chương 3: Một số sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thơng khi giải tốn tích phân. Để giúp người đọc dễ hiểu, phần chứng minh các bổ đề, định lý,nhận xét được trình bày một cách chi tiết và chặt chẽ. Ngồi ra trong chương 2, định nghĩa 4 của tích phân Riemann được giới thiệu như là sự mơ phỏng của tích phân Lebesgue đối với lớp hàm liên tục trên tập cĩ độ đo hữu hạn. Mong rằng đề tài này sẽ giúp ích được phần nào cho các bạn hiểu nhiều thêm về tích phân Riemann. Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Thái Duy đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu, các thầy cơ trong Khoa Sư phạm và Ban Giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện cho em học tập cũng như nghiên cứu đề tài này. Do thời gian hạn hẹp và cịn ít kinh nghiệm nên rất khĩ tránh khỏi những thiếu sĩt. Mong được các thầy cơ và các bạn gĩp ý để đề tài được hồn chỉnh hơn. An Giang, tháng 06 năm 2004 Mai Quang Vinh 2 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN D E Chương này trình bày một số kiến thức tốn học thích hợp làm cơ sở cho đề tài: định nghĩa dãy các đoạn thắt, định nghĩa hàm bậc thang, tích phân của hàm bậc thang,bổ đề Bolzano – Weierstrass và một số định lý - thể hiện tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn và các tính chất của tích phân của hàm bậc thang. 3 1.1 Bổ đề về dãy các đoạn thắt: 1.1.1 Định nghĩa: Ta sẽ gọi dãy các đoạn : ,....,........,, 21 n∆∆∆ (trong đĩ ];[ nnn ba=∆ ) là một dãy các đoạn thắt nếu: ,......2,1,1 =∆⊆∆ + nnn và 0)(lim =−+∞→ nnn ab 1.1.2 Bổ đề: Nếu là một dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất thuộc mọi đoạn của dãy. }{ n∆ Chứng minh: • Tồn tại: Vì nn ∆⊆∆ +1 ,với mọi cho nên: n ,...............21 kn baaa ≤≤≤≤≤ trong đĩ là một số nguyên dương nào đĩ. Dãy {ak n} tăng và bị chặn trên cho nên nĩ cĩ giới hạn: nn a+∞→= limα . Rõ ràng: α≤ka . Vì với nguyên dương bất kỳ ta cĩ k kn ba ≤ với mọi ,nên n knn ba ≤=+∞→ αlim . Tức là ta luơn cĩ: kk ba ≤≤α Điều này chứng tỏ rằng α thuộc mọi đoạn. • Duy nhất: Giả sử rằng β cũng thuộc mọi đoạn n∆ . Thế thì: nn ab −≤−≤ αβ0 Vì nên 0)(lim =−+∞→ nnn ab αβ = . Bổ đề được chứng minh. 1.2 Bổ đề Bolzano – Weierstrass: Từ mọi dãy bị chặn ta đều cĩ thể rút ra được một dãy con hội tụ. Chứng minh: Giả sử là một dãy bị chặn. Thế thì tồn tại hai số a và b sao cho }{ nu bua n ≤≤ , với mọi . Chia thành hai đoạn bằng nhau; ít nhất một trong hai đoạn đĩ phải chứa vơ số phần tử của dãy.Ta gọi đoạn đĩ là n ];[ ba 1∆ (nếu cả hai đều chứa vơ số phần tử của dãy thì gọi một trong hai đoạn ấy là 1∆ ). Lại chia thành hai đoạn bằng nhau; ít nhất một trong chúng phải chứa vơ số phần tử của , ta gọi đoạn ấy là ,……Tiếp tục mãi quá trình trên ta được dãy đoạn thắt: 1∆ }{ nu 2∆ ..............];[ 21 ⊃∆⊃⊃∆⊃∆⊃∆= nba trong đĩ và ];[ nnn ba=∆ 02 → −=− kkk abab khi +∞→n . Theo bổ đề trên, cĩ một sốα thuộc vào mọi đoạn k∆ , và α== +∞→+∞→ nnnn ba limlim . Ta rút dãy con của như sau: trong }{ nu 1∆ lấy một phần tử bất kỳ, ký hiệu là 4 1m u ; trong lấy một phần tử sao cho . Rõ ràng bao giờ cũng làm được điều đĩ vì rằng trong 2∆ 2mu 12 mm > 2∆ cĩ vơ số phần tử; tiếp tục mãi quá trình đĩ, ta được một dãy con của . Vì nên }{ nm u }{ nu nmn ≥ nmm nnu ∆⊂∆∈ . Do đĩ : nmn bua n ≤≤ . Nhưng α== +∞→+∞→ nnnn ba limlim cho nên α=+∞→ nmn ulim . Đĩ là điều phải chứng minh. Bổ đề được chứng minh. 