Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 2: Định thức

/ 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (aij) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|. Vậy det : Mn(K )→ K A→ detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1(j−1) a1j a1(j+1) . . . a1n ... . . . ... ... ... . . . ... a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n ai1 . . . ai(j−1) aij ai(j+1) . . . ain a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n ... . . . ... ... ... . . . ... an1 . . . an)(j−1) anj an(j+1) . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1(j−1) a1j a1(j+1) . . . a1n ... . . . ... ... ... . . . ... a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n ai1 . . . ai(j−1) aij ai(j+1) . . . ain a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n ... . . . ... ... ... . . . ... an1 . . . an)(j−1) anj an(j+1) . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1(j−1) a1j a1(j+1) . . . a1n ... . . . ... ... ... . . . ... a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n ai1 . . . ai(j−1) aij ai(j+1) . . . ain a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n ... . . . ... ... ... . . . ... an1 . . . an)(j−1) anj an(j+1) . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Mij = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1(j−1) a1(j+1) . . . a1n ... . . . ... ... . . . ... a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n ... . . . ... ... . . . ... an1 . . . an(j−1) an(j+1) . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (n−1)×(n−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 4 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Aij = (−1)i+jMij là phần bù đại số của phần tử aij . Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (aij) là một số bằng n∑ j=1 a1jA1j = a11A11 + a12A12 + . . .+ a1nA1n. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 a1jA1j = n∑ j=1 (−1)1+ja1jM1j . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij) ∈ Mn(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Aij = (−1)i+jMij là phần bù đại số của phần tử aij . Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (aij) là một số bằng n∑ j=1 a1jA1j = a11A11 + a12A12 + . . .+ a1nA1n. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 a1jA1j = n∑ j=1 (−1)1+ja1jM1j . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1,A = (a11)⇒ |A| = a11. 2 n = 2,A = ( a11 a12 a21 a22 ) ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21. 3 n = 3,A =  a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 = (−1)1+1a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+2a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+3a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1,A = (a11)⇒ |A| = a11. 2 n = 2,A = ( a11 a12 a21 a22 ) ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21. 3 n = 3,A =  a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 = (−1)1+1a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+2a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+3a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1,A = (a11)⇒ |A| = a11. 2 n = 2,A = ( a11 a12 a21 a22 ) ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21. 3 n = 3,A =  a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 = (−1)1+1a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+2a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+3a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1,A = (a11)⇒ |A| = a11. 2 n = 2,A = ( a11 a12 a21 a22 ) ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 = a11a22 − a12a21. 3 n = 3,A =  a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⇒ |A| = (−1)1+1a11M11 + (−1)1+2a12M12 + (−1)1+3a13M13 = (−1)1+1a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+2a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+ (−1)1+3a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 34 2 1 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. A11 = (−1)1+1 ∣∣∣∣ 2 11 5 ∣∣∣∣ = 2.5− 1.1 = 9, A12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 4 13 5 ∣∣∣∣ = −(4.5− 1.3) = −17, A13 = (−1)1+3 ∣∣∣∣ 4 23 1 ∣∣∣∣ = 4.1− 2.3 = −2. Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 34 2 1 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. A11 = (−1)1+1 ∣∣∣∣ 2 11 5 ∣∣∣∣ = 2.5− 1.1 = 9, A12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 4 13 5 ∣∣∣∣ = −(4.5− 1.3) = −17, A13 = (−1)1+3 ∣∣∣∣ 4 23 1 ∣∣∣∣ = 4.1− 2.3 = −2. Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 34 2 1 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. A11 = (−1)1+1 ∣∣∣∣ 2 11 5 ∣∣∣∣ = 2.5− 1.1 = 9, A12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 4 13 5 ∣∣∣∣ = −(4.5− 1.3) = −17, A13 = (−1)1+3 ∣∣∣∣ 4 23 1 ∣∣∣∣ = 4.1− 2.3 = −2. Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 aijAij detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ i=1 aijAij TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 aijAij detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ i=1 aijAij TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ. detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ j=1 aijAij detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... an1 . . . anj . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = n∑ i=1 aijAij TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt. Ví dụ Tính định thức detA với A =  1 2 30 2 0 3 1 5  Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 33 5 ∣∣∣∣ = 2(1.5− 3.3) = −8. Tính định thức detA với A =  1 2 32 1 0 3 1 0  Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 3.(−1)1+3 ∣∣∣∣ 2 13 1 ∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 a23 . . . a2n 0 a33 . . . a3n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 0 0 0 a21 a22 . . . 0 ... ... . . . ... an1 am2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 0 0 0 a32 a33 . . . 0 ... ... . . . ... an2 an3 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 a23 . . . a2n 0 a33 . . . a3n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 0 0 0 a21 a22 . . . 0 ... ... . . . ... an1 am2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 0 0 0 a32 a33 . . . 0 ... ... . . . ... an2 an3 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 a23 . . . a2n 0 a33 . . . a3n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 0 0 0 a21 a22 . . . 0 ... ... . . . ... an1 am2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 0 0 0 a32 a33 . . . 0 ... ... . . . ... an2 an3 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 a23 . . . a2n 0 a33 . . . a3n ... ... . . . ... 0 0 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann. Khai triển định thức theo hàng 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 0 0 0 a21 a22 . . . 0 ... ... . . . ... an1 am2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1) 1+1. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a22 0 0 0 a32 a33 . . . 0 ... ... . . . ... an2 an3 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = = a11.a22. . . . ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 10 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. Ví dụ Cho A =  1 3 52 4 6 2 1 8 ⇒ AT =  1 2 23 4 1 5 6 8  . Khi đó detAT = detA = −16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. Ví dụ Cho A =  1 3 52 4 6 2 1 8 ⇒ AT =  1 2 23 4 1 5 6 8  . Khi đó detAT = detA = −16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. Ví dụ Cho A =  1 3 52 4 6 2 1 8 ⇒ AT =  1 2 23 4 1 5 6 8  . Khi đó detAT = detA = −16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 11 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 Nếu A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ B thì detB = −detA . 2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ 6= 0. 3 Nếu A hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột bằng nhau nên detB = 0⇒ detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h4→h4+2h1==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 1 −8 6 −1 5 4 3 −2 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h1→h1−2h2 h3→h3−5h2==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 19 −16 7 1 −8 6 −1 0 44 −27 3 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Khai triển theo cột 1 ==== 1.(−1)2+1. ∣∣∣∣∣∣ 19 −16 7 44 −27 3 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣ = = −2858. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h4→h4+2h1==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 1 −8 6 −1 5 4 3 −2 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h1→h1−2h2 h3→h3−5h2==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 19 −16 7 1 −8 6 −1 0 44 −27 3 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Khai triển theo cột 1 ==== 1.(−1)2+1. ∣∣∣∣∣∣ 19 −16 7 44 −27 3 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣ = = −2858. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h4→h4+2h1==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 1 −8 6 −1 5 4 3 −2 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h1→h1−2h2 h3→h3−5h2==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 19 −16 7 1 −8 6 −1 0 44 −27 3 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Khai triển theo cột 1 ==== 1.(−1)2+1. ∣∣∣∣∣∣ 19 −16 7 44 −27 3 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣ = = −2858. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h4→h4+2h1==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 1 −8 6 −1 5 4 3 −2 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h1→h1−2h2 h3→h3−5h2==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 19 −16 7 1 −8 6 −1 0 44 −27 3 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Khai triển theo cột 1 ==== 1.(−1)2+1. ∣∣∣∣∣∣ 19 −16 7 44 −27 3 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣ = = −2858. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h4→h4+2h1==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 1 −8 6 −1 5 4 3 −2 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h1→h1−2h2 h3→h3−5h2==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 19 −16 7 1 −8 6 −1 0 44 −27 3 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Khai triển theo cột 1 ==== 1.(−1)2+1. ∣∣∣∣∣∣ 19 −16 7 44 −27 3 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣ = = −2858. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h4→h4+2h1==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 1 −8 6 −1 5 4 3 −2 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h1→h1−2h2 h3→h3−5h2==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 19 −16 7 1 −8 6 −1 0 44 −27 3 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Khai triển theo cột 1 ==== 1.(−1)2+1. ∣∣∣∣∣∣ 19 −16 7 44 −27 3 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣ = = −2858. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 5 4 3 −2 −4 2 5 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h4→h4+2h1==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 5 1 −8 6 −1 5 4 3 −2 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ h1→h1−2h2 h3→h3−5h2==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 19 −16 7 1 −8 6 −1 0 44 −27 3 0 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Khai triển theo cột 1 ==== 1.(−1)2+1. ∣∣∣∣∣∣ 19 −16 7 44 −27 3 8 −3 13 ∣∣∣∣∣∣ = = −2858. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 13 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ x a a a a x a a a a x a a a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ x a a a a x a a a a x a a a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ c1→c1+c2+c3+c4==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ x + 3a a a a x + 3a x a a x + 3a a x a x + 3a a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ cột 1 ==== (x + 3a) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 a a a 1 x a a 1 a x a 1 a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h3→h3−h1 h4→h4−h1==== (x + 3a) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 a a a 0 x − a 0 0 0 0 x − a 0 0 0 0 x − a ∣∣∣∣∣∣∣∣ = = (x + 3a)(x − a)3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ x a a a a x a a a a x a a a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ x a a a a x a a a a x a a a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ c1→c1+c2+c3+c4==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ x + 3a a a a x + 3a x a a x + 3a a x a x + 3a a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ cột 1 ==== (x + 3a) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 a a a 1 x a a 1 a x a 1 a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h3→h3−h1 h4→h4−h1==== (x + 3a) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 a a a 0 x − a 0 0 0 0 x − a 0 0 0 0 x − a ∣∣∣∣∣∣∣∣ = = (x + 3a)(x − a)3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 14 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ Tính định thức ∣∣∣∣∣∣∣∣ x a a a a x a a a a x a a a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ x a a a a x a a a a x a a a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ c1→c1+c2+c3+c4==== ∣∣∣∣∣∣∣∣ x + 3a a a a x + 3a x a a x + 3a a x a x + 3a a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ cột 1 ==== (x + 3a) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 a a a 1 x a a 1 a x a 1 a a x ∣∣∣∣∣∣∣∣ h2→h2−h1 h3→h3−h1 h4→h4−h1==== (x + 3a)...à ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu là A−1. Trong trường hợp này ta nói A khả nghịch. Định lý Ma trận A không suy biến ⇔ A khả nghịch và A−1 = 1 |A| .PA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 29 / 44 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K ). Ma trận A được gọi là ma trận không suy biến nếu detA 6= 0. Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K ). Nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K ) sao cho AB = BA = I , trong đó I là ma trận đơn vị, thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và ký hiệu là A−1. Trong trường hợp này ta nói A khả nghịch. Định lý Ma trận A không suy biến ⇔ A khả nghịch và A−1 = 1 |A| .PA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 29 / 44 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 5 76 3 4 5 −2 −3  Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là PA =  −1 38 −271 −41 29 −1 34 −24 T =  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  . Vậy A−1 = 1 |A| .PA = (−1).  