Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

. . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = bm (1) với aij ∈ K , bi ∈ K , i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n; x1, x2, . . . , xn là các biến. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa 1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng: a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = bm (1) với aij ∈ K , bi ∈ K , i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n; x1, x2, . . . , xn là các biến. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij) ∈ Mm×n(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận AB =  a11 a12 . . . a1j . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amj . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . bi . . . bm  m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =  x1 x2 ... xn  và B =  b1 b2 ... bm  thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm ( 0 0 . . . 0 )T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij) ∈ Mm×n(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận AB =  a11 a12 . . . a1j . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amj . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . bi . . . bm  m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =  x1 x2 ... xn  và B =  b1 b2 ... bm  thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm ( 0 0 . . . 0 )T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij) ∈ Mm×n(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận AB =  a11 a12 . . . a1j . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amj . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . bi . . . bm  m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =  x1 x2 ... xn  và B =  b1 b2 ... bm  thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm ( 0 0 . . . 0 )T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij) ∈ Mm×n(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận AB =  a11 a12 . . . a1j . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amj . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . bi . . . bm  m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =  x1 x2 ... xn  và B =  b1 b2 ... bm  thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm ( 0 0 . . . 0 )T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij) ∈ Mm×n(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận AB =  a11 a12 . . . a1j . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amj . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . bi . . . bm  m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =  x1 x2 ... xn  và B =  b1 b2 ... bm  thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm ( 0 0 . . . 0 )T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij) ∈ Mm×n(K ) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận AB =  a11 a12 . . . a1j . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amj . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . bi . . . bm  m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). Nếu đặt X =  x1 x2 ... xn  và B =  b1 b2 ... bm  thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm ( 0 0 . . . 0 )T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa Véc-tơ α =  α1 α2 ... αn , αi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa Véc-tơ α =  α1 α2 ... αn , αi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa Véc-tơ α =  α1 α2 ... αn , αi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa Véc-tơ α =  α1 α2 ... αn , αi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n được gọi là 1 nghiệm của hệ (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng a11x1 + a12x2 + . . .+ a1ixi + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aiixi + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + . . .+ anixi + . . .+ annxn = bn (2) trong đó A = (aij) ∈ Mn(K ) và detA 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng  a11x1 + a12x2 + . . .+ a1ixi + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aiixi + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + . . .+ anixi + . . .+ annxn = bn (2) trong đó A = (aij) ∈ Mn(K ) và detA 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29 Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng a11x1 + a12x2 + . . .+ a1ixi + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aiixi + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + . . .+ anixi + . . .+ annxn = bn (2) trong đó A = (aij) ∈ Mn(K ) và detA 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất xi = |Ai | |A| , i = 1, 2, . . . , n trong đó định thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do B = ( b1 b2 . . . bn )T |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1i . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aii . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ani . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ |Ai | = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . b1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . bi . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . bn . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất xi = |Ai | |A| , i = 1, 2, . . . , n trong đó định thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do B = ( b1 b2 . . . bn )T |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1i . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aii . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ani . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ |Ai | = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . b1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . bi . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . bn . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất xi = |Ai | |A| , i = 1, 2, . . . , n trong đó định thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do B = ( b1 b2 . . . bn )T |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1i . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aii . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ani . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ |Ai | = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . b1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . bi . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . bn . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất xi = |Ai | |A| , i = 1, 2, . . . , n trong đó định thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do B = ( b1 b2 . . . bn )T |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1i . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aii . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ani . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ |Ai | = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . b1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . bi . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . bn . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B hay X = PA|A| .B = 1 |A|  A11 A21 . . . Ai1 . . . An1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1i A2i . . . Aii . . . Ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1n A2n . . . Ain . . . Ann   b1 b2 ... bn  hay xi = 1 |A| n∑ k=1 Akibk = 1 |A| ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . b1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . bi . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . bn . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |Ai | |A| với i = 1, 2, . . . , n Chú ý. Nếu B = 0, detA 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B hay X = PA|A| .B = 1 |A|  A11 A21 . . . Ai1 . . . An1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1i A2i . . . Aii . . . Ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1n A2n . . . Ain . . . Ann   b1 b2 ... bn  hay xi = 1 |A| n∑ k=1 Akibk = 1 |A| ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . b1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . bi . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . bn . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |Ai | |A| với i = 1, 2, . . . , n Chú ý. Nếu B = 0, detA 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B hay X = PA|A| .B = 1 |A|  A11 A21 . . . Ai1 . . . An1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1i A2i . . . Aii . . . Ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1n A2n . . . Ain . . . Ann   b1 b2 ... bn  hay xi = 1 |A| n∑ k=1 Akibk = 1 |A| ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . b1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . bi . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . bn . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |Ai | |A| với i = 1, 2, . . . , n Chú ý. Nếu B = 0, detA 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B hay X = PA|A| .B = 1 |A|  A11 A21 . . . Ai1 . . . An1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1i A2i . . . Aii . . . Ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1n A2n . . . Ain . . . Ann   b1 b2 ... bn  hay xi = 1 |A| n∑ k=1 Akibk = 1 |A| ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . b1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . bi . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . bn . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |Ai | |A| với i = 1, 2, . . . , n Chú ý. Nếu B = 0, detA 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình  2x − 2y − z = −1 y + z = 1 −x + y + z = −1 Giải. Ta có |A| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −2 −1 0 1 1 −1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 1; |A1| = ∣∣∣∣∣∣ −1 −2 −1 1 1 1 −1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 2; |A2| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −1 −1 0 1 1 −1 −1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 4; |A3| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −2 −1 0 1 1 −1 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −3; Vậy x = |A1| |A| = 2, y = |A2| |A| = 4, z = |A3| |A| = −3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình  2x − 2y − z = −1 y + z = 1 −x + y + z = −1 Giải. Ta có |A| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −2 −1 0 1 1 −1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 1; |A1| = ∣∣∣∣∣∣ −1 −2 −1 1 1 1 −1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 2; |A2| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −1 −1 0 1 1 −1 −1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 4; |A3| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −2 −1 0 1 1 −1 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −3; Vậy x = |A1| |A| = 2, y = |A2| |A| = 4, z = |A3| |A| = −3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình  2x − 2y − z = −1 y + z = 1 −x + y + z = −1 Giải. Ta có |A| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −2 −1 0 1 1 −1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 1; |A1| = ∣∣∣∣∣∣ −1 −2 −1 1 1 1 −1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 2; |A2| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −1 −1 0 1 1 −1 −1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 4; |A3| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −2 −1 0 1 1 −1 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −3; Vậy x = |A1| |A| = 2, y = |A2| |A| = 4, z = |A3| |A| = −3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 29 Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình  2x − 2y − z = −1 y + z = 1 −x + y + z = −1 Giải. Ta có |A| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −2 −1 0 1 1 −1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 1; |A1| = ∣∣∣∣∣∣ −1 −2 −1 1 1 1 −1 1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 2; |A2| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −1 −1 0 1 1 −1 −1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 4; |A3| = ∣∣∣∣∣∣ 2 −2 −1 0 1 1 −1 1 −1 ∣∣∣∣∣∣ = −3; Vậy x = |A1| |A| = 2, y = |A2| |A| = 4, z = |A3| |A| = −3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . .+ a1nxn = b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB). a11 a12 . . . a1r . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1 ar2 . . . arr . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 anm2 . . . amr . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . br . . . bm  biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→  c11 c12 . . . c1r . . . c1n 0 c22 . . . c2r . . . c2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . crr . . . crn 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d1 d2 . . . dr dr+1 . . . 0  với cii 6= 0, i = 1, 2, . . . , r . Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB) = r + 1 6= r(A) = r . Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB) = r(A) = r TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB).  a11 a12 . . . a1r . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1 ar2 . . . arr . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 anm2 . . . amr . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . br . . . bm  biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→  c11 c12 . . . c1r . . . c1n 0 c22 . . . c2r . . . c2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . crr . . . crn 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d1 d2 . . . dr dr+1 . . . 0  với cii 6= 0, i = 1, 2, . . . , r . Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB) = r + 1 6= r(A) = r . Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB) = r(A) = r TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB). a11 a12 . . . a1r . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1 ar2 . . . arr . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 anm2 . . . amr . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . br . . . bm  biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→  c11 c12 . . . c1r . . . c1n 0 c22 . . . c2r . . . c2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . crr . . . crn 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d1 d2 . . . dr dr+1 . . . 0  với cii 6= 0, i = 1, 2, . . . , r . Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB) = r + 1 6= r(A) = r . Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB) = r(A) = r TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB). a11 a12 . . . a1r . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1 ar2 . . . arr . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 anm2 . . . amr . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . br . . . bm  biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→  c11 c12 . . . c1r . . . c1n 0 c22 . . . c2r . . . c2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . crr . . . crn 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d1 d2 . . . dr dr+1 . . . 0  với cii 6= 0, i = 1, 2, . . . , r . Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB) = r + 1 6= r(A) = r . Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB) = r(A) = r TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB). a11 a12 . . . a1r . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1 ar2 . . . arr . . . ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 anm2 . . . amr . . . amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 . . . br . . . bm  biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→  c11 c12 . . . c1r . . . c1n 0 c22 . . . c2r . . . c2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . crr . . . crn 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d1 d2 . . . dr dr+1 . . . 0  với cii 6= 0, i = 1, 2, . . . , r . Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB) = r + 1 6= r(A) = r . Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB) = r(A) = r TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. 3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Nếu r(AB) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, . . . , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r < n thì ta xác định r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang. Cho (n − r) biến tự do còn lại những giá trị bất kỳ và chuyển chúng sang vế phải. Giải hệ tìm các biến cơ sở. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. 3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Nếu r(AB) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì