Bài giảng Toán ứng dụng - Chương 1: Ma trận

. . ain ... . . . ... . . . ... am1 . . . amj . . . amn  Người ta thường ký hiệu A = (aij)16i6m;16j6n. Các số aij(i = 1..m; j = 1..n) gọi là các phần tử hàng thứ i , cột thứ j của ma trận A. Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là Mm×n(K ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau: A =  a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... am1 . . . amj . . . amn  Người ta thường ký hiệu A = (aij)16i6m;16j6n. Các số aij(i = 1..m; j = 1..n) gọi là các phần tử hàng thứ i , cột thứ j của ma trận A. Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là Mm×n(K ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau: A =  a11 . . . a1j . . . a1n ... . . . ... . . . ... ai1 . . . aij . . . ain ... . . . ... . . . ... am1 . . . amj . . . amn  Người ta thường ký hiệu A = (aij)16i6m;16j6n. Các số aij(i = 1..m; j = 1..n) gọi là các phần tử hàng thứ i , cột thứ j của ma trận A. Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là Mm×n(K ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa a1 a2 ... an  được gọi là ma trận cột. ( a1 a2 . . . an ) được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa a1 a2 ... an  được gọi là ma trận cột. ( a1 a2 . . . an ) được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận cột, ma trận hàng Định nghĩa a1 a2 ... an  được gọi là ma trận cột. ( a1 a2 . . . an ) được gọi là ma trận hàng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Mối quan hệ giữa ma trận và ma trận hàng, cột Định nghĩa Gọi Ai∗ = ( ai1 ai2 . . . ain ) là hàng thứ i của ma trận A, 1 6 i 6 m, và gọi A∗j =  a1j a2j ... amj  là cột thứ j của ma trận A, 1 6 j 6 n thì A = ( A∗1 A∗2 . . . A∗n ) =  A1∗ A2∗ ... Am∗  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 4 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ví dụ Ma trận A = ( 1 −4 5 0 3 −2 ) 2×3 gồm có: 2 ma trận hàng ( 1 −4 5 ) , ( 0 3 −2 ) và 3 ma trận cột ( 1 0 ) , ( −4 3 ) , ( 5 −2 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 5 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là aij = 0,∀i , j . Ví dụ A =  0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0  là ma trận không cỡ 3× 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là aij = 0,∀i , j . Ví dụ A =  0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0  là ma trận không cỡ 3× 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Ma trận không Định nghĩa Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là aij = 0,∀i , j . Ví dụ A =  0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0  là ma trận không cỡ 3× 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập hợp các ma trận vuông cỡ n× n được ký hiệu là Mn(K ) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n. Ví dụ A =  1 2 30 −3 −2 5 4 −5  là ma trận vuông cấp 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 7 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập hợp các ma trận vuông cỡ n× n được ký hiệu là Mn(K ) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n. Ví dụ A =  1 2 30 −3 −2 5 4 −5  là ma trận vuông cấp 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 7 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đơn vị Định nghĩa Ma trận I =  1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... . . . ... 0 0 . . . 1  , có nghĩa là (aii = 1, i = 1, ..n; aij = 0,∀i 6= j) được gọi là ma trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay In Ví dụ I =  1 0 00 1 0 0 0 1  là ma trận đơn vị cấp 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 8 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đơn vị Định nghĩa Ma trận I =  1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... . . . ... 