1.3 Định lý 1: Nếu hàm số liên tục trên đoạn , thì với mỗi số dương f ];[ ba ε nhỏ tuỳ ý, tìm được số dương δ sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc đoạn mà ', xx ];[ ba δ<− 'xx , ta cĩ ε<− )'()( xfxf . Chứng minh: Giả sử hàm số liên tục trên đoạn , nhưng kết luận của định lí khơng đúng, nghĩa là cĩ một số dương f ];[ ba 0ε sao cho với mọi số dươngδ đều tìm được hai điểm thuộc đoạn mà δδ ', xx ];[ ba δδδ <− 'xx , nhưng 0)'()( εδδ ≥− xfxf . Ta lấy dãy số duơng nn 1=δ ,......)2,1( =n , thế thì 0→nδ khi . Khi đĩ với mỗi số tự nhiên Tìm được hai điểm thuộc đoạn mà +∞→n ,......2,1=n ', xx ];[ ba n xx nn 1' <− nhưng : 0)'()( ε≥− nn xfxf (1) Ta nhận được hai dãy số { },{ } đều thuộc đoạn [ ].Theo bổ đề Bolzano - Weierstrass, từ dãy { } bị chặn, nx nx' ba; nx bxa n ≤≤ , rút ra được một dãy con { } hội tụ về : nm x 0x nm x 0x→ khi +∞→n . Hiển nhiên, thuộc đoạn [ ].Ta lại cĩ: 0x ba; 000 1'' xx m xxxxxx nnnnn m n mmmm −+<−+−≤− Do 01 → nm khi , +∞→n 00 →− xx nm khi +∞→n ,nên dãy con cũng cĩ giới hạn là . Từ tính chất liên tục của hàm số tại điểm thuộc [ ], suy ra: }'{ nm x 0x f 0x ba; )()( 0xfxf nm → khi +∞→n , khi . )()'( 0xfxf nm → +∞→n Do đĩ: )'()()()()'()( 00 nnnn mmmm xfxfxfxfxfxf −+−≤− , nghĩa là )'()( nn mm xfxf − dần tới 0 khindần tới vơ hạn. Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức (1).Vì vậy, hàm số phải thỏa mãn kết luận của định lý. f Định lý được chứng minh. 1.4 Định nghĩa hàm bậc thang: 1.4.1 Định nghĩa: 5 Hàm số xác định trên đoạn được gọi là hàm bậc thang, nếu đoạn được chia thành hữu hạn khoảng f ];[ ba ];[ ba n∆∆∆ ,......, 21 đơi một khơng giao nhau, sao cho trên mỗi khoảng , hàm số nhận giá trị khơng đổi i∆ f iα ),......,2,1( ni = . Để tiện cho việc trình bày, ta sử dụng hàm số: ⎩⎨ ⎧ ∆∉ ∆∈=∆ i i x x x i ,0 ,1 )(χ Nhờ đĩ, hàm bậc thang cĩ thể biểu diễn dưới dạng: )()( 1 xxf ii n i ∆ = ∑= χα Hiển nhiên mỗi hàm bậc thang cĩ thể biểu diễn bằng nhiều cách. 1.4.2 Định lý 2: Đối với mỗi hàm số liên tục trên đoạn , luơn luơn tìm được dãy hàm bậc thang xác định trên đoạn thỏa mãn điều kiện: với số dương f ];[ ba }{ nf ];[ ba ε cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại số nguyên dương , sao cho với mọi và với mọi thuộc , ta đều cĩ: 0n 0nn > x ];[ ba .)()( ε≤− xfxfn Chứng minh: Với mỗi số nguyên dương ta chia đoạn thành đoạn bằng nhau bởi các điểm: n ];[ ba n bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ... . Hiển nhiên: n abxxx iii −=−=∆ −1 ),......,2,1( ni = . Ta đặt: ⎩⎨ ⎧ =≤< ≤≤= − ),......,3,2(),( ),( )( 1 101 nixxxxf xxxxf xf iii n Ta nhận được một dãy hàm bậc thang xác định trên đoạn . Ta chứng minh dãy này thỏa mãn kết luận của định lí. }{ nf ];[ ba Thật vậy, vì hàm số liên tục trên đoạn , nên theo định lí 1 với số dươngf ];[ ba ε cho trước nhỏ tùy ý, tìm được số dương δ sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc đoạn mà ', xx ];[ ba δ<− 'xx , ta cĩ ε<− )'()( xfxf . Khi đĩ với số dương δ tìm được tồn tại số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên dương , đều cĩ 0n 0nn > δ<−n ab . Giả sử . Với mỗi thuộc thì thuộc hoặc thuộc nào đĩ , nên 0nn > x ];[ ba x ];[ 10 xx x ];( 1 ii xx − ),......,2,1( ni = ε<− )()( 1xfxf hoặc ε<− )()( ixfxf do đĩ ε<− )()( xfxf n (2) Hiển nhiên, bất đẳng thức (2) thỏa mãn với mọi và khơng phụ thuộc vào 0nn > 6 thuộc . x ];[ ba Định lí được chứng minh. Chú ý: Dãy hàm bậc thang thỏa mãn kết luận của định lí 2 được gọi là dãy hàm hội tụ đều tới hàm số trên đoạn và ký hiệu trên khi f ];[ ba )()( xfxf n → → ];[ ba +∞→n . 1.5 Định nghĩa tích phân của hàm bậc thang: 1.5.1 Định nghĩa: Cho hàm bậc thang ∑ = ∆= n i i xxf i 1 )()( χα xác định trên đoạn . Ký hiệu ];[ ba ix∆ là độ dài của khoảng . Ta gọi tích phân lấy từ ađến b của hàm bậc thang là số thực và ký hiệu . i∆ f i n i i x∆∑ =1 α ∫b a dxxf )( Vì vậy ∫b a dxxf )( = (3) i n i i x∆∑ =1 α Nhận xét: Tích phân của hàm bậc thang khơng phụ thuộc cách biểu diễn nĩ. Thật vậy: Giả sử hàm bậc thang xác định trên đoạn cĩ hai cách biểu diễn: f ];[ ba ∑∑ = ∆∆ = == m j ji n i xxxf ji 1 ' 1 )()()( χβχα trong đĩ , là độ dài tương ứng của các khoảng ix∆ jx'∆ i∆ , j'∆ . Hiển nhiên: UU m j j n i iba 11 '];[ == ∆=∆= I I U U I m j m j jijiii ba 1 1 )'()'(];[ = = ∆∆=∆∆=∆=∆ U II UI n i ji n i ijjj ba 11 )'()('];['' == ∆∆=∆∆=∆=∆ và các khoảng I jiij '∆∆=∆ ),......,2,1;,......,2,1( mjni == đơi một khơng giao nhau, ký hiệu độ dài tương ứng của chúng là ijx∆ . Ta cĩ: ∑ = ∆=∆ m j iji xx 1 , ∑ = ∆=∆ m i ijj xx 1 ' ),......,2,1;,......,2,1( mjni == Suy ra: ∑ ∑ ∑∑∑ = = = == ∆=∆=∆ n i m j n i m j ijiiji n i ii xxx 1 1 1 11 )( ααα Bằng cách tương tự ta cũng cĩ: 7 ∑ ∑ ∑∑∑ = = = == ∆=∆=∆ m j n i n i m j ijjijj m j jj xxx 1 1 1 11 )(' βββ Nếu , thì ∅=∆∆ I ji ' 0=∆ ijx , cịn nếu thì ∅≠∆∆ I ji ' ji βα = . Suy ra : ∑∑∑∑ = == = ∆=∆ n i m j ijj n i m j iji xx 1 11 1 βα Vì vậy, ∑∑∫ == ∆=∆= m j jj n i ii b a xxdxxf 11 ')( βα Đĩ là điều cần chứng minh. 1.5.2 Các định lý: 1.5.2.1 Định lý 3: Nếu hai hàm bậc thang vàf g cùng xác định trên đoạn , thì với mọi số thực , q ta đều cĩ: ];[ ba p ∫ ∫∫ +=+ b a b a b a dxxgqdxxfpdxxqgxpf )()()]()([ (4) Chứng minh: Giả sử trên đoạn , ta cĩ: ];[ ba ∑∑ = ∆ = ∆ == m j j n i i xxgxxf ji 1 ' 1 )()(,)()( χβχα Khi đĩ: ∑∑∑ = ∆ = ∆ = ∆ === m j j n i i n i i xqxqgxpxpxpf jii 1 ' 11 )()(,)()()( χβχαχα ∑∑ = = ∆∆ +=+ n i m j ji xqpxqgxpf ji 1 1 ' )()()()( Iχβα ký hiệu , , là độ dài tương ứng của các khoảng ix∆ jx'∆ ijx∆ i∆ , , . j'∆ I ji '∆∆ Theo định nghĩa tích phân: ∑∑∫ = = ∆+=+ n i m j ijji b a xqpdxxqgxpf 1 1 )()]()([ βα ∑ ∑∑ ∑ = == = ∆+∆= m j n i ijj n i m j iji xqxp 1 11 1 )()( βα . ∑∑ == ∆+∆= m j jj n i ii xqxp 11 'βα ∫∫ += b a b a dxxgqdxxfp )()( Định lý được chứng minh. 1.5.2.2 Định lý 4: 8 Đối với mọi hàm bậc thang xác định trên đoạn ta đều cĩ: f ];[ ba ∫∫ ≤ b a b a dxxfdxxf )()( Chứng minh: Giả sử trên đoạn : ];[ ba ∑ = ∆= n i i xxf i 1 )()( χα thế thì ∑ = ∆= n i i xxf i 1 )()( χα . Ký hiệu ix∆ là độ dài của khoảng . Ta cĩ: i∆ ),......,2,1( ni = ∑∑ == ∆≤∆ n i ii n i ii xx 11 αα do đĩ: ∫∫ ≤ b a b a dxxfdxxf )()( Định lý được chứng minh. 1.5.2.3 Định lý 5: Giả sử và là hai hàm bậc thang cùng xác định trên đoạn . Nếu f g ];[ ba gf ≤ trên đoạn , thì: ];[ ba ∫∫ ≤ b a b a dxxgdxxf )()( Chứng minh: Giả sử trên đoạn : ];[ ba ∑∑ = ∆ = ∆ == m j j n i i xxgxxf ji 1 ' 1 )()(,)()( χβχα Ký hiệu , , là độ dài tương ứng của các khoảng , , . Lặp lại chứng minh nhận xét sau định nghĩa, ta được: ix∆ jx'∆ ijx∆ i∆ j'∆ I ji '∆∆ ),......,2,1;,......,2,1( mjni == ∑∑∑∫ = == ∆=∆= n i m j iji n i ii b a xxdxxf 1 11 )( αα ∑∑∑∫ = == ∆=∆= n i m j ijj m j jj b a xxdxxg 1 11 ')( ββ Ta nhận thấy, nếu , thì ∅=∆∆ I ji ' 0=∆ ijx , cịn nếu thì ∅≠∆∆ I ji ' ji βα ≤ . Do đĩ: ∫∫ ≤ b a b a dxxgdxxf )()( Định lý được chứng minh. 1.5.2.4 Định lý 6: 9 Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn , và là hai dãy hàm bậc thang xác định trên đoạn sao cho , khi f ];[ ba }{ nf }{ ng ];[ ba )()( xfxf n → → )()( xgxgn → → +∞→n trên đoạn . Khi đĩ: ];[ ba ∫∫ +∞→+∞→ = b a nn b a nn dxxgdxxf )(lim)(lim (5) Chứng minh: Trước hết ta chứng minh tồn tại các giới hạn trong hệ thức (5). Từ giả thiết, ta cĩ với số dương ε cho trước nhỏ tùy ý, tìm được số nguyên dương sao cho với mọi và với mọi thuộc , ta đều cĩ: 0n 0nn > x ];[ ba )(2 )()( ab xfxfn −<− ε , )(2 )()( ab xfxgn −<− ε Từ đĩ suy ra với mọi : 0, nnm > ≤−+−=− )]()([)]()([)()( xfxfxfxfxfxf mnmn ababab xfxfxfxf mn −=−+−<−+−≤ εεε )(2)(2 )()()()( Theo các định lý 3,4,5 ta được: ≤−=− ∫∫ ∫ b a mn b a b a mn dxxfxfdxxfdxxf )]()([)()( εε =−<−≤ ∫∫ b a b a mn dxab dxxfxf )()( Điều này chứng tỏ tồn tại . Bằng cách tương tự ta chứng minh được tồn tại. Đồng thời, với mọi ∫+∞→ b a nn dxxf )(lim ∫+∞→ b a nn dxxg )(lim 0nn > ≤−+−=− )]()([)]()([)()( xgxfxfxfxgxf nnnn ababab xfxgxfxf nn −=−+−<−+−≤ εεε )(2)(2 )()()()( Theo các định lý 3,4,5 ta được: ≤−=− ∫∫ ∫ b a nn b a b a nn dxxgxfdxxgdxxf )]()([)()( εε =−<−≤ ∫∫ b a b a nn dxab dxxgxf )()( Điều này chứng tỏ: ∫∫ +∞→+∞→ = b a nn b a nn dxxgdxxf )(lim)(lim Định lý được chứng minh. 10 CHƯƠNG 2: CÁC BIẾN THỂ CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN VÀ MỐI QUAN HỆ D E Ngồi định nghĩa quen thuộc như đã biết ở tốn phổ thơng hiện hành, khái niệm tích phân Riemann cịn được định nghĩa dưới dạng nào khác khơng? Trong chương này, chúng ta sẽ phát hiện được một số biến thể của tích phân Riemann và mối quan hệ giữa chúng. 11 2.1 Các biến thể của tích phân Riemann trong tốn phổ thơng: 2.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số: xác định trên đoạn (ở đây ).Ta lần lượt thực hiện các bước sau: )(xfy = ];[ ba ba < i) Chia đoạn thành những đoạn nhỏ khơng nhất thiết bằng nhau bởi các điểm chia: ];[ ba bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ....... Đặt Số lớn nhất trong các hiệu đĩ được ký hiệu là: . ).,.....2,1(1 nixxx iii =−=∆ − ix∆max ii) Trong mỗi đoạn [ chọn một điểm tùy ý ];1 ii xx − iiii xx ≤≤− ξξ 1, và tính ),....,2,1( ni = )( if ξ . iii)Lập tích )( if ξ ix∆ trên mỗi đoạn chia. iv)Lập tổng các tích đĩ: +∆= 11 )( xfSn ξ +∆ 22 )( xf ξ ∑ = ∆=∆+ n i iinn xfxf 1 )()(..... ξξ Tổng được gọi là tổng tích phân của hàm số trên đoạn . nS f ];[ ba v)Thực hiện những phép chia đoạn thành những đoạn ngày càng nhỏ, sao cho dần tới 0. Nếu tồn tại giới hạn: ];[ ba ix∆max ∑ =→∆ ∆ n i iix xf i 10max )(lim ξ và giới hạn này khơng phụ thuộc vào cách chia đoạn và cách chọn các điểm ];[ ba iξ trên đoạn [ , thì giới hạn đĩ được gọi là tích phân của hàm số lấy trên đoạn và được ký hiệu là , tức là: ];1 ii xx − f ];[ ba ∫b a dxxf )( ∫b a dxxf )( = . ∑ =→∆ ∆ n i iix xf i 10max )(lim ξ Ký hiệu đọc là “tích phân từ đến của ”, gọi là cận dưới,b gọi là cận trên của tích phân, gọi là biểu thức xác định hàm dưới dấu tích phân, gọi là biến số tích phân. ∫b a dxxf )( a b dxxf )( a )(xf x Ta đặt: =1I ∑ =→∆ ∆ n i iix xf i 10max )(lim ξ . 2.1.2 Định nghĩa 2: Giả sử )(xfy = xác định một hàm số liên tục trên . Chia đoạn ra phần bằng nhau bởi các điểm chia: ];[ ba ];[ ba n bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ....... và đặt: 12 n abxxx iii −=−=∆ −1 ),....,2,1( ni = Tích phân của , lấy từ đến b , ký hiệu bởi: )(xf a ∫b a dxxf )( là giới hạn khi của tổng: +∞→n ∑ = ∆ n i ii xxf 1 )( Nĩi cách khác: ∫b a dxxf )( = ∑ =+∞→ ∆ n i iin xxf 1 )(lim Ta đặt: =2I ∑ =+∞→ ∆ n i iin xxf 1 )(lim . 2.1.3 Định nghĩa 3: Cho hàm số liên tục trên một khoảng f );( βα , là một nguyên hàm của trên khoảng đĩ và là hai số thực thuộc khoảng F f ba, );( βα . Ta gọi tích phân từ đến của hàm số là số thực a b f ).()( aFbF − Ta dùng ký hiệu hoặc ký hiệu [ để chỉ số thực đĩ. ∫b a dxxf )( ]baxF )( Như vậy, theo định nghĩa: [ ] )()()()( aFbFxFdxxf ba b a −==∫ trong đĩ là biểu thức xác định một nuyên hàm nào đĩ của . )(xF f Dấu gọi là dấu tích phân, hàm số gọi là hàm số dưới dấu tích phân. ∫ f Ta đặt: )()(3 aFbFI −= . 2.1.4 Định nghĩa 4: Cho hàm số liên tục trên đoạn . Theo định lý 2, tồn tại dãy hàm bậc thang xác định trên đoạn sao cho khi trên đoạn . Ta gọi tích phân lấy từ đến của hàm số là số thực xác định bởi hệ thức: f ];[ ba }{ nf ];[ ba )()( xfxf n → → +∞→n ];[ ba a b f ∫+∞→ b a nn dxxf )(lim và ký hiệu . Vì vậy, ∫b a dxxf )( 13 ∫∫ +∞→= b a nn b a dxxfdxxf )(lim)( (6) Theo định lý 6, giới hạn (6) tồn tại và khơng phụ thuộc cách chọn dãy hàm bậc thang hội tụ đều tới hàm số trên đoạn . f ];[ ba Ta đặt: ∫+∞→= b a nn dxxfI )(lim4 . 2.2 Mối quan hệ giữa các biến thể của tích phân Riemann: Định lý 7: Trên tập hợp các hàm số liên tục các cách xây dựng khái niệm tích phân Riemann theo các định nghĩa (đn) 1,2,3,4 tương đương với nhau. Chứng minh: i) Từ đn 1 suy ra đn 2: Hiển nhiên, vì khi liên tục trên đoạn thì định nghĩa 2 là trường hợp riêng của định nghĩa 1. f ];[ ba ii) Từ đn 2 suy ra đn 3: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng f );( βα và là một nguyên hàm của trên khoảng này, hai số là thuộc khoảng F f ba, );( βα , ba < . Theo định lý 1, với số dương ε cho trước nhỏ tuỳ ý, tìm được số dương δ sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc đoạn mà ', xx ];[ ba δ<− 'xx , ta cĩ ab xfxf −<− ε)'()( Chia đoạn thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia: ];[ ba bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ....... sao cho: δ<−=−=∆ − n abxxx iiii ),....,2,1( ni = Trên mỗi đoạn , hàm số thoả mãn các điều kiện của định lý Lagrange, nên tìm được điểm thuộc khoảng sao cho: ];[ 1 ii xx − F ic );( 1 ii xx − iiiiiii xcfxxcfxFxF ∆=−=− −− )())(()()( 11 ),....,2,1( ni = Từ đĩ suy ra: )()(......)()()()()()( 1211 aFxFxFxFxFbFaFbF nnn −++−+−=− −−− ∑ = −− ∆=∆++∆+∆= n i iinnnn xcfxcfxcfxcf 1 1111 )()(........)()( Nhưng, vì , thuộc nên ic ix ];[ 1 ii xx − δ<∆≤− iii xxc , do đĩ: ab xfcf ii −<− ε)()( ),....,2,1( ni = Vì vậy, 14 ∑∑∑∑ ==== <∆−≤∆−=∆−∆ n i iii n i iii n i ii n i ii xxfcfxxfcfxxfxcf 1111 )()()]()([)()( εεε =∆−=∆−< ∑∑ == n i i n i i xab x ab 11 nghĩa là ε<∆−− ∑ = n i ii xxfafbF 1 )()()( Bất đẳng thức này chứng tỏ: 0])()()([lim 1 =∆−− ∑ =+∞→ n i iin xxfaFbF hay ∑ =+∞→ ∆=− n i iin xxfaFbF 1 )(lim)()( 23 II =⇒ Vậy nếu thì . 