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  =  1 −1 1−38 41 −34 27 −29 24  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 5 76 3 4 5 −2 −3  Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là PA =  −1 38 −271 −41 29 −1 34 −24 T =  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  . Vậy A−1 = 1 |A| .PA = (−1).  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  =  1 −1 1−38 41 −34 27 −29 24  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 5 76 3 4 5 −2 −3  Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là PA =  −1 38 −271 −41 29 −1 34 −24 T =  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  . Vậy A−1 = 1 |A| .PA = (−1).  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  =  1 −1 1−38 41 −34 27 −29 24  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 5 76 3 4 5 −2 −3  Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là PA =  −1 38 −271 −41 29 −1 34 −24 T =  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  . Vậy A−1 = 1 |A| .PA = (−1).  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  =  1 −1 1−38 41 −34 27 −29 24  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 5 76 3 4 5 −2 −3  Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là PA =  −1 38 −271 −41 29 −1 34 −24 T =  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  . Vậy A−1 = 1 |A| .PA = (−1).  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  =  1 −1 1−38 41 −34 27 −29 24  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A =  2 5 76 3 4 5 −2 −3  Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là PA =  −1 38 −271 −41 29 −1 34 −24 T =  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  . Vậy A−1 = 1 |A| .PA = (−1).  −1 1 −138 −41 34 −27 29 −24  =  1 −1 1−38 41 −34 27 −29 24  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 30 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận khả nghịch 1 det(A−1) = 1 detA . Thật vậy, A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. 2 det(PA) = (detA) n−1. Thật vậy, (detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1). 3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I . 4 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I = B−1B = B−1(A−1.A)B = (B−1A−1).(AB) 5 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB|AB| = PB |B| . PA |A| . 6 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1 α A−1. Thật vậy, (αA). ( 1 α A−1 ) = I = ( 1 α A−1 ) .(αA) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 31 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mn×p(K ). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mp×n(K ). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0,B ∈ Mm(K ), |B| 6= 0 và C ∈ Mn×m(K ). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mn×p(K ). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mp×n(K ). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0,B ∈ Mm(K ), |B| 6= 0 và C ∈ Mn×m(K ). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mn×p(K ). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mp×n(K ). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0,B ∈ Mm(K ), |B| 6= 0 và C ∈ Mn×m(K ). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mn×p(K ). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mp×n(K ). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0,B ∈ Mm(K ), |B| 6= 0 và C ∈ Mn×m(K ). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mn×p(K ). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mp×n(K ). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0,B ∈ Mm(K ), |B| 6= 0 và C ∈ Mn×m(K ). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mn×p(K ). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mp×n(K ). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0,B ∈ Mm(K ), |B| 6= 0 và C ∈ Mn×m(K ). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mn×p(K ). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0 và B ∈ Mp×n(K ). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K ), |A| 6= 0,B ∈ Mm(K ), |B| 6= 0 và C ∈ Mn×m(K ). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 32 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận  0 −8 31 −5 9 2 3 8 X =  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  Giải. X =  0 −8 31 −5 9 2 3 8 −1 .  