Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 3: Ứng dụng của phương trình vi phân bậc I - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

dt dx dx 1 K dt  K dt ln x  Kt ln C  x C eKt xx Với điều kiện ban đầu: x(0) = x0, ta có C = x0 Kt Vậy quy luật số lượng x(t) là: x x0 e (2)  (2) thể hiện số lượng của đối tượng tại bất kz một thời điểm t nào Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 4 (2) 1) Nếu K>0, thì số lượng x sẽ tăng trưởng khi thời gian t tăng trong (2). PT (2) thể hiện sự tăng trưởng tại bất kz thời điểm t nào. Sự tăng trưởng theo hàm mũ. Ví dụ: Số lượng vi khuẩn trong môi trường nuôi cấy phát triển theo cấp số nhân trong điều kiện lý tưởng.  t 2) Nếu K0, thì: x x0 e (3) Có nghĩa là số lượng x sẽ giảm sút khi thời gian t tăng trong (3). PT (3) thể hiện sự sụt giảm tại bất kz thời điểm t nào. SựKt sụt giảm theo hàm mũ. Ví dụ: thí nghiệm cho thấy rằng mộtx chất x0 phóng e xạ bị phân hủy với tốc độ tỷ lệ với lượng chất có mặt tại bất kz thời điểm nào. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 5 Kt  t x x0 e x x0 e Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 6 Trong môi trường nuôi cấy nấm men, nếu chất lên men hoạt động tự tăng gấp đôi trong 3 giờ, thì nó sẽ tăng lên theo tỉ lệ nào trong 15 giờ với giả thiết rằng số lượng tăng với tốc độ tỉ lệ với chính nó? Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 7 Nếu 30% chất phóng xạ biến mất trong 10 ngày, thì sau bao lâu 90% chất đó sẽ biến mất? Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 8 Uranium phân hủy với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của nó theo thời gian. Nếu M1 và M2 là lượng uranium lần lượt tại các thời điểm T1 và T2, hãy xác định chu kz bán rã của uranium. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 9 Ví dụ của việc làm mát: - Nếu để một tách trà nóng trong phòng, nó sẽ nguội đi do nhiệt độ không khí xung quanh - Nếu một thanh kim loại nóng được nhúng vào một bồn nước, thì thanh kim loại này nguội đi do nhiệt độ của nước xung quanh  Định luật Newton của việc làm mát Định luật làm mát của Newton phát biểu rằng tốc độ thay đổi nhiệt độ T của một vật thể (nóng) tỷ lệ với sự chênh lệch giữa T và nhiệt độ Ts của môi trường xung quanh (không khí, nước, v.v.). Nhiệt độ trung bình xung quanh được gọi là nhiệt độ môi trường xung quanh PTVP mô tả sự thay đổi này có dạng: dT   TT   (4) –Trong đó λ>0 là hệ số tỉ lệ, là một hằng số dt s Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 10 (4) dT d T T  4 dts   dt  ln T  T  t ln C    s  TTTTss TTTTsstt ln   t   e  T  Ts  Ce CC Với điều kiện ban đầu: T(t=0) = T0, ta có C = T0 –Ts t Vậy quy luật nhiệt độ T(t) là: T t  Tss  T0  T e ;0  (5) dT –λt Khi t∞ thì e 0, suy ra T Ts, có nghĩa sau 1 thời gian dài nhiệt độ của   TT  s  vật sẽdt bằng với nhiệt độ của môi trường bên ngoài. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 11 Vật nóng lạnh đi trong không khí với tốc độ tỷ lệ với sự chênh lệch giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ của không khí xung quanh. Nếu không khí được duy trì ở 20°C và vật lạnh đi từ 100°C đến 75°C trong 10 phút, thì khi nào nhiệt độ của nó là 25°C? Nhiệt độ của nó sẽ là bao nhiêu trong nửa giờ kể từ khi nó bắt đầu nguội từ 100°C? Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 12 Một tách cà phê ở 80°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C và nó nguội xuống 50°C trong 5 phút. Tìm nhiệt độ của nó sau khoảng thời gian 5 phút nữa. Phải mất thêm bao nhiêu thời gian nữa để nhiệt độ của cà phê sẽ giảm về 25°C. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 13 Nồng độ muối trong dòng Lưu lượng nước muối chảy vào là s1 (gram/lít) Vòi chảy vào chảy vào là l1 (lít/phút) Ban đầu trong bể có l (lít) nước muối Lượng muối ban đầu trong bể là s (gram) Lượng muối tại thời Vòi chảy ra điểm t là x(t) (gram) Lưu lượng nước muối Hỗn hợp được khuấy đều liên tục để đảm bảo đồng chất (nồng độ là chảy ra là l2 (lít/phút) như nhau tại mọi nươi trong bể) - Gọi x là lượng muối trong bể tại mỗi thời điểm t 퐺푟푎푚 14 dx 퐺푟푎푚  Độ biến thiên muối = Lượng muối đi vào – Lượng muối thoát ra dt 푃ℎú푡 퐺푟푎푚 - Lượng muối đi vào là: ls 11 푃ℎú푡 - Tính nồng độ muối trong bể, cũng là nồng độ muối trong chùm tia nước khi thoát ra khỏi vòi theo mỗi thời điểm t: x 퐺푟푎푚 - Trong đó V là thể tích nước muối V l  l  l t 푙í푡 V 푙í푡 12 x 퐺푟푎푚  Nồng độ muối trong bể là: 푙í푡 l l12 l t lx 퐺푟푎푚 - Lượng muối thoát ra là: 2 푃ℎú푡 l l12 l t dx l22 x dx l Vậy quy luật độ biến thiên muối là: l1 s 1     x  l 1 s 1 (6) dt l l1  l 2 t dt l  l 1  l 2  t dx l2 l2  x  l11 s P t ; Q t l11 s (6) Dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính dt l l12 l t l l12 l t ll P t dt22 dt ln  l  l  l t     12 l l1  l 2 t l 1  l 2 l P t dt 2  ll12 e  l  l12  l t  l1 ll21ll12  P t dt 1 l  l12  l t  Q t e dt l s l l l tl1 l 2 dt  l s   s l l l t l 1 l 2   1 1 1 2  1 1l 1  1 2   ll12 1 ll12 ll P t dt P t dt 21 xe  Q t e dt  C  x  l  l  l tl1 l 2 s  l  l  l t  l 1 l 2  C     12 1  1 2   l2 l 1 l 2 C sll1 l 2  s l l 1  l 2  l l 1  l 2 s  s l Với điều kiện ban đầu: x(t=0) = s, ta có: 11  l2 lll12  s s l x t  s  l  l  l t   1 Vậy quy luật xác định hàm lượng muối trong bể x(t) là: 1 1 2 l2 ll12 l  l12  l t  l2 ll ll21 21 xtslllt  1   1  2   ssl  1  1  t (7) l 15 16 Nếu lưu lượng nước muối chảy vào bằng với lưu lượng nước muối chảy ra (tốc độ chảy ra và vào bằng nhau): l1 = l2 dx l l 1 P t2 ; Q t l s 6   x  l s (8) Dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính     11 dt l 11 l ll P t dt11 dt t ll l P t dt 1 t ee  l l l l P t dt 1tl 1 t 1 t Q t e dt l s  el dt  l s   e l  s le l   1 1 1 1 1 l1 l l l P t dt P t dt 1t 1 t 1 t xe  Q t e dt  C  x  el  s le l  C  x t  s l  Ce l    11  C s s l Với điều kiện ban đầu: x(t=0) = s, ta có: 1 l  1 t Vậy quy luật xác định hàm lượng muối trong bể x(t) là: l x t  s11 l  s  s l e (9) Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 17 Một bể chứa 100 gallon nước muối được tạo ra bằng cách hòa tan 60 lbs muối trong nước. Nước muối có chứa 1 lb muối mỗi gallon chảy vào bể với tốc độ 2 gallon mỗi phút. Hỗn hợp được giữ đồng nhất bằng cách khuấy. Hỗn hợp chảy ra với tốc độ 3 gallon mỗi phút. Tìm khối lượng muối khi hết 1 giờ. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 18 Một bể chứa 100 lít nước ngọt. Nước muối chảy vào với tốc độ 2 lít mỗi phút và nó chứa 1 g muối mỗi lít. Hỗn hợp được giữ đồng nhất bằng cách khuấy và nó chảy ra với tốc độ 1 lít mỗi phút. Tìm khối lượng muối khi bể chứa đạt 150 lít nước muối. Sau bao lâu thì khối lượng muối sẽ đạt 80 g? Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 19 Không khí trong phòng 20 x 15 x 12 feet chứa 15% cacbon-di-oxit. Tìm phần trăm cacbon-di-oxit trong phòng khi kết thúc 30 phút không khí trong lành có 2% cacbon-đi-oxit đi vào và đi ra qua cửa sổ với tốc độ 24 ft3 trên phút. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 20 Xem xét một mạch điện đơn giản cấu tạo từ: - Một điện cảm L [H – Henry], - Một điện trở R [Ω – Ohms], - Một điện dung (tụ điện) C [F – Farads]. Một sức điện động E [V – Volts] được đặt vào mạch điện. Thông thường nguồn năng lượng điện là pin hoặc máy phát điện. Nếu nguồn năng lượng là pin thì E là hằng số. Nếu nguồn năng lượng là máy phát điện thì E là hàm của thời gian t (tính bằng giây). Cường độ dòng điện i đi qua đoạn mạch được đo bằng Ampe và điện tích (hoặc điện lượng) q trên tụ điện được đo bằng Coulombs. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 21 1. Một điện trở chống lại dòng điện bằng cách tạo ra một sự giảm sức điện động có độ lớn ER. Theo định luật Ohm, điện áp đặt trên điện trở R được cho bởi công thức ER = R.i (10) 2. Một cuộn cảm chống lại bất kz sự thay đổi nào của dòng điện bằng cách tạo ra sự giảm sức điện động có độ lớn EL. Theo định luật Faraday, điện áp rơi trên cuộn cảm L được xác định 풅풊 bởi công thức 푬 = 푳 (11) 푳 풅풕 3. Một tụ điện dự trữ năng lượng. Theo quy luật thực nghiệm, điện áp đặt trên tụ điện C được xác định bởi công thức 풒 (12) 푬 = , trong đó q là điện tích có trong tụ. 푪 푪 4. Dòng điện i là tốc độ của dòng điện hoặc tốc độ của dòng điện tích dương q dq 1 i  q  idt  E  idt (13) dtC C 22 Gọi i *tức là i (t)] là cường độ dòng điện chạy trong mạch tại thời điểm t (giây) bất kz. Định luật điện áp của Kirchoff phát biểu rằng “trong một mạch kín, tổng của điện áp giảm trên mỗi phần tử của mạch là bằng hiệu điện thế đặt vào (suất điện động)”. di q di q EEEEt   L  RiEt   L  Ri Et  (14) LCR dt C dt C Theo hàm i: đạo hàm 2 vế theo t: Theo hàm q: thay i bằng dq/dt: d2 i di1 dq dE d dq dq 1 14 LR2    14 L  R  q  E t dt dt C dt dt dt dt dt C i d2 q dq q d2 i di i dE L  R   E t (16) LR    dt2 dt C dt2 dt C dt (15)  Đến bài PTVP bậc cao chúng ta mới nghiên cứu để giải (15) và (16) 23 Nếu trong mạch điện không có thành phần điện dung (tụ điện) thì phương trình vi phân (14) trở thành dạng: di di R Et R Et    Dạng IV: Phương trình vi P t ; Q t L Ri  E t    i  (17) LL dt dt L L phân tuyến tính Nếu trong mạch điện không có thành phần điện cảm thì phương trình vi phân (15) hoặc (16) trở thành dạng: di i dE di1 1 dE 1 1 dE 15 R      i  ; P t  ; Q t  Dạng IV: dt C dt dt RC R dt RC R dt Phương trình dq q dq 11E t  E t vi phân tuyến 16 R   E t    q  ; P t  ; Q t  tính dt C dt RC R RC R Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 24 Cho mạch điện đơn giản gồm có 2 thành phần điện dung C và điện trở R với suất điện động có quy luật E=E0.cos(pt), trong đó E0 và p là các hằng số. Hãy tìm ra quy luật cường độ dòng điện đi qua