2)( Idxxf b a =∫ 3)( Idxxfb a =∫ iii) Từ đn 3 suy ra đn 4: Giả sử hàm số liên tục trên đoạn và là một nguyên hàm của trên đoạn này. Theo định lý 1, với số dương f ];[ ba F f ε cho trước nhỏ tuỳ ý, tìm được số dương δ sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc đoạn mà ', xx ];[ ba δ<− 'xx , ta cĩ : ab xfxf −<− ε)'()( Chia đoạn thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia: ];[ ba bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ....... sao cho: δ<−=−=∆ − n abxxx iiii ),....,2,1( ni = Ta đặt: ⎩⎨ ⎧ =≤< ≤≤= − ),......,3,2(),( ),( )( 1 101 nixxxxf xxxxf xf iii n Ta nhận được một dãy hàm bậc thang xác định trên đoạn . Theo cách chứng minh ở định lý 2 thì trên đoạn khi . }{ nf ];[ ba )()( xfxf n → → ];[ ba +∞→n Theo định nghĩa 4: ∫∫ +∞→= b a nn b a dxxfdxxf )(lim)( Mà theo định nghĩa tích phân của hàm bậc thang: ∑∫ = ∆= n i ii b a n xxfdxxf 1 )()( 15 Do đĩ: ∑∫ =+∞→ ∆= n i iin b a xxfdxxf 1 )(lim)( Trên mỗi đoạn , hàm số thoả mãn các điều kiện của định lý Lagrange, nên tìm được điểm thuộc khoảng sao cho: ];[ 1 ii xx − F ic );( 1 ii xx − iiiiiii xcfxxcfxFxF ∆=−=− −− )())(()()( 11 ),....,2,1( ni = Từ đĩ suy ra: )()(......)()()()()()( 1211 aFxFxFxFxFbFaFbF nnn −++−+−=− −−− ∑ = −− ∆=∆++∆+∆= n i iinnnn xcfxcfxcfxcf 1 1111 )()(........)()( Nhưng, vì , thuộc nên ic ix ];[ 1 ii xx − δ<∆≤− iii xxc , do đĩ: ab cfxf ii −<− ε)()( ),....,2,1( ni = Vì vậy, ∑∑∑∑ ==== <∆−≤∆−=∆−∆ n i iii n i iii n i ii n i ii xcfxfxcfxfxcfxxf 1111 )()()]()([)()( εεε =∆−=∆−< ∑∑ == n i i n i i xab x ab 11 nghĩa là ε<+−∆∑ = )()()( 1 aFbFxxf n i ii Bất đẳng thức này chứng tỏ: 0)]()()([lim =+−∫+∞→ b a nn aFbFdxxf hay )()()(lim aFbFdxxf b a nn −=∫+∞→ 34 II =⇒ Vậy nếu thì . 3)( Idxxf b a =∫ 4)( Idxxfb a =∫ iv) Từ đn 4 suy ra đn 1: Giả sử hàm số liên tục trên đoạn . Theo định lý 1, với số dương f ];[ ba ε cho trước nhỏ tuỳ ý, tìm được số dương δ sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc đoạn mà ', xx ];[ ba δ<− 'xx , ta cĩ ab xfxf −<− ε)'()( Chia đoạn thành những đoạn nhỏ khơng nhất thiết bằng nhau bởi các điểm chia: ];[ ba 16 bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ....... sao cho δ<∆ ixmax với 1−−=∆ iii xxx ),....,2,1( ni = . Trên mỗi đoạn , ta lấy một điểm tuý ý ];[ 1 ii xx − iξ ),....,2,1( ni = và lập tổng: ∑ = ∆= n i iin xfS 1 )(ξ Mặt khác, ta đặt: ⎩⎨ ⎧ =≤< ≤≤= − ),......,3,2(),( ),( )( 1 101 nixxxxf xxxxf xf iii n Ta nhận được một dãy hàm bậc thang xác định trên đoạn . Bằng cách chứng minh tương tự như chứng minh ở định lý 2 thì ta thu được trên đoạn khi . }{ nf ];[ ba )()( xfxf n → → ];[ ba +∞→n Theo định nghĩa 4: ∫∫ +∞→= b a nn b a dxxfdxxf )(lim)( Và theo định nghĩa tích phân của hàm bậc thang: ∑∫ = ∆= n i ii b a n xxfdxxf 1 )()( Do đĩ: ∑∫ =+∞→ ∆= n i iin b a xxfdxxf 1 )(lim)( Nhưng, vì ,ix iξ thuộc nên ];[ 1 ii xx − δξ <∆≤− = iniii xx ,1max , do đĩ: ab xff ii −<− εξ )()( ),....,2,1( ni = Vì vậy, ∑∑∑∑ ==== <∆−≤∆−=∆−∆ n i iii n i iii n i ii n i ii xxffxxffxxfxf 1111 )()()]()([)()( ξξξ εεε =∆−=∆−< ∑∑ == n i i n i i xab x ab 11 nghĩa là εξ <−∆ ∫∑ = b a n n i ii dxxfxf )()( 1 Bất đẳng thức này chứng tỏ: 0])()([lim 10max =−∆ ∫∑ =→∆ b a n n i iix dxxfxf i ξ hay 17 ∫∑ +∞→=→∆ =∆ b a nn n i iix dxxfxf i )(lim)(lim 10max ξ (do +∞→⇔→∆ nxi 0max ) 41 II =⇒ Vậy nếu thì ( khơng phụ thuộc phép phân hoạch đoạn và cách chọn điểm 4)( Idxxf b a =∫ 1)( Idxxfb a =∫ ];[ ba iξ thuộc ). ];[ 1 ii xx − Định lý được chứng minh. 18 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG THẤY Ở HỌC SINH PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN TÍCH PHÂN D E Chúng ta sẽ tìm thấy ở đây một số ví dụ minh hoạ các sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thơng khi giải tốn tích phân. Những sai lầm này thường liên quan tới sự hiểu biết khơng đúng các khái niệm, vận dụng sai