Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

ánh nếu ∀y ∈ Y ,∃x ∈ X : y = f (x). Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 57 Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho 2 tập hợp tùy ý X ,Y 6= ∅. Ánh xạ f giữa 2 tập X ,Y là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f (x). Định nghĩa Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ Y ,∃x ∈ X : y = f (x). Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 57 Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu) nếu và chỉ nếu{ f (x + y) = f (x) + f (y),∀x , y ∈ E f (λx) = λf (x),∀λ ∈ K ,∀x ∈ E . Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là L(E , F ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1− x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính. ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1)− (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1− x2, x1, x1+ x2)+ (3y1− y2, y1, y1+ y2) = f(x)+f(y). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1− x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính. ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1)− (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1− x2, x1, x1+ x2)+ (3y1− y2, y1, y1+ y2) = f(x)+f(y). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x21 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) = (2λ2x21 − λx2, λx2) 6= λ(2x21 − x2, x2), nếu λ 6= 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x21 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) = (2λ2x21 − λx2, λx2) 6= λ(2x21 − x2, x2), nếu λ 6= 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x21 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) = (2λ2x21 − λx2, λx2) 6= λ(2x21 − x2, x2), nếu λ 6= 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Định nghĩa Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 57 Khái niệm tổng quát Hạt nhân và ảnh Định nghĩa Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Ker(f ) = {x ∈ E\f (x) = 0} = f −1(0) là hạt nhân của ánh xạ f . 2 Im(f ) = {y ∈ F\∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E ) là ảnh của ánh xạ f . Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Im(f ) là không gian véctơ con của F 2 Ker(f ) là không gian véctơ con của E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 57 Khái niệm tổng quát Hạt nhân và ảnh Định nghĩa Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Ker(f ) = {x ∈ E\f (x) = 0} = f −1(0) là hạt nhân của ánh xạ f . 2 Im(f ) = {y ∈ F\∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E ) là ảnh của ánh xạ f . Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Im(f ) là không gian véctơ con của F 2 Ker(f ) là không gian véctơ con của E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 57 Khái niệm tổng quát Hạt nhân và ảnh Định nghĩa Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) và dim(Ker(f )) là số khuyết của f . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : P2(x)→ R xác định bởi f (p(x)) = 1∫ 0 p(x)dx . 1 Tìm Ker(f ) 2 Tìm dim(Ker(f )) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ 1 p(x) = ax2 + bx + c ∈ P2(x) ⇒ f (p(x)) = 1∫ 0 (ax2 + bx + c)dx = a3 + b 2 + c = 0 ⇒ c = −a3 − b2 . Vậy Ker(f ) = {ax2 + bx + (−a3 − b2) : ∀a, b ∈ R} 2 Ta có ax2 + bx + (−a3 − b2) = a(x2 − 13) + b(x − 12) và x2 − 13, x − 12 ĐLTT nên chúng là cơ sở của Ker(f )⇒ dim(Ker(f )) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ 1 p(x) = ax2 + bx + c ∈ P2(x) ⇒ f (p(x)) = 1∫ 0 (ax2 + bx + c)dx = a3 + b 2 + c = 0 ⇒ c = −a3 − b2 . Vậy Ker(f ) = {ax2 + bx + (−a3 − b2) : ∀a, b ∈ R} 2 Ta có ax2 + bx + (−a3 − b2) = a(x2 − 13) + b(x − 12) và x2 − 13, x − 12 ĐLTT nên chúng là cơ sở của Ker(f )⇒ dim(Ker(f )) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : R4 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4) 1 Tìm Ker(f ), cơ sở và số chiều của nó 2 Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó Ker(f ) = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 = 0, x2 + x3 = 0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R. Vậy Ker(f ) = {α(1, 1,−1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở của Ker(f ) là (1, 1,−1, 0). Dim(Ker(f )) = 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : R4 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4) 1 Tìm Ker(f ), cơ sở và số chiều của nó 2 Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó Ker(f ) = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 = 0, x2 + x3 = 0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R. Vậy Ker(f ) = {α(1, 1,−1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở của Ker(f ) là (1, 1,−1, 0). Dim(Ker(f )) = 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Bước 1. Chọn cơ sở của E = R4 là e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1). Bước 2. Tính f (e1) = (1, 0, 1), f (e2) = (−1, 1, 0), f (e3) = (0, 1, 1), f (e4) = (0, 0, 2) Bước 3. Rõ ràng lúc này ta có f (x1, x2, x3, x4) = f (x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4) = x1f (e1) + x2f (e2) + x3f (e3) + x4f (e4) ⇒ Im(f ) = TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 12 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ  1 −1 0 00 1 1 0 1 0 1 2 →  1 −1 0 00 1 1 0 0 0 0 2  Vậy (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, 0, 2) là cơ sở của Im(f ) và dim(Im(f )) = 3⇒ Im(f ) = F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 13 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó f () =,M = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E 1. Chứng minh f () ⊂ . Với mọi y ∈ f ()⇒ ∃x ∈: y = f (x). Do đó ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x = n∑ i=1 λixi . Khi đó y = f (x) = f ( n∑ i=1 λixi) = n∑ i=1 λi f (xi) ∈ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 14 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó f () =,M = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E 1. Chứng minh f () ⊂ . Với mọi y ∈ f ()⇒ ∃x ∈: y = f (x). Do đó ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x = n∑ i=1 λixi . Khi đó y = f (x) = f ( n∑ i=1 λixi) = n∑ i=1 λi f (xi) ∈ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 14 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính 2. Chứng minh ⊂ f (). Với mọi y ∈⇒ ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : y = n∑ i=1 λi f (xi) = f ( n∑ i=1 λixi) ∈ f (). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 15 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F . Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E ) = f () = . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 16 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F . Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E ) = f () = . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 16 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, . . . , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó 1 Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ thuộc tuyến tính 2 Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 17 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Chứng minh. 1. Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, . . . , λn) 6= (0, 0, . . . , 0) sao cho n∑ i=1 λixi = 0. Khi đó f ( n∑ i=1 λixi) = n∑ i=1 λi f (xi) = 0 ⇒ f (M) PTTT. 2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 18 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Chứng minh. 1. Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, . . . , λn) 6= (0, 0, . . . , 0) sao cho n∑ i=1 λixi = 0. Khi đó f ( n∑ i=1 λixi) = n∑ i=1 λi f (xi) = 0 ⇒ f (M) PTTT. 2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 18 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, . . . , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Nếu f là đơn ánh và M độc lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính. Chứng minh. Giả sử n∑ i=1 λi f (xi) = 0 ⇒ f ( n∑ i=1 λixi) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên n∑ i=1 λixi = 0 mà M ĐLTT nên λi = 0, i = 1..n.  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 19 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, . . . , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Nếu f là đơn ánh và M độc lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính. Chứng minh. Giả sử n∑ i=1 λi f (xi) = 0 ⇒ f ( n∑ i=1 λixi) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên n∑ i=1 λixi = 0 mà M ĐLTT nên λi = 0, i = 1..n.  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 19 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F . Chứng minh. Chứng minh rằng, nếu f là song ánh và B là 1 cơ sở của E thì f (B) là cơ sở của F . Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F . Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F . Chứng minh. Chứng minh rằng, nếu f là song ánh và B là 1 cơ sở của E thì f (B) là cơ sở của F . Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F . Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F . Chứng minh. Chứng minh rằng, nếu f là song ánh và B là 1 cơ sở của E thì f (B) là cơ sở của F . Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F . Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2,−1, 0), f (0,−1, 1) = (2, 1, 3). Xác định f (x1, x2, x3). Ba véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0,−1, 1) là cơ sở của R3 nên (x1, x2, x3) = α(1, 0, 0)+β(−1, 1, 0)+ γ(0,−1, 1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2,−1, 0), f (0,−1, 1) = (2, 1, 3). Xác định f (x1, x2, x3). Ba véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0,−1, 1) là cơ sở của R3 nên (x1, x2, x3) = α(1, 0, 0)+β(−1, 1, 0)+ γ(0,−1, 1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ ⇔  α −β = x1 β −γ = x2 γ = x3 ⇔  α = x1 + x2 + x3 β = x2 + x3 γ = x3 Vậy f (x1, x2, x3) = αf (1, 0, 0) + βf (−1, 1, 0) + γf (0,−1, 1) = (x1 + x2 + x3)(1, 1, 1) + (x2 + x3)(−2,−1, 0) + x3(2, 1, 3) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 + 4x3) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 22 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2,−1, 0), f (0,−1, 1) = (2, 1, 3). Tìm cơ sở và số chiều của Ker(f ). ∀x ∈ Ker(f )⇔ f (x) = 0 ⇔  x1 − x2 + x3 = 0 x1 + x3 = 0 x1 + x2 + 4x3 = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0 Ker(f ) = {0}. Dim(Ker(f )) = 0. @ cơ sở Ker(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2,−1, 0), f (0,−1, 1) = (2, 1, 3). Tìm cơ sở và số chiều của Ker(f ). ∀x ∈ Ker(f )⇔ f (x) = 0 ⇔  x1 − x2 + x3 = 0 x1 + x3 = 0 x1 + x2 + 4x3 = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0 Ker(f ) = {0}. Dim(Ker(f )) = 0. @ cơ sở Ker(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2,−1, 0), f (0,−1, 1) = (2, 1, 3). Tìm cơ sở và số chiều của Im(f ). Chọn cơ sở của R3 là (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0,−1, 1). Im(f ) = = TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2,−1, 0), f (0,−1, 1) = (2, 1, 3). Tìm cơ sở và số chiều của Im(f ). Chọn cơ sở của R3 là (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0,−1, 1). Im(f ) = = TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ  1 −2 21 −1 1 1 0 3 →  1 −2 20 1 −1 0 0 −1  Vậy cơ sở của Im(f ) là (1, 0, 0), (−2, 1, 0), (2,−1,−1). Dim(Im(f )) = 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 25 / 57 Khái niệm tổng quát Định lý về số chiều của nhân và ảnh Định lý Cho 2 K−kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có rank(f ) + dim(ker(f )) = dim(E ) hay dim(Im(f )) + dim(ker(f )) = dim(E ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 26 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Định lý Giả sử E và F là 2 K -kgv, B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E và v1, v2, . . . , vn là n véctơ tùy ý của F . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E , F ) thỏa f (ei) = vi , i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh. ∀x ∈ E ta có x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, xi ∈ K . Lập ánh xạ f : E → F , f (x) = x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 27 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Định lý Giả sử E và F là 2 K -kgv, B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E và v1, v2, . . . , vn là n véctơ tùy ý của F . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E , F ) thỏa f (ei) = vi , i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh. ∀x ∈ E ta có x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, xi ∈ K . Lập ánh xạ f : E → F , f (x) = x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 27 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Rõ ràng lúc này ta có f (e1) = 1.v1 + 0.v2 + . . . + 0.vn = v1, f (e2) = v2, . . . f (en) = vn. Vậy luôn tồn tại ánh xạ f thỏa f (ei) = vi , i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. Với x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, y = y1e1 + y2e2 + . . . + ynen, ta có x+y = (x1+y1)e1+(x2+y2)e2+ . . .+(xn+yn)en và λx = λx1e1 + λx2e2 + . . . + λxnen. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 28 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Do đó f (x+y) = (x1+y1)v1+(x2+y2)v2+. . .+(xn+yn)vn = (x1v1+x2v2+. . .+xnvn)+(y1v1+y2v2+. . .+ynvn) = f (x) + f (y). f (λx) = (λx1v1 + λx2v2 + . . . + λxnvn) = λ(x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn) = λf (x). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 29 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Chứng minh f là duy nhất. Giả sử còn có g : E → F thỏa g(ei) = vi , i = 1, 2, . . . , n. Khi đó ∀x ∈ E , ta có g(x) = x1g(e1) + x2g(e2) + . . . + xng(en) = x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn = f (x). Vậy g = f . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 30 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử E , F là 2 K -kgv, dimE = n, dimF = m, f ∈ L(E , F ). Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (en). Giả sử f (ei) = m∑ k=1 aki fk = a1i f1 + a2i f2 + . . . + ami fm (i = 1, 2, . . . , n). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 31 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử E , F là 2 K -kgv, dimE = n, dimF = m, f ∈ L(E , F ). Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (en). Giả sử f (ei) = m∑ k=1 aki fk = a1i f1 + a2i f2 + . . . + ami fm (i = 1, 2, . . . , n). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 31 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử E , F là 2 K -kgv, dimE = n, dimF = m, f ∈ L(E , F ). Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (en). Giả sử f (ei) = m∑ k=1 aki fk = a1i f1 + a2i f2 + . . . + ami fm (i = 1, 2, . . . , n). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 31 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Khi đó ma trận A =  a11 . . . a1j . . . a1n... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain... . . . ... . . . ... am1 . . . amj . . . amn  được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở BC. Ký hiệu A = MatBC(f ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 32 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Cho E , F là 2 K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ). B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử y = f (x) và X = [x ]B = (x1, x2, . . . , xn)T hay x = n∑ i=1 xiei ; Y = [y ]C = (y1, y2, . . . , ym)T hay y = m∑ k=1 yk fk và A = MatBC(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 33 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Cho E , F là 2 K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ). B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử y = f (x) và X = [x ]B = (x1, x2, . . . , xn)T hay x = n∑ i=1 xiei ; Y = [y ]C = (y1, y2, . . . , ym)T hay y = m∑ k=1 yk fk và A = MatBC(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 33 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Cho E , F là 2 K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ). B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử y = f (x) và X = [x ]B = (x1, x2, . . . , xn)T hay x = n∑ i=1 xiei ; Y = [y ]C = (y1, y2, . . . , ym)T hay y = m∑ k=1 yk fk và A = MatBC(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 33 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Cho E , F là 2 K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ). B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử y = f (x) và X = [x ]B = (x1, x2, . . . , xn)T hay x = n∑ i=1 xiei ; Y = [y ]C = (y1, y2, . . . , ym)T hay y = m∑ k=1 yk fk và A = MatBC(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 33 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Ta có y = f (x) = m∑ k=1 yk fk = f ( n∑ i=1 xiei) = n∑ i=1 xi f (ei) = n∑ i=1 xi( m∑ k=1 aki fk) = m∑ k=1 ( n∑ i=1 akixi)fk ⇒ yk = n∑ i=1 akixi , k = 1, 2, . . . ,m. Hay y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn hoặc ở dạng ma trận Ym×1 = Am×nXn×1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 34 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Ta có y = f (x) = m∑ k=1 yk fk = f ( n∑ i=1 xiei) = n∑ i=1 xi f (ei) = n∑ i=1 xi( m∑ k=1 aki fk) = m∑ k=1 ( n∑ i=1 akixi)fk ⇒ yk = n∑ i=1 akixi , k = 1, 2, . . . ,m. Hay y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn hoặc ở dạng ma trận Ym×1 = Am×nXn×1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 34 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Ta có y = f (x) = m∑ k=1 yk fk = f ( n∑ i=1 xiei) = n∑ i=1 xi f (ei) = n∑ i=1 xi( m∑ k=1 aki fk) = m∑ k=1 ( n∑ i=1 akixi)fk ⇒ yk = n∑ i=1 akixi , k = 1, 2, . . . ,m. Hay y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn hoặc ở dạng ma trận Ym×1 = Am×nXn×1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 34 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : P2(x)→ P1(x) xác định bởi f (p(x)) = p′(x) + 3p′′(x). Cho E = {1, x , x2} là cơ sở của P2(x) và F = {1, x} là cơ sở của P1(x). 1 Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở E , F . 2 Tính f (3x2+5x − 2) trực tiếp và thông qua A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 35 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ 1. Ma trận A của AXTT trong cặp cơ sở E , F . Ta có f (1) = 0 + 3.0 = 0⇒ [f (1)]F = ( 0 0 ) f (x) = 1 + 3.0 = 1⇒ [f (x)]F = ( 1 0 ) f (x2) = 2x + 3.2 = 6 + 2x ⇒ [f (x2)]F = ( 6 2 ) . Vậy A = ( 0 1 6 0 0 2 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 36 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ 2. Tính trực tiếp f (3x2 + 5x − 2) = (6x + 5) + 3(6) = 23 + 6x . Tính thông qua A p(x) = 3x2 + 5x − 2⇒ [p(x)]E =  −25 3  [f (p(x))]F = A[p(x)]E = ( 0 1 6 0 0 2 ) −25 3  =( 23 6 ) . Vậy f (3x2 + 5x − 2) = 23 + 6x . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 37 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 xác định bởi f (x) = Ax , với A =  1 −30 2 4 3  . Tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở E = {(1, 1), (1, 2)} và F = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 38 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ta có f (1, 1) =  1 −30 2 4 3 ( 1 1 ) =  −22 7  . Ta cần khai triển véctơ f (1, 1) trong cơ sở F −22 7  = α  10 1  + β  11 1  + γ  10 0  . Từ đó ta được α = 5, β = 2, γ = −9. Vậy [f (1, 1)]F = (5, 2,−9)T . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 39 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Tương tự ta cũng tính được [f (1, 2)]F =  64 −15  . Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở E , F là 5 62 4 −9 −15  . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 40 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian Khi f ∈ L(E ). Khi đó f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (en) với B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E . Nếu f (ei) = n∑ k=1 akiek thì ma trận A = MatB(f ) =  a11 . . . a1j . . . a1n... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann  chính là ma trận biểu diễn ánh xạ f trong cơ sở B của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 41 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian Nếu X = (x1, x2, . . . , xn)T = [x ]B,Y = (y1, y2, . . . , yn) T = [y ]B, thì ta có Yn×1 = An×nXn×1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 42 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (1, 0)}. e1 = (1, 1)⇒ f (e1) = (3, 0); e2 = (1, 0)⇒ f (e2) = (2, 1);{ f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 43 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (1, 0)}. e1 = (1, 1)⇒ f (e1) = (3, 0); e2 = (1, 0)⇒ f (e2) = (2, 1);{ f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 43 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ ⇔  a11.1 + a21.1 = 3 a11.1 + a21.0 = 0 a12.1 + a22.1 = 2 a12.1 + a22.0 = 1 ⇔  a11 = 0 a21 = 3 a12 = 1 a22 = 1. Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (1, 0)} là A = MatE (f ) = ( 0 1 3 1 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 44 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (1, 1) = (−1, 1), f (1, 0) = (1, 2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc. Trong cơ sở chính tắc e1 = (1, 0)⇒ f (e1) = (1, 2). e2 = (0, 1) = α(1, 1) + β(1, 0)⇒ α = 1, β = −1 ⇒ f (e2) = f (1, 1)− f (1, 0) = (−1, 1)− (1, 2) = (−2,−1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 45 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (1, 1) = (−1, 1), f (1, 0) = (1, 2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc. Trong cơ sở chính tắc e1 = (1, 0)⇒ f (e1) = (1, 2). e2 = (0, 1) = α(1, 1) + β(1, 0)⇒ α = 1, β = −1 ⇒ f (e2) = f (1, 1)− f (1, 0) = (−1, 1)− (1, 2) = (−2,−1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 45 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ{ f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2 ⇔  a11.1 + a21.0 = 1 a11.0 + a21.1 = 2 a12.1 + a22.0 = −2 a12.0 + a22.1 = −1 ⇔  a11 = 1 a21 = 2 a12 = −2 a22 = −1. Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc là A = MatE (f ) = ( 1 −2 2 −1 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 46 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (−1, 1)} là A = ( 1 −1 0 2 ) . Tìm f (−1, 5). Ta có x = (−1, 5) = α(1, 1) + β(−1, 1) ⇒ α = 2, β = 3 ⇒ [x ]E = (2, 3)T . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 47 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (−1, 1)} là A = ( 1 −1 0 2 ) . Tìm f (−1, 5). Ta có x = (−1, 5) = α(1, 1) + β(−1, 1) ⇒ α = 2, β = 3 ⇒ [x ]E = (2, 3)T . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 47 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Từ đó ta có [f (−1, 5)]E = A.[x ]E =( 1 −1 0 2 )( 2 3 ) = ( −1 6 ) . Vậy f (−1, 5) = −1(1, 1) + 6(−1, 1) = (−7, 5) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 48 / 57 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Xét trường hợp f : E → E , f ∈ L(E ) với E là 1 K -kgv. Giả sử B = {e1, e2, . . . , en},B′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n} là 2 cơ sở nào đó của E và A = MatB(f ),A′ = MatB′(f ). Giả sử S = Pass(B,B′) là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′ S =  s11 . . . s1j . . . s1n... . . . ... . . . ... si1 . . . sij . . . sin... . . . ... . . . ... sn1 . . . snj . . . snn  TS. Lê Xuâ