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  =  1 5 72 −4 3 −3 −3 −2  Ví dụ Giải phương trình ma trận X . ( 3 −2 5 −4 ) = ( −1 2 −5 6 ) Giải. X = ( −1 2 −5 6 ) . ( 3 −2 5 −4 )−1 = ( 3 −2 5 −4 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận  0 −8 31 −5 9 2 3 8 X =  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  Giải. X =  0 −8 31 −5 9 2 3 8 −1 .  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  =  1 5 72 −4 3 −3 −3 −2  Ví dụ Giải phương trình ma trận X . ( 3 −2 5 −4 ) = ( −1 2 −5 6 ) Giải. X = ( −1 2 −5 6 ) . ( 3 −2 5 −4 )−1 = ( 3 −2 5 −4 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận  0 −8 31 −5 9 2 3 8 X =  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  Giải. X =  0 −8 31 −5 9 2 3 8 −1 .  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  =  1 5 72 −4 3 −3 −3 −2  Ví dụ Giải phương trình ma trận X . ( 3 −2 5 −4 ) = ( −1 2 −5 6 ) Giải. X = ( −1 2 −5 6 ) . ( 3 −2 5 −4 )−1 = ( 3 −2 5 −4 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận  0 −8 31 −5 9 2 3 8 X =  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  Giải. X =  0 −8 31 −5 9 2 3 8 −1 .  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  =  1 5 72 −4 3 −3 −3 −2  Ví dụ Giải phương trình ma trận X . ( 3 −2 5 −4 ) = ( −1 2 −5 6 ) Giải. X = ( −1 2 −5 6 ) . ( 3 −2 5 −4 )−1 = ( 3 −2 5 −4 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận  0 −8 31 −5 9 2 3 8 X =  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  Giải. X =  0 −8 31 −5 9 2 3 8 −1 .  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  =  1 5 72 −4 3 −3 −3 −2  Ví dụ Giải phương trình ma trận X . ( 3 −2 5 −4 ) = ( −1 2 −5 6 ) Giải. X = ( −1 2 −5 6 ) . ( 3 −2 5 −4 )−1 = ( 3 −2 5 −4 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận  0 −8 31 −5 9 2 3 8 X =  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  Giải. X =  0 −8 31 −5 9 2 3 8 −1 .  −25 23 −30−36 −2 −26 −16 −26 7  =  1 5 72 −4 3 −3 −3 −2  Ví dụ Giải phương trình ma trận X . ( 3 −2 5 −4 ) = ( −1 2 −5 6 ) Giải. X = ( −1 2 −5 6 ) . ( 3 −2 5 −4 )−1 = ( 3 −2 5 −4 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 33 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận ( 3 −1 5 −2 ) .X . ( 5 6 7 8 ) = ( 14 16 9 10 ) Giải. X = ( 3 −1 5 −2 )−1 . ( 14 16 9 10 ) . ( 5 6 7 8 )−1 = ( 1 2 3 4 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 34 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận ( 3 −1 5 −2 ) .X . ( 5 6 7 8 ) = ( 14 16 9 10 ) Giải. X = ( 3 −1 5 −2 )−1 . ( 14 16 9 10 ) . ( 5 6 7 8 )−1 = ( 1 2 3 4 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 34 / 44 Ma trận nghịch đảo Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận ( 3 −1 5 −2 ) .X . ( 5 6 7 8 ) = ( 14 16 9 10 ) Giải. X = ( 3 −1 5 −2 )−1 . ( 14 16 9 10 ) . ( 5 6 7 8 )−1 = ( 1 2 3 4 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 34 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) các phép biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) Ví dụ Tìm A−1 (nếu có) với A =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19  (A|I4) =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  h2→h2−2h1 h3→h3−3h1 h4→h4−4h1−−−−−−−→ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) các phép biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) Ví dụ Tìm A−1 (nếu có) với A =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19  (A|I4) =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  h2→h2−2h1 h3→h3−3h1 h4→h4−4h1−−−−−−−→ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) các phép biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) Ví dụ Tìm A−1 (nếu có) với A =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19  (A|I4) =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  h2→h2−2h1 h3→h3−3h1 h4→h4−4h1−−−−−−−→ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) các phép biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) Ví dụ Tìm A−1 (nếu có) với A =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19  (A|I4) =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  h2→h2−2h1 h3→h3−3h1 h4→h4−4h1−−−−−−−→ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng Thuật toán (A|I ) các phép biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1) Ví dụ Tìm A−1 (nếu có) với A =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19  (A|I4) =  1 2 3 4 2 5 4 7 3 7 8 12 4 8 14 19 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  h2→h2−2h1 h3→h3−3h1 h4→h4−4h1−−−−−−−→ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 35 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng 1 2 3 4 0 1 −2 −1 0 1 −1 0 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 −2 1 0 0 −3 0 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−2h2h3→h3−h2−−−−−−−→  1 0 7 6 0 1 −2 −1 0 0 1 1 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 5 −2 0 0 −2 1 0 0 −1 −1 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−7h3 h2→h2+2h3 h4→h4−2h3−−−−−−−→  1 0 0 −1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 12 5 −7 0 −4 −1 2 0 −1 −1 1 0 −2 2 −2 1  h1→h1+h4 h2→h2−h4 h3→h3−h4−−−−−−→  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 10 7 −9 1 −2 −3 4 −1 1 −3 3 −1 −2 2 −2 1  = (I4|A−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng 1 2 3 4 0 1 −2 −1 0 1 −1 0 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 −2 1 0 0 −3 0 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−2h2h3→h3−h2−−−−−−−→  1 0 7 6 0 1 −2 −1 0 0 1 1 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 5 −2 0 0 −2 1 0 0 −1 −1 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−7h3 h2→h2+2h3 h4→h4−2h3−−−−−−−→  1 0 0 −1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 12 5 −7 0 −4 −1 2 0 −1 −1 1 0 −2 2 −2 1  h1→h1+h4 h2→h2−h4 h3→h3−h4−−−−−−→  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 10 7 −9 1 −2 −3 4 −1 1 −3 3 −1 −2 2 −2 1  = (I4|A−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng 1 2 3 4 0 1 −2 −1 0 1 −1 0 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 −2 1 0 0 −3 0 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−2h2h3→h3−h2−−−−−−−→  1 0 7 6 0 1 −2 −1 0 0 1 1 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 5 −2 0 0 −2 1 0 0 −1 −1 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−7h3 h2→h2+2h3 h4→h4−2h3−−−−−−−→  1 0 0 −1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 12 5 −7 0 −4 −1 2 0 −1 −1 1 0 −2 2 −2 1  h1→h1+h4 h2→h2−h4 h3→h3−h4−−−−−−→  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 10 7 −9 1 −2 −3 4 −1 1 −3 3 −1 −2 2 −2 1  = (I4|A−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng 1 2 3 4 0 1 −2 −1 0 1 −1 0 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 −2 1 0 0 −3 0 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−2h2h3→h3−h2−−−−−−−→  1 0 7 6 0 1 −2 −1 0 0 1 1 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 5 −2 0 0 −2 1 0 0 −1 −1 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−7h3 h2→h2+2h3 h4→h4−2h3−−−−−−−→  1 0 0 −1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 12 5 −7 0 −4 −1 2 0 −1 −1 1 0 −2 2 −2 1  h1→h1+h4 h2→h2−h4 h3→h3−h4−−−−−−→  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 10 7 −9 1 −2 −3 4 −1 1 −3 3 −1 −2 2 −2 1  = (I4|A−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng 1 2 3 4 0 1 −2 −1 0 1 −1 0 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 −2 1 0 0 −3 0 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−2h2h3→h3−h2−−−−−−−→  1 0 7 6 0 1 −2 −1 0 0 1 1 0 0 2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 5 −2 0 0 −2 1 0 0 −1 −1 1 0 −4 0 0 1  h1→h1−7h3 h2→h2+2h3 h4→h4−2h3−−−−−−−→  1 0 0 −1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 12 5 −7 0 −4 −1 2 0 −1 −1 1 0 −2 2 −2 1  h1→h1+h4 h2→h2−h4 h3→h3−h4−−−−−−→  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 10 7 −9 1 −2 −3 4 −1 1 −3 3 −1 −2 2 −2 1  = (I4|A−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 36 / 44 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ Cho A =  1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 4 3 2 0  thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 2 0 1 3 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0 và detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ Cho A =  1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 4 3 2 0  thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 2 0 1 3 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0 và detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ Cho A =  1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 4 3 2 0  thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 2 0 1 3 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0 và detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ Cho A =  1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 4 3 2 0  thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 2 0 1 3 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0 và detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rankA = r) nếu A chứa một ma trận con cấp r không suy biến, còn mọi định thức con cấp cao hơn r đều suy biến. Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0. Ví dụ Cho A =  1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 4 3 2 0  thì r(A) = 3 vì tồn tại định thức con cấp 3 ∣∣∣∣∣∣ 1 0 2 0 1 3 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0 và detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 37 / 44 Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Hạng của ma trận A là một số bằng r (ký hiệu rank