các định lý, qui tắc. Đây là chương cĩ ý nghĩa thiết thực đối với học sinh phổ thơng và cả sinh viên ngành sư phạm tốn. 19 Ví dụ 1: Tính ∫ − + 0 2 2)1( dxx ¾Lời giải sai: Đặt 2)1( += xu dxxdu )1(2 +=⇒ u du x dudx 2)1(2 =+=⇒ Khi thì , cịn 2−=x 1=u 0=x thì 1=u . Do đĩ: ∫∫ ∫ ===+ − 1 1 0 2 1 1 2 0 2 1 2 )1( duu u ududxx . ¾Nhận xét: Lưu ý : khơng hpải là hàm số đơn điệu trên nên khơng thể đổi biến, đổi cận như lời giải trên được. Nếu muốn đổi biến thì phải viết tích phân cần tính thành tổng của hai tích phân mà đơn điệu. Lời giải trên cịn sai lầm khi viết: 2)1( += xu ]0;2[− 2)1( += xu u du x dudx 2)1(2 =+= , như vậy đã từ suy ra 2)1( += xu ux =+1 , điều này chỉ viết được khi 1−≥x . Lời giải đúng: ∫ ∫∫ − − − − +++=+= 0 2 0 1 2 1 2 22 )1()1()1( dxxdxxdxxI Xét : ∫− − += 1 2 2 1 )1( dxxI Đặt : 2)1( += xu dxxdu )1(2 +=⇒ . Do ]1;2[ −−∈x nên . 01≤+x Vậy ux −=+1 u dudx 2 −=⇒ Khi thì , cịn 2−=x 1=u 1−=x thì 0=u . Do đĩ: ∫ ∫ ===−= 0 1 1 0 1 0 2 3 1 3 1 322 uduu u uduI Xét : ∫ − += 0 1 2 2 )1( dxxI Đặt : . Do 2)1( += xu 1−≥x nên u dudx 2 = Khi thì , cịn khi 1−=x 0=u 0=x thì 1=u . Do đĩ : ∫ ∫ ==== 1 0 1 0 1 0 2 3 2 3 1 322 uduu u uduI 20 Suy ra: 3 2 21 =+= III . Chú ý: Lời giải trên là muốn chỉnh lí việc đổi biến chứ khơng phải là lời giải tốt. Các bạn cĩ thể giải đơn giản như sau. 0 2 2 3 0 2 2 0 2 2 3 )1()1()1()1( − −− +=++=+ ∫∫ xxdxdxx 3 2) 3 1( 3 1 =−−= . 21 Ví dụ 2: Tính ∫ −−2 0 32 )1()2( dxxxx ¾Lời giải sai: Đặt xxu 22 −= dxxdu )1(2 −=⇒ 2 )1( dudxx =−⇒ Khi thì , khi0=x 0=u 2=x thì 0=u . Do đĩ: ∫ −−2 0 32 )1()2( dxxxx ∫ == 0 0 3 0 2 1 duu ¾Nhận xét : Lưu ý: hàm số khơng phải là hàm số đơn điệu trên đoạn nên khơng thể đổi biến, đổi cận như trên đuợc. Nếu muốn đổi biến như trên thì phải chia đoạn thành các đoạn sao cho đơn điệu trên đĩ. xxu 22 −= ]2;0[ ]2;0[ xx 22 − Lời giải đúng là : = =J ∫ −−2 0 32 )1()2( dxxxx ∫ +−−1 0 32 )1()2( dxxxx ∫ −−2 1 32 )1()2( dxxxx Xét: =1J ∫ −−1 0 32 )1()2( dxxxx Đặt xxu 22 −= dxxdu )1(2 −=⇒ 2 )1( dudxx =−⇒ Khi thì , khi0=x 0=u 1=x thì 1−=u . Do đĩ: ∫− − === 1 0 1 0 4 3 1 8 1 82 1 uduuJ Xét: =2J ∫ −−2 1 32 )1()2( dxxxx Đặt xxu 22 −= dxxdu )1(2 −=⇒ 2 )1( dudxx =−⇒ Khi thì , khi1=x 1−=u 2=x thì 0=u . Do đĩ: ∫ − − −=== 0 1 0 1 4 3 2 8 1 82 1 uduuJ Suy ra: 0 8 1 8 1 21 =−=+= JJJ Chú ý : Mặc dù cả hai kết quả đều đúng nhưng cách giải đầu tiên là sai. Lời giải trên 22 chỉ muốn điều chỉnh việc đổi biến chứ khơng phải là lời giải tốt. Các bạn cĩ thể giải đơn giản như sau. =J ∫ −−2 0 32 )1()2( dxxxx ∫ −−= 2 0 232 )2()2( 2 1 xxdxx 0 8 )2( 2 0 42 =−= xx 23 Ví dụ 3 : Tính ∫ − − = 6 3 cot π π gxdxK ¾Lời giải sai : Ta cĩ: ∫ − − = 6 3 sin cos π π dx x xK Đặt xdxduxu cossin =⇒= Khi 3 π−=x thì , 2 3−=u khi 6 π−=x thì 2 1−=u Do đĩ: ) 2 3ln() 2 1ln(ln 2 1 2 3 2 1 2 3 −−−=== ∫ − − − − u u duK Do ) 2 3ln(), 2 1ln( −− khơng xác định nên tích phân cần tính khơng xác định. ¾ Nhận xét : Đây là sai lầm mà nhiều bạn mắc phải khi cho rằng ∫ += Cxxdx ln . Do các bạn nhớ sai cơng thức nên sử dụng sai, dẫn đến kết quả bài tốn sai là bình thường. Cần nhớ rằng: )0( ≠x ∫ += Cxxdx ln )0( ≠x Lời giải đúng là : Đặt xdxdtxt cossin =⇒= Khi 3 π−=x thì , 2 3−=t khi 6 π−=x thì 2 1−=t Do đĩ: 2 3ln 3 3ln 2 3ln 2 1lnln 2 1 2 3 2 1 2 3 −==−−−=== ∫ − − − − u u duK Chú ý : Lời giải trên muốn chỉ ra các sai sĩt khi sử dụng cơng thức tính nguyên hàm chứ khơng phải là lời giải tốt. Các bạn cĩ thể giải ngắn gọn như sau: ∫ − − = 6 3 sin cos π π dx x xK ∫ − − − − == 6 3 6 3 sinln sin )(sin π π π πxx xd 24 . 