0 0 . . . 1  , có nghĩa là (aii = 1, i = 1, ..n; aij = 0,∀i 6= j) được gọi là ma trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay In Ví dụ I =  1 0 00 1 0 0 0 1  là ma trận đơn vị cấp 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 8 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận chéo Định nghĩa Ma trận D =  α1 0 . . . 0 0 α2 . . . 0 ... ... . . . ... 0 0 . . . αn  , có nghĩa là (aij = 0,∀i 6= j ; i , j = 1, ..n) được gọi là ma trận chéo cấp n và được ký hiệu là D = dig ( α1 α2 . . . αn ) . Ví dụ A =  1 0 00 −3 0 0 0 2  là ma trận chéo cấp 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 9 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận chéo Định nghĩa Ma trận D =  α1 0 . . . 0 0 α2 . . . 0 ... ... . . . ... 0 0 . . . αn  , có nghĩa là (aij = 0,∀i 6= j ; i , j = 1, ..n) được gọi là ma trận chéo cấp n và được ký hiệu là D = dig ( α1 α2 . . . αn ) . Ví dụ A =  1 0 00 −3 0 0 0 2  là ma trận chéo cấp 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 9 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij)m×n được gọi là ma trận đối của A. Ví dụ B = ( 1 2 3 0 4 −5 ) là ma trận đối của ma trận A = ( −1 −2 −3 0 −4 5 ) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 10 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij)m×n được gọi là ma trận đối của A. Ví dụ B = ( 1 2 3 0 4 −5 ) là ma trận đối của ma trận A = ( −1 −2 −3 0 −4 5 ) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 10 / 43 Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Ma trận đối Định nghĩa Ma trận −A = (−aij)m×n được gọi là ma trận đối của A. Ví dụ B = ( 1 2 3 0 4 −5 ) là ma trận đối của ma trận A = ( −1 −2 −3 0 −4 5 ) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 10 / 43 Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau Ma trận bằng nhau Định nghĩa Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu như chúng cùng cỡ và các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau A = (aij)m×n = B = (bij)m×n ⇔ aij = bij ,∀i , j . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 11 / 43 Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau Ma trận bằng nhau Định nghĩa Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu như chúng cùng cỡ và các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau A = (aij)m×n = B = (bij)m×n ⇔ aij = bij ,∀i , j . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 11 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), α ∈ K . Khi đó αA = (α.aij) ∈ Mm×n(K ) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0,∀α ∈ K , 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A,∀α, β ∈ K . Ví dụ Nếu A = ( 1 2 3 5 4 −5 ) thì 3A = ( 3 6 9 15 12 −15 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), α ∈ K . Khi đó αA = (α.aij) ∈ Mm×n(K ) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0,∀α ∈ K , 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A,∀α, β ∈ K . Ví dụ Nếu A = ( 1 2 3 5 4 −5 ) thì 3A = ( 3 6 9 15 12 −15 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), α ∈ K . Khi đó αA = (α.aij) ∈ Mm×n(K ) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0,∀α ∈ K , 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A,∀α, β ∈ K . Ví dụ Nếu A = ( 1 2 3 5 4 −5 ) thì 3A = ( 3 6 9 15 12 −15 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), α ∈ K . Khi đó αA = (α.aij) ∈ Mm×n(K ) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0,∀α ∈ K , 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A,∀α, β ∈ K . Ví dụ Nếu A = ( 1 2 3 5 4 −5 ) thì 3A = ( 3 6 9 15 12 −15 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), α ∈ K . Khi đó αA = (α.aij) ∈ Mm×n(K ) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0,∀α ∈ K , 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A,∀α, β ∈ K . Ví dụ Nếu A = ( 1 2 3 5 4 −5 ) thì 3A = ( 3 6 9 15 12 −15 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), α ∈ K . Khi đó αA = (α.aij) ∈ Mm×n(K ) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0,∀α ∈ K , 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A,∀α, β ∈ K . Ví dụ Nếu A = ( 1 2 3 5 4 −5 ) thì 3A = ( 3 6 9 15 12 −15 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), α ∈ K . Khi đó αA = (α.aij) ∈ Mm×n(K ) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0,∀α ∈ K , 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A,∀α, β ∈ K . Ví dụ Nếu A = ( 1 2 3 5 4 −5 ) thì 3A = ( 3 6 9 15 12 −15 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ), α ∈ K . Khi đó αA = (α.aij) ∈ Mm×n(K ) là tích của số α với ma trận A. Tính chất 1 1.A = A, (−1).A = −A 2 0.A = 0, 0 ∈ K 3 α.0 = 0,∀α ∈ K , 0 là ma trận không. 4 α(βA) = (αβ)A,∀α, β ∈ K . Ví dụ Nếu A = ( 1 2 3 5 4 −5 ) thì 3A = ( 3 6 9 15 12 −15 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Hệ quả Thừa số chung của tất cả những phần tử của ma trận có thể đưa ra khỏi dấu ma trận. Ví dụ  15 5 020 −5 0 30 15 40  = 5  3 1 04 −1 0 6 3 8  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 13 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số Hệ quả Thừa số chung của tất cả những phần tử của ma trận có thể đưa ra khỏi dấu ma trận. Ví dụ  15 5 020 −5 0 30 15 40  = 5  3 1 04 −1 0 6 3 8  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 13 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)m×n ∈ Mm×n(K ). Khi đó tổng của của 2 ma trận A và B là ma trận A+ B = (aij + bij)m×n ∈ Mm×n(K ) Chú ý. Khi cộng hai ma trận A và B thì chúng phải có cũng cỡ. Tính chất 1 A+ B = B + A (tính giao hoán của phép cộng) 2 A+ (B + C ) = (A+ B) + C (tính kết hợp của phép cộng) 3 α.(A+ B) = α.A+ α.B,∀α ∈ K . 4 (α+ β).A = α.A+ β.A,∀α, β ∈ K . 5 A+ 0 = 0 + A = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 14 / 43 Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Ví dụ ( 1 4 3 8 −3 2 ) + ( 3 1 1 4 −1 0 ) = ( 4 5 4 12 −4 2 ) Ví dụ Tính C = 5A− 2B với A = ( 2 3 5 1 4 −2 ) , B = ( 2 −2 5 0 6 −4 ) Giải. C = 5 ( 2 3 5 1 4 −2 ) − 2 ( 2 −2 5 0 6 −4 ) = ( 6 19 15 5 8 −2 ) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 15 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Nhân 2 ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)n×p ∈ Mn×p(K ). a11 a12 . . . a1n ... ... . . . ... ai1 ai2 . . . ain ... ... . . . ... am1 am2 . . . amn  m×n .  b11 b12 . . . b1j . . . b1p... ... . . . ... ... ... bn1 bn2 . . . bnj . . . bnp  n×p =  c11 c12 . . . c1j . . . c1p ... ... . . . ... ... ... ci1 ci2 . . . cij . . . cip ... ... . . . ... ... ... cm1 cm2 . . . cmj . . . cmp  m×p . Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là ma trận C = A.B = (cij)m×p sao cho cij = n∑ k=1 aik .bkj , i = 1..m; j = 1..p TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 16 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Nhân 2 ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)n×p ∈ Mn×p(K ). a11 a12 . . . a1n ... ... . . . ... ai1 ai2 . . . ain ... ... . . . ... am1 am2 . . . amn  m×n .  b11 b12 . . . b1j . . . b1p... ... . . . ... ... ... bn1 bn2 . . . bnj . . . bnp  n×p =  c11 c12 . . . c1j . . . c1p ... ... . . . ... ... ... ci1 ci2 . . . cij . . . cip ... ... . . . ... ... ... cm1 cm2 . . . cmj . . . cmp  m×p . Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là ma trận C = A.B = (cij)m×p sao cho cij = n∑ k=1 aik .bkj , i = 1..m; j = 1..p TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 16 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Nhân 2 ma trận Định nghĩa Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)n×p ∈ Mn×p(K ). a11 a12 . . . a1n ... ... . . . ... ai1 ai2 . . . ain ... ... . . . ... am1 am2 . . . amn  m×n .  