Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 4: Không gian vecto (Tiếp theo)

gọi là tọa độ của véctơ x trong cơ sở B . Kí hiệu [x ]B =  x1 x2... xn  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x ]B là duy nhất. 2 [αx ]B = α[x ]B , ∀α ∈ K . 3 [x + y ]B = [x ]B + [y ]B , ∀x , y ∈ E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x ]B là duy nhất. 2 [αx ]B = α[x ]B , ∀α ∈ K . 3 [x + y ]B = [x ]B + [y ]B , ∀x , y ∈ E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x ]B là duy nhất. 2 [αx ]B = α[x ]B , ∀α ∈ K . 3 [x + y ]B = [x ]B + [y ]B , ∀x , y ∈ E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x ]B là duy nhất. 2 [αx ]B = α[x ]B , ∀α ∈ K . 3 [x + y ]B = [x ]B + [y ]B , ∀x , y ∈ E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x ]B là duy nhất. 2 [αx ]B = α[x ]B , ∀α ∈ K . 3 [x + y ]B = [x ]B + [y ]B , ∀x , y ∈ E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Tìm tọa độ của véctơ x = (6, 5, 4) trong cơ sở B của R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2) Tìm x1, x2, x3 để x = (6, 5, 4) = x1(1, 1, 0) + x2(2, 1, 3) + x3(1, 0, 2) ⇔  x1 + 2x2 + x3 = 6 x1 + x2 = 5 3x2 + 2x3 = 4 ⇔  x1 = 3 x2 = 2 x3 = −1 Vậy [x ]B = (3, 2,−1)T . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Tìm tọa độ của véctơ x = (6, 5, 4) trong cơ sở B của R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2) Tìm x1, x2, x3 để x = (6, 5, 4) = x1(1, 1, 0) + x2(2, 1, 3) + x3(1, 0, 2) ⇔  x1 + 2x2 + x3 = 6 x1 + x2 = 5 3x2 + 2x3 = 4 ⇔  x1 = 3 x2 = 2 x3 = −1 Vậy [x ]B = (3, 2,−1)T . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho cơ sở p1(x) = 1 + x , p2(x) = 1− x , p3(x) = x2 + x . Tìm tọa độ của véctơ p(x) = x2 + 7x − 2 p(x) = λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) ⇔ x2+7x−2 = λ1(1+x)+λ2(1−x)+λ3(x2+x) ⇔  λ3 = 1 λ1 − λ2 + λ3 = 7 λ1 + λ2 = −2 ⇔  λ1 = 2 λ2 = −4 λ3 = 1 Vậy [x ]B = (2,−4, 1)T . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho cơ sở p1(x) = 1 + x , p2(x) = 1− x , p3(x) = x2 + x . Tìm tọa độ của véctơ p(x) = x2 + 7x − 2 p(x) = λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) ⇔ x2+7x−2 = λ1(1+x)+λ2(1−x)+λ3(x2+x) ⇔  λ3 = 1 λ1 − λ2 + λ3 = 7 λ1 + λ2 = −2 ⇔  λ1 = 2 λ2 = −4 λ3 = 1 Vậy [x ]B = (2,−4, 1)T . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Chuyển cơ sở Cho K -kgv E , B = {e1, e2, . . . , en} và B ′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n} là 2 cơ sở của E . Giả sử giữa B và B ′ có mối liên hệ e ′i = n∑ k=1 skiek , i = 1, 2, . . . n. ⇔  e ′1 = s11e1 + s21e2 + . . . + sn1en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ′n = s1ne1 + s2ne2 + . . . + snnen TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Chuyển cơ sở Định nghĩa Ta gọi ma trận S =  s11 s12 . . . s1n s21 s22 . . . s2n . . . . . . . . . . . . sn1 sn2 . . . snn  được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B ′. Ký hiệu S = Pass(B ,B ′). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau Cho K -kgv E , B = {e1, e2, . . . , en} và B ′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n} là 2 cơ sở của E . Giả sử x ∈ E ta có x = n∑ k=1 xkek hay [x ]B = (x1, x2, . . . , xn)T và x = n∑ i=1 x ′i e ′ i hay [x ]B ′ = (x ′1, x ′2, . . . , x ′n)T Ta tìm mối liên hệ giữa [x ]B và [x ]B ′ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau x = n∑ i=1 x ′i e ′ i = x ′1e ′ 1 + x ′ 2e ′ 2 + . . . + x ′ ne ′ n = x ′1(s11e1+ s21e2+ . . .+ sn1en)+x ′ 2(s12e1+ s22e2+ . . .+ sn2en) + . . .+ x ′ n(s1ne1 + s2ne2 + . . .+ snnen) = (s11x ′ 1 + s12x ′ 2 + . . .+ s1nx ′ n)e1 + (s21x ′ 1 + s22x ′ 2 + . . .+ s2nx ′ n)e2+ . . .+(sn1x ′ 1+ sn2x ′ 2+ . . .+ snnx ′ n)en = n∑ k=1 xkek TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau x1 = s11x ′ 1 + s12x ′ 2 + . . . + s1nx ′ n x2 = s21x ′ 1 + s22x ′ 2 + . . . + s2nx ′ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn = sn1x ′ 1 + sn2x ′ 2 + . . . + snnx ′ n x1 x2... xn  =  s11 s12 . . . s1n s21 s22 . . . s2n . . . . . . . . . . . . sn1 sn2 . . . snn   x ′1 x ′2... x ′n  ⇒ [x ]B = S [x ]B ′, [x ]B ′ = S−1[x ]B . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho 2 cơ sở B = {2x2 + x , x2 + 3, 1}, B ′ = {x2 + 1, x − 2, x + 3} và véctơ p(x) = 8x2 − 4x + 6. 1 Tìm ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang B ′. 2 Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B ,B ′. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ta có e ′1 = x2 + 1, e ′2 = x − 2, e ′3 = x + 3 và e1 = 2x 2 + x , e2 = x 2 + 3, e3 = 1. Ta sẽ tìm tọa độ của e ′1, e ′2, e ′3 theo cơ sở B tức là ⇔  e ′1 = s11e1 + s21e2 + s31e3 e ′2 = s12e1 + s22e2 + s32e3 e ′3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 12 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ e ′1 = s11e1 + s21e2 + s31e3 ⇔ s11(2x2 + x) + s21(x2 + 3) + s31.1 = x2 + 1 ⇔  2s11 + s21 = 1 s11 = 0 3s21 + s31 = 1 ⇔ s11 = 0, s21 = 1, s31 = −2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ e ′2 = s12e1 + s22e2 + s32e3 ⇔ s12(2x2 + x) + s22(x2 + 3) + s32.1 = x − 2 ⇔  2s12 + s22 = 0 s12 = 1 3s22 + s32 = −2 ⇔ s12 = 1, s22 = −2, s32 = 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ e ′3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 ⇔ s13(2x2 + x) + s23(x2 + 3) + s33.1 = x + 3 ⇔  2s12 + s22 = 0 s12 = 1 3s22 + s32 = 3 ⇔ s13 = 1, s23 = −2, s33 = 9. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 15 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Vậy ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang B ′ là 0 1 11 −2 −2 −2 4 9  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 2. Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B ,B ′. Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là λ1, λ2, λ3 thỏa p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 ⇔ λ1(2x2+ x)+λ2(x2+3)+λ3.1 = 8x2− 4x +6 ⇔  2λ1 + λ2 = 8 λ1 = −4 3λ2 + λ3 = 6 ⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42. ⇒ [p(x)]B = (−4, 16,−42)T . Tọa độ của p(x) trong cơ sở B ′ là [p(x)]B ′ = S −1.[p(x)]B = (8,−2,−2)T TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 2. Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B ,B ′. Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là λ1, λ2, λ3 thỏa p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 ⇔ λ1(2x2+ x)+λ2(x2+3)+λ3.1 = 8x2− 4x +6 ⇔  2λ1 + λ2 = 8 λ1 = −4 3λ2 + λ3 = 6 ⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42. ⇒ [p(x)]B = (−4, 16,−42)T . Tọa độ của p(x) trong cơ sở B ′ là [p(x)]B ′ = S −1.[p(x)]B = (8,−2,−2)T TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hệ quả Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) 6 n. Chứng minh. Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính của F đều có số phần tử 6 n. Gọi B = {x1, x2, . . . , xk}(k 6 n) là 1 tập con độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ cần chứng minh B là tập sinh của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hệ quả Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) 6 n. Chứng minh. Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính của F đều có số phần tử 6 n. Gọi B = {x1, x2, . . . , xk}(k 6 n) là 1 tập con độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ cần chứng minh B là tập sinh của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x} độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử λ1x1 + λ2x2 + . . . + λkxk + λk+1xk+1 = 0. Nếu λk+1 6= 0 thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xk (trái với giả thiết). Nếu λk+1 = 0 thì λ1x1 + λ2x2 + . . . + λkxk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λk = 0 (vì x1, x2, . . . , xk độc lập tuyến tính). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x} độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử λ1x1 + λ2x2 + . . . + λkxk + λk+1xk+1 = 0. Nếu λk+1 6= 0 thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xk (trái với giả thiết). Nếu λk+1 = 0 thì λ1x1 + λ2x2 + . . . + λkxk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λk = 0 (vì x1, x2, . . . , xk độc lập tuyến tính). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x} độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử λ1x1 + λ2x2 + . . . + λkxk + λk+1xk+1 = 0. Nếu λk+1 6= 0 thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xk (trái với giả thiết). Nếu λk+1 = 0 thì λ1x1 + λ2x2 + . . . + λkxk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λk = 0 (vì x1, x2, . . . , xk độc lập tuyến tính). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn nhất). Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B ⇒ B là tập sinh  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn nhất). Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B ⇒ B là tập sinh  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho không gian con F = {p(x) ∈ P2(x)\p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F . ∀p(x) = ax2 + bx + c ∈ F , ta có p(1) = a + b + c = 0 và p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình{ a + b + c = 0 a − b + c = 0 ⇔ { a = −c b = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho không gian con F = {p(x) ∈ P2(x)\p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F . ∀p(x) = ax2 + bx + c ∈ F , ta có p(1) = a + b + c = 0 và p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình{ a + b + c = 0 a − b + c = 0 ⇔ { a = −c b = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Vậy p(x) = c(−x2 + 1). Do đó {−x2 + 1} là tập sinh của F . −x2 + 1 6= 0 nên luôn độc lập tuyến tính. Như vậy, −x2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều dim(F ) = 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Vậy p(x) = c(−x2 + 1). Do đó {−x2 + 1} là tập sinh của F . −x2 + 1 6= 0 nên luôn độc lập tuyến tính. Như vậy, −x2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều dim(F ) = 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của R3 cho bởi W = {(x1, x2, x3)\x1 + x2 + x3 = 0} Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình x1 + x2 + x3 = 0⇔ x1 = −x2 − x3. Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1). Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở của W . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của R3 cho bởi W = {(x1, x2, x3)\x1 + x2 + x3 = 0} Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình x1 + x2 + x3 = 0⇔ x1 = −x2 − x3. Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1). Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở của W . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Hai véctơ (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) độc lập tuyến tính. Ta chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) sinh ra W . Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ W thì x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1). Như vậy, (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là 1 cơ sở của W và số chiều dim(W ) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm m phương trình và n ẩn Am×nXn×1 = 0m×1. Khi đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành không gian véctơ con của không gian K n. Định lý Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm m phương trình và n ẩn Am×nXn×1 = 0m×1. Khi đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành không gian véctơ con của không gian K n. Định lý Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Giải hệ tìm nghiệm của không gian nghiệm x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0 2x1 + 4x2 − 3x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0  1 2 −1 12 4 −3 0 1 2 1 5  h2→h2−2h1h3→h3−h1−−−−−−→  1 2 −1 10 0 −1 −2 0 0 2 4  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Giải hệ tìm nghiệm của không gian nghiệm x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0 2x1 + 4x2 − 3x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0 1 2 −1 12 4 −3 0 1 2 1 5  h2→h2−2h1h3→h3−h1−−−−−−→  1 2 −1 10 0 −1 −2 0 0 2 4  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ h3→h3+2h2−−−−−−→  1 2 −1 10 0 −1 −2 0 0 0 0 ⇒ x1, x3 là biến cơ sở, x2, x4 là biến tự do. Đặt x2 = α, x4 = β x1 x2 x3 x4  =  −2α− 3β α −2β β  = α  −2 1 0 0 + β  −3 0 −2 1  Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0)T và X2 = (−3, 0,−2, 1)T là cơ sở của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm của hệ này là 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ h3→h3+2h2−−−−−−→  1 2 −1 10 0 −1 −2 0 0 0 0 ⇒ x1, x3 là biến cơ sở, x2, x4 là biến tự do. Đặt x2 = α, x4 = β x1 x2 x3 x4  =  −2α− 3β α −2β β  = α  −2 1 0 0 + β  −3 0 −2 1  Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0)T và X2 = (−3, 0,−2, 1)T là cơ sở của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm của hệ này là 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 37 Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K − kgv . Tập N = {xi1, xi2, . . . , xir} được gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và chỉ nếu N độc lập tuyến tính và mọi véctơ của M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N . Định nghĩa Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó. Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 37 Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K − kgv . Tập N = {xi1, xi2, . . . , xir} được gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và chỉ nếu N độc lập tuyến tính và mọi véctơ của M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N . Định nghĩa Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó. Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 37 Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K − kgv . Tập N = {xi1, xi2, . . . , xir} được gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và chỉ nếu N độc lập tuyến tính và mọi véctơ của M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N . Định nghĩa Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó. Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 37 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P3(x) cho hệ H = {p1(x) = 5x , p2(x) = x + 3x2, p3(x) = 4x − 5x2, p4(x) = x2 + 6x}. Tìm hạng của H . p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính. Vì từ λ1p1(x) + λ2p2(x) = 0 ⇒ 3λ2x2 + (5λ1 + λ2)x = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0. p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) đều là tổ hợp tuyến tính của p1(x), p2(x) Nên hạng của H bằng 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 37 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P3(x) cho hệ H = {p1(x) = 5x , p2(x) = x + 3x2, p3(x) = 4x − 5x2, p4(x) = x2 + 6x}. Tìm hạng của H . p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính. Vì từ λ1p1(x) + λ2p2(x) = 0 ⇒ 3λ2x2 + (5λ1 + λ2)x = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0. p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) đều là tổ hợp tuyến tính của p1(x), p2(x) Nên hạng của H bằng 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 37 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P3(x) cho hệ H = {p1(x) = 5x , p2(x) = x + 3x2, p3(x) = 4x − 5x2, p4(x) = x2 + 6x}. Tìm hạng của H . p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính. Vì từ λ1p1(x) + λ2p2(x) = 0 ⇒ 3λ2x2 + (5λ1 + λ2)x = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0. p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) đều là tổ hợp tuyến tính của p1(x), p2(x) Nên hạng của H bằng 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 37 Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K -kgv có hạng r và W = là không gian véctơ con sinh bởi M . Khi đó dim(W ) = r . Chứng minh. Giả sử Mr = {xi1, xi2, . . . xir} là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M . Chứng minh Mr sinh ra W . Mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 37 Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K -kgv có hạng r và W = là không gian véctơ con sinh bởi M . Khi đó dim(W ) = r . Chứng minh. Giả sử Mr = {xi1, xi2, . . . xir} là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M . Chứng minh Mr sinh ra W . Mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 37 Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K -kgv có hạng r và W = là không gian véctơ con sinh bởi M . Khi đó dim(W ) = r . Chứng minh. Giả sử Mr = {xi1, xi2, . . . xir} là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M . Chứng minh Mr sinh ra W . Mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 37 Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E là một K -kgv có hạng r và W = là không gian véctơ con sinh bởi M . Khi đó dim(W ) = r . Chứng minh. Giả sử Mr = {xi1, xi2, . . . xir} là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M . Chứng minh Mr sinh ra W . Mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 37 Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr . W =⇒ W = . Mr độc lập tuyến tính. ⇒ Mr là cơ sở của W ⇒ dim(W ) = r = rank(M). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 37 Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr . W =⇒ W = . Mr độc lập tuyến tính. ⇒ Mr là cơ sở của W ⇒ dim(W ) = r = rank(M). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 37 Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Tìm cơ sở và số chiều của không gian con M của kgv E sinh bởi m véctơ x1, x2, . . . , xm 1 Lấy một cơ sở B = {e1, e2, . . . , en} bất kỳ của E . Tìm [x1]B , [x2]B , . . . , [xm]B 2 Xét không gian cột của ma trận A = ([x1]B , [x2]B , . . . , [xm]B) 3 Biến đổi A về dạng bậc thang từ đó xác định r(A) và cơ sở của M , số chiều của M bằng r(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 32 / 37 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) = x2 + 2x + 1, p2(x) = 2x 2 + x − 1, p3(x) = 4x + 4. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên. Xét cơ sở chính tắc x2, x , 1 của P2(x), vậy ma trận các cột A là A =  1 2 02 1 4 1 −1 4  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 33 / 37 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) = x2 + 2x + 1, p2(x) = 2x 2 + x − 1, p3(x) = 4x + 4. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên. Xét cơ sở chính tắc x2, x , 1 của P2(x), vậy ma trận các cột A là A =  1 2 02 1 4 1 −1 4  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 33 / 37 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ A h2→h2−2h1 h3→h3−h1−−−−−−→  1 2 00 −3 4 0 −3 4  h3→h3−h2−−−−−→  1 2 00 −3 4 0 0 0  = B . Ma trận B có cột 1 và cột 2 độc lập tuyến tính và là cơ sở của không gian con sinh bởi 3 véctơ p1(x), p2(x), p3(x). Vậy p1(x), p2(x) là cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên là 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 34 / 37 Hạng của một hệ véctơ Hệ các véctơ cột và hệ các véctơ hàng Định lý Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Khi đó nếu gọi rh và rc tương ứng là hạng của các véctơ hàng và các véctơ cột tương ứng của A thì rank(A) = rh = rc . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 35 / 37 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R4 tìm hạng của hệ các véctơ sau: x1 = (1, 2, 4, 0), x2 = (3, 2, 1, 2), x3 = (2, 0,−1, 4), x4 = (1,−2,−5, 4), x5 = (5, 2, 0, 6)  1 2 4 0 3 2 1 2 2 0 −1 4 1 −2 −5 4 5 2 0 6  BĐSC hàng−−−−−−−−→  1 2 4 0 0 −4 −11 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 ⇒ rA = 3 nên hạng của hệ các véctơ cũng bằng 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 36 / 37 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R4 tìm hạng của hệ các véctơ sau: x1 = (1, 2, 4, 0), x2 = (3, 2, 1, 2), x3 = (2, 0,−1, 4), x4 = (1,−2,−5, 4), x5 = (5, 2, 0, 6) 1 2 4 0 3 2 1 2 2 0 −1 4 1 −2 −5 4 5 2 0 6  BĐSC hàng−−−−−−−−→  1 2 4 0 0 −4 −11 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 ⇒ rA = 3 nên hạng của hệ các véctơ cũng bằng 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 36 / 37 Hạng của một hệ véctơ Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 37 / 37