Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 4: Không gian vecto

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33 Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT 1 tập ĐLTT thì số véctơ 6 n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33 Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT 1 tập ĐLTT thì số véctơ 6 n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33 Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT 1 tập ĐLTT thì số véctơ 6 n ∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33 Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT 1 tập ĐLTT thì số véctơ 6 n ∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E . 1 tập là tập sinh của E thì số véctơ > n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33 Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT 1 tập ĐLTT thì số véctơ 6 n ∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E . 1 tập là tập sinh của E thì số véctơ > n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 2 / 33 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E . 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E . 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E . 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E . 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E . M = {x1, x2, . . . , xk} (k 6 n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E . 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E . M = {x1, x2, . . . , xk} (k 6 n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT Nếu M = {x1, x2, . . . , xm} (m > n) là tập sinh của E , xi là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta được M ′ = M\{xi} là tập sinh của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 3 / 33 Tổng và giao không gian con Giao của các không gian con Định nghĩa Giả sử E là một K -kgv; (Fi)i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì F = ⋂ i∈I Fi = {x ∈ E\x ∈ Fi ,∀i} được gọi là giao của các không gian con Fi . Định lý Giao của các không gian con Fi ⋂ i∈I Fi là một không gian véctơ con của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 4 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E ,∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 = {x ∈ E ,∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 5 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 ⋂ F2 = {0}. Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2. Ví dụ K = R,E = R3, các không gian véctơ con F1 = R× {0} × {0}, F2 = {0} × R× {0} có F1 ⋂ F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R× R× {0} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 ⋂ F2 = {0}. Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2. Ví dụ K = R,E = R3, các không gian véctơ con F1 = R× {0} × {0}, F2 = {0} × R× {0} có F1 ⋂ F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R× R× {0} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 6 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định lý Để 2 không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E có tổng trực tiếp thì điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của F1 + F2 được phân tích một cách duy nhất thành tổng của một phần tử của F1 và một phần tử của F2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 7 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E được gọi là bù nhau trong E ⇔ { F1 + F2 = E F1 ⋂ F2 = {0} ⇔ F1 ⊕ F2 = E . Ví dụ K = R,E = R2, các không gian véctơ con F1 = R× {0}, F2 = {0} × R có F1 ⋂ F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R× R = R2 = E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E được gọi là bù nhau trong E ⇔ { F1 + F2 = E F1 ⋂ F2 = {0} ⇔ F1 ⊕ F2 = E . Ví dụ K = R,E = R2, các không gian véctơ con F1 = R× {0}, F2 = {0} × R có F1 ⋂ F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R× R = R2 = E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 8 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 9 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con 1. F có ít nhất một phần bù trong E Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của E . C = {f1, f2, . . . , fp} là 1 cơ sở của F ⇒ C là 1 tập độc lập tuyến tính, giả sử ta bổ sung vào C n − p véctơ của B để được 1 cơ sở B ′ = {f1, f2, . . . , fp, eip+1, . . . , ein} của E Đặt G = Vect(eip+1, . . . , ein) = . Ta sẽ chứng minh G là 1 phần bù của F trong E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con 1. F có ít nhất một phần bù trong E Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở của E . C = {f1, f2, . . . , fp} là 1 cơ sở của F ⇒ C là 1 tập độc lập tuyến tính, giả sử ta bổ sung vào C n − p véctơ của B để được 1 cơ sở B ′ = {f1, f2, . . . , fp, eip+1, . . . , ein} của E Đặt G = Vect(eip+1, . . . , ein) = . Ta sẽ chứng minh G là 1 phần bù của F trong E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 10 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh F + G = E . Thật vậy, ta có F + G ⊂ E . Ta sẽ chứng minh E ⊂ F + G . ∀x ∈ E ,∃(λ1, λ2, . . . , λn) ∈ K n : x = p∑ i=1 λi fi + n∑ j=p+1 λjeij . Trong đó p∑ i=1 λi fi ∈ F , còn n∑ j=p+1 λjeij ∈ G nên x ∈ F + G ⇒ E ⊂ F + G . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 11 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh F ∩ G = {0}. Cho x ∈ F ∩ G thì x ∈ F và x ∈ G . Khi đó ∃(λ1, λ2, . . . , λn) ∈ K n : x = p∑ i=1 λi fi và x = n∑ j=p+1 λjeij ⇒ p∑ i=1 λi fi − n∑ j=p+1 λjeij = 0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 (do B ′ độc lập tuyến tính) ⇒ x = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 12 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con 2. Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. Giả sử H là một phần bù bất kỳ của F trong E , tức là { F + H = E F ∩ H = {0} Giả sử C = {f1, f2, . . . , fp} là 1 cơ sở của F và D = {hp+1, . . . , hq} là 1 cơ sở của H . Ta sẽ chứng minh C ∪ D là 1 cơ sở của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con 2. Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. Giả sử H là một phần bù bất kỳ của F trong E , tức là { F + H = E F ∩ H = {0} Giả sử C = {f1, f2, . . . , fp} là 1 cơ sở của F và D = {hp+1, . . . , hq} là 1 cơ sở của H . Ta sẽ chứng minh C ∪ D là 1 cơ sở của E . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 13 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh C ∪ D độc lập tuyến tính. Thật vậy, từ p∑ i=1 λi fi + q∑ i=p+1 λihi = 0 ⇒ p∑ i=1 λi fi = − q∑ j=p+1 λihi ∈ F ∩ H = {0} ⇒ p∑ i=1 λi fi = 0 và q∑ i=p+1 λihi = 0 ⇒ λ1 = . . . = λp = λp+1 = . . . = λq = 0 (do C ,D độc lập tuyến tính). Vậy C ∪ D ĐLTT. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 14 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh C ∪ D là tập sinh của E . Thật vậy, ∀x ∈ E = F + H ⇒ x = f + h với f ∈ F , h ∈ H . x = f + h = p∑ i=1 λi fi + q∑ i=p+1 λihi Vậy C ∪ D là cơ sở của E . Số véctơ trong C ∪ D là p + q mà C ∪ D cũng là 1 cơ sở của E nên p + q = n ⇒ q = n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 15 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ). Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của E nên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của E ⇒ dim(H) = p 6 n. Mặt khác H = F ⊕ G nên G là phần bù của F trong H ⇒ dim(G ) = p − dim(F ), ⇒ dim(F ) + dim(G ) = p = dim(F ⊕ G ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 16 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fm) = m∑ i=1 dim(Fi). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fm) = m∑ i=1 dim(Fi). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 17 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E . Nếu{ F ⊂ G dim(F ) = dim(G ) ⇒ F = G . Vì F ⊂ G nên F có ít nhất 1 phần bù H trong G và dim(H) = dim(G )− dim(F ) ⇒ dim(H) = 0 ⇒ H = {0}. Vậy G = F + H = F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 18 / 33 Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là những không gian véctơ con của E . Khi đó dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G )− dim(F ∩ G ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 19 / 33 Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Giả sử dim(F ) = r , dim(G ) = s, H = F ∩ G và dim(H) = t. Giả sử B = {x1, x2, . . . , xt} là 1 cơ sở của H . H ⊂ F nên có thể bổ sung thêm r − t véctơ để được 1 cơ sở B ′ = {x1, x2, . . . , xt, yt+1, . . . , yr} của F . Tương tự, H ⊂ G nên có thể bổ sung s − t véctơ để được 1 cơ sở B ′′ = {x1, x2, . . . , xt, zt+1, . . . , zs} của G . Xét C = {x1, x2, . . . , xt, yt+1, . . . , yr , zt+1, . . . , zs}. Ta sẽ chứng minh C là 1 cơ sở của F + G TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 20 / 33 Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Chứng minh C là tập sinh của F + G . Thật vây, ∀u ∈ F + G thì ∃y ∈ F , z ∈ G sao cho u = y + z = t∑ i=1 λixi + r∑ i=t+1 λiyi + t∑ i=1 γixi + s∑ i=t+1 γizi = t∑ i=1 (λi + γi)xi + r∑ i=t+1 λiyi + s∑ i=t+1 γizi . Vậy C là tập sinh của F + G . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 21 / 33 Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Chứng minh C độc lập tuyến tính. Từ α1x1 + α2x2 + . . . + αtxt + βt+1yt+1 + . . . + βryr + γt+1zt+1 + . . . + γszs = 0 ⇒ α1x1 + α2x2 + . . . + αtxt + βt+1yt+1 + . . . + βryr = v (1) = −(γt+1zt+1 + . . . + γszs) = v (2) Rõ ràng v ∈ F và v ∈ G nên v ∈ H = F ∩ G ⇒ v = µ1x1 + µ2x2 + . . . + µtxt (3). Từ (1) và (3) suy ra (α1 − µ1)x1 + . . . + (αt − µt)xt + βt+1yt+1 + . . . + βryr = 0 ⇒ βt+1 = . . . = βr = 0 (do B ′ ĐLTT) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 22 / 33 Tổng và giao không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Từ (2) suy ra α1x1+α2x2+ . . .+αtxt+γt+1zt+1+ . . .+γszs = 0 ⇒ α1 = . . . = αt = γt+1 = . . . = γs = 0. Vậy C là cơ sở của F + G . dim(F + G ) = r + s − t = dim(F ) + dim(G )− dim(F ∩ G ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 23 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho các véctơ u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8), u4 = (8, 16, 12, 16) và v1 = (1, 3, 3, 3), v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9), v4 = (6, 16, 16, 18). Đặt U = và V = . Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 24 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở của U 1 3 4 8 2 6 8 16 1 5 6 12 1 7 8 16 →  1 3 4 8 0 0 0 0 0 2 2 4 0 0 0 0  Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 25 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở của V 1 2 3 6 3 5 8 16 3 5 8 16 3 6 9 18 →  1 3 4 8 0 −1 −1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0  Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 0, 0, 0), (3,−1, 0, 0)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 26 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0), (3,−1, 0, 0)}. Tìm cơ sở của U + V A =  1 3 3 0 0 −1 0 2 0 0 0 0 ⇒ r(A) = 3. Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0), (3,−1, 0, 0)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 27 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . u ∈ U ∩ V ⇔{ u = α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0) u = α3(1, 0, 0, 0) + α4(3,−1, 0, 0) ⇔ u = α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0), và α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0) = α3(1, 0, 0, 0) + α4(3,−1, 0, 0)⇔ u = α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0) α1 + 3α2 = α3 + 3α4 α2 = 0 α4 = 0 ⇒ u = α1(1, 0, 0, 0). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (1, 0, 0, 0) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 28 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho U = {(x1, x2, x3, x4)\x1 + x2 − 2x3 = 0 ∧ x1 − x2 − 2x4 = 0} và V = {(x1, x2, x3, x4)\x1 = x2 = x3}. Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 29 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở của U( 1 1 −2 0 1 −1 0 −2 ) → ( 1 1 −2 0 0 −2 2 −2 ) Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 1, 1, 0), (1,−1, 0, 1)} Tìm cơ sở của V . Với ∀v ∈ V ⇒ v = α(1, 1, 1, 0) + β(0, 0, 0, 1) Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 30 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 1, 1, 0), (1,−1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}. Tìm cơ sở của U + V A =  1 1 0 1 −1 0 1 0 0 0 1 1 →  1 1 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 1 ⇒ r(A) = 3. Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 1, 1, 0), (1,−1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 31 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . x ∈ U ∩ V ⇔ x1 + x2 − 2x3 = 0 x1 − x2 − 2x4 = 0 x1 = x2 = x3 ⇔ { x1 = x2 = x3 = α x4 = 0 ⇒ x = α(1, 1, 1, 0). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (1, 1, 1, 0) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 32 / 33 Tổng và giao không gian con Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2011. 33 / 33