b11 b12 . . . b1j . . . b1p... ... . . . ... ... ... bn1 bn2 . . . bnj . . . bnp  n×p =  c11 c12 . . . c1j . . . c1p ... ... . . . ... ... ... ci1 ci2 . . . cij . . . cip ... ... . . . ... ... ... cm1 cm2 . . . cmj . . . cmp  m×p . Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là ma trận C = A.B = (cij)m×p sao cho cij = n∑ k=1 aik .bkj , i = 1..m; j = 1..p TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 16 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. Ví dụ Tính tích A.B với A = ( 2 3 1 −1 0 1 ) , B =  2 1 −11 3 −2 0 2 1  . Giải. A2×3.B3×3 = ( 2 3 1 −1 0 1 ) .  2 1 −11 3 −2 0 2 1  = ( 7 13 −7−2 1 2 ) Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. Ví dụ Tính tích A.B với A = ( 2 3 1 −1 0 1 ) , B =  2 1 −11 3 −2 0 2 1  . Giải. A2×3.B3×3 = ( 2 3 1 −1 0 1 ) .  2 1 −11 3 −2 0 2 1  = ( 7 13 −7−2 1 2 ) Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. Ví dụ Tính tích A.B với A = ( 2 3 1 −1 0 1 ) , B =  2 1 −11 3 −2 0 2 1  . Giải. A2×3.B3×3 = ( 2 3 1 −1 0 1 ) .  2 1 −11 3 −2 0 2 1  = ( 7 13 −7−2 1 2 ) Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. Ví dụ Tính tích A.B với A = ( 2 3 1 −1 0 1 ) , B =  2 1 −11 3 −2 0 2 1  . Giải. A2×3.B3×3 = ( 2 3 1 −1 0 1 ) .  2 1 −11 3 −2 0 2 1  = ( 7 13 −7−2 1 2 ) Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B. Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng số hàng của ma trận A, còn số cột của ma trận C bằng số cột của ma trận B. Ví dụ Tính tích A.B với A = ( 2 3 1 −1 0 1 ) , B =  2 1 −11 3 −2 0 2 1  . Giải. A2×3.B3×3 = ( 2 3 1 −1 0 1 ) .  2 1 −11 3 −2 0 2 1  = ( 7 13 −7−2 1 2 ) Chú ý. Tích của 2 ma trận AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại vì số cột của ma trận B bằng 3 trong khi số hàng của ma trận A bằng 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 17 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C ) = A.B.C 2 A.(B + C ) = A.B + A.C . 3 (B + C ).A = B.A+ C .A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C ) = A.B.C 2 A.(B + C ) = A.B + A.C . 3 (B + C ).A = B.A+ C .A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C ) = A.B.C 2 A.(B + C ) = A.B + A.C . 3 (B + C ).A = B.A+ C .A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C ) = A.B.C 2 A.(B + C ) = A.B + A.C . 3 (B + C ).A = B.A+ C .A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C ) = A.B.C 2 A.(B + C ) = A.B + A.C . 3 (B + C ).A = B.A+ C .A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tính chất 1 (A.B).C = A.(B.C ) = A.B.C 2 A.(B + C ) = A.B + A.C . 3 (B + C ).A = B.A+ C .A 4 k(AB) = (kA).B = A.(kB) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 18 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Ví dụ Cho A = ( cosα − sinα sinα cosα ) và B = ( cosβ − sinβ sinβ cosβ ) . Lúc này AB = ( cosα − sinα sinα cosα ) . ( cosβ − sinβ sinβ cosβ ) =( cos(α+ β) − sin(α+ β) sin(α+ β) cos(α+ β) ) và BA = ( cosβ − sinβ sinβ cosβ ) . ( cosα − sinα sinα cosα ) =( cos(α+ β) − sin(α+ β) sin(α+ β) cos(α+ β) ) . Vậy AB = BA TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 19 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nói chung A.B 6= B.A Ví dụ Cho ma trận A = ( 2 1 1 0 3 2 ) và ma trận B =  0 31 5 −1 1  . Lúc này A2×3.B3×2 = C2×2, trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau. Như vậy, tích AB và BA chỉ có thể bằng nhau nếu A và B là những ma trận vuông cùng cỡ. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 20 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nói chung A.B 6= B.A Ví dụ Cho ma trận A = ( 2 1 1 0 3 2 ) và ma trận B =  0 31 5 −1 1  . Lúc này A2×3.B3×2 = C2×2, trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau. Như vậy, tích AB và BA chỉ có thể bằng nhau nếu A và B là những ma trận vuông cùng cỡ. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 20 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nói chung A.B 6= B.A Ví dụ Cho ma trận A = ( 2 1 1 0 3 2 ) và ma trận B =  0 31 5 −1 1  . Lúc này A2×3.B3×2 = C2×2, trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau. Như vậy, tích AB và BA chỉ có thể bằng nhau nếu A và B là những ma trận vuông cùng cỡ. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 20 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. Nói chung A.B 6= B.A Ví dụ Cho ma trận A = ( 2 1 1 0 3 2 ) và ma trận B =  0 31 5 −1 1  . Lúc này A2×3.B3×2 = C2×2, trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau. Như vậy, tích AB và BA chỉ có thể bằng nhau nếu A và B là những ma trận vuông cùng cỡ. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 20 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận vuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể không bằng nhau. Ví dụ ( 2 1 0 1 )( 1 0 −2 1 ) = ( 0 1 −2 1 ) trong khi đó ( 1 0 −2 1 )( 2 1 0 1 ) = ( 2 1 −4 −1 ) Chú ý. Chỉ có ma trận đơn vị là ma trận duy nhất mới có tính chất giao hoán với ma trận vuông A bất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 21 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận vuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể không bằng nhau. Ví dụ ( 2 1 0 1 )( 1 0 −2 1 ) = ( 0 1 −2 1 ) trong khi đó ( 1 0 −2 1 )( 2 1 0 1 ) = ( 2 1 −4 −1 ) Chú ý. Chỉ có ma trận đơn vị là ma trận duy nhất mới có tính chất giao hoán với ma trận vuông A bất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 21 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận vuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể không bằng nhau. Ví dụ ( 2 1 0 1 )( 1 0 −2 1 ) = ( 0 1 −2 1 ) trong khi đó ( 1 0 −2 1 )( 2 1 0 1 ) = ( 2 1 −4 −1 ) Chú ý. Chỉ có ma trận đơn vị là ma trận duy nhất mới có tính chất giao hoán với ma trận vuông A bất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 21 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = A.C không suy ra được B = C Ví dụ Cho A = ( 1 0 0 0 ) , B = ( 1 1 1 2 ) , C = ( 1 1 2 2 ) . Lúc này AB = ( 1 0 0 0 ) . ( 1 1 1 2 ) = ( 1 1 0 0 ) và AC = ( 1 0 0 0 ) . ( 1 1 2 2 ) = ( 1 1 0 0 ) . Vậy AB = AC nhưng B 6= C . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 22 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = A.C không suy ra được B = C Ví dụ Cho A = ( 1 0 0 0 ) , B = ( 1 1 1 2 ) , C = ( 1 1 2 2 ) . Lúc này AB = ( 1 0 0 0 ) . ( 1 1 1 2 ) = ( 1 1 0 0 ) và AC = ( 1 0 0 0 ) . ( 1 1 2 2 ) = ( 1 1 0 0 ) . Vậy AB = AC nhưng B 6= C . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 22 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = A.C không suy ra được B = C Ví dụ Cho A = ( 1 0 0 0 ) , B = ( 1 1 1 2 ) , C = ( 1 1 2 2 ) . Lúc này AB = ( 1 0 0 0 ) . ( 1 1 1 2 ) = ( 1 1 0 0 ) và AC = ( 1 0 0 0 ) . ( 1 1 2 2 ) = ( 1 1 0 0 ) . Vậy AB = AC nhưng B 6= C . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 22 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = A.C không suy ra được B = C Ví dụ Cho A = ( 1 0 0 0 ) , B = ( 1 1 1 2 ) , C = ( 1 1 2 2 ) . Lúc này AB = ( 1 0 0 0 ) . ( 1 1 1 2 ) = ( 1 1 0 0 ) và AC = ( 1 0 0 0 ) . ( 1 1 2 2 ) = ( 1 1 0 0 ) . Vậy AB = AC nhưng B 6= C . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 22 / 43 Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Chú ý. A.B = 0 không suy ra được A = 0 ∨ B = 0 Ví dụ Cho A = ( 1 0 0 0 ) , B