mạch i. Cho biết i(t=0)=0 (A) Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 25 Cho mạch điện đơn giản gồm có 2 thành phần điện cảm L và điện trở R với suất điện động có quy luật E=E0.sin(ωt), trong đó E0 và ω là các hằng số. Hãy tìm ra quy luật cường độ dòng điện đi qua mạch i. Cho biết i(t=0)=0 (A) Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 26 Cho mạch điện đơn giản gồm 2 nhánh: nhánh 1 gồm 2 thành phần điện cảm L và điện trở R, nhánh 2 cũng gồm điện trở R với tụ điện C. Hai nhánh này được cung cấp điện bởi cùng một nguồn năng lượng có quy luật E=E0.sin(pt), trong đó E0 và p là các hằng số. Hãy tìm ra quy luật cường độ dòng điện đi qua từng mạch 2 i1 và i2. Cho biết i1(t=0)=i2(t=0)=0 (A). Tính tổng cường độ 2 dòng điện nếu R C=L E E0 sin pt i1 i2 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 27 Gọi F(x,y,c) = 0 là một họ các đường cong trong một mặt phẳng sao cho qua một điểm đã cho chỉ có một đường cong thuộc họ. 2 2 22 F x,, y c  y cx F x,, y c  x  c  y  c c 5..5 c 1..5 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 28 Một đường cong G(x,y,c’), cắt với bất kz đường cong nào của một họ đường cong nhất định F(x,y,c) bởi một góc cố định α được gọi là quỹ đạo đẳng giác F  x, y,c  x22yc y 1 G x, y ,c  arctan ln x22y   c x 2  45 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 29 Một đường cong G(x,y,c’), cắt với bất kz đường cong nào của một họ đường cong nhất định F(x,y,c) bởi một góc vuông thì được gọi là quỹ đạo trực giao 2 F  x,, y c  x22 y c Fy xc, ,cy   x 22 G xc,,; y c   x c  G x, y , c  x 2 y c ;c 0 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 30 1. Trong điện trường, các đường mà dòng điện chạy qua là quỹ đạo trực giao của các đường đẳng thế (tức là các đường của thế năng vận tốc không đổi) và ngược lại Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 31 2. Trong dòng nhiệt hai chiều, các đường cong của dòng thông lượng nhiệt và đường đẳng nhiệt là quỹ đạo trực giao nhau. Đường đẳng nhiệt Dòng thông lượng nhiệt Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 32 3. Kinh tuyến và vĩ tuyến của Trái đất là những quỹ đạo trực giao Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 33 4. Trong động lực học chất lỏng, các đường dòng và đường đẳng thế (tức là các đường có vận tốc không đổi) là các quỹ đạo trực giao. Vận tốc giảm dọc Đường đẳng thế theo đường dòng Vận tốc tỷ lệ nghịch này với khoảng cách giữa các dòng Vận tốc tăng dọc theo đường dòng này Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 34 Từ họ đường cong có phương trình F(x,y,c) = 0 (1), trong đó c là một hằng số nào đó: 1. Tính đạo hàm của phương trình theo x và triệt tiêu c để thu về 1 phương trình chứa x, y, dy/dx. Rất có thể cần tận dụng cả phương trình gốc để triệt tiêu c.  d  F x, y , c  0 dy dx f x, y , 0 2  dx F x, y , c  0 2. Trong (2) thay thế dy/dx bằng –dx/dy, thu được phương trình vi phân mới: dx f x, y , 0 3 dy 3. Giải phương trình vi phân (3) để thu được họ đường cong mới: G(x,y,c’) = 0 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 35 Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong y2 = 4cx, trong đó c là hằng số. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 36 Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong sau trong đó c là hằng số. xy22 1 a22 b c Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 37 Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong cy2 = x3, trong đó c là hằng số. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 38 y x Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 39 Từ họ đường cong có phương trình F(r,θ,c) = 0 (1), trong đó c là một hằng số nào đó: 1. Tính đạo hàm của phương trình theo θ và triệt tiêu c để thu về 1 phương trình chứa r, θ, dr/dθ. Rất có thể cần tận dụng cả phương trình gốc để triệt tiêu c.  d  F r, , c  0 dr d fr, , 0 2  d F r, , c  0 2. Trong (2) thay thế dr/dθ bằng –r2dθ/dr, thu được phương trình vi phân mới: 2 d f r, , r 0 3 dr 3. Giải phương trình vi phân (3) để thu được họ đường cong mới: G(r,θ,c’) = 0 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 40 Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong r = c.cosθ, trong đó c là hằng số. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 41 Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong r = c.(1–cosθ), trong đó c là hằng số. Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 42 Tìm quỹ đạo trực giao với họ đường cong sau trong đó c là hằng số. 2c r  1 cos Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I 43 Cho biết vô lăng quay với quy luật: a) Dạng 1: ω=f(θ), tức là cho quy luật vận tốc góc ω là một hàm số phụ thuộc vào góc quay θ. b) Dạng 2: ε=f(ω), tức là cho quy luật gia tốc góc ε là một hàm số phụ thuộc vào vận tốc góc ω. c) Dạng 3: ε=f(θ), tức là cho quy luật gia tốc góc ε là một hàm số phụ thuộc vào góc quay θ. Yêu cầu: Hãy xác định: *) Cho biết: a) Tình huống 1: Khi góc quay θ đạt giá trị θ0. Tính vận tốc góc ω và gia tốc góc ε 1) Khi t=0 thì θ=0, ω=0. khi đó. Tính thời gian t để θ đạt giá trị θ0. 2) Đơn vị của góc quay: [rad], một b) Tình huống 2: Khi vận tốc góc ω đạt giá trị ω0. Tính góc quay θ và gia tốc góc ε vòng = 360° = 2π [rad] khi đó. Tính thời gian t để ω đạt giá trị ω0. 3) Đơn vị của vận tốc góc: [rad/s], 1 [vòng/phút] = π/30 [rad/s] c) Tình huống 3: Khi gia tốc góc ε đạt giá trị ε0. Tính góc quay θ và vận tốc góc ω khi 2 4) Đơn vị của gia tốc góc: [rad/s ] đó. Tính thời gian t để ε đạt giá trị ε0. a a s s O O         s v s a  v  s 45 Bánh đà quay với vận tốc góc ω=(0.005θ2) rad/s, trong đó θ tính bằng radian. Xác định gia tốc góc khi nó quay được 20 vòng. Biết rằng tại thời điểm ban đầu t=0 thì bánh đà đã quay được 1 vòng. Hãy tính thời gian cần thiết để nó quay được 20 vòng như trên. Trục phần ứng S của máy hút bụi quay với gia tốc góc ε=4ω3/4 rad/s2, trong đó ω tính bằng rad/s. Xác định vận tốc góc và số vòng quay của chổi khi t=4 s, bắt đầu từ ω0 = 1 rad/s, tại θ=0. Bán kính của trục và chổi lần lượt là 0.25 inch và 1 inch. Bỏ qua độ dày của đai truyền động. Đĩa bắt đầu với vận tốc ω0 = 1 rad/s khi θ = 0, và được cung cấp gia tốc góc ε = (0.3θ) rad/s2, trong đó θ tính bằng radian. Xác định độ lớn thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của gia tốc của điểm P trên vành đĩa khi θ = 1 vòng, và thời gian để nó quay được như vậy.