Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 7: Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên - Mai Cẩm Tú

ượng tham số: Cho biến ngẫu nhiên gố X với quy luật phân phối xá suất đã biết xong hưa biết tham số θ nào đó ủa nó. Phải ướ lượng (xá định một á h gần đúng) giá trị θ. Để giải quyết bài toán này ần lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n rồi từ đó xây dựng một thống kê θˆ để ướ lượng θ. Có hai phương pháp ướ lượng là phương pháp ướ lượng điểm và phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 221 / 293 1. Mở đầu Bài toán ướ lượng tham số: Cho biến ngẫu nhiên gố X với quy luật phân phối xá suất đã biết xong hưa biết tham số θ nào đó ủa nó. Phải ướ lượng (xá định một á h gần đúng) giá trị θ. Để giải quyết bài toán này ần lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n rồi từ đó xây dựng một thống kê θˆ để ướ lượng θ. Có hai phương pháp ướ lượng là phương pháp ướ lượng điểm và phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 221 / 293 1. Mở đầu Bài toán ướ lượng tham số: Cho biến ngẫu nhiên gố X với quy luật phân phối xá suất đã biết xong hưa biết tham số θ nào đó ủa nó. Phải ướ lượng (xá định một á h gần đúng) giá trị θ. Để giải quyết bài toán này ần lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n rồi từ đó xây dựng một thống kê θˆ để ướ lượng θ. Có hai phương pháp ướ lượng là phương pháp ướ lượng điểm và phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 221 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm 2.1. Phương pháp hàm ướ lượng a. Khái niệm Cần ướ lượng tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X. Lập mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n: W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Chọn lập thống kê θˆ = f(X 1 ,X 2 , ...,X n ) Lập một mẫu  thể và tính đượ giá trị  thể ủa θˆ là θˆ = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) hính thì ướ lượng điểm ủa θ Vì thống kê θˆ là hàm ủa á biến ngẫu nhiên nên gọi phương pháp này là phương pháp hàm ướ lượng. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 222 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm b. Cá tiêu huẩn lựa họn hàm ướ lượng • ớ lượng không hệ h Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng không hệ h ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu: E(θˆ) = θ Nếu E(θˆ) 6= θ thì θˆ gọi là ướ lượng hệ h ủa θ. Thí d 7.1. E(X) = m. E(f) = p. E(S2) = σ2 ( hứng minh). * Với θ˜ là một ướ lượng hệ h ủa θ thì độ hệ h ủa θ˜ đượ đo bởi giá trị: BS = |E(θ˜)− θ| Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 223 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm b. Cá tiêu huẩn lựa họn hàm ướ lượng • ớ lượng không hệ h Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng không hệ h ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu: E(θˆ) = θ Nếu E(θˆ) 6= θ thì θˆ gọi là ướ lượng hệ h ủa θ. Thí d 7.1. E(X) = m. E(f) = p. E(S2) = σ2 ( hứng minh). * Với θ˜ là một ướ lượng hệ h ủa θ thì độ hệ h ủa θ˜ đượ đo bởi giá trị: BS = |E(θ˜)− θ| Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 223 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm b. Cá tiêu huẩn lựa họn hàm ướ lượng • ớ lượng không hệ h Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng không hệ h ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu: E(θˆ) = θ Nếu E(θˆ) 6= θ thì θˆ gọi là ướ lượng hệ h ủa θ. Thí d 7.1. E(X) = m. E(f) = p. E(S2) = σ2 ( hứng minh). * Với θ˜ là một ướ lượng hệ h ủa θ thì độ hệ h ủa θ˜ đượ đo bởi giá trị: BS = |E(θ˜)− θ| Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 223 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng hiệu quả + Định nghĩa: Thống kê ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng hiệu quả nhất ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu nó là ướ lượng không hệ h và ó phương sai nhỏ nhất so với mọi ướ lượng không hệ h khá đượ xây dựng trên ùng mẫu đó. + Nếu θˆ 1 và θˆ 2 đều là á ướ lượng không hệ h ủa θ thì ướ lượng nào ó phương sai nhỏ hơn là ướ lượng hiệu quả hơn. + Giả sử V(θˆ 1 ) < V(θˆ 2 ) thì độ hiệu quả ủa θˆ 1 so với θˆ 2 đượ xá định bằng biểu thứ : EF = V(θˆ 2 ) V(θˆ 1 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 224 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng hiệu quả + Định nghĩa: Thống kê ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng hiệu quả nhất ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu nó là ướ lượng không hệ h và ó phương sai nhỏ nhất so với mọi ướ lượng không hệ h khá đượ xây dựng trên ùng mẫu đó. + Nếu θˆ 1 và θˆ 2 đều là á ướ lượng không hệ h ủa θ thì ướ lượng nào ó phương sai nhỏ hơn là ướ lượng hiệu quả hơn. + Giả sử V(θˆ 1 ) < V(θˆ 2 ) thì độ hiệu quả ủa θˆ 1 so với θˆ 2 đượ xá định bằng biểu thứ : EF = V(θˆ 2 ) V(θˆ 1 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 224 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng hiệu quả + Định nghĩa: Thống kê ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng hiệu quả nhất ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu nó là ướ lượng không hệ h và ó phương sai nhỏ nhất so với mọi ướ lượng không hệ h khá đượ xây dựng trên ùng mẫu đó. + Nếu θˆ 1 và θˆ 2 đều là á ướ lượng không hệ h ủa θ thì ướ lượng nào ó phương sai nhỏ hơn là ướ lượng hiệu quả hơn. + Giả sử V(θˆ 1 ) < V(θˆ 2 ) thì độ hiệu quả ủa θˆ 1 so với θˆ 2 đượ xá định bằng biểu thứ : EF = V(θˆ 2 ) V(θˆ 1 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 224 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Thí d 7.2. Từ mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n=3 ta xt hai ướ lượng sau đây ủa trung bình tổng thể m X = 1 3 (X 1 + X 2 + X 3 ); G = 1 3 X 1 + 1 2 X 2 + 1 6 X 3 ớ lượng nào hiệu quả hơn. Thí d 7.3. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ( ó trung bình là m, phương sai là σ2) lập 2 mẫu ngẫu nhiên độ lập kí h thướ n 1 , n 2 với á trung bình mẫu X 1 ,X 2 . Xt họ ướ lượng Gα = αX1 + (1− α)X2; 0 6 α 6 1. Chứng minh Gα là ướ lượng không hệ h ủa m. Với giá trị nào ủa α thì Gα là L hiệu quả nhất họ? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 225 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Thí d 7.2. Từ mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n=3 ta xt hai ướ lượng sau đây ủa trung bình tổng thể m X = 1 3 (X 1 + X 2 + X 3 ); G = 1 3 X 1 + 1 2 X 2 + 1 6 X 3 ớ lượng nào hiệu quả hơn. Thí d 7.3. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ( ó trung bình là m, phương sai là σ2) lập 2 mẫu ngẫu nhiên độ lập kí h thướ n 1 , n 2 với á trung bình mẫu X 1 ,X 2 . Xt họ ướ lượng Gα = αX1 + (1− α)X2; 0 6 α 6 1. Chứng minh Gα là ướ lượng không hệ h ủa m. Với giá trị nào ủa α thì Gα là L hiệu quả nhất họ? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 225 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Bất đẳng thứ Cramer - Rao: Nếu biến ngẫu nhiên gố X ó hàm mật độ xá suất f(x, θ) thỏa mãn một số điều kiện nhất định và θ∗ là một ướ lượng không hệ h bất kì ủa θ thì V(θ∗) > 1 nE [ ∂lnf(x, θ) ∂θ ] 2 Thí d 7.4. Trung bình mẫu X là ướ lượng hiệu quả nhất ủa kì vọng toán à ủa biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 226 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Bất đẳng thứ Cramer - Rao: Nếu biến ngẫu nhiên gố X ó hàm mật độ xá suất f(x, θ) thỏa mãn một số điều kiện nhất định và θ∗ là một ướ lượng không hệ h bất kì ủa θ thì V(θ∗) > 1 nE [ ∂lnf(x, θ) ∂θ ] 2 Thí d 7.4. Trung bình mẫu X là ướ lượng hiệu quả nhất ủa kì vọng toán à ủa biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 226 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng vững Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng vững ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu θˆ hội t theo xá suất θ khi n→∞. Nghĩa là với mọi ε > 0 b tùy ý ta luôn ó: lim n→∞ P(|θˆ − θ| < ε) = 1 Thí d 7.5. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2). Chứng minh rằng trung bình mẫu là ướ lượng vững ủa trung bình tổng thể. • ớ lượng đủ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 227 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng vững Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng vững ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu θˆ hội t theo xá suất θ khi n→∞. Nghĩa là với mọi ε > 0 b tùy ý ta luôn ó: lim n→∞ P(|θˆ − θ| < ε) = 1 Thí d 7.5. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2). Chứng minh rằng trung bình mẫu là ướ lượng vững ủa trung bình tổng thể. • ớ lượng đủ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 227 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm • ớ lượng vững Định nghĩa: Thống kê θˆ ủa mẫu đượ gọi là ướ lượng vững ủa tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X nếu θˆ hội t theo xá suất θ khi n→∞. Nghĩa là với mọi ε > 0 b tùy ý ta luôn ó: lim n→∞ P(|θˆ − θ| < ε) = 1 Thí d 7.5. Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2). Chứng minh rằng trung bình mẫu là ướ lượng vững ủa trung bình tổng thể. • ớ lượng đủ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 227 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm . Một vài kết luận + Trung bình mẫu X là L không hệ h, hiệu quả nhất và vững ủa trung bình tổng thể và đồng thời là L tuyến tính không hệ h tốt nhất, do đó nếu hưa biết m ó thể dùng X để L nó. + Tần suất mẫu f là L không hệ h, hiệu quả nhất và vững ủa tần suất tổng thể p và đồng thời là L tuyến tính không hệ h tốt nhất, do đó nếu hưa biết p ó thể dùng f để L nó. + Vì phương sai mẫu S 2 và phương sai S ∗2 đều là á L không hệ h ủa phương sai tổng thể σ2 do đó ó thể dùng húng để L phương sai σ2. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 228 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm 2.2. Phương pháp ướ lượng hợp lý tối đa Biết hàm mật độ xá suất f(x, θ) ủa BNN gố X. Cần ướ lượng tham số θ nào đó ủa X. Lập mẫu ngẫu nhiên : W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Ta xây dựng hàm hợp lý L ủa tham số θ như sau: L(θ) = L(x 1 , x 2 , ..., x n , θ) = f(x 1 , θ)f(x 2 , θ)...f(x n , θ) trong đó (x 1 , x 2 , ..., x n ) là một giá trị  thể ủa mẫu. Giá trị ủa thống kê θˆ tại điểm đó là θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) đượ gọi là ướ lượng hợp lý tối đa ủa θ nếu ứng với giá trị này ủa θ, hàm hợp lý đạt ự đại. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 229 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Cá bướ tìm giá trị ủa θ để hàm hợp lý đạt ự đại Vì hàm L và lnL đạt ự đại tại ùng một giá trị ủa θ nên ta sẽ tìm θ để lnL đạt ự đại như sau: + Tìm L và lnL, rút gọn + Tìm đạo hàm bậ nhất và bậ hai ủa lnL theo θ. + Giải phương trình dlnL dθ = 0. Giả sử nó ó nghiệm là θ = θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Nếu d 2 lnL dθ2 ∣∣ θ=θˆ < 0 thì tại θˆ hàm lnL đạt ự đại. Khi đó θˆ = g(x 1 , x 2 , ..., x n ) là ướ lượng hợp lý tối đa ần tìm ủa θ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 230 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Chú ý: đối số ủa hàm hợp lý là θ hứ không phải là (x 1 , x 2 , ..., x n ) nên nếu thay giá trị ủa mẫu bằng bản thân mẫu ngẫu nhiên (X 1 ,X 2 , ...,X n ) thì kết quả vẫn đúng và nó hính là hàm ướ lượng hợp lý tối đa. Thí d 7.6. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số λ trong quy luật phân phối Poisson P(λ). Thí d 7.7. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số à ủa biến ngẫu nhiên X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 231 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Chú ý: đối số ủa hàm hợp lý là θ hứ không phải là (x 1 , x 2 , ..., x n ) nên nếu thay giá trị ủa mẫu bằng bản thân mẫu ngẫu nhiên (X 1 ,X 2 , ...,X n ) thì kết quả vẫn đúng và nó hính là hàm ướ lượng hợp lý tối đa. Thí d 7.6. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số λ trong quy luật phân phối Poisson P(λ). Thí d 7.7. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số à ủa biến ngẫu nhiên X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 231 / 293 2. Phương pháp ướ lượng điểm Chú ý: đối số ủa hàm hợp lý là θ hứ không phải là (x 1 , x 2 , ..., x n ) nên nếu thay giá trị ủa mẫu bằng bản thân mẫu ngẫu nhiên (X 1 ,X 2 , ...,X n ) thì kết quả vẫn đúng và nó hính là hàm ướ lượng hợp lý tối đa. Thí d 7.6. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số λ trong quy luật phân phối Poisson P(λ). Thí d 7.7. Tìm ướ lượng hợp lý tối đa ủa tham số à ủa biến ngẫu nhiên X ∼ N(à, σ2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 231 / 293 3. Phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy 3.1. Khái niệm Định nghĩa: Khoảng ngẫu nhiên (G 1 ,G 2 ) đượ gọi là khoảng tin ậy ủa tham số θ nếu với xá suất (1− α) ho trướ thì khoảng (G 1 ,G 2 ) thỏa mãn điều kiện P(G 1 < θ < G 2 ) = 1− α Xá suất (1− α) đượ gọi là độ tin ậy ủa ướ lượng . I = G 2 −G 1 là độ dài khoảng tin ậy. Cơ sở ủa phân phối ướ lượng bằng khoảng tin ậy hính là nguyên lý xá suất lớn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 232 / 293 3. Phương pháp ướ lượng bằng khoảng tin ậy 3.1. Khái niệm Định nghĩa: Khoảng ngẫu nhiên (G 1 ,G 2 ) đượ gọi là khoảng tin ậy ủa tham số θ nếu với xá suất (1− α) ho trướ thì khoảng (G 1 ,G 2 ) thỏa mãn điều kiện P(G 1 < θ < G 2 ) = 1− α Xá suất (1− α) đượ gọi là độ tin ậy ủa ướ lượng . I = G 2 −G 1 là độ dài khoảng tin ậy. Cơ sở ủa phân phối ướ lượng bằng khoảng tin ậy hính là nguyên lý xá suất lớn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 232 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Cá bướ tìm khoảng tin ậy (G 1 ,G 2 ): a. Lập mẫu ngẫu nhiên : W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) và xây dựng thống kê G = f(X 1 ,X 2 , ...,X n , θ) sao ho quy luật phân phối xá suất ủa G không ph thuộ vào á đối số ủa nó và hoàn toàn xá định. b. Với độ tin ậy (1− α) ho trướ , tìm đượ ặp giá trị không âm α 1 và α 2 sao ho α 1 + α 2 = α. Từ đó tìm đượ ặp giá trị tới hạn g 1−α 1 và gα 2 thỏa mãn: P(G > g 1−α 1 ) = 1− α 1 và P(G > gα 2 ) = α 2 Do đó ta ó P(g 1−α 1 < G < gα 2 ) = 1− (α 1 + α 2 ) = 1− α Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 233 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Cá bướ tìm khoảng tin ậy (G 1 ,G 2 ): a. Lập mẫu ngẫu nhiên : W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) và xây dựng thống kê G = f(X 1 ,X 2 , ...,X n , θ) sao ho quy luật phân phối xá suất ủa G không ph thuộ vào á đối số ủa nó và hoàn toàn xá định. b. Với độ tin ậy (1− α) ho trướ , tìm đượ ặp giá trị không âm α 1 và α 2 sao ho α 1 + α 2 = α. Từ đó tìm đượ ặp giá trị tới hạn g 1−α 1 và gα 2 thỏa mãn: P(G > g 1−α 1 ) = 1− α 1 và P(G > gα 2 ) = α 2 Do đó ta ó P(g 1−α 1 < G < gα 2 ) = 1− (α 1 + α 2 ) = 1− α Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 233 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng . Bằng á php biến đổi tương đương bao giờ ũng ó thể đưa biểu thứ trên về dạng P(G 1 < θ < G 2 ) = 1− α d. Thự tế thường yêu ầu độ tin ậy (1− α) khá lớn nên theo nguyên lý xá suất lớn biến ố (G 1 < θ < G 2 ) hầu như hắn hắn sẽ xảy ra khi thự hiện một php thử. Do đó với mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ta tìm đượ á giá trị  thể ủa G 1 ,G 2 tương ứng là g 1 , g 2 . Kết luận: với độ tin ậy (1− α) tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X sẽ nằm trong khoảng (g 1 , g 2 ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 234 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng . Bằng á php biến đổi tương đương bao giờ ũng ó thể đưa biểu thứ trên về dạng P(G 1 < θ < G 2 ) = 1− α d. Thự tế thường yêu ầu độ tin ậy (1− α) khá lớn nên theo nguyên lý xá suất lớn biến ố (G 1 < θ < G 2 ) hầu như hắn hắn sẽ xảy ra khi thự hiện một php thử. Do đó với mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ta tìm đượ á giá trị  thể ủa G 1 ,G 2 tương ứng là g 1 , g 2 . Kết luận: với độ tin ậy (1− α) tham số θ ủa biến ngẫu nhiên gố X sẽ nằm trong khoảng (g 1 , g 2 ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 234 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng 3.2. ớ lượng kì vọng toán ủa biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật huẩn Giả sử biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2) với à hưa biết. Để ướ lượng à ta lập mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Để họn thống kê G ta xt á trường hợp sau: a. Nếu đã biết phương sai σ2 Ta họn thống kê G = U = (X− à)√n σ ∼ N(0; 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 235 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng 3.2. ớ lượng kì vọng toán ủa biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật huẩn Giả sử biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2) với à hưa biết. Để ướ lượng à ta lập mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Để họn thống kê G ta xt á trường hợp sau: a. Nếu đã biết phương sai σ2 Ta họn thống kê G = U = (X− à)√n σ ∼ N(0; 