2 3ln 2 3ln 2 1ln −=−−−= 25 Ví dụ 4: Tính ∫= 2 0 cos3 sin π xdxeL x ¾Lời giải sai : Đặt xu cos= xdxdu sin−=⇒ 21 u dudx − −=⇒ Khi thì , cịn khi 0=x 1=u 2 π=x thì 0=u . Do đĩ : ∫∫ =− −−= 1 0 3 0 1 2 23 1 1 due u duueL uu 13 1 0 3 −= = e e u ¾Nhân xét : Nguyên nhân dẫn đến cái sai của lời giải trên là việc sử dụng sai cơng tính thức nguyên hàm. Do là hàm số hợp nên phải sử dụng cơng thức tính nguyên hàm của hàm số hợp ( ueuf 3)( = ∫ += Cedue uu ). Lời giải đúng là : Đặt xu cos3= xdxdu sin3−=⇒ 213 u dudx − −=⇒ Khi thì , cịn khi 0=x 3=u 2 π=x thì 0=u . Do đĩ : ∫∫ =− −−= 1 0 0 1 2 2 3 1 13 1 due u duueL uu 3 1 3 1 3 1 0 3 −= = e e u Chú ý : Lời giải trên muốn chỉ ra sai lầm khi sử dụng cơng thức tính nguyên hàm chứ khơng phải là lời giải tốt. Các bạn cĩ thể giải ngắn gọn như sau. ∫∫ −== 2 0 cos3 2 0 cos3 )cos3( 3 1sin ππ xdexdxeL xx 3 1 3 32 0 cos3 −=−= ee x π . 26 Ví dụ 5: Tính ∫ += 1 0 3)12( dxxM ¾Lời giải sai : Ta cĩ : 1 0 41 0 3 4 )12()12( +=+= ∫ xdxxM 20 4 134 = −= ¾Nhận xét : Lời giải trên đã vận dụng cơng thức Cxdxx ++= +∫ 1 1 α α α )1( −≠α nên dẫn tới sai lầm vì hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hợp. Do đĩ, để giải đúng bài tốn ta phải dùng cơng thức tính nguyên hàm của hàm số hợp Cudxu ++= +∫ 1 1 α α α )1( −≠α . Lời giải đúng : Đặt : 12 += xu dxdu 2=⇒ 2 dudx =⇒ Khi thì , cịn khi 0=x 1=u 1=x thì 3=u . Do đĩ : ∫ == 3 1 3 1 43 82 uduuM 10 8 134 = −= Chú ý : Lời giải trên muốn chỉ ra sai lầm khi sử dụng khơng đúng cơng thức tính nguyên hàm Cxdxx ++= +∫ 1 1 α α α )1( −≠α cho hàm số 12 += xu chứ khơng phải là lời giải tốt. Các bạn cĩ thể giải đơn giản như sau. 1 0 41 0 3 8 )12()12( +=+= ∫ xdxxM 10 8 134 = −= 27 Ví dụ 6 : Tính ∫ += π 0 sin1 x dxN ¾Lời giải sai : Đặt : 2 xtgu = thì 21 2 u dudx += . Do đĩ : ∫∫∫ ++=+=+ − )1()1(2)1(2sin1 22 uduuduxdx C xtg C u + + −=++ −= 2 1 2 1 12 . Áp dụng định lý Newton – Leibnitz : 01 2 2 1 2 2 1 2 0 tgtgxtg N +++ −= + −= π π . Vì 2 πtg khơng xác định nên tích phân cần tính khơng xác định. ¾Nhận xét : Đây là sai lầm của nhiều bạn hay dùng cơng thức lượng giác để biểu diễn ,sin x gxtgxx cot,,cos qua 2 xtg . Việc khơng xác định tại tgx 2 π=x ở trên chỉ suy ra được tích phân đã cho khơng tính được bằng phương pháp đĩ. Lời giải đúng : ∫ ∫ −=+= π π π 0 0 22 ) 42 (cos2 1 ) 2 cos 2 (sin x dx xx dxN .2) 4 ( 4 ) 42 ( ) 42 (cos ) 42 ( 0 0 2 =−−= −= − − = ∫ ππ π π π π π tgtg xtg x xd Chú ý : Các bạn đọc là sinh viên lưu ý rằng trong chương trình tốn phổ thơng khơng trình bày về tích phân suy rộng. 28 Ví dụ 7 : Tính ∫ −= 3 0 3 21 dxxxP ¾Lời giải sai : Đặt : tx sin= tdtdx cos=⇒ Khi thì , cịn khi 0=x 0=t 3=x thì khơng cĩ t để . Do vậy tích phân đã cho khơng xác định. 3sin =t ¾Nhận xét : Việc khơng tồn tại để t 3sin =t chỉ suy ra được tích phân đã cho khơng tính được bằng phương pháp đĩ. Ngồi ra, khi đặt tx sin= thì , nhưng ở đây . Trong trường hợp này, hàm 11 ≤≤− x ]3;0[∈x ttx sin)( == ϕ khơng thoả điều kiện ,)( a=αϕ b=)(βϕ . Do vậy khơng thể đổi biến như trên được. Lời giải đúng : Đặt : 3 21 xu −= 32 1 ux −=⇒ duuxdu duuxdx 2 2 2 3 32 −=⇒ =⇒ Khi thì , cịn khi 0=x 1=u 3=x thì 2−=u . Do đĩ : ∫ ∫− − =−= 2 1 1 2 32 2 3) 2 3( duuduuuP . 8 45 ))2(1( 8 3 8 3 4 1 2 4 −= −−= = − u Chú ý : Lời giải trên muốn chỉ ra sai l._.