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 235 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Với độ tin ậy (1− α) ta tìm đượ ặp giá trị α 1 và α 2 sao ho α 1 + α 2 = α từ đó tìm đượ hai giá trị tới hạn huẩn tương ứng là u 1−α 1 và uα 2 thỏa mãn P(u 1−α 1 < U < uα 2 ) = 1− α ⇔ P(X− σ√ n uα 2 < à < X+ σ√ n uα 1 ) = 1− α Ta ó KTC ngẫu nhiên ủa à là (X− σ√ n uα 2 ,X+ σ√ n uα 1 ) (1) Với mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ta sẽ tìm đượ khoảng tin ậy  thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 236 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Với độ tin ậy (1− α) ta tìm đượ ặp giá trị α 1 và α 2 sao ho α 1 + α 2 = α từ đó tìm đượ hai giá trị tới hạn huẩn tương ứng là u 1−α 1 và uα 2 thỏa mãn P(u 1−α 1 < U < uα 2 ) = 1− α ⇔ P(X− σ√ n uα 2 < à < X+ σ√ n uα 1 ) = 1− α Ta ó KTC ngẫu nhiên ủa à là (X− σ√ n uα 2 ,X+ σ√ n uα 1 ) (1) Với mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ta sẽ tìm đượ khoảng tin ậy  thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 236 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Với độ tin ậy (1− α) ta tìm đượ ặp giá trị α 1 và α 2 sao ho α 1 + α 2 = α từ đó tìm đượ hai giá trị tới hạn huẩn tương ứng là u 1−α 1 và uα 2 thỏa mãn P(u 1−α 1 < U < uα 2 ) = 1− α ⇔ P(X− σ√ n uα 2 < à < X+ σ√ n uα 1 ) = 1− α Ta ó KTC ngẫu nhiên ủa à là (X− σ√ n uα 2 ,X+ σ√ n uα 1 ) (1) Với mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ta sẽ tìm đượ khoảng tin ậy  thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 236 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng b. Chưa biết phương sai σ2 Với độ tin ậy (1− α) ho trướ ta tìm đượ khoảng tin ậy ngẫu nhiên ủa à là( X− t(n−1)α 2 S√ n ;X+ t(n−1)α 1 S√ n ) (2) Với mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ta sẽ tìm đượ trung bình mẫu x và phương sai mẫu s từ đó ta ó khoảng tin ậy ủa à là( x− s√ n t (n−1) α 2 ; x+ s√ n t (n−1) α 1 ) Chú ý: Nếu n > 30 thì t (n−1) α ≈ uα Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 237 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng b. Chưa biết phương sai σ2 Với độ tin ậy (1− α) ho trướ ta tìm đượ khoảng tin ậy ngẫu nhiên ủa à là( X− t(n−1)α 2 S√ n ;X+ t(n−1)α 1 S√ n ) (2) Với mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ta sẽ tìm đượ trung bình mẫu x và phương sai mẫu s từ đó ta ó khoảng tin ậy ủa à là( x− s√ n t (n−1) α 2 ; x+ s√ n t (n−1) α 1 ) Chú ý: Nếu n > 30 thì t (n−1) α ≈ uα Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 237 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Cá trường hợp thường dùng: + α 1 = α 2 = α/2→ khoảng tin ậy đối xứng ủa à là (X− t(n−1)α/2 S√ n ;X+ t (n−1) α/2 S√ n ) trong đó ε = S√ n t (n−1) α/2 gọi là sai số ủa L. + α 1 = 0, α 2 = α→ khoảng tin ậy tối thiểu: (X− t(n−1)α S√ n ; +∞) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 238 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Cá trường hợp thường dùng: + α 1 = α 2 = α/2→ khoảng tin ậy đối xứng ủa à là (X− t(n−1)α/2 S√ n ;X+ t (n−1) α/2 S√ n ) trong đó ε = S√ n t (n−1) α/2 gọi là sai số ủa L. + α 1 = 0, α 2 = α→ khoảng tin ậy tối thiểu: (X− t(n−1)α S√ n ; +∞) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 238 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng + α 2 = 0, α 1 = α→ khoảng tin ậy tối đa: (−∞;X+ t(n−1)α S√ n ) + Độ dài khoảng tin ậy I là ngắn nhất khi khoảng tin ậy là đối xứng. Khi đó I = 2ε = 2 S√ n t (n−1) α/2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 239 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng + α 2 = 0, α 1 = α→ khoảng tin ậy tối đa: (−∞;X+ t(n−1)α S√ n ) + Độ dài khoảng tin ậy I là ngắn nhất khi khoảng tin ậy là đối xứng. Khi đó I = 2ε = 2 S√ n t (n−1) α/2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 239 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng + Muốn giữ nguyên độ tin ậy (1− α) mà độ dài khoảng tin ậy không vượt quá giá trị I 0 (hay sai số ủa ướ lượng không vượt quá ε 0 ) ho trướ thì kí h thướ mẫu mới n' phải thỏa mãn n ′ > 4S 2 I 2 0 (t (n−1) α/2 ) 2 ( hay n ′ > S 2 ε2 0 (t (n−1) α/2 ) 2 ) Thí d 7.8. Điều tra thu nhập ủa 41 nhân viên ông ty A thì thấy trung bình (mẫu) là 5,4 triệu đồng/tháng và độ lệ h huẩn (mẫu) là 0,78 triệu đồng/ tháng. Với độ tin ậy 0,95, hãy ho biết thu nhập trung bình tối thiểu ủa nhân viên ông ty này. Giả thiết thu nhập phân phối huẩn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 240 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng + Muốn giữ nguyên độ tin ậy (1− α) mà độ dài khoảng tin ậy không vượt quá giá trị I 0 (hay sai số ủa ướ lượng không vượt quá ε 0 ) ho trướ thì kí h thướ mẫu mới n' phải thỏa mãn n ′ > 4S 2 I 2 0 (t (n−1) α/2 ) 2 ( hay n ′ > S 2 ε2 0 (t (n−1) α/2 ) 2 ) Thí d 7.8. Điều tra thu nhập ủa 41 nhân viên ông ty A thì thấy trung bình (mẫu) là 5,4 triệu đồng/tháng và độ lệ h huẩn (mẫu) là 0,78 triệu đồng/ tháng. Với độ tin ậy 0,95, hãy ho biết thu nhập trung bình tối thiểu ủa nhân viên ông ty này. Giả thiết thu nhập phân phối huẩn. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 240 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Thí d 7.9. Để định mứ thời gian (phút) gia ông một hi tiết máy người ta theo dõi ngẫu nhiên quá trình gia ông 25 hi tiết và thu đượ kết quả sau. Thời gian 8 9 10 12 Số hi tiết 2 8 10 5 Giả sử rằng thời gian gia ông hi tiết là biến ngẫu nhiên phân phối huẩn. a. Với hệ số tin ậy 0,95 hãy ướ lượng thời gian trung bình gia ông hi tiết đó bằng khoảng tin ậy đối xứng. b. Nếu muốn giữ độ tin ậy 95% và độ hính xá ủa ướ lượng tăng gấp đôi thì phải theo dõi thêm bao nhiêu hi tiết. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 241 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng 3.3. ớ lượng phương sai ủa biến ngẫu nhiên phân phối huẩn Giả sử biến ngẫu nhiên gố X ∼ N(à, σ2) với σ2 hưa biết. Để ướ lượng σ2 ta lập mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) a. Nếu đã biết kì vọng toán à Với độ tin ậy 1−α, khoảng tin ậy ngẫu nhiên ủa σ2 là ( nS ∗2 χ 2(n) α 2 ; nS ∗2 χ 2(n) 1−α 1 ) (3) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 242 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng b. Nếu hưa biết kì vọng toán à Với độ tin ậy 1−α, khoảng tin ậy ngẫu nhiên ủa σ2 là ( (n− 1)S2 χ 2(n−1) α 2 ; (n− 1)S2 χ 2(n−1) 1−α 1 ) (4) Một số trường hợp thường dùng: + Nếu α 1 = α 2 = α/2 thì khoảng tin ậy hai phía là( (n− 1)S2 χ 2(n−1) α/2 ; (n− 1)S2 χ 2(n−1) 1−α/2 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 243 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng b. Nếu hưa biết kì vọng toán à Với độ tin ậy 1−α, khoảng tin ậy ngẫu nhiên ủa σ2 là ( (n− 1)S2 χ 2(n−1) α 2 ; (n− 1)S2 χ 2(n−1) 1−α 1 ) (4) Một số trường hợp thường dùng: + Nếu α 1 = α 2 = α/2 thì khoảng tin ậy hai phía là( (n− 1)S2 χ 2(n−1) α/2 ; (n− 1)S2 χ 2(n−1) 1−α/2 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 243 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng +Nếu α 1 = 0, α 2 = α ta ó khoảng tin ậy tối thiểu( (n− 1)S2 χ 2(n−1) α ; +∞ ) + Nếu α 1 = α, α 2 = 0 ta ó khoảng tin ậy tối đa( 0; (n− 1)S2 χ 2(n−1) 1−α ) Thí d 7.8. Điều tra thu nhập ủa 41 nhân viên ông ty A thì thấy trung bình (mẫu) là 5,4 triệu đồng/tháng và đọ lệ h huẩn (mẫu) là 0,78 triệu đồng/ tháng. Với độ tin ậy 0,95 hãy ướ lượng độ lệ h huẩn tối thiểu về thu nhập ủa nhân viên. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 244 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng +Nếu α 1 = 0, α 2 = α ta ó khoảng tin ậy tối thiểu( (n− 1)S2 χ 2(n−1) α ; +∞ ) + Nếu α 1 = α, α 2 = 0 ta ó khoảng tin ậy tối đa( 0; (n− 1)S2 χ 2(n−1) 1−α ) Thí d 7.8. Điều tra thu nhập ủa 41 nhân viên ông ty A thì thấy trung bình (mẫu) là 5,4 triệu đồng/tháng và đọ lệ h huẩn (mẫu) là 0,78 triệu đồng/ tháng. Với độ tin ậy 0,95 hãy ướ lượng độ lệ h huẩn tối thiểu về thu nhập ủa nhân viên. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 244 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng +Nếu α 1 = 0, α 2 = α ta ó khoảng tin ậy tối thiểu( (n− 1)S2 χ 2(n−1) α ; +∞ ) + Nếu α 1 = α, α 2 = 0 ta ó khoảng tin ậy tối đa( 0; (n− 1)S2 χ 2(n−1) 1−α ) Thí d 7.8. Điều tra thu nhập ủa 41 nhân viên ông ty A thì thấy trung bình (mẫu) là 5,4 triệu đồng/tháng và đọ lệ h huẩn (mẫu) là 0,78 triệu đồng/ tháng. Với độ tin ậy 0,95 hãy ướ lượng độ lệ h huẩn tối thiểu về thu nhập ủa nhân viên. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 244 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Thí d7.9. d. Với độ tin ậy 95% hãy ướ lượng độ phân tán ủa thời gian gia ông hi tiết đó bằng khoảng tin ậy hai phía. Thí d7.10. Chi tiêu ủa sinh viên (triệu đồng/tháng) phân phối huẩn và ó bảng sau: Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 Số sinh viên 35 55 10 Lấy α = 0, 05 ho mọi âu hỏi sau: a. Cho biết hi tiêu trung bình tối đa ủa SV. b. Độ lệ h huẩn về hi tiêu ủa SV thuộ khoảng nào? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 245 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng Thí d7.9. d. Với độ tin ậy 95% hãy ướ lượng độ phân tán ủa thời gian gia ông hi tiết đó bằng khoảng tin ậy hai phía. Thí d7.10. Chi tiêu ủa sinh viên (triệu đồng/tháng) phân phối huẩn và ó bảng sau: Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 Số sinh viên 35 55 10 Lấy α = 0, 05 ho mọi âu hỏi sau: a. Cho biết hi tiêu trung bình tối đa ủa SV. b. Độ lệ h huẩn về hi tiêu ủa SV thuộ khoảng nào? Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 245 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng 3.4. ớ lượng xá suất p ủa biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không - một Giả sử trong tổng thể kí h thướ N ó M phần tử mang dấu hiệu A (nào đó). p = M N p là tần suất ủa tổng thể ủa dấu hiệu A, nó phản ánh ơ ấu ủa tổng thể theo dấu hiệu nghiên ứu. Gọi X là số phần tử mang dấu hiệu A trong số 1 phần tử đượ lấy ra thì X ∼ A(p) và E(X) = p. Để ướ lượng p ta sẽ dùng tần suất mẫu tương ứng f. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 246 / 293 3. Phương pháp ướ lượng khoảng 3.4. ớ lượng xá suất